यादृच्छिक चर के वितरण का तिरछापन और कुर्टोसिस। एक्सेल में अनुभवजन्य वितरण की विषमता और कर्टोसिस की गणना सामान्य वितरण का कर्टोसिस गुणांक

विषमता गुणांककेंद्र के सापेक्ष वितरण श्रृंखला की "तिरछापन" दर्शाता है:

तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण कहां है;

– मानक विचलन का घन.

इस गणना पद्धति के लिए: यदि, वितरण दाएं तरफा (सकारात्मक विषमता) है, यदि, तो वितरण बाएं तरफा (नकारात्मक विषमता) है

केंद्रीय क्षण के अलावा, विषमता की गणना मोड या माध्यिका का उपयोग करके की जा सकती है:

या , (6.69)

इस गणना पद्धति के लिए: यदि, वितरण दाएं तरफा (सकारात्मक विषमता) है, यदि, तो वितरण बाएं तरफा (नकारात्मक विषमता) है (चित्र 4)।

चावल। 4. असममित वितरण

वितरण की "स्थिरता" दर्शाने वाले मान को कहा जाता है कर्टोसिस गुणांक:

यदि, वितरण में है एकाग्रता - कर्टोसिस सकारात्मक है यदि, वितरण में देखा जाता है समतलता – कर्टोसिस नकारात्मक है (चित्र 5)।

चावल। 5. वितरण की अधिकता

उदाहरण 5.क्षेत्र में खेतों पर भेड़ों की संख्या पर डेटा है (तालिका 9)।

1. प्रति फार्म भेड़ की औसत संख्या.

3. माध्यिका।

4. भिन्नता संकेतक

· फैलाव;

· मानक विचलन;

· भिन्नता का गुणांक.

5. विषमता और कुर्टोसिस के संकेतक।

समाधान।

1. चूंकि समुच्चय में विकल्पों का मूल्य कई बार दोहराया जाता है, औसत मूल्य की गणना करने के लिए एक निश्चित आवृत्ति के साथ हम भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करते हैं:

2. यह श्रृंखला असतत है, इसलिए मोड उच्चतम आवृत्ति वाला विकल्प होगा - .

3. यह श्रृंखला सम है, इस मामले में एक पृथक श्रृंखला का माध्यिका सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

यानी, अध्ययन आबादी के आधे खेतों में 4.75 हजार तक भेड़ें हैं। और आधे इस संख्या से ऊपर हैं।

4. भिन्नता संकेतकों की गणना करने के लिए, हम तालिका 10 तैयार करेंगे, जिसमें हम विचलनों की गणना करेंगे, इन विचलनों के वर्ग, गणना सरल और भारित गणना सूत्रों दोनों का उपयोग करके की जा सकती है (उदाहरण में हम एक सरल का उपयोग करते हैं एक):

तालिका 10

आइए विचरण की गणना करें:

आइए मानक विचलन की गणना करें:

आइए भिन्नता के गुणांक की गणना करें:

5. विषमता और कुर्टोसिस के संकेतकों की गणना करने के लिए, हम तालिका 11 बनाएंगे, जिसमें हम गणना करेंगे,

तालिका 11

वितरण की विषमता है:

अर्थात्, बाईं ओर की विषमता देखी जाती है, जिसकी पुष्टि सूत्र का उपयोग करके गणना करने पर की जाती है:

इस मामले में, जो इस सूत्र के लिए बाईं ओर की विषमता को भी इंगित करता है

वितरण का कुर्टोसिस बराबर है:

हमारे मामले में, कर्टोसिस नकारात्मक है, यानी सपाटपन देखा जाता है।

उदाहरण 6. परिवार के लिए श्रमिकों के वेतन पर डेटा प्रस्तुत किया गया है (तालिका 12)

समाधान।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए, मोड की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

कहाँ मोडल अंतराल - उच्चतम आवृत्ति के साथ अंतराल, हमारे मामले में 3600-3800, आवृत्ति के साथ

न्यूनतम मोडल अंतराल सीमा (3600);

मोडल अंतराल मान (200);

अंतराल आवृत्ति पूर्ववर्ती मोडल अंतराल (25);

मोडल अंतराल के बाद आवृत्ति (29);

मोडल अंतराल आवृत्ति (68)।

तालिका 12

अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए, माध्यिका की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

कहाँ माध्यिका अंतराल यह एक अंतराल है जिसकी संचयी (संचित) आवृत्ति आवृत्तियों के योग के आधे के बराबर या उससे अधिक है, हमारे उदाहरण में यह 3600-3800 है।

माध्यिका अंतराल की न्यूनतम सीमा (3600);

माध्यिका अंतराल मान (200);

श्रृंखला की आवृत्तियों का योग (154);

संचित आवृत्तियों का योग, माध्यिका से पहले के सभी अंतराल (57);

– माध्यिका अंतराल की आवृत्ति (68).

उदाहरण 7.एक जिले में तीन खेतों के लिए, उत्पादन की पूंजी तीव्रता (उत्पादित उत्पादों के 1 रूबल प्रति निश्चित पूंजी लागत की मात्रा) पर जानकारी है: I - 1.29 रूबल, II - 1.32 रूबल, III - 1.27 रूबल। औसत पूंजी तीव्रता की गणना करना आवश्यक है।

समाधान. चूंकि पूंजी की तीव्रता पूंजी कारोबार का व्युत्क्रम संकेतक है, इसलिए हम हार्मोनिक औसत सरल सूत्र का उपयोग करते हैं।

उदाहरण 8.एक जिले में तीन खेतों के लिए, सकल अनाज की फसल और औसत उपज (तालिका 13) पर डेटा है।

समाधान. अंकगणितीय माध्य का उपयोग करके औसत उपज की गणना करना असंभव है, क्योंकि बोए गए क्षेत्रों की संख्या के बारे में कोई जानकारी नहीं है, इसलिए हम भारित हार्मोनिक माध्य सूत्र का उपयोग करते हैं:

उदाहरण 9.अलग-अलग क्षेत्रों में आलू की औसत उपज और हिलिंग की संख्या पर डेटा है (तालिका 14)

तालिका 14

आइए डेटा को समूहीकृत करें (तालिका 15):

तालिका 15

निराई-गुड़ाई की संख्या के आधार पर क्षेत्रों का समूह बनाना

1. नमूने के कुल विचरण की गणना करें (तालिका 16)।

भिन्नता श्रृंखला का विश्लेषण करते समय, केंद्र से विस्थापन और वितरण की ढलान को विशेष संकेतकों द्वारा दर्शाया जाता है। अनुभवजन्य वितरण, एक नियम के रूप में, वितरण के केंद्र से दाएं या बाएं ओर स्थानांतरित हो जाते हैं, और असममित होते हैं। सामान्य वितरण अंकगणितीय माध्य के बारे में सख्ती से सममित है, जो फ़ंक्शन की समता के कारण है।

वितरण की विषमता इस तथ्य के कारण उत्पन्न होता है कि कुछ कारक एक दिशा में दूसरे की तुलना में अधिक दृढ़ता से कार्य करते हैं, या घटना के विकास की प्रक्रिया ऐसी होती है कि कुछ कारण हावी हो जाते हैं। इसके अतिरिक्त, कुछ परिघटनाओं की प्रकृति ऐसी होती है कि उनमें असममित वितरण होता है।

विषमता का सबसे सरल माप अंकगणितीय माध्य, बहुलक और माध्यिका के बीच का अंतर है:

वितरण के बदलाव (असममिति) की दिशा और परिमाण निर्धारित करने के लिए इसकी गणना की जाती है विषमता गुणांक , जो तीसरे क्रम का सामान्यीकृत क्षण है:

As= 3 / 3, जहां  3 तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण है;  3 - मानक विचलन घन। 3 = (एम 3 – 3एम 1 एम 2 + 2एम 1 3)के 3।

बायीं ओर की विषमता के लिए विषमता गुणांक (जैसा<0), при правосторонней (As>0) .

यदि वितरण का शीर्ष बाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है और शाखा का दाहिना भाग बाईं ओर से अधिक लंबा हो जाता है, तो ऐसी विषमता है दाहिनी ओर, अन्यथा बाएं हाथ से काम करने वाला .

सममित और असममित श्रृंखला में मोड, मध्यिका और अंकगणित माध्य के बीच संबंध हमें असममितता के माप के रूप में एक सरल संकेतक का उपयोग करने की अनुमति देता है विषमता गुणांक पियर्सन :

के ए = ( –मो)/. यदि K a >0, तो विषमता दाहिनी ओर है, यदि K a<0, то асимметрия левосторонняя, при К a =0 ряд считается симметричным.

तीसरे क्रम के केंद्रीय क्षण का उपयोग करके विषमता को अधिक सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है:

, जहां 3 = (एम 3 – 3एम 1 एम 2 + 2एम 1 3)के 3।

अगर > 0, तो विषमता को महत्वपूर्ण माना जा सकता है यदि < 0,25 асимметрию можно считать не значительной.

कोर्डिनेट के साथ एक सामान्य वितरण से एक सममित वितरण के विचलन की डिग्री को चिह्नित करने के लिए, शिखरता का एक संकेतक, वितरण की स्थिरता, कहा जाता है अधिकता :

उदाहरण = ( 4 / 4) - 3, जहां:  4 - चौथे क्रम का केंद्रीय क्षण।

सामान्य वितरण के लिए, उदाहरण = 0, अर्थात।  4 / 4 = 3.  4 = (एम 4 - 4एम 3 एम 1 + 6एम 2 एम 2 1 - 3 एम 4 1)* के 4।

उच्च-शिखर वक्रों में सकारात्मक कर्टोसिस होता है, जबकि निम्न-शिखर वक्रों में नकारात्मक कर्टोसिस होता है (चित्र D.2)।

जनसंख्या की विविधता, वितरण की विषमता और सामान्य कानून के अनुभवजन्य वितरण की निकटता को निर्धारित करने के लिए सांख्यिकीय विश्लेषण में कुर्टोसिस और तिरछापन के संकेतक आवश्यक हैं। शून्य से विषमता और कुर्टोसिस संकेतकों के महत्वपूर्ण विचलन के साथ, जनसंख्या को सजातीय और वितरण को सामान्य के करीब नहीं माना जा सकता है। सैद्धांतिक वक्रों के साथ वास्तविक वक्रों की तुलना गणितीय रूप से प्राप्त सांख्यिकीय परिणामों को प्रमाणित करने, सामाजिक-आर्थिक घटनाओं के वितरण के प्रकार और प्रकृति को स्थापित करने और अध्ययन की जा रही घटनाओं के घटित होने की संभावना की भविष्यवाणी करने की अनुमति देती है।

4.7. सैद्धांतिक सामान्य वितरण के लिए अनुभवजन्य (वास्तविक) वितरण की निकटता का औचित्य। सामान्य वितरण (गॉस-लाप्लास कानून) और इसकी विशेषताएं। "तीन सिग्मा नियम।" अच्छाई-की-फिट मानदंड (पियर्सन या कोलगोमोगोरोव मानदंड के उदाहरण का उपयोग करके)।

आप अलग-अलग विशेषताओं की आवृत्तियों और मूल्यों में परिवर्तन में एक निश्चित संबंध देख सकते हैं। जैसे-जैसे विशेषता का मूल्य बढ़ता है, आवृत्तियाँ पहले बढ़ती हैं और फिर, एक निश्चित अधिकतम मूल्य तक पहुँचने के बाद घट जाती हैं। भिन्नता श्रृंखला में आवृत्तियों में ऐसे नियमित परिवर्तन कहलाते हैं वितरण पैटर्न.

वितरण पैटर्न की पहचान करने के लिए, यह आवश्यक है कि भिन्नता श्रृंखला में पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में इकाइयाँ हों, और श्रृंखला स्वयं गुणात्मक रूप से सजातीय आबादी का प्रतिनिधित्व करती हो।

वास्तविक डेटा के आधार पर निर्मित एक वितरण बहुभुज है अनुभवजन्य (वास्तविक) वितरण वक्र, न केवल उद्देश्य (सामान्य) को दर्शाता है, बल्कि व्यक्तिपरक (यादृच्छिक) वितरण स्थितियों को भी दर्शाता है जो अध्ययन की जा रही घटना की विशेषता नहीं हैं।

व्यावहारिक कार्य में, वितरण कानून सैद्धांतिक वितरण के साथ अनुभवजन्य वितरण की तुलना करके और उनके बीच अंतर या पत्राचार की डिग्री का आकलन करके पाया जाता है। सैद्धांतिक वितरण वक्रयादृच्छिक कारकों के प्रभाव को ध्यान में रखे बिना, अलग-अलग विशेषताओं के मूल्यों के आधार पर आवृत्ति वितरण (वितरण घनत्व) के सामान्य पैटर्न को अपने शुद्ध रूप में दर्शाता है।

सांख्यिकी में विभिन्न प्रकार के सैद्धांतिक वितरण आम हैं: सामान्य, द्विपद, पॉइसन, आदि। प्रत्येक सैद्धांतिक वितरण की अपनी विशिष्टताएं और दायरा होता है।

सामान्य वितरण कानून कई यादृच्छिक कारकों की परस्पर क्रिया के दौरान होने वाली समान रूप से संभावित घटनाओं के वितरण की विशेषता। सामान्य वितरण का नियम वितरण मापदंडों का अनुमान लगाने, नमूना अवलोकनों की प्रतिनिधित्वशीलता और सामूहिक घटनाओं के संबंध को मापने के लिए सांख्यिकीय तरीकों को रेखांकित करता है। यह जांचने के लिए कि वास्तविक वितरण सामान्य से कितना मेल खाता है, सामान्य वितरण कानून की सैद्धांतिक आवृत्तियों की विशेषता के साथ वास्तविक वितरण की आवृत्तियों की तुलना करना आवश्यक है। ये आवृत्तियाँ सामान्यीकृत विचलन का एक कार्य हैं। इसलिए, अनुभवजन्य वितरण श्रृंखला के आंकड़ों के आधार पर, सामान्यीकृत विचलन टी की गणना की जाती है। फिर संगत सैद्धांतिक आवृत्तियाँ निर्धारित की जाती हैं। यह अनुभवजन्य वितरण को समतल करता है।

सामान्य वितरणया गॉस-लाप्लास नियम समीकरण द्वारा वर्णित है
, जहां y t सामान्य वितरण वक्र की कोटि है, या सामान्य वितरण के मान x की आवृत्ति (संभावना) है; - व्यक्तिगत x मानों की गणितीय अपेक्षा (औसत मान)। यदि मान (x – ) मानक विचलन  के संदर्भ में मापें (व्यक्त करें), अर्थात। मानकीकृत (सामान्यीकृत) विचलनों में t = (x – )/, तो सूत्र यह रूप लेगा:
. अपने शुद्ध रूप में सामाजिक-आर्थिक घटनाओं का सामान्य वितरण दुर्लभ है, हालांकि, यदि जनसंख्या की एकरूपता बनाए रखी जाती है, तो वास्तविक वितरण अक्सर सामान्य के करीब होते हैं। सैद्धांतिक सामान्य वितरण कानून के साथ अनुभवजन्य वितरण के अनुपालन की जांच करके अध्ययन की गई मात्राओं के वितरण के पैटर्न का पता चलता है। ऐसा करने के लिए, वास्तविक वितरण को सामान्य वक्र के साथ संरेखित किया जाता है और गणना की जाती है सहमति मानदंड .

सामान्य वितरण को दो महत्वपूर्ण मापदंडों की विशेषता है जो व्यक्तिगत मूल्यों के समूहन के केंद्र और वक्र के आकार को निर्धारित करते हैं: अंकगणितीय माध्य और मानक विचलन . सामान्य वितरण वक्र x-अक्ष पर वितरण केंद्र की स्थिति में भिन्न होते हैं और इस केंद्र के चारों ओर बिखराव विकल्प  (चित्र 4.1 और 4.2)। सामान्य वितरण वक्र की एक विशेषता वितरण के केंद्र के सापेक्ष इसकी समरूपता है - इसके मध्य के दोनों किनारों पर, दो समान रूप से घटती शाखाएं बनती हैं, जो असम्बद्ध रूप से एब्सिस्सा अक्ष के करीब पहुंचती हैं। इसलिए, सामान्य वितरण में, माध्य, बहुलक और माध्यिका समान होते हैं: = मो = मैं.

  एक्स

सामान्य वितरण वक्र में t = 1 पर दो विभक्ति बिंदु (उत्तलता से अवतलता में संक्रमण) होते हैं, अर्थात। जब विकल्प औसत से विचलित होते हैं (x - ), मानक विचलन के बराबर . अंदर  सामान्य वितरण के साथ 68.3% है 2 – 95.4%, भीतर 3 - वितरण श्रृंखला के अवलोकनों या आवृत्तियों की संख्या का 99.7%। व्यवहार में, 3 से अधिक लगभग कोई विचलन नहीं होता है, इसलिए दिए गए संबंध को "" कहा जाता है तीन सिग्मा नियम ».

सैद्धांतिक आवृत्तियों की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

.

परिमाण
टी का एक फलन या सामान्य वितरण का घनत्व है, जो एक विशेष तालिका से निर्धारित होता है, जिसके अंश तालिका में दिए गए हैं। 4.2.

सामान्य वितरण घनत्व मान तालिका 4.2

चित्र में ग्राफ़. 4.3 स्पष्ट रूप से अनुभवजन्य (2) और सामान्य (1) वितरण की निकटता को दर्शाता है।

चावल। 4.3. संख्या के आधार पर डाक सेवा शाखाओं का वितरण

श्रमिक: 1 - सामान्य; 2 - अनुभवजन्य

सामान्य वितरण के नियम के साथ अनुभवजन्य वितरण की निकटता को गणितीय रूप से प्रमाणित करने के लिए, गणना करें सहमति मानदंड .

कोलमोगोरोव मानदंड -एक अच्छाई-की-फिट मानदंड जो किसी को अनुभवजन्य वितरण की सामान्य से निकटता की डिग्री का आकलन करने की अनुमति देता है। ए. एन. कोलमोगोरोव ने अनुभवजन्य और सैद्धांतिक सामान्य वितरण के बीच पत्राचार निर्धारित करने के लिए इन श्रृंखलाओं की संचित आवृत्तियों या आवृत्तियों के बीच अधिकतम अंतर का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा। इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए कि अनुभवजन्य वितरण सामान्य वितरण के नियम से मेल खाता है, उपयुक्तता मानदंड = D/ की गणना की जाती है
, जहां D संचयी (संचित) अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों के बीच अधिकतम अंतर है, n जनसंख्या में इकाइयों की संख्या है। एक विशेष तालिका का उपयोग करके, P() निर्धारित किया जाता है -  प्राप्त करने की संभावना, जिसका अर्थ है कि यदि एक परिवर्तनशील विशेषता को सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, फिर यादृच्छिक कारणों से, अनुभवजन्य और सैद्धांतिक संचित आवृत्तियों के बीच अधिकतम विसंगति वास्तव में देखी गई आवृत्ति से कम नहीं होगी। P() के मान के आधार पर, कुछ निष्कर्ष निकाले जाते हैं: यदि संभावना P() पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो इस परिकल्पना की पुष्टि की जा सकती है कि वास्तविक वितरण सामान्य कानून से मेल खाता है; यदि संभावना P() छोटी है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है, और वास्तविक और सैद्धांतिक वितरण के बीच विसंगतियों को महत्वपूर्ण माना जाता है।

उपयुक्तता-की-फिट मानदंड के लिए संभाव्यता मान  तालिका 4.3

पियर्सन मानदंड 2 ("ची-स्क्वायर") - उपयुक्तता की अच्छाई की कसौटी जो किसी को अनुभवजन्य वितरण की सामान्य से निकटता की डिग्री का आकलन करने की अनुमति देती है:
,जहाँ f i, f" i एक निश्चित अंतराल में अनुभवजन्य और सैद्धांतिक वितरण की आवृत्तियाँ हैं। प्रेक्षित और सैद्धांतिक आवृत्तियों के बीच जितना अधिक अंतर होगा, मानदंड उतना ही बड़ा होगा  2. की आवृत्तियों में अंतर के महत्व को अलग करना मौका नमूनों के कारण मतभेदों से मानदंड  2 के अनुसार अनुभवजन्य और सैद्धांतिक वितरण, मानदंड  2 कैल्क के गणना मूल्य की तुलना स्वतंत्रता की डिग्री और दिए गए महत्व स्तर की उचित संख्या के साथ सारणीबद्ध  2 तालिका के साथ की जाती है। महत्व स्तर का चयन इस प्रकार किया जाता है कि P( 2 कैल्क > 2 टैब) = । स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है एच–एल, कहाँ एच- समूहों की संख्या; एल- सैद्धांतिक आवृत्तियों की गणना करते समय पूरी की जाने वाली शर्तों की संख्या। सूत्र का उपयोग करके सामान्य वितरण वक्र की सैद्धांतिक आवृत्तियों की गणना करना
आपको तीन पैरामीटर जानने की जरूरत है , , f, इसलिए स्वतंत्रता की कोटि की संख्या h-3 है। यदि  2 कैल्क > 2 टैब, यानी।  2 महत्वपूर्ण क्षेत्र में आता है, तो अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों के बीच विसंगति महत्वपूर्ण है और नमूना डेटा में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव द्वारा समझाया नहीं जा सकता है। इस स्थिति में शून्य परिकल्पना अस्वीकार की जाती है। यदि  2 गणना  2 तालिकाएँ, अर्थात्। परिकलित मानदंड संयोग के कारण उत्पन्न होने वाली आवृत्तियों के अधिकतम संभव विचलन से अधिक नहीं है, तो इस मामले में वितरण के पत्राचार के बारे में परिकल्पना स्वीकार की जाती है। पियर्सन मानदंड महत्वपूर्ण संख्या में अवलोकनों (n50) के साथ प्रभावी है, और सभी अंतरालों की आवृत्तियों की संख्या कम से कम पांच इकाइयों की होनी चाहिए (छोटी संख्या के साथ, अंतराल संयुक्त होते हैं), और अंतरालों की संख्या (समूह) होनी चाहिए बड़ा हो (h>5), क्योंकि अनुमान  2 स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या पर निर्भर करता है।

रोमानोव्स्की मानदंड -एक अच्छाई-की-फिट मानदंड जो किसी को अनुभवजन्य वितरण की सामान्य से निकटता की डिग्री का आकलन करने की अनुमति देता है। वी.आई. रोमानोव्स्की ने सामान्य वितरण वक्र के संबंध में अनुभवजन्य वितरण की निकटता का मूल्यांकन करने का प्रस्ताव रखा:

, जहाँ h समूहों की संख्या है।

यदि अनुपात 3 से अधिक है, तो अनुभवजन्य और सामान्य वितरण की आवृत्तियों के बीच विसंगति को यादृच्छिक नहीं माना जा सकता है और सामान्य वितरण कानून की परिकल्पना को खारिज कर दिया जाना चाहिए। यदि अनुपात 3 से कम या उसके बराबर है, तो हम इस परिकल्पना को स्वीकार कर सकते हैं कि डेटा वितरण सामान्य है।

एक यादृच्छिक चर के वितरण के आकार का अनुमानित विचार प्राप्त करने के लिए, इसकी वितरण श्रृंखला (बहुभुज और हिस्टोग्राम), फ़ंक्शन या वितरण घनत्व का एक ग्राफ़ खींचा जाता है। सांख्यिकीय अनुसंधान के अभ्यास में व्यक्ति को बहुत भिन्न वितरणों का सामना करना पड़ता है। सजातीय आबादी की विशेषता, एक नियम के रूप में, एकल-शीर्ष वितरण द्वारा की जाती है। मल्टीवर्टेक्स अध्ययन की जा रही जनसंख्या की विविधता को इंगित करता है। इस मामले में, अधिक सजातीय समूहों की पहचान करने के लिए डेटा को फिर से समूहित करना आवश्यक है।

एक यादृच्छिक चर के वितरण की सामान्य प्रकृति का निर्धारण करने में इसकी एकरूपता की डिग्री का आकलन करने के साथ-साथ विषमता और कर्टोसिस के संकेतकों की गणना शामिल है। एक सममित वितरण में, जिसमें गणितीय अपेक्षा माध्यिका के बराबर होती है, अर्थात। , यह माना जा सकता है कि कोई विषमता नहीं है। लेकिन विषमता जितनी अधिक ध्यान देने योग्य होगी, वितरण केंद्र की विशेषताओं - गणितीय अपेक्षा और माध्यिका के बीच विचलन उतना ही अधिक होगा।

एक यादृच्छिक चर के वितरण की विषमता का सबसे सरल गुणांक माना जा सकता है, जहां गणितीय अपेक्षा है, माध्यिका है, और यादृच्छिक चर का मानक विचलन है।

दाईं ओर की विषमता के मामले में, बाईं ओर की विषमता। यदि , विषमता को कम माना जाता है, यदि - मध्यम, और पर - उच्च। दाएं और बाएं ओर की विषमता का एक ज्यामितीय चित्रण नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यह संगत प्रकार के निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व के ग्राफ़ दिखाता है।

चित्रकला। निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण के घनत्व भूखंडों में दाएं और बाएं तरफा विषमता का चित्रण।

यादृच्छिक चर के वितरण की विषमता का एक और गुणांक है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक विषम क्रम का एक गैर-शून्य केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के वितरण में एक विषमता को इंगित करता है। पिछले संकेतक में हमने प्रथम क्रम क्षण के समान एक अभिव्यक्ति का उपयोग किया था। लेकिन आमतौर पर इस अन्य विषमता गुणांक में तीसरे क्रम के केंद्रीय क्षण का उपयोग किया जाता है , और इस गुणांक को आयामहीन बनाने के लिए, इसे मानक विचलन के घन से विभाजित किया जाता है। परिणामी विषमता गुणांक है: . इस विषमता गुणांक के लिए, दाएं तरफा विषमता के मामले में पहले वाले की तरह, बाएं तरफा -।

एक यादृच्छिक चर का कुर्टोसिस

एक यादृच्छिक चर के वितरण का कर्टोसिस वितरण के केंद्र के पास इसके मूल्यों की एकाग्रता की डिग्री को दर्शाता है: एकाग्रता जितनी अधिक होगी, इसके वितरण का घनत्व ग्राफ उतना ही अधिक और संकीर्ण होगा। कर्टोसिस (तीक्ष्णता) संकेतक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:, कहां चौथे क्रम का केंद्रीय क्षण है, और चौथी घात तक बढ़ा हुआ मानक विचलन है। चूँकि अंश और हर की शक्तियाँ समान हैं, कर्टोसिस एक आयामहीन मात्रा है। इस मामले में, इसे सामान्य वितरण लेने के लिए कर्टोसिस की अनुपस्थिति, शून्य कर्टोसिस के मानक के रूप में स्वीकार किया जाता है। लेकिन सामान्य वितरण के लिए इसे सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, कर्टोसिस की गणना के सूत्र में, इस अंश से संख्या 3 घटा दी जाती है।

इस प्रकार, सामान्य वितरण के लिए कर्टोसिस शून्य है:। यदि कर्टोसिस शून्य से अधिक है, अर्थात , तो वितरण सामान्य से अधिक चरम पर है। यदि कर्टोसिस शून्य से कम है, अर्थात , तो वितरण सामान्य से कम चरम पर है। नकारात्मक कर्टोसिस का सीमित मूल्य का मूल्य है; सकारात्मक कर्टोसिस का परिमाण असीम रूप से बड़ा हो सकता है। सामान्य वितरण की तुलना में यादृच्छिक चर के शिखर और सपाट-शीर्ष वितरण घनत्व के ग्राफ़ कैसा दिखते हैं, यह चित्र में दिखाया गया है।

चित्रकला। सामान्य वितरण की तुलना में यादृच्छिक चर के शिखर और सपाट-शीर्ष घनत्व वितरण का चित्रण।

एक यादृच्छिक चर के वितरण की विषमता और कुर्टोसिस से पता चलता है कि यह सामान्य कानून से कितना विचलित है। बड़ी विषमताओं और कर्टोसिस के लिए, सामान्य वितरण के लिए गणना सूत्रों का उपयोग नहीं किया जाना चाहिए। किसी विशिष्ट यादृच्छिक चर के लिए डेटा के विश्लेषण में सामान्य वितरण सूत्रों के उपयोग के लिए विषमता और कर्टोसिस की स्वीकार्यता का स्तर क्या है, यह शोधकर्ता को अपने ज्ञान और अनुभव के आधार पर निर्धारित करना चाहिए।

परिभाषा। पहनावाकिसी असतत यादृच्छिक चर का M 0 उसका सर्वाधिक संभावित मान कहलाता है। एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, मोड यादृच्छिक चर का वह मान है जिस पर वितरण घनत्व अधिकतम होता है।

यदि एक असतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण बहुभुज या एक सतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण वक्र में दो या अधिक मैक्सिमा हैं, तो ऐसे वितरण को कहा जाता है bimodalया बहुविध.

यदि किसी वितरण में न्यूनतम है लेकिन कोई अधिकतम नहीं है, तो इसे कहा जाता है प्रतिमोडल.

परिभाषा। मंझलायादृच्छिक चर X का M D उसका मान है जिसके सापेक्ष यह समान रूप से संभावना है कि यादृच्छिक चर का बड़ा या छोटा मान प्राप्त होगा।

ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र द्वारा सीमित क्षेत्र आधे में विभाजित होता है।

ध्यान दें कि यदि वितरण एकरूप है, तो मोड और माध्यिका गणितीय अपेक्षा से मेल खाते हैं।

परिभाषा। आरंभिक क्षणआदेश क यादृच्छिक चर X मान X की गणितीय अपेक्षा है क .

असतत यादृच्छिक चर के लिए: .

.

पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण गणितीय अपेक्षा के बराबर है।

परिभाषा। केंद्रीय क्षणआदेश कयादृच्छिक चर X मान की गणितीय अपेक्षा है

असतत यादृच्छिक चर के लिए: .

सतत यादृच्छिक चर के लिए: .

पहले क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य होता है, और दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण फैलाव के बराबर होता है। तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण वितरण की विषमता को दर्शाता है।

परिभाषा। तीसरे क्रम के केंद्रीय क्षण और मानक विचलन से तीसरी शक्ति के अनुपात को कहा जाता है विषमता गुणांक.

परिभाषा। वितरण की चरमता और समतलता को चिह्नित करने के लिए, एक मात्रा कहा जाता है अधिकता।

मानी गई मात्राओं के अलावा, तथाकथित निरपेक्ष क्षणों का भी उपयोग किया जाता है:

पूर्ण प्रारंभिक क्षण: .

पूर्ण केंद्रीय बिंदु: .

क्वांटाइल , संभाव्यता के दिए गए स्तर के अनुरूप आर, वह मान है जिस पर वितरण फ़ंक्शन के बराबर मान लेता है आर, अर्थात। कहाँ आर- संभाव्यता का निर्दिष्ट स्तर।

दूसरे शब्दों में मात्रात्मक जिस पर एक यादृच्छिक चर का एक मान होता है

संभावना आर, प्रतिशत के रूप में निर्दिष्ट, संबंधित मात्रा को नाम देता है, उदाहरण के लिए, इसे 40% मात्रा कहा जाता है।

20. स्वतंत्र प्रयोगों में किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा और फैलाव।

परिभाषा। गणितीय अपेक्षाएक सतत यादृच्छिक चर X, जिसके संभावित मान खंड से संबंधित हैं, एक निश्चित अभिन्न अंग कहलाता है

यदि किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों को संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर माना जाता है, तो गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा पाई जाती है:

इस मामले में, निश्चित रूप से, यह माना जाता है कि अनुचित अभिन्न अंग अभिसरण करता है।

गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर उसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है:

एम(एक्स) =एक्स 1 आर 1 +एक्स 2 आर 2 + … +एक्स पी आर पी . (7.1)

यदि किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है, तो
, यदि परिणामी श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है।

नोट 1।गणितीय अपेक्षा को कभी-कभी कहा जाता है भारित औसत, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों में यादृच्छिक चर के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर है।

नोट 2।गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका मान किसी यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभावित मान से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है।

नोट 3।असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है गैर यादृच्छिक(स्थिर। हम बाद में देखेंगे कि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी यही सच है।

गणितीय अपेक्षा के गुण.

किसी स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है:

एम(साथ) =साथ।(7.2)

सबूत। अगर हम विचार करें साथएक असतत यादृच्छिक चर के रूप में केवल एक मान लेता है साथसंभाव्यता के साथ आर= 1, फिर एम(साथ) =साथ·1 = साथ.

स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:

एम(सीएक्स) =सेमी(एक्स). (7.3)

सबूत। यदि यादृच्छिक चर एक्सवितरण श्रृंखला द्वारा दिया गया

फिर वितरण श्रृंखला के लिए सीएक्सइसका रूप है:

तब एम(सीएक्स) =सी.एक्स 1 आर 1 +सी.एक्स 2 आर 2 + … +सी.एक्स पी आर पी =साथ(एक्स 1 आर 1 +एक्स 2 आर 2 + … +एक्स पी आर पी) =सेमी(एक्स).

गणितीय अपेक्षासतत् यादृच्छिक चर कहलाता है

(7.13)

नोट 1।विचरण की सामान्य परिभाषा एक सतत यादृच्छिक चर के लिए वही रहती है जो एक असतत यादृच्छिक चर के लिए होती है (डीईएफ़. 7.5), और इसकी गणना के लिए सूत्र का रूप इस प्रकार है:

(7.14)

मानक विचलन की गणना सूत्र (7.12) का उपयोग करके की जाती है।

नोट 2।यदि किसी सतत यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान अंतराल से बाहर नहीं आते हैं [ ए, बी], तो सूत्र (7.13) और (7.14) में अभिन्नों की गणना इन सीमाओं के भीतर की जाती है।

प्रमेय. स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या का अंतर परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होता है:।

सबूत। आइए स्वतंत्र परीक्षणों में घटना की घटनाओं की संख्या बताएं। यह प्रत्येक परीक्षण में घटना की घटनाओं के योग के बराबर है:। चूंकि परीक्षण स्वतंत्र हैं, यादृच्छिक चर - स्वतंत्र हैं, इसलिए।

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, , और .

फिर आह .

इस मामले में, जैसा कि पहले बताया गया है, मानक विचलन है।

जनसंख्या वितरण का विश्लेषण करते समय, किसी दिए गए वितरण के सममित से विचलन, या, दूसरे शब्दों में, इसकी विषमता का आकलन महत्वपूर्ण रुचि का होता है। विषमता की डिग्री (विषमता) जनसंख्या वितरण के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक है। विषमता की गणना के लिए कई आँकड़े तैयार किए गए हैं। ये सभी किसी भी विषमता संकेतक के लिए कम से कम दो आवश्यकताओं को पूरा करते हैं: यदि वितरण सममित है तो यह आयाम रहित और शून्य के बराबर होना चाहिए।

चित्र में. 2 ए, बी दो असममित जनसंख्या वितरण के वक्र दिखाते हैं, जिनमें से एक बाईं ओर तिरछा है, और दूसरा दाईं ओर। बहुलक, माध्यिका और माध्य की सापेक्ष स्थिति गुणात्मक रूप से दर्शाई गई है। यह देखा जा सकता है कि संभावित विषमता संकेतकों में से एक का निर्माण उस दूरी को ध्यान में रखकर किया जा सकता है जिस पर माध्य और मोड एक दूसरे से स्थित हैं। लेकिन अनुभवजन्य डेटा से मोड निर्धारित करने की जटिलता को ध्यान में रखते हुए, और दूसरी ओर, मोड, माध्यिका और औसत के बीच प्रसिद्ध संबंध (3), असममिति सूचकांक की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्रस्तावित किया गया था:

इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि बाईं ओर तिरछे वितरण में सकारात्मक तिरछापन होता है, और दाईं ओर तिरछे वितरण में नकारात्मक तिरछापन होता है। स्वाभाविक रूप से, सममित वितरण के लिए, जिसके लिए माध्य और माध्यिका मेल खाते हैं, विषमता शून्य है।

आइए तालिका में दिए गए डेटा के लिए विषमता संकेतकों की गणना करें। 1 और 2. हृदय चक्र की अवधि के वितरण के लिए हमारे पास है:

इस प्रकार, यह वितरण थोड़ा बायीं ओर झुका हुआ है। विषमता के लिए प्राप्त मूल्य अनुमानित है और सटीक नहीं है, क्योंकि इसकी गणना के लिए मूल्यों और सरलीकृत तरीके से गणना की गई थी।

रक्त सीरम में सल्फहाइड्रील समूहों के वितरण के लिए हमारे पास है:

इस प्रकार, इस वितरण में नकारात्मक विषमता है, अर्थात। दाईं ओर झुका हुआ.

सैद्धांतिक रूप से, यह दिखाया गया है कि सूत्र 13 द्वारा निर्धारित मूल्य 3 के भीतर है। लेकिन व्यवहार में, यह मान बहुत कम ही अपने सीमित मूल्यों तक पहुंचता है, और मध्यम असममित एकल-शीर्ष वितरण के लिए इसका पूर्ण मूल्य आमतौर पर एक से कम होता है।

विषमता संकेतक का उपयोग न केवल जनसंख्या वितरण के औपचारिक विवरण के लिए किया जा सकता है, बल्कि प्राप्त आंकड़ों की सार्थक व्याख्या के लिए भी किया जा सकता है।

वास्तव में, यदि हम जो विशेषता देखते हैं वह एक दूसरे से स्वतंत्र बड़ी संख्या में कारणों के प्रभाव में बनती है, जिनमें से प्रत्येक इस विशेषता के मूल्य में अपेक्षाकृत छोटा योगदान देता है, तो, चर्चा में कुछ सैद्धांतिक परिसरों के अनुसार संभाव्यता सिद्धांत पर अनुभाग, हमें यह उम्मीद करने का अधिकार है कि प्रयोग के परिणामस्वरूप प्राप्त जनसंख्या वितरण सममित होगा। हालाँकि, यदि प्रयोगात्मक डेटा के लिए एक महत्वपूर्ण विषमता मान प्राप्त किया जाता है (अस मोडुलो का संख्यात्मक मान कुछ दसवें हिस्से के भीतर है), तो यह माना जा सकता है कि ऊपर निर्दिष्ट शर्तें पूरी नहीं हुई हैं।

इस मामले में, यह या तो एक या दो कारकों के अस्तित्व को मानने के लिए समझ में आता है, जिनका प्रयोग में देखे गए मूल्य के निर्माण में योगदान दूसरों की तुलना में काफी अधिक है, या एक विशेष तंत्र की उपस्थिति का अनुमान लगाना है। प्रेक्षित विशेषता के मूल्य पर कई कारणों के स्वतंत्र प्रभाव के तंत्र से भिन्न।

इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि किसी निश्चित कारक की कार्रवाई के अनुरूप हमारे लिए रुचि की मात्रा में परिवर्तन, इस मूल्य और कारण की कार्रवाई की तीव्रता के समानुपाती होते हैं, तो परिणामी वितरण हमेशा विषम होगा बाएँ, यानी सकारात्मक तिरछापन रखें. उदाहरण के लिए, जीवविज्ञानी पौधों और जानवरों की वृद्धि से जुड़ी मात्राओं का आकलन करते समय ऐसे तंत्र का सामना करते हैं।

विषमता का आकलन करने का दूसरा तरीका क्षणों की विधि पर आधारित है, जिसकी चर्चा अध्याय 44 में की जाएगी। इस पद्धति के अनुसार, औसत के सापेक्ष डेटा श्रृंखला के सभी मूल्यों के विचलन के योग का उपयोग करके विषमता की गणना की जाती है। , तीसरी शक्ति तक बढ़ा दिया गया, अर्थात:

तीसरी शक्ति यह सुनिश्चित करती है कि इस अभिव्यक्ति का अंश सममित वितरण के लिए शून्य के बराबर है, क्योंकि इस मामले में औसत से तीसरी शक्ति तक ऊपर और नीचे विचलन का योग बराबर होगा और विपरीत संकेत होंगे। से विभाजित करना असममिति माप के लिए आयामहीनता प्रदान करता है।

सूत्र (14) को निम्नानुसार रूपांतरित किया जा सकता है। पिछले पैराग्राफ में, मानकीकृत मान पेश किए गए थे:

इस प्रकार, तिरछापन का माप मानकीकृत डेटा क्यूब का औसत है।

उसी डेटा के लिए जिसके लिए विषमता की गणना सूत्र (13) का उपयोग करके की गई थी, हम सूत्र (15) का उपयोग करके संकेतक पाते हैं। हमारे पास है:

स्वाभाविक रूप से, विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके गणना की गई विषमता संकेतक परिमाण में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, लेकिन समान रूप से विषमता की प्रकृति का संकेत देते हैं। सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए एप्लिकेशन पैकेज में, विषमता की गणना करते समय, सूत्र (15) का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह अधिक सटीक मान देता है। सरल कैलकुलेटर का उपयोग करके प्रारंभिक गणना के लिए, आप सूत्र (13) का उपयोग कर सकते हैं।

अधिकता।इसलिए, हमने संकेतकों के चार समूहों में से तीन की जांच की है जिनकी मदद से जनसंख्या वितरण का वर्णन किया गया है। उनमें से अंतिम पीकनेस, या कर्टोसिस (ग्रीक से - हंपबैक्ड) के संकेतकों का एक समूह है। कर्टोसिस के संभावित संकेतकों में से एक की गणना करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

उसी दृष्टिकोण का उपयोग करना जो असममिति सूत्र (14) को परिवर्तित करते समय लागू किया गया था, यह दिखाना आसान है कि:

सैद्धांतिक रूप से, यह दिखाया गया था कि सामान्य (गाऊसी) वितरण वक्र के लिए कर्टोसिस का मूल्य, जो आंकड़ों के साथ-साथ संभाव्यता सिद्धांत में एक बड़ी भूमिका निभाता है, संख्यात्मक रूप से 3 के बराबर है। कई विचारों के आधार पर, की तीक्ष्णता इस वक्र को एक मानक के रूप में लिया जाता है, और इसलिए कर्टोसिस के संकेतक के रूप में मान का उपयोग किया जाता है:

आइए तालिका में दिए गए डेटा के लिए शिखर मान ज्ञात करें। 1. हमारे पास है:

इस प्रकार, हृदय चक्र की अवधि का वितरण वक्र सामान्य वक्र की तुलना में चपटा होता है, जिसके लिए।

तालिका में चित्र 3 गुलदाउदी प्रजातियों में से एक में सीमांत फूलों की संख्या के वितरण को दर्शाता है। इस वितरण हेतु

कर्टोसिस बहुत बड़े मान ले सकता है, जैसा कि दिए गए उदाहरण से देखा जा सकता है, लेकिन इसकी निचली सीमा एक से कम नहीं हो सकती। यह पता चला है कि यदि वितरण द्विमोडल है, तो कर्टोसिस मान अपनी निचली सीमा तक पहुंच जाता है, इसलिए यह -2 हो जाता है। इस प्रकार, यदि गणना के परिणामस्वरूप यह पता चलता है कि मान -1-1.4 से कम है, तो हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि हमारे निपटान में जनसंख्या वितरण कम से कम द्विपक्षीय है। इसे ध्यान में रखना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जब प्रयोगात्मक डेटा, पूर्व-प्रसंस्करण चरण को छोड़कर, एक डिजिटल कंप्यूटर का उपयोग करके विश्लेषण किया जाता है और शोधकर्ता की आंखों के सामने जनसंख्या वितरण का प्रत्यक्ष चित्रमय प्रतिनिधित्व नहीं होता है।

प्रायोगिक डेटा का दो-शिखर वितरण वक्र कई कारणों से उत्पन्न हो सकता है। विशेष रूप से, ऐसा वितरण विषम डेटा के दो सेटों को एक ही सेट में जोड़कर प्रकट हो सकता है। इसे स्पष्ट करने के लिए, हमने कृत्रिम रूप से दो प्रकार के जीवाश्म मोलस्क के गोले की चौड़ाई पर डेटा को एक सेट में संयोजित किया (तालिका 4, चित्र 3)।

यह आंकड़ा स्पष्ट रूप से दो मोड की उपस्थिति को दर्शाता है, क्योंकि विभिन्न आबादी के डेटा के दो सेट मिश्रित हैं। गणना कुर्टोसिस मान 1.74 देती है, और इसलिए = -1.26। इस प्रकार, शिखर सूचकांक का परिकलित मूल्य, पहले बताई गई स्थिति के अनुसार इंगित करता है कि वितरण में दो शिखर हैं।

यहां एक चेतावनी है. दरअसल, सभी मामलों में जब जनसंख्या वितरण में दो मैक्सिमा होते हैं, तो कर्टोसिस मान एकता के करीब होगा। हालाँकि, यह तथ्य स्वचालित रूप से इस निष्कर्ष पर नहीं पहुंच सकता है कि विश्लेषण किया गया डेटा सेट दो विषम नमूनों का मिश्रण है। सबसे पहले, इस तरह के मिश्रण में, इसके घटक समुच्चय की संख्या के आधार पर, दो शिखर नहीं हो सकते हैं, और कर्टोसिस सूचकांक एक से काफी अधिक होगा। दूसरे, एक सजातीय नमूने में दो मोड हो सकते हैं यदि, उदाहरण के लिए, प्रयोगात्मक डेटा के चयन की आवश्यकताओं का उल्लंघन किया जाता है। इस प्रकार, इसमें, अन्य मामलों की तरह, विभिन्न आँकड़ों की औपचारिक गणना के बाद, एक संपूर्ण पेशेवर विश्लेषण किया जाना चाहिए, जो प्राप्त आंकड़ों को सार्थक व्याख्या देने की अनुमति देगा।