गुणा करने के 8 तरीके. विषय पर प्रोजेक्ट: "गुणन के असामान्य तरीके"
संकट: गुणन के प्रकार को समझें
लक्ष्य: पाठों में उपयोग नहीं की गई प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने की विभिन्न विधियों से परिचित होना, और संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की गणना में उनका अनुप्रयोग।
कार्य:
1. गुणन की विभिन्न विधियाँ खोजें और उनका विश्लेषण करें।
2. गुणन की कुछ विधियों का प्रदर्शन करना सीखें।
3. गुणन के नए तरीकों के बारे में बात करें और छात्रों को उनका उपयोग करना सिखाएं।
4. स्वतंत्र कार्य कौशल विकसित करें: जानकारी की खोज करना, मिली सामग्री का चयन और प्रसंस्करण करना।
5. प्रयोग "कौन सी विधि तेज़ है"
परिकल्पना:क्या मुझे गुणन सारणी जानने की आवश्यकता है?
प्रासंगिकता:हाल ही में छात्र खुद से ज्यादा गैजेट्स पर भरोसा करते हैं। और यही कारण है कि वे केवल कैलकुलेटर पर भरोसा करते हैं। हम यह दिखाना चाहते थे कि गुणन के विभिन्न तरीके हैं, ताकि छात्रों के लिए गिनती करना आसान हो और सीखना दिलचस्प हो।
परिचय
यदि आप एकल-अंकीय गुणन के सभी परिणामों को याद नहीं रखते हैं, जिसे गुणन तालिका कहा जाता है, तो आप बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा नहीं कर पाएंगे - यहाँ तक कि दोहरे अंक वाली भी -।
अलग-अलग समय में, अलग-अलग लोगों के पास प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के अलग-अलग तरीके थे।
अब सभी लोग गुणन की एक ही विधि "कॉलम" का उपयोग क्यों करते हैं?
लोगों ने गुणन के पुराने तरीकों को छोड़कर आधुनिक तरीकों को क्यों अपनाना शुरू कर दिया?
क्या गुणन की भूली हुई विधियों को हमारे समय में अस्तित्व में रहने का अधिकार है?
इन प्रश्नों का उत्तर देने के लिए मैंने निम्नलिखित कार्य किया:
1. इंटरनेट का उपयोग करते हुए, मुझे गुणन की कुछ विधियों के बारे में जानकारी मिली जो पहले इस्तेमाल की गई थीं;
2. शिक्षक द्वारा सुझाए गए साहित्य का अध्ययन किया;
3. मैंने उनकी कमियों का पता लगाने के लिए अध्ययन की गई सभी विधियों का उपयोग करके कुछ उदाहरणों को हल किया;
4) उनमें से सबसे प्रभावी की पहचान की गई;
5. एक प्रयोग किया;
6. निष्कर्ष निकाला.
1. गुणन की विभिन्न विधियाँ खोजें और उनका विश्लेषण करें।
अंगुलियों पर गुणन.
उंगलियों पर गुणा करने की पुरानी रूसी विधि सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधियों में से एक है, जिसका उपयोग कई शताब्दियों तक रूसी व्यापारियों द्वारा सफलतापूर्वक किया गया था। उन्होंने अपनी उंगलियों पर एकल-अंकीय संख्याओं को 6 से 9 तक गुणा करना सीखा। इस मामले में, "इकाइयों", "जोड़ियों", "तीन", "चार", "पांच" और में बुनियादी उंगली गिनती कौशल होना पर्याप्त था। "दहाई"। यहां उंगलियां सहायक कंप्यूटिंग डिवाइस के रूप में काम करती थीं।
ऐसा करने के लिए, एक तरफ उन्होंने उतनी उंगलियां फैलाईं जितनी पहला कारक संख्या 5 से अधिक हो, और दूसरी तरफ उन्होंने दूसरे कारक के लिए भी ऐसा ही किया। बाकी उंगलियां मुड़ी हुई थीं. फिर फैली हुई उंगलियों की संख्या (कुल) ली गई और 10 से गुणा किया गया, फिर संख्याओं को गुणा किया गया, यह दिखाते हुए कि कितनी उंगलियां मुड़ी हुई थीं, और परिणाम जोड़े गए।
उदाहरण के लिए, आइए 7 को 8 से गुणा करें। विचारित उदाहरण में, 2 और 3 उंगलियां मुड़ी होंगी। यदि आप मुड़ी हुई उंगलियों की संख्या (2+3=5) जोड़ते हैं और न मुड़ी हुई उंगलियों की संख्या को गुणा करते हैं (2 3=6), तो आपको वांछित उत्पाद की दहाई और इकाई की संख्या क्रमशः 56 मिलेगी। इस तरह आप 5 से बड़ी किसी भी एकल-अंकीय संख्या के गुणनफल की गणना कर सकते हैं।
विभिन्न देशों में संख्याओं को गुणा करने की विधियाँ
9 से गुणा करें.
संख्या 9 - 9 1, 9 2 ... 9 10 के लिए गुणन - स्मृति से भूलना आसान है और जोड़ विधि का उपयोग करके मैन्युअल रूप से पुनर्गणना करना अधिक कठिन है, हालांकि, विशेष रूप से संख्या 9 के लिए, गुणन आसानी से "उंगलियों पर" पुन: प्रस्तुत किया जाता है ”। अपनी उंगलियों को दोनों हाथों पर फैलाएं और अपनी हथेलियों को अपने से दूर रखते हुए अपने हाथों को मोड़ें। मानसिक रूप से अपनी उंगलियों को 1 से 10 तक संख्याएं निर्दिष्ट करें, जो आपके बाएं हाथ की छोटी उंगली से शुरू होती है और आपके दाहिने हाथ की छोटी उंगली पर समाप्त होती है (यह चित्र में दिखाया गया है)। 
उंगलियों पर गुणन का आविष्कार किसने किया?
मान लीजिए हम 9 को 6 से गुणा करना चाहते हैं। हम जिस संख्या से नौ को गुणा करेंगे उसके बराबर संख्या वाली उंगली को मोड़ते हैं। हमारे उदाहरण में, हमें संख्या 6 वाली उंगली को मोड़ने की आवश्यकता है। मुड़ी हुई उंगली के बाईं ओर की उंगलियों की संख्या हमें उत्तर में दहाई की संख्या दिखाती है, दाईं ओर की उंगलियों की संख्या इकाइयों की संख्या दर्शाती है। बाईं ओर हमारी 5 उंगलियां हैं जो मुड़ी हुई नहीं हैं, दाईं ओर - 4 उंगलियां हैं। इस प्रकार, 9·6=54. नीचे दिया गया चित्र "गणना" के संपूर्ण सिद्धांत को विस्तार से दर्शाता है। 
असामान्य तरीके से गुणा करना
एक अन्य उदाहरण: आपको 9·8=? की गणना करने की आवश्यकता है। साथ ही, मान लीजिए कि उंगलियां आवश्यक रूप से "गणना करने वाली मशीन" के रूप में कार्य नहीं कर सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक नोटबुक में 10 सेल लें। 8वें सेल को काट दें। बाईं ओर 7 कोशिकाएँ बची हैं, दाईं ओर 2 कोशिकाएँ हैं। तो 9·8=72. सब कुछ बहुत सरल है.
7 कोशिकाएँ 2 कोशिकाएँ।
गुणा करने का भारतीय तरीका.
गणितीय ज्ञान के खजाने में सबसे मूल्यवान योगदान भारत में किया गया था। हिंदुओं ने वह विधि प्रस्तावित की जिसका उपयोग हम दस चिह्नों का उपयोग करके संख्याएँ लिखने के लिए करते हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0।
इस पद्धति का आधार यह विचार है कि एक ही अंक इकाइयों, दहाई, सैकड़ों या हजारों का प्रतिनिधित्व करता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि अंक कहां है। किसी भी अंक की अनुपस्थिति में, व्याप्त स्थान, संख्याओं को निर्दिष्ट शून्य द्वारा निर्धारित किया जाता है।
भारतीय गिनती में बहुत अच्छे थे। वे गुणा करने का एक बहुत ही सरल तरीका लेकर आए। उन्होंने सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करके गुणन किया और गुणक के ठीक ऊपर अपूर्ण उत्पादों को थोड़ा-थोड़ा करके लिखा। इस मामले में, संपूर्ण उत्पाद का सबसे महत्वपूर्ण अंक तुरंत दिखाई दे रहा था और इसके अलावा, किसी भी अंक की चूक समाप्त हो गई थी। गुणन चिह्न अभी तक ज्ञात नहीं था, इसलिए उन्होंने गुणनखंडों के बीच थोड़ी दूरी छोड़ दी। उदाहरण के लिए, आइए विधि 537 का उपयोग करके उन्हें 6 से गुणा करें:
(5 ∙ 6 =30) 30
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
6
"छोटा महल" विधि का उपयोग करके गुणा।
संख्याओं का गुणन अब स्कूल की पहली कक्षा में पढ़ाया जाता है। लेकिन मध्य युग में बहुत कम लोग गुणन की कला में निपुण थे। यह एक दुर्लभ अभिजात व्यक्ति था जो गुणन सारणी जानने का दावा कर सकता था, भले ही उसने यूरोपीय विश्वविद्यालय से स्नातक की उपाधि प्राप्त की हो।
गणित के विकास के सहस्राब्दियों के दौरान, संख्याओं को गुणा करने के कई तरीकों का आविष्कार किया गया है। इतालवी गणितज्ञ लुका पैसिओली ने अपने ग्रंथ "अंकगणित, अनुपात और आनुपातिकता का सुम्मा" (1494) में गुणन की आठ अलग-अलग विधियाँ दी हैं। उनमें से पहले को "लिटिल कैसल" कहा जाता है, और दूसरे को भी कम रोमांटिक रूप से "ईर्ष्या या जाली गुणन" कहा जाता है।
"लिटिल कैसल" गुणन विधि का लाभ यह है कि अग्रणी अंक शुरू से ही निर्धारित होते हैं, और यह महत्वपूर्ण हो सकता है यदि आपको किसी मूल्य का तुरंत अनुमान लगाने की आवश्यकता हो।
सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करके ऊपरी संख्या के अंकों को बारी-बारी से निचली संख्या से गुणा किया जाता है और शून्य की आवश्यक संख्या जोड़कर एक कॉलम में लिखा जाता है। फिर परिणाम जोड़े जाते हैं। 
विभिन्न देशों में संख्याओं को गुणा करने की विधियाँ
"ईर्ष्या" विधि का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करना।
"गुणन की विधियाँ दूसरी विधि का रोमांटिक नाम ईर्ष्या है," या "जाली गुणन।"
सबसे पहले, एक आयत बनाया जाता है, उसे वर्गों में विभाजित किया जाता है, और आयत की भुजाओं के आयाम गुणक और गुणक के दशमलव स्थानों की संख्या के अनुरूप होते हैं। फिर वर्गाकार कोशिकाओं को तिरछे विभाजित किया जाता है, और "...परिणाम जाली शटर के समान एक तस्वीर है," पैसिओली लिखते हैं। "इस तरह के शटर वेनिस के घरों की खिड़कियों पर लटकाए गए थे, जिससे सड़क से गुजरने वाले राहगीरों को खिड़कियों पर बैठी महिलाओं और ननों को देखने से रोका जा सके।"
आइए इस प्रकार 347 को 29 से गुणा करें। आइए एक तालिका बनाएं, उसके ऊपर संख्या 347 लिखें और दाईं ओर संख्या 29 लिखें।
प्रत्येक पंक्ति में हम इस सेल के ऊपर और इसके दाईं ओर की संख्याओं का गुणनफल लिखेंगे, जबकि हम स्लैश के ऊपर गुणनफल का दहाई अंक और उसके नीचे इकाई अंक लिखेंगे। अब हम इस ऑपरेशन को करते हुए दाएं से बाएं प्रत्येक तिरछी पट्टी में संख्याएं जोड़ते हैं। यदि राशि 10 से कम है तो हम इसे पट्टी के निचले नंबर के नीचे लिख देते हैं। यदि यह 10 से अधिक हो जाता है, तो हम योग का केवल इकाई अंक लिखते हैं, और दहाई अंक को अगले योग में जोड़ देते हैं। परिणामस्वरूप, हमें वांछित उत्पाद 10063 प्राप्त होता है।
गुणन की किसान विधि.
मेरी राय में, गुणन का सबसे "देशी" और सबसे आसान तरीका, रूसी किसानों द्वारा उपयोग की जाने वाली विधि है। इस तकनीक में संख्या 2 से परे गुणन सारणी के ज्ञान की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इसका सार यह है कि किन्हीं दो संख्याओं के गुणन को एक संख्या के क्रमिक विभाजनों की श्रृंखला में आधा कर दिया जाता है और साथ ही दूसरी संख्या को दोगुना कर दिया जाता है। आधे में विभाजित करना तब तक जारी रहता है जब तक कि भागफल 1 तक न पहुँच जाए, साथ ही दूसरी संख्या को दोगुना कर दिया जाता है। अंतिम दोगुनी संख्या वांछित परिणाम देती है।
यदि संख्या विषम है, तो एक को हटा दें और शेष को आधे में विभाजित करें; लेकिन दाएं कॉलम की अंतिम संख्या में आपको इस कॉलम की उन सभी संख्याओं को जोड़ना होगा जो बाएं कॉलम की विषम संख्याओं के विपरीत हैं: योग वांछित उत्पाद होगा
संगत संख्याओं के सभी युग्मों का गुणनफल समान होता है, इसलिए
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
ऐसी स्थिति में जब संख्याओं में से एक विषम हो या दोनों संख्याएँ विषम हों, तो निम्नानुसार आगे बढ़ें:
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
गुणा करने का एक नया तरीका.
गुणन की एक दिलचस्प नई विधि हाल ही में बताई गई है। नई मानसिक गणना प्रणाली के आविष्कारक, दर्शनशास्त्र के उम्मीदवार वासिली ओकोनेश्निकोव का दावा है कि एक व्यक्ति बड़ी मात्रा में जानकारी को याद रखने में सक्षम है, मुख्य बात यह है कि इस जानकारी को कैसे व्यवस्थित किया जाए। स्वयं वैज्ञानिक के अनुसार, इस संबंध में सबसे लाभप्रद नौ-गुना प्रणाली है - सभी डेटा को बस नौ कोशिकाओं में रखा जाता है, जो कैलकुलेटर पर बटन की तरह स्थित होते हैं।
ऐसी तालिका का उपयोग करके गणना करना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 15647 को 5 से गुणा करें। तालिका के पांच से संबंधित भाग में, संख्या के अंकों के अनुरूप संख्याओं को क्रम से चुनें: एक, पांच, छह, चार और सात। हमें मिलता है: 05 25 30 20 35
हम बाएं अंक (हमारे उदाहरण में शून्य) को अपरिवर्तित छोड़ते हैं, और निम्नलिखित संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं: दो के साथ पांच, तीन के साथ पांच, दो के साथ शून्य, तीन के साथ शून्य। अंतिम अंक भी अपरिवर्तित है.
परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है: 078235। संख्या 78235 गुणन का परिणाम है।
यदि दो अंकों को जोड़ने पर नौ से बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो उसका पहला अंक परिणाम के पिछले अंक में जोड़ दिया जाता है, और दूसरे को उसके "अपने" स्थान पर लिखा जाता है।
निष्कर्ष.
इस विषय पर काम करते समय, मुझे पता चला कि गुणा करने के लगभग 30 अलग-अलग, मज़ेदार और दिलचस्प तरीके हैं। कुछ अभी भी विभिन्न देशों में उपयोग किए जाते हैं। मैंने अपने लिए कुछ दिलचस्प तरीके चुने हैं। लेकिन सभी विधियों का उपयोग करना सुविधाजनक नहीं है, विशेषकर बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करते समय।
गुणन विधियाँ
प्राथमिक विद्यालय में गणित पर शोध कार्य
शोध कार्य का संक्षिप्त सारांशप्रत्येक स्कूली बच्चा जानता है कि एक कॉलम में बहु-अंकीय संख्याओं को कैसे गुणा किया जाए। इस काम में, लेखक प्राथमिक स्कूली बच्चों के लिए उपलब्ध गुणन के वैकल्पिक तरीकों के अस्तित्व पर ध्यान आकर्षित करता है, जो "कठिन" गणनाओं को एक मजेदार खेल में बदल सकता है।
कार्य विभिन्न ऐतिहासिक युगों में उपयोग की जाने वाली बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करने के छह अपरंपरागत तरीकों की जांच करता है: वी. ओकोनेश्निकोव की तालिका के अनुसार रूसी किसान, जाली, छोटा महल, चीनी, जापानी।
इस परियोजना का उद्देश्य अध्ययन किए जा रहे विषय में संज्ञानात्मक रुचि विकसित करना और गणित के क्षेत्र में ज्ञान को गहरा करना है।
विषयसूची
परिचय 3
अध्याय 1. गुणन की वैकल्पिक विधियाँ 4
1.1. थोड़ा इतिहास 4
1.2. गुणन की रूसी किसान विधि 4
1.3. "छोटा महल" विधि का उपयोग करके गुणा 5
1.4. "ईर्ष्या" या "जाली गुणन" विधि का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करना 5
1.5. गुणा करने का चीनी तरीका 5
1.6. गुणा करने का जापानी तरीका 6
1.7. ओकोनेश्निकोव तालिका 6
1.8.स्तंभ द्वारा गुणन. 7
अध्याय 2. व्यावहारिक भाग 7
2.1. किसान रास्ता 7
2.2. छोटा महल 7
2.3. "ईर्ष्या" या "जाली गुणन" विधि का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करना 7
2.4. चीनी तरीका 8
2.5. जापानी पद्धति 8
2.6. ओकोनेश्निकोव तालिका 8
2.7. प्रश्न 8
निष्कर्ष 9
परिशिष्ट 10
"गणित का विषय इतना गंभीर विषय है कि इसे थोड़ा मनोरंजक बनाने के लिए हर अवसर का लाभ उठाना अच्छा है।"
बी पास्कल
परिचय
किसी व्यक्ति के लिए रोजमर्रा की जिंदगी में गणनाओं के बिना काम करना असंभव है। इसलिए, गणित के पाठों में, हमें सबसे पहले संख्याओं के साथ संक्रियाएँ करना, यानी गिनती करना सिखाया जाता है। हम स्कूल में सीखे जाने वाले सामान्य तरीकों से गुणा, भाग, जोड़ और घटाव करते हैं। प्रश्न उठा: क्या गणना की कोई अन्य वैकल्पिक विधियाँ हैं? मैं उनका और अधिक विस्तार से अध्ययन करना चाहता था। इन्हीं सवालों के जवाब की तलाश में यह अध्ययन किया गया।
अध्ययन का उद्देश्य: गुणन के अपरंपरागत तरीकों की पहचान करना और उनके अनुप्रयोग की संभावना का अध्ययन करना।
लक्ष्य के अनुसार, हमने निम्नलिखित कार्य तैयार किए:
- गुणन के यथासंभव असामान्य तरीके खोजें।
- उनका उपयोग करना सीखें.
- अपने लिए स्कूल में दी जाने वाली पेशकशों की तुलना में सबसे दिलचस्प या आसान विकल्प चुनें और गिनती करते समय उनका उपयोग करें।
- अभ्यास में बहु-अंकीय संख्याओं के गुणन की जाँच करें।
- चौथी कक्षा के विद्यार्थियों का सर्वेक्षण करें
अध्ययन का उद्देश्य:बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करने के लिए विभिन्न गैर-मानक एल्गोरिदम
अध्ययन का विषय: गणितीय क्रिया "गुणा"
परिकल्पना: यदि बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करने के मानक तरीके हैं, तो शायद वैकल्पिक तरीके भी हैं।
प्रासंगिकता: गुणन की वैकल्पिक विधियों के बारे में ज्ञान का प्रसार।
व्यवहारिक महत्व. काम के दौरान, कई उदाहरण हल किए गए और एक एल्बम बनाया गया, जिसमें कई वैकल्पिक तरीकों से बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करने के लिए विभिन्न एल्गोरिदम वाले उदाहरण शामिल थे। इससे सहपाठियों को अपने गणितीय क्षितिज का विस्तार करने और नए प्रयोगों की शुरुआत के रूप में काम करने में रुचि हो सकती है।
अध्याय 1. गुणन की वैकल्पिक विधियाँ
1.1. थोड़ा इतिहासगणना की जो विधियाँ हम अब उपयोग करते हैं वे हमेशा इतनी सरल और सुविधाजनक नहीं थीं। पुराने दिनों में अधिक बोझिल और धीमी तकनीकों का उपयोग किया जाता था। और यदि कोई आधुनिक स्कूली छात्र पाँच सौ साल पीछे जा सके, तो वह अपनी गणनाओं की गति और सटीकता से सभी को आश्चर्यचकित कर देगा। उनके बारे में अफवाहें आसपास के स्कूलों और मठों में फैल गई होंगी, जिससे उस युग के सबसे कुशल कैलकुलेटर की महिमा खराब हो जाएगी, और लोग नए महान गुरु के साथ अध्ययन करने के लिए हर जगह से आएंगे।
पुराने दिनों में गुणा और भाग की संक्रियाएँ विशेष रूप से कठिन थीं।
वी. बेलस्टिन की पुस्तक "कैसे लोग धीरे-धीरे वास्तविक अंकगणित तक पहुंचे" में गुणन की 27 विधियों की रूपरेखा दी गई है, और लेखक नोट करता है: "यह बहुत संभव है कि पुस्तक भंडारों के अवकाशों में अन्य विधियां छिपी हुई हैं, जो असंख्य में बिखरी हुई हैं, मुख्य रूप से हस्तलिखित हैं संग्रह।" और ये सभी गुणन तकनीकें एक-दूसरे से प्रतिस्पर्धा करती थीं और बड़ी कठिनाई से सीखी जाती थीं।
आइए गुणन के सबसे दिलचस्प और सरल तरीकों पर नजर डालें।
1.2. गुणन की रूसी किसान विधि
रूस में, 2-3 शताब्दियों पहले, कुछ प्रांतों में किसानों के बीच एक ऐसी विधि व्यापक थी जिसके लिए संपूर्ण गुणन सारणी के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती थी। आपको बस 2 से गुणा और भाग करने में सक्षम होना था। इस विधि को किसान विधि कहा जाता था।
दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, उन्हें एक साथ लिखा जाता था, और फिर बाईं संख्या को 2 से विभाजित किया जाता था, और दाईं संख्या को 2 से गुणा किया जाता था। परिणाम एक कॉलम में तब तक लिखे जाते थे जब तक कि 1 बाईं ओर न रह जाए। शेष को हटा दिया जाता था। उन पंक्तियों को काट दें जिनमें बायीं ओर सम संख्याएँ हों। हम शेष संख्याओं को दाएँ कॉलम में जोड़ते हैं।
1.3. "छोटा महल" विधि का उपयोग करके गुणन
इतालवी गणितज्ञ लुका पैसिओली ने अपने ग्रंथ "अंकगणित, अनुपात और आनुपातिकता का सुम्मा" (1494) में गुणन की आठ अलग-अलग विधियाँ दी हैं। उनमें से पहले को "लिटिल कैसल" कहा जाता है।
"लिटिल कैसल" गुणन विधि का लाभ यह है कि अग्रणी अंक शुरू से ही निर्धारित होते हैं, और यह महत्वपूर्ण हो सकता है यदि आपको किसी मूल्य का तुरंत अनुमान लगाने की आवश्यकता हो।
सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करके ऊपरी संख्या के अंकों को बारी-बारी से निचली संख्या से गुणा किया जाता है और शून्य की आवश्यक संख्या जोड़कर एक कॉलम में लिखा जाता है। फिर परिणाम जोड़े जाते हैं।
1.4. "ईर्ष्या" या "जाली गुणन" विधि का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करना
लुका पैसिओली की दूसरी विधि को "ईर्ष्या" या "जाली गुणन" कहा जाता है।
सबसे पहले, एक आयत बनाया जाता है, जिसे वर्गों में विभाजित किया जाता है। फिर वर्गाकार कोशिकाओं को तिरछे विभाजित किया जाता है और "...परिणाम जाली शटर के समान एक तस्वीर है," पैसिओली लिखते हैं। "इस तरह के शटर वेनिस के घरों की खिड़कियों पर लटकाए गए थे, जिससे सड़क से गुजरने वाले राहगीरों को खिड़कियों पर बैठी महिलाओं और ननों को देखने से रोका जा सके।"
पहले कारक के प्रत्येक अंक को दूसरे कारक के प्रत्येक अंक से गुणा करके, उत्पादों को संबंधित कोशिकाओं में लिखा जाता है, दहाई को विकर्ण के ऊपर और एक को उसके नीचे रखकर। तिरछी धारियों में अंकों को जोड़कर उत्पाद के अंक प्राप्त किये जाते हैं। परिवर्धन के परिणाम तालिका के नीचे और उसके दाईं ओर लिखे गए हैं।
1.5. गुणन का चीनी तरीका
अब आइए गुणन विधि का परिचय दें, जिसकी इंटरनेट पर जोरदार चर्चा है, जिसे चीनी कहा जाता है। संख्याओं को गुणा करते समय, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की गणना की जाती है, जो दोनों कारकों के प्रत्येक अंक के अंकों की संख्या के अनुरूप होती है।
1.6. गुणन का जापानी तरीका
गुणन की जापानी विधि वृत्तों और रेखाओं का उपयोग करके एक ग्राफिकल विधि है। चीनी से कम मज़ेदार और दिलचस्प नहीं। यहां तक कि कुछ हद तक उनसे मिलता जुलता भी.
1.7. ओकोनेश्निकोव तालिका
नई मानसिक गिनती प्रणाली के अंशकालिक आविष्कारक, दर्शनशास्त्र के उम्मीदवार वासिली ओकोनेश्निकोव का मानना है कि स्कूली बच्चे मौखिक रूप से लाखों, अरबों और यहां तक कि सेक्स्टिलियन और क्वाड्रिलियन को जोड़ना और गुणा करना सीख सकेंगे। स्वयं वैज्ञानिक के अनुसार, इस संबंध में सबसे लाभप्रद नौ-गुना प्रणाली है - सभी डेटा को बस नौ कोशिकाओं में रखा जाता है, जो कैलकुलेटर पर बटन की तरह स्थित होते हैं।
वैज्ञानिक के अनुसार कंप्यूटिंग "कंप्यूटर" बनने से पहले उसके द्वारा बनाई गई तालिका को याद करना आवश्यक है।
तालिका को 9 भागों में विभाजित किया गया है। वे एक मिनी कैलकुलेटर के सिद्धांत के अनुसार स्थित हैं: निचले बाएँ कोने में "1", ऊपरी दाएँ कोने में "9"। प्रत्येक भाग 1 से 9 तक की संख्याओं के लिए एक गुणन तालिका है (उसी "पुश-बटन" प्रणाली का उपयोग करके)। किसी भी संख्या को, उदाहरण के लिए, 8 से गुणा करने के लिए, हम संख्या 8 के अनुरूप एक बड़ा वर्ग ढूंढते हैं और इस वर्ग से बहु-अंकीय गुणक के अंकों के अनुरूप संख्याएँ लिखते हैं। हम परिणामी संख्याओं को अलग-अलग जोड़ते हैं: पहला अंक अपरिवर्तित रहता है, और बाकी सभी को जोड़े में जोड़ा जाता है। परिणामी संख्या गुणन का परिणाम होगी।
यदि दो अंकों को जोड़ने पर नौ से बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो उसका पहला अंक परिणाम के पिछले अंक में जोड़ दिया जाता है, और दूसरे को उसके "अपने" स्थान पर लिखा जाता है।
नई तकनीक का परीक्षण कई रूसी स्कूलों और विश्वविद्यालयों में किया गया। रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय ने सामान्य पायथागॉरियन तालिका के साथ-साथ चेकर्ड नोटबुक में एक नई गुणन तालिका के प्रकाशन की अनुमति दी है - अभी के लिए, केवल परिचित होने के लिए।
1.8. स्तम्भ गुणन.
बहुत से लोग यह नहीं जानते हैं कि एक बहु-अंकीय संख्या को एक कॉलम द्वारा बहु-अंकीय संख्या से गुणा करने की हमारी सामान्य विधि के लेखक को एडम रिसे (परिशिष्ट 7) माना जाना चाहिए। यह एल्गोरिथम सबसे सुविधाजनक माना जाता है।
अध्याय 2. व्यावहारिक भाग
गुणन की सूचीबद्ध विधियों में महारत हासिल करते हुए, कई उदाहरण हल किए गए, और विभिन्न गणना एल्गोरिदम के नमूनों के साथ एक एल्बम तैयार किया गया। (आवेदन पत्र)। आइए उदाहरणों का उपयोग करके गणना एल्गोरिथ्म को देखें।
2.1. किसान रास्ता
47 को 35 से गुणा करें (परिशिष्ट 1),
-संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें, उनके बीच एक लंबवत रेखा खींचें;
-बाएं नंबर को 2 से विभाजित किया जाएगा, दाएं नंबर को 2 से गुणा किया जाएगा (यदि विभाजन के दौरान शेष बचता है, तो शेष को छोड़ दिया जाएगा);
- जब एक इकाई बाईं ओर दिखाई देती है तो विभाजन समाप्त हो जाता है;
-उन पंक्तियों को काट दें जिनमें बायीं ओर सम संख्याएँ हों;
-हम दाहिनी ओर की शेष संख्याओं को जोड़ते हैं - यह परिणाम है।
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
निष्कर्ष। यह विधि सुविधाजनक है क्योंकि इसमें केवल 2 के लिए तालिका जानना पर्याप्त है। हालाँकि, बड़ी संख्याओं के साथ काम करते समय यह बहुत बोझिल होता है। दो अंकों की संख्या के साथ काम करने के लिए सुविधाजनक।
2.2. छोटा महल
(परिशिष्ट 2)। निष्कर्ष। यह विधि हमारे आधुनिक "कॉलम" के समान है। इसके अलावा, उच्चतम अंकों की संख्या तुरंत निर्धारित की जाती है। यदि आपको किसी मूल्य का त्वरित अनुमान लगाने की आवश्यकता हो तो यह महत्वपूर्ण हो सकता है।
2.3. "ईर्ष्या" या "जाली गुणन" विधि का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करना
आइए, उदाहरण के लिए, संख्याओं 6827 और 345 को गुणा करें (परिशिष्ट 3):
1. एक वर्गाकार ग्रिड बनाएं और स्तंभों के ऊपर एक कारक लिखें, और दूसरा - ऊंचाई के साथ।
2. प्रत्येक पंक्ति की संख्या को प्रत्येक कॉलम की संख्या से क्रमिक रूप से गुणा करें। हम क्रमिक रूप से 3 को 6 से, 8 से, 2 से और 7 से गुणा करते हैं, आदि।
4. विकर्ण धारियों के बाद की संख्याएँ जोड़ें। यदि एक विकर्ण के योग में दहाई होती है, तो उन्हें अगले विकर्ण में जोड़ें।
विकर्णों के अनुदिश संख्याओं को जोड़ने के परिणाम से, संख्या 2355315 बनती है, जो संख्या 6827 और 345 का गुणनफल है, अर्थात 6827 ∙ 345 = 2355315।
निष्कर्ष। "जाली गुणन" विधि आम तौर पर स्वीकृत विधि से भी बदतर नहीं है। यह और भी सरल है, क्योंकि संख्याओं को मानक विधि में मौजूद एक साथ जोड़ के बिना गुणन तालिका से सीधे तालिका की कोशिकाओं में दर्ज किया जाता है।
2.4. चीनी तरीका
मान लीजिए आपको 12 को 321 से गुणा करना है (परिशिष्ट 4)। कागज की एक शीट पर हम एक-एक करके रेखाएँ खींचते हैं, जिनकी संख्या इस उदाहरण से निर्धारित होती है।
हम पहली संख्या - 12 निकालते हैं। ऐसा करने के लिए, ऊपर से नीचे, बाएँ से दाएँ, हम निकालते हैं:
एक हरी छड़ी (1)
और दो नारंगी (2).
दूसरी संख्या - 321, नीचे से ऊपर, बाएँ से दाएँ खींचिए:
तीन नीली छड़ियाँ (3);
दो लाल (2);
एक बकाइन (1)।
अब, एक साधारण पेंसिल का उपयोग करके, हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं को अलग करते हैं और उन्हें गिनना शुरू करते हैं। हम दाएं से बाएं (घड़ी की दिशा में) चलते हैं: 2, 5, 8, 3।
आइए परिणाम को बाएं से दाएं पढ़ें - 3852
निष्कर्ष। एक दिलचस्प तरीका, लेकिन 9 से गुणा करने पर 9 सीधी रेखाएँ खींचना, और फिर प्रतिच्छेदन बिंदुओं को गिनना किसी तरह लंबा और अरुचिकर है। बिना कौशल के संख्याओं के अंकों में विभाजन को समझना कठिन है। सामान्य तौर पर, आप गुणन सारणी के बिना नहीं रह सकते!
2.5. जापानी तरीका
आइए 12 को 34 से गुणा करें (परिशिष्ट 5)। चूँकि दूसरा गुणनखंड दो अंकों की संख्या है, और पहले गुणनखंड का पहला अंक 1 है, हम शीर्ष रेखा में दो एकल वृत्त और निचली रेखा में दो बाइनरी वृत्त बनाते हैं, क्योंकि पहले गुणनखंड का दूसरा अंक 2 है। .
चूँकि दूसरे गुणनखंड का पहला अंक 3 है, और दूसरा 4 है, हम पहले स्तंभ के वृत्तों को तीन भागों में और दूसरे स्तंभ के वृत्तों को चार भागों में विभाजित करते हैं।
वृत्तों को जिन भागों में बाँटा गया, उनकी संख्या ही उत्तर है, अर्थात् 12 x 34 = 408।
निष्कर्ष। यह विधि चीनी ग्राफ़िक से काफी मिलती-जुलती है। केवल सीधी रेखाओं को वृत्तों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। किसी संख्या के अंक निर्धारित करना आसान है, लेकिन वृत्त बनाना कम सुविधाजनक है।
2.6. ओकोनेश्निकोव तालिका
आपको 15647 x 5 को गुणा करने की आवश्यकता है। हम तुरंत बड़े "बटन" 5 को याद करते हैं (यह बीच में है) और मानसिक रूप से उस पर छोटे बटन 1, 5, 6, 4, 7 ढूंढते हैं (वे भी कैलकुलेटर की तरह स्थित होते हैं) . वे संख्याओं 05, 25, 30, 20, 35 के अनुरूप हैं। हम परिणामी संख्याओं को जोड़ते हैं: पहला अंक 0 है (अपरिवर्तित रहता है), 5 को मानसिक रूप से 2 में जोड़ा जाता है, हमें 7 मिलता है - यह परिणाम का दूसरा अंक है , 3 में 5 जोड़ने पर हमें तीसरा अंक मिलता है - 8 , 0+2=2, 0+3=3 और गुणनफल का अंतिम अंक बचता है - 5. परिणाम 78,235 है।
निष्कर्ष। विधि बहुत सुविधाजनक है, लेकिन आपको इसे दिल से सीखना होगा या हमेशा हाथ में एक टेबल रखनी होगी।
2.7. छात्र सर्वेक्षण
चौथी कक्षा के विद्यार्थियों का एक सर्वेक्षण किया गया। 26 लोगों ने भाग लिया (परिशिष्ट 8)। सर्वेक्षण के आधार पर, यह पता चला कि सभी उत्तरदाता पारंपरिक तरीके से गुणा करना जानते थे। लेकिन अधिकांश लोग गुणन की गैर-पारंपरिक विधियों के बारे में नहीं जानते हैं। और ऐसे लोग भी हैं जो उन्हें जानना चाहते हैं।
प्रारंभिक सर्वेक्षण के बाद, एक पाठ्येतर पाठ "जुनून के साथ गुणन" आयोजित किया गया, जहां बच्चे वैकल्पिक गुणन एल्गोरिदम से परिचित हुए। उसके बाद, उन तरीकों की पहचान करने के लिए एक सर्वेक्षण किया गया जो हमें सबसे ज्यादा पसंद आए। निर्विवाद नेता वासिली ओकोनेश्निकोव की सबसे आधुनिक पद्धति थी। (परिशिष्ट 9)
निष्कर्ष
प्रस्तुत सभी विधियों का उपयोग करके गिनना सीख लेने के बाद, मेरा मानना है कि गुणन की सबसे सुविधाजनक विधि "लिटिल कैसल" विधि है - आखिरकार, यह हमारी वर्तमान विधि के समान ही है!
गिनती के जितने भी असामान्य तरीके मुझे मिले, उनमें से "जापानी" पद्धति अधिक दिलचस्प लगी। मुझे सबसे सरल तरीका "दोहरा करना और विभाजित करना" लगा, जिसका उपयोग रूसी किसानों द्वारा किया जाता था। मैं इसका प्रयोग बहुत बड़ी संख्याओं को गुणा करते समय करता हूँ। दो अंकों की संख्याओं को गुणा करते समय इसका उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है।
इस प्रकार, मैंने अपने शोध का लक्ष्य हासिल कर लिया - मैंने बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करने के अपरंपरागत तरीकों का अध्ययन किया और उनका उपयोग करना सीखा। मेरी परिकल्पना की पुष्टि हुई - मैंने छह वैकल्पिक तरीकों में महारत हासिल की और पाया कि ये सभी संभावित एल्गोरिदम नहीं हैं।
जिन गैर-पारंपरिक गुणन विधियों का मैंने अध्ययन किया है वे बहुत दिलचस्प हैं और अस्तित्व में रहने का अधिकार रखती हैं। और कुछ मामलों में उनका उपयोग करना और भी आसान है। मेरा मानना है कि आप स्कूल, घर पर इन तरीकों के अस्तित्व के बारे में बात कर सकते हैं और अपने दोस्तों और परिचितों को आश्चर्यचकित कर सकते हैं।
अभी तक हमने गुणन की पहले से ज्ञात विधियों का ही अध्ययन और विश्लेषण किया है। लेकिन कौन जानता है, शायद भविष्य में हम स्वयं गुणन के नए तरीके खोजने में सक्षम होंगे। इसके अलावा, मैं वहां रुकना नहीं चाहता और गुणन की अपरंपरागत विधियों का अध्ययन जारी रखना चाहता हूं।
सूचना स्रोतों की सूची
1. सन्दर्भ
1.1. हारुत्युनयन ई., लेविटास जी. मनोरंजक गणित। - एम.: एएसटी - प्रेस, 1999. - 368 पी।
1.2. बेलुस्टिना वी. लोग धीरे-धीरे वास्तविक अंकगणित तक कैसे पहुंचे। - एलकेआई, 2012.-208 पी।
1.3. डेपमैन आई. गणित के बारे में कहानियाँ। – लेनिनग्राद: शिक्षा, 1954. – 140 पी.
1.4. लिकुम ए. हर चीज़ के बारे में सब कुछ। टी. 2. - एम.: फिलोलॉजिकल सोसायटी "स्लोवो", 1993. - 512 पी।
1.5. ओलेहनिक एस.एन., नेस्टरेंको यू.वी., पोटापोव एम.के.. पुरानी मनोरंजक समस्याएं। - एम.: विज्ञान. भौतिक और गणितीय साहित्य का मुख्य संपादकीय कार्यालय, 1985। - 160 पी।
1.6. पेरेलमैन वाई.आई. दिलचस्प अंकगणित. - एम.: रुसानोवा, 1994 - 205 पी।
1.7. पेरेलमैन वाई.आई. त्वरित गिनती. तीस सरल मानसिक गिनती तकनीकें। एल.: लेनिज़दत, 1941 - 12 पी।
1.8. सविन ए.पी. गणितीय लघुचित्र. बच्चों के लिए मनोरंजक गणित. - एम.: बाल साहित्य, 1998 - 175 पी।
1.9. बच्चों के लिए विश्वकोश. अंक शास्त्र। - एम.: अवंता+, 2003. - 688 पी.
1.10. मैं दुनिया का अन्वेषण करता हूँ: बच्चों का विश्वकोश: गणित / COMP। सविन ए.पी., स्टैंज़ो वी.वी., कोटोवा ए.यू. - एम.: एएसटी पब्लिशिंग हाउस एलएलसी, 2000. - 480 पी।
2. जानकारी के अन्य स्रोत
इंटरनेट संसाधन:
2.1. कोर्निव ए.ए. रूसी गुणन की घटना। कहानी। [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]
प्रकाशित 20.04.2012
ऐलेना पेत्रोव्ना कारिंस्काया को समर्पित
,
मेरे स्कूल के गणित शिक्षक और कक्षा शिक्षक को
अल्माटी, आरओएफएमएसएच, 1984-1987
"विज्ञान तभी पूर्णता तक पहुंचता है जब वह गणित का उपयोग करने में सफल हो जाता है". कार्ल हेनरिक मार्क्स
ये शब्द हमारी गणित कक्षा में ब्लैकबोर्ड के ऊपर अंकित थे ;-)
कंप्यूटर विज्ञान पाठ(व्याख्यान सामग्री और कार्यशालाएँ)
गुणन क्या है?
यह जोड़ने की क्रिया है.
लेकिन बहुत सुखद नहीं
क्योंकि कई बार...
टिम सोबाकिन
आइए इस क्रिया को करने का प्रयास करें
आनंददायक और रोमांचक ;-)
गुणन सारणी के बिना गुणन की विधियाँ (दिमाग के लिए जिम्नास्टिक)
मैं हरे पन्नों के पाठकों को गुणन की दो विधियाँ प्रदान करता हूँ जिनमें गुणन सारणी का उपयोग नहीं होता है;-) मुझे आशा है कि कंप्यूटर विज्ञान के शिक्षकों को यह सामग्री पसंद आएगी, जिसका उपयोग वे पाठ्येतर कक्षाओं का संचालन करते समय कर सकते हैं।
यह पद्धति रूसी किसानों के बीच आम थी और प्राचीन काल से उन्हें विरासत में मिली थी। इसका सार यह है कि किन्हीं दो संख्याओं के गुणन को एक संख्या के क्रमिक विभाजनों की श्रृंखला में आधा कर दिया जाता है जबकि साथ ही दूसरी संख्या को दोगुना कर दिया जाता है, इस मामले में गुणन सारणी की कोई आवश्यकता नहीं है :-)
आधे में विभाजित करना तब तक जारी रहता है जब तक कि भागफल 1 न हो जाए, साथ ही दूसरी संख्या को दोगुना कर दिया जाता है। अंतिम दोगुनी संख्या वांछित परिणाम देती है(चित्र 1)। यह समझना मुश्किल नहीं है कि यह विधि किस पर आधारित है: यदि एक कारक को आधा कर दिया जाए और दूसरे को दोगुना कर दिया जाए तो उत्पाद नहीं बदलता है। इसलिए, यह स्पष्ट है कि इस ऑपरेशन को बार-बार दोहराने के परिणामस्वरूप वांछित उत्पाद प्राप्त होता है।
हालाँकि, अगर आपको करना ही पड़े तो आपको क्या करना चाहिए एक विषम संख्या को आधा करें? इस स्थिति में, हम विषम संख्या में से एक को हटाते हैं और शेष को आधे में विभाजित करते हैं, जबकि दाएं कॉलम की अंतिम संख्या में हमें इस कॉलम में उन सभी संख्याओं को जोड़ना होगा जो बाएं कॉलम में विषम संख्याओं के विपरीत हैं - योग आवश्यक उत्पाद होगा (आंकड़े: 2, 3)।
दूसरे शब्दों में, हम सम बायीं संख्याओं वाली सभी पंक्तियों को काट देते हैं; छोड़ें और फिर जोड़ें संख्याएँ नहीं काटी गईंदक्षिण पक्ष क़तार।
चित्र 2 के लिए: 192 + 48 + 12 = 252
रिसेप्शन की शुद्धता स्पष्ट हो जाएगी यदि हम इस पर ध्यान दें:
5× 48
= (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21× 12
= (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
यह स्पष्ट है कि संख्याएँ 48
, 12
, एक विषम संख्या को आधे में विभाजित करते समय खो जाने पर, उत्पाद प्राप्त करने के लिए अंतिम गुणन के परिणाम में जोड़ा जाना चाहिए।
गुणन की रूसी पद्धति एक ही समय में सुरुचिपूर्ण और असाधारण दोनों है ;-)
§ तार्किक समस्या के बारे में ज़मेया गोरींच और प्रसिद्ध रूसी नायकपर हरा पृष्ठ "किस नायक ने सर्प गोरींच को हराया?"
तार्किक बीजगणित का उपयोग करके तार्किक समस्याओं को हल करना
उन लोगों के लिए जो सीखना पसंद करते हैं!उनके लिए जो खुश हैं दिमाग के लिए जिम्नास्टिक ;-)
§ सारणीबद्ध विधि का उपयोग करके तार्किक समस्याओं का समाधान करना
आइए बातचीत जारी रखें :-)
चीनी??? गुणन की रेखांकन विधि
मेरे बेटे ने मुझे गुणन की इस विधि से परिचित कराया, उसने जटिल चित्रों के रूप में तैयार समाधानों के साथ एक नोटबुक से कागज के कई टुकड़े मेरे पास रख दिए। एल्गोरिथम को समझने की प्रक्रिया में उबाल आने लगा गुणन का एक आरेखण तरीका :-)स्पष्टता के लिए, मैंने रंगीन पेंसिलों की मदद लेने का फैसला किया, और... जूरी के सज्जनों, बर्फ टूट गई :-)
मैं आपके ध्यान में रंगीन चित्रों में (ऊपरी दाएं कोने में) तीन उदाहरण लाता हूं चेक पोस्ट).
उदाहरण 1: 12
× 321
= 3852
आओ बनाते हैं पहला नंबरऊपर से नीचे, बाएँ से दाएँ: एक हरी छड़ी ( 1
); दो नारंगी छड़ें ( 2
). 12
आकर्षित :-)
आओ बनाते हैं दूसरा नंबरनीचे से ऊपर, बाएँ से दाएँ: तीन छोटी नीली छड़ियाँ ( 3
); दो लाल वाले ( 2
); एक बकाइन एक ( 1
). 321
आकर्षित :-)
अब, एक साधारण पेंसिल का उपयोग करके, हम चित्र पर चलेंगे, छड़ी संख्याओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को भागों में विभाजित करेंगे और बिंदुओं की गिनती शुरू करेंगे। दाएँ से बाएँ (घड़ी की दिशा में) घूमना: 2 , 5 , 8 , 3 . परिणाम क्रमांकहम बाएँ से दाएँ (वामावर्त) "इकट्ठा" करेंगे और... वोइला, हमें मिल गया 3852 :-)
उदाहरण #2: 24
× 34
= 816
इस उदाहरण में बारीकियाँ हैं;-) पहले भाग में अंक गिनने पर यह पता चला 16
. हम एक भेजते हैं और इसे दूसरे भाग के बिंदुओं में जोड़ते हैं ( 20 + 1
)…
उदाहरण #3: 215
× 741
= 159315
कोई टिप्पणी नहीं:-)
सबसे पहले, यह मुझे कुछ हद तक दिखावटी लगा, लेकिन साथ ही दिलचस्प और आश्चर्यजनक रूप से सामंजस्यपूर्ण भी लगा। पांचवें उदाहरण में, मैंने खुद को यह सोचते हुए पाया कि गुणन हो रहा है :-) और यह काम करता है ऑटोपायलट मोड में: बनाएं, बिंदु गिनें, हमें गुणन सारणी याद नहीं है, ऐसा लगता है जैसे हम इसे बिल्कुल नहीं जानते :-)))
ईमानदारी से कहूँ तो जाँच करते समय गुणन की ड्राइंग विधिऔर स्तंभ गुणन की ओर मुड़ते हुए, और एक या दो से अधिक बार, मेरी शर्म की बात है, मैंने कुछ मंदी देखी, यह दर्शाता है कि मेरी गुणन तालिका कुछ स्थानों पर खराब हो गई थी: - (और आपको इसे नहीं भूलना चाहिए। अधिक "गंभीर" के साथ काम करते समय नंबर गुणन की ड्राइंग विधिबहुत भारी हो गया, और कॉलम से गुणायह एक खुशी थी.
पहाड़ा(नोटबुक के पीछे का स्केच)
पी.एस.: मूल सोवियत स्तंभ की महिमा और प्रशंसा!
निर्माण के संदर्भ में, विधि सरल और संक्षिप्त है, बहुत तेज़ है, आपकी याददाश्त को प्रशिक्षित करता है - आपको गुणन सारणी को भूलने से रोकता है :-)और इसलिए, मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप और आप, यदि संभव हो तो, फोन और कंप्यूटर पर कैलकुलेटर के बारे में भूल जाएं ;-) और समय-समय पर खुद को गुणा में व्यस्त रखें। अन्यथा फिल्म "राइज़ ऑफ़ द मशीन्स" का कथानक सिनेमा स्क्रीन पर नहीं, बल्कि हमारी रसोई या हमारे घर के बगल के लॉन में सामने आएगा...
बाएं कंधे पर तीन बार..., लकड़ी पर दस्तक... :-))) ...और सबसे महत्वपूर्ण मानसिक जिम्नास्टिक के बारे में मत भूलना!
जिज्ञासु के लिए: गुणा[×] या [·] द्वारा दर्शाया गया है
[×] चिन्ह एक अंग्रेजी गणितज्ञ द्वारा प्रस्तुत किया गया था विलियम ऑउट्रेड 1631 में.
यह चिह्न [ · ] एक जर्मन वैज्ञानिक द्वारा प्रस्तुत किया गया था गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ 1698 में.
पत्र पदनाम में इन चिह्नों को छोड़ दिया जाता है और उनके स्थान पर ए × बीया ए · बीलिखना अब.
वेबमास्टर के गुल्लक में: HTML में कुछ गणितीय प्रतीक
| ° | ° या ° | डिग्री |
| ± | ± या ± | फायदा या नुकसान |
| ¼ | ¼ या ¼ | अंश - एक चौथाई |
| ½ | ½ या ½ | अंश - एक आधा |
| ¾ | ¾ या ¾ | अंश - तीन चौथाई |
| × | × या × | गुणन चिन्ह |
| ÷ | ÷ या ÷ | विभाजन चिह्न |
| ƒ | फू या फू | कार्य चिन्ह |
| ′ | ' या ' | एकल स्ट्रोक - मिनट और फीट |
| ″ | " या " | डबल प्राइम - सेकंड और इंच |
| ≈ | ≈ या ≈ | लगभग बराबर चिह्न |
| ≠ | ≠ या ≠ | समान चिन्ह नहीं |
| ≡ | ≡ या ≡ | हूबहू |
| > | >या > | अधिक |
| < | < или | कम |
| ≥ | ≥ या ≥ | अधिक या बराबर |
| ≤ | ≤ या ≤ | कम या बराबर |
| ∑ | ∑ या ∑ | योग चिह्न |
| √ | √ या √ | वर्गमूल (मूल) |
| ∞ | ∞ या ∞ | अनंत |
| Ø | Ø या Ø | व्यास |
| ∠ | ∠ या ∠ | कोना |
| ⊥ | ⊥ या ⊥ | सीधा |
नगर शैक्षणिक संस्थान "कुरोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय नंबर 6"
विषय पर गणित पर सार:
« गुणन के असामान्य तरीके».
ग्रेड 6 "बी" के एक छात्र द्वारा पूरा किया गया
क्रेस्टनिकोव वसीली।
पर्यवेक्षक:
स्मिरनोवा तात्याना व्लादिमीरोवाना।
परिचय…………………………………………………………………………2
मुख्य हिस्सा। गुणन के असामान्य तरीके…………………………3
2.1. थोड़ा इतिहास………………………………………………………….3
2.2. अंगुलियों पर गुणन……………………………………………………4
2.3. 9 से गुणा……………………………………………………………………5
2.4. गुणा करने का भारतीय तरीका………………………………………….6
2.5. "स्मॉल कैसल" विधि का उपयोग करके गुणन………………………………7
2.6. "ईर्ष्या" विधि का उपयोग करके गुणन………………………………………………8
2.7. गुणन की किसान विधि………………………………………….9
2.8 नया तरीका…………………………………………………………………….10
निष्कर्ष…………………………………………………………………………11
सन्दर्भ…………………………………………………….1 2
मैं. परिचय.
किसी व्यक्ति के लिए रोजमर्रा की जिंदगी में गणनाओं के बिना काम करना असंभव है। इसलिए गणित के पाठों में सबसे पहले हमें संख्याओं पर संक्रियाएँ करना अर्थात् गिनती करना सिखाया जाता है। हम स्कूल में सीखे जाने वाले सामान्य तरीकों से गुणा, भाग, जोड़ और घटाव करते हैं।
एक दिन मुझे गलती से एस. एन. ओलेहनिक, यू. वी. नेस्टरेंको और एम. के. पोटापोव की एक किताब मिल गई "प्राचीन मनोरंजक समस्याएं।" इस पुस्तक को पढ़ते समय, मेरा ध्यान "उंगलियों पर गुणन" नामक पृष्ठ पर गया। यह पता चला कि आप न केवल गुणा कर सकते हैं, जैसा कि हमें गणित की पाठ्यपुस्तकों में सुझाया गया है। मैं सोच रहा था कि क्या गणना की कोई अन्य विधियाँ हैं। आख़िरकार, शीघ्रता से गणना करने की क्षमता स्पष्ट रूप से आश्चर्यजनक है।
आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के निरंतर उपयोग से यह तथ्य सामने आता है कि छात्रों को अपने पास टेबल या गणना मशीन के बिना कोई भी गणना करने में कठिनाई होती है। सरलीकृत गणना तकनीकों का ज्ञान न केवल दिमाग में सरल गणनाओं को जल्दी से निष्पादित करना संभव बनाता है, बल्कि मशीनीकृत गणनाओं के परिणामस्वरूप त्रुटियों को नियंत्रित करना, मूल्यांकन करना, ढूंढना और सही करना भी संभव बनाता है। इसके अलावा, कम्प्यूटेशनल कौशल में महारत हासिल करने से स्मृति विकसित होती है, सोच की गणितीय संस्कृति का स्तर बढ़ता है और भौतिक और गणितीय चक्र के विषयों में पूरी तरह से महारत हासिल करने में मदद मिलती है।
कार्य का लक्ष्य:
असामान्य दिखाएँगुणन की विधियाँ.
कार्य:
जितना संभव हो उतने खोजेंगणना के असामान्य तरीके.
उनका उपयोग करना सीखें.
अपने लिए उनमें से सबसे दिलचस्प या आसान विकल्प चुनेंपेशकश कर रहे हैंस्कूल में, और गिनती करते समय उनका उपयोग करें।
द्वितीय. मुख्य हिस्सा। गुणन के असामान्य तरीके.
2.1. थोड़ा इतिहास.
गणना की जो विधियाँ हम अब उपयोग करते हैं वे हमेशा इतनी सरल और सुविधाजनक नहीं थीं। पुराने दिनों में अधिक बोझिल और धीमी तकनीकों का उपयोग किया जाता था। और यदि 21वीं सदी का कोई स्कूली बच्चा पाँच शताब्दियों पीछे की यात्रा कर सके, तो वह अपनी गणनाओं की गति और सटीकता से हमारे पूर्वजों को आश्चर्यचकित कर देगा। उनके बारे में अफवाहें आसपास के स्कूलों और मठों में फैल गई होंगी, जिससे उस युग के सबसे कुशल कैलकुलेटर की महिमा खराब हो जाएगी, और लोग नए महान गुरु के साथ अध्ययन करने के लिए हर जगह से आएंगे।
पुराने दिनों में गुणा और भाग की संक्रियाएँ विशेष रूप से कठिन थीं। तब प्रत्येक क्रिया के लिए अभ्यास द्वारा कोई एक विधि विकसित नहीं थी। इसके विपरीत, एक ही समय में गुणन और भाग की लगभग एक दर्जन अलग-अलग विधियाँ उपयोग में थीं - तकनीकें एक से बढ़कर एक जटिल थीं, जिन्हें औसत क्षमता वाला व्यक्ति याद नहीं रख पाता था। गिनती का प्रत्येक शिक्षक अपनी पसंदीदा तकनीक पर अड़ा रहा, प्रत्येक "विभाजन के मास्टर" (ऐसे विशेषज्ञ थे) ने इस क्रिया को करने के अपने तरीके की प्रशंसा की।
वी. बेलस्टिन की पुस्तक "कैसे लोग धीरे-धीरे वास्तविक अंकगणित तक पहुंचे" में गुणन की 27 विधियों की रूपरेखा दी गई है, और लेखक नोट करता है: "यह बहुत संभव है कि पुस्तक भंडारों के अवकाशों में अन्य विधियां छिपी हुई हैं, जो असंख्य में बिखरी हुई हैं, मुख्य रूप से हस्तलिखित हैं संग्रह।"
और गुणन की ये सभी विधियाँ - "शतरंज या अंग", "फोल्डिंग", "क्रॉस", "जाली", "पीछे से सामने", "हीरा" और अन्य एक-दूसरे के साथ प्रतिस्पर्धा करती थीं और बड़ी कठिनाई से सीखी जाती थीं।
आइए गुणन के सबसे दिलचस्प और सरल तरीकों पर नजर डालें।
2.2. अंगुलियों पर गुणन.
उंगलियों पर गुणा करने की पुरानी रूसी विधि सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधियों में से एक है, जिसका उपयोग कई शताब्दियों तक रूसी व्यापारियों द्वारा सफलतापूर्वक किया गया था। उन्होंने अपनी उंगलियों पर एकल-अंकीय संख्याओं को 6 से 9 तक गुणा करना सीखा। इस मामले में, "इकाइयों", "जोड़ियों", "तीन", "चार", "पांच" और में बुनियादी उंगली गिनती कौशल होना पर्याप्त था। "दहाई"। यहां उंगलियां सहायक कंप्यूटिंग डिवाइस के रूप में काम करती थीं।
ऐसा करने के लिए, एक तरफ उन्होंने उतनी उंगलियां फैलाईं जितनी पहला कारक संख्या 5 से अधिक हो, और दूसरी तरफ उन्होंने दूसरे कारक के लिए भी ऐसा ही किया। बाकी उंगलियां मुड़ी हुई थीं. फिर फैली हुई उंगलियों की संख्या (कुल) ली गई और 10 से गुणा किया गया, फिर संख्याओं को गुणा किया गया, यह दिखाते हुए कि कितनी उंगलियां मुड़ी हुई थीं, और परिणाम जोड़े गए।
उदाहरण के लिए, आइए 7 को 8 से गुणा करें। विचारित उदाहरण में, 2 और 3 उंगलियां मुड़ी होंगी। यदि आप मुड़ी हुई उंगलियों की संख्या (2+3=5) जोड़ते हैं और न मुड़ी हुई उंगलियों की संख्या को गुणा करते हैं (2 3=6), तो आपको वांछित उत्पाद की दहाई और इकाई की संख्या क्रमशः 56 मिलेगी। इस तरह आप 5 से बड़ी किसी भी एकल-अंकीय संख्या के गुणनफल की गणना कर सकते हैं।
2.3. 9 से गुणा करें.
संख्या 9 के लिए गुणन- 9·1, 9·2 ... 9·10 - स्मृति से भूलना आसान है और जोड़ विधि का उपयोग करके मैन्युअल रूप से पुनर्गणना करना अधिक कठिन है, हालांकि, विशेष रूप से संख्या 9 के लिए, गुणा आसानी से "उंगलियों पर" पुन: प्रस्तुत किया जाता है। अपनी उंगलियों को दोनों हाथों पर फैलाएं और अपनी हथेलियों को अपने से दूर रखते हुए अपने हाथों को मोड़ें। मानसिक रूप से अपनी उंगलियों को 1 से 10 तक संख्याएं निर्दिष्ट करें, जो आपके बाएं हाथ की छोटी उंगली से शुरू होती है और आपके दाहिने हाथ की छोटी उंगली पर समाप्त होती है (यह चित्र में दिखाया गया है)।
मान लीजिए हम 9 को 6 से गुणा करना चाहते हैं। हम जिस संख्या से नौ को गुणा करेंगे उसके बराबर संख्या वाली उंगली को मोड़ते हैं। हमारे उदाहरण में, हमें संख्या 6 वाली उंगली को मोड़ने की आवश्यकता है। मुड़ी हुई उंगली के बाईं ओर की उंगलियों की संख्या हमें उत्तर में दहाई की संख्या दिखाती है, दाईं ओर की उंगलियों की संख्या इकाइयों की संख्या दर्शाती है। बाईं ओर हमारी 5 उंगलियां हैं जो मुड़ी हुई नहीं हैं, दाईं ओर हमारी 4 उंगलियां हैं। इस प्रकार, 9·6=54. नीचे दिया गया चित्र "गणना" के संपूर्ण सिद्धांत को विस्तार से दर्शाता है।
एक अन्य उदाहरण: आपको 9·8=? की गणना करने की आवश्यकता है। साथ ही, मान लीजिए कि उंगलियां आवश्यक रूप से "गणना करने वाली मशीन" के रूप में कार्य नहीं कर सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक नोटबुक में 10 सेल लें। 8वें सेल को काट दें। बाईं ओर 7 कोशिकाएँ बची हैं, दाईं ओर 2 कोशिकाएँ हैं। तो 9·8=72. सब कुछ बहुत सरल है.
7 कोशिकाएँ 2 कोशिकाएँ।
2.4. गुणा करने का भारतीय तरीका.
गणितीय ज्ञान के खजाने में सबसे मूल्यवान योगदान भारत में किया गया था। हिंदुओं ने वह विधि प्रस्तावित की जिसका उपयोग हम दस चिह्नों का उपयोग करके संख्याएँ लिखने के लिए करते हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0।
इस पद्धति का आधार यह विचार है कि एक ही अंक इकाइयों, दहाई, सैकड़ों या हजारों का प्रतिनिधित्व करता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि अंक कहां है। किसी भी अंक की अनुपस्थिति में, व्याप्त स्थान, संख्याओं को निर्दिष्ट शून्य द्वारा निर्धारित किया जाता है।
भारतीय गिनती में बहुत अच्छे थे। वे गुणा करने का एक बहुत ही सरल तरीका लेकर आए। उन्होंने सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करके गुणन किया और गुणक के ठीक ऊपर अपूर्ण उत्पादों को थोड़ा-थोड़ा करके लिखा। इस मामले में, संपूर्ण उत्पाद का सबसे महत्वपूर्ण अंक तुरंत दिखाई दे रहा था और इसके अलावा, किसी भी अंक की चूक समाप्त हो गई थी। गुणन चिह्न अभी तक ज्ञात नहीं था, इसलिए उन्होंने गुणनखंडों के बीच थोड़ी दूरी छोड़ दी। उदाहरण के लिए, आइए विधि 537 का उपयोग करके उन्हें 6 से गुणा करें:
(5 ∙ 6 =30) 30
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
2.5 . गुणन विधि"छोटा महल".
संख्याओं का गुणन अब स्कूल की पहली कक्षा में पढ़ाया जाता है। लेकिन मध्य युग में बहुत कम लोग गुणन की कला में निपुण थे। यह एक दुर्लभ अभिजात व्यक्ति था जो गुणन सारणी जानने का दावा कर सकता था, भले ही उसने यूरोपीय विश्वविद्यालय से स्नातक की उपाधि प्राप्त की हो।
गणित के विकास के सहस्राब्दियों के दौरान, संख्याओं को गुणा करने के कई तरीकों का आविष्कार किया गया है। इतालवी गणितज्ञ लुका पैसिओली ने अपने ग्रंथ "अंकगणित, अनुपात और आनुपातिकता का सुम्मा" (1494) में गुणन की आठ अलग-अलग विधियाँ दी हैं। उनमें से पहले को "लिटिल कैसल" कहा जाता है, और दूसरे को भी कम रोमांटिक रूप से "ईर्ष्या या जाली गुणन" कहा जाता है।
"लिटिल कैसल" गुणन विधि का लाभ यह है कि अग्रणी अंक शुरू से ही निर्धारित होते हैं, और यह महत्वपूर्ण हो सकता है यदि आपको किसी मूल्य का तुरंत अनुमान लगाने की आवश्यकता हो।
सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करके ऊपरी संख्या के अंकों को बारी-बारी से निचली संख्या से गुणा किया जाता है और शून्य की आवश्यक संख्या जोड़कर एक कॉलम में लिखा जाता है। फिर परिणाम जोड़े जाते हैं।
2.6. संख्याओं का गुणा करना"ईर्ष्या" विधि का उपयोग करना।
दूसरी विधि का रोमांटिक नाम "ईर्ष्या", या "जाली गुणन" है।
सबसे पहले, एक आयत बनाया जाता है, उसे वर्गों में विभाजित किया जाता है, और आयत की भुजाओं के आयाम गुणक और गुणक के दशमलव स्थानों की संख्या के अनुरूप होते हैं। फिर वर्गाकार कोशिकाओं को तिरछे विभाजित किया जाता है, और "...परिणाम जाली शटर के समान एक तस्वीर है," पैसिओली लिखते हैं। "इस तरह के शटर वेनिस के घरों की खिड़कियों पर लटकाए गए थे, जिससे सड़क से गुजरने वाले राहगीरों को खिड़कियों पर बैठी महिलाओं और ननों को देखने से रोका जा सके।"
आइए इस प्रकार 347 को 29 से गुणा करें। आइए एक तालिका बनाएं, उसके ऊपर संख्या 347 लिखें और दाईं ओर संख्या 29 लिखें।
प्रत्येक पंक्ति में हम इस सेल के ऊपर और इसके दाईं ओर की संख्याओं का गुणनफल लिखेंगे, जबकि हम स्लैश के ऊपर गुणनफल का दहाई अंक और उसके नीचे इकाई अंक लिखेंगे। अब हम इस ऑपरेशन को करते हुए दाएं से बाएं प्रत्येक तिरछी पट्टी में संख्याएं जोड़ते हैं। यदि राशि 10 से कम है तो हम इसे पट्टी के निचले नंबर के नीचे लिख देते हैं। यदि यह 10 से अधिक हो जाता है, तो हम योग का केवल इकाई अंक लिखते हैं, और दहाई अंक को अगले योग में जोड़ देते हैं। परिणामस्वरूप, हमें वांछित उत्पाद 10063 प्राप्त होता है।
2.7. कोगुणन की किसान विधि.
मेरी राय में, गुणन का सबसे "देशी" और सबसे आसान तरीका, रूसी किसानों द्वारा उपयोग की जाने वाली विधि है। इस तकनीक में संख्या 2 से परे गुणन सारणी के ज्ञान की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इसका सार यह है कि किन्हीं दो संख्याओं के गुणन को एक संख्या के क्रमिक विभाजनों की श्रृंखला में आधा कर दिया जाता है और साथ ही दूसरी संख्या को दोगुना कर दिया जाता है। आधे में विभाजित करना तब तक जारी रहता है जब तक कि भागफल 1 तक न पहुँच जाए, साथ ही दूसरी संख्या को दोगुना कर दिया जाता है। अंतिम दोगुनी संख्या वांछित परिणाम देती है।
यदि संख्या विषम है, तो एक को हटा दें और शेष को आधे में विभाजित करें; लेकिन दाएं कॉलम की अंतिम संख्या में आपको इस कॉलम की उन सभी संख्याओं को जोड़ना होगा जो बाएं कॉलम की विषम संख्याओं के विपरीत हैं: योग वांछित उत्पाद होगा
संगत संख्याओं के सभी युग्मों का गुणनफल समान होता है, इसलिए
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
ऐसी स्थिति में जब संख्याओं में से एक विषम हो या दोनों संख्याएँ विषम हों, तो निम्नानुसार आगे बढ़ें:
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
2.8 . गुणा करने का एक नया तरीका.
दिलचस्पगुणन की एक नई विधि जो हाल ही में रिपोर्ट की गई है। नई मानसिक गणना प्रणाली के आविष्कारक, दर्शनशास्त्र के उम्मीदवार वासिली ओकोनेश्निकोव का दावा है कि एक व्यक्ति बड़ी मात्रा में जानकारी को याद रखने में सक्षम है, मुख्य बात यह है कि इस जानकारी को कैसे व्यवस्थित किया जाए। स्वयं वैज्ञानिक के अनुसार, इस संबंध में सबसे लाभप्रद नौ-गुना प्रणाली है - सभी डेटा को बस नौ कोशिकाओं में रखा जाता है, जो कैलकुलेटर पर बटन की तरह स्थित होते हैं।
ऐसी तालिका का उपयोग करके गणना करना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 15647 को 5 से गुणा करें। तालिका के पांच से संबंधित भाग में, संख्या के अंकों के अनुरूप संख्याओं को क्रम से चुनें: एक, पांच, छह, चार और सात। हमें मिलता है: 05 25 30 20 35
हम बाएं अंक (हमारे उदाहरण में शून्य) को अपरिवर्तित छोड़ते हैं, और निम्नलिखित संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं: दो के साथ पांच, तीन के साथ पांच, दो के साथ शून्य, तीन के साथ शून्य। अंतिम अंक भी अपरिवर्तित है.
परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है: 078235। संख्या 78235 गुणन का परिणाम है।
यदि दो अंकों को जोड़ने पर नौ से बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो उसका पहला अंक परिणाम के पिछले अंक में जोड़ दिया जाता है, और दूसरे को उसके "अपने" स्थान पर लिखा जाता है।
तृतीय. निष्कर्ष।
गिनती के जितने भी असामान्य तरीके मुझे मिले, उनमें से "जाली गुणन या ईर्ष्या" विधि अधिक दिलचस्प लगी। मैंने इसे अपने सहपाठियों को दिखाया और उन्हें भी यह बहुत पसंद आया।
मुझे सबसे सरल तरीका "दोहरा करना और विभाजित करना" लगा, जिसका उपयोग रूसी किसानों द्वारा किया जाता था। मैं इसका उपयोग तब करता हूं जब बहुत बड़ी संख्याओं को गुणा नहीं किया जाता (दो अंकों वाली संख्याओं को गुणा करते समय इसका उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है)।
मुझे गुणन की नई पद्धति में दिलचस्पी थी, क्योंकि यह मुझे अपने दिमाग में बड़ी संख्याओं को "उछालने" की अनुमति देती है।
मुझे लगता है कि कॉलम से गुणा करने की हमारी विधि सही नहीं है और हम और भी तेज़ और अधिक विश्वसनीय तरीकों के साथ आ सकते हैं।
साहित्य।
डेपमैन आई. "गणित के बारे में कहानियाँ।" – लेनिनग्राद: शिक्षा, 1954. – 140 पी.
कोर्निव ए.ए. रूसी गुणन की घटना। कहानी। http://numbernautics.ru/
ओलेहनिक एस.एन., नेस्टरेंको यू.वी., पोटापोव एम.के. "पुरानी मनोरंजक समस्याएं।" - एम.: विज्ञान. भौतिक और गणितीय साहित्य का मुख्य संपादकीय कार्यालय, 1985। - 160 पी।
पेरेलमैन वाई.आई. त्वरित गिनती. तीस सरल मानसिक गिनती तकनीकें। एल., 1941 - 12 पी.
पेरेलमैन वाई.आई. दिलचस्प अंकगणित. एम. रुसानोवा, 1994-205 पी.
विश्वकोश “मैं दुनिया का अन्वेषण करता हूँ। अंक शास्त्र"। - एम.: एस्ट्रेल एर्मक, 2004।
बच्चों के लिए विश्वकोश. "अंक शास्त्र"। - एम.: अवंता+, 2003. - 688 पी.
