2 समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति दिए गए समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर एक आयत बनाने तक आती है। आइए हम समांतर चतुर्भुज की एक भुजा को आधार मानें, और आधार वाली सीधी रेखा के विपरीत दिशा के किसी भी बिंदु से खींचे गए लंब को समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई कहा जाएगा। तब समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उसकी ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होगा।

प्रमेय.एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उसकी ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

सबूत. क्षेत्रफल सहित एक समांतर चतुर्भुज पर विचार करें। आइए भुजा को आधार मानें और ऊंचाइयां बनाएं (चित्र 2.3.1)। इसे साबित करना जरूरी है.

चित्र 2.3.1

आइए पहले सिद्ध करें कि आयत का क्षेत्रफल भी बराबर है। एक समलम्ब चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज से बना होता है। दूसरी ओर, यह एक आयत एनवीएससी और एक त्रिकोण से बना है। लेकिन समकोण त्रिभुज कर्ण और न्यून कोण में बराबर होते हैं (उनके कर्ण एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के बराबर होते हैं, और कोण 1 और 2 समानांतर रेखाओं और एक तिर्यक रेखा के प्रतिच्छेदन पर संगत कोणों के बराबर होते हैं), इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर होते हैं। अत: समांतर चतुर्भुज और आयत का क्षेत्रफल भी बराबर होता है, अर्थात आयत का क्षेत्रफल बराबर होता है। एक आयत के क्षेत्रफल पर प्रमेय के अनुसार, लेकिन तब से।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 2.3.1.

एक समचतुर्भुज में एक भुजा और एक न्यूनकोण वाला एक वृत्त अंकित है। एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष समचतुर्भुज की भुजाओं के साथ वृत्त के संपर्क बिंदु हैं।

समाधान:

एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या (चित्र 2.3.2), चूँकि चतुर्भुज एक आयत है, क्योंकि इसके कोण वृत्त के व्यास पर टिके होते हैं। इसका क्षेत्रफल वह है जहाँ (कोण के विपरीत भुजा),।

चित्र 2.3.2

इसलिए,

उत्तर:

उदाहरण 2.3.2.

एक समचतुर्भुज दिया गया है जिसके विकर्ण 3 सेमी और 4 सेमी हैं। एक अधिक कोण के शीर्ष से, ऊँचाई खींची जाती है और चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें

समाधान:

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल (चित्र 2.3.3)।

इसलिए,

उत्तर:

उदाहरण 2.3.3.

चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ चतुर्भुज के विकर्णों के बराबर और समानांतर हों।

समाधान:

चूँकि और (चित्र 2.3.4), तो एक समांतर चतुर्भुज है और, इसलिए,।

चित्र 2.3.4

इसी प्रकार, हमें वह मिलता है जिससे यह अनुसरण करता है।

उत्तर:.

2.4 त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए कई सूत्र हैं। आइए उन पर नज़र डालें जिनका अध्ययन स्कूल में किया जाता है।

पहला सूत्र एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का अनुसरण करता है और छात्रों को एक प्रमेय के रूप में पेश किया जाता है।

प्रमेय.एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है.

सबूत।माना त्रिभुज का क्षेत्रफल है. त्रिभुज के आधार पर भुजा लें और ऊँचाई खींचें। आइए इसे साबित करें:

चित्र 2.4.1

आइए चित्र में दिखाए अनुसार त्रिभुज को एक समांतर चतुर्भुज बनाएं। त्रिभुजों की तीन भुजाएँ (उनकी उभयनिष्ठ भुजाएँ और समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ) बराबर होती हैं, इसलिए उनका क्षेत्रफल बराबर होता है। नतीजतन, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल S समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है, अर्थात।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

इस प्रमेय से निकलने वाले दो परिणामों की ओर विद्यार्थियों का ध्यान आकर्षित करना महत्वपूर्ण है। अर्थात्:

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के आधे गुणनफल के बराबर होता है।

यदि दो त्रिभुजों की ऊंचाई समान है, तो उनके क्षेत्रफल आधार के रूप में संबंधित होते हैं।

ये दोनों परिणाम विभिन्न प्रकार की समस्याओं के समाधान में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इसके आधार पर एक और प्रमेय सिद्ध होता है, जिसका समस्याओं के समाधान में व्यापक उपयोग होता है।

प्रमेय. यदि एक त्रिभुज का कोण दूसरे त्रिभुज के कोण के बराबर है, तो उनके क्षेत्रफल समान कोणों को घेरने वाली भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित होते हैं।

सबूत. मान लीजिए कि त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं जिनके कोण बराबर हैं।

चित्र 2.4.2

आइए हम यह साबित करें: .

आइए एक त्रिकोण जोड़ें. त्रिभुज पर ताकि शीर्ष शीर्ष के साथ संरेखित हो, और भुजाएँ क्रमशः किरणों को ओवरलैप करें।

चित्र 2.4.3

त्रिभुजों की ऊँचाई समान होती है, इसलिए... त्रिभुजों की भी एक समान ऊँचाई होती है - इसलिए,। परिणामी समानताओं को गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है .

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

दूसरा सूत्र.एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के आधे के बराबर होता है।इस सूत्र को सिद्ध करने के कई तरीके हैं, और मैं उनमें से एक का उपयोग करूंगा।

सबूत।ज्यामिति से एक प्रसिद्ध प्रमेय है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के आधे उत्पाद और इस आधार द्वारा कम की गई ऊंचाई के बराबर होता है:

न्यूनकोण त्रिभुज के मामले में. अधिक कोण की स्थिति में. हो, और इसलिए . तो, दोनों ही मामलों में. त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए ज्यामितीय सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र प्राप्त करते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

तीसरा सूत्रएक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए - हेरोन का सूत्र, जिसका नाम अलेक्जेंड्रिया के प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक हेरोन के नाम पर रखा गया है, जो पहली शताब्दी ईस्वी में रहते थे। यह सूत्र आपको किसी त्रिभुज की भुजाओं को जानकर उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की अनुमति देता है। यह सुविधाजनक है क्योंकि यह आपको कोई अतिरिक्त निर्माण नहीं करने या कोण मापने की अनुमति नहीं देता है। इसका निष्कर्ष हमारे द्वारा माने गए त्रिभुज क्षेत्र के दूसरे सूत्र और कोसाइन प्रमेय पर आधारित है: और।

इस योजना के क्रियान्वयन के लिए आगे बढ़ने से पहले इस बात का ध्यान रखें

बिल्कुल उसी तरह हमारे पास है:

आइए अब कोज्या को और के रूप में व्यक्त करें:

चूँकि त्रिभुज में कोई भी कोण बड़ा और छोटा होता है। मतलब, .

अब हम मूल अभिव्यक्ति में प्रत्येक कारक को अलग-अलग रूपांतरित करते हैं। हमारे पास है:

इस अभिव्यक्ति को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में "त्रिभुज का क्षेत्रफल" विषय का बहुत महत्व है। त्रिभुज ज्यामितीय आकृतियों में सबसे सरल है। यह स्कूल ज्यामिति का एक "संरचनात्मक तत्व" है। अधिकांश ज्यामितीय समस्याएं त्रिभुजों को हल करने के लिए आती हैं। नियमित और मनमाना एन-गॉन का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या कोई अपवाद नहीं है।

उदाहरण 2.4.1.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है यदि इसका आधार है, और इसकी भुजा है?

समाधान:

-समद्विबाहु,

चित्र 2.4.4

आइए एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों का उपयोग करें - माध्यिका और ऊँचाई। तब

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना:

उत्तर:

उदाहरण 2.4.2.

एक समकोण त्रिभुज में, न्यून कोण का समद्विभाजक विपरीत पैर को 4 और 5 सेमी लंबे खंडों में विभाजित करता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करें।

समाधान:

आइए (चित्र 2.4.5)। तब (चूँकि BD एक समद्विभाजक है)। यहाँ से हमारे पास है , वह है। मतलब,

चित्र 2.4.5

उत्तर:

उदाहरण 2.4.3.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसका आधार बराबर है, और आधार पर खींची गई ऊँचाई की लंबाई आधार और भुजा के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई के बराबर है।

समाधान:

शर्त के अनुसार - मध्य रेखा (चित्र 2.4.6)। चूंकि हमारे पास है:

या , इसलिए से,

इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय, सिवाय बुनियादी गुण चतुर्भुजऔर संबंधित सूत्र, आप निम्नलिखित को याद रख सकते हैं और लागू कर सकते हैं:

किसी समांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोण का समद्विभाजक उससे एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है
समांतर चतुर्भुज की किसी एक भुजा से सटे आंतरिक कोणों के समद्विभाजक परस्पर लंबवत होते हैं
समांतर चतुर्भुज के विपरीत आंतरिक कोनों से आने वाले समद्विभाजक एक दूसरे के समानांतर होते हैं या एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं
एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है

आइए उन समस्याओं पर विचार करें जिनमें इन गुणों का उपयोग किया जाता है।

कार्य 1।

समांतर चतुर्भुज ABCD के कोण C का समद्विभाजक भुजा AD को बिंदु M पर और भुजा AB की निरंतरता को बिंदु A से आगे बिंदु E पर प्रतिच्छेद करता है। यदि AE = 4, DM = 3 है तो समांतर चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

समाधान।

1. त्रिभुज सीएमडी समद्विबाहु है। (संपत्ति 1). इसलिए, CD = MD = 3 सेमी.

2. त्रिभुज EAM समद्विबाहु है।
इसलिए, AE = AM = 4 सेमी.

3. AD = AM + MD = 7 सेमी.

4. परिमाप ABCD = 20 सेमी.

उत्तर। 20 सेमी.

कार्य 2.

उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण खींचे गए हैं। ज्ञातव्य है कि त्रिभुज ABD, ACD, BCD का क्षेत्रफल बराबर होता है। सिद्ध कीजिए कि यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

समाधान।

1. माना BE त्रिभुज ABD की ऊंचाई है, CF त्रिभुज ACD की ऊंचाई है। चूँकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है और उनका एक सामान्य आधार AD है, तो इन त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ बराबर हैं। बीई = सीएफ.

2. BE, CF AD पर लंबवत हैं। बिंदु B और C सीधी रेखा AD के सापेक्ष एक ही तरफ स्थित हैं। बीई = सीएफ. अत: सीधी रेखा BC || ईसा पश्चात (*)

3. मान लीजिए AL त्रिभुज ACD की ऊंचाई है, BK त्रिभुज BCD की ऊंचाई है। चूँकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है और उनका एक उभयनिष्ठ आधार CD है, तो इन त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ बराबर हैं। एएल = बीके.

4. AL और BK, CD पर लंबवत हैं। बिंदु बी और ए सीधी रेखा सीडी के सापेक्ष एक ही तरफ स्थित हैं। एएल = बीके. अत: सीधी रेखा AB || सीडी (**)

5. शर्तों (*), (**) से यह निष्कर्ष निकलता है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

उत्तर। सिद्ध किया हुआ। ABCD एक समांतर चतुर्भुज है.

कार्य 3.

समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं BC और CD पर क्रमशः बिंदु M और H अंकित हैं, ताकि खंड BM और HD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करें;<ВМD = 95 о,

समाधान।

1. त्रिभुज DOM में<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. एक समकोण त्रिभुज में DHC
(
तब<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(चूँकि एक समकोण त्रिभुज में 30° के कोण के विपरीत स्थित पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है)।

लेकिन सीडी = एबी. फिर एबी: एचडी = 2:1.

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
उत्तर: एबी: एचडी = 2:1,<А = <С = 30 о, <В =

कार्य 4.

4√6 लंबाई वाले समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण आधार के साथ 60° का कोण बनाता है, और दूसरा विकर्ण उसी आधार के साथ 45° का कोण बनाता है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिये.

समाधान।

1. एओ = 2√6.

2. हम साइन प्रमेय को त्रिभुज AOD पर लागू करते हैं।

एओ/पाप डी = ओडी/पाप ए.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / पाप 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

उत्तर: 12.

कार्य 5.

5√2 और 7√2 भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के लिए, विकर्णों के बीच का छोटा कोण समांतर चतुर्भुज के छोटे कोण के बराबर होता है। विकर्णों की लंबाई का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान।

मान लीजिए कि d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हैं, और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों और छोटे कोण के बीच का कोण φ के बराबर है।

1. आइए दो अलग-अलग गिनें
इसके क्षेत्रफल को मापता है।

एस एबीसीडी = एबी एडी पाप ए = 5√2 7√2 पाप एफ,

एस एबीसीडी = 1/2 एसी वीडी सिन एओबी = 1/2 डी 1 डी 2 सिन एफ।

हमें समानता प्राप्त होती है 5√2 · 7√2 · पाप एफ = 1/2डी 1 डी 2 पाप एफ या

2 · 5√2 · 7√2 = डी 1 डी 2 ;

2. समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों के बीच संबंध का उपयोग करके, हम समानता लिखते हैं

(एबी 2 + एडी 2) 2 = एसी 2 + बीडी 2।

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = डी 1 2 + डी 2 2।

डी 1 2 + डी 2 2 = 296.

3. आइए एक सिस्टम बनाएं:

(डी 1 2 + डी 2 2 = 296,
(डी 1 + डी 2 = 140.

आइए सिस्टम के दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें और इसे पहले में जोड़ें।

हमें (d 1 + d 2) 2 = 576 मिलता है। इसलिए Id 1 + d 2 I = 24।

चूँकि d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई हैं, तो d 1 + d 2 = 24।

उत्तर: 24.

कार्य 6.

समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 4 और 6 हैं। विकर्णों के बीच न्यून कोण 45 डिग्री है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

समाधान।

1. त्रिभुज AOB से, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके, हम समांतर चतुर्भुज की भुजा और विकर्णों के बीच संबंध लिखते हैं।

एबी 2 = एओ 2 + वीओ 2 2 · एओ · वीओ · कॉस एओबी।

4 2 = (डी 1 /2) 2 + (डी 2 /2) 2 - 2 · (डी 1/2) · (डी 2 /2)कोस 45 ओ;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

डी 1 2 + डी 2 2 – डी 1 · डी 2 √2 = 64.

2. इसी प्रकार, हम त्रिभुज AOD के लिए संबंध लिखते हैं।

आइए इसे ध्यान में रखें<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

हमें समीकरण d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 मिलता है।

3. हमारे पास एक सिस्टम है
(डी 1 2 + डी 2 2 – डी 1 · डी 2 √2 = 64,
(डी 1 2 + डी 2 2 + डी 1 · डी 2 √2 = 144।

पहले को दूसरे समीकरण से घटाने पर, हमें 2d 1 · d 2 √2 = 80 या प्राप्त होता है

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. एस एबीसीडी = 1/2 एसी Вडी पाप एओबी = 1/2 डी 1 डी 2 पाप α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

टिप्पणी:इस और पिछली समस्या में सिस्टम को पूरी तरह से हल करने की आवश्यकता नहीं है, यह अनुमान लगाते हुए कि इस समस्या में हमें क्षेत्र की गणना करने के लिए विकर्णों के उत्पाद की आवश्यकता है।

उत्तर: 10.

कार्य 7.

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 96 है और इसकी भुजाएँ 8 और 15 हैं। छोटे विकर्ण का वर्ग ज्ञात कीजिए।

समाधान।

1. एस एबीसीडी = एबी · एडी · पाप वीएडी। आइए सूत्र में एक प्रतिस्थापन करें।

हमें 96 = 8 · 15 · पाप ВAD प्राप्त होता है। अत: पाप ВAD = 4/5.

2. आइए खोजें क्योंकि VAD. पाप 2 वीएडी + कॉस 2 वीएडी = 1.

(4/5) 2 + कॉस 2 वीएडी = 1. कॉस 2 वीएडी = 9/25।

समस्या की स्थितियों के अनुसार, हम छोटे विकर्ण की लंबाई ज्ञात करते हैं। यदि कोण ВАD न्यून कोण है तो विकर्ण ВD छोटा होगा। तब cos VAD = 3/5.

3. त्रिभुज ABD से, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके, हम विकर्ण BD का वर्ग ज्ञात करते हैं।

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 - 2 · АВ · ВD · cos ВAD।

वीडी 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145।

उत्तर: 145.

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इससे पहले कि हम सीखें कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, हमें यह याद रखना होगा कि समांतर चतुर्भुज क्या है और इसकी ऊंचाई क्या कहलाती है। समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर होती हैं (समानांतर रेखाओं पर स्थित होती हैं)। विपरीत दिशा में एक मनमाने बिंदु से इस भुजा वाली रेखा पर खींचे गए लंब को समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई कहा जाता है।

वर्ग, आयत और समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (S) से दर्शाया जाता है।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र

S=a*h, जहां a आधार है, h वह ऊंचाई है जो आधार तक खींची गई है।

S=a*b*sinα, जहां a और b आधार हैं, और α आधार a और b के बीच का कोण है।

S =p*r, जहां p अर्ध-परिधि है, r वृत्त की त्रिज्या है जो समांतर चतुर्भुज में अंकित है।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, जो सदिश a और b द्वारा बनता है, दिए गए सदिशों के उत्पाद के मापांक के बराबर है, अर्थात्:

आइए उदाहरण संख्या 1 पर विचार करें: एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है, जिसकी भुजा 7 सेमी है और ऊंचाई 3 सेमी है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, हमें समाधान के लिए एक सूत्र की आवश्यकता है।

इस प्रकार S= 7x3. एस=21. उत्तर: 21 सेमी 2.

उदाहरण संख्या 2 पर विचार करें: दिए गए आधार 6 और 7 सेमी हैं, और आधारों के बीच 60 डिग्री का कोण भी दिया गया है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? हल करने के लिए प्रयुक्त सूत्र:

इस प्रकार, सबसे पहले हम कोण की ज्या ज्ञात करते हैं। साइन 60 = 0.5, क्रमशः एस = 6*7*0.5=21 उत्तर: 21 सेमी 2।

मुझे आशा है कि ये उदाहरण समस्याओं को सुलझाने में आपकी सहायता करेंगे। और याद रखें, मुख्य बात है सूत्रों का ज्ञान और सावधानी

समांतर चतुर्भुज क्या है? समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं।

1. समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[ \बड़ा S = a \cdot h_(a)\]

कहाँ:
a समांतर चतुर्भुज की भुजा है,
एच ए - इस तरफ खींची गई ऊंचाई।

2. यदि किसी समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[ \बड़ा S = a \cdot b \cdot syn(\alpha) \]

3. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण दिए गए हों और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[ \बड़ा S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot syn(\alpha) \]

समांतर चतुर्भुज के गुण

एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं: $AB = CD$, $BC = AD$

एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर होते हैं: $\कोण A = \कोण C$, $\कोण B = \कोण D$

प्रतिच्छेदन बिंदु पर एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण आधे $AO = OC$, $BO = OD$ में विभाजित होते हैं

एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है।

एक समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° है:

$\कोण A + \कोण B = 180^(o)$, $\कोण B + \कोण C = 180^(o)$

$\कोण C + \कोण D = 180^(o)$, $\कोण D + \कोण A = 180^(o)$

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण और भुजाएँ निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

$d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) $

एक समांतर चतुर्भुज में, ऊंचाइयों के बीच का कोण उसके न्यून कोण के बराबर होता है: $\कोण K B H =\कोण A$ ।

समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोणों के समद्विभाजक परस्पर लंबवत होते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज के दो विपरीत कोणों के समद्विभाजक समांतर होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के लक्षण

एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होगा यदि:

$AB = CD$ और $AB || CD$

$AB = CD$ और $BC = AD$

$AO = OC$ और $BO = OD$

$\कोण A = \कोण C$ और $\कोण B = \कोण D$
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समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा के गुणनफल और उस भुजा की ऊँचाई के बराबर होता है।

सबूत
यदि समांतर चतुर्भुज एक आयत है, तो समानता आयत के क्षेत्रफल पर प्रमेय द्वारा संतुष्ट होती है। इसके बाद, हम मानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के कोण सही नहीं हैं।

मान लीजिए कि $\कोण BAD$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ और $AD > AB$ में एक न्यूनकोण है। अन्यथा, हम शीर्षों का नाम बदल देंगे. फिर शीर्ष $B$ से रेखा $AD$ तक की ऊंचाई $BH$ $AD$ की ओर पड़ती है, क्योंकि पैर $AH$ कर्ण $AB$ से छोटा है, और $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

आइए समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के क्षेत्रफल और आयत $HBCK$ के क्षेत्रफल की तुलना करें। एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्षेत्रफल $\त्रिकोण ABH$ से अधिक है, लेकिन क्षेत्रफल $\त्रिकोण DCK$ से कम है। चूँकि ये त्रिभुज बराबर हैं, इसलिए इनके क्षेत्रफल भी बराबर हैं। इसका मतलब यह है कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसकी भुजाओं की लंबाई से लेकर भुजा तक की लंबाई और समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई होती है।
भुजाओं और ज्या का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

सबूत
$AB$ की भुजा पर गिराए गए समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की ऊंचाई खंड $BC$ और कोण $\कोण ABC$ की ज्या के गुणनफल के बराबर है। यह पिछले कथन को लागू करना बाकी है।

विकर्णों का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

सबूत
मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण बिंदु $O$ पर $\alpha$ के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। फिर समांतर चतुर्भुज गुण द्वारा $AO=OC$ और $BO=OD$। जिन कोणों का योग $180^\circ$ होता है उनकी ज्याएँ बराबर होती हैं, $\कोण AOB = \कोण COD = 180^\circ - \कोण BOC = 180^\circ - \कोण AOD$. इसका मतलब यह है कि विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर कोणों की ज्याएं $\sin \alpha$ के बराबर होती हैं।

$S_(ABCD)=S_(\त्रिकोण AOB) + S_(\त्रिकोण BOC) + S_(\त्रिकोण COD) + S_(\त्रिकोण AOD)$
क्षेत्र माप के सिद्धांत के अनुसार. जब विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं तो हम इन त्रिभुजों और कोणों के लिए त्रिभुज क्षेत्र सूत्र $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ लागू करते हैं। प्रत्येक की भुजाएँ विकर्णों के आधे के बराबर हैं, और ज्याएँ भी बराबर हैं। इसलिए, चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ के बराबर है dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. उपरोक्त सभी को सारांशित करने पर, हम पाते हैं

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$