§13. एक मनमाना अक्ष के बारे में जड़ता के क्षण पर स्टीनर का प्रमेय

निकायों एमप्रति वर्ग दूरी डीअक्षों के बीच:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

कहाँ एम- शरीर का कुल वजन.

उदाहरण के लिए, किसी छड़ के सिरे से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष उसका जड़त्व आघूर्ण बराबर होता है:

जे = जे सी + एम डी 2 = 1 12 एम एल 2 + एम (एल 2) 2 = 1 3 एम एल 2। (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))एमएल^(2).)

कुछ पिंडों की जड़ता के अक्षीय क्षण

जड़ता के क्षणघूर्णन की कुछ अक्षों के सापेक्ष सरलतम रूप के सजातीय पिंड

विवरण	अक्ष स्थिति ए	निष्क्रियता के पल जे ए
सामग्री बिंदु द्रव्यमान एम	दूरी पर आरएक बिंदु से, स्थिर
खोखली पतली दीवार वाला सिलेंडर या त्रिज्या वलय आरऔर जनता एम	सिलेंडर अक्ष	एम आर 2 (\displaystyle श्री^(2))
ठोस सिलेंडर या त्रिज्या डिस्क आरऔर जनता एम	सिलेंडर अक्ष	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
खोखला मोटी दीवार वाला द्रव्यमान सिलेंडर एमबाहरी त्रिज्या के साथ आर 2 और आंतरिक त्रिज्या आर 1	सिलेंडर अक्ष	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
ठोस सिलेंडर की लंबाई एल, त्रिज्या आरऔर जनता एम		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
खोखला पतली दीवार वाला सिलेंडर (रिंग) लंबाई एल, त्रिज्या आरऔर जनता एम	अक्ष सिलेंडर के लंबवत है और उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरता है	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
सीधी पतली लंबाई वाली छड़ एलऔर जनता एम	धुरी छड़ के लंबवत है और उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरती है	1 12 मीटर एल 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))एमएल^(2))
सीधी पतली लंबाई वाली छड़ एलऔर जनता एम	धुरी छड़ के लंबवत है और उसके सिरे से होकर गुजरती है	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
पतली दीवार वाला त्रिज्या क्षेत्र आरऔर जनता एम	धुरी गोले के केंद्र से होकर गुजरती है	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
त्रिज्या गेंद आरऔर जनता एम	धुरी गेंद के केंद्र से होकर गुजरती है	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
त्रिज्या शंकु आरऔर जनता एम	शंकु अक्ष	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
ऊंचाई के साथ समद्विबाहु त्रिभुज एच, आधार एऔर द्रव्यमान एम	अक्ष त्रिभुज के तल के लंबवत है और शीर्ष से होकर गुजरता है	1 24 मीटर (ए 2 + 12 एच 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
भुजा सहित नियमित त्रिभुज एऔर द्रव्यमान एम	अक्ष त्रिभुज के तल के लंबवत है और द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
भुजा सहित चौकोर एऔर द्रव्यमान एम	अक्ष वर्ग के तल के लंबवत है और द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
भुजाओं वाला आयत एऔर बीऔर द्रव्यमान एम	अक्ष आयत के तल के लंबवत है और द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है	1 12 मीटर (ए 2 + बी 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
त्रिज्या का नियमित एन-गॉन आरऔर द्रव्यमान एम	अक्ष तल के लंबवत है और द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
गाइड सर्कल त्रिज्या के साथ टोरस (खोखला)। आर, उत्पन्न करने वाले वृत्त की त्रिज्या आरऔर द्रव्यमान एम	अक्ष टोरस गाइड सर्कल के तल के लंबवत है और द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है	I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\right))

सूत्र व्युत्पन्न करना

पतली दीवार वाला सिलेंडर (अंगूठी, घेरा)

सूत्र की व्युत्पत्ति

किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण उसके घटक भागों के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है। आइए हम एक पतली दीवार वाले सिलेंडर को द्रव्यमान वाले तत्वों में विभाजित करें डी.एमऔर जड़ता के क्षण डीजे मैं. तब

जे = ∑ डी जे आई = ∑ आर आई 2 डी एम। (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

चूँकि पतली दीवार वाले सिलेंडर के सभी तत्व घूर्णन अक्ष से समान दूरी पर होते हैं, सूत्र (1) को रूप में बदल दिया जाता है

जे = ∑ आर 2 डी एम = आर 2 ∑ डी एम = एम आर 2। (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

मोटी दीवार वाला सिलेंडर (अंगूठी, घेरा)

सूत्र की व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि बाहरी त्रिज्या वाला एक सजातीय वलय है आर, आंतरिक त्रिज्या आर 1, मोटा एचऔर घनत्व ρ. आइए इसे मोटे मोटे पतले छल्ले में तोड़ लें डॉ.. एक पतली त्रिज्या वलय का द्रव्यमान और जड़त्व आघूर्ण आरहोगा

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; डी जे = आर 2 डी एम = 2 π ρ एच आर 3 डी आर। (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

आइए हम मोटे वलय के जड़त्व आघूर्ण को एक अभिन्न अंग के रूप में ज्ञात करें

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ घंटा आर 4 4 | आर 1 आर = 1 2 π ρ एच (आर 4 − आर 1 4) = 1 2 π ρ एच (आर 2 − आर 1 2) (आर 2 + आर 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2) ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\right)\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

चूँकि वलय का आयतन और द्रव्यमान बराबर है

वी = π (आर 2 − आर 1 2) एच ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)

हम वलय के जड़त्व आघूर्ण के लिए अंतिम सूत्र प्राप्त करते हैं

जे = 1 2 मीटर (आर 2 + आर 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

सजातीय डिस्क (ठोस सिलेंडर)

सूत्र की व्युत्पत्ति

एक सिलेंडर (डिस्क) को शून्य आंतरिक त्रिज्या वाली एक अंगूठी के रूप में मानना ( आर 1 = 0), हमें सिलेंडर (डिस्क) के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र प्राप्त होता है:

जे = 1 2 एम आर 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

ठोस शंकु

सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए शंकु को मोटाई के साथ पतली डिस्क में तोड़ दें DH का, शंकु की धुरी के लंबवत। ऐसी डिस्क की त्रिज्या बराबर होती है

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

कहाँ आर- शंकु आधार की त्रिज्या, एच-शंकु की ऊंचाई, एच- शंकु के शीर्ष से डिस्क तक की दूरी। ऐसी डिस्क का द्रव्यमान एवं जड़त्व आघूर्ण होगा

डी जे = 1 2 आर 2 डी एम = 1 2 π ρ आर 4 डी एच = 1 2 π ρ (आर एच एच) 4 डी एच ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है

जे = ∫ 0 एच डी जे = 1 2 π ρ (आर एच) 4 ∫ 0 एच एच 4 डी एच = 1 2 π ρ (आर एच) 4 एच 5 5 | 0 एच == 1 10 π ρ आर 4 एच = (ρ ⋅ 1 3 π आर 2 एच) 3 10 आर 2 = 3 10 मीटर आर 2। (\displaystyle (\begin(alline)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \दाएं)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(संरेखित)))

ठोस सजातीय गेंद

सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए गेंद को मोटाई की पतली डिस्क में तोड़ें DH का, घूर्णन अक्ष के लंबवत। ऐसी डिस्क की त्रिज्या ऊंचाई पर स्थित होती है एचगोले के केंद्र से, हम इसे सूत्र का उपयोग करके पाते हैं

आर = आर 2 − एच 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

ऐसी डिस्क का द्रव्यमान एवं जड़त्व आघूर्ण होगा

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) डी जे = 1 2 आर 2 डी एम = 1 2 π ρ आर 4 डी एच = 1 2 π ρ (आर 2 - एच 2) 2 डी एच = 1 2 π ρ (आर 4 - 2 आर 2 एच 2 + एच 4) डी एच . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh.)

हम एकीकरण द्वारा गेंद की जड़ता का क्षण ज्ञात करते हैं:

जे = ∫ - आर आर डी जे = 2 ∫ 0 आर डी जे = π ρ ∫ 0 आर (आर 4 - 2 आर 2 एच 2 + एच 4) डी एच = = π ρ (आर 4 एच - 2 3 आर 2 एच 3 + 1 5 घंटे 5) | 0 आर = π ρ (आर 5 − 2 3 आर 5 + 1 5 आर 5) = 8 15 π ρ आर 5 = = (4 3 π आर 3 ρ) ⋅ 2 5 आर 2 = 2 5 एम आर 2। (\displaystyle (\begin(alline)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(संरेखित)))

पतली दीवार वाला गोला

सूत्र की व्युत्पत्ति

इसे प्राप्त करने के लिए, हम त्रिज्या की एक सजातीय गेंद की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं आर :

जे 0 = 2 5 एम आर 2 = 8 15 π ρ आर 5। (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

आइए गणना करें कि गेंद की जड़ता का क्षण कितना बदल जाएगा, यदि स्थिर घनत्व ρ पर, इसकी त्रिज्या एक अनंत राशि से बढ़ जाती है डॉ .

जे = डी जे 0 डी आर डी आर = डी डी आर (8 15 π ρ आर 5) डी आर = = 8 3 π ρ आर 4 डी आर = (ρ ⋅ 4 π आर 2 डी आर) 2 3 आर 2 = 2 3 एम आर 2 . (\displaystyle (\begin(alline)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\दाएं)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(संरेखित)))

पतली छड़ (अक्ष केंद्र से होकर गुजरती है)

सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए छड़ को लंबाई के छोटे-छोटे टुकड़ों में तोड़ें डॉ.. ऐसे टुकड़े का द्रव्यमान और जड़त्व आघूर्ण बराबर होता है

डी एम = एम डी आर एल ; डी जे = आर 2 डी एम = एम आर 2 डी आर एल। (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है

जे = ∫ − एल / 2 एल / 2 डी जे = 2 ∫ 0 एल / 2 डी जे = 2 एम एल ∫ 0 एल / 2 आर 2 डी आर = 2 एम एल आर 3 3 | 0 एल / 2 = 2 एम एल एल 3 24 = 1 12 एम एल 2। (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

पतली छड़ (अक्ष अंत से होकर गुजरती है)

सूत्र की व्युत्पत्ति

जब घूर्णन की धुरी छड़ के मध्य से उसके सिरे तक गति करती है, तो छड़ का गुरुत्वाकर्षण केंद्र धुरी के सापेक्ष कुछ दूरी तक गति करता है एल ⁄ 2. स्टीनर के प्रमेय के अनुसार, जड़ता का नया क्षण बराबर होगा

जे = जे 0 + एम आर 2 = जे 0 + एम (एल 2) 2 = 1 12 एम एल 2 + 1 4 एम एल 2 = 1 3 एम एल 2। (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

ग्रहों और उपग्रहों की जड़ता के आयामहीन क्षण

ग्रहों और उनके उपग्रहों की आंतरिक संरचना के अध्ययन के लिए उनके जड़त्व के आयामहीन क्षण बहुत महत्वपूर्ण हैं। त्रिज्या के किसी पिंड की जड़ता का आयामहीन क्षण आरऔर जनता एमदूरी पर स्थित घूर्णन की एक निश्चित धुरी के सापेक्ष समान द्रव्यमान के एक भौतिक बिंदु की जड़ता के क्षण और घूर्णन की धुरी के सापेक्ष इसकी जड़ता के क्षण के अनुपात के बराबर है आर(के बराबर श्री 2). यह मान गहराई पर द्रव्यमान के वितरण को दर्शाता है। ग्रहों और उपग्रहों के पास इसे मापने के तरीकों में से एक किसी दिए गए ग्रह या उपग्रह के पास उड़ान भरने वाले एएमएस द्वारा प्रसारित रेडियो सिग्नल के डॉपलर शिफ्ट को निर्धारित करना है। एक पतली दीवार वाले गोले के लिए, जड़ता का आयाम रहित क्षण 2/3 (~ 0.67) के बराबर है, एक सजातीय गेंद के लिए - 0.4, और सामान्य तौर पर, जितना कम होगा, शरीर का द्रव्यमान उतना ही अधिक उसके केंद्र में केंद्रित होगा। उदाहरण के लिए, चंद्रमा का जड़त्व का आयामहीन क्षण 0.4 (0.391 के बराबर) के करीब है, इसलिए यह माना जाता है कि यह अपेक्षाकृत सजातीय है, गहराई के साथ इसका घनत्व थोड़ा बदलता है। पृथ्वी की जड़ता का आयामहीन क्षण एक सजातीय गेंद (0.335 के बराबर) से कम है, जो घने कोर के अस्तित्व के पक्ष में एक तर्क है।

जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण निम्नलिखित मात्राएँ हैं:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ आरएचओ डीवी,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ आरएचओ डीवी,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ आरएचओ डीवी,)

कहाँ एक्स , यऔर जेड- आयतन के साथ एक छोटे शरीर तत्व का निर्देशांक डीवी, घनत्व ρ और द्रव्यमान डी.एम .

OX अक्ष कहलाता है शरीर की जड़ता की मुख्य धुरी, यदि जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण जे xyऔर जे एक्सज़एक साथ शून्य के बराबर हैं. शरीर के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से जड़ता के तीन मुख्य अक्ष खींचे जा सकते हैं। ये अक्ष एक दूसरे के परस्पर लंबवत हैं। शरीर की जड़ता के क्षणएक मनमाना बिंदु पर खींची गई जड़ता के तीन मुख्य अक्षों के सापेक्ष हेनिकायों को कहा जाता है जड़ता के मुख्य क्षणइस शरीर का.

पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली जड़त्व की मुख्य अक्ष कहलाती हैं शरीर की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष, और इन अक्षों के बारे में जड़ता के क्षण इसके हैं जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षण. एक सजातीय पिंड की समरूपता की धुरी हमेशा जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक होती है।

जड़ता के ज्यामितीय क्षण

आयतन की जड़ता का ज्यामितीय क्षण

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

जहां, पहले की तरह आर- तत्व से दूरी डीवीअक्ष की ओर ए .

क्षेत्र की जड़ता का ज्यामितीय क्षणअक्ष के सापेक्ष - शरीर की एक ज्यामितीय विशेषता, सूत्र द्वारा व्यक्त:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

जहां एकीकरण सतह पर किया जाता है एस, ए डी एस- इस सतह का तत्व।

आयाम अर्जी- चौथी घात तक लंबाई ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), क्रमशः, माप की एसआई इकाई 4 है। निर्माण गणना, साहित्य और लुढ़का धातु वर्गीकरण में, इसे अक्सर सेमी 4 में दर्शाया जाता है।

अनुभाग के प्रतिरोध का क्षण क्षेत्र की जड़ता के ज्यामितीय क्षण के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:

डब्ल्यू = जे एस ए आर एम ए एक्स। (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

यहाँ आर अधिकतम- सतह से अक्ष तक अधिकतम दूरी।

कुछ आकृतियों के क्षेत्र की जड़ता के ज्यामितीय क्षण
आयताकार ऊंचाई एच (\डिस्प्लेस्टाइल एच)और चौड़ाई बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
बाहरी आकृति के साथ ऊंचाई और चौड़ाई वाला आयताकार बॉक्स अनुभाग एच (\डिस्प्लेस्टाइल एच)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी), और आंतरिक के लिए एच (\डिस्प्लेस्टाइल एच)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)क्रमश:	J z = B H 3 12 - b h 3 12 = 1 12 (B H 3 - b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 - h b 3 12 = 1 12 (H B 3 - h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
वृत्त व्यास डी (\डिस्प्लेस्टाइल डी)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

विमान के सापेक्ष जड़ता का क्षण

एक निश्चित तल के सापेक्ष किसी कठोर पिंड की जड़ता का क्षण एक अदिश राशि है जो इस बिंदु से संबंधित तल तक की दूरी के वर्ग द्वारा पिंड के प्रत्येक बिंदु के द्रव्यमान के उत्पादों के योग के बराबर होती है।

यदि एक मनमाना बिंदु के माध्यम से ओ (\डिस्प्लेस्टाइल ओ)निर्देशांक अक्ष बनाएं x , y , z (\displaystyle x,y,z), फिर निर्देशांक तलों के सापेक्ष जड़ता के क्षण x Oy (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)और z O x (\displaystyle zOx)सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाएगा:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) जे जेड ओ एक्स = ∑ आई = 1 एन एम आई वाई आई 2। (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

एक ठोस निकाय के मामले में, योग को एकीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

जड़ता का केंद्रीय क्षण

जड़ता का केंद्रीय क्षण (बिंदु O के प्रति जड़त्व आघूर्ण, ध्रुव के प्रति जड़त्व आघूर्ण, ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण) जे ओ (\डिस्प्लेस्टाइल जे_(ओ))अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित मात्रा है:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

जड़त्व के केंद्रीय क्षण को जड़त्व के प्रमुख अक्षीय क्षणों के साथ-साथ विमानों के बारे में जड़त्व के क्षणों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \सही),) जे ओ = जे एक्स ओ वाई + जे वाई ओ जेड + जे एक्स ओ जेड। (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

जड़ता का टेंसर और जड़ता का दीर्घवृत्ताभ

द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली और इकाई वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट दिशा वाली एक मनमानी धुरी के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | एस → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\right\vert =1), को द्विघात (द्विरेखीय) रूप में दर्शाया जा सकता है:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

जड़त्व टेंसर कहाँ है. जड़त्व टेंसर मैट्रिक्स सममित है और इसमें आयाम हैं 3 × 3 (\प्रदर्शन शैली 3\गुना 3)और केन्द्रापसारक क्षणों के घटक शामिल हैं:

J ^ = ‖ J x x - J x y - J x z - J y x J y y - J y z - J z x - J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(array))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )जे एक्स एक्स = ∫ (एम) (वाई 2 + जेड 2) डी एम, जे वाई वाई = ∫ (एम) (एक्स 2 + जेड 2) डी एम, जे जेड जेड = ∫ (एम) (एक्स 2 + वाई 2) डी एम। (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

उपयुक्त समन्वय प्रणाली का चयन करके, जड़त्व टेंसर मैट्रिक्स को विकर्ण रूप में कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको टेंसर मैट्रिक्स के लिए eigenvalue समस्या को हल करने की आवश्यकता है जे ^ (\प्रदर्शन शैली (\टोपी (जे))):

जे ^ डी = क्यू ^ टी ⋅ जे ^ ⋅ क्यू ^ , (\displaystyle (\टोपी (जे))_(डी)=(\टोपी (क्यू))^(टी)\cdot (\टोपी (जे))\ cdot (\टोपी (Q)),) J ^ d = ‖ J \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(array))\right\Vert ,)

कहाँ क्यू ^ (\प्रदर्शन शैली (\टोपी (क्यू)))- जड़ता टेंसर के स्वयं के आधार पर संक्रमण का ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स। उचित आधार पर, समन्वय अक्षों को जड़त्व टेंसर के मुख्य अक्षों के साथ निर्देशित किया जाता है, और जड़त्व टेंसर दीर्घवृत्त के मुख्य अर्ध-अक्षों के साथ भी मेल खाता है। मात्रा जे एक्स, जे वाई, जे जेड (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- जड़ता के मुख्य क्षण. अभिव्यक्ति (1) का अपनी समन्वय प्रणाली में रूप है:

I s = J )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

जिससे हम दीर्घवृत्त का समीकरण उसके अपने निर्देशांक में प्राप्त करते हैं। समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करने पर मैं s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J ))\right)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

और प्रतिस्थापन करना:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y) ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

हम निर्देशांकों में दीर्घवृत्ताकार समीकरण का विहित रूप प्राप्त करते हैं ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J 2)\cdot J_(Z)=1.)

दीर्घवृत्त के केंद्र से एक निश्चित बिंदु तक की दूरी दीर्घवृत्त के केंद्र और इस बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के साथ शरीर की जड़ता के क्षण के मूल्य से संबंधित होती है।

एक ठोस शरीर हो. आइए कुछ सीधी रेखा OO चुनें (चित्र 6.1), जिसे हम एक अक्ष कहेंगे (सीधी रेखा OO शरीर के बाहर हो सकती है)। आइए हम शरीर को द्रव्यमान वाले प्राथमिक वर्गों (भौतिक बिंदुओं) में विभाजित करें
अक्ष से दूरी पर स्थित है
क्रमश।

किसी अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु का जड़त्व आघूर्ण (OO) इस अक्ष से उसकी दूरी के वर्ग द्वारा किसी भौतिक बिंदु के द्रव्यमान का गुणनफल है:

. (6.1)

किसी अक्ष (OO) के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण (MI) अक्ष से उनकी दूरी के वर्ग द्वारा पिंड के प्राथमिक वर्गों के द्रव्यमान के उत्पादों का योग है:

. (6.2)

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी पिंड की जड़ता का क्षण एक योगात्मक मात्रा है - एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष पूरे शरीर की जड़ता का क्षण उसी अक्ष के सापेक्ष उसके अलग-अलग हिस्सों की जड़ता के क्षणों के योग के बराबर होता है।

इस मामले में

जड़त्व आघूर्ण kgm 2 में मापा जाता है। क्योंकि

, (6.3)

कहाँ  – पदार्थ का घनत्व,
- आयतन मैं- फिर वां खंड

या, अतिसूक्ष्म तत्वों की ओर बढ़ते हुए,

. (6.4)

पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली समरूपता की धुरी के सापेक्ष नियमित आकार के सजातीय पिंडों के एमआई की गणना करने के लिए सूत्र (6.4) का उपयोग करना सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, जनरेटर के समानांतर द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष एक सिलेंडर के एमआई के लिए, यह सूत्र देता है

कहाँ टी- वज़न; आर- सिलेंडर की त्रिज्या.

स्टीनर का प्रमेय कुछ अक्षों के सापेक्ष पिंडों के एमआई की गणना करने में बहुत सहायता प्रदान करता है: पिंडों का एमआई मैंकिसी भी अक्ष के सापेक्ष इस पिंड के एमआई के योग के बराबर है मैं सीपिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली और दिए गए अक्ष के समानांतर एक धुरी के सापेक्ष, और दूरी के वर्ग द्वारा पिंड के द्रव्यमान का गुणनफल डीसंकेतित अक्षों के बीच:

. (6.5)

अक्ष के परितः बल का आघूर्ण

बल को शरीर पर कार्य करने दें एफ. आइए सरलता के लिए मान लें कि बल एफकिसी सीधी रेखा OO के लंबवत समतल में स्थित है (चित्र 6.2, ए), जिसे हम अक्ष कहेंगे (उदाहरण के लिए, यह शरीर के घूर्णन की धुरी है)। चित्र में. 6.2, ए ए- बल लगाने का बिंदु एफ,
- उस तल के साथ अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु जिसमें बल निहित है; आर- बिंदु की स्थिति को परिभाषित करने वाला त्रिज्या वेक्टर एबिंदु के सापेक्ष के बारे में"; हे"बी = बी - ताकत का कंधा. अक्ष के सापेक्ष बल भुजा अक्ष से उस सीधी रेखा की सबसे छोटी दूरी है जिस पर बल वेक्टर स्थित है एफ(बिंदु से खींचे गए लंब की लंबाई इस पंक्ति के लिए)।

अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण समानता द्वारा परिभाषित एक वेक्टर मात्रा है

. (6.6)

इस वेक्टर का मापांक है। इसलिए, कभी-कभी वे कहते हैं कि किसी अक्ष के चारों ओर बल का क्षण बल और उसकी भुजा का गुणनफल होता है।

अगर ताकत एफमनमाने ढंग से निर्देशित किया जाता है, तो इसे दो घटकों में विघटित किया जा सकता है; और (चित्र.6.2, बी), अर्थात।
+, कहाँ - घटक OO अक्ष के समानांतर निर्देशित है, और अक्ष के लंबवत समतल में स्थित है। इस मामले में, बल के क्षण के तहत एफ OO अक्ष के सापेक्ष वेक्टर को समझें

. (6.7)

अभिव्यक्ति (6.6) और (6.7) के अनुसार, वेक्टर एमअक्ष के अनुदिश निर्देशित (चित्र 6.2 देखें) ए,बी).

घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड का संवेग

पी मान लीजिए कि पिंड एक निश्चित अक्ष OO के चारों ओर कोणीय वेग से घूमता है
. आइए मानसिक रूप से इस शरीर को द्रव्यमान के साथ प्राथमिक वर्गों में विभाजित करें
, जो क्रमशः अक्ष से दूरी पर स्थित हैं
और रैखिक गति वाले वृत्तों में घूमें
यह ज्ञात है कि मूल्य बराबर है
- एक आवेग है मैं-कथानक। आवेग का क्षण मैं-घूर्णन अक्ष के सापेक्ष अनुभाग (भौतिक बिंदु) को एक वेक्टर (अधिक सटीक रूप से, एक छद्मवेक्टर) कहा जाता है

, (6.8)

कहाँ आर मैं- त्रिज्या वेक्टर स्थिति को परिभाषित करता है मैं- अक्ष के सापेक्ष क्षेत्र.

घूर्णन अक्ष के सापेक्ष संपूर्ण पिंड के कोणीय संवेग को वेक्टर कहा जाता है

(6.9)

जिसका मॉड्यूल
.

भाव (6.8) और (6.9) के अनुसार, सदिश
और घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित (चित्र 6.3)। यह दर्शाना आसान है कि किसी पिंड का कोणीय संवेग क्या है एलघूर्णन अक्ष और जड़त्व आघूर्ण के सापेक्ष मैंइस पिंड के एक ही अक्ष के सापेक्ष संबंध से संबंधित हैं

. (6.10)

किसी दिए गए अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड (सिस्टम) की जड़ता का क्षण ओज़ (या जड़ता का अक्षीय क्षण) एक अदिश राशि है जो शरीर (सिस्टम) के सभी बिंदुओं के द्रव्यमान के उत्पादों के योग से भिन्न होता है इस अक्ष से उनकी दूरियों का वर्ग:

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड (या सिस्टम) की जड़ता का क्षण एक सकारात्मक मात्रा है और शून्य के बराबर नहीं है।

भविष्य में, यह दिखाया जाएगा कि जड़ता का अक्षीय क्षण किसी पिंड की घूर्णी गति के दौरान वही भूमिका निभाता है जो द्रव्यमान स्थानांतरीय गति के दौरान करता है, अर्थात, जड़त्व का अक्षीय क्षण घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप है गति।

सूत्र (2) के अनुसार, किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण उसी अक्ष के सापेक्ष उसके सभी भागों के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है। अक्ष से h दूरी पर स्थित एक भौतिक बिंदु के लिए। एसआई में जड़त्व क्षण की माप की इकाई 1 किलो (एमकेजीएसएस प्रणाली में -) होगी।

जड़त्व के अक्षीय क्षणों की गणना करने के लिए, अक्षों से बिंदुओं की दूरी को इन बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, ऑक्स अक्ष से दूरी का वर्ग होगा, आदि)।

फिर अक्षों के बारे में जड़ता के क्षण सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाएंगे:

अक्सर गणना के दौरान परिभ्रमण की त्रिज्या की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। किसी अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता की त्रिज्या समानता द्वारा निर्धारित एक रैखिक मात्रा है

जहाँ M शरीर का द्रव्यमान है। परिभाषा से यह पता चलता है कि जड़त्व की त्रिज्या ज्यामितीय रूप से उस बिंदु के अक्ष से दूरी के बराबर होती है जिस पर पूरे शरीर का द्रव्यमान केंद्रित होना चाहिए ताकि इस एक बिंदु की जड़ता का क्षण जड़ता के क्षण के बराबर हो पूरे शरीर का.

जड़त्व की त्रिज्या को जानने के बाद, आप शरीर की जड़ता के क्षण को खोजने के लिए सूत्र (4) का उपयोग कर सकते हैं और इसके विपरीत।

सूत्र (2) और (3) कठोर पिंड और भौतिक बिंदुओं की किसी भी प्रणाली दोनों के लिए मान्य हैं। किसी ठोस पिंड के मामले में, इसे प्राथमिक भागों में तोड़ने पर, हम पाते हैं कि सीमा में समानता (2) में योग एक अभिन्न में बदल जाएगा। परिणामस्वरूप, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि घनत्व कहाँ है और V आयतन है, हम प्राप्त करते हैं

यहां अभिन्न अंग शरीर के संपूर्ण आयतन V तक फैला हुआ है, और घनत्व और दूरी h शरीर के बिंदुओं के निर्देशांक पर निर्भर करता है। इसी प्रकार, ठोस पिंडों के लिए सूत्र (3) का रूप लेते हैं

नियमित आकार के सजातीय पिंडों की जड़ता के क्षणों की गणना करते समय सूत्र (5) और (5) का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इस स्थिति में, घनत्व स्थिर रहेगा और अभिन्न चिह्न से बाहर हो जाएगा।

आइए कुछ सजातीय पिंडों के जड़त्व के क्षण ज्ञात करें।

1. लंबाई l और द्रव्यमान M की एक पतली सजातीय छड़। आइए हम छड़ के लंबवत और इसके सिरे A से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष इसके जड़त्व आघूर्ण की गणना करें (चित्र 275)। आइए हम समन्वय अक्ष को AB के अनुदिश निर्देशित करें। फिर लंबाई d के किसी भी प्रारंभिक खंड के लिए मान है, और द्रव्यमान है, जहां छड़ की एक इकाई लंबाई का द्रव्यमान है। परिणामस्वरूप, सूत्र (5) देता है

यहां इसके मूल्य के साथ प्रतिस्थापित करते हुए, हम अंततः पाते हैं

2. त्रिज्या R और द्रव्यमान M की एक पतली गोल सजातीय अंगूठी। आइए हम अंगूठी के तल के लंबवत और इसके केंद्र C से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष इसका जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें (चित्र 276)।

चूँकि वलय के सभी बिंदु अक्ष से दूरी पर स्थित हैं, सूत्र (2) देता है

इसलिए, अंगूठी के लिए

जाहिर है, अपनी धुरी के सापेक्ष द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक पतले बेलनाकार खोल की जड़ता के क्षण के लिए भी यही परिणाम प्राप्त होगा।

3. त्रिज्या R और द्रव्यमान M की एक गोल सजातीय प्लेट या सिलेंडर। आइए हम प्लेट के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष गोल प्लेट की जड़ता के क्षण की गणना करें (चित्र 276 देखें)। ऐसा करने के लिए, हम त्रिज्या और चौड़ाई के साथ एक प्राथमिक रिंग का चयन करते हैं (चित्र 277, ए)। इस वलय का क्षेत्रफल है, और द्रव्यमान है, प्लेट के प्रति इकाई क्षेत्रफल का द्रव्यमान कहाँ है। फिर, सूत्र (7) के अनुसार चयनित प्राथमिक रिंग के लिए और पूरी प्लेट के लिए होगा

जैसा कि ऊपर बताया गया है, सरल समतल आकृतियों में तीन आकृतियाँ शामिल होती हैं: एक आयत, एक त्रिभुज और एक वृत्त। इन आकृतियों को सरल माना जाता है क्योंकि इन आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति पहले से ज्ञात होती है। अन्य सभी आकृतियाँ इन सरल आकृतियों से बनी हो सकती हैं और जटिल मानी जाती हैं। आइए हम उनके केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष सरल आकृतियों की जड़ता के अक्षीय क्षणों की गणना करें।

1. आयत।आइए आयामों के साथ एक आयताकार प्रोफ़ाइल के क्रॉस-सेक्शन पर विचार करें (चित्र 4.6)। आइए हम दूरी पर दो असीम रूप से करीबी अनुभागों के साथ एक अनुभाग तत्व का चयन करें केंद्रीय अक्ष से
.

आइए अक्ष के सापेक्ष एक आयताकार क्रॉस-सेक्शन की जड़ता के क्षण की गणना करें:

. (4.10)

अक्ष के परितः एक आयताकार खंड का जड़त्व आघूर्ण
हम इसी तरह पाएंगे. निष्कर्ष यहां नहीं दिया गया है.

. (4.11)

और
अक्षों के बाद से शून्य के बराबर है
और
सममिति के अक्ष हैं, और, इसलिए, प्रमुख अक्ष हैं।

2. समद्विबाहु त्रिकोण।आइए आयामों के साथ त्रिकोणीय प्रोफ़ाइल के एक अनुभाग पर विचार करें
(चित्र.4.7). आइए हम दूरी पर दो असीम रूप से करीबी अनुभागों के साथ एक अनुभाग तत्व का चयन करें केंद्रीय अक्ष से
. त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र कुछ दूरी पर है
आधार से. त्रिभुज को समद्विबाहु माना जाता है, इसलिए अक्ष
अनुभाग समरूपता की धुरी है.

आइए अक्ष के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता के क्षण की गणना करें
:

. (4.12)

आकार हम त्रिभुजों की समानता से निर्धारित करते हैं:

; कहाँ
.

के लिए अभिव्यक्तियाँ प्रतिस्थापित करना (4.12) में और एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

. (4.13)

अक्ष के परितः एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए जड़त्व आघूर्ण
एक समान तरीके से पाया जाता है और इसके बराबर है:

(4.14)

अक्षों के बारे में जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण
और
अक्ष के बाद से शून्य के बराबर है
अनुभाग की समरूपता की धुरी है.

3. घेरा. व्यास के साथ एक गोलाकार प्रोफ़ाइल के क्रॉस सेक्शन पर विचार करें (चित्र.4.8). आइए हम दूरी पर स्थित दो असीम रूप से निकट संकेंद्रित वृत्तों वाले अनुभाग तत्व को उजागर करें वृत्त के गुरुत्व केन्द्र से .

आइए अभिव्यक्ति (4.5) का उपयोग करके वृत्त की जड़ता के ध्रुवीय क्षण की गणना करें:

. (4.15)

दो परस्पर लंबवत अक्षों (4.6) के बारे में जड़ता के अक्षीय क्षणों के योग के लिए अपरिवर्तनीय स्थिति का उपयोग करना और समरूपता के कारण एक वृत्त के लिए इसे ध्यान में रखना
, हम जड़ता के अक्षीय क्षणों का मान निर्धारित करते हैं:

. (4.16)

. (4.17)

अक्षों के बारे में जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण और अक्षों के बाद से शून्य के बराबर है
और
अनुभाग की समरूपता के अक्ष हैं।

4.4. समानांतर अक्षों के सापेक्ष जड़त्व के क्षणों के बीच निर्भरता

जटिल आकृतियों के लिए जड़ता के क्षणों की गणना करते समय, एक नियम याद रखना चाहिए: जड़ता के क्षणों के लिए मान जोड़े जा सकते हैं, यदि उनकी गणना एक ही अक्ष के सापेक्ष की जाती है. जटिल आकृतियों के लिए, अक्सर व्यक्तिगत सरल आकृतियों और संपूर्ण आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र मेल नहीं खाते हैं। तदनुसार, व्यक्तिगत सरल आकृतियों और संपूर्ण आकृति के लिए केंद्रीय अक्ष मेल नहीं खाते हैं। इस संबंध में, जड़ता के क्षणों को एक अक्ष पर लाने की तकनीकें हैं, उदाहरण के लिए, संपूर्ण आकृति का केंद्रीय अक्ष। यह जड़त्व अक्षों के समानांतर अनुवाद और अतिरिक्त गणनाओं के कारण हो सकता है।

आइए चित्र 4.9 में दिखाए गए जड़त्व के समानांतर अक्षों के सापेक्ष जड़त्व के क्षणों के निर्धारण पर विचार करें।

मान लीजिए जड़त्व के अक्षीय और केन्द्रापसारक क्षण चित्र 4.9 में दिखाए गए हैं। मनमाने ढंग से चुनी गई अक्षों के सापेक्ष आंकड़े
और
बिंदु पर मूल के साथ ज्ञात। मनमाना समानांतर अक्षों के सापेक्ष किसी आकृति की जड़ता के अक्षीय और केन्द्रापसारक क्षणों की गणना करना आवश्यक है
और
बिंदु पर मूल के साथ . एक्सेल
और
की दूरी पर किया गया और क्रमशः अक्षों से
और
.

आइए हम जड़त्व के अक्षीय क्षण (4.4) और जड़त्व के केन्द्रापसारक क्षण (4.7) के लिए अभिव्यक्तियों का उपयोग करें। आइए वर्तमान निर्देशांकों के स्थान पर इन अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करें
और
अतिसूक्ष्म निर्देशांक क्षेत्र वाला तत्व
और
नई समन्वय प्रणाली में. हम पाते हैं:

प्राप्त अभिव्यक्तियों का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि समानांतर अक्षों के सापेक्ष जड़ता के क्षणों की गणना करते समय, जड़ता के मूल अक्षों के सापेक्ष गणना की गई जड़ता के क्षणों में अतिरिक्त शब्दों के रूप में योजक जोड़े जाने चाहिए, जो बहुत अधिक हो सकते हैं मूल अक्षों के सापेक्ष जड़ता के क्षणों के मूल्यों की तुलना में। इसलिए, किसी भी परिस्थिति में इन अतिरिक्त शर्तों की उपेक्षा नहीं की जानी चाहिए।

माना गया मामला अक्षों के समानांतर स्थानांतरण का सबसे सामान्य मामला है, जब जड़त्व की मनमानी अक्षों को प्रारंभिक के रूप में लिया गया था। अधिकांश गणनाओं में जड़ता के क्षणों को निर्धारित करने के विशेष मामले होते हैं।

पहला विशेष मामला. मूल अक्ष आकृति की जड़त्व के केंद्रीय अक्ष हैं। फिर, क्षेत्र के स्थिर क्षण के लिए मुख्य संपत्ति का उपयोग करके, हम समीकरणों (4.18)-(4.20) से उन समीकरणों की शर्तों को बाहर कर सकते हैं जिनमें आकृति के क्षेत्र के स्थिर क्षण शामिल हैं। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

यहाँ कुल्हाड़ियाँ हैं
और
-जड़त्व के केंद्रीय अक्ष.

दूसरा विशेष मामला. संदर्भ अक्ष जड़ता के मुख्य अक्ष हैं। फिर, यह ध्यान में रखते हुए कि जड़ता के मुख्य अक्षों के सापेक्ष जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

यहाँ कुल्हाड़ियाँ हैं
और
जड़त्व के मुख्य अक्ष.

आइए प्राप्त अभिव्यक्तियों का उपयोग करें और समतल आकृतियों के लिए जड़त्व के क्षणों की गणना के कई उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 4.2.चित्र में दिखाए गए चित्र की जड़ता के अक्षीय क्षण निर्धारित करें। 4.10, केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष और .

पिछले उदाहरण 4.1 में, चित्र 4.10 में दिखाए गए चित्र के लिए, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र C की स्थिति निर्धारित की गई थी। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का समन्वय अक्ष से प्लॉट किया गया था और संकलित किया गया
. आइए दूरियों की गणना करें और अक्षों के बीच और और कुल्हाड़ियाँ और . ये दूरियाँ क्रमशः थीं
और
. मूल अक्षों के बाद से और अक्ष के सापेक्ष आकृति की जड़ता के क्षण को निर्धारित करने के लिए, आयतों के रूप में सरल आकृतियों के लिए केंद्रीय अक्ष हैं आइए हम पहले विशेष मामले के लिए निष्कर्षों का उपयोग करें, विशेष रूप से, सूत्र (4.21)।

अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हम अक्ष के बाद से, एक ही अक्ष के सापेक्ष सरल आकृतियों के जड़त्व के क्षणों को जोड़कर प्राप्त करते हैं सरल आकृतियों और संपूर्ण आकृति के लिए सामान्य केंद्रीय अक्ष है।

सेमी 4.

अक्षों के बारे में जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण और जड़त्व अक्ष के बाद से शून्य के बराबर है मुख्य अक्ष (आकृति की समरूपता का अक्ष) है।

उदाहरण 4.3.आकार क्या है? बी(सेमी में) चित्र में दिखाया गया चित्र. 4.11, यदि अक्ष के सापेक्ष आकृति की जड़ता का क्षण 1000 सेमी 4 के बराबर?

आइए हम अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण को व्यक्त करें किसी अज्ञात अनुभाग आकार के माध्यम से , सूत्र (4.21) का उपयोग करते हुए, अक्षों के बीच की दूरी को ध्यान में रखते हुए और 7 सेमी के बराबर:

सेमी 4. (ए)

अनुभाग आकार के सापेक्ष अभिव्यक्ति (ए) को हल करना , हम पाते हैं:

सेमी।

उदाहरण 4.4.चित्र 4.12 में दर्शाए गए आंकड़ों में से किसमें अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण अधिक है यदि दोनों आकृतियों का क्षेत्रफल समान है
सेमी 2?

1. आइए हम आकृतियों के क्षेत्रफलों को उनके आकार के रूप में व्यक्त करें और निर्धारित करें:

क) एक गोल खंड के लिए खंड व्यास:

सेमी 2; कहाँ
सेमी।

बी) वर्गाकार भुजा का आकार:

; कहाँ
सेमी।

2. एक वृत्ताकार खंड के लिए जड़त्व आघूर्ण की गणना करें:

सेमी 4.

3. एक वर्ग खंड के लिए जड़ता के क्षण की गणना करें:

सेमी 4.

प्राप्त परिणामों की तुलना करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि समान क्षेत्रफल वाले गोलाकार खंड की तुलना में एक वर्ग खंड में जड़ता का क्षण सबसे अधिक होगा।

उदाहरण 4.5.एक आयताकार खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष ध्रुवीय जड़त्व क्षण (सेमी 4 में) निर्धारित करें, यदि खंड की चौड़ाई
सेमी, अनुभाग ऊंचाई
सेमी।

1. क्षैतिज के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता के क्षण ज्ञात करें और ऊर्ध्वाधर जड़त्व के केंद्रीय अक्ष:

सेमी 4;
सेमी 4.

2. हम खंड के ध्रुवीय जड़त्व क्षण को जड़त्व के अक्षीय क्षणों के योग के रूप में निर्धारित करते हैं:

सेमी 4.

उदाहरण 4.6.केंद्रीय अक्ष के सापेक्ष चित्र 4.13 में दिखाए गए त्रिकोणीय आकृति की जड़ता का क्षण निर्धारित करें , यदि अक्ष के सापेक्ष आकृति की जड़ता का क्षण 2400 सेमी 4 के बराबर।

जड़ता के मुख्य अक्ष के सापेक्ष एक त्रिकोणीय खंड की जड़ता का क्षण अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण की तुलना में कम होगा राशि से
. इसलिए, जब
अक्ष के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता का सेमी क्षण हम इसे इस प्रकार पाते हैं।

परिभाषा

एक घूमते हुए पिंड की जड़ता का माप है निष्क्रियता के पल(जे) उस अक्ष के सापेक्ष जिसके चारों ओर घूर्णन होता है।

यह एक अदिश (सामान्य तौर पर, टेंसर) भौतिक मात्रा है, जो भौतिक बिंदुओं () के द्रव्यमान के गुणनफल के बराबर है, जिसमें संबंधित पिंड को उनसे घूर्णन अक्ष तक की दूरी () के वर्गों में विभाजित किया जाना चाहिए:

जहाँ r अंतरिक्ष में किसी भौतिक बिंदु की स्थिति का एक फलन है; - शरीर का घनत्व; - शरीर के किसी तत्व का आयतन।

एक सजातीय निकाय के लिए, अभिव्यक्ति (2) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में जड़ता का क्षण मापा जाता है:

मात्रा J उन बुनियादी कानूनों में शामिल है जिनके साथ एक कठोर शरीर के घूर्णन का वर्णन किया गया है।

सामान्य स्थिति में, जड़ता के क्षण का परिमाण घूर्णन अक्ष की दिशा पर निर्भर करता है, और चूंकि गति के दौरान वेक्टर आमतौर पर शरीर के सापेक्ष अपनी दिशा बदलता है, जड़ता के क्षण को समय के एक कार्य के रूप में माना जाना चाहिए। एक अपवाद एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर की जड़ता का क्षण है। इस स्थिति में जड़त्व आघूर्ण स्थिर रहता है।

स्टीनर का प्रमेय

स्टीनर का प्रमेय घूर्णन के एक मनमाना अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता के क्षण की गणना करना संभव बनाता है, जब प्रश्न में शरीर की जड़ता का क्षण इस पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष ज्ञात होता है और ये अक्ष हैं समानांतर। गणितीय रूप में, स्टीनर के प्रमेय को इस प्रकार दर्शाया गया है:

पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाले घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता का क्षण कहां है; m प्रश्न में वस्तु का द्रव्यमान है; a अक्षों के बीच की दूरी है। यह अवश्य याद रखें कि कुल्हाड़ियाँ समानांतर होनी चाहिए। अभिव्यक्ति (4) से यह इस प्रकार है:

किसी पिंड की जड़ता के क्षणों की गणना के लिए कुछ अभिव्यक्तियाँ

किसी अक्ष के चारों ओर घूमते समय, एक भौतिक बिंदु का जड़त्व आघूर्ण बराबर होता है:

जहाँ m बिंदु का द्रव्यमान है; r बिंदु से घूर्णन अक्ष की दूरी है।

द्रव्यमान m और लंबाई l J की एक सजातीय पतली छड़ के लिए उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष (अक्ष छड़ के लंबवत है) बराबर है:

एक पतली अंगूठी जिसका द्रव्यमान एक धुरी के चारों ओर घूमता है जो इसके केंद्र से गुजरती है, अंगूठी के विमान के लंबवत, तो जड़ता के क्षण की गणना इस प्रकार की जाती है:

जहाँ R वलय की त्रिज्या है।

त्रिज्या R और द्रव्यमान m की एक गोल सजातीय डिस्क में इसके केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष J और डिस्क के तल के लंबवत है, जो बराबर है:

एक सजातीय गेंद के लिए

जहाँ m गेंद का द्रव्यमान है; R गेंद की त्रिज्या है. गेंद एक अक्ष के चारों ओर घूमती है जो उसके केंद्र से होकर गुजरती है।

यदि घूर्णन की धुरी एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की धुरी है, तो एक सतत शरीर के लिए जड़ता के क्षणों की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

शरीर के एक अतिसूक्ष्म तत्व के निर्देशांक कहाँ हैं?

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम

दो गेंदें, जिन्हें बिंदु गेंदें माना जा सकता है, एक पतली भारहीन छड़ द्वारा एक साथ रखी जाती हैं। रॉड की लंबाई एल. द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से छड़ के लंबवत गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष इस प्रणाली की जड़ता का क्षण क्या है। बिंदुओं का द्रव्यमान समान और m के बराबर है।

समाधान

आइए एक गेंद () से दूरी पर स्थित अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें:

दूसरी गेंद का जड़त्व आघूर्ण बराबर होगा:

सिस्टम की जड़ता का कुल क्षण योग के बराबर है:

उत्तर

उदाहरण 2

व्यायाम

बिंदु O से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष एक भौतिक लोलक का जड़त्व आघूर्ण क्या है (चित्र 1)? अक्ष ड्राइंग के तल के लंबवत है। विचार करें कि एक भौतिक पेंडुलम में m द्रव्यमान वाली l लंबाई की एक पतली छड़ और द्रव्यमान की एक डिस्क होती है। डिस्क छड़ के निचले सिरे से जुड़ी होती है और इसकी त्रिज्या बराबर होती है

समाधान

हमारे पेंडुलम (जे) की जड़ता का क्षण बिंदु ओ से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमने वाली रॉड () की जड़ता के क्षण के योग के बराबर होगा और डिस्क () एक ही धुरी के चारों ओर घूमती है: