Главные напряжения при изгибе сопромат. Напряжения при поперечном изгибе

Продольное усилие

При выводе расчетных формул для определения нормального напряжения, делается следующее предположение: продольная ось не меняет своей длинны при изгибе, продольные линии изгибаются по радиусу. Контуры поперечных сечений плоские до нагружения остаются плоскими и после нагружения; линии контура сечений всюду перпендикулярны продольной оси.

Существует слой, который не меняет своей длинны при изгибе- он называется нейтральным слоем.

При пересечении нейтрального слоя поперечным сечением, получаем нейтральную линию.

При плоском изгибе нейтральный слой оказывается перпендикулярным силовой плоскости и значит нейтральная линия перпендикулярна к силовой линии сечения.

Выберем теперь двумя поперечными сечениями элемент балки длинной dx.

Относительная деформация волокна равна разности между длинами волокон

Рассмотрим волокно a 0 b 0 , принадлежащее нормальному слою, его длина равняется отрезкуdx, после деформации отрезок превращается в дугуa 0 ’b 0 ’=

Волокно нейтрального слоя не меняет своей длины при деформации => dx=, подставляя это выражение в формулу для относительной деформации

по закону Гука, сравнивая эти выражения =>, здесь у- расстояние от нейтральной линии до точки, где определяется это напряжение, подставляя это выражение в выражение для момента:

В случаи поперечного изгиба расчет нормальных напряжений производится по той же формуле, что и для чистого изгиба, поскольку разница в результатах практически нулевая, а возникающее касательное напряжение может достигать больших величин, и определяется при изгибе с помощью формул Журавского.

1. Определение касательного напряжения при поперечном изгибе

При поперечном сечении поперечные усилия Qи изгибающие моменты, возникает не только нормальное, но и касательное напряжение

Вывод формулы для определения касательных напряжений рассмотрим на балке с поперечным сечением

Эти предположения справедливы в том случае, если ширина сечения bзначительно меньше, чемh.

Отмечаем часть элемента балки проведя горизонтальную плоскость mmна расстоянии у от нейтральной линии

На гранях A 1 A 2 m 2 m 1 ,C 1 C 2 n 2 n 1 иA 1 A 2 C 2 C 1 напряжений никаких нет, т.к. эти грани являются частью наружной поверхности балки.

Необходимо вычислить равнодействующую нормальных напряжений распределенных по грани A 1 C 1 m 1 n 1 на элементарную площадкуdF=bd, проведенную параллельно осиzна расстоянииот нее действует нормальная осевая сила

1. Стат момент площади, заключенной между уровнемYи наружным краем балки

Аналогично на грани A 2 C 2 n 2 m 2 равнодействующая нормальных напряжений отбудет равняться:

величина статического момента отсеченной плоскости будет такой же, как и в предыдущем выражении.

В грани n 1 n 2 m 1 m 2 действует нормальное напряжение, поскольку при поперечном изгибе волокна давят друг на друга, но этими напряжениями пренебрегают как несущественными для расчета на прочность.

Кроме того согласно закону парности касательных напряжений, возникают касательные напряжения в перпендикулярном направлении по ЗПКН

Т.к. длина грани n 1 n 2 m 1 m 2 мала, т.е. равнаdx, можно считать, что-равномерно распределены по этой грани.

Условие равновесия параллелепипеда: a 1 a 2 c 2 c 1 n 1 n 2 m 2 m 1

Если разделить полученное равенство на bdx, то:- Формула Журавского,

Которая позволяет определить величину касательного напряжения при поперечном изгибе на любом уровне поперечного сечения

Лекция 9

НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Как уже говорилось, поперечным называют изгиб, при котором в сечении балки помимо изгибающего момента возникает поперечная сила. В этом случае в поперечных сечениях вместе с нормальными напряжениями σ появляются касательные напряжения τ. Наличие касательных напряжений вызывает сдвиг отдельных волокон относительно друг друга, и сечение, бывшее до деформации плоским, после нагружения искривляется. Это явление носит название депланации сечений (рис. 9.1,а ).

Однако нарушение гипотезы плоских сечений практически не влияет на распределение нормальных напряжений, найденное нами при рассмотрении чистого изгиба – формулы (8.4), (8.5), (8.7) остаются справедливыми и при поперечном изгибе:

Этот факт можно объяснить тем, что если поперечная сила на участке постоянна, искривление всех сечений происходит одинаково, и удлинение произвольного продольного волокна АВ (рис. 9.1,б ) не зависит от того, остались ли сечения плоскими:

При изменяющейся поперечной силе указанные формулы дают некоторую погрешность, величина которой пропорциональна относительной высоте сечения балки h /l и в большинстве случаев незначительна. Сказанное даёт нам основания и при поперечном изгибе пользоваться гипотезой плоских сечений, считая, что картина деформаций в основном определяется поворотом сечений, а не их искривлением за счёт сдвиговых деформаций.

КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ФОРМУЛА ЖУРАВСКОГО

Наличие поперечной силы Q y приводит к появлению в плоскости сечения касательных напряжений τ zy (рис.9.2). По закону парности такие же по величине напряжения действуют в продольных сечениях:

.

Для нахождения касательных напряжений выделим из балки, подвергнутой поперечному изгибу, бесконечно малый элемент длиной dz, показанный на рис.9.3,а . В поперечных сечениях, образующих грани элемента, показаны нормальные и касательные напряжения, а также внутренние усилия. При этом учтено, что изгибающие моменты в левом и правом сечениях не равны друг другу и отличаются на величину dM x в силу того, что Q y = dM x /dz ¹ 0. Нормальные напряжения также не будет равны, их отличие с учётом (8.5) составит величину

Дополнительно рассечём выделенный элемент горизонтальной плоскостью, проходящей на произвольном расстоянии y от нейтральной оси, и рассмотрим условие равновесия нижней части элемента. Площадь поперечного сечения отсечённой части элемента обозначим A отс, положение элементарной площадки dA определим координатой y 1 (рис.9.3.б ). Равнодействующая нормальных сил sdA в левом сечении равна

(9.1)

Входящий в последнее выражение интеграл представляет собой статический момент площади A отс относительно нейтральной оси x . Обозначив его величину , получим

. (9.2)

В правом сечении равнодействующая нормальных сил будет иной:

.

Разность этих сил

(9.3)

должна в проекции на ось z уравновешиваться касательной силой dT , действующей в продольном сечении элемента (рис. 9.3,б ).

Предположив, что по ширине сечения b касательные напряжения t распределены равномерно, а так же учитывая малость элемента в направлении оси балки, усилие dT можно представить следующим образом

Из полученных зависимостей(9.3) и (9.5) с учётом равенства (9.4) получаем формулу для нахождения касательных напряжений:

. (9.6)

При отсутствии распределённой моментной нагрузки m последнее выражение принимает вид

Таким образом, мы определили напряжения в горизонтальном сечении, проведённом на расстоянии y от нейтральной оси. По закону парности они равны напряжениям в поперечном сечении балки. Напомним, что b – ширина поперечного сечения в месте его рассечения горизонтальной плоскостью, а - статический момент отсеченной площади A отс относительно горизонтальной центральной оси х . Выражение (9.7) называется формулой Журавского, по имени профессора Д.И.Журавского (1821-1891гг.), впервые получившего её при разработке методов расчёта мостовых сооружений в ходе проектирования и строительства железной дороги С.Петербург – Москва в середине XIX века.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

В БАЛКАХ РАЗЛИЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Из величин, входящих в правую часть формулы Журавского, в общем случае функциями координаты y являются статический момент и ширина сечения b. При подходе к нижней кромке сечения, площадь A отс (рис.9.3,б ) стремится к нулю, а вместе с ней обращается в нуль и статический момент . При подходе к верхней кромке площадь отсечённой части A отс оказывается равна площади всего сечения A . Поскольку ось х является центральной, то статический момент и в этом случае равен нулю. Таким образом, касательные напряжения обращаются в нуль на верхней и нижней границах сечения. Характер их изменения внутри сечения рассмотрим на нескольких примерах.

1. Прямоугольное сечение.

Для сечения размерами b и h найдём статический момент отсеченной части площади (на рис. 9.4,а заштрихована), как произведение площади A отс на координату её центра тяжести у с :

Учитывая, что

.

Подставляя это выражение в формулу Журавского (9.7), найдём закон изменения касательного напряжения по высоте сечения:

.

Здесь принято во внимание, что для прямоугольного сечения

Таким образом, эпюра напряжения t, показанная на рис. 9.4,б , имеет вид квадратной параболы. Наибольшей величины напряжение достигают при значении у = 0:

.

Здесь A – площадь всего сечения.

2. Треугольное сечение.

Рассмотрим сечение треугольной формы с основанием с и высотой h (рис. 9.5,а ). Обозначим ширину сечения на расстоянии y от оси как b . Тогда будем иметь:

.

Статический элемент заштрихованной части сечения

осевой момент инерции треугольного сечения

Подставив полученные выражения в формулу Журавского, найдём касательное напряжение

.

Эпюра напряжений, показанная на рис. 9.5,б , как и предыдущем случае, имеет вид квадратной параболы, имеющей максимум в центральной части сечения (у =h/ 6).

Наибольшее напряжение равно

,

где A – площадь сечения балки.

3. Круглое сечение.

Статический момент отсечённый части сечения, показанной на рис. 9.6 штриховкой, можно представить следующим образом

,

где у 1 – координата, описывающая положение элементарной площадки dA .

После интегрирования получим

Учитывая, что для круга

находим зависимость касательного напряжения t от вертикальной координаты у :

При у = 0 касательное напряжение имеет наибольшее значение

.

Эпюра t показана на рис. 9.6,б .

В двух последних примерах, строго говоря, формула Журавского не может быть признана точной. Легко показать, что здесь не выполняется допущение о постоянстве напряжений по ширине сечения.

Рассмотрим бесконечно малый элемент, в окрестности точки К сечения (рис.9.7). Пусть одна из граней элемента является частью внешней боковой поверхности балки.

Напряжение t в поперечном сечении всегда можно разложить на две составляющие - t к, которая направлена по касательной к контуру сечения, и перпендикулярную ей t н, действующую по нормали к границе сечения. По закону парности касательных напряжений, такое же по величине напряжение t н должно действовать на перпендикулярной площадке, т.е.площадке, выходящей на боковую поверхность балки. Однако по условиям нагружения боковая поверхность должна быть свободна от сдвиговых нагрузок, следовательно,

Отсюда следует вывод, что напряжение t может быть направленно только по касательной к границе сечения, т.е. совпадать со своей проекцией t к.

В точке К ¢ напряжение t также будет направленно по касательной к контуру сечения, симметрично напряжению в точке К .

Проведённые рассуждения справедливы и для треугольного сечения, и вообще для любых сечений с плавно меняющейся толщиной. Формула Журавского в этих случаях является приближённой и позволяет вычислить не сами касательные напряжения t, а их проекцию на ось у (на плоскость нагружения).

4. Тонкостенные сечения.

В качестве примера тонкостенного сечения на рис. 9.8,а изображён двутавр, состоящий их двух полок и соединяющей их стойки. Такое сечение можно разбить на прямоугольники, и формально воспользовавшись формулой Журавского, получить показанные на рис. 9.8,б распределение касательных напряжений.

В местах соединения полок со стойкой на эпюре напряжений возникает скачок значений, связанный с резким уменьшением ширины сечения в средней части. Распределение напряжений в полках показано на эпюре пунктиром, поскольку реальная картина будет несколько иной. Дело в том, что в полках помимо вертикальных напряжений t возникают горизонтальные составляющие напряжений t ¢ , величина которых значительно больше. Если отсечь часть полки с площадью A отс, как это показано на рис. 9.9, то нормальные напряжения приведут к появлению нормальной силы dN , подобно тому, как это описано при выводе формулы Журавского (9.7). Для обеспечения условий равновесия необходимо появление в полке касательных напряжений t ¢ :

,

где δ – толщина полки. Вдоль размера δ напряжения t xz распределены равномерно.

По ширине полки касательные напряжения изменяются по линейному закону, поскольку

где х 1 – расстояние от края полки (см. рис. 9.9). Эпюра горизонтальных напряжений t ¢ , равномерно распределённых по толщине стенки δ и направленных по касательной к контуру сечения, показана на рис. 9.8,в . Их величина может быть найдена по формуле

В случае изгиба в двух плоскостях, напряжения можно найти в виде алгебраической суммы:

(9.9)

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ НАИБОЛЬШИМИ НОРМАЛЬНЫМИ И НАИБОЛЬШИМИ КАСАТЕЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ ПРИ ИЗГИБЕ

Из рассмотренных примеров следует, что зона наибольших касательных напряжений расположена в средней части высоты сечения, а величина t max для сплошных сечений имеет порядок Q y /A . В большинстве случаев касательные напряжения составляют по сравнению с нормальными напряжениями небольшую величину. Например, для консольной балки прямоугольного сечения, показанной на рис. 9.10

наибольшие нормальные напряжения равны

а наибольшие касательные

Их соотношение

свидетельствует о том, что касательные напряжения во много раз меньше нормальных. По этой причине расчёт на прочность при поперечном изгибе, как и при чистом изгибе, производится только по нормальным напряжениям. При этом касательные напряжения во внимание не принимаются, поскольку они равны нулю в наиболее удалённых от нейтральной оси точках сечения, где максимальны нормальные напряжения.

Однако, в ряде случаев касательные напряжения при изгибе необходимо учитывать. Это относится, прежде всего, к тонкостенным профилям – двутавру, швеллеру и т.д. при нагрузках, вызывающих большую поперечную силу по сравнению с изгибающим моментом. В такой ситуации рекомендуется проводить так называемую полную проверку прочности.

Другой причиной проверки прочности по касательным напряжениям является применение изотропных материалов, плохо сопротивляющихся сдвигу – например, дерева.

ПОЛНАЯ ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК ТОНКОСТЕННОГО ПРОФИЛЯ

На рис. 9.11,а в качестве примера тонкостенного сечения изображён двутавр с обозначением характерных точек, в которых необходима проверка прочности.

В точках типа 1, наиболее удалённых от нейтральной оси, нормальные напряжения достигают максимума, а касательные равны нулю.

Для тонкостенных сечений, так же как и для сплошных, расчёт на прочность начинают с проверки условия (8.7):

,

что позволяет назначить размеры сечения таким образом, чтобы момент сопротивления не был меньше требуемого значения

.

Если для сплошных сечений проверка прочности на этом заканчивается, то для тонкостенных необходим дальнейший расчёт.

В опасных точках типа 2 (рис.9.11,а ) возможно разрушение срезом за счёт значительных по величине касательных напряжений. Поскольку нормальных напряжений в этом месте нет, условие прочности имеет вид

(9.10)

где R ср – расчётное сопротивление материала на срез.

Применительно к двутавровому сечению условие прочности по касательным напряжениям принимает вид

(9.11)

Здесь - наибольшее по модулю значение поперечной силы;

Статический момент половины сечения относительно оси х (для стандартных профилей приведён в справочных таблицах);

d – толщина стойки двутавра;

Если условие прочности по касательным напряжениям не выполняется, необходимо увеличить номер стандартного профиля и повторить расчёт по формуле (9.11). Условие прочности по нормальным напряжениям при этом можно не проверять, поскольку оно заведомо выполняется.

Наконец, необходимо исключить разрушение в опасных точках типа 3, расположенных в местах перехода от полок к стенке. Здесь ни нормальные, ни касательные напряжения не достигают максимума, но имеют значительную величину и действуют совместно. Для проверки прочности в такой ситуации необходимо привлекать т.н. теории прочности, о которых речь пойдет ниже. Пока же приведём условия прочности по наиболее часто применяемым для пластичных материалов третьей и четвёртой теориям:

(9.12)

Здесь - эквивалентные напряжения по соответствующим теориям прочности, - нормальное и касательное напряжение в точке 3 (рис. 9.11,а ):

В последнюю формулу входит величина , представляющая собой статический момент полки двутавра относительно оси х . Полка схематизируется в виде прямоугольника, размеры которого приведены в справочных таблицах. Статический момент этой фигуры легко вычисляется как произведение площади прямоугольника на расстояние от его центра тяжести до оси х .

Отметим, что обеспечить прочность на этом этапе расчета, необходимо для всех сечений, где одновременно велики изгибающий момент и поперечная сила.

В строительной практике изгиб является пожалуй самым распространенным видом деформаций, который в большей степени характерен для балочных конструкций. Если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент, считается, что она испытывает чистый изгиб . Однако, в большинстве случаев наряду с изгибающим моментом в балках возникает еще поперечная сила (Q) , и такой изгиб, соответственно, называется поперечным .

Деформацию изгиба вызывают силы, направленные перпендикулярно к продольной оси балки, или лежащие в проходящих через эту ось плоскостях. Сама ось при воздействии этих сил из прямолинейной превращается в криволинейную (см. Рис.1).

Рис. 1.

Если все действующие на балку нагрузки приложены в одной плоскости, называемой силовой , то изгиб является плоским , а если линия пересечения этой плоскости с плоскостью поперечного сечения (силовой линией) совпадает с одной из главных центральных осей, то изгиб принято называть прямым (см. Рис.2).

Рис. 2.

Нормальные напряжения при изгибе

Итак, при прямом и поперечном изгибе в сечениях балки возникают два силовых фактора (внутренних усилия): изгибающий момент M и поперечная сила Q . Расчетная практика показывает, что изгибающий момент в большинстве случаев имеет решающее значение при подборе сечения и проверке прочности балочных конструкций.

Под действием нагрузки балка прогибается так, что ее нижние волокна удлиняются, а верхние укорачиваются, т.е. изгиб сопровождается появлением нормальных напряжений. При постепенном переходе от удлиняющихся волокон к укорачивающимся (или наоборот) встречается промежуточный слой волокон, который не меняет своей длины. Этот слой называется нейтральным , а линия его пересечения с плоскостью поперечного сечения балки – нейтральной линией или осью. Таким образом, нейтральная линия является геометрическим местом концентрации точек, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Для выяснения характера распределения и значения напряжений, вызываемых изгибающим моментом, обратимся к случаю чистого изгиба, характерный пример которого приведен ниже на Рис.3(а).

Рис. 3.

На выше представленной схеме (Рис.3, а) двумя бесконечно близкими сечениями выделен участок балки длиной dz и изображен в укрупненном масштабе (Рис.3, б). Будучи параллельными друг другу до деформации оба сечения взаимно повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол dθ после приложения нагрузки. Длина отрезка нейтрального слоя при этом не изменится.

Любое волокно, лежащее выше или ниже нейтрального слоя, изменит свою длину. Так, относительное удлинение волокон, расположенных на расстоянии «y» от нейтрального слоя, составляет:
где ρ – радиус кривизны изогнутой оси балки.

Эта зависимость выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон пропорциональны их расстоянию от нейтрального слоя . Осталось перейти от деформаций к напряжениям, т.е. рассмотреть физическую сторону задачи. Подставляем зависимость (1) в выражение закона Гука при осевом растяжении (сжатии) и получаем:
т.е. нормальные напряжения изменяются по высоте сечения линейно.

После некоторых преобразований выражение (2) превращается в следующую формулу:
которая позволяет вычислять нормальные напряжения при чистом изгибе балки в любой точке ее поперечного сечения. Изгибающий момент «Mx » и координату «y » удобнее всего брать по абсолютному значению, а знак напряжения устанавливать исходя из характера деформирования балки (при растяжении – плюс, при сжатии – минус), т.е. по эпюре «М», ординаты которой откладывают со стороны растянутых волокон. Нетрудно догадаться, что максимальные значения напряжений возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения. Последние усложняю картину деформирования, приводя к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако тщательные исследования показывают, что искажения, вносимые касательными напряжениями, незначительно влияют на нормальные напряжения. Таким образом, при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба вполне применима теория чистого изгиба. Касательные напряжения в расчетах на прочность как правило не учитываются.

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (гдеh - высота поперечного сечения, l - длина балки) ока­зывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плос­ких сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точно­стью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряже­ний s применяют ту же формулу (5.10).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напря­жений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной d z (рис. 5.21, а ).

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на рас­стоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 5.21, в ) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b . При этом с учетом закона парности каса­тельных напряжений, получим, что касательные напряжения в по­перечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 5.21, б ). С учетом данного обстоятель­ства и из допущения о том, что касательные напряжения по пло­щади b ×d z распределены равномерно, используя условие åz = 0, получим:

N * - N * - d N * + t× b ×d z = 0 ,

где N * - равнодействующая нормальных сил s×dF в левом попереч­ном сечении элемента d z в пределах заштрихованной площади F * (рис. 5.20, г ):

С учетом (5.10) последнее выражение можно представить в виде

, (5.14)

где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 5.21,б эта область за­штрихована). Следовательно, (5.14) можно переписать в виде

. (5.15)

В результате совместного рассмотрения (5.12) и (5.15) получим

,

или окончательно

Полученная формула (5.16) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из сос­тава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 5.21, г ), таким образом, чтобы вертикальная площадка явля­лась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Прини­маем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - d z , т.е. по оси z ; по вер­тикальной оси - dy , т.е. по оси у ; по оси х - равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принад­лежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определя­ются по формуле (5.10), а касательные напряжения t - по формуле Д.И. Журавского (5.16). С учетом закона парности касательных на­пряжений, легко установить, что касательные напряжения на гори­зонтальной площадке также равны t. Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипо­тезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают дав­ления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через s a и t a , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dF , для вертикальной и горизон­тальной площадок будем иметь dF sin a и dF cos a, соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 5.21, г ), получим:

откуда будем иметь:

Следовательно, окончательные выражения напряжений на на­клонной площадке принимают вид:

Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a 0 , при котором напряжение s a принимает экстремальное значение. Со­гласно правилу определения экстремумов функций из математиче­ского анализа, возьмем производную функции s a от a и прирав­няем ее нулю:

.

Предполагая a = a 0 , получим:

Откуда окончательно будем иметь:

.

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называ­емых главными , а сами напряжения - главными напряже­ниями .

Сопоставляя выражения t a и , имеем:

откуда и следует, что касательные напряжения на главных пло­щадках всегда равны нулю.

В заключение, с учетом известных тригонометрических тож­деств:

и формулы ,

определим главные напряжения, выражая из через s и t:

.

Полученное выражение имеет важное значение в теории проч­ности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.

Величины главных напряжений и углы наклона главных площадок в балках при поперечном изгибе можно определить по формулам (4.27) и (4.28) двухосного напряженного состояния:

Как уже было установлено, при поперечном изгибе в сечении балки действуют нормальные напряжения о^ио^и касательные напряжения х ух = х. Однако нормальные напряжения с у по сравнению с о х существенно малы, и обычно их принимают равными нулю. Таким образом, будем исходить из того, что при поперечном изгибе в балке возникают напряжения

Следовательно, имеет место частный случаи двухосного напряженного состояния (рис. 7.43):

Тогда формулы (7.38) и (7.39) принимают вид

При условии M z > 0 и Q y > 0 рассмотрим в поперечном сечении балки три характерные точки (рис. 7.44): в верхнем, сжатом волокне (точка Л), в нейтральном слое (точка В) и в нижнем, растянутом волокне (точка С).

В точке Л согласно эпюрам о у и т на рис. 7.30 и 7.34 Так как

при этом Gj = 0, то первая из формул (7.42) превращается в неопределенность, а вторая дает а 2 = 0.

Аналогично в точке С и первая из формул (7.42)

дает 0Cj = 0.

В точке В имеем: . В этом случае из формул (7.41)

получим

Формулы (7.42) дают

Таким образом, при поперечном изгибе в точках нейтрального слоя возникает напряженное состояние чистого сдвига, а в верхних и нижних волокнах - одноосное напряженное состояние. Если в различных точках известны направления главных напряжений, то можно построить траектории главных напряжений, то есть линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке.

На рис. 7.45 для балки, заделанной одним концом и нагруженной силой Р, сплошными линиями показаны траектории главных растягивающих напряжений о, а пунктирными - главных сжимающих напряжений о 2 . Траектории главных напряжений и о 2 являются взаимноортогональными кривыми, пересекающими ось балки под углами 45°.

По траекториям о, можно судить о возможном месте и направлении трещин в балках из хрупких материалов. При армировании железобетонных балок арматуру необходимо располагать в зонах растяжения и по возможности по направлению главных напряжений. Эта задача решается с помощью траекторий главных напряжений.

В случае поперечных сечений с резко изменяющейся шириной (например, двутавр) могут возникнуть большие главные напряжения. Рассмотрим числовой пример.

Пример 7.8. Для балки, изображенной на рис. 7.21 и имеющей сечение 130а, определим главные напряжения.

По таблице сортамента находим момент сопротивления W = = 518 см 3 , момент инерции / = 7780 см 4 и статический момент половины сечения S^ 2 = 292 см 3 . Основные размеры сечения показаны на рис. 7.46 в сантиметрах.

Определим статический момент полки относительно нейтральной оси:

Точки, в которых нужно определить главные напряжения, находим в следующем порядке: сначала отметим те сечения, в которых изгибающий момент и поперечная сила имеют одновременно большие значения, и построим для этих сечений эпюры напряжений о ит. Затем для каждого из этих сечений по эпюрам нормальных и касательных напряжений отметим те точки, в которых эти напряжения одновременно будут большими. Для найденных таким образом точек определим главные напряжения.

Эпюры Q и M z приведены на рис. 7.21. Опасным является сечение В , где поперечная сила и изгибающий момент имеют значения Q y - -70 кН; М г = -100кНм.

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений для опасного сечения. Нормальные напряжения в верхних волокнах равны

На уровне примыкания полок к стенке {у = -13,93 см)

Касательные напряжения на уровне нейтральной оси

Касательные напряжения в стенке на уровне сопряжения с полкой

По найденным значениям а и т построены эпюры нормальных и касательных напряжений (см. рис. 7.46). Из этих эпюр видно, что в стенке в местах сопряжения с полками балки напряжения а и т имеют одновременно большие значения. В этих местах определим главные напряжения. Для верхней части сечения имеем

Таким образом, в рассматриваемом примере главные напряжения в опасных точках не превосходят нормальных напряжений в крайних волокнах.