Гиперболоид вращения построение. Однополостный гиперболоид вращения
Я уже писала про такую красивую штуку, как гиперболоид вращения. Давно хотела сделать мастер-класс по ним для детей, чтобы показать вживую, как они устроены, что состоят из прямых элементов, а выглядят вогнутыми.
Можно делать окружности, размечать, хорошим клеем приклеивать на какой то жесткий стержень. Можно, но требует старательности и аккуратности.
(В Икее всякие оформительские ленты продаются в картонных больших катушках – можно для демонстации использовать их, но у меня в доме не оказалось такой нужной вещи, поэтому пришлось придумывать)
А тут мне в голову пришла идея как это сделать быстро и довольно легко.
Нужно для основы взять тонкую бобину скотча. Обычного, строительного.
Точнее – две.
Берем два бобины строительного скотча и размечаем их на одинаковое количество частей. Любое. 12 размечать просто и меньше делать нет смысла. Но можно сделать и 16 и 20 делений, будет только симпатичнее. Количество делений на двух бобинах должно быть одинаковым (бобины по размерам могут быть разные).
Теперь нужно соединить их в жесткую систему. Для этого используем палочки (можно шашлычные, у меня тут спицы – в спицах плюс оба заточенных конца, но это тоже не проблема, просто облегчение процесса).
Вставляем в две спицы друг на против друга и соединяем на них бобины. Поворачиваем на четверть оборота. Вставляем вторую пару спиц так, чтобы они были наклонены в другую сторону и тоже в четверть оборота. Словами трудно объяснить, и в принципе можно ставить их как угодно. И сдвиг может быть не на четверть оборота а больше (меньше хуже – почти не будет заметен изгиб). Но для простоты и крепости наверняка – вот так:
Теперь берем большую иголку и прочную нитку и начинаем добавлять отсутствующие палочки. Скотч легко протыкается иголкой близко от края. Не стоит пытаться проткнуть толщу скотча. Если хочется сделать не одинаковый с двух сторон гиперболоид – то нужно изначально брать разные катушки или одну взять использованную до 3-4 мм скотча. Тут главное соблюдать соединяемые точки, чтобы они наклонялись одинаково (у меня – на четверть поворота)
Сначала в одну сторону
Потом в другую
Бусинки для того чтобы нитка не проскальзывала вниз. Но можно закрепить аккуратнее и без выступов. Бусинки проще будут детям. Главное чтобы они все в одной стороны оказались и гиперболоид мог стоять.
Сбоку отлично видна изгибающаяся как талия поверхность.
Можно сделать гиперболоид из прочных палок. Это будет ближе к реальности. Но на нем плохо получается повернуть конструкцию – и плохо виден этот изгиб.
Я использовала шпажки – и одну бобину протыкала насквозь, чтобы не втыкать тупым концом.
Далее поворачиваем (скручиваем) эту конструкцию насколько получится. Скотч держит крепко, скручивается увы мало. Возможно нужны более тонкие палочки или более тонкий скотч, чтобы так хорошо не держал – для большей похожести на настоящий гиперболоид
И снова сложный период – вставить палочки в другом направлении. Проследить, чтобы смещение было одинаковым. При вставке держать крепко обе бобины, чтобы изгибалась палочка, а не вся конструкция (а то распадется). Проще сначала вставлять несколько палочек, потом их закреплять.
На таком гиперболоиде (из палочек) хоть и не видно изгиба – зато можно увидеть что эта конструкци очень прочная. Она может выдерживать вес на порядок больше своего собственного. И это еще был не предел по весу, можно было еще книжек навалить:)
Практического применения такой штуке, кроме демонстрации конструкции и эпатажного хранения книжек, я пока не придумала. давайте идеи!
- (греч., от hyperbole гипербола, и eidos сходство). Несомкнутая кривая поверхность 2 го порядка, происходящая от вращения гиперболы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГИПЕРБОЛОИД греч., от hyperbole,… … Словарь иностранных слов русского языка
гиперболоид - а, м. hyperboloïde m. мат. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей. БАС 2. Гиперболоид инженера Гарина. Лекс. Ян. 1803: гиперболоида; САН 1847: гиперболои/д: БАС 1954: гиперболо/идный … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ГИПЕРБОЛОИД, гиперболоида, муж. (мат.). Поверхность, образуемая вращением гиперболы (в 1 знач.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
Сущ., кол во синонимов: 2 коноид (4) поверхность (32) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Гиперболоид - Однополостный гиперболоид. ГИПЕРБОЛОИД (от гипербола и греческого eidos вид), поверхность, которая получается при вращении гиперболы вокруг одной из осей симметрии. В одном случае образуется двуполостный гиперболоид, в другом однополостный… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
гиперболоид - hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloid vok. Hyperboloid, m rus. гиперболоид, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas
- (мат.) Под этим названием известны два вида поверхностей второго порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отнесенная к осям симметрии, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Однополый Г. есть поверхность линейчатая и на ней лежат две системы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
М. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы [гипербола II] вокруг одной из её осей (в геометрии). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоида, гиперболоидов, гиперболоиду, гиперболоидам, гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоидом, гиперболоидами, гиперболоиде, гиперболоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов
Незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.: однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой… … Математическая энциклопедия
Книги
- , Алексей Толстой. В книгу вошли научно-фантастические романы А. Н. Толстого, созданные в 20-е годы прошлого века…
- Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита , Алексей Толстой. Роман "Гиперболоид инженера Гарина" и повесть "Аэлита" положили начало советской научно-фантастической литературе. Они отличаются тем, что темы фантастические даются в сочетании с…
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
(краткая информация)
Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения. Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой.
Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны.
Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения и образующей линии.
Поверхности, образуемые вращением прямой линии:
1. - цилиндр вращенияобразуется вращением прямой, параллельной оси;
2. - конус вращения образуется вращением прямой, пересекающей ось;
3. - однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой, скрещивающейся с осью;
Параллелями поверхности являются окружности.
Меридианом поверхности является гипербола.
Все перечисленные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.
Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей
1. Сфераобразуется вращением окружности вокруг ее диаметра.
2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.
3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.
4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси (эта поверхность образуется также вращением прямой: п. а-1).
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:
где a, b, c – положительные числа.
Он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости z = 0, поэтому
Это уравнение на плоскости xOy задает эллипс с полуосями a и b (рис. 1). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости x = 0, поэтому
Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна b, а мнимая полуось равна c. Построим эту гиперболу.
Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением
Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz.
Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ± h, h > 0.
Рис. 1. Сечение однополостного гиперболоида
Уравнения этих линий:
Первое уравнение преобразуем к виду
Это уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями a 1 и b 1 . Нарисуем полученные сечения (рис. 2).
Рис. 2. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений
Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением прямой линии, скрещивающейся с мнимой осью, вокруг которой эта линия вращается. В этом случае получается пространственная фигура (рис. 3), поверхность которой складывается из последовательных положений прямой при вращении.
Рис. 3. Однополостный гиперболоид вращения, полученный вращением прямой линии, скрещивающейся с осью вращения
Меридианом такой поверхности служит гипербола. Пространство внутри этой фигуры вращения будет действительным, а снаружи – мнимым. Плоскость, перпендикулярная мнимой оси и рассекающая однополостной гиперболоид в его минимальном сечении, называется фокальной плоскостью.
Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рис. 6.4.
Если в уравнении a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz (рис. 4).
Рис. 4. Однополостный гиперболоид вращения,
Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Уравнение (3.32) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
Из (3.32) следует, что координатные плоскости являются осями симметрии, а начало координат центром симметрии однополостного гиперболоида.
Установим
вид поверхности, задаваемой уравнением
(3.32). Рассмотрим линии пересечения
однополостного гиперболоида плоскостями
.
Уравнение проекции такой линии на
плоскость
получается из уравнения (3.32), если
положить в нем
.
Имеем:
.
(3.33)
Так
как всегда
,
то можно ввести обозначения
,
,
(3.34)
с учетом которых соотношение (3.33) принимает вид
,
(3.35)
т.
е. проекция линии пересечения представляет
собой эллипс с полуосями
и
.
Наименьший из рассматриваемых эллипсов
с полуосями
и
получается при сечении однополостного
гиперболоида плоскостью
,
т. е. координатной плоскостью
.
Этот эллипс называетсягорловым
.
С
увеличением
размеры эллипса неограниченно
увеличиваются. Таким образом, однополостный
гиперболоид представляет собой
поверхность, состоящую из одной полости
и подобную трубке, неограниченно
расширяющейся в положительном и
отрицательном направлениях по оси
аппликат.
Рассмотрим
сечения однополостного гиперболоида
плоскостями
и
,
параллельными координатным плоскостям
и
.
Проекции этих сечений на соответствующие
координатные плоскости являются линиями,
задаваемыми уравнениями:
и
.
(3.36)
Более
подробно остановимся на сечении
однополостного гиперболоида плоскостью,
параллельной координатной плоскости
.
Если
,
то в проекции на плоскость
получается пара вещественных пересекающихся
прямых, определяемых уравнениями
и проходящих через начало координат.
Если
,
то в проекции имеем гиперболу с фокусами
на оси
(
)
или
(
),
причем полуоси этих гипербол увеличивается
с удалением от начала координат.
Аналогичная
картина получается и при сечении
плоскостями, параллельными плоскости
.
В сечении однополостного гиперболоида
координатными плоскостями
и
получаем гиперболы
и
.
(3.37)
Величины
,
,
называются полуосями однополостного
гиперболоида.
3.12. Двуполостный гиперболоид
Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением
.
(3.38)
Уравнение (3.38) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Из этого уравнения следует, что координатные плоскости являются его осями симметрии, а начало координат его центром симметрии.
Рассмотрим
сечение двуполостного гиперболоида,
определяемого уравнением (3.38), плоскостями
.
Уравнение проекции линии пересечения
на плоскость
получается из (3.38), если в нем положить
.
Уравнение этой проекции имеет вид
.
(3.39)
Если
,
то (3.39) является уравнением мнимого
эллипса и точек пересечения двуполостного
гиперболоида с плоскостью
нет, т. е. в слое между плоскостями
и
не содержится точек рассматриваемой
поверхности. Если
,
то линия (3.39) вырождается в точки, т. е.
плоскости
касаются двуполостного гиперболоида
в точках
и
.
Если
,
то
и можно ввести обозначения
,
.
(3.40)
Тогда уравнение (3.39) принимает вид
,
(3.41)
т.
е. проекция на плоскость
линии пересечения двуполостного
гиперболоида и плоскости
представляет собой эллипс с полуосями,
которые определяются равенствами
(3.40), поэтому и сама линия пересечения
является эллипсом. При удалении от
начала координат вдоль оси
происходит увеличение полуосей эллипса.
В
силу симметрии относительно плоскости
рассматриваемая
поверхность содержит две полости.
При
сечении плоскостями
,
параллельными
,
получаются кривые, которые при
проектировании на эту плоскость
определяются уравнениями
.
(3.42)
Кривые,
задаваемые уравнениями (3.42), являются
гиперболами, фокусы которых расположены
на оси
,
причем с увеличением абсолютной величины
увеличивается вещественная полуось
гиперболы.
Аналогичные
результаты получаются при сечении
двуполостного гиперболоида плоскостями,
параллельными координатной плоскости
.
Рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид выпуклой чаши.
Величины
,
,
называются полуосями двуполостного
гиперболоида.
Образуется вращением гиперболы вокруг её оси.
Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.
Однополостный (рис. 2-89) образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис-2.90). Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (рис. 2-91).
Определитель однополостного гиперболоида S (l , i ^ П 1)
Определитель однополостного гиперболоида (образующая - прямая линия). Образующая и ось скрещивающееся прямые. Эту поверхность относят и к линейчатым поверхностям
S (l, i ^ П 1 , l ° i) (рис. 2-91).
Двуполостный гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси.
Один из способов (рис. 2-92) построения однополостного гиперболоида: т.к. горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции горловой окружности, то каждое последующее положение прямолинейной образующей можно создавать проведением касательных к проекции окружности горла.
Выдающийся русский инженер В.Г. Шухов (1921г) предложил использовать однополостный гиперболоид для строительства прочных и технологичных конструкций (радиомачт, водонапорных башен, маяков).
Алгоритм построения, если поверхность задана параллелями и расстоянием (l ) от экватора до горла (рис. 2-92):
1. Разбить горловую (А,В,С ...) и нижнюю (1,2,3 ,..) параллели на 12 равных частей;
2. Из точки 4 1 провести образующие так, чтобы они были касательными к горловой параллели (т.е. через В 1 и Е 1 ), на горизонтальной проекции верхней параллели получим точку Р 1 , которая определит положение верхней параллели на фронтальной проекции. Эти образующие и на П 2 пройдут через те же точки (4 2 , В 2 , Е 2 ).
3. Для остальных точек построение повторить.
Только три поверхности вращения второго порядка имеют в качестве образующей прямую линию. В зависимости от расположения этой прямой относительно оси, можно получить три вида линейчатых поверхностей вращения второго порядка:
1. цилиндр, если образующая параллельна оси вращения x 2 + y 2 = R 2 ;
2. конус, если образующая пересекает ось вращения k 2 (x 2 + y 2) – z 2 = 0;
3. однополостный гиперболоид вращения, если ось и образующая скрещиваются
(x 2 + y 2) / a 2 – z 2 / d 2 = 0
