Формула нахождения высоты в правильной пирамиде. Пирамида

Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать формулу объёма пирамиды:

h – высота пирамиды

Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания

Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):

Можете на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:

27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

Ответ: 0,25

27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.

Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.

Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:

Высота равна трём.

Ответ: 3

27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):

Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:

Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:

Следовательно:

Таким образом, объём пирамиды равен:

Ответ: 256

27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:

Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):

Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:

Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.

Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:

Ответ: 13

245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:

Таким образом:

Ответ: 27

27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение "высота пирамиды" очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.

Части пирамиды

Каждая пирамида состоит из следующих элементов:

боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
вершина пирамиды - это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
основание - это многоугольник, на котором не лежит вершина;
высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.

Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем

Через формулу V = (S*h)/3 (в формуле V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной основания равна 50 см 2 , тогда как ее объем составляет 125 см 3 . Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.

Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра

Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а - гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b - первый катет или половина диагонали и с - соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² - b².

Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра - 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.

Как найти высоту усеченной пирамиды

Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды - это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания - d2, а ребро имеет длину - l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.

Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего - 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза - 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.

В данном случае следует воспользоваться следующей формулой

где a - длина стороны правильной треугольной пирамиды.

Предлагаю ознакомиться с решением задачи, где необходимо определить высоту, основываясь на известных показателях, а именно значения стороны и объма.

Высоту правильной треугольной пирамиды (она же тетраэдр) можно вывести из объема, который находится по формуле.

Формула звучит так: объем тетраэдра равен отношению произведения высоты пирамиды и квадрат длин сторон основания пирамиды к произведению 4 и квадратного корня из 3.

Исходя из этой формулу, строим формулу высоты тетраэдра:

Высота тетраэдра равна произведению длины стороны основания и квадратного корня из 2/3

Не могу согласится с приведенными другими авторами формулами. Совершенно не понятно как находить высоту пирамиды используя только одну боковую грань. Неужели размер основания не имеет значения? Должно быть по меньшей мере две переменных. Покажу как решается эта задача на мой взгляд.

В основании у нас правильный треугольник и его центр находится на 2/3 расстояния от любой вершины по медиане (высоте, гипотенузе) (аксиома планиметрии). Следовательно по теореме Пифагора находим длину этой высоты и берем от нее 2/3. Вот рисунок:

На нем МС - искомый катет, ОС нужный нам отрезок. Теперь переходим непосредственно к высоте. Обзовем ее DO. Она опять таки будет являться катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого - боковое ребро пирамиды, а второй катет уже найденный нами отрезок ОС. Опять применяем теорему Пифагора и находим высоту. Рисунок:

Единой формулы нахождения высоты такой пирамиды нет, хотя задача простая. Следует лишь знать длину стороны основания и длину бокового ребра.

Формула - h=а2/3 (ребра пирамиды - это стороны равносторонних треугольников, а высотой получается будет длина ребра пирамиды, умноженная на корень из двух третей).

Формула объема: V = 1/3Sh, из нее выводим формулу для высоты: h=3V/S (V - объем, S - площадь основания, h - высота).

Если знаете объем пирамиды. Находим площадь основания, после чего умножаем объем на три и разделяем на площадь основания, в результате получаем высоту пирамиды.

Насколько я помню это программа обучения 9го класса. Вот только тогда за мной бегало столько парней, что я просто не успевала учить геометрию. Но даже я что-то запомнила, сейчас сформулирую:

Если основанием нашей пирамиды является любой треугольник, то такая пирамида называется треугольной. Если грани пирамиды являются равносторонними треугольниками, то такая пирамида называется правильной.

Высота правильной пирамиды равна длине ребра, перемноженную на корень из 2/3.

Правильную треугольную пирамиду еще называют тетраэдром.

Если в условиях дана площадь тетраэдра S, и его объем, тогда сможете найти высоту пирамиды по формуле: h = 3 х V/S.

Если это сложная задача, к примеру, тетраэдр вписан в сферу, и известен ее радиус, мы легко сможем найти высоту пирамиды по формуле: h = 4 х r/3

У правильной треугольной пирамиды все грани равны. Чтобы узнать высоту такой пирамиды нужно воспользоваться специальной для этого формулой, в которой фигурируют высота ребра, которая обозначается y и 2/3 .

Треугольная пирамида - это пирамида, в основе которой находится треугольник. Высота этой пирамиды - это перпендикуляр, который опущен из вершины пирамиды на ее основания.

Нахождение высоты пирамиды

Как найти высоту пирамиды? Очень просто! Для нахождения высоты любой треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой объема: V = (1/3)Sh, где S - это площадь основания, V - объем пирамиды, h - ее высота. Из этой формулы вывести формулу высоты: для нахождения высоты треугольной пирамиды, нужно умножить объем пирамиды на 3, а потом поделить получившееся значение на площадь основания, это будет: h = (3V)/S. Поскольку основание треугольной пирамиды - это треугольник, можно воспользоваться формулой подсчета площади треугольника. Если нам известны: площадь треугольника S и его сторона z, то по формуле площади S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, где h - это высота пирамиды, γ - это ребро треугольника; угол между сторонами треугольника и сами две стороны, то по такой формуле: S = (1/2)γφsinQ, где γ, φ - это стороны треугольника, находим площадь треугольника. Значение синуса угла Q нужно посмотреть в таблице синусов, которая есть в Интернете. Далее подставляем значение площади в формулу высоты: h = (2S)/γ. Если в задании требуется вычислить высоту треугольной пирамиды, то объем пирамиды уже известен.

Правильная треугольная пирамида

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, то есть пирамиды, в которой все грани - это равносторонние треугольники, зная величину ребра γ. В этом случае ребра пирамиды - это стороны равносторонних треугольников. Высота правильной треугольной пирамиды будет: h = γ√(2/3), где γ - это ребро равностороннего треугольника, h - это высота пирамиды. Если площадь основания (S) неизвестна, а даны лишь: длина ребра (γ) и объем (V) многогранника, то необходимую переменную в формуле из прежнего шага нужно заменить ее эквивалентом, который выражен через длину ребра. Площадь треугольника (правильного) равна 1/4 от произведения длины стороны этого треугольника, возведенную в квадрат на квадратный корень из 3. Подставляем эту формулу вместо площади основания в предыдущую формулу, и получаем такую формулу: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Объем тетраэдра можно выразить через длину его ребра, то из формулы для вычисления высоты фигуры можно убрать все переменные и оставить только сторону треугольной грани фигуры. Объем такой пирамиды можно вычислить, поделив на 12 из произведения возведенную в куб длину его грани на квадратный корень из 2.

Подставляем это выражение в предыдущую формулу, получаем такую формулу для вычисления: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Также правильную треугольную призму можно вписывать в сферу, и зная только радиус сферы (R) можно найти и саму высоту тетраэдра. Длина ребра тетраэдра равна: γ = 4R/√6. Заменим переменную γ этим выражением в предыдущей формуле и получаем формулу: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Такую же формулу можно иметь, зная радиус (R) окружности, вписанной в тетраэдр. В таком случае длина ребра треугольника будет равна 12 соотношениям между квадратным корнем из 6 и радиусом. Подставляем это выражение в предыдущую формулу и имеем: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Как найти высоту правильной четырехугольной пирамиды

Чтобы ответить на вопрос, как найти длину высоты пирамиды, необходимо знать, сто такое правильная пирамида. Четырехугольная пирамида - это пирамида, в основе которой находится четырехугольник. Если в условиях задачи мы имеем: объем (V) и площадь основания (S) пирамиды, то формула для вычисления высоты многогранника (h) будет такая - разделить объем, умноженный на 3 на площадь S: h = (3V)/S. При квадратном основании пирамиды с известными: заданным объемом (V) и длиной стороны γ, замените площадь (S) в предыдущей формуле на квадрат длины стороны: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Высота правильной пирамиды h = SO проходит как раз через центр окружности, которая описанная около основания. Поскольку основание данной пирамиды - это квадрат, то точка О - это точка пересечения диагоналей AD и BC. Мы имеем: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Далее, мы в прямоугольном треугольнике SOC находим (по теореме Пифагора): SO = √(SC 2 -OC 2). Теперь Вы знаете, как найти высоту правильной пирамиды.

Вам понадобится

В зависимости от ситуации, знать объем пирамиды, площадь боковых граней пирамиды, длину ребра, длину диаметра многоугольника в основании.

Инструкция

Одним из способов найти высоту , и не только правильной - это выразить ее через объем пирамиды. Формула, с помощью которой можно узнать ее объем, выглядит так:
V = (S*h)/3, где S - площадь всех боковых пирамиды в сумме, h - данной пирамиды.
Тогда из этой формулы можно вывести другую, для нахождения :
h = (3*V)/S
К примеру, известно, что площадь боковых граней пирамиды 84 см², а объем 336 куб.см. Тогда найти высоту можно так:
h = (3*336)/84 = 12 см
Ответ: высота данной пирамиды 12 см

Рассматривая правильную пирамиду, в основании которой лежит правильный многоугольник, можно прийти к выводу, образованный высотой, половиной диагонали и одной из граней пирамиды, представляет из себя прямоугольный треугольник (например, это треугольник АEG на рисунке выше). Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (a² = b² + c²). В случае с правильной пирамидой, гипотенуза - это грань пирамиды, один из катетов - половина диагонали в основании, а другой катет - высота пирамиды. В таком случае, грани и диагонали, можно вычислить и высоту . В качестве примера можно рассмотреть треугольник AEG:
AE² = EG²+GA²
Отсюда высоту пирамиды GA можно выразить так:
GA = √(AE²-EG²).

Чтобы было более понятно, как находить высоту правильной пирамиды, можно рассмотреть пример: в правильной длина грани 12 см, длина диагонали многоугольника в основании - 8 см. Исходя из этих данных, требуется найти длину этой пирамиды.Решение: 12² = 4² + c², где с - неизвестный катет (высота) данной пирамиды (прямоугольного треугольника).
144 = 16 + 128
Таким образом, высота данной пирамиды √128 или, приблизительно, 11.3 см

Источники:

правильная четырехугольная пирамида найти высоту
Решение заданий С2 ЕГЭ по математике

Пирамида - сложное геометрическое тело. Оно образовано плоским многоугольником (основание пирамиды), точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершина пирамиды) и всех отрезков, которые соединяют точки основания пирамиды с вершиной. Как же найти площадь пирамиды?

Вам понадобится

линейка, карандаш и бумага

Инструкция

Основанием пирамиды является многоугольник. Если данный многоугольник поделить на треугольники, то многоугольника просто вычислить как сумму площадей получившмхся при делении треугольников по уже известной нам формуле.

Если площадь основания неизвестна из условий задачи, а даны лишь объем (V) и длина ребра (a) , то недостающую переменную в формуле из предыдущего шага можно заменить ее эквивалентом, выраженным через длину ребра. Площадь (он, как вы помните, лежит в основании пирамиды рассматриваемого типа) равна одной четверти от произведения квадратного корня из тройки на возведенную в квадрат длину стороны. Подставьте это выражение вместо площади основания в формулу из предыдущего шага, и получите такой результат: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3).

Поскольку объем тетраэдра тоже можно выразить через длину ребра, то из формулы вычисления высоты фигуры можно вообще убрать все переменные, оставив лишь сторону ее грани. Объем этой пирамиды вычисляется делением на 12 произведения квадратного корня из двойки на возведенную в куб длину грани. Подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага, и получите в результате: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a*√⅔ = ⅓*a*√6.

В правильной пирамиде все ребра равны между собой, все грани - равные равнобедренные треугольники. Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины на ее основание.

Нахождение высоты пирамиды зависит от того, что дано в условии задачи. Применяйте формулы, в которых для нахождения каких–либо параметров пирамиды используется ее высота. К примеру, дано: V – объем пирамиды ; S – площадь основания. Используйте формулу нахождения объема пирамиды V=SH/3, где H – высота пирамиды . Отсюда следует: H=3V/S.

Двигаясь в том же направлении, следует , что если площадь основания не дана, ее в некоторых случаях можно найти по формуле нахождения площади правильного многоугольника. Введите обозначения:р - полупериметр основания (полупериметр легко найти, если известно число сторон и величина одной стороны);h – апофема многоугольника (апофемой называется перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на любую из его сторон); а - сторона многоугольника;n – число сторон.Таким образом, p=an/2, а S=ph= (an/2)h. Откуда следует: H=3V/ (an/2) h.

Апофемой в пирамиде называют отрезок, проведенный из ее вершины к основанию одной из боковых граней, если отрезок перпендикулярен этому основанию. Боковая грань такой объемной фигуры всегда имеет треугольную форму. Поэтому при необходимости вычисления длины апофемы допустимо использование свойств как многогранника (пирамиды), так и многоугольника (треугольника).

Вам понадобится

- геометрические параметры пирамиды.

Инструкция

В треугольнике боковой грани апофема (f) является высотой, поэтому при известной длине бокового ребра (b) и угле (γ) между ним и ребром, на которое опущена апофема, можно использовать известную формулу вычисления высоты треугольника. Умножьте заданную длину ребра на синус известного угла: f = b*sin(γ). Эта применима к пирамидам любой ( или неправильной) формы.

Для вычисления каждой из трех апофем (f) правильной достаточно знать всего один параметр - длину ребра (a). Это объясняется тем, что грани такой пирамиды имеют равносторонних треугольников одинаковых . Для нахождения высот каждого из них вычислите половину произведения длины ребра на квадратный корень из трех: f = a*√3/2.

Если площадь (s) боковой грани пирамиды, в дополнение к ней достаточно знать длину (a) общего ребра этой грани с основанием объемной фигуры. В этом случае длину апофемы (f) находите удвоением соотношения между площадью и длиной ребра: f = 2*s/a.

Зная общую площадь поверхности пирамиды (S) ее основания (p) тоже можно вычислить апофему (f), но только для правильной формы. Удвойте площадь поверхности и разделите результат на периметр: f = 2*S/p. Форма основания в этом случае не имеет значения.

Количество вершин или сторон основания (n) нужно знать в том случае, если в условиях даны ребра (b) боковой грани и величина угла (α), который образуют два смежных боковых ребра . При таких исходных условиях вычисляйте апофему (f) умножением числа сторон основания на синус известного угла и возведенную в квадрат длину бокового ребра с последующим делением полученной величины пополам: f = n*sin(α)*b²/2.