استخراج قانون اساسی دینامیک حرکت چرخشی. بررسی قانون اساسی دینامیک حرکت دورانی جسم صلب قانون اساسی حرکت چرخشی جسم صلب

لحظه نیرو نسبت به یک نقطه ثابتO یک کمیت فیزیکی برداری است که توسط حاصلضرب بردار بردار شعاع تعریف می شود برگرفته از نقطهO دقیقاآ اعمال زور، زور (شکل 1.4.1):

(1.4.1)

اینجا - بردار کاذب، جهت آن با جهت حرکت پروانه سمت راست منطبق است که از آن می چرخد. به .

مدول لحظه نیرو

جایی که
- زاویه بین و ,
- کوتاه ترین فاصله بین خط عمل نیرو و نقطه در باره–قدرت شانه.

لحظه نیروی حول یک محور ثابت z
، برابر با طرح ریزی بر روی این محور بردار است لحظه نیرو نسبت به یک نقطه دلخواه تعریف شده استO محور داده شدهz (شکل 1.4.1).

کار انجام شده هنگام چرخش جسم برابر است با حاصل ضرب لحظه نیروی عمل کننده و زاویه چرخش:

.

از طرف دیگر، این کار باعث افزایش انرژی جنبشی آن می شود:

، ولی

، از همین رو

، یا
.

با توجه به اینکه
، ما گرفتیم

. (1.4.2)

بدست آورد معادله اصلی برای دینامیک حرکت چرخشی یک جسم صلب نسبت به یک محور ثابت: گشتاور نیروهای خارجی وارد بر جسم برابر است با حاصلضرب ممان اینرسی جسم و شتاب زاویه ای.

می توان نشان داد که اگر محور چرخش با محور اصلی اینرسی که از مرکز جرم می گذرد منطبق باشد، برابری برداری برقرار است:

,

جایی که من- ممان اینرسی اصلی بدن (ممان اینرسی نسبت به محور اصلی).

1.5 تکانه زاویه ای و قانون بقای آن

لحظه تکانه نقطه مادیآ نسبت به یک نقطه ثابت در باره یک کمیت فیزیکی برداری است که توسط محصول برداری تعریف شده است:

(1.5.1)

جایی که – بردار شعاع رسم شده از نقطه در بارهدقیقا آ;
– تکانه نقطه مادی (شکل 1.5.1).
- بردار کاذب، جهت آن با جهت حرکت انتقالی پروانه سمت راست منطبق است که از آن می چرخد. به .

,

جایی که
- زاویه بین بردارها و ,– بازوی برداری نسبت به نقطه در باره.

تکانه ضربه نسبت به یک محور ثابت z کمیت اسکالر نامیده می شود
، برابر با طرح ریزی بر روی این محور بردار تکانه زاویه ای تعریف شده نسبت به یک نقطه دلخواهدر باره این محورمقدار حرکت
به موقعیت نقطه بستگی ندارد در بارهدر محور z.

وقتی یک جسم کاملاً صلب حول یک محور ثابت می چرخد z هر نقطه از بدن در دایره ای با شعاع ثابت حرکت می کند با مقداری سرعت . سرعت و حرکت
عمود بر این شعاع، یعنی. شعاع بازوی بردار است
. بنابراین، می توانیم بنویسیم که تکانه زاویه ای یک ذره منفرد

و در امتداد محور در جهت تعیین شده توسط قانون پیچ راست هدایت می شود.

حرکت یک جسم صلبنسبت به محور مجموع تکانه زاویه ای ذرات منفرد است:

.

با استفاده از فرمول
، ما گرفتیم

، یعنی
. (1.5.2)

بنابراین، تکانه زاویه ای جسم صلب نسبت به یک محور برابر است با حاصل ضرب ممان اینرسی جسم نسبت به همان محور و سرعت زاویه ای.

بیایید معادله (1.5.2) را با توجه به زمان متمایز کنیم:

، یعنی
. (1.5.3)

این عبارت شکل دیگری است معادله اصلی (قانون) دینامیک حرکت چرخشی یک جسم صلب نسبت به یک محور ثابت: مشتق زمانی ممان تکانه یک سیستم مکانیکی (جسم جامد) نسبت به محور برابر است با ممان اصلی تمام نیروهای خارجی وارد بر این سیستم نسبت به همان محور.

می توان نشان داد که یک برابری برداری وجود دارد
.

در یک سیستم بسته، لحظه نیروهای خارجی
و
، جایی که

. (1.5.4)

عبارت (1.5.4) است قانون بقای تکانه زاویه ای : تکانه زاویه ای سیستم حلقه بسته حفظ می شود.

بیایید کمیت ها و معادلات اساسی را که چرخش یک جسم حول یک محور ثابت و حرکت انتقالی آن را تعیین می کند، مقایسه کنیم (جدول 1.5.1).

جدول 1.5.1

مفاهیم اساسی.

لحظه قدرتنسبت به محور چرخش - این حاصلضرب بردار بردار شعاع و نیرو است.

لحظه نیرو یک بردار است , جهت آن بسته به جهت نیروی وارد بر بدنه با قاعده گیره (پیچ سمت راست) تعیین می شود. ممان نیرو در امتداد محور چرخش هدایت می شود و نقطه اعمال خاصی ندارد.

مقدار عددی این بردار با فرمول تعیین می شود:

M=r×F× سینا(1.15),

جایی که a - زاویه بین بردار شعاع و جهت نیرو.

اگر a=0یا پ، لحظه قدرت M=0، یعنی نیرویی که از محور چرخش عبور می کند یا با آن منطبق می شود باعث چرخش نمی شود.

بیشترین گشتاور مدول زمانی ایجاد می شود که نیرو در یک زاویه عمل کند a=p/2 (M > 0)یا a=3p/2 (M< 0).

استفاده از مفهوم اهرم د- این یک عمود است که از مرکز چرخش به خط عمل نیرو پایین آمده است)، فرمول لحظه نیرو به شکل زیر است:

جایی که (1.16)

قانون لحظه های نیروها(شرایط تعادل جسمی با محور چرخش ثابت):

برای اینکه جسمی با محور چرخش ثابت در حالت تعادل باشد، لازم است که مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارد بر این جسم برابر با صفر باشد.

S M i = 0(1.17)

واحد SI برای لحظه نیرو [N×m] است.

در حین حرکت چرخشی، اینرسی یک جسم نه تنها به جرم آن بستگی دارد، بلکه به توزیع آن در فضا نسبت به محور چرخش نیز بستگی دارد.

اینرسی در حین چرخش با ممان اینرسی بدن نسبت به محور چرخش مشخص می شود. جی.

ممان اینرسینقطه مادی نسبت به محور چرخش مقداری است برابر حاصلضرب جرم نقطه در مجذور فاصله آن از محور چرخش:

J i =m i × r i 2(1.18)

ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور مجموع گشتاورهای اینرسی نقاط مادی تشکیل دهنده جسم است:

J=S m i × r i 2(1.19)

ممان اینرسی یک جسم به جرم و شکل آن و همچنین به انتخاب محور چرخش بستگی دارد. برای تعیین ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور خاص، از قضیه اشتاینر-هویگنز استفاده می شود:

J=J 0 +m× d 2(1.20),

جایی که J 0– ممان اینرسی حول محور موازی که از مرکز جرم بدن می گذرد، د– فاصله بین دو محور موازی . ممان اینرسی در SI با [کیلوگرم × متر مربع] اندازه گیری می شود.

ممان اینرسی در طول حرکت چرخشی بدن انسان به طور تجربی تعیین می شود و تقریباً با استفاده از فرمول های یک استوانه، میله گرد یا توپ محاسبه می شود.

ممان اینرسی یک فرد نسبت به محور عمودی چرخش که از مرکز جرم می گذرد (مرکز جرم بدن انسان در صفحه ساژیتال کمی جلوتر از مهره دوم خاجی قرار دارد) بسته به موقعیت فرد دارای مقادیر زیر است: هنگام ایستادن در معرض توجه - 1.2 کیلوگرم × متر مربع؛ با حالت "عرابسک" - 8 کیلوگرم × متر مربع؛ در موقعیت افقی - 17 کیلوگرم × متر 2.

در حرکت چرخشی کار کنیدزمانی اتفاق می افتد که بدن تحت تأثیر نیروهای خارجی می چرخد.

کار اولیه نیرو در حرکت دورانی برابر است با حاصل ضرب لحظه نیرو و زاویه اولیه چرخش جسم:

dA i =M i × dj(1.21)

اگر چندین نیرو بر روی یک جسم وارد شوند، کار اولیه حاصل از تمام نیروهای اعمال شده با فرمول تعیین می شود:

dA=M×dj(1.22),

جایی که م- گشتاور کل تمام نیروهای خارجی وارد بر بدن.

انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخشW بهبه ممان اینرسی جسم و سرعت زاویه ای چرخش آن بستگی دارد:

زاویه ضربه (تکانه زاویه ای) -مقداری برابر با حاصل ضرب تکانه بدن و شعاع چرخش.

L=p× r=m× V× r(1.24).

پس از تبدیل های مناسب می توانید فرمول تعیین تکانه زاویه ای را به شکل زیر بنویسید:

(1.25).

تکانه زاویه ای برداری است که جهت آن توسط قانون پیچ سمت راست تعیین می شود. واحد SI حرکت زاویه ای [kg×m 2 /s] است.

قوانین اساسی دینامیک حرکت چرخشی.

معادله اصلی برای دینامیک حرکت چرخشی:

شتاب زاویه ای جسمی که تحت حرکت دورانی قرار می گیرد با گشتاور کل نیروهای خارجی نسبت مستقیم و با ممان اینرسی جسم نسبت معکوس دارد.

(1.26).

این معادله در توصیف حرکت چرخشی همان نقشی را ایفا می کند که قانون دوم نیوتن برای حرکت انتقالی انجام می دهد. از معادله مشخص می شود که تحت تأثیر نیروهای خارجی، هر چه شتاب زاویه ای بیشتر باشد، ممان اینرسی جسم کوچکتر است.

قانون دوم نیوتن برای دینامیک حرکت چرخشی را می توان به شکل دیگری نوشت:

(1.27),

آن ها اولین مشتق تکانه زاویه ای یک جسم نسبت به زمان برابر است با کل گشتاور تمام نیروهای خارجی وارد بر جسم معین.

قانون بقای تکانه زاویه ای یک جسم:

اگر مجموع گشتاور تمام نیروهای خارجی وارد بر جسم برابر با صفر باشد، یعنی.

S M i = 0، سپس dL/dt=0 (1.28).

این به یا (1.29) دلالت دارد.

این بیانیه ماهیت قانون بقای تکانه زاویه ای یک جسم را تشکیل می دهد که به شرح زیر است:

حرکت زاویه ای یک جسم ثابت می ماند اگر مجموع گشتاور نیروهای خارجی وارد بر جسم در حال چرخش صفر باشد.

این قانون نه تنها برای یک بدن کاملاً سفت و سخت معتبر است. به عنوان مثال یک اسکیت باز است که یک چرخش حول یک محور عمودی انجام می دهد. اسکیت باز با فشار دادن دستان خود، ممان اینرسی را کاهش می دهد و سرعت زاویه ای را افزایش می دهد. برای کاهش سرعت چرخش، برعکس، بازوهای خود را گسترده می کند. در نتیجه ممان اینرسی افزایش می یابد و سرعت زاویه ای چرخش کاهش می یابد.

در پایان، ما یک جدول مقایسه ای از مقادیر و قوانین اصلی که پویایی حرکات انتقالی و چرخشی را مشخص می کنند ارائه می دهیم.

جدول 1.4.

حرکت رو به جلو	حرکت چرخشی
کمیت فیزیکی	فرمول	کمیت فیزیکی	فرمول
وزن	متر	ممان اینرسی	J=m×r 2
زور	اف	لحظه قدرت	M=F×r، اگر
تکانه بدن (میزان حرکت)	p=m×V	حرکت یک بدن	L=m×V×r; L=J×w
انرژی جنبشی		انرژی جنبشی
کارهای مکانیکی	dA=FdS	کارهای مکانیکی	dA=Mdj
معادله پایه دینامیک ترجمه		معادله پایه برای دینامیک حرکت چرخشی	,
قانون بقای حرکت بدن	یا اگر	قانون بقای تکانه زاویه ای یک جسم	یا SJ i w i =const،اگر

سانتریفیوژ.

جداسازی سیستم های ناهمگن متشکل از ذرات با چگالی های مختلف را می توان تحت تأثیر گرانش و نیروی ارشمیدس (نیروی شناور) انجام داد. اگر یک سوسپانسیون آبی از ذرات با چگالی های مختلف وجود داشته باشد، یک نیروی خالص بر روی آنها وارد می شود.

F r =F t – F A =r 1 ×V×g - r×V×g، یعنی

F r =(r 1 - r)× V ×g(1.30)

که در آن V حجم ذره است، r 1و r– به ترتیب چگالی ماده ذره و آب. اگر چگالی ها کمی با یکدیگر متفاوت باشند، نیروی حاصله کم است و جداسازی (رسوب) بسیار آهسته اتفاق می افتد. بنابراین از جداسازی اجباری ذرات به دلیل چرخش محیط جدا شده استفاده می شود.

با سانتریفیوژفرآیند جداسازی (جداسازی) سیستم های ناهمگن، مخلوط ها یا سوسپانسیون های متشکل از ذرات با جرم های مختلف است که تحت تأثیر نیروی گریز از مرکز اینرسی رخ می دهد.

اساس سانتریفیوژ یک روتور با لانه برای لوله های آزمایش است که در یک محفظه بسته قرار دارد که توسط یک موتور الکتریکی به حرکت در می آید. هنگامی که روتور سانتریفیوژ با سرعت کافی بالا می‌چرخد، ذرات معلق با جرم‌های مختلف، تحت تأثیر نیروی گریز از مرکز اینرسی، در لایه‌هایی در اعماق مختلف توزیع می‌شوند و سنگین‌ترین آنها در پایین لوله آزمایش رسوب می‌کنند.

می توان نشان داد که نیرویی که تحت تأثیر آن جدایی رخ می دهد با فرمول تعیین می شود:

(1.31)

جایی که w- سرعت زاویه ای چرخش سانتریفیوژ، r- فاصله از محور چرخش هر چه تفاوت در چگالی ذرات و مایع جدا شده بیشتر باشد، اثر سانتریفیوژ بیشتر است و همچنین به طور قابل توجهی به سرعت زاویه ای چرخش بستگی دارد.

اولتراسانتریفیوژهایی که با سرعت روتور حدود 10 5-10 6 دور در دقیقه کار می کنند، قادر به جداسازی ذرات با اندازه کمتر از 100 نانومتر، معلق یا حل شده در مایع هستند. آنها کاربرد گسترده ای در تحقیقات زیست پزشکی پیدا کرده اند.

از اولتراسانتریفیوژ می توان برای جداسازی سلول ها به اندامک ها و ماکرومولکول ها استفاده کرد. ابتدا قطعات بزرگتر (هسته، اسکلت سلولی) ته نشین می شوند (رسوب). با افزایش بیشتر در سرعت سانتریفیوژ، ذرات کوچکتر به طور متوالی ته نشین می شوند - ابتدا میتوکندری، لیزوزوم، سپس میکروزوم ها و در نهایت، ریبوزوم ها و ماکرومولکول های بزرگ. در طول سانتریفیوژ، بخش‌های مختلف با سرعت‌های مختلف ته نشین می‌شوند و نوارهای جداگانه‌ای را در لوله آزمایش تشکیل می‌دهند که می‌توان آنها را جدا و بررسی کرد. عصاره های سلولی تکه تکه شده (سیستم های بدون سلول) به طور گسترده برای مطالعه فرآیندهای درون سلولی، به عنوان مثال، برای مطالعه بیوسنتز پروتئین و رمزگشایی کد ژنتیکی استفاده می شود.

برای استریل کردن هندپیس ها در دندانپزشکی، از استریل کننده روغن با سانتریفیوژ برای حذف روغن اضافی استفاده می شود.

از سانتریفیوژ می توان برای رسوب ذرات معلق در ادرار استفاده کرد. جداسازی عناصر تشکیل شده از پلاسمای خون؛ جداسازی بیوپلیمرها، ویروس ها و ساختارهای درون سلولی؛ کنترل خلوص دارو

وظایف برای خودکنترلی دانش.

تمرین 1 . سوالاتی برای خودکنترلی

تفاوت بین حرکت دایره ای یکنواخت و حرکت خطی یکنواخت چیست؟ در چه شرایطی جسم به طور یکنواخت در دایره حرکت می کند؟

دلیل اینکه حرکت یکنواخت در یک دایره با شتاب رخ می دهد را توضیح دهید.

آیا حرکت منحنی بدون شتاب رخ می دهد؟

ممان نیرو در چه شرایطی برابر با صفر است؟ بیشترین ارزش را می گیرد؟

حدود کاربرد قانون بقای تکانه و تکانه زاویه ای را مشخص کنید.

ویژگی های جداسازی تحت تأثیر گرانش را نشان دهید.

چرا جداسازی پروتئین‌ها با وزن‌های مولکولی متفاوت با استفاده از سانتریفیوژ انجام می‌شود، اما روش تقطیر جزئی غیرقابل قبول است؟

وظیفه 2 . تست های خودکنترلی

کلمه جا افتاده را پر کنید:

تغییر در علامت سرعت زاویه ای نشان دهنده تغییر در _ _ _ _ حرکت چرخشی است.

تغییر در علامت شتاب زاویه ای نشان دهنده تغییر در _ _ _ حرکت چرخشی است

سرعت زاویه ای برابر _ _ _ _ _مشتق زاویه چرخش بردار شعاع نسبت به زمان است.

شتاب زاویه ای برابر با _ _ _ _ _ مشتق زاویه چرخش بردار شعاع نسبت به زمان است.

ممان نیرو برابر است با _ _ _ _ اگر جهت نیروی وارد بر جسم با محور چرخش منطبق باشد.

پاسخ صحیح را بیابید:

لحظه نیرو فقط به نقطه اعمال نیرو بستگی دارد.

ممان اینرسی یک جسم فقط به جرم جسم بستگی دارد.

حرکت دایره ای یکنواخت بدون شتاب اتفاق می افتد.

الف. درست است. ب. نادرست است.

همه کمیت‌های فوق، به استثنای موارد، اسکالر هستند

الف. لحظه نیرو؛

ب. کار مکانیکی;

ج. انرژی پتانسیل;

د. لحظه اینرسی.

کمیت های برداری هستند

الف. سرعت زاویه ای.

ب. شتاب زاویه ای.

ج. لحظه نیرو;

د. تکانه زاویه ای.

پاسخ ها: 1 – جهت; 2 - شخصیت 3 – اول 4 – ثانیه؛ 5 – صفر؛ 6 - B; 7 - B; 8 - B; 9 - الف 10 - الف، ب، ج، د.

وظیفه 3. رابطه بین واحدهای اندازه گیری را بدست آورید :

سرعت خطی سانتی متر در دقیقه و متر بر ثانیه؛

شتاب زاویه ای راد/دقیقه ۲ و راد/ثانیه ۲.

گشتاور نیرو kN×cm و N×m.

تکانه بدن g×cm/s و kg×m/s.

ممان اینرسی g×cm 2 و kg×m 2.

وظیفه 4. وظایف محتوای پزشکی و بیولوژیکی.

وظیفه شماره 1.چرا در مرحله پرواز پرش یک ورزشکار نمی تواند از هیچ حرکتی برای تغییر مسیر مرکز ثقل بدن استفاده کند؟ آیا عضلات ورزشکار زمانی که موقعیت اعضای بدن در فضا تغییر می کند کار می کنند؟

پاسخ:با حرکت در پرواز آزاد در امتداد یک سهمی، یک ورزشکار فقط می تواند محل بدن و قسمت های جداگانه آن را نسبت به مرکز ثقل خود، که در این مورد مرکز چرخش است، تغییر دهد. ورزشکار برای تغییر انرژی جنبشی چرخش بدن کار می کند.

وظیفه شماره 2.اگر مدت گام 0.5 ثانیه باشد، یک فرد هنگام راه رفتن به طور متوسط ​​چه قدرتی دارد؟ در نظر بگیرید که کار صرف تسریع و کاهش سرعت اندام تحتانی می شود. حرکت زاویه ای پاها حدود Dj=30 o است. ممان اینرسی اندام تحتانی 1.7 کیلوگرم است × متر 2. حرکت پاها باید به صورت چرخشی متناوب یکنواخت در نظر گرفته شود.

راه حل:

1) بیایید یک شرط مختصر از مشکل را بنویسیم: Dt= 0.5 ثانیه؛ دی جی=30 0 =پ/ 6; من= 1.7 کیلوگرم × متر 2

2) کار را در یک مرحله (پای راست و چپ) تعریف کنید: A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .

با استفاده از فرمول میانگین سرعت زاویه ای w av =Dj/Dt،ما گرفتیم: w= 2w av = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) مقادیر عددی را جایگزین کنید: ن=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36) = 14.9 (W)

پاسخ: 14.9 وات.

وظیفه شماره 3.نقش حرکت بازو هنگام راه رفتن چیست؟

پاسخ: حرکت پاها، حرکت در دو صفحه موازی که در فاصله ای از یکدیگر قرار دارند، لحظه ای نیرو ایجاد می کند که تمایل دارد بدن انسان را حول یک محور عمودی بچرخاند. فرد دست های خود را "به سمت" حرکت پاهای خود می چرخاند و در نتیجه لحظه ای نیروی علامت مخالف ایجاد می کند.

وظیفه شماره 4.یکی از جهت گیری های بهبود دریل های مورد استفاده در دندانپزشکی افزایش سرعت چرخش فرز است. سرعت چرخش نوک بور در مته های پایی 1500 دور در دقیقه است، در مته های الکتریکی ثابت - 4000 دور در دقیقه، در مته های توربین - در حال حاضر به 300000 دور در دقیقه می رسد. چرا اصلاحات جدید دریل ها با تعداد دور زیاد در واحد زمان در حال توسعه هستند؟

پاسخ: عاج چندین هزار برابر بیشتر از پوست مستعد درد است: در هر 1 میلی متر پوست 1 تا 2 نقطه درد و در هر میلی متر عاج ثنایا تا 30000 نقطه درد وجود دارد. به گفته فیزیولوژیست ها، افزایش تعداد چرخش ها باعث کاهش درد هنگام درمان حفره پوسیدگی می شود.

ز وظیفه 5 . جداول را پر کنید:

جدول شماره 1. بین ویژگی های خطی و زاویه ای حرکت دورانی قیاسی رسم کنید و رابطه بین آنها را نشان دهید.

جدول شماره 2.

وظیفه 6. کارت اقدام نشانگر را پر کنید:

فصل 2. مبانی بیومکانیک.

سوالات.

اهرم ها و مفاصل در سیستم اسکلتی عضلانی انسان. مفهوم درجات آزادی.

انواع انقباض عضلانی. مقادیر فیزیکی پایه که انقباضات عضلانی را توصیف می کند.

اصول تنظیم حرکتی در انسان

روش ها و ابزار اندازه گیری خصوصیات بیومکانیکی.

2.1. اهرم ها و مفاصل در سیستم اسکلتی عضلانی انسان.

آناتومی و فیزیولوژی سیستم اسکلتی عضلانی انسان دارای ویژگی های زیر است که باید در محاسبات بیومکانیکی مورد توجه قرار گیرد: حرکات بدن نه تنها توسط نیروهای عضلانی، بلکه توسط نیروهای واکنش خارجی، گرانش، نیروهای اینرسی و همچنین نیروهای الاستیک تعیین می شود. و اصطکاک؛ ساختار سیستم حرکتی حرکت منحصراً چرخشی را امکان پذیر می کند. با استفاده از تجزیه و تحلیل زنجیره های سینماتیکی، حرکات انتقالی را می توان به حرکات چرخشی در مفاصل کاهش داد. حرکات توسط یک مکانیسم سایبرنتیک بسیار پیچیده کنترل می شوند، به طوری که یک تغییر دائمی در شتاب وجود دارد.

سیستم اسکلتی عضلانی انسان متشکل از استخوان های اسکلتی است که با یکدیگر مفصل می شوند و ماهیچه ها در نقاط خاصی به آن متصل می شوند. استخوان‌های اسکلت به‌عنوان اهرم‌هایی عمل می‌کنند که در مفاصل تکیه‌گاهی دارند و توسط نیروی کششی ایجاد شده توسط انقباض عضلانی هدایت می‌شوند. تمیز دادن سه نوع اهرم:

1) اهرمی که نیروی عامل به آن افو نیروی مقاومت آردر طرف مقابل تکیه گاه اعمال می شود. نمونه ای از چنین اهرمی جمجمه ای است که در صفحه ساژیتال مشاهده می شود.

۲) اهرمی که نیروی فعال دارد افو نیروی مقاومت آردر یک طرف تکیه گاه اعمال می شود و نیرو افبه انتهای اهرم و نیرو اعمال می شود آر- به نقطه اتکا نزدیک تر است. این اهرم باعث افزایش قدرت و کاهش فاصله می شود، یعنی. است اهرم قدرت. به عنوان مثال عمل قوس پا هنگام بلند کردن اهرم‌های ناحیه فک و صورت بر روی نیمه انگشتان پا است (شکل 2.1). حرکات دستگاه جونده بسیار پیچیده است. هنگام بستن دهان، بالا بردن فک پایین از موقعیت حداکثر پایین آمدن تا وضعیت بسته شدن کامل دندان های آن با دندان های فک بالا با حرکت عضلاتی که فک پایین را بالا می برند انجام می شود. این ماهیچه ها روی فک پایین به عنوان اهرم نوع دوم با تکیه گاه در مفصل عمل می کنند (که باعث افزایش قدرت جویدن می شود).

3) اهرمی که در آن نیروی عمل کننده نزدیکتر از نیروی مقاومت به تکیه گاه اعمال می شود. این اهرم است اهرم سرعت، زیرا باعث کاهش قدرت، اما افزایش در حرکت می شود. نمونه آن استخوان های ساعد است.

برنج. 2.1. اهرم های ناحیه فک و صورت و قوس پا.

بیشتر استخوان های اسکلت تحت تأثیر چندین ماهیچه قرار دارند و در جهات مختلف نیرو ایجاد می کنند. حاصل آنها با جمع هندسی طبق قانون متوازی الاضلاع یافت می شود.

استخوان های سیستم اسکلتی عضلانی در مفاصل یا مفاصل به یکدیگر متصل هستند. انتهای استخوان‌هایی که مفصل را تشکیل می‌دهند توسط کپسول مفصلی که آنها را محکم می‌گیرد و همچنین رباط‌هایی که به استخوان‌ها متصل شده‌اند به هم متصل می‌شوند. برای کاهش اصطکاک، سطوح تماس استخوان ها با غضروف صاف پوشیده شده و لایه نازکی از مایع چسبنده بین آنها وجود دارد.

اولین مرحله از تجزیه و تحلیل بیومکانیکی فرآیندهای حرکتی، تعیین سینماتیک آنها است. بر اساس چنین تحلیلی، زنجیره‌های سینماتیکی انتزاعی ساخته می‌شوند که تحرک یا پایداری آن‌ها را می‌توان بر اساس ملاحظات هندسی بررسی کرد. زنجیره‌های سینماتیکی بسته و باز وجود دارد که از اتصالات و پیوندهای صلب بین آنها تشکیل شده‌اند.

حالت یک نقطه مادی آزاد در فضای سه بعدی توسط سه مختصات مستقل داده می شود - x، y، z. متغیرهای مستقلی که وضعیت یک سیستم مکانیکی را مشخص می کنند نامیده می شوند درجه آزادی. برای سیستم های پیچیده تر، تعداد درجات آزادی ممکن است بیشتر باشد. به طور کلی، تعداد درجات آزادی نه تنها تعداد متغیرهای مستقل (که وضعیت یک سیستم مکانیکی را مشخص می کند)، بلکه تعداد حرکات مستقل سیستم را نیز تعیین می کند.

تعداد درجاتآزادی مشخصه مکانیکی اصلی مفصل است، یعنی. تعریف می کند تعداد محورها، که چرخش متقابل استخوان های مفصلی در اطراف آن امکان پذیر است. عمدتاً به دلیل شکل هندسی سطح استخوان های در تماس با مفصل ایجاد می شود.

حداکثر درجه آزادی در مفاصل 3 است.

نمونه هایی از مفاصل تک محوری (مسطح) در بدن انسان مفاصل هومروولنار، سوپراکالکانئال و فالانژیال هستند. آنها فقط با یک درجه آزادی اجازه خم شدن و اکستنشن را می دهند. بنابراین، استخوان اولنا با کمک یک بریدگی نیم دایره، برآمدگی استوانه ای روی استخوان بازو را می پوشاند که به عنوان محور مفصل عمل می کند. حرکات در مفصل به صورت خم شدن و امتداد در یک صفحه عمود بر محور مفصل است.

مفصل مچ دست که در آن خم شدن و اکستنشن و همچنین اداکشن و ابداکشن رخ می دهد را می توان به عنوان مفاصل با دو درجه آزادی طبقه بندی کرد.

مفاصل با سه درجه آزادی ( مفصل بندی فضایی ) شامل مفصل ران و استخوان کتف هستند. به عنوان مثال، در مفصل کتف، سر توپی شکل استخوان بازو در حفره کروی برآمدگی استخوان کتف قرار می گیرد. حرکات در مفصل عبارتند از خم شدن و اکستنشن (در صفحه ساژیتال)، اداکشن و ابداکشن (در صفحه فرونتال) و چرخش اندام حول محور طولی.

زنجیره های سینماتیکی مسطح بسته دارای تعدادی درجات آزادی هستند f F, که با تعداد لینک ها محاسبه می شود nبه روش زیر:

وضعیت زنجیره های سینماتیکی در فضا پیچیده تر است. در اینجا رابطه برقرار است

(2.2)

جایی که f i -تعداد درجات محدودیت های آزادی من-لینک ام

در هر بدنه ای می توانید محورهایی را انتخاب کنید که جهت آنها در حین چرخش بدون هیچ وسیله خاصی حفظ شود. آنها یک نام دارند محورهای چرخش آزاد

در این فصل جسم صلب مجموعه ای از نقاط مادی است که نسبت به یکدیگر حرکت نمی کنند. چنین جسمی که قابل تغییر شکل نباشد مطلقاً جامد نامیده می شود.

اجازه دهید یک جسم جامد با شکل دلخواه تحت تأثیر نیرویی حول یک محور ثابت 00 بچرخد (شکل 30). سپس تمام نقاط آن دایره هایی با مراکز روی این محور را توصیف می کنند. واضح است که تمام نقاط بدن دارای سرعت زاویه ای یکسان و شتاب زاویه ای یکسان (در یک زمان معین) هستند.

اجازه دهید نیروی عامل را به سه جزء متقابل عمود بر هم تجزیه کنیم: (موازی با محور)، (عمود بر محور و روی خطی که از محور می گذرد) و (عمود). بدیهی است که چرخش بدن فقط توسط مولفه‌ای که با نقطه اعمال نیرو بر دایره مماس است اندازه آن، بلکه به فاصله نقطه اعمال آن تا محور چرخش، یعنی به لحظه نیروی چرخشی (گشتاور) بستگی دارد نقطه اعمال نیرو نامیده می شود:

اجازه دهید از نظر ذهنی کل بدن را به ذرات بسیار کوچک - توده های اولیه - تجزیه کنیم. اگرچه نیرو به یک نقطه A از بدن اعمال می شود، اما اثر چرخشی آن به همه ذرات منتقل می شود: یک نیروی چرخشی اولیه به هر جرم اولیه اعمال می شود (شکل 30 را ببینید). طبق قانون دوم نیوتن،

شتاب خطی به جرم اولیه کجاست. با ضرب هر دو طرف این برابری در شعاع دایره توصیف شده توسط جرم اولیه، و معرفی شتاب زاویه ای به جای شتاب خطی (به بند 7 مراجعه کنید)، به دست می آوریم.

با توجه به اینکه گشتاور اعمال شده به جرم اولیه و نشان دهنده

ممان اینرسی جرم اولیه (نقطه مادی) کجاست. در نتیجه، ممان اینرسی یک نقطه مادی نسبت به یک محور چرخش معین، حاصل ضرب جرم نقطه مادی بر مجذور فاصله آن تا این محور است.

با جمع بندی گشتاورهای اعمال شده بر روی تمام توده های اولیه تشکیل دهنده بدن، به دست می آوریم

گشتاور در کجا اعمال می شود، یعنی لحظه نیروی چرخشی لحظه اینرسی بدن است. در نتیجه، ممان اینرسی یک جسم، مجموع گشتاورهای اینرسی تمام نقاط مادی تشکیل دهنده جسم است.

اکنون می توانیم فرمول (3) را در فرم بازنویسی کنیم

فرمول (4) قانون اساسی دینامیک چرخش (قانون دوم نیوتن برای حرکت چرخشی) را بیان می کند:

ممان نیروی چرخشی وارد شده به جسم برابر است با حاصل ضرب ممان اینرسی جسم و شتاب زاویه ای.

از فرمول (4) مشخص می شود که شتاب زاویه ای که توسط گشتاور به بدنه وارد می شود به ممان اینرسی بدن بستگی دارد. هر چه ممان اینرسی بیشتر باشد، شتاب زاویه ای کمتر می شود. در نتیجه، ممان اینرسی ویژگی های اینرسی یک جسم را در طول حرکت چرخشی مشخص می کند، همانطور که جرم ویژگی های اینرسی یک جسم را در طول حرکت انتقالی مشخص می کند، اما بر خلاف جرم، ممان اینرسی یک جسم معین می تواند مقادیر زیادی داشته باشد مطابق با بسیاری از محورهای ممکن چرخش. بنابراین، هنگام صحبت در مورد ممان اینرسی یک جسم صلب، باید مشخص شود که نسبت به کدام محور محاسبه می شود. در عمل معمولاً باید با ممان های اینرسی نسبت به محورهای تقارن بدنه برخورد کنیم.

از فرمول (2) به دست می آید که واحد اندازه گیری ممان اینرسی کیلوگرم- متر مربع است.

اگر گشتاور و ممان اینرسی بدنه باشد، فرمول (4) را می توان به صورت نمایش داد

این مقاله بخش مهمی از فیزیک را شرح می دهد - "سینماتیک و دینامیک حرکت چرخشی".

مفاهیم اساسی سینماتیک حرکت چرخشی

حرکت چرخشی یک نقطه مادی حول محور ثابتی به این حرکت گفته می شود که مسیر حرکت آن دایره ای است که در صفحه ای عمود بر محور قرار دارد و مرکز آن بر محور چرخش قرار دارد.

حرکت دورانی جسم صلب حرکتی است که در آن تمام نقاط جسم در امتداد دایره های متحدالمرکز (که مراکز آنها روی یک محور قرار دارند) مطابق با قانون حرکت چرخشی یک نقطه مادی حرکت می کنند.

اجازه دهید یک جسم صلب دلخواه T حول محور O که عمود بر صفحه نقشه است بچرخد. اجازه دهید نقطه M را در این جسم انتخاب کنیم، این نقطه دایره ای با شعاع حول محور O را توصیف می کند r.

پس از مدتی، شعاع نسبت به موقعیت اصلی خود با زاویه Δφ می چرخد.

جهت پیچ سمت راست (در جهت عقربه های ساعت) به عنوان جهت مثبت چرخش در نظر گرفته می شود. تغییر زاویه چرخش در طول زمان را معادله حرکت چرخشی جسم صلب می نامند:

φ = φ(t).

اگر φ بر حسب رادیان اندازه گیری شود (1 راد زاویه مربوط به کمانی به طول برابر با شعاع آن است)، در این صورت طول کمان دایره ای ΔS که نقطه مادی M در زمان Δt از آن عبور می کند، برابر است با:

ΔS = Δφr.

عناصر اساسی سینماتیک حرکت چرخشی یکنواخت

اندازه گیری حرکت یک نقطه مادی در مدت زمان کوتاه dtبه عنوان یک بردار چرخش اولیه عمل می کند dφ.

سرعت زاویه ای یک نقطه یا جسم مادی یک کمیت فیزیکی است که با نسبت بردار یک چرخش ابتدایی به مدت زمان این چرخش تعیین می شود. جهت بردار را می توان با قانون پیچ سمت راست در امتداد محور O به شکل اسکالر تعیین کرد.

ω = dφ/dt.

اگر ω = dφ/dt = ثابت،پس چنین حرکتی را حرکت چرخشی یکنواخت می نامند. با آن، سرعت زاویه ای با فرمول تعیین می شود

ω = φ/t.

با توجه به فرمول اولیه، بعد سرعت زاویه ای

[ω] = 1 راد در ثانیه.

حرکت چرخشی یکنواخت یک جسم را می توان با دوره چرخش توصیف کرد. دوره چرخش T یک کمیت فیزیکی است که زمانی را تعیین می کند که در طی آن یک جسم یک دور کامل حول محور چرخش می کند ([T] = 1 ثانیه). اگر در فرمول سرعت زاویه ای t = T، φ = 2 π (یک دور کامل شعاع r) را بگیریم، سپس

ω = 2π/T،

بنابراین دوره چرخش را به صورت زیر تعریف می کنیم:

T = 2π/ω.

تعداد دورهایی که یک جسم در واحد زمان انجام می دهد فرکانس چرخش ν نامیده می شود که برابر است با:

ν = 1/T.

واحدهای فرکانس: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 هرتز.

با مقایسه فرمول های سرعت زاویه ای و فرکانس چرخش، عبارتی را به دست می آوریم که این مقادیر را به هم متصل می کند:

ω = 2πν.

عناصر اساسی سینماتیک حرکت چرخشی ناهموار

حرکت چرخشی ناهموار یک جسم صلب یا نقطه مادی حول یک محور ثابت با سرعت زاویه ای آن مشخص می شود که با زمان تغییر می کند.

بردار ε بردار شتاب زاویه ای را مشخص می کند که میزان تغییر سرعت زاویه ای را مشخص می کند:

ε = dω/dt.

اگر جسمی بچرخد، شتاب بگیرد، یعنی dω/dt > 0، بردار جهتی در امتداد محور در همان جهت ω دارد.

اگر حرکت چرخشی آهسته باشد - dω/dt< 0 ، سپس بردارهای ε و ω در جهت مخالف هستند.

اظهار نظر. هنگامی که حرکت چرخشی ناهموار رخ می دهد، بردار ω می تواند نه تنها از نظر بزرگی، بلکه در جهت (زمانی که محور چرخش می چرخد) تغییر کند.

رابطه بین کمیت های مشخص کننده حرکت انتقالی و چرخشی

مشخص است که طول قوس با زاویه چرخش شعاع و مقدار آن با رابطه مرتبط هستند.

ΔS = Δφ r.

سپس سرعت خطی یک نقطه مادی که حرکت چرخشی را انجام می دهد

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

شتاب نرمال یک نقطه مادی که حرکت انتقالی چرخشی را انجام می دهد به صورت زیر تعیین می شود:

a = υ 2 / r = ω 2 r 2 / r.

بنابراین، به شکل اسکالر

a = ω 2 r.

نقطه مادی شتاب مماس که حرکت چرخشی را انجام می دهد

a = ε r.

تکانه نقطه مادی

حاصل ضرب برداری شعاع بردار یک نقطه مادی به جرم m i و تکانه آن را تکانه زاویه ای این نقطه حول محور چرخش می گویند. جهت بردار را می توان با استفاده از قانون پیچ درست تعیین کرد.

تکانه نقطه مادی ( L i) عمود بر صفحه کشیده شده از طریق r i و υ i جهت می گیرد و با آنها یک بردار سه گانه سمت راست را تشکیل می دهد (یعنی هنگام حرکت از انتهای بردار r iبه υ i پیچ سمت راست جهت بردار را نشان می دهد Lمن).

به شکل اسکالر

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

با توجه به اینکه هنگام حرکت در یک دایره، بردار شعاع و بردار سرعت خطی برای نقطه ماده i بر هم عمود هستند،

sin(υ i, r i) = 1.

بنابراین تکانه زاویه ای یک نقطه مادی برای حرکت چرخشی شکل خواهد گرفت

L = m i υ i r i .

لحظه نیرویی که بر نقطه مادی i-ام اثر می کند

حاصل ضرب بردار بردار شعاع که به نقطه اعمال نیرو کشیده می شود و این نیرو را گشتاور نیروی وارد بر نقطه مادی i نسبت به محور چرخش می گویند.

به شکل اسکالر

M i = r i F i sin(r i, F i).

با توجه به اینکه r i sinα = l i،M i = l i F i .

اندازه ل i برابر طول عمودی که از نقطه چرخش به جهت اثر نیرو پایین می آید، بازوی نیرو نامیده می شود. F i.

دینامیک حرکت چرخشی

معادله دینامیک حرکت چرخشی به صورت زیر نوشته شده است:

M = dL/dt.

فرمول قانون به شرح زیر است: سرعت تغییر تکانه زاویه ای جسمی که حول یک محور ثابت می چرخد ​​برابر است با گشتاور حاصله نسبت به این محور تمام نیروهای خارجی اعمال شده به جسم.

لحظه ضربه و لحظه اینرسی

مشخص است که برای نقطه مادی i ام، تکانه زاویه ای به شکل اسکالر با فرمول داده می شود

L i = m i υ i r i .

اگر به جای سرعت خطی، بیان آن را با سرعت زاویه ای جایگزین کنیم:

υ i = ω یا من،

سپس عبارت حرکت زاویه ای شکل خواهد گرفت

L i = m i r i 2 ω.

اندازه من i = m i r i 2ممان اینرسی نسبت به محور i امین نقطه مادی جسم کاملا صلبی که از مرکز جرم خود می گذرد نامیده می شود. سپس تکانه زاویه ای نقطه مادی را می نویسیم:

L i = I i ω.

تکانه زاویه ای یک جسم کاملا صلب را به صورت مجموع تکانه زاویه ای نقاط مادی تشکیل دهنده این جسم می نویسیم:

L = Iω.

ممان نیرو و ممان اینرسی

قانون حرکت چرخشی می گوید:

M = dL/dt.

مشخص است که تکانه زاویه ای یک جسم را می توان از طریق ممان اینرسی نشان داد:

L = Iω.

M = Idω/dt.

با توجه به اینکه شتاب زاویه ای با عبارت تعیین می شود

ε = dω/dt،

ما فرمولی برای لحظه نیرو به دست می آوریم که از طریق ممان اینرسی نشان داده می شود:

M = Iε.

اظهار نظر.یک لحظه نیرو در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که شتاب زاویه ای ایجاد کننده آن بزرگتر از صفر باشد و بالعکس.

قضیه اشتاینر. قانون جمع گشتاورهای اینرسی

اگر محور چرخش جسمی از مرکز جرم آن عبور نکند، می‌توان با استفاده از قضیه اشتاینر، گشتاور اینرسی را نسبت به این محور پیدا کرد:
I = I 0 + Ma 2,

جایی که من 0- لحظه اولیه اینرسی بدن؛ متر- جرم بدن؛ آ- فاصله بین محورها

اگر سیستمی که حول یک محور ثابت می چرخد ​​متشکل از nاجسام، آنگاه ممان اینرسی کل این نوع سیستم برابر با مجموع گشتاورهای اجزای آن (قانون جمع گشتاورهای اینرسی) خواهد بود.

لحظه قدرت

اثر چرخشی یک نیرو با گشتاور آن تعیین می شود. گشتاور نیرو در هر نقطه را حاصل ضرب بردار می گویند

بردار شعاع رسم شده از نقطه ای به نقطه دیگر اعمال نیرو (شکل 2.12). واحد اندازه گیری گشتاور نیرو.

شکل 2.12

بزرگی لحظه نیرو

یا میتونی بنویسی

بازوی نیرو کجاست (کمترین فاصله از نقطه تا خط عمل نیرو).

جهت بردار توسط قانون حاصلضرب بردار یا با قانون "پیچ راست" تعیین می شود (بردارها و ترجمه موازی در نقطه O ترکیب می شوند، جهت بردار تعیین می شود تا از انتهای آن چرخش از بردار k قابل مشاهده باشد. در خلاف جهت عقربه های ساعت - در شکل 2.12 بردار عمود بر صفحه ترسیم شده "از ما" هدایت می شود (مشابه با قانون گیملت - حرکت انتقالی مربوط به جهت بردار است، حرکت چرخشی مربوط به چرخش از به) است).

گشتاور یک نیرو در مورد هر نقطه ای برابر با صفر است اگر خط عمل نیرو از این نقطه عبور کند.

پیش بینی یک بردار بر روی هر محوری مثلاً محور z را ممان نیرو حول این محور می گویند. برای تعیین گشتاور نیروی حول محور، ابتدا نیرو را بر روی صفحه ای عمود بر محور وارد کنید (شکل 2.13) و سپس گشتاور این برجستگی را نسبت به نقطه تقاطع محور با صفحه عمود بر محور پیدا کنید. آی تی. اگر خط عمل نیرو با محور موازی باشد یا آن را قطع کند، گشتاور نیرو حول این محور برابر با صفر است.

شکل 2.13

تکانه

تکانه نقطه مادی جرمی که با سرعتی نسبت به هر نقطه مرجع حرکت می کند، محصول برداری نامیده می شود

بردار شعاع یک نقطه مادی (شکل 2.14) تکانه آن است.

شکل 2.14

بزرگی تکانه زاویه ای یک نقطه مادی

کوتاهترین فاصله از خط برداری تا نقطه کجاست.

جهت لحظه ضربه به طور مشابه جهت لحظه نیرو تعیین می شود.

اگر عبارت L 0 را ضرب کنیم و بر l تقسیم کنیم، به دست می آید:

ممان اینرسی یک نقطه مادی کجاست - آنالوگ جرم در حرکت چرخشی.

سرعت زاویهای.

لحظه اینرسی جسم صلب

مشاهده می‌شود که فرمول‌های به‌دست‌آمده به ترتیب شباهت زیادی به عبارات تکانه و قانون دوم نیوتن دارند، فقط به جای سرعت و شتاب خطی، از سرعت و شتاب زاویه‌ای و به جای جرم از کمیت استفاده می‌شود. I=mR 2، تماس گرفت ممان اینرسی یک نقطه مادی .

اگر جسمی را نتوان یک نقطه مادی در نظر گرفت، اما بتوان آن را کاملاً جامد در نظر گرفت، ممان اینرسی آن را می توان مجموع گشتاورهای اینرسی قسمت های بی نهایت کوچک آن در نظر گرفت، زیرا سرعت های زاویه ای چرخش این قسمت ها یکسان است. (شکل 2.16). مجموع بینهایت کوچک انتگرال است:

برای هر جسمی، محورهایی وجود دارد که از مرکز اینرسی آن عبور می کنند که دارای ویژگی زیر هستند: وقتی بدن در غیاب تأثیرات خارجی به دور چنین محورهایی می چرخد، محورهای چرخش موقعیت خود را تغییر نمی دهند. چنین محورهایی نامیده می شوند محورهای بدن آزاد . می توان ثابت کرد که برای جسمی با هر شکل و با هر توزیع چگالی سه محور آزاد متقابل وجود دارد که به نام محورهای اصلی اینرسی بدن. ممان اینرسی یک جسم نسبت به محورهای اصلی نامیده می شود گشتاورهای اصلی (ذاتی) اینرسی بدن.

لحظات اصلی اینرسی برخی اجسام در جدول آورده شده است:

قضیه هویگنز-اشتاینر.

این عبارت نامیده می شود قضیه هویگنز-اشتاینر : ممان اینرسی جسم نسبت به یک محور دلخواه برابر است با مجموع گشتاور اینرسی جسم نسبت به محوری موازی با محور داده شده و از مرکز جرم جسم می گذرد و حاصل ضرب جرم بدن با مجذور فاصله بین محورها.

معادله پایه برای دینامیک حرکت چرخشی

قانون اساسی دینامیک حرکت چرخشی را می توان از قانون دوم نیوتن برای حرکت انتقالی یک جسم صلب به دست آورد.

جایی که اف- نیروی اعمال شده بر جسم به جرم متر; آ- شتاب خطی بدن

اگر به جرم جامد متردر نقطه A (شکل 2.15) نیرو اعمال کنید اف، سپس در نتیجه یک اتصال صلب بین تمام نقاط مادی بدن، همه آنها شتاب زاویه ای ε و شتاب های خطی متناظر را دریافت خواهند کرد، گویی نیرویی F 1 ...F n بر هر نقطه وارد شده است. برای هر نکته مادی می توانیم بنویسیم:

کجا بنابراین

جایی که m i- وزن من-امتیاز ε - شتاب زاویه ای؛ r i- فاصله آن تا محور چرخش.

ضلع چپ و راست معادله را در ضرب کنید r i، ما گرفتیم

کجا - لحظه نیرو حاصل ضرب نیرو و شانه آن است.

برنج. 2.15. جسم صلبی که تحت تأثیر یک نیرو می چرخد افدر مورد محور "OO"

- ممان اینرسی منامین نقطه مادی (آنالوگ جرم در حرکت چرخشی).

عبارت را می توان اینگونه نوشت:

بیایید قسمت های چپ و راست را در تمام نقاط بدن جمع کنیم:

معادله قانون اساسی دینامیک حرکت چرخشی یک جسم صلب است. قدر مجموع هندسی تمام گشتاورهای نیرو، یعنی لحظه نیرو است اف، شتاب ε را به تمام نقاط بدن می دهد. - مجموع جبری لحظه های اینرسی تمام نقاط بدن. قانون به شرح زیر است: "لحظه نیروی وارد بر جسم در حال چرخش برابر است با حاصل ضرب ممان اینرسی جسم و شتاب زاویه ای."

از طرف دیگر

به نوبه خود - تغییر در حرکت زاویه ای بدن.

سپس قانون اساسی دینامیک حرکت چرخشی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

یا - ضربه لحظه نیروی وارد بر جسم در حال چرخش برابر با تغییر تکانه زاویه ای آن است.

قانون بقای حرکت زاویه ای

مشابه ZSI.

با توجه به معادله پایه دینامیک حرکت دورانی، گشتاور نیرو نسبت به محور Z: . از این رو، در یک سیستم بسته و بنابراین، کل تکانه زاویه ای نسبت به محور Z تمام اجسام موجود در سیستم بسته یک کمیت ثابت است. این بیان می کند قانون بقای تکانه زاویه ای . این قانون فقط در چارچوب های مرجع اینرسی عمل می کند.

بیایید قیاسی بین ویژگی های حرکت انتقالی و چرخشی ترسیم کنیم.