ما مجموع زاویه ها و مساحت متوازی الاضلاع را محاسبه می کنیم: خواص و ویژگی ها. تعریف متوازی الاضلاع و خواص آن اثبات خواص اضلاع و زوایای متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع

موضوع درس

• ویژگی های قطرهای متوازی الاضلاع.

اهداف درس

• با تعاریف جدید آشنا شوید و برخی را که قبلاً مطالعه کرده اید به خاطر بسپارید.
• خصوصیت قطرهای متوازی الاضلاع را بیان کرده و ثابت کنید.
• یاد بگیرید که در هنگام حل مسائل از خصوصیات اشکال استفاده کنید.
• رشدی - برای توسعه توجه دانش آموزان، پشتکار، پشتکار، تفکر منطقی، گفتار ریاضی.
• آموزشی - از طریق درس، نگرش توجه نسبت به یکدیگر را پرورش دهید، توانایی گوش دادن به رفقا، کمک متقابل و استقلال را القا کنید.

اهداف درس

• مهارت حل مسئله دانش آموزان را آزمایش کنید.

طرح درس

1. معرفی.
2. تکرار مطالبی که قبلا مطالعه شده است.
3. متوازی الاضلاع، خواص و ویژگی های آن.
4. نمونه هایی از وظایف
5. خود چک کردن.

معرفی

"یک اکتشاف علمی بزرگ راه حلی برای یک مشکل بزرگ ارائه می دهد، اما در حل هر مشکلی دانه ای از کشف وجود دارد."

ویژگی اضلاع مقابل متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع اضلاع مقابل هم دارد.

اثبات

فرض کنید ABCD متوازی الاضلاع داده شده باشد. و اجازه دهید قطرهای آن در نقطه O قطع شوند.
از آنجایی که Δ AOB = Δ COD با اولین معیار تساوی مثلث ها (∠ AOB = ∠ COD، به عنوان عمودی، AO=OC، DO=OB، با خاصیت قطرهای متوازی الاضلاع)، سپس AB=CD. به همین ترتیب از برابری مثلث های BOC و DOA نتیجه می شود که BC = DA. قضیه ثابت شده است.

ویژگی زوایای متضاد متوازی الاضلاع

در متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابر هستند.

اثبات

فرض کنید ABCD متوازی الاضلاع داده شده باشد. و اجازه دهید قطرهای آن در نقطه O قطع شوند.
از آنچه در قضیه در مورد خواص اضلاع متوازی الاضلاع Δ ABC = Δ CDA در سه ضلع ثابت شد (AB=CD، BC=DA از آنچه ثابت شد، AC - کلی). از تساوی مثلث ها نتیجه می شود که ∠ ABC = ∠ CDA.
همچنین ثابت شده است که ∠ DAB = ∠ BCD، که از ∠ ABD = ∠ CDB می آید. قضیه ثابت شده است.

ویژگی قطرهای متوازی الاضلاع

قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند و در نقطه تقاطع نصف می شوند.

اثبات

فرض کنید ABCD متوازی الاضلاع داده شده باشد. بیایید قطر AC را رسم کنیم. O وسط را روی آن علامت گذاری می کنیم در ادامه قطعه DO قطعه OB 1 برابر با DO را کنار می گذاریم.
طبق قضیه قبلی، AB 1 CD یک متوازی الاضلاع است. بنابراین، خط AB 1 موازی با DC است. اما از طریق نقطه A فقط یک خط موازی با DC می توان رسم کرد. این بدان معنی است که مستقیم AB 1 با مستقیم AB منطبق است.
همچنین ثابت شده است که 1 قبل از میلاد مصادف با قبل از میلاد است. این بدان معنی است که نقطه C با C 1 منطبق است. متوازی الاضلاع ABCD با متوازی الاضلاع AB 1 CD منطبق است. در نتیجه قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند و در نقطه تقاطع نصف می شوند. قضیه ثابت شده است.

در کتاب های درسی برای مدارس عادی (به عنوان مثال، در Pogorelovo) اینگونه ثابت شده است: مورب ها متوازی الاضلاع را به 4 مثلث تقسیم می کنند. بیایید یک جفت را در نظر بگیریم و بفهمیم - آنها مساوی هستند: پایه های آنها طرف مقابل هستند، زوایای مربوطه در مجاورت آن برابر هستند، مانند زوایای عمودی با خطوط موازی. یعنی قطعات قطرها به صورت جفت با هم برابرند. همه.

آیا این همه است؟
در بالا ثابت شد که نقطه تقاطع مورب ها را - در صورت وجود - نصف می کند. استدلال فوق به هیچ وجه وجود آن را ثابت نمی کند. یعنی بخشی از قضیه "قطرهای متوازی الاضلاع قطع می شوند" ثابت نشده باقی می ماند.

نکته خنده دار این است که اثبات این قسمت بسیار سخت تر است. اتفاقاً این نتیجه از یک نتیجه کلی‌تر ناشی می‌شود: هر چهارضلعی محدب دارای قطرهایی است که متقاطع می‌شوند، اما هر چهارضلعی غیر محدب اینطور نیست.

در تساوی مثلث ها در امتداد یک ضلع و دو زاویه مجاور (نشان دوم تساوی مثلث ها) و دیگران.

تالس کاربرد عملی مهمی برای قضیه تساوی دو مثلث در امتداد یک ضلع و دو زاویه مجاور یافت. یک مسافت یاب در بندر میلتوس برای تعیین فاصله تا یک کشتی در دریا ساخته شد. از سه میخ A، B و C (AB = BC) و یک خط مستقیم مشخص شده SC، عمود بر CA تشکیل شده است. هنگامی که یک کشتی در خط مستقیم SK ظاهر شد، ما نقطه D را به گونه ای یافتیم که نقاط D، .B و E در یک خط مستقیم قرار داشتند. همانطور که از نقاشی مشخص است، فاصله CD روی زمین، فاصله مورد نظر تا کشتی است.

سوالات

1. آیا قطرهای مربع بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند؟
   
2. آیا قطرهای متوازی الاضلاع برابر هستند؟
3. آیا زوایای مقابل متوازی الاضلاع برابرند؟
4. تعریف متوازی الاضلاع را بیان کنید؟
5. چند علامت متوازی الاضلاع است؟
   
6. آیا لوزی می تواند متوازی الاضلاع باشد؟
   

فهرست منابع استفاده شده

1. Kuznetsov A.V.، معلم ریاضیات (کلاس 5-9)، کیف
2. “آزمون یکپارچه دولتی 2006. ریاضیات. مواد آموزشی و آموزشی برای آماده سازی دانش آموزان / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. "حل مسائل اصلی مسابقه در ریاضیات مجموعه ویرایش شده توسط M. I. Skanavi"
4. L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، E. G. Poznyak، I. I. Yudina "هندسه، 7-9: کتاب درسی برای موسسات آموزشی"

روی درس کار کردیم

Kuznetsov A.V.

پوتورناک اس.ا.

اوگنی پتروف

می توانید در مورد آموزش مدرن سؤالی مطرح کنید، ایده ای را بیان کنید یا یک مشکل مبرم را حل کنید انجمن آموزشی، جایی که شورای آموزشی اندیشه و عمل تازه در سطح بین المللی تشکیل جلسه می دهد. ایجاد کرده است وبلاگ،شما نه تنها وضعیت خود را به عنوان یک معلم شایسته بهبود خواهید بخشید، بلکه سهم قابل توجهی در توسعه مدرسه آینده خواهید داشت. انجمن صنفی رهبران آموزشیدرها را به روی متخصصان درجه یک باز می کند و از آنها دعوت می کند تا در ایجاد بهترین مدارس جهان همکاری کنند.

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند. این تعریف از قبل کافی است، زیرا خواص باقیمانده متوازی الاضلاع از آن تبعیت می کند و در قالب قضایا اثبات می شود.

خصوصیات اصلی متوازی الاضلاع عبارتند از:

• متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است.
• متوازی الاضلاع اضلاع مخالفی دارد که جفت با هم برابرند.
• در متوازی الاضلاع، زوایای مقابل به صورت جفت برابر هستند.
• قطرهای متوازی الاضلاع بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

متوازی الاضلاع - چهار ضلعی محدب

اجازه دهید ابتدا این قضیه را اثبات کنیم متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است. یک چند ضلعی محدب است اگر هر ضلعی از آن به یک خط مستقیم کشیده شود، تمام ضلع های دیگر چند ضلعی در همان سمت این خط مستقیم خواهند بود.

اجازه دهید متوازی الاضلاع ABCD داده شود، که در آن AB ضلع مقابل برای CD و BC ضلع مقابل برای AD است. سپس از تعریف متوازی الاضلاع نتیجه می شود که AB || CD، BC || آگهی.

پاره های موازی هیچ نقطه مشترکی ندارند و همدیگر را قطع نمی کنند. این به این معنی است که CD در یک طرف AB قرار دارد. از آنجایی که قطعه BC نقطه B از قطعه AB را به نقطه C از قطعه CD وصل می کند و قطعه AD سایر نقاط AB و CD را به هم متصل می کند، پاره های BC و AD نیز در همان سمت خط AB قرار دارند که CD در آن قرار دارد. بنابراین، هر سه طرف - CD، BC، AD - در یک سمت AB قرار دارند.

به همین ترتیب ثابت می شود که نسبت به دیگر اضلاع متوازی الاضلاع، سه ضلع دیگر در یک ضلع قرار دارند.

اضلاع و زوایای مقابل با هم برابرند

یکی از خواص متوازی الاضلاع این است که در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل و زوایای مقابل به صورت جفت برابر هستند. به عنوان مثال، اگر متوازی الاضلاع ABCD داده شود، آنگاه دارای AB = CD، AD = BC، ∠A = ∠C، ∠B = ∠D است. این قضیه به صورت زیر ثابت می شود.

متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی است. یعنی دو قطر دارد. از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، هر یک از آنها آن را به دو مثلث تقسیم می کند. در متوازی الاضلاع ABCD مثلث های ABC و ADC را که با رسم قطر AC بدست می آیند در نظر بگیرید.

این مثلث ها یک ضلع مشترک دارند - AC. زاویه BCA برابر با زاویه CAD است، همانطور که وقتی BC و AD موازی هستند عمودی است. زوایای BAC و ACD نیز زمانی که AB و CD موازی باشند با زوایای عمودی برابرند. بنابراین، ∆ABC = ∆ADC در دو زاویه و ضلع بین آنها.

در این مثلث ها ضلع AB با ضلع CD و ضلع BC مربوط به AD است. بنابراین، AB = CD و BC = AD.

زاویه B مربوط به زاویه D است، یعنی ∠B = ∠D. زاویه A متوازی الاضلاع مجموع دو زاویه ∠BAC و ∠CAD است. زاویه C برابر است با ∠BCA و ∠ACD. از آنجایی که جفت زاویه ها با یکدیگر برابر هستند، پس ∠A = ∠C.

بنابراین، ثابت می شود که در متوازی الاضلاع اضلاع و زوایای مقابل با هم برابر هستند.

مورب ها به نصف تقسیم می شوند

از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، دو قطر دارد و آنها همدیگر را قطع می کنند. اجازه دهید متوازی الاضلاع ABCD داده شود، قطرهای آن AC و BD در نقطه E قطع می شوند. مثلث های ABE و CDE را در نظر بگیرید که توسط آنها تشکیل شده اند.

این مثلث ها دارای اضلاع AB و CD برابر با اضلاع مقابل متوازی الاضلاع هستند. زاویه ABE برابر با زاویه CDE به صورت متقاطع با خطوط موازی AB و CD است. به همین دلیل، ∠BAE = ∠DCE. این یعنی ∆ABE = ∆CDE در دو زاویه و ضلع بین آنها.

همچنین می توانید متوجه شوید که زوایای AEB و CED عمودی هستند و بنابراین با یکدیگر برابر هستند.

از آنجایی که مثلث های ABE و CDE با یکدیگر برابر هستند، پس همه عناصر متناظر آنها با یکدیگر برابر هستند. ضلع AE مثلث اول با ضلع CE دومی مطابقت دارد که به معنی AE = CE است. به طور مشابه BE = DE. هر جفت پاره مساوی یک قطر متوازی الاضلاع را تشکیل می دهد. بنابراین ثابت می شود که قطرهای متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع آنها نصف می شوند.

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن موازی هستند، یعنی روی خطوط موازی قرار دارند (شکل 1).

قضیه 1. در مورد خصوصیات اضلاع و زوایای متوازی الاضلاع.در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل برابر، زوایای مقابل مساوی و مجموع زوایای مجاور یک ضلع متوازی الاضلاع 180 درجه است.

اثبات در این متوازی الاضلاع ABCD یک AC مورب رسم می کنیم و دو مثلث ABC و ADC بدست می آوریم (شکل 2).

این مثلث ها مساوی هستند، زیرا ∠ 1 = ∠ 4، ∠ 2 = ∠ 3 (زوایای متقاطع برای خطوط موازی)، و ضلع AC مشترک است. از تساوی Δ ABC = Δ ADC نتیجه می شود که AB = CD، BC = AD، ∠ B = ∠ D. مجموع زوایای مجاور یک ضلع، برای مثال زوایای A و D، برابر با 180 درجه یک طرفه است. برای خطوط موازی قضیه ثابت شده است.

اظهار نظر. تساوی اضلاع متوازی الاضلاع به این معنی است که قسمت های متوازی الاضلاع بریده شده توسط موازی ها با هم برابر هستند.

نتیجه 1. اگر دو خط موازی باشند، تمام نقاط یک خط در یک فاصله از خط دیگر قرار دارند.

اثبات در واقع، اجازه دهید یک || ب (شکل 3).

اجازه دهید عمودهای BA و CD را از دو نقطه B و C از خط b به خط مستقیم a رسم کنیم. از آنجایی که AB || CD، سپس شکل ABCD متوازی الاضلاع است و بنابراین AB = CD.

فاصله بین دو خط موازی فاصله یک نقطه دلخواه در یکی از خطوط تا خط دیگر است.

طبق آنچه ثابت شد، برابر است با طول عمود رسم شده از نقطه ای از یکی از خطوط موازی به خط دیگر.

مثال 1.محیط متوازی الاضلاع 122 سانتی متر است یکی از اضلاع آن 25 سانتی متر از دیگری بزرگتر است اضلاع متوازی الاضلاع را بیابید.

راه حل. با قضیه 1، اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر هستند. یک طرف متوازی الاضلاع را با x و طرف دیگر را با y نشان می دهیم. سپس، با شرط $$\left\(\begin(ماتریس) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(ماتریس)\right.$$ با حل این سیستم، x = 43، y = 18 را بدست می آوریم. بنابراین، اضلاع متوازی الاضلاع 18، 43، 18 و 43 سانتی متر هستند.

مثال 2.

راه حل. اجازه دهید شکل 4 شرایط مسئله را برآورده کند.

اجازه دهید AB را با x و BC را با y نشان دهیم. طبق شرط محیط متوازی الاضلاع 10 سانتی متر است یعنی 2(x + y) = 10 یا x + y = 5. محیط مثلث ABD 8 سانتی متر است و چون AB + AD = x + y = 5 سپس BD = 8 - 5 = 3. بنابراین BD = 3 سانتی متر.

مثال 3.زوایای متوازی الاضلاع را بیابید و بدانید که یکی از آنها 50 درجه از دیگری بزرگتر است.

راه حل. اجازه دهید شکل 5 شرایط مسئله را برآورده کند.

اجازه دهید درجه زاویه A را با x نشان دهیم. سپس اندازه درجه زاویه D x + 50 درجه است.

زوایای BAD و ADC زوایای داخلی یک طرفه با خطوط موازی AB و DC و مقطع AD هستند. سپس مجموع این زوایای نامگذاری شده 180 درجه خواهد بود، یعنی.
x + x + 50 درجه = 180 درجه یا x = 65 درجه. بنابراین، ∠ A = ∠ C = 65 درجه، a ∠ B = ∠ D = 115 درجه.

مثال 4.اضلاع متوازی الاضلاع 4.5 dm و 1.2 dm است. یک نیمساز از راس یک زاویه تند رسم می شود. ضلع بزرگتر متوازی الاضلاع را به چه قسمتهایی تقسیم می کند؟

راه حل. اجازه دهید شکل 6 شرایط مسئله را برآورده کند.

AE نیمساز یک زاویه تند متوازی الاضلاع است. بنابراین، ∠ 1 = ∠ 2.

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند. مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب قاعده (a) و ارتفاع (h) آن. همچنین می توانید مساحت آن را از طریق دو ضلع و یک زاویه و از طریق مورب ها پیدا کنید.

ویژگی های متوازی الاضلاع

1. طرف مقابل یکسان است

اول از همه، بیایید قطر \(AC\) را رسم کنیم. ما دو مثلث داریم: \(ABC\) و \(ADC\).

از آنجایی که \(ABCD\) متوازی الاضلاع است، موارد زیر درست است:

\(میلادی || قبل از میلاد \پیکان راست \زاویه 1 = \زاویه 2\)مثل دراز کشیدن متقاطع

\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4\)مثل دراز کشیدن متقاطع

بنابراین، (با توجه به معیار دوم: و \(AC\) رایج است).

و این یعنی \(\مثلث ABC = \مثلث ADC\)، سپس \(AB = CD\) و \(AD = BC\) .

2. زوایای مقابل یکسان هستند

طبق برهان خواص 1ما آن را میدانیم \(\ زاویه 1 = \ زاویه 2 ، \ زاویه 3 = \ زاویه 4\). بنابراین مجموع زوایای مقابل برابر است با: \(\ زاویه 1 + \ زاویه 3 = \ زاویه 2 + \ زاویه 4\). با توجه به اینکه \(\مثلث ABC = \مثلث ADC\)\(\زاویه A = \زاویه C \) ، \(\زاویه B = \زاویه D \) بدست می آوریم.

3. مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند

توسط دارایی 1می دانیم که اضلاع مقابل یکسان هستند: \(AB = CD\) . یک بار دیگر، به زوایای مساوی متقاطع توجه کنید.

بنابراین واضح است که \(\مثلث AOB = \مثلث COD\)با توجه به علامت دوم تساوی مثلث ها (دو زاویه و ضلع بین آنها). یعنی \(BO = OD\) (در مقابل زوایای \(\زاویه 2\) و \(\زاویه 1\) ) و \(AO = OC\) (در مقابل زاویه \(\زاویه 3\) و به ترتیب \( \زاویه 4\)).

نشانه های متوازی الاضلاع

اگر فقط یک ویژگی در مشکل شما وجود داشته باشد، آن شکل متوازی الاضلاع است و می توانید از تمام ویژگی های این شکل استفاده کنید.

برای حفظ بهتر، توجه داشته باشید که علامت متوازی الاضلاع به سؤال زیر پاسخ می دهد - "چگونه بفهمیم؟". یعنی چگونه می توان فهمید که یک شکل داده شده متوازی الاضلاع است.

1. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که دو ضلع آن برابر و موازی باشند

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD\)- متوازی الاضلاع.

بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم. چرا \(میلادی || قبل از میلاد \)؟

\(\مثلث ABC = \مثلث ADC\)توسط دارایی 1: \(AB = CD \) , \(\زاویه 1 = \زاویه 2 \) در حالت متقاطع زمانی که \(AB \) و \(CD \) و سکانت \(AC \) موازی هستند.

اما اگر \(\مثلث ABC = \مثلث ADC\)، سپس \(\زاویه 3 = \زاویه 4 \) (در مقابل \(میلادی || قبل از میلاد \) (\(\زاویه 3 \) و \(\زاویه 4 \) - آنهایی که به صورت ضربدری قرار دارند نیز برابر هستند.

اولین علامت درست است.

2. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن با هم برابر باشند

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) متوازی الاضلاع است.

بیایید این علامت را در نظر بگیریم. بیایید دوباره مورب \(AC\) را رسم کنیم.

توسط دارایی 1\(\مثلث ABC = \مثلث ACD\).

نتیجه می شود که: \(\زاویه 1 = \زاویه 2 \پیکان راست پس از میلاد || قبل از میلاد \)و \(\ زاویه 3 = \ زاویه 4 \ فلش راست AB || CD \)، یعنی \(ABCD\) متوازی الاضلاع است.

علامت دوم درست است.

3. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که زوایای مقابل آن برابر است

\(\زاویه A = \زاویه C\), \(\ زاویه B = \ زاویه D \ فلش راست ABCD\)- متوازی الاضلاع.

\(2 \آلفا + 2 \بتا = 360^(\circ) \)(از آنجایی که \(\ زاویه A = \زاویه C\) ، \(\زاویه B = \زاویه D\) بر اساس شرط).

معلوم می شود، . اما \(\alpha \) و \(\beta \) در سکنت \(AB \) یک طرفه داخلی هستند.

و چی \(\آلفا + \بتا = 180^(\circ) \)همچنین می گوید که \(میلادی || قبل از میلاد \) .

اثبات

اول از همه، بیایید AC مورب را رسم کنیم. ما دو مثلث داریم: ABC و ADC.

از آنجایی که ABCD متوازی الاضلاع است، موارد زیر صادق است:

بعد از میلاد || BC \Rightarrow \ Angle 1 = \ Angle 2مثل دراز کشیدن متقاطع

AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4مثل دراز کشیدن متقاطع

بنابراین، \ مثلث ABC = \مثلث ADC (با توجه به معیار دوم: و AC رایج است).

و بنابراین، \ مثلث ABC = \مثلث ADC، سپس AB = CD و AD = BC.

ثابت شده!

2. زوایای مقابل یکسان هستند.

اثبات

طبق برهان خواص 1ما آن را میدانیم \ زاویه 1 = \ زاویه 2 ، \ زاویه 3 = \ زاویه 4. بنابراین مجموع زوایای مقابل برابر است با: \ زاویه 1 + \ زاویه 3 = \ زاویه 2 + \ زاویه 4. با توجه به اینکه \مثلث ABC = \مثلث ADC ما \زاویه A = \زاویه C ، \زاویه B = \زاویه D را دریافت می کنیم.

ثابت شده!

3. مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

اثبات

بیایید یک مورب دیگر رسم کنیم.

توسط دارایی 1می دانیم که اضلاع مقابل یکسان هستند: AB = CD. یک بار دیگر، به زوایای مساوی متقاطع توجه کنید.

بنابراین، با توجه به معیار دوم برای تساوی مثلث ها (دو زاویه و ضلع بین آنها) مشخص می شود که \ مثلث AOB = \مثلث COD. یعنی BO = OD (مقابل گوشه های \زاویه 2 و \زاویه 1) و AO = OC (به ترتیب در مقابل گوشه های \زاویه 3 و \زاویه 4).

ثابت شده!

نشانه های متوازی الاضلاع

اگر فقط یک ویژگی در مشکل شما وجود داشته باشد، آن شکل متوازی الاضلاع است و می توانید از تمام ویژگی های این شکل استفاده کنید.

برای حفظ بهتر، توجه داشته باشید که علامت متوازی الاضلاع به سؤال زیر پاسخ می دهد - "چگونه بفهمیم؟". یعنی چگونه می توان فهمید که یک شکل داده شده متوازی الاضلاع است.

1. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که دو ضلع آن برابر و موازی باشند.

AB = CD ; AB || CD\Rightarrow ABCD یک متوازی الاضلاع است.

اثبات

بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم. چرا AD || قبل از میلاد مسیح؟

\ مثلث ABC = \مثلث ADC توسط دارایی 1: AB = CD، AC - مشترک و \ زاویه 1 = \ زاویه 2 به صورت متقاطع با AB و CD موازی و AC متقاطع قرار دارد.

اما اگر \ مثلث ABC = \مثلث ADC , آنگاه \ زاویه 3 = \زاویه 4 (به ترتیب مقابل AB و CD قرار دارد). و بنابراین پس از میلاد || قبل از میلاد (\زاویه 3 و \زاویه 4 - آنهایی که به صورت ضربدری قرار دارند نیز برابر هستند).

اولین علامت درست است.

2. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن با هم برابر باشند.

AB = CD، AD = BC \Rightarrow ABCD متوازی الاضلاع است.

اثبات

بیایید این علامت را در نظر بگیریم. بیایید دوباره AC مورب را رسم کنیم.

توسط دارایی 1\ مثلث ABC = \مثلث ACD .

نتیجه می شود که: \زاویه 1 = \زاویه 2 \Rightarrow AD || قبل از میلاد مسیح.و \ زاویه 3 = \ زاویه 4 \ راست فلش AB || سی دییعنی ABCD متوازی الاضلاع است.

علامت دوم درست است.

3. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که زوایای مقابل آن برابر است.

\ زاویه A = \ زاویه C ، \ Angle B = \ Angle D \Rightarrow ABCD- متوازی الاضلاع.

اثبات

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(از آنجایی که ABCD یک چهار ضلعی است و \ زاویه A = \ زاویه C ، \ زاویه B = \ زاویه D بر اساس شرط).

معلوم می شود که \alpha + \beta = 180^(\circ) . اما \آلفا و \بتا در قسمت AB یک طرفه داخلی هستند.

و اینکه \alpha + \beta = 180^(\circ) نیز به این معنی است که AD || قبل از میلاد مسیح.

علاوه بر این، \alpha و \beta در بخش AD یک طرفه داخلی هستند. و این یعنی AB || سی دی.

علامت سوم صحیح است.

4. متوازی الاضلاع چهارضلعی است که قطرهای آن بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

AO = OC ; BO = OD\متوازی الاضلاع فلش راست.

اثبات

BO = OD; AO = OC، \ زاویه 1 = \ زاویه 2 به صورت عمودی \Rightarrow \مثلث AOB = \مثلث COD, فلش راست \ زاویه 3 = \ زاویه 4و \Rightarrow AB || سی دی.

به طور مشابه BO = OD; AO = OC، \ زاویه 5 = \ زاویه 6 \ راست فلش \ مثلث AOD = \ مثلث BOC \ راست فلش \ زاویه 7 = \ زاویه 8و \Rightarrow AD || قبل از میلاد مسیح.

علامت چهارم صحیح است.