همه چیز درباره نابرابری های لگاریتمی تحلیل نمونه ها

در میان انواع نابرابری های لگاریتمی، نابرابری های با پایه متغیر به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند. آنها با استفاده از فرمول خاصی حل می شوند که به دلایلی به ندرت در مدرسه آموزش داده می شود:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

به جای چک باکس "∨"، می توانید هر علامت نابرابری را قرار دهید: بیشتر یا کمتر. نکته اصلی این است که در هر دو نابرابری علائم یکسان است.

به این ترتیب از لگاریتم خلاص می شویم و مسئله را به یک نابرابری منطقی تقلیل می دهیم. حل دومی بسیار ساده تر است، اما هنگام کنار گذاشتن لگاریتم ها، ممکن است ریشه های اضافی ظاهر شوند. برای قطع آنها کافی است محدوده مقادیر قابل قبول را بیابید. اگر ODZ یک لگاریتم را فراموش کرده اید، من قویاً توصیه می کنم آن را تکرار کنید - به "لگاریتم چیست" مراجعه کنید.

همه چیز مربوط به محدوده مقادیر قابل قبول باید به طور جداگانه نوشته و حل شود:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

این چهار نابرابری یک سیستم را تشکیل می دهند و باید به طور همزمان برآورده شوند. وقتی محدوده مقادیر قابل قبول پیدا شد، تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را با حل نابرابری منطقی قطع کنیم - و پاسخ آماده است.

وظیفه. حل نابرابری:

ابتدا بیایید ODZ لگاریتم را بنویسیم:

دو نابرابری اول به طور خودکار برآورده می شوند، اما آخرین نابرابری باید نوشته شود. از آنجایی که مربع یک عدد صفر است اگر و فقط اگر خود عدد صفر باشد، داریم:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

معلوم می شود که ODZ لگاریتم همه اعداد به جز صفر است: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). اکنون نابرابری اصلی را حل می کنیم:

ما از نابرابری لگاریتمی به نابرابری منطقی گذر می کنیم. نابرابری اصلی دارای علامت "کمتر از" است، به این معنی که نابرابری حاصل باید علامت "کمتر از" نیز داشته باشد. ما داریم:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

صفرهای این عبارت عبارتند از: x = 3; x = -3; x = 0. علاوه بر این، x = 0 یک ریشه از کثرت دوم است، به این معنی که هنگام عبور از آن، علامت تابع تغییر نمی کند. ما داریم:

x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) را دریافت می کنیم. این مجموعه به طور کامل در ODZ لگاریتم موجود است، به این معنی که این پاسخ است.

تبدیل نابرابری های لگاریتمی

اغلب نابرابری اصلی با نابرابری بالا متفاوت است. این را می توان به راحتی با استفاده از قوانین استاندارد برای کار با لگاریتم اصلاح کرد - به "ویژگی های اساسی لگاریتم ها" مراجعه کنید. برای مثال:

هر عددی را می توان به صورت لگاریتمی با پایه معین نشان داد.
مجموع و تفاضل لگاریتم هایی با پایه های یکسان را می توان با یک لگاریتم جایگزین کرد.

به طور جداگانه، من می خواهم به شما در مورد محدوده مقادیر قابل قبول یادآوری کنم. از آنجایی که ممکن است چندین لگاریتم در نابرابری اصلی وجود داشته باشد، لازم است VA هر یک از آنها را پیدا کنید. بنابراین، طرح کلی برای حل نابرابری های لگاریتمی به شرح زیر است:

VA هر لگاریتم موجود در نابرابری را بیابید.
با استفاده از فرمول‌های جمع و تفریق لگاریتم، نابرابری را به یک استاندارد کاهش دهید.
نابرابری حاصل را طبق طرح بالا حل کنید.

وظیفه. حل نابرابری:

بیایید دامنه تعریف (DO) لگاریتم اول را پیدا کنیم:

ما با استفاده از روش فاصله حل می کنیم. یافتن صفرهای صورتگر:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

سپس - صفرهای مخرج:

x − 1 = 0;
x = 1.

روی فلش مختصات صفرها و علائم را علامت گذاری می کنیم:

x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) را دریافت می کنیم. لگاریتم دوم VA یکسان خواهد داشت. اگر باور ندارید، می توانید آن را بررسی کنید. حالا لگاریتم دوم را طوری تبدیل می کنیم که پایه دو شود:

همانطور که می بینید، سه گانه در پایه و جلوی لگاریتم کاهش یافته است. دو لگاریتم با پایه یکسان بدست آوردیم. بیایید آنها را جمع کنیم:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

ما نابرابری لگاریتمی استاندارد را به دست آوردیم. با استفاده از فرمول از شر لگاریتم خلاص می شویم. از آنجایی که نابرابری اصلی حاوی علامت "کمتر از" است، عبارت منطقی حاصل نیز باید کمتر از صفر باشد. ما داریم:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1؛ 3).

ما دو ست گرفتیم:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
پاسخ نامزد: x ∈ (-1; 3).

باقی مانده است که این مجموعه ها را قطع کنیم - پاسخ واقعی را دریافت می کنیم:

ما به تقاطع مجموعه ها علاقه مند هستیم، بنابراین بازه هایی را انتخاب می کنیم که روی هر دو فلش سایه زده می شوند. x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3) را دریافت می کنیم - همه نقاط سوراخ می شوند.

در میان انواع نابرابری های لگاریتمی، نابرابری های با پایه متغیر به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند. آنها با استفاده از یک فرمول خاص حل می شوند که به دلایلی به ندرت در مدرسه تدریس می شود. این ارائه راه حل هایی را برای وظایف C3 آزمون دولتی واحد - 2014 در ریاضیات ارائه می دهد.

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

حل نابرابری های لگاریتمی حاوی یک متغیر در پایه لگاریتم: روش ها، تکنیک ها، انتقال های معادل، معلم ریاضی، دبیرستان شماره 143 Knyazkina T.V.

در میان انواع نابرابری های لگاریتمی، نابرابری های با پایه متغیر به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند. آنها با استفاده از یک فرمول خاص حل می شوند، که به دلایلی به ندرت در مدرسه تدریس می شود: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) ( k (x) − 1) ∨ 0 به جای چک باکس «∨»، می‌توانید هر علامت نابرابری را قرار دهید: بیشتر یا کمتر. نکته اصلی این است که در هر دو نابرابری علائم یکسان است. به این ترتیب از لگاریتم خلاص می شویم و مسئله را به یک نابرابری منطقی تقلیل می دهیم. حل دومی بسیار ساده تر است، اما هنگام کنار گذاشتن لگاریتم ها، ممکن است ریشه های اضافی ظاهر شوند. برای قطع آنها کافی است محدوده مقادیر قابل قبول را بیابید. ODZ لگاریتم را فراموش نکنید! همه چیز مربوط به محدوده مقادیر قابل قبول باید به طور جداگانه نوشته و حل شود: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. این چهار نابرابری یک سیستم را تشکیل می دهند و باید به طور همزمان برآورده شوند. وقتی محدوده مقادیر قابل قبول پیدا شد، تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را با حل نابرابری منطقی قطع کنیم - و پاسخ آماده است.

حل نابرابری: راه حل اول، بیایید OD لگاریتم را بنویسیم. از آنجایی که مربع یک عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر خود عدد برابر با صفر باشد، داریم: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. معلوم می شود که ODZ یک لگاریتم همه اعداد به جز صفر است: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). اکنون نابرابری اصلی را حل می کنیم: انتقال از نابرابری لگاریتمی به نابرابری منطقی را انجام می دهیم. نابرابری اصلی دارای علامت "کمتر از" است، به این معنی که نابرابری حاصل باید علامت "کمتر از" نیز داشته باشد.

داریم: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

تبدیل نابرابری های لگاریتمی اغلب نابرابری اصلی با موارد فوق متفاوت است. این را می توان به راحتی با استفاده از قوانین استاندارد برای کار با لگاریتم تصحیح کرد. یعنی: هر عددی را می توان به صورت لگاریتمی با پایه معین نشان داد. مجموع و تفاضل لگاریتم هایی با پایه های یکسان را می توان با یک لگاریتم جایگزین کرد. به طور جداگانه، من می خواهم به شما در مورد محدوده مقادیر قابل قبول یادآوری کنم. از آنجایی که ممکن است چندین لگاریتم در نابرابری اصلی وجود داشته باشد، لازم است VA هر یک از آنها را پیدا کنید. بنابراین، طرح کلی برای حل نابرابری های لگاریتمی به شرح زیر است: VA هر لگاریتم موجود در نابرابری را بیابید. با استفاده از فرمول‌های جمع و تفریق لگاریتم، نابرابری را به یک استاندارد کاهش دهید. نابرابری حاصل را طبق طرح بالا حل کنید.

حل نابرابری: حل بیایید دامنه تعریف (DO) لگاریتم اول را پیدا کنیم: با روش فواصل حل کنید. صفرهای عدد را بیابید: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. سپس - صفرهای مخرج: x − 1 = 0; x = 1. صفرها و علائم را روی خط مختصات علامت گذاری کنید:

x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞) را دریافت می کنیم. لگاریتم دوم VA یکسان خواهد داشت. اگر باور ندارید، می توانید آن را بررسی کنید. حالا بیایید لگاریتم دوم را طوری تبدیل کنیم که یک دو در پایه وجود داشته باشد: همانطور که می بینید، سه گانه در پایه و جلوی لگاریتم لغو شده اند. دو لگاریتم با پایه یکسان بدست آوردیم. آنها را جمع کنید: log 2 (x − 1) 2

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)

ما به تقاطع مجموعه ها علاقه مند هستیم، بنابراین بازه هایی را انتخاب می کنیم که روی هر دو فلش سایه زده می شوند. دریافت می کنیم: x ∈ (−1؛ 2/3) ∪ (1؛ 3) - همه نقاط سوراخ می شوند. پاسخ: x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3)

حل وظایف USE-2014 نوع C3

حل سیستم نابرابری ها ODZ:  1) 2)

حل سیستم نامساوی 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (ادامه)

حل سیستم نابرابری ها 4) راه حل کلی: و -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (ادامه دارد)

حل نابرابری (ادامه) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

راه حل نابرابری را حل کنید. ODZ: 

حل نابرابری (ادامه دارد)

راه حل نابرابری را حل کنید. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

با آنها در داخل لگاریتم هستند.

مثال ها:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

نحوه حل نابرابری های لگاریتمی:

ما باید تلاش کنیم تا هرگونه نابرابری لگاریتمی را به شکل $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ کاهش دهیم (نماد $˅$ به معنای هر یک از ) است. این نوع به شما امکان می دهد از شر لگاریتم ها و پایه های آنها خلاص شوید و به نابرابری عبارات تحت لگاریتم منتقل شوید ، یعنی به شکل $f(x) ˅ g(x)$.

اما هنگام انجام این انتقال یک نکته بسیار مهم وجود دارد:
$-$ اگر عددی باشد و بزرگتر از 1 باشد، علامت نابرابری در طول انتقال ثابت می ماند.
$-$ اگر پایه عددی بزرگتر از 0 اما کمتر از 1 باشد (بین صفر و یک قرار دارد)، علامت نابرابری باید به عکس تغییر کند، یعنی.

مثال ها:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$ایکس<8$

راه حل:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
پاسخ: $(6;8)$

$\log$$_(0.5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0.5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(موارد)2x-4>0\\x+1 > 0\end (موارد)$
$\شروع(موارد)2x>4\\x > -1\پایان(موارد)$ $\پیش راست چپ$ $\شروع(موارد)x>2\\x > -1\پایان(موارد) $ $\پیکان راست چپ$ $x\in(2;\infty)$

راه حل:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
پاسخ: $(2;5]$

خیلی مهم!در هر نابرابری، انتقال از شکل $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ به مقایسه عبارات تحت لگاریتم تنها در صورتی انجام می شود که:

مثال . حل نابرابری: $\log$$≤-1$

راه حل:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	بیایید ODZ را بنویسیم.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	براکت ها را باز می کنیم و می آوریم .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	ما نابرابری را در $-1$ ضرب می کنیم، فراموش نمی کنیم که علامت مقایسه را معکوس کنیم.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	بیایید یک خط عددی بسازیم و نقاط $\frac(7)(3)$ و $\frac(3)(2)$ را روی آن علامت گذاری کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که نقطه از مخرج حذف می شود، علیرغم این واقعیت که نابرابری دقیق نیست. واقعیت این است که این نقطه راه حل نخواهد بود، زیرا وقتی به نابرابری جایگزین شود، ما را به تقسیم بر صفر می رساند.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	اکنون ODZ را بر روی همان محور عددی رسم می کنیم و در پاسخ فاصله ای که به ODZ می افتد را می نویسیم.
	پاسخ نهایی را یادداشت می کنیم.

پاسخ: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

مثال . حل نابرابری: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

راه حل:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	بیایید ODZ را بنویسیم.
ODZ: $x>0$	بریم سراغ راه حل
راه حل: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	در اینجا ما یک نابرابری مربع لگاریتمی معمولی داریم. بیایید آن را انجام دهیم.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	سمت چپ نابرابری را به .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	اکنون باید به متغیر اصلی - x برگردیم. برای انجام این کار، اجازه دهید به که همان راه حل را دارد، برویم و تعویض معکوس را انجام دهیم.
$\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	تبدیل $2=\log_3⁡9$، $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(جمع شد) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	بیایید به مقایسه استدلال ها بپردازیم. پایه های لگاریتم بزرگتر از $1$ است، بنابراین علامت نامساوی ها تغییر نمی کند.
$\left[ \begin(جمع شد) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	اجازه دهید راه حل نابرابری و ODZ را در یک شکل ترکیب کنیم.
	بیایید جواب را یادداشت کنیم.

پاسخ: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

ما در درس آخر به حل ساده ترین نابرابری های لگاریتمی و نابرابری هایی که پایه لگاریتم ثابت است نگاه کردیم.

اما اگر یک متغیر در پایه لگاریتم وجود داشته باشد چه؟

سپس به کمک ما خواهد آمد منطقی سازی نابرابری هابرای درک اینکه چگونه این کار می کند، بیایید به عنوان مثال، نابرابری را در نظر بگیریم:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

همانطور که انتظار می رود، اجازه دهید با ODZ شروع کنیم.

ODZ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

راه حل نابرابری

بیایید طوری استدلال کنیم که انگار یک نابرابری را با یک پایه ثابت حل می کنیم. اگر پایه بزرگتر از یک باشد، از شر لگاریتم خلاص می شویم و علامت نابرابری اگر کمتر از یک باشد، تغییر می کند.

بیایید این را به عنوان یک سیستم بنویسیم:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

برای استدلال بیشتر، اجازه دهید تمام سمت راست نابرابری ها را به سمت چپ حرکت دهیم.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

چه به دست آوردیم؟ به نظر می رسد که ما نیاز داریم که عبارات `2x-1` و `x^2 - x` به طور همزمان مثبت یا منفی باشند. اگر نابرابری را حل کنیم همین نتیجه به دست می آید:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

این نابرابری، مانند سیستم اصلی، در صورتی صادق است که هر دو عامل مثبت یا منفی باشند. معلوم می شود که می توانید از یک نابرابری لگاریتمی به یک نابرابری منطقی (با در نظر گرفتن ODZ) حرکت کنید.

فرمول بندی کنیم روشی برای منطقی کردن نابرابری های لگاریتمی$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \پیکان راست چپ (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ که در آن "\vee" هر علامت نابرابری است. (برای علامت `>` اعتبار فرمول را بررسی کردیم. برای بقیه، پیشنهاد می کنم خودتان آن را بررسی کنید - بهتر به خاطر سپرده می شود).

بیایید به حل نابرابری خود برگردیم. با گسترش آن در پرانتز (برای سهولت در دیدن صفرهای تابع)، دریافت می کنیم

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

روش بازه ای تصویر زیر را نشان می دهد:

(از آنجایی که نابرابری سخت است و ما علاقه ای به انتهای بازه ها نداریم، آنها سایه ندارند.) همانطور که مشاهده می شود، فواصل حاصل ODZ را برآورده می کند. ما پاسخ را دریافت کردیم: "(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)".

مثال دو حل نابرابری لگاریتمی با پایه متغیر

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\end(آرایه)\right.$$

راه حل نابرابری

طبق قانونی که به تازگی دریافت کردیم منطقی سازی نابرابری های لگاریتمی،دریافتیم که این نابرابری (با در نظر گرفتن ODZ) با موارد زیر یکسان است:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

با ترکیب این راه حل با ODZ، به جواب می رسیم: «(1،2)».

مثال سوم. لگاریتم کسری

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

از آنجایی که سیستم نسبتاً پیچیده است، بیایید بلافاصله جواب نابرابری های روی خط اعداد را رسم کنیم:

بنابراین، ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

راه حل نابرابری

بیایید «-1» را به صورت لگاریتمی با پایه «x» نشان دهیم.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

با استفاده از منطقی سازی نابرابری لگاریتمیما یک نابرابری منطقی دریافت می کنیم:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\راست)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	بیایید ODZ را بنویسیم.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	براکت ها را باز می کنیم و می آوریم .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	ما نابرابری را در \(-1\) ضرب می کنیم، فراموش نمی کنیم که علامت مقایسه را معکوس کنیم.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	بیایید یک خط عددی بسازیم و نقاط \(\frac(7)(3)\) و \(\frac(3)(2)\) را روی آن علامت گذاری کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که نقطه از مخرج حذف می شود، علیرغم این واقعیت که نابرابری دقیق نیست. واقعیت این است که این نقطه راه حل نخواهد بود، زیرا وقتی به نابرابری جایگزین شود، ما را به تقسیم بر صفر می رساند.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	اکنون ODZ را بر روی همان محور عددی رسم می کنیم و در پاسخ فاصله ای که به ODZ می افتد را می نویسیم.
	پاسخ نهایی را یادداشت می کنیم.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	بیایید ODZ را بنویسیم.
ODZ: \(x>0\)	بریم سراغ راه حل
راه حل: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	در اینجا ما یک نابرابری مربع لگاریتمی معمولی داریم. بیایید آن را انجام دهیم.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	سمت چپ نابرابری را به .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	اکنون باید به متغیر اصلی - x برگردیم. برای انجام این کار، اجازه دهید به که همان راه حل را دارد، برویم و تعویض معکوس را انجام دهیم.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	تبدیل \(2=\log_3⁡9\)، \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(جمع شد) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	بیایید به مقایسه استدلال ها بپردازیم. پایه های لگاریتم بزرگتر از \(1\) است، بنابراین علامت نامساوی ها تغییر نمی کند.
\(\left[ \begin(جمع شد) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	اجازه دهید راه حل نابرابری و ODZ را در یک شکل ترکیب کنیم.
	بیایید جواب را یادداشت کنیم.