موضوع درس: «آرایش متقابل دو دایره. موقعیت متقابل دو دایره در یک صفحه موقعیت متقابل دو دایره

اجازه دهید دایره ها با یک بردار از مبدا به مرکز و شعاع این دایره داده شوند.

دایره های A و B را با شعاع Ra و Rb و شعاع بردار (بردار به سمت مرکز) a و b در نظر بگیرید. علاوه بر این، Oa و Ob مراکز آنها هستند. بدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که Ra > Rb.

سپس شرایط زیر برآورده می شود:

نقاط تقاطع دو دایره

فرض کنید A و B در دو نقطه یکدیگر را قطع کنند. بیایید این نقاط تقاطع را پیدا کنیم.

برای انجام این کار، بردار از a به نقطه P که روی دایره A قرار دارد و روی OaOb قرار دارد. برای انجام این کار، باید بردار b - a را که بردار بین دو مرکز خواهد بود، نرمال کنید (با یک بردار واحد هم جهت جایگزین کنید) و در Ra ضرب کنید. بردار حاصل با p نشان داده می شود. می توانید این پیکربندی را در شکل مشاهده کنید. 6

برنج. 6. بردارهای a,b,p و محل زندگی آنها.

i1 و i2 را به صورت بردارهایی از a تا نقاط تقاطع I1 و I2 دو دایره مشخص کنید. بدیهی است که i1 و i2 با چرخش از p به دست می آیند. زیرا ما تمام اضلاع مثلث های OaI1Ob و OaI2Ob (شعاع و فاصله بین مراکز) را می دانیم، می توانیم این زاویه fi را بدست آوریم، با چرخاندن بردار p در یک جهت I1 و در سمت دیگر I2 به دست می آید.

طبق قانون کسینوس برابر است با:

اگر p را با fi بچرخانید، بسته به اینکه به کدام سمت بچرخید، i1 یا i2 دریافت خواهید کرد. سپس، بردار i1 یا i2 باید به a اضافه شود تا نقطه تقاطع به دست آید

این روش حتی اگر مرکز یک دایره در داخل دایره دیگر قرار گیرد، کار خواهد کرد. اما دقیقاً در آنجا، بردار p باید در جهت a به b تنظیم شود، کاری که ما انجام دادیم. اگر p را بر اساس دایره دیگری بسازید، هیچ نتیجه ای حاصل نمی شود

خوب، در پایان، یک واقعیت را باید در مورد همه چیز ذکر کرد: اگر دایره ها با هم تماس داشته باشند، به راحتی می توان مطمئن شد که P نقطه تماس است (این برای لمس داخلی و خارجی صادق است).
در اینجا می توانید تجسم را ببینید (برای اجرا کلیک کنید).

این روش کار می کند، اما به جای زاویه چرخش، می توانید کسینوس آن و از طریق آن سینوس را محاسبه کنید و سپس هنگام چرخش بردار از آنها استفاده کنید. این محاسبات را بسیار ساده می کند و کد را از توابع مثلثاتی نجات می دهد.

کلاس 7G، Z

موضوع درس: "موقعیت نسبی دو دایره"
هدف: شناخت موارد احتمالی ترتیب متقابل دو دایره. استفاده از دانش برای حل مشکلات

اهداف: آموزشی: برای کمک به دانش‌آموزان برای ایجاد و تثبیت یک نمایش بصری از موارد احتمالی مکان دو دایره، دانش‌آموزان قادر خواهند بود:

بین آرایش متقابل دایره ها، شعاع آنها و فاصله بین مراکز آنها ارتباط برقرار کنید.

طرح هندسی را تجزیه و تحلیل کنید و آن را از نظر ذهنی اصلاح کنید.

تخیل پلان سنجی را توسعه دهید.

دانش آموزان قادر خواهند بود دانش نظری را برای حل مسئله به کار ببرند.

نوع درس: درس معرفی و تثبیت دانش جدید در مورد مطالب.

تجهیزات: ارائه برای درس؛ قطب نما، خط کش، مداد و کتاب درسی برای هر دانش آموز.

آموزش: . "هندسه درجه 7"، آلماتی "آتامورا" 2012

در طول کلاس ها.

زمان سازماندهی بررسی تکالیف

3. به فعلیت رساندن دانش پایه.

تعاریف دایره، دایره، شعاع، قطر، وتر، فاصله از نقطه تا خط را تکرار کنید.

1) 1) چه مواردی از محل یک خط مستقیم و یک دایره می دانید؟

2) به کدام خط مماس می گویند؟

3) به چه خطی سکانت می گویند؟

4) قضیه قطر عمود بر وتر؟

5) مماس نسبت به شعاع دایره چگونه می گذرد؟

6) جدول را پر کنید (روی کارت ها).

دانش آموزان با راهنمایی معلم مسائل را حل و تجزیه و تحلیل می کنند.

1) خط a مماس بر دایره ای با مرکز O است. نقطه A روی خط a داده می شود. زاویه بین مماس و پاره OA 300 است. اگر شعاع آن 2.5 متر باشد طول پاره OA را بیابید.

2) موقعیت نسبی خط و دایره را تعیین کنید اگر:

1. R=16cm، d=12cm 2. R=5cm، d=4.2cm 3. R=7.2cm، d=3.7cm 4. R=8cm، d=1.2cm 5. R=5cm، d=50mm

الف) یک خط و یک دایره نقاط مشترک ندارند.

ب) خط مماس بر دایره باشد.

ج) یک خط یک دایره را قطع می کند.

d فاصله مرکز دایره تا خط مستقیم، R شعاع دایره است.

3) در مورد موقعیت نسبی خط و دایره چه می توان گفت اگر قطر دایره 10.3 سانتی متر باشد و فاصله مرکز دایره تا خط 4.15 سانتی متر باشد. 2 dm; 103 میلی متر؛ 5.15 سانتی متر، 1 dm 3 سانتی متر.

4) دایره ای با مرکز O و نقطه A داده می شود. اگر شعاع دایره 7 سانتی متر باشد، نقطه A کجاست و طول قطعه OA: a) 4 سانتی متر باشد. ب) 10 سانتی متر؛ ج) 70 میلی متر.

4. با دانش آموزان موضوع درس را بیابید، اهداف درس را تدوین کنید.

5. معرفی مطالب جدید.

کار عملی در گروه.

3 دایره بسازید. برای هر دایره، یک دایره دیگر بسازید، به طوری که 1) 2 دایره همدیگر را قطع نکنند، 2) 2 دایره را لمس کنند، 3) دو دایره را قطع کنند. شعاع هر دایره و فاصله بین مراکز دایره ها را بیابید، نتایج را با هم مقایسه کنید. نتیجه چه می تواند باشد؟
2) موارد چیدمان متقابل دو دایره را خلاصه کرده و در یک دفتر بنویسید.

ترتیب متقابل دو دایره در یک هواپیما.

دایره ها نقاط مشترکی ندارند (تقاطع نمی کنند). (R1 و R2 شعاع دایره هستند)

اگر R1 + R2< d,

د - فاصله بین مراکز دایره ها.

ج) دایره ها دو نقطه مشترک دارند. (تقاطع).

اگر R1 + R2 > d،

سوال آیا دو دایره می توانند سه نقطه مشترک داشته باشند؟

6. تلفیق مطالب مورد مطالعه.

یک خطا در داده ها یا بیانیه پیدا کنید و با ذکر دلایل نظر خود آن را اصلاح کنید:
الف) دو دایره در حال لمس هستند. شعاع آنها R = 8 سانتی متر و r = 2 سانتی متر است، فاصله بین مراکز d = 6 است.
ب) دو دایره حداقل دو نقطه مشترک دارند.
ج) R = 4، r = 3، d = 5. دایره ها هیچ نقطه مشترکی ندارند.
د) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. دایره کوچکتر در داخل دایره بزرگتر قرار دارد.
ه) نمی توان دو دایره را طوری قرار داد که یکی در داخل دیگری قرار گیرد.

7. نتایج درس. در درس چه چیزی یاد گرفتید؟ چه قاعده ای وضع شده است؟

چگونه می توان دو دایره را قرار داد؟ چه زمانی دایره ها یک نقطه مشترک دارند؟ نقطه مشترک دو دایره چیست؟ چه لمس هایی را می شناسید؟ چه زمانی دایره ها قطع می شوند؟ چه دایره هایی را متحدالمرکز می نامند؟

موضوع درس: " ترتیب متقابل دو دایره در یک هواپیما.

هدف :

آموزشی - تسلط بر دانش جدید در مورد موقعیت نسبی دو دایره، آماده شدن برای آزمون

آموزشی - توسعه مهارت های محاسباتی، توسعه تفکر منطقی و ساختاری؛ شکل گیری مهارت برای یافتن راه حل های منطقی و دستیابی به نتایج نهایی؛ توسعه فعالیت های شناختی و تفکر خلاق.

آموزشی – شکل گیری مسئولیت دانش آموزان، سازگاری؛ توسعه کیفیت های شناختی و زیبایی شناختی؛ شکل گیری فرهنگ اطلاعاتی دانش آموزان

اصلاحی - توسعه تفکر فضایی، حافظه، مهارت های حرکتی دست.

نوع درس:مطالعه مطالب آموزشی جدید، تلفیق.

نوع درس:درس مختلط

روش تدریس:کلامی، تصویری، عملی

فرم مطالعه:جمعی

وسایل آموزشی:هیئت مدیره

در طول کلاس ها:

1. مرحله سازمانی

- با درود؛

- بررسی آمادگی برای درس؛

2. به روز رسانی دانش پایه
در درس های قبل به چه موضوعاتی پرداختیم؟

نمای کلی معادله دایره؟

به صورت شفاهی انجام دهید:

نظرسنجی بلیتز

3. معرفی مطالب جدید.

نظر شما چیست و امروز چه رقمی را در نظر می گیریم .... اگه دوتا باشه چی؟

چطوری میشه پیداشون کرد؟؟؟

کودکان با دستان خود (همسایه ها) نشان می دهند که چگونه می توان دایره ها را قرار داد ( تربیت بدنی)

خوب به نظر شما امروز چه چیزی را در نظر بگیریم؟؟امروز باید جایگاه نسبی دو حلقه را در نظر بگیریم. و دریابید که فاصله بین مراکز بسته به مکان چقدر است.

موضوع درس:« ترتیب متقابل دو دایره. حل مشکل.»

1. دایره های متحدالمرکز

2. دایره های غیر متقاطع

3. لمس خارجی

4. دایره های متقاطع

5. لمس داخلی

پس بیایید نتیجه گیری کنیم

4. شکل گیری مهارت ها و توانایی ها

یک خطا در داده ها یا بیانیه پیدا کنید و با ذکر دلایل نظر خود آن را اصلاح کنید:

الف) دو دایره در حال لمس هستند. شعاع آنها R = 8 سانتی متر و r = 2 سانتی متر است، فاصله بین مراکز d = 6 است.
ب) دو دایره حداقل دو نقطه مشترک دارند.

ج) R = 4، r = 3، d = 5. دایره ها هیچ نقطه مشترکی ندارند.

د) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. دایره کوچکتر در داخل دایره بزرگتر قرار دارد.

ه) نمی توان دو دایره را طوری قرار داد که یکی در داخل دیگری قرار گیرد.

5. تجمیع مهارت ها و توانایی ها.

دایره ها به صورت خارجی لمس می شوند. شعاع دایره کوچکتر 3 سانتیمتر، شعاع دایره بزرگتر 5 سانتیمتر است فاصله مرکزها چقدر است؟

راه حل: 3+5=8 (سانتی متر)

دایره ها به صورت داخلی لمس می شوند. شعاع دایره کوچکتر 3 سانتی متر شعاع دایره بزرگتر 5 سانتی متر است فاصله مرکز دایره ها چقدر است؟

راه حل: 5-3=2 (سانتی متر)

دایره ها به صورت داخلی لمس می شوند. فاصله مرکز دایره ها 2.5 سانتی متر است شعاع دایره ها چقدر است؟

پاسخ: (5.5 سانتی متر و 3 سانتی متر)، (6.5 سانتی متر و 4 سانتی متر) و غیره.

بررسی درک

1) چگونه می توان دو دایره را قرار داد؟

2) چه زمانی دایره ها یک نقطه مشترک دارند؟

3) نقطه مشترک دو دایره چیست؟

4) چه لمس هایی را می شناسید؟

5) چه زمانی دایره ها قطع می شوند؟

6) به چه دایره هایی متحدالمرکز می گویند؟

وظایف اضافی با موضوع: بردارها. روش مختصات(در صورت وجود زمان)

1)E(4;12)، F(-4;-10)، G(-2;6)، H(4;-2) پیدا کنید:

الف) مختصات بردارهای EF,GH

ب) طول بردار FG

ج) مختصات نقطه O - وسط EF

مختصات نقطه W - نقطه میانی GH

د) معادله دایره با قطر FG

ه) معادله خط مستقیم FH

6. تکالیف

& 96 #1000. کدام یک از این معادلات معادلات دایره ای هستند. مرکز و شعاع را پیدا کنید

7. جمع بندی درس(3 دقیقه)

(از کار کلاس و تک تک دانش آموزان یک ارزیابی کیفی ارائه دهید).

8. مرحله انعکاس(2 دقیقه.)

(با کمک نقاشی دانش آموزان را در مورد وضعیت عاطفی، فعالیت هایشان، تعامل با معلم و همکلاسی ها شروع کنید)

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

موسسه آموزشی بودجه شهرداری

شهر نووسیبیرسک "Gymnasium No. 4"

بخش: ریاضیات

پژوهش

در این مورد:

خواص دو دایره لمسی

دانش آموزان پایه دهم:

خزیاخمتوف رادیک ایلداروویچ

زوبارف اوگنی ولادیمیرویچ

سرپرست:

LL. بارینووا

معلم ریاضی

بالاترین رده صلاحیت

§ 1. مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 1.1 ترتیب متقابل دو دایره………………………………………………………3

§ 2 خواص و ادله آنها……………………………………………………………………………………….…

§ 2.1 خاصیت 1………………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.2 خاصیت 2……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 خاصیت 3………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.4 خاصیت 4………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 خاصیت 5…………………………………………………………………………………………………

§ 2.6 خاصیت 6………………………………………………………………………………………………………………………

§ 3 وظایف………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

مراجع…………………………………………………………………………………….13

§ یک. معرفی

بسیاری از مسائل مربوط به دو دایره مماس را می توان با دانستن برخی از ویژگی هایی که بعداً ارائه خواهد شد، به طور مختصر و ساده تر حل کرد.

ترتیب متقابل دو دایره

برای شروع، در مورد ترتیب احتمالی متقابل دو دایره بحث خواهیم کرد. ممکن است 4 مورد مختلف وجود داشته باشد.

1. دایره ها ممکن است قطع نشوند.

2. صلیب.

3. یک نقطه در خارج را لمس کنید.

4. یک نقطه از داخل را لمس کنید.

§ 2. خواص و ادله آنها

اجازه دهید مستقیماً به اثبات خواص بپردازیم.

§ 2.1 اموال 1

پاره های بین نقاط تلاقی مماس ها با دایره ها مساوی با یکدیگر و برابر با دو شعاع میانگین هندسی از این دایره ها هستند.

اثبات 1. O 1 A 1 و O 2 V 1 - شعاع های کشیده شده به نقاط تماس.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (طبق بند 1)

1. ▲O 1 O 2 D - مستطیل شکل، زیرا O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r، O 2 D \u003d R - r

1. توسط قضیه فیثاغورث А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (به طور مشابه ثابت شد)

1) شعاع ها را به نقاط تلاقی مماس ها با دایره ها بکشید.

2) این شعاع ها عمود بر مماس ها و موازی یکدیگر خواهند بود.

3) عمود را از مرکز دایره کوچکتر به شعاع دایره بزرگتر بیندازید.

4) هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه حاصل برابر است با مجموع شعاع دایره ها. ساق با اختلاف آنها برابر است.

5) با قضیه فیثاغورث، رابطه مورد نظر را بدست می آوریم.

§ 2.2 اموال 2

نقاط تلاقی خطی که نقطه مماس دایره ها را قطع می کند و در هیچ یک از آنها قرار نمی گیرد، با مماس ها قطعات مماس خارجی محدود به نقاط مماس را به قطعاتی تقسیم می کنند که هر یک برابر است. میانگین هندسی شعاع این دایره ها.

اثبات 1.خانم= MA 1 (به عنوان بخش های مماس)

2.MS = MV 1 (به عنوان بخش های مماس)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (طبق پاراگراف 1 و 2 )

گزاره های استفاده شده در اثبات پاره های مماس های ترسیم شده از یک نقطه به یک دایره با هم برابرند. ما از این ویژگی برای هر دو دایره داده شده استفاده می کنیم.

§ 2.3 اموال 3

طول پاره مماس داخلی محصور بین مماس های خارجی برابر است با طول پاره مماس خارجی بین نقاط تماس و برابر است با دو شعاع میانگین هندسی از این دایره ها.

اثبات این نتیجه از ویژگی قبلی حاصل می شود.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 اموال 4

مثلثی که از مراکز دایره های مماس و نقطه وسط قطعه مماس بین شعاع های کشیده شده به نقاط مماس تشکیل شده است مستطیل شکل است. نسبت پاهای آن برابر است با نصاب ریشه های شعاع این دایره ها.

اثبات 1.MO 1 نیمساز زاویه A 1 MC است، MO 2 نیمساز زاویه B 1 MC است، زیرا مرکز دایره ای که در یک زاویه محاط شده است روی نیمساز آن زاویه قرار دارد.

2. طبق بند 1 РО 1 МS + РСМО 2 = 0.5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0.5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - مستقیم. MS - ارتفاع مثلث O 1 MO 2، زیرا مماس MN بر شعاع های کشیده شده به نقاط تماس عمود است → مثلث های О 1 МС و MO 2 С مشابه هستند.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (بر اساس شباهت)

گزاره های استفاده شده در اثبات 1) مرکز دایره ای که در یک زاویه محاط شده است روی نیمساز آن زاویه قرار دارد. پایه های یک مثلث نیمساز زوایا هستند.

2) با استفاده از مساوی بودن زوایای تشکیل شده به این ترتیب، به این نتیجه می رسیم که زاویه مورد نظر، زاویه قائمه است. نتیجه می گیریم که این مثلث در واقع یک مثلث قائم الزاویه است.

3) شباهت مثلث هایی را ثابت می کنیم که ارتفاع آنها (از آنجایی که مماس بر شعاع های رسم شده در نقاط تماس عمود است) مثلث قائم الزاویه را تقسیم می کند و با تشابه نسبت مورد نظر را به دست می آوریم.

§ 2.5 اموال 5

مثلثی که از نقطه تماس دایره ها با یکدیگر و نقاط تلاقی دایره ها با مماس تشکیل می شود، مثلث قائم الزاویه است. نسبت پاهای آن برابر است با نصاب ریشه های شعاع این دایره ها.

اثبات

1. ▲А 1 МС و ▲СМВ 1 متساوی الساقین هستند → РМА 1 С = RMSA 1 = α، RMV 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 MS + РСМВ 1) = 2p - p = p، α + β = p/2

1. اما RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - مستقیم → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS و ▲CO 2 B 1 مشابه هستند → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

گزاره های استفاده شده در اثبات 1) مجموع زوایای مثلث ها را با استفاده از متساوی الساقین بودن آنها نقاشی می کنیم. مثلث های متساوی الساقین با استفاده از خاصیت تساوی قطعات مماس ثابت می شوند.

2) پس از رنگ آمیزی مجموع زوایای به این صورت، به این نتیجه می رسیم که در مثلث مورد نظر یک زاویه قائمه وجود دارد، بنابراین مستطیل است. قسمت اول بیانیه ثابت می شود.

3) با تشابه مثلث ها (هنگام توجیه آن از علامت تشابه در دو زاویه استفاده می کنیم) نسبت ساق های یک مثلث قائم الزاویه را می یابیم.

§ 2.6 اموال 6

چهارضلعی که توسط نقاط تلاقی دایره ها با مماس ایجاد می شود ذوزنقه ای است که دایره را می توان در آن حک کرد.

اثبات 1.▲A 1 RA 2 و ▲B 1 RV 2 متساوی الساقین هستند زیرا A 1 P \u003d RA 2 و B 1 P \u003d PB 2 به عنوان بخش هایی از مماس ها → ▲A 1 RA 2 و ▲B 1 PB 2 مشابه هستند.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2، زیرا زوایای مربوطه تشکیل شده در تقاطع مقطع A 1 B 1 برابر است.

1. MN - خط وسط توسط ویژگی 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → در ذوزنقه A 2 A 1 B 1 B 2 مجموع پایه ها برابر است با مجموع اضلاع و این شرط لازم و کافی برای وجود دایره محاط است.

گزاره های استفاده شده در اثبات 1) دوباره از خاصیت پاره های مماس استفاده می کنیم. با کمک آن، مثلث های متساوی الساقین تشکیل شده از نقطه تقاطع مماس ها و نقاط مماس را ثابت می کنیم.

2) از این جا تشابه این مثلث ها و توازی قاعده های آنها به دنبال خواهد آمد. بر این اساس نتیجه می گیریم که این چهار ضلعی ذوزنقه است.

3) با توجه به خاصیت (2) که قبلاً ثابت کردیم، خط وسط ذوزنقه را می یابیم. برابر با دو شعاع متوسط ​​هندسی دایره است. در ذوزنقه حاصل، مجموع قاعده ها برابر با مجموع اضلاع است و این شرط لازم و کافی برای وجود دایره محاطی است.

§ 3. وظایف

با استفاده از یک مثال عملی در نظر بگیرید که چگونه می توان حل مسئله را با استفاده از ویژگی های فوق ساده کرد.

وظیفه 1

در مثلث ABC ضلع AC = 15 سانتی متر در مثلث یک دایره حک شده است. دایره دوم اولین و اضلاع AB و BC را لمس می کند. نقطه F در ضلع AB و نقطه M در سمت BC انتخاب می شود تا قسمت FM مماس مشترکی بر دایره ها باشد. نسبت مساحت های مثلث BFM و AFMC چهار ضلعی را در صورتی که FM 4 سانتی متر باشد و نقطه M از مرکز یک دایره دو برابر فاصله آن از مرکز دایره دیگر باشد، بیابید.

داده شده: مماس مشترک FM AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

S BFM /S AFMC را پیدا کنید

راه حل:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4، √r/R=0.5 →r=1،R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P و ▲BO 2 Q مشابه هستند → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q، BP/(BP+PQ)=r/R،BP/(BP+4)=0.25؛BP = 4/3

4)FM+BP=16/3، S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

وظیفه 2

دو دایره مماس با نقطه مشترک آنها D و یک مماس مشترک FK که از این نقطه عبور می کنند در یک مثلث متساوی الساقین ABC محاط شده اند. اگر قاعده مثلث AC = 9 سانتی متر باشد و قسمت ضلع جانبی مثلث محصور بین نقاط تماس دایره ها 4 سانتی متر باشد، فاصله بین مراکز این دایره ها را بیابید.

داده شده: ABC یک مثلث متساوی الساقین است. FK مماس مشترک دایره های محاطی است. AC = 9 سانتی متر؛ NE = 4 سانتی متر

راه حل:

بگذارید خطوط AB و CD در نقطه O قطع شوند. سپس OA = OD، OB = OC، بنابراین CD = AB = 2√Rr

نقاط O 1 و O 2 روی نیمساز زاویه AOD قرار دارند. نیمساز یک مثلث متساوی الساقین AOD ارتفاع آن است، بنابراین AD ┴ O 1 O 2 و BC ┴ O 1 O 2، بنابراین

پس از میلاد ║ قبل از میلاد و ABCD ذوزنقه ای متساوی الساقین است.

قطعه MN خط وسط آن است، بنابراین AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

بنابراین می توان دایره ای را در این ذوزنقه حک کرد.

فرض کنید AP ارتفاع ذوزنقه باشد، مثلث قائم الزاویه АРВ و О 1 FO 2 شبیه هم هستند، بنابراین АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

از اینجا متوجه می شویم که

کتابشناسی - فهرست کتب

• ضمیمه روزنامه "اول شهریور" "ریاضیات" شماره 43 1382
• USE 2010. ریاضیات. وظیفه C4. گوردین آر.ک.