حل معادلات مثلثاتی. معادلات مثلثاتی حل معادله مثلثاتی sinx 1 2

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام مباحث لازم برای قبولی موفق در امتحان ریاضی با امتیاز 60-65 می باشد. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از نمایه استفاده در ریاضیات. همچنین برای گذراندن پایه استفاده در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید امتحان را با 90-100 امتیاز قبول کنید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای امتحان برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 امتحان ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز صد امتیازی و نه یک انسان گرا نمی تواند بدون آنها انجام دهد.

تمام تئوری لازم راه حل های سریع، تله ها و رازهای امتحان. تمام وظایف مربوط به بخش 1 از وظایف بانک FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات USE-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها کار امتحانی مسائل متن و نظریه احتمال. الگوریتم های حل مسئله ساده و آسان برای به خاطر سپردن. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف USE. استریومتری. ترفندهای حیله گر برای حل، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا - تا کار 13. درک به جای پر کردن. توضیح تصویری مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. پایه حل مسائل پیچیده قسمت دوم آزمون.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اخطارها و ارتباطات مهم برای شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

یک بار شاهد مکالمه دو متقاضی بودم:

- چه زمانی باید 2πn و چه زمانی - πn اضافه کنید؟ یادم نمی آید!

- و من هم همین مشکل را دارم.

می خواستم به آنها بگویم: حفظ کردن لازم نیست، بلکه برای فهمیدن است!

این مقاله عمدتاً به دانش آموزان دبیرستانی می پردازد و امیدوارم به آنها در "درک" برای حل ساده ترین معادلات مثلثاتی کمک کند:

دایره اعداد

در کنار مفهوم خط عددی، مفهوم دایره عددی نیز وجود دارد. همانطور که می دانیم، در یک سیستم مختصات مستطیلی، دایره ای که مرکز آن در نقطه (0؛ 0) و شعاع 1 باشد دایره واحد نامیده می شود.یک خط عددی را با یک نخ نازک تصور کنید و آن را به دور این دایره بپیچید: نقطه مرجع (نقطه 0)، به نقطه "راست" دایره واحد وصل کنید، نیم محور مثبت را در خلاف جهت عقربه های ساعت بپیچید و نیم محور منفی را در جهت (شکل 1). چنین دایره واحدی دایره عددی نامیده می شود.

ویژگی های دایره اعداد

• هر عدد واقعی در یک نقطه از دایره اعداد قرار دارد.
• در هر نقطه از دایره اعداد بی نهایت اعداد واقعی وجود دارد. از آنجایی که طول دایره واحد 2π است، تفاوت بین هر دو عدد در یک نقطه از دایره برابر با یکی از اعداد ±2π است. ± 4π; ± 6π; …

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد نقطه A می توانیم تمام اعداد نقطه A را پیدا کنیم.

بیایید قطر AC را رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که x_0 یکی از اعداد نقطه A است، پس اعداد x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... و فقط آنها اعداد نقطه C خواهند بود. بیایید یکی از این اعداد را انتخاب کنیم، مثلا x_0+π، و از آن برای نوشتن تمام اعداد نقطه C استفاده کنیم: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ز. توجه داشته باشید که اعداد در نقاط A و C را می توان در یک فرمول ترکیب کرد: x_(A ; C)=x_0+πk,k∈Z (برای k = 0; ±2; ±4; ... ما اعداد نقطه A، و برای k = 1±، ± 3، ± 5، ... اعداد نقطه C هستند).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد روی یکی از نقاط A یا C قطر AC، می توانیم تمام اعداد روی این نقاط را پیدا کنیم.

• دو عدد متضاد در نقاطی از دایره قرار دارند که حول محور آبسیسا متقارن هستند.

بیایید یک وتر عمودی AB رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که نقاط A و B در مورد محور Ox متقارن هستند، عدد -x_0 در نقطه B قرار دارد و بنابراین، تمام اعداد نقطه B با فرمول: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z داده می‌شوند. اعداد را در نقاط A و B با یک فرمول می نویسیم: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا B وتر عمودی AB، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. وتر افقی AD را در نظر بگیرید و اعداد نقطه D را بیابید (شکل 2). از آنجایی که BD قطر است و عدد -x_0 متعلق به نقطه B است، پس -x_0 + π یکی از اعداد نقطه D است و بنابراین، تمام اعداد این نقطه با فرمول x_D=-x_0+π+2πk به دست می‌آیند. ، k∈Z. اعداد در نقاط A و D را می توان با استفاده از یک فرمول نوشت: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk,k∈Z. (برای k= 0؛ ± 2؛ ± 4؛ ... اعداد نقطه A را می گیریم و برای k = 1±؛ ± 3؛ ± 5؛ ... - اعداد نقطه D).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا D وتر افقی AD، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم.

شانزده نقطه اصلی دایره اعداد

در عمل، حل اکثر ساده ترین معادلات مثلثاتی با شانزده نقطه از دایره مرتبط است (شکل 3). این نقطه ها چیست؟ نقاط قرمز، آبی و سبز دایره را به 12 قسمت مساوی تقسیم می کنند. از آنجایی که طول نیم دایره π است، طول قوس A1A2 π/2، طول قوس A1B1 π/6 و طول قوس A1C1 π/3 است.

اکنون می توانیم یک عدد را روی نقاط مشخص کنیم:

π/3 در C1 و

رئوس مربع نارنجی وسط کمان های هر ربع هستند، بنابراین طول کمان A1D1 برابر با π/4 است و از این رو π/4 یکی از اعداد نقطه D1 است. با استفاده از ویژگی های دایره اعداد، می توانیم با استفاده از فرمول ها، تمام اعداد را در تمام نقاط علامت گذاری شده دایره خود یادداشت کنیم. شکل مختصات این نقاط را نیز نشان می دهد (از شرح اکتساب آنها صرف نظر می کنیم).

با آموختن موارد فوق، اکنون آمادگی کافی برای حل موارد خاص (برای 9 مقدار از عدد) داریم آ)ساده ترین معادلات

حل معادلات

1)sinx=1⁄(2).

- چه چیزی از ما خواسته می شود؟

– تمام اعداد x را که سینوس آنها 1/2 است پیدا کنید.

تعریف سینوس را به یاد بیاورید: sinx - ترتیب نقطه دایره عددی که عدد x روی آن قرار دارد. روی دایره دو نقطه داریم که ترتیب آنها برابر با 1/2 است. اینها انتهای وتر افقی B1B2 هستند. این بدان معناست که شرط «حل معادله sinx=1⁄2» معادل شرط «همه اعداد را در نقطه B1 و همه اعداد را در نقطه B2 بیابید» است.

2)sinx=-√3⁄2 .

ما باید تمام اعداد را در نقاط C4 و C3 پیدا کنیم.

3) sinx=1. روی دایره فقط یک نقطه با مختص 1 داریم - نقطه A2 و بنابراین، فقط باید تمام اعداد این نقطه را پیدا کنیم.

پاسخ: x=π/2+2πk، k∈Z.

4)sinx=-1 .

فقط نقطه A_4 دارای 1- است. تمام اعداد این نقطه، اسب های معادله خواهند بود.

پاسخ: x=-π/2+2πk، k∈Z.

5) sinx=0 .

روی دایره دو نقطه با مختصات 0 داریم - نقاط A1 و A3. می توانید اعداد هر یک از نقاط را به طور جداگانه مشخص کنید، اما با توجه به اینکه این نقاط کاملاً متضاد هستند، بهتر است آنها را در یک فرمول ترکیب کنید: x=πk ,k∈Z .

پاسخ: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

تعریف کسینوس را به یاد بیاورید: cosx - آبسیسه نقطه دایره عددی که عدد x روی آن قرار دارد.روی دایره دو نقطه با آبسیسا √2⁄2 داریم - انتهای وتر افقی D1D4. ما باید تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. ما آنها را با ترکیب آنها در یک فرمول یادداشت می کنیم.

پاسخ: x=±π/4+2πk، k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

باید اعداد را در نقاط C_2 و C_3 پیدا کنیم.

پاسخ: x=±2π/3+2πk، k∈Z .

10) cosx=0 .

فقط نقاط A2 و A4 دارای ابسیسا 0 هستند، به این معنی که تمام اعداد در هر یک از این نقاط راه حل معادله خواهند بود.
.

راه حل های معادله سیستم اعداد در نقاط B_3 و B_4 هستند.<0 удовлетворяют только числа b_3
پاسخ: x=-5π/6+2πk، k∈Z.

توجه داشته باشید که برای هر مقدار مجاز x، عامل دوم مثبت است و بنابراین، معادله معادل سیستم است.

راه حل های معادله سیستم تعداد نقاط D_2 و D_3 است. اعداد نقطه D_2 نابرابری sinx≤0.5 را برآورده نمی کنند، اما اعداد نقطه D_3 راضی کننده هستند.

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک منبع الزامی است.

روش‌های اصلی برای حل معادلات مثلثاتی عبارتند از: تقلیل معادلات به ساده‌ترین آنها (با استفاده از فرمول‌های مثلثاتی)، معرفی متغیرهای جدید و فاکتورگیری. بیایید کاربرد آنها را با مثال در نظر بگیریم. به ثبت حل معادلات مثلثاتی توجه کنید.

شرط لازم برای حل موفقیت آمیز معادلات مثلثاتی، آگاهی از فرمول های مثلثاتی است ( مبحث 13 از کار 6).

مثال ها.

1. معادلات کاهش به ساده ترین.

1) معادله را حل کنید

راه حل:

پاسخ:

2) ریشه های معادله را بیابید

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx متعلق به بخش .

راه حل:

پاسخ:

2. معادلات تقلیل به معادلات درجه دوم.

1) معادله 2 sin 2 x - cosx -1 = 0 را حل کنید.

راه حل:با استفاده از فرمول sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x دریافت می کنیم

پاسخ:

2) معادله cos 2x = 1 + 4 cosx را حل کنید.

راه حل:با استفاده از فرمول cos 2x = 2 cos 2 x - 1 می گیریم

پاسخ:

3) معادله tgx - 2ctgx + 1 = 0 را حل کنید

راه حل:

پاسخ:

3. معادلات همگن

1) معادله 2sinx - 3cosx = 0 را حل کنید

راه حل: اجازه دهید cosx = 0، سپس 2sinx = 0 و sinx = 0 - تناقض با این واقعیت است که sin 2 x + cos 2 x = 1. بنابراین cosx ≠ 0 و می توانید معادله را بر cosx تقسیم کنید. گرفتن

پاسخ:

2) معادله 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x را حل کنید

راه حل:

با استفاده از فرمول های 1 = sin 2 x + cos 2 x و sin 2x = 2 sinxcosx به دست می آوریم

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

اجازه دهید cosx = 0، سپس sin 2 x = 0 و sinx = 0 - تناقض با این واقعیت است که sin 2 x + cos 2 x = 1.
بنابراین cosx ≠ 0 و می توانیم معادله را بر cos 2 x تقسیم کنیم . گرفتن

tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y را نشان دهید
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
الف) tanx = 4، x = arctg4 + 2 ک, ک
ب) tgx = 2، x = arctg2 + 2 ک, ک .

پاسخ: arctg4 + 2 ک, arctan2 + 2 k، k

4. معادلات فرم آ sinx + ب cosx = با، با≠ 0.

1) معادله را حل کنید.

راه حل:

پاسخ:

5. معادلات حل شده با فاکتورسازی.

1) معادله sin2x - sinx = 0 را حل کنید.

ریشه معادله f (ایکس) = φ ( ایکس) فقط می تواند به عنوان عدد 0 باشد. بیایید این را بررسی کنیم:

cos 0 = 0 + 1 - برابری درست است.

عدد 0 تنها ریشه این معادله است.

پاسخ: 0.