حل مسائل هندسه: حل چهارضلعی. مساحت متوازی الاضلاع مساحت متوازی الاضلاع برابر با نصف حاصلضرب قطرهای آن است.

وظیفه 4.

یکی از قطرهای متوازی الاضلاع به طول 4√6 با قاعده زاویه 60 درجه و قطر دوم با همان قاعده زاویه 45 درجه ایجاد می کند. قطر دوم را پیدا کنید.

راه حل.

1. AO = 2√6.

2. قضیه سینوس را برای مثلث AOD اعمال می کنیم.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

پاسخ: 12.

وظیفه 5.

برای متوازی الاضلاع با اضلاع 5√2 و 7√2، زاویه کوچکتر بین قطرها برابر با زاویه کوچکتر متوازی الاضلاع است. مجموع طول قطرها را بیابید.

راه حل.

فرض کنید d 1, d 2 قطرهای متوازی الاضلاع باشد و زاویه بین موربها و زاویه کوچکتر متوازی الاضلاع برابر با φ باشد.

1. بیایید دو تا متفاوت بشماریم
مساحت خود را راه می دهد.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

برابری 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f یا

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. با استفاده از رابطه بین اضلاع و مورب متوازی الاضلاع، تساوی را می نویسیم

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

(d 1 2 + d 2 2 = 296،
(d 1 + d 2 = 140.

بیایید معادله دوم سیستم را در 2 ضرب کنیم و به معادله اول اضافه کنیم.

ما (d 1 + d 2) 2 = 576 می گیریم. بنابراین Id 1 + d 2 I = 24.

از آنجایی که d 1، d 2 طول قطرهای متوازی الاضلاع هستند، پس d 1 + d 2 = 24.

جواب: 24.

وظیفه 6.

اضلاع متوازی الاضلاع 4 و 6 هستند. زاویه تند بین قطرها 45 درجه است. مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنید.

راه حل.

1. از مثلث AOB با استفاده از قضیه کسینوس رابطه بین ضلع متوازی الاضلاع و قطرها را می نویسیم.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)cos 45 o;

d 1 2 / 4 + d 2 2 / 4 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. به همین ترتیب، رابطه را برای مثلث AOD می نویسیم.

بیایید آن را در نظر بگیریم<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

معادله d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 را بدست می آوریم.

3. ما یک سیستم داریم
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

با کم کردن رابطه اول از معادله دوم، 2d 1 · d 2 √2 = 80 یا

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

توجه داشته باشید:در این و مسئله قبلی نیازی به حل کامل سیستم نیست، با پیش بینی اینکه در این مسئله برای محاسبه مساحت به حاصل ضرب قطرها نیاز داریم.

جواب: 10.

وظیفه 7.

مساحت متوازی الاضلاع 96 و اضلاع آن 8 و 15 است. مربع قطر کوچکتر را پیدا کنید.

راه حل.

1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. بیایید یک جایگزین در فرمول انجام دهیم.

ما 96 = 8 · 15 · sin VAD دریافت می کنیم. بنابراین sin VAD = 4/5.

2. بیایید cos VAD را پیدا کنیم. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

با توجه به شرایط مسئله، طول قطر کوچکتر را پیدا می کنیم. اگر زاویه VAD تند باشد، VD مورب کوچکتر خواهد بود. سپس cos VAD = 3/5.

3. از مثلث ABD، با استفاده از قضیه کسینوس، مربع BD مورب را پیدا می کنیم.

ВD 2 = АВ 2 + AD 2 – 2 · АВ · ВD · cos VAD.

D 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

جواب: 145.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه یک مسئله هندسه را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، هنگام کپی کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

قضیه 1.مساحت ذوزنقه برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع آن:

قضیه 2.مورب های یک ذوزنقه آن را به چهار مثلث تقسیم می کنند که دو تای آنها شبیه به هم و دو تای دیگر مساحت یکسانی دارند:

قضیه 3.مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصلضرب قاعده و ارتفاعی که با قاعده معین پایین می آید یا حاصل ضرب دو ضلع و سینوس زاویه بین آنهاست:

قضیه 4.در متوازی الاضلاع مجموع مربعات مورب برابر است با مجموع مربعات اضلاع آن:

قضیه 5.مساحت یک چهارضلعی محدب دلخواه برابر است با نصف حاصلضرب قطرهای آن و سینوس زاویه بین آنها:

قضیه 6.مساحت یک چهارضلعی که دور یک دایره محصور شده است برابر است با حاصلضرب نیم محیط این چهارضلعی و شعاع دایره داده شده:

قضیه 7.چهارضلعی که رئوس آن وسط اضلاع یک چهارضلعی محدب دلخواه باشد متوازی الاضلاعی است که مساحت آن برابر با نصف مساحت چهارضلعی اصلی است:

قضیه 8.اگر یک چهار ضلعی محدب دارای قطرهایی باشد که بر هم عمود باشند، مجموع مربعات اضلاع مقابل این چهارضلعی برابر است:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

این مقاله با حمایت شرکت "DKROST" منتشر شده است. سرسره، خانه، جعبه شنی و خیلی چیزهای دیگر - تولید و فروش زمین بازی کودکان به صورت عمده و خرده. نازلترین قیمت، تخفیف، زمان تولید کوتاه، بازدید و مشاوره تخصصی، تضمین کیفیت. می توانید اطلاعات بیشتری در مورد شرکت کسب کنید، کاتالوگ محصولات، قیمت ها و مخاطبین را در وب سایتی که در آدرس زیر قرار دارد مشاهده کنید: http://dkrost.ru/.

اثبات برخی قضایا

اثبات قضیه 2. فرض کنید ABCD یک ذوزنقه معین، AD و BC پایه های آن، O نقطه تقاطع قطرهای AC و BD این ذوزنقه باشد. اجازه دهید ثابت کنیم که مثلث های AOB و COD مساحت یکسانی دارند. برای انجام این کار، عمودهای BP و CQ را از نقاط B و C به خط AD کاهش دهید. سپس مساحت مثلث ABD است

و مساحت مثلث ACD است

از آنجایی که BP = CQ، پس S∆ABD = S∆ACD. اما مساحت مثلث AOB تفاوت بین مساحت مثلث‌های ABD و AOD است و مساحت مثلث COD تفاوت بین مساحت مثلث‌های ACD و AOD است. بنابراین، مساحت مثلث های AOB و COD برابر است، همانطور که باید ثابت شود.

اثبات قضیه 4. فرض کنید ABCD متوازی الاضلاع باشد، AB = CD = آ AD = قبل از میلاد = b،
AC = d1، BD = d2، ∠BAD = α، ∠ADC = 180 درجه - α. اجازه دهید قضیه کسینوس را برای مثلث ABD اعمال کنیم:

حال با اعمال قضیه کسینوس برای مثلث ACD، به دست می آوریم:

با اضافه کردن تساوی های حاصل به صورت ترم، آن را به دست می آوریم Q.E.D.

اثبات قضیه 5. فرض کنید ABCD یک چهار ضلعی محدب دلخواه باشد، E نقطه تقاطع قطرهای آن، AE = آ، BE = b،
CE = c، DE = d، ∠AEB = ∠CED = ϕ، ∠BEC =
= ∠AED = 180 درجه - φ. ما داریم:

Q.E.D.

اثبات قضیه 6. فرض کنید ABCD یک چهار ضلعی دلخواه باشد که حول یک دایره، O مرکز این دایره، OK، OL، OM و ON عمودهای کشیده شده از نقطه O به ترتیب روی خطوط AB، BC، CD و AD باشد. ما داریم:

که r شعاع دایره و p نیم محیط چهارضلعی ABCD است.

اثبات قضیه 7. فرض کنید ABCD یک چهار ضلعی محدب دلخواه باشد، K، L، M و N به ترتیب نقاط میانی اضلاع AB، BC، CD و AD باشد. از آنجایی که KL خط وسط مثلث ABC است، پس خط KL موازی با خط AC است و به طور مشابه، خط MN موازی با خط AC است و بنابراین، KLMN یک متوازی الاضلاع است. مثلث KBL را در نظر بگیرید. مساحت آن برابر با یک چهارم مساحت مثلث ABC است. مساحت مثلث MDN نیز برابر با یک چهارم مساحت مثلث ACD است. از این رو،

به همین ترتیب،

این به آن معنا است

از کجا به دنبال آن است

اثبات قضیه 8. فرض کنید ABCD یک چهار ضلعی محدب دلخواه باشد که قطرهای آن بر هم عمود باشند، بگذارید E نقطه تقاطع قطرهای آن باشد.
AE = آ، BE = b، CE = c، DE = d. اجازه دهید قضیه فیثاغورث را برای مثلث های ABE و CDE اعمال کنیم:
AB2 = AE2 + BE2 = آ 2 + b2،
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2،
از این رو،
AB2 + CD2 = آ 2 + b2 + c2 + d2 .
اکنون با اعمال قضیه فیثاغورث برای مثلث های ADE و BCE، به دست می آوریم:
AD2 = AE2 + DE2 = آ 2 + d2،
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2،
کجا به دنبال آن است
AD2 + BC2 = آ 2 + b2 + c2 + d2 .
این به معنای AB2 + CD2 = AD2 + BC2 است که باید ثابت شود.

راه حل های مشکل

مشکل 1. ذوزنقه ای با زوایای پایه α و β در اطراف دایره توصیف شده است. نسبت مساحت ذوزنقه به مساحت دایره را پیدا کنید.

راه حل. فرض کنید ABCD یک ذوزنقه معین باشد، AB و CD پایه های آن، DK و CM عمودهای ترسیم شده از نقاط C و D به خط AB باشد. نسبت مورد نیاز به شعاع دایره بستگی ندارد. بنابراین، شعاع 1 را در نظر می گیریم. سپس مساحت دایره برابر با π است، بیایید مساحت ذوزنقه را پیدا کنیم. از آنجایی که مثلث ADK قائم الزاویه است، پس

به طور مشابه، از مثلث قائم الزاویه BCM متوجه می‌شویم که از آنجایی که یک دایره را می‌توان در ذوزنقه معینی حک کرد، مجموع اضلاع مقابل برابر است:
AB + CD = AD + BC،
از کجا پیداش کنیم

بنابراین مساحت ذوزنقه است

و نسبت مورد نیاز برابر است با
پاسخ:

مشکل 2. در ABCD چهار ضلعی محدب، زاویه A برابر 90 درجه است و زاویه C از 90 درجه تجاوز نمی کند. از رئوس B و D عمودهای BE و DF روی AC مورب رها می شوند. مشخص است که AE = CF. ثابت کنید که زاویه C راست است.

اثبات. از آنجایی که زاویه A 90 درجه است،
و زاویه C از 90 درجه تجاوز نمی کند، سپس نقاط E و F روی مورب AC قرار می گیرند. بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β، ∠FDA = γ، ∠FDC = δ. کافی است ثابت کنیم α + β + γ + δ = π. زیرا

از کجا می‌گیریم که آنچه باید ثابت شود.

مشکل 3. محیط یک ذوزنقه متساوی الساقین که اطراف یک دایره است برابر با p است. شعاع این دایره را در صورتی بیابید که زاویه تند قاعده ذوزنقه برابر با α است.
راه حل. فرض کنید ABCD یک ذوزنقه متساوی الساقین با پایه های AD و BC باشد، بگذارید BH ارتفاع این ذوزنقه باشد که از راس B افتاده است.
از آنجایی که یک دایره را می توان در یک ذوزنقه معین حک کرد، پس

از این رو،

از مثلث قائم الزاویه ABH پیدا می کنیم،

پاسخ:

مشکل 4. ذوزنقه ای ABCD با پایه های AD و BC داده شده است. قطرهای AC و BD در نقطه O و خطوط AB و CD در نقطه K قطع می شوند. خط KO اضلاع BC و AD را به ترتیب در نقاط M و N قطع می کند و زاویه BAD 30 درجه است. مشخص است که یک دایره را می توان در ذوزنقه های ABMN و NMCD حک کرد. نسبت مساحت های مثلث BKC و ذوزنقه ABCD را بیابید.

راه حل. همانطور که مشخص است، برای یک ذوزنقه دلخواه، یک خط مستقیم که نقطه تقاطع مورب ها و نقطه تقاطع امتداد اضلاع جانبی را به هم متصل می کند، هر یک از پایه ها را به نصف تقسیم می کند. بنابراین BM = MC و AN = ND. علاوه بر این، از آنجایی که یک دایره را می توان در ذوزنقه ABMN و NMCD ثبت کرد، پس
BM + AN = AB + MN،
MC + ND = CD + MN.
نتیجه می شود که AB = CD، یعنی ذوزنقه ABCD متساوی الساقین است. نسبت مساحت مورد نیاز به مقیاس بستگی ندارد، بنابراین می توانیم فرض کنیم که KN = x، KM = 1. از مثلث های قائم الزاویه AKN و BKM به دست می آوریم که Writing دوباره رابطه ای که قبلاً در بالا استفاده شده است
BM + AN = AB + MN ⇔

باید نسبت را محاسبه کنیم:

در اینجا از این واقعیت استفاده کردیم که مساحت مثلث‌های AKD و BKC به عنوان مربع اضلاع KN و KM به هم مرتبط هستند، یعنی x2.

پاسخ:

وظیفه 5.در ABCD چهارضلعی محدب، نقاط E، F، H، G به ترتیب وسط اضلاع AB، BC، CD، DA هستند و O نقطه تلاقی قطعات EH و FG است. مشخص است که EH = آ، FG = b، طول قطرهای چهارضلعی را بیابید.

راه حل. معلوم است که اگر نقاط میانی اضلاع یک چهار ضلعی دلخواه را به صورت سری به هم وصل کنید، متوازی الاضلاع به دست می آید. در مورد ما، EFHG متوازی الاضلاع است و O نقطه تلاقی قطرهای آن است. سپس

اجازه دهید قضیه کسینوس را برای مثلث FOH اعمال کنیم:

از آنجایی که FH خط وسط مثلث BCD است، پس

به طور مشابه، با اعمال قضیه کسینوس بر مثلث EFO، آن را به دست می آوریم

پاسخ:

وظیفه 6.اضلاع جانبی ذوزنقه 3 و 5 است. معلوم است که می توان دایره ای را در ذوزنقه حک کرد. خط وسط یک ذوزنقه آن را به دو قسمت تقسیم می کند که نسبت مساحت آنها برابر است با پیدا کردن پایه های ذوزنقه.

راه حل. فرض کنید ABCD ذوزنقه ای باشد، AB = 3 و CD = 5 اضلاع جانبی آن، نقاط K و M به ترتیب وسط اضلاع AB و CD باشند. اجازه دهید، برای قطعیت، AD > BC، آنگاه مساحت ذوزنقه AKMD بزرگتر از مساحت ذوزنقه KBCM خواهد بود. از آنجایی که KM خط وسط ذوزنقه ABCD است، ذوزنقه‌های AKMD و KBCM دارای ارتفاع مساوی هستند. از آنجایی که مساحت ذوزنقه برابر با حاصل ضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع است، برابری زیر صادق است:

علاوه بر این، از آنجایی که یک دایره را می توان در ذوزنقه ABCD ثبت کرد، سپس AD + BC = AB + CD = 8. سپس KM = 4 به عنوان خط وسط ذوزنقه ABCD. اجازه دهید BC = x، سپس AD = 8 – x. ما داریم:
پس قبل از میلاد = 1 و بعد از میلاد = 7.

پاسخ: 1 و 7.

مسئله 7. طول قاعده AB ذوزنقه ABCD دو برابر CD پایه و دو برابر طول ضلع AD است. طول AC مورب است آ، و طول ضلع BC برابر با b است. مساحت ذوزنقه را پیدا کنید.

راه حل. فرض کنید E نقطه تلاقی امتداد اضلاع جانبی ذوزنقه و CD = x، سپس AD = x، AB = 2x باشد. قطعه CD موازی با قطعه AB است و نصف طول آن است، به این معنی که CD خط وسط مثلث ABE است. بنابراین، CE = BC = b و DE = AD = x، از این رو AE = 2x. بنابراین، مثلث ABE متساوی الساقین است (AB = AE) و AC میانه آن است. بنابراین AC نیز ارتفاع این مثلث است، یعنی

از آنجایی که مثلث DEC مشابه مثلث AEB با ضریب شباهت است

پاسخ:

مسئله 8. قطرهای ذوزنقه ABCD در نقطه E قطع می شوند. اگر طول پایه های ذوزنقه AB = 30، DC = 24، اضلاع AD = 3 و زاویه DAB 60 درجه باشد، مساحت مثلث BCE را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید DH ارتفاع ذوزنقه باشد. از مثلث ADH متوجه می شویم که

از آنجایی که ارتفاع مثلث ABC کاهش یافته از راس C برابر است با ارتفاع DH ذوزنقه، داریم:

پاسخ:

مسئله 9. در ذوزنقه خط وسط 4 و زوایای یکی از پایه ها 40 درجه و 50 درجه است. اگر پاره ای که نقاط میانی پایه ها را به هم متصل می کند برابر با 1 باشد، پایه های ذوزنقه را بیابید.

راه حل. بگذارید ABCD یک ذوزنقه معین باشد، AB و CD پایه های آن (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. اضلاع DA و CB را تا محل تقاطع نقطه E امتداد دهید. مثلث ABE را در نظر بگیرید که در آن ∠EAB = 50 درجه است. ∠EBA = 40 درجه،
بنابراین، ∠AEB = 90 درجه. میانه EM این مثلث که از راس زاویه قائمه کشیده شده است برابر است با نصف هیپوتانوس: EM = AM. اجازه دهید EM = x، سپس AM = x، DN = 4 – x. با توجه به شرط مسئله MN = 1، بنابراین،
EN = x + 1. از شباهت مثلث های AEM و DEN داریم:

این یعنی AB = 3 و CD = 5.

پاسخ: 3 و 5.

مسئله 10. چهارضلعی محدب ABCD حول دایره ای با مرکز در نقطه O، با AO = OC = 1، BO = OD = 2 محصور شده است. محیط چهار ضلعی ABCD را بیابید.

راه حل. بگذارید K، L، M، N نقاط مماس دایره با اضلاع AB، BC، CD، DA به ترتیب باشند و r شعاع دایره باشد. از آنجایی که مماس بر دایره بر شعاع رسم شده به نقطه مماس عمود است، مثلث های AKO، BKO، BLO، CLO، CMO، DMO، DNO، ANO مستطیل شکل هستند. با اعمال قضیه فیثاغورث برای این مثلث ها، آن را به دست می آوریم

بنابراین، AB = BC = CD = DA، یعنی ABCD یک لوزی است. مورب های لوزی بر هم عمود هستند و نقطه تلاقی آنها مرکز دایره محاطی است. از اینجا به راحتی متوجه می شویم که ضلع لوزی برابر است و بنابراین محیط لوزی برابر است با

پاسخ:

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

S-1.یک ذوزنقه متساوی الاضلاع ABCD حول دایره ای به شعاع r احاطه شده است. فرض کنید E و K نقاط مماس این دایره با اضلاع ذوزنقه باشند. زاویه بین پایه AB و ضلع AD ذوزنقه 60 درجه است. ثابت کنید که EK با AB موازی است و مساحت ذوزنقه ABEK را پیدا کنید.
S-2.در یک ذوزنقه، قطرها 3 و 5 هستند و قسمت اتصال نقاط میانی پایه ها 2 است. مساحت ذوزنقه را پیدا کنید.
S-3. اگر ∠ADC = 30 درجه، AB = 3، BC = 4، AC = 6 باشد، می توان دایره ای را در اطراف یک ABCD چهار ضلعی توصیف کرد؟
S-4.در ذوزنقه ABCD (AB پایه است)، مقادیر زوایای DAB، BCD، ADC، ABD و ADB یک پیشروی حسابی (به ترتیبی که در آن نوشته شده‌اند) تشکیل می‌دهند. اگر ارتفاع ذوزنقه h باشد، فاصله راس C تا مورب BD را بیابید.
S-5.یک ذوزنقه متساوی الساقین که دایره ای در آن حک شده است و دایره دور آن محصور شده است. نسبت ارتفاع ذوزنقه به شعاع دایره محصور شده است زوایای ذوزنقه را بیابید.
S-6.مساحت مستطیل ABCD 48 و طول قطر آن 10 است. در صفحه ای که مستطیل در آن قرار دارد، یک نقطه O انتخاب می شود تا OB = OD = 13. فاصله نقطه O تا راس را پیدا کنید. مستطیلی که از آن دورتر است.
S-7. محیط متوازی الاضلاع ABCD 26 است. زاویه ABC 120 درجه است. شعاع دایره محاط شده در مثلث BCD طول اضلاع متوازی الاضلاع را بیابید اگر معلوم شود AD > AB است.
S-8. ABCD چهار ضلعی در دایره ای با مرکز در نقطه O حک شده است. شعاع OA عمود بر شعاع OB و شعاع OC عمود بر شعاع OD است. طول عمود افت شده از نقطه C به خط AD برابر با 9 است. طول پاره BC نصف طول پاره AD است. مساحت مثلث AOB را پیدا کنید.
S-9.در یک چهار ضلعی محدب ABCD، رئوس A و C مقابل یکدیگر قرار دارند و طول ضلع AB برابر با 3 است. زاویه ABC برابر با زاویه BCD برابر است با یافتن طول ضلع AD اگر بدانید مساحت ضلع چهار ضلعی برابر است.

S-10.در یک چهارضلعی محدب ABCD قطرهای AC و BD رسم می شوند. مشخص است که
AD = 2، ∠ABD = ∠ACD = 90 درجه، و فاصله بین نقطه تقاطع نیمساز مثلث ABD و نقطه تقاطع نیمساز مثلث ACD طول ضلع BC را بیابید.
S-11.فرض کنید M نقطه تلاقی قطرهای یک چهارضلعی محدب ABCD باشد که در آن اضلاع AB، AD و BC برابر هستند. اگر معلوم باشد که DM = MC، زاویه CMD را پیدا کنید،
و ∠CAB ≠ ∠DBA.
S-12.در ABCD چهار ضلعی می دانیم که ∠A = 74°، ∠D = 120°. زاویه بین نیمسازهای B و C را پیدا کنید.
S-13.یک دایره را می توان در یک ABCD چهار ضلعی درج کرد. بگذارید K نقطه تقاطع قطرهای آن باشد. مشخص است که AB > BC > KC و محیط و مساحت مثلث BKC به ترتیب 14 و 7 هستند.
S-14.در ذوزنقه ای که دور یک دایره محصور شده است، مشخص است که قبل از میلاد مسیح، AB = CD، ∠BAD =
= 45 درجه اگر مساحت ذوزنقه ABCD 10 باشد AB را پیدا کنید.
S-15.در ذوزنقه ABCD با پایه های AB و CD مشخص است که ∠CAB = 2∠DBA. مساحت ذوزنقه را پیدا کنید.
S-16.در متوازی الاضلاع ABCD مشخص است که AC = آ، ∠CAB = 60 درجه. مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنید.
S-17. در چهار ضلعی ABCD، قطرهای AC و BD در نقطه K قطع می شوند. نقاط L و M به ترتیب وسط اضلاع BC و AD هستند. پاره LM حاوی نقطه K است. چهار ضلعی ABCD به گونه ای است که می توان دایره ای را در آن ثبت کرد. شعاع این دایره را در صورت AB = 3 و LK: KM = 1: 3 بیابید.
S-18.در یک چهارضلعی محدب ABCD قطرهای AC و BD رسم می شوند. در این حالت ∠BAC =
= ∠BDC، و مساحت دایره محصور در اطراف مثلث BDC برابر است با
الف) شعاع دایره محصور شده پیرامون مثلث ABC را بیابید.
ب) با دانستن اینکه BC = 3، AC = 4، ∠BAD = 90 درجه، مساحت چهار ضلعی ABCD را پیدا کنید.

توجه داشته باشید. این بخشی از یک درس با مسائل هندسه (بخش متوازی الاضلاع) است. اگر نیاز به حل یک مشکل هندسه دارید که اینجا نیست، در مورد آن در انجمن بنویسید. برای نشان دادن عمل استخراج ریشه مربع در راه حل های مسئله، از نماد √ یا sqrt() استفاده می شود که عبارت رادیکال در پرانتز نشان داده شده است.

مطالب نظری

توضیح فرمول های یافتن مساحت متوازی الاضلاع:

1. مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب طول یکی از اضلاع آن و ارتفاع آن ضلع.
2. مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب دو ضلع مجاور آن و سینوس زاویه بین آنها.
3. مساحت متوازی الاضلاع برابر با نصف حاصلضرب قطرهای آن و سینوس زاویه بین آنهاست.

مشکلات پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع

راه حل.
اجازه دهید ارتفاع کوچکتر متوازی الاضلاع ABCD که از نقطه B به پایه بزرگتر AD کاهش یافته است را با BK نشان دهیم.
اجازه دهید مقدار پایه یک مثلث قائم الزاویه ABK را که توسط ارتفاع کوچکتر، یک ضلع کوچکتر و بخشی از یک پایه بزرگتر تشکیل شده است، پیدا کنیم. طبق قضیه فیثاغورث:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1

اجازه دهید قاعده بالایی متوازی الاضلاع BC را گسترش دهیم و ارتفاع AN را از قاعده پایینی آن پایین بیاوریم. AN = BK به عنوان اضلاع مستطیل ANBK. اجازه دهید ضلع NC مثلث قائم الزاویه ANC حاصل را پیدا کنیم.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12

حالا بیایید پایه بزرگتر BC متوازی الاضلاع ABCD را پیدا کنیم.
BC = NC - NB
اجازه دهید در نظر بگیریم که NB = AK به عنوان اضلاع مستطیل، پس
قبل از میلاد = 12 - 1 = 11

مساحت متوازی الاضلاع برابر با حاصل ضرب قاعده و ارتفاع این قاعده است.
S = آه
S = قبل از میلاد * BK
S = 11 * 9 = 99

پاسخ: 99 سانتی متر مربع.

وظیفه

راه حل.
اجازه دهید یک DK عمود دیگر را روی AC مورب بیاندازیم.
بر این اساس، مثلث های AOB و DKC، COB و AKD دو به دو برابر هستند. یکی از اضلاع طرف مقابل متوازی الاضلاع است، یکی از زوایا قائم الزاویه است، زیرا بر مورب عمود است، و یکی از زوایای باقیمانده یک ضربدر داخلی است که برای اضلاع موازی متوازی الاضلاع و مقطع قرار دارد. مورب

بنابراین، مساحت متوازی الاضلاع برابر با مساحت مثلث های نشان داده شده است. به این معنا که
اسپارالل = 2S AOB +2S BOC

مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف حاصلضرب پاها است. جایی که
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 سانتی متر مربع
پاسخ: 56 سانتی متر مربع.

فرمول مساحت متوازی الاضلاع

مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب ضلع آن و ارتفاع آن ضلع.

اثبات

اگر متوازی الاضلاع یک مستطیل باشد، تساوی با قضیه مساحت یک مستطیل برآورده می شود. بعد، فرض می کنیم که زوایای متوازی الاضلاع درست نیستند.

فرض کنید $\angle BAD$ یک زاویه تند در متوازی الاضلاع $ABCD$ و $AD > AB$ باشد. در غیر این صورت نام رئوس را تغییر می دهیم. سپس ارتفاع $BH$ از راس $B$ تا خط $AD$ در سمت $AD$ قرار می گیرد، زیرا پای $AH$ کوتاهتر از فرضیه $AB$ است و $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

بیایید مساحت متوازی الاضلاع $ABCD$ و مساحت مستطیل $HBCK$ را با هم مقایسه کنیم. مساحت متوازی الاضلاع با مساحت $\مثلث ABH$ بزرگتر است، اما از نظر مساحت $\مثلث DCK$ کمتر است. از آنجایی که این مثلث ها مساوی هستند، مساحت آنها برابر است. این بدان معناست که مساحت متوازی الاضلاع برابر است با مساحت مستطیل با طول اضلاع به ضلع و ارتفاع متوازی الاضلاع.

فرمول مساحت متوازی الاضلاع با استفاده از اضلاع و سینوس

مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها.

اثبات

ارتفاع متوازی الاضلاع $ABCD$ بر روی ضلع $AB$ برابر است با حاصلضرب بخش $BC$ و سینوس زاویه $\ زاویه ABC$. باقی مانده است که عبارت قبلی را اعمال کنیم.

فرمول مساحت متوازی الاضلاع با استفاده از قطرها

مساحت متوازی الاضلاع برابر با نصف حاصلضرب مورب ها و سینوس زاویه بین آنهاست.

اثبات

اجازه دهید قطرهای متوازی الاضلاع $ABCD$ در نقطه $O$ در زاویه $\alpha$ قطع شوند. سپس $AO=OC$ و $BO=OD$ توسط ویژگی متوازی الاضلاع. سینوس‌های زوایایی که مجموع آن‌ها تا 180$^\circ$ برابر است، $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. این بدان معنی است که سینوس های زاویه در محل تلاقی قطرها برابر با $\sin \alpha$ است.

$S_(ABCD)=S_(\مثلث AOB) + S_(\مثلث BOC) + S_(\مثلث COD) + S_(\مثلث AOD)$

با توجه به اصل اندازه گیری مساحت. ما فرمول مساحت مثلث $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ را برای این مثلث ها و زوایا در هنگام قطع قطرها اعمال می کنیم. اضلاع هر کدام برابر با نصف قطرها و سینوس ها نیز برابر هستند. بنابراین، مساحت هر چهار مثلث برابر است با $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. با جمع بندی تمام موارد بالا، به دست می آوریم

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

هنگام حل مشکلات در مورد این موضوع، به جز خواص اساسی متوازی الاضلاعو فرمول های مربوطه را می توانید به خاطر بسپارید و موارد زیر را اعمال کنید:

1. نیمساز یک زاویه داخلی متوازی الاضلاع یک مثلث متساوی الساقین را از آن جدا می کند
2. نیمسازهای زوایای داخلی مجاور یکی از اضلاع متوازی الاضلاع بر یکدیگر عمود هستند.
3. نیمسازهایی که از زوایای داخلی متوازی الاضلاع می آیند موازی یکدیگر هستند یا روی یک خط مستقیم قرار دارند.
4. مجموع مربعات مورب متوازی الاضلاع برابر است با مجموع مربعات اضلاع آن
5. مساحت متوازی الاضلاع برابر با نصف حاصلضرب قطرها و سینوس زاویه بین آنهاست.

اجازه دهید مشکلاتی را که در آنها از این ویژگی ها استفاده می شود در نظر بگیریم.

وظیفه 1.

نیمساز زاویه C متوازی الاضلاع ABCD ضلع AD را در نقطه M و ادامه ضلع AB را فراتر از نقطه A در نقطه E قطع می کند. محیط متوازی الاضلاع را اگر AE = 4، DM = 3 باشد، پیدا کنید.

راه حل.

1. مثلث CMD متساوی الساقین است. (ملاک 1). بنابراین CD = MD = 3 سانتی متر.

2. مثلث EAM متساوی الساقین است.
بنابراین، AE = AM = 4 سانتی متر.

3. AD = AM + MD = 7 سانتی متر.

4. محیط ABCD = 20 سانتی متر.

پاسخ. 20 سانتی متر.

وظیفه 2.

مورب ها در یک چهار ضلعی محدب ABCD رسم می شوند. مشخص است که مساحت مثلث های ABD، ACD، BCD برابر است. ثابت کنید که این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است.

راه حل.

1. اجازه دهید BE ارتفاع مثلث ABD، CF ارتفاع مثلث ACD باشد. از آنجایی که با توجه به شرایط مسئله، مساحت مثلث ها مساوی و دارای پایه مشترک AD هستند، پس ارتفاع این مثلث ها برابر است. BE = CF.

2. BE، CF عمود بر AD هستند. نقاط B و C نسبت به خط مستقیم AD در یک سمت قرار دارند. BE = CF. بنابراین خط مستقیم قبل از میلاد || آگهی. (*)

3. بگذارید AL ارتفاع مثلث ACD باشد، BK ارتفاع مثلث BCD باشد. از آنجایی که با توجه به شرایط مسئله، مساحت مثلث ها مساوی و دارای یک سی دی پایه مشترک هستند، پس ارتفاع این مثلث ها برابر است. AL = BK.

4. AL و BK بر CD عمود هستند. نقاط B و A نسبت به CD خط مستقیم در یک سمت قرار دارند. AL = BK. بنابراین خط مستقیم AB || سی دی (**)

5. از شرایط (*)، (**) نتیجه می شود که ABCD متوازی الاضلاع است.

پاسخ. اثبات شده است. ABCD متوازی الاضلاع است.

وظیفه 3.

در دو طرف BC و CD متوازی الاضلاع ABCD، نقاط M و H به ترتیب مشخص شده اند، به طوری که بخش های BM و HD در نقطه O قطع می شوند.<ВМD = 95 о,