محدودیت ها در ریاضیات برای آدمک ها: توضیح، نظریه، نمونه هایی از راه حل ها. حل حدود با کشف عدد عدم قطعیت به منهای توان نامحدود

درس 20

20.1 عدم قطعیت افشای گونه ها

مثال 1

حل محدودیت ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را به کسر جایگزین کنیم: در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی:اگر صورت و مخرج دارای چند جمله ای باشند و شکل آن عدم قطعیت باشد، آن را آشکار کنید شما باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب باید یک معادله درجه دوم را حل کنید و/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید.

بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

مثال 2

حد محاسبه کنید

بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم.

مخرج کسر: ,

روش ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج

ما همچنان عدم قطعیت فرم را در نظر می گیریم

نوع بعدی محدودیت ها مشابه نوع قبلی است. تنها چیزی که علاوه بر چند جمله ای ها، ریشه ها را اضافه خواهیم کرد.

مثال 3

حد را پیدا کنید

صورت و مخرج را در عبارت مزدوج ضرب کنید.

20.2 عدم قطعیت افشای گونه ها

حال گروهی از حدود را در نظر می گیریم زمانی که، و تابع کسری است که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای هستند.

مثال 4

حد محاسبه کنید

طبق قاعده ما، سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین، ما چیزی داریم که عدم قطعیت گونه نامیده می شود. ممکن است کسی فکر کند که پاسخ آماده است، اما در حالت کلی اصلاً اینطور نیست و لازم است برخی از تکنیک های راه حل را اعمال کنیم که اکنون به بررسی آن خواهیم پرداخت.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم: توان پیشرو در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین آن را به بالاترین توان می یابیم: بالاترین درجه مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به شرح زیر است: برای آشکار کردن عدم قطعیتشما باید صورت و مخرج را بر تقسیم کنیددر مقطع ارشد

صورت و مخرج را تقسیم بر

اینجا پاسخ است و اصلاً بی نهایت نیست.

چه چیزی اساساً در طراحی یک تصمیم مهم است؟

ابتدا، در صورت وجود عدم قطعیت را نشان می دهیم.

ثانیاً، توصیه می شود که راه حل را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.

ثالثاً ، در حد توصیه می شود علامت گذاری کنید که کجا می رود. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است: بهتر است از یک مداد ساده برای یادداشت استفاده کنید.

البته لازم نیست هیچ یک از این کارها را انجام دهید، اما ممکن است معلم به کاستی های راه حل اشاره کند یا شروع به پرسیدن سؤالات اضافی در مورد تکلیف کند. آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 5

حد را پیدا کنید باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم: حداکثر درجه در صورت: 3 حداکثر درجه در مخرج: 4 انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار. طبق الگوریتم ما، برای نشان دادن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم. تکلیف کامل ممکن است به شکل زیر باشد:

مثال 6

حد را پیدا کنید حداکثر درجه "X" در صورت: 2 حداکثر درجه "X" در مخرج: 1 (می توان آن را به صورت نوشت) برای نشان دادن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر تقسیم کنیم. راه حل نهایی ممکن است به این صورت باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

علامت گذاری به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید)، بلکه تقسیم بر یک عدد بینهایت کوچک است.

بنابراین، با کشف عدم قطعیت گونه‌ها، ممکن است بتوانیم شماره نهایی، صفر یا بی نهایت.

تمرین 20

وظیفه شماره 1

راه حل:اگر به جای متغیر، مقدار 7 را که به آن تمایل دارد قرار دهیم، در این صورت عدم قطعیت شکل به دست می آید.

وظیفه شماره 2موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".

راه حل:اگر به جای یک متغیر، مقدار 0 را که به آن تمایل دارد قرار دهیم، آنگاه عدم قطعیت شکل به دست می آید.

وظیفه شماره 3موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".

راه حل:اگر به جای متغیر، مقدار 6 را که به آن تمایل دارد قرار دهیم، در این صورت عدم قطعیت شکل به دست می آید.

وظیفه شماره 4

راه حل:زیرا و

وظیفه شماره 5موضوع: افشای عدم قطعیت شکل "بی نهایت تا بی نهایت"

راه حل:زیرا و برای آشکار کردن آن، باید هر جمله از صورت و مخرج را بر تقسیم کنید. سپس، دانستن آنچه به دست می آوریم:

کار مستقل 20

وظیفه شماره 1موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".

وظیفه شماره 2موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".

وظیفه شماره 3موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".

وظیفه شماره 4موضوع: افشای عدم قطعیت شکل "بی نهایت تا بی نهایت"

وظیفه شماره 5موضوع: افشای عدم قطعیت شکل "بی نهایت تا بی نهایت"محدودیت عملکرد برابر...

وظیفه شماره 6موضوع: افشای عدم قطعیت شکل "بی نهایت تا بی نهایت"

مشتق تابع زیاد نمی افتد و در مورد قوانین L'Hopital دقیقاً در همان جایی که تابع اصلی می افتد قرار می گیرد. این شرایط به آشکار کردن عدم قطعیت های شکل 0/0 یا ∞/∞ و برخی عدم قطعیت های دیگر که هنگام محاسبه به وجود می آیند کمک می کند. حدرابطه دو تابع بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ. محاسبه با استفاده از این قانون بسیار ساده شده است (در واقع دو قانون و نکات مربوط به آنها):

همانطور که فرمول بالا نشان می دهد، هنگام محاسبه حد نسبت دو تابع بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، حد نسبت دو تابع را می توان با حد نسبت دو تابع جایگزین کرد. مشتقاتو به این ترتیب نتیجه مشخصی بدست می آید.

بیایید به فرمول بندی دقیق تر قوانین L'Hopital برویم.

قانون L'Hopital برای مورد حد دو کمیت بی نهایت کوچک. اجازه دهید توابع f(ایکس) و g(ایکس آ. و در همان نقطه آ آمشتق از یک تابع g(ایکس) صفر نیست ( g"(ایکس آبرابر یکدیگر و برابر با صفر هستند:

.

قانون L'Hopital برای مورد حد از دو مقدار بی نهایت بزرگ. اجازه دهید توابع f(ایکس) و g(ایکس) مشتقاتی (یعنی متمایزپذیر) در برخی از همسایگی های نقطه دارند آ. و در همان نقطه آآنها ممکن است مشتقات نداشته باشند. علاوه بر این، در مجاورت نقطه آمشتق از یک تابع g(ایکس) صفر نیست ( g"(ایکس)≠0) و حدود این توابع به عنوان x تمایل به مقدار تابع در نقطه آمساوی با یکدیگر و مساوی با بی نهایت هستند:

.

سپس حد نسبت این توابع برابر است با حد نسبت مشتقات آنها:

به عبارت دیگر، برای عدم قطعیت های شکل 0/0 یا ∞/∞، حد نسبت دو تابع برابر است با حد نسبت مشتقات آنها، در صورتی که دومی وجود داشته باشد (متناهی، یعنی برابر با یک عدد معین یا نامتناهی یعنی برابر بی نهایت).

یادداشت.

1. قوانین L'Hopital همچنین زمانی که توابع قابل اجرا هستند f(ایکس) و g(ایکس) چه زمانی تعریف نمی شوند ایکس = آ.

2. اگر هنگام محاسبه حد نسبت مشتقات توابع f(ایکس) و g(ایکس) دوباره به عدم قطعیت شکل 0/0 یا ∞/∞ می رسیم، سپس قوانین L'Hôpital باید به طور مکرر (حداقل دو بار) اعمال شوند.

3. قوانین L'Hopital همچنین زمانی قابل اجرا هستند که آرگومان توابع (x) به یک عدد محدود تمایل نداشته باشد. آو تا بی نهایت ( ایکس → ∞).

عدم قطعیت های انواع دیگر را نیز می توان به عدم قطعیت های انواع 0/0 و ∞/∞ کاهش داد.

افشای عدم قطعیت ها از انواع "صفر تقسیم بر صفر" و "بی نهایت تقسیم بر بی نهایت"

مثال 1.

ایکس=2 منجر به عدم قطعیت فرم 0/0 می شود. بنابراین مشتق هر تابع به دست می آید

مشتق چند جمله ای در صورت حساب محاسبه شد و در مخرج - مشتق تابع لگاریتمی پیچیده. قبل از آخرین علامت مساوی، معمول است حد، به جای X یک دو را جایگزین کنید.

مثال 2.حد نسبت دو تابع را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید:

راه حل. جایگزین کردن یک مقدار به یک تابع داده شده ایکس

مثال 3.حد نسبت دو تابع را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید:

راه حل. جایگزین کردن یک مقدار به یک تابع داده شده ایکس=0 منجر به عدم قطعیت فرم 0/0 می شود. بنابراین مشتقات توابع را در صورت و مخرج محاسبه می کنیم و به دست می آوریم:

مثال 4.محاسبه

راه حل. جایگزین کردن مقدار x برابر با بی نهایت به یک تابع معین منجر به عدم قطعیت شکل ∞/∞ می شود. بنابراین، قانون L'Hopital را اعمال می کنیم:

اظهار نظر. بیایید به مثال‌هایی برویم که در آنها قانون L'Hopital باید دو بار اعمال شود، یعنی به مرز نسبت مشتقات دوم برسیم، زیرا حد نسبت مشتقات اول عدم قطعیت شکل 0 است. /0 یا ∞/∞.

کشف عدم قطعیت های شکل "صفر ضربدر بی نهایت"

مثال 12.محاسبه

.

راه حل. ما گرفتیم

این مثال از هویت مثلثاتی استفاده می کند.

افشای عدم قطعیت های انواع «صفر به توان صفر»، «بی نهایت به توان صفر» و «یک به توان بی نهایت»

عدم قطعیت های فرم، یا معمولاً با گرفتن لگاریتم تابعی از فرم، به شکل 0/0 یا ∞/∞ کاهش می یابد.

برای محاسبه حد یک عبارت، باید از هویت لگاریتمی استفاده کنید که یک مورد خاص از ویژگی لگاریتم است. .

با استفاده از هویت لگاریتمی و خاصیت تداوم یک تابع (برای فراتر رفتن از علامت حد)، حد باید به صورت زیر محاسبه شود:

به طور جداگانه، شما باید حد عبارت را در توان پیدا کنید و بسازید هبه درجه پیدا شده

مثال 13.

راه حل. ما گرفتیم

.

.

مثال 14.با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید

راه حل. ما گرفتیم

حد یک عبارت را در توان محاسبه کنید

.

.

مثال 15.با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید

این عدم قطعیت "خدمت" است دومین محدودیت فوق العادهو در قسمت دوم آن درس، نمونه‌های استاندارد راه‌حل‌هایی را که در بیشتر موارد در عمل یافت می‌شوند، با جزئیات زیاد بررسی کردیم. اکنون تصویر با توان تکمیل می شود، علاوه بر این، وظایف نهایی درس به محدودیت های "کاذب" اختصاص داده می شود، که در آن به نظر می رسد لازم است که 2 محدودیت فوق العاده را اعمال کنید، اگرچه این به هیچ وجه نیست. مورد.

نقطه ضعف دو فرمول کاری برای دومین حد قابل توجه این است که آرگومان باید به سمت "بعلاوه بی نهایت" یا صفر گرایش داشته باشد. اما اگر آرگومان به عدد دیگری گرایش داشته باشد چه؟

یک فرمول جهانی به کمک می آید (که در واقع نتیجه دومین محدودیت قابل توجه است):

عدم قطعیت را می توان با استفاده از فرمول حذف کرد:

در جایی فکر می کنم قبلاً توضیح داده ام که پرانتزها به چه معنا هستند. چیز خاصی نیست، براکت ها فقط براکت هستند. آنها معمولاً برای برجسته کردن نمادهای ریاضی با وضوح بیشتری استفاده می شوند.

اجازه دهید نکات اساسی فرمول را برجسته کنیم:

1) در مورد است فقط در مورد یقین و هیچ چیز دیگر.

2) آرگومان "x" می تواند تمایل داشته باشد مقدار دلخواه(و نه فقط به صفر یا، به ویژه، به "منهای بی نهایت" یا به هر کسیعدد محدود

با استفاده از این فرمول می توانید تمام مثال های درس را حل کنید. محدودیت های شگفت انگیز، که به 2مین حد قابل توجه تعلق دارند. به عنوان مثال، بیایید حد را محاسبه کنیم:

در این مورد ، و طبق فرمول :

درست است، من انجام این کار را توصیه نمی‌کنم؛ سنت این است که همچنان از طرح «معمول» راه‌حل استفاده شود، اگر بتوان آن را اعمال کرد. با این حال با استفاده از فرمول بررسی آن بسیار راحت استنمونه های "کلاسیک" تا 2مین حد قابل توجه.

همه اینها خوب و درست است، اما اکنون عکس های جالب تری در کادر وجود دارد:

مثال 18

محاسبه حد

در مرحله اول، از تکرار خسته نمی شوم، مقدار "x" را به عبارت زیر علامت حد جایگزین می کنیم. اگر اصلاً عدم اطمینان وجود نداشته باشد چه؟ اتفاق می افتد! اما در این زمان نه. با جایگزینی "سه"، به این نتیجه می رسیم که در اینجا عدم اطمینان وجود دارد

ما از فرمول استفاده می کنیم

برای اینکه حرف "e" را با خود نکشید و کوچکتر نکنید، نشانگر محاسبه جداگانه راحت تر است:

در این مورد:

بدین ترتیب:

از نقطه نظر فناوری محاسبات، همه چیز روال است: ابتدا عبارت اول را به مخرج مشترک کاهش می دهیم، سپس ثابت ها را خارج می کنیم و کاهش ها را انجام می دهیم و از عدم قطعیت 0:0 خلاص می شویم.

در نتیجه:

هدیه موعود با تفاوت لگاریتمی و عدم قطعیت:

مثال 19

محاسبه حد

ابتدا راه حل کامل، سپس نظرات:

(1)-(2) در دو مرحله اول از فرمول ها استفاده می کنیم . U مشتقات پیچیدهما لگاریتم ها را "از هم می پاشیم"، اما در اینجا، برعکس، آنها باید "مجموعه شوند".

(3) نماد حد را به زیر لگاریتم منتقل کنید. این را می توان به دلیل این لگاریتم انجام داد مداومبه "منهای بی نهایت". علاوه بر این، محدودیت به "پر کردن" لگاریتم اشاره دارد.

(4)-(5) تکنیک استاندارد مورد بحث در درس اصلی درباره محدودیت های شگفت انگیز، عدم قطعیت را به شکل تبدیل می کنیم.

(6) از فرمول استفاده می کنیم .

(7) توابع نمایی و لگاریتمی توابع معکوس متقابل هستند، بنابراین هر دو "e" و لگاریتم را می توان حذف کرد. در واقع با توجه به خاصیت لگاریتم: . منهای قبل از کسر را به مخرج اضافه می کنیم:

(8) بدون نظر =)

نوع محدودیت در نظر گرفته شده چندان نادر نیست؛ من 30-40 نمونه پیدا کردم.

مثال 20

محاسبه حد

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. علاوه بر استفاده از فرمول، می توانید حد را به صورت نمایش دهید و با تعویض محلول را به کیس کاهش دهید .

در پایان، اجازه دهید به محدودیت های "جعلی" نگاه کنیم.

بیایید به عدم اطمینان برگردیم. این عدم قطعیت نه همیشهرا می توان به عدم قطعیت کاهش داد و از حد قابل توجه دوم یا فرمول نتیجه استفاده کرد. تحول در صورتی امکان پذیر است صورت و مخرج مبنا - معادلتوابع بی نهایت بزرگ. مثلا: .

بیایید از اندیکاتور فاصله بگیریم و حد پایه را محاسبه کنیم:

در حد به دست آمده واحد، که به معنای صورت و مخرج است نه فقط از همان ترتیب رشد، بلکه معادل است. در درس محدودیت های قابل توجه نمونه هایی از راه حل هاما به راحتی این مثال را به عدم قطعیت تقلیل دادیم و به جواب رسیدیم.

شما می توانید محدودیت های مشابه زیادی ایجاد کنید:
و غیره.

کسری از این مثال ها با ویژگی فوق متحد می شوند: . در موارد دیگر، اگر عدم قطعیت وجود داشته باشد حد قابل توجه دوم قابل اجرا نیست.

مثال 21

محدودیت ها را پیدا کنید

مهم نیست چقدر تلاش می کنید، عدم اطمینان را نمی توان به عدم اطمینان تبدیل کرد

در اینجا صورت و مخرج پایه ها آمده است ترتیب رشد یکسان، اما نه معادل: .

بنابراین، دومین حد قابل توجه و به ویژه فرمول، قابل اعمال نیست.

! توجه داشته باشید: نباید با مثال 18 اشتباه شود که در آن صورت و مخرج مبنا معادل نیستند. عدم قطعیت آماده وجود دارد، اما در اینجا ما در مورد عدم قطعیت صحبت می کنیم.

روش حل حدود "جعلی" ساده و علامت است: شما به یک عدد و یک مخرج نیاز دارید زمینهتقسیم بر "x" به بالاترین درجه (بدون توجه به توان):

اگر صورت و مخرج پایه دارای ترتیب رشد متفاوتی باشند، جواب دقیقاً یکسان است:

مثال 22

محدودیت ها را پیدا کنید

اینها نمونه های کوتاهی برای خودآموزی هستند

گاهی ممکن است اصلاً عدم اطمینان وجود نداشته باشد:

چنین ترفندهایی به ویژه توسط کامپایلرهای مجموعه کوزنتسف مورد علاقه است. به همین دلیل بسیار مهم است که در مرحله اول همیشه "x" را در عبارت زیر علامت حد قرار دهید!

مثال 2

درجه اصلی کسر: 2; بالاترین درجه مخرج: 3.
:

مثال 4

صورت و مخرج را تقسیم بر :


توجه داشته باشید : آخرین عمل ضرب در صورت و مخرج بود برای خلاص شدن از بی منطقی در مخرج.

مثال 6

صورت و مخرج را تقسیم بر :

مثال 8

صورت و مخرج را تقسیم بر :

توجه داشته باشید : مدت، اصطلاح تمایل به صفر کندتر از ، از همین رو صفر "اصلی" مخرج است. .

مثال 22


توجه داشته باشید : تابع بی نهایت کوچک به صفر کندتر از بنابراین، صفر "بزرگتر" مخرج نقش تعیین کننده ای دارد:

محدودیت ها برای همه دانش آموزان ریاضی دردسرهای زیادی ایجاد می کند. برای حل یک محدودیت، گاهی اوقات باید از ترفندهای زیادی استفاده کنید و از بین انواع روش های حل، دقیقاً روشی را انتخاب کنید که برای یک مثال خاص مناسب است.

در این مقاله به شما در درک محدودیت‌های توانایی‌های خود یا درک محدودیت‌های کنترل کمک نمی‌کنیم، اما سعی می‌کنیم به این سوال پاسخ دهیم: چگونه محدودیت‌ها را در ریاضیات بالاتر درک کنیم؟ درک با تجربه به دست می آید، بنابراین در عین حال چندین مثال مفصل از حل حدود را با توضیحات ارائه خواهیم کرد.

مفهوم حد در ریاضیات

سؤال اول این است: این حد چیست و حد چیست؟ ما می توانیم در مورد محدودیت های دنباله های عددی و توابع صحبت کنیم. ما به مفهوم حد یک تابع علاقه مندیم، زیرا این همان چیزی است که دانش آموزان اغلب با آن مواجه می شوند. اما ابتدا کلی ترین تعریف از حد:

فرض کنید مقداری متغیر وجود دارد. اگر این مقدار در فرآیند تغییر به طور نامحدود به عدد خاصی نزدیک شود آ ، آن آ - حد این مقدار

برای تابعی که در یک بازه مشخص تعریف شده است f(x)=y چنین عددی حد نامیده می شود آ ، که تابع زمانی به آن تمایل دارد ایکس ، به یک نقطه خاص تمایل دارد آ . نقطه آ متعلق به بازه ای است که تابع در آن تعریف می شود.

دست و پا گیر به نظر می رسد، اما بسیار ساده نوشته شده است:

لیم- از انگلیسی حد- حد.

یک توضیح هندسی نیز برای تعیین حد وجود دارد، اما در اینجا ما به تئوری نمی پردازیم، زیرا ما بیشتر به جنبه عملی موضوع علاقه داریم تا جنبه نظری. وقتی این را می گوییم ایکس به مقداری تمایل دارد، این بدان معناست که متغیر مقدار یک عدد را نمی گیرد، بلکه به آن بی نهایت نزدیک می شود.

بیایید یک مثال خاص بزنیم. وظیفه یافتن حد است.

برای حل این مثال، مقدار را جایگزین می کنیم x=3 به یک تابع ما گرفتیم:

به هر حال، اگر به عملیات پایه روی ماتریس ها علاقه دارید، مقاله جداگانه ای در این زمینه بخوانید.

در نمونه ها ایکس می تواند به هر ارزشی گرایش داشته باشد. می تواند هر عدد یا بی نهایت باشد. در اینجا یک مثال زمانی است ایکس به بی نهایت تمایل دارد:

بطور شهودی، هرچه عدد در مخرج بزرگتر باشد، مقدار تابع کوچکتر خواهد بود. بنابراین، با رشد نامحدود ایکس معنی 1/x کاهش می یابد و به صفر نزدیک می شود.

همانطور که می بینید، برای حل محدودیت، فقط باید مقدار مورد نظر را در تابع جایگزین کنید ایکس . با این حال، این ساده ترین مورد است. اغلب یافتن محدودیت چندان واضح نیست. در محدوده ها عدم قطعیت هایی از نوع وجود دارد 0/0 یا بی نهایت / بی نهایت . در چنین مواقعی چه باید کرد؟ توسل به ترفندها!

عدم قطعیت های درون

عدم قطعیت شکل بی نهایت/بی نهایت

بگذارید یک محدودیت وجود داشته باشد:

اگر بخواهیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم، هم در صورت و هم در مخرج بی نهایت می گیریم. به طور کلی، شایان ذکر است که عنصر خاصی از هنر در حل چنین عدم قطعیت هایی وجود دارد: باید توجه داشته باشید که چگونه می توانید عملکرد را به گونه ای تغییر دهید که عدم قطعیت از بین برود. در مورد ما، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم ایکس در مقطع ارشد چه اتفاقی خواهد افتاد؟

از مثالی که قبلاً در بالا توضیح داده شد، می دانیم که عبارت های حاوی x در مخرج به صفر تمایل دارند. سپس راه حل حد این است:

برای حل عدم قطعیت نوع بی نهایت / بی نهایتصورت و مخرج را تقسیم بر ایکسبه بالاترین درجه

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است هر نوع کاری

نوع دیگری از عدم قطعیت: 0/0

مثل همیشه، جایگزینی مقادیر در تابع x=-1 می دهد 0 در صورت و مخرج کمی دقیق تر نگاه کنید متوجه می شوید که یک معادله درجه دوم در صورتگر داریم. بیایید ریشه ها را پیدا کنیم و بنویسیم:

کم کنیم و بگیریم:

بنابراین، اگر با عدم قطعیت نوع مواجه هستید 0/0 - صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای آسان‌تر کردن حل مثال‌ها، جدولی با محدودیت‌های برخی از توابع ارائه می‌کنیم:

حکومت L'Hopital در داخل

راه قدرتمند دیگری برای از بین بردن هر دو نوع عدم قطعیت. ماهیت روش چیست؟

در صورت عدم قطعیت در حد، مشتق صورت و مخرج را بگیرید تا عدم قطعیت از بین برود.

قانون L'Hopital به این صورت است:

نکته مهم : حدی که در آن مشتقات صورت و مخرج به جای مصدر و مخرج قرار می گیرند باید وجود داشته باشد.

و اکنون - یک مثال واقعی:

عدم قطعیت معمولی وجود دارد 0/0 . بیایید مشتقات صورت و مخرج را در نظر بگیریم:

Voila، عدم قطعیت به سرعت و با ظرافت حل می شود.

امیدواریم بتوانید این اطلاعات را در عمل به کار ببرید و پاسخ سوال «چگونه محدودیت ها را در ریاضیات بالاتر حل کنیم» بیابید. اگر نیاز به محاسبه حد یک دنباله یا حد یک تابع در یک نقطه دارید، و مطلقاً زمانی برای این کار وجود ندارد، برای یک راه حل سریع و دقیق با یک سرویس دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید.

معمولاً دومین حد قابل توجه به این شکل نوشته می شود:

\begin(معادله) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(معادله)

عدد $e$ نشان داده شده در سمت راست برابری (1) غیر منطقی است. مقدار تقریبی این عدد: $e\approx(2(,)718281828459045)$ است. اگر $t=\frac(1)(x)$ را جایگزین کنیم، فرمول (1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\begin(معادله) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(معادله)

در مورد اولین حد قابل توجه، مهم نیست که کدام عبارت به جای متغیر $x$ در فرمول (1) یا به جای متغیر $t$ در فرمول (2) قرار می گیرد. نکته اصلی رعایت دو شرط است:

1. پایه درجه (یعنی عبارت در پرانتز فرمول های (1) و (2)) باید به وحدت گرایش داشته باشد.
2. توان (یعنی $x$ در فرمول (1) یا $\frac(1)(t)$ در فرمول (2)) باید به بی نهایت تمایل داشته باشد.

گفته می شود که دومین محدودیت قابل توجه عدم قطعیت $1^\infty$ را نشان می دهد. لطفاً توجه داشته باشید که در فرمول (1) ما مشخص نمی کنیم که در مورد کدام بی نهایت ($+\infty$ یا $-\infty$) صحبت می کنیم. در هر یک از این موارد، فرمول (1) صحیح است. در فرمول (2)، متغیر $t$ می تواند هم در سمت چپ و هم در سمت راست به صفر تمایل داشته باشد.

متذکر می شوم که از محدودیت قابل توجه دوم نیز چندین پیامد مفید وجود دارد. نمونه هایی از استفاده از محدودیت قابل توجه دوم و همچنین پیامدهای آن در بین کامپایلرهای محاسبات و آزمایش های استاندارد استاندارد بسیار محبوب است.

مثال شماره 1

حد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ را محاسبه کنید.

بیایید بلافاصله توجه کنیم که پایه درجه (یعنی $\frac(3x+1)(3x-5)$) به وحدت تمایل دارد:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\راست| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

در این حالت، توان (عبارت $4x+7$) به سمت بی نهایت میل می کند، یعنی. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

پایه درجه به وحدت میل می کند، توان به بی نهایت میل می کند، یعنی. ما با عدم قطعیت $1^\infty$ روبرو هستیم. بیایید یک فرمول برای آشکار کردن این عدم قطعیت اعمال کنیم. در پایه توان فرمول عبارت $1+\frac(1)(x)$ قرار دارد و در مثالی که در نظر می گیریم، پایه توان عبارت است از: $\frac(3x+1)(3x- 5) دلار. بنابراین، اولین اقدام، تعدیل رسمی عبارت $\frac(3x+1)(3x-5)$ به شکل $1+\frac(1)(x)$ خواهد بود. ابتدا یکی را جمع و کم کنید:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

لطفاً توجه داشته باشید که نمی توانید به سادگی یک واحد اضافه کنید. اگر مجبور شدیم یکی را اضافه کنیم، باید آن را نیز کم کنیم تا ارزش کل عبارت را تغییر ندهیم. برای ادامه راه حل، آن را در نظر می گیریم

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

از آنجایی که $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$، پس:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ چپ(1+\frac(6)(3x-5)\راست)^(4x+7) $$

بیایید تنظیم را ادامه دهیم. در عبارت $1+\frac(1)(x)$ از فرمول، صورت‌گر کسر 1 است و در عبارت ما $1+\frac(6)(3x-5)$، صورت‌گر 6$ است. برای بدست آوردن $1$ در صورت حساب، $6$ را در مخرج با استفاده از تبدیل زیر بریزید:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

بدین ترتیب،

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\راست)^(4x+7) $$

بنابراین، اساس مدرک، یعنی. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$، به شکل $1+\frac(1)(x)$ مورد نیاز در فرمول تنظیم شده است. حالا بیایید کار با توان را شروع کنیم. توجه داشته باشید که در فرمول، عبارات در مخرج و در مخرج یکسان هستند:

این بدان معناست که در مثال ما، مصدر و مخرج باید به یک شکل آورده شوند. برای بدست آوردن عبارت $\frac(3x-5)(6)$ در توان، به سادگی توان را در این کسری ضرب می کنیم. به طور طبیعی، برای جبران چنین ضربی، باید بلافاصله در کسر متقابل ضرب کنید، یعنی. توسط $\frac(6)(3x-5)$. بنابراین ما داریم:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\راست)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

اجازه دهید به طور جداگانه حد کسری $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ واقع در توان را در نظر بگیریم:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\راست| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x))=e^(-\frac(2) (9)) دلار.

مثال شماره 4

حد $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که برای $x>0$، $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$ داریم، پس:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ چپ (\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

با بسط کسری $\frac(x+1)(x)$ به مجموع کسرهای $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\چپ (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

پاسخ: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

مثال شماره 5

حد $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ و $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$، پس با عدم قطعیت شکل $1^\infty$ روبرو هستیم. توضیحات مفصل در مثال شماره 2 آورده شده است، اما در اینجا به یک راه حل مختصر اکتفا می کنیم. با ساخت جایگزین $t=x-2$، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\سمت چپ|\شروع(تراز شده)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end (تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\راست)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

می توانید این مثال را به روش دیگری با استفاده از جایگزینی حل کنید: $t=\frac(1)(x-2)$. البته پاسخ یکسان خواهد بود:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\سمت چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

مثال شماره 6

حد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ را پیدا کنید.

بیایید دریابیم که عبارت $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ تحت شرایط $x\to\infty$ به چه چیزی تمایل دارد:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

بنابراین، در یک حد معین، با عدم قطعیتی از شکل $1^\infty$ روبرو هستیم که با استفاده از محدودیت قابل توجه دوم آن را آشکار خواهیم کرد:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\راست)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\راست)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\راست)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

پاسخ: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.