چرا نمی توانند قضیه فرما را اثبات کنند؟ افشا کنیم! آیا آخرین قضیه فرما ثابت شده است؟ کاری از شیمورا و تانیاما

از آنجایی که تعداد کمی از مردم بر تفکر ریاضی تسلط دارند، من در مورد بزرگترین کشف علمی - اثبات ابتدایی آخرین قضیه فرما - به قابل فهم ترین زبان مدرسه صحبت خواهم کرد.

اثبات برای یک مورد خاص (برای یک درجه ساده n>2) یافت شد که (و به مورد n=4) همه موارد با n مرکب را می توان به راحتی به آن تقلیل داد.

بنابراین، باید ثابت کنیم که معادله A^n=C^n-B^n هیچ جوابی در اعداد صحیح ندارد. (در اینجا نماد ^ به معنای درجه است.)

اثبات در یک سیستم اعداد با پایه ساده n انجام می شود. در این حالت، آخرین رقم در هر جدول ضرب تکرار نمی شود. در سیستم اعشاری معمول، وضعیت متفاوت است. به عنوان مثال، هنگام ضرب عدد 2 در 1 و 6، هر دو حاصل - 2 و 12 - به یک رقم ختم می شوند (2). و به عنوان مثال، در سیستم هفتگی برای عدد 2، تمام ارقام آخر متفاوت هستند: 0x2=...0، 1x2=...2، 2x2=...4، 3x2=...6، 4x2. =...1، 5x2=...3، 6x2=...5، با مجموعه ای از رقم های آخر 0، 2، 4، 6، 1، 3، 5.

با تشکر از این خاصیت، برای هر عدد A که به صفر ختم نمی شود (و در برابری فرما، آخرین رقم اعداد A، یا B، پس از تقسیم تساوی بر مقسوم علیه مشترک اعداد A، B، C نمی باشد. برابر با صفر)، می توان یک عامل g را انتخاب کرد، به طوری که عدد Ag یک پایان دلخواه به شکل 000...001 داشته باشد. در این عدد g است که همه اعداد پایه A، B، C را در برابری فرما ضرب می کنیم. در این حالت، یک واحد را که انتهای آن کاملاً طولانی است، یعنی دو رقم بلندتر از عدد (k) صفرهای انتهای عدد U=A+B-C می‌سازیم.

عدد U برابر با صفر نیست - در غیر این صورت C=A+B و A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

این در واقع همه آماده سازی برابری فرما برای یک مطالعه مختصر و نهایی است. تنها کاری که ما انجام خواهیم داد این است که سمت راست برابری فرما - C^n-B^n - را با استفاده از فرمول تجزیه مدرسه بازنویسی کنیم: C^n-B^n=(C-B)P یا aP. و از آنجایی که در ادامه ما فقط با ارقام انتهای رقمی (k+2) اعداد A، B، C عمل می کنیم (ضرب و جمع می کنیم)، پس نمی توانیم قسمت های اصلی آنها را در نظر بگیریم و به سادگی آنها را کنار بگذاریم (ترک تنها یک واقعیت در حافظه وجود دارد: سمت چپ برابری فرما یک قدرت است).

تنها چیزی که قابل ذکر است آخرین ارقام اعداد a و P است. در برابری اصلی فرما، عدد P به عدد 1 ختم می‌شود. و بعد از ضرب تساوی فرما در عدد g^n عدد P در عدد g ضرب می شود و به توان n-1 می رسد که طبق قضیه کوچک فرما نیز به عدد 1 ختم می شود. پس در معادل جدید تساوی فرما. ، عدد P به 1 ختم می شود. و اگر A به 1 ختم شود، A^n نیز به 1 ختم می شود و بنابراین، عدد a نیز به 1 ختم می شود.

بنابراین، ما یک وضعیت شروع داریم: آخرین رقم های A، a، P از اعداد A، a، P به عدد 1 ختم می شوند.

خوب، سپس یک عملیات زیبا و جذاب شروع می شود، که ترجیحاً "آسیاب" نامیده می شود: با در نظر گرفتن اعداد بعدی a"، a""" و غیره، اعداد a، ما بسیار "به راحتی" محاسبه می کنیم که همه آنها هستند. همچنین کلمه "آسان" را در نقل قول ها قرار دادم، زیرا بشریت نتوانست کلید این "آسان" را برای 350 سال پیدا کند و این کلید واقعاً به طور غیرمنتظره و تکان دهنده ای بدوی بود: عدد P باید در آن نمایش داده شود! شکل P=q^(n-1)+Qn ^(k+2) در این مجموع نباید به جمله دوم توجه کرد - بالاخره در اثبات بعدی ما تمام اعداد بعد از (k) را کنار گذاشتیم. 2)th در اعداد (و این به طور اساسی تجزیه و تحلیل را ساده می کند) بنابراین پس از دور انداختن اعداد سر، تساوی فرما شکل می گیرد: ...1=aq^(n-1)، که در آن a و q اعداد نیستند! ، اما فقط انتهای اعداد a و q!

آخرین سوال فلسفی باقی می ماند: چرا عدد P را می توان به صورت P=q^(n-1)+Qn^(k+2) نشان داد؟ پاسخ ساده است: زیرا هر عدد صحیح P با 1 در انتها می تواند به این شکل و به طور یکسان نمایش داده شود. (این را می توان به روش های دیگر نشان داد، اما ما به آن نیاز نداریم.) در واقع، برای P=1 پاسخ واضح است: P=1^(n-1). برای Р=hn+1، عدد q=(n-h)n+1، که با حل معادله [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 با استفاده از دو رقمی آسان است، تأیید می شود. پایان ها و به همین ترتیب (اما ما به محاسبات بیشتری نیاز نداریم، زیرا فقط باید اعدادی به شکل P=1+Qn^t را نشان دهیم).

اوه! خوب، فلسفه به پایان رسیده است، می توانید به محاسبات در سطح کلاس دوم بروید، شاید فقط یک بار دیگر فرمول دو جمله ای نیوتن را به خاطر بسپارید.

بنابراین، اجازه دهید عدد a"" را معرفی کنیم (در عدد a=a""n+1) و از آن برای محاسبه عدد q"" استفاده کنیم (در عدد q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1)، یا...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ]، از آنجا q""=a"".

و اکنون سمت راست برابری فرما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2)، که در آن مقدار عدد D برای ما جالب نیست.

حالا به نتیجه قاطع می رسیم. عدد a""n+1 پایان دو رقمی عدد A است و بنابراین، طبق یک لم ساده، رقم سوم درجه A^n را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. و علاوه بر این، از بسط دوجمله ای نیوتن
(a""n+1)^n، با در نظر گرفتن اینکه به هر ترم انبساط (به جز مورد اول که نمی تواند آب و هوا را تغییر دهد!) یک ضریب ساده n (مبنای عدد!) اضافه می شود، واضح است. که این رقم سوم برابر با "" است. اما با ضرب برابری فرما در g^n، k+1 رقم قبل از 1 آخر عدد A را به 0 تبدیل کردیم و بنابراین، a""=0!!!

بنابراین، چرخه را کامل کردیم: با وارد کردن a"، متوجه شدیم که q""=a"، و در نهایت a""=0!

خوب، باید بگوییم که پس از انجام محاسبات کاملاً مشابه و k ارقام بعدی، تساوی نهایی را به دست می آوریم: پایان (k + 2) رقمی عدد a یا C-B، درست مانند عدد A، برابر است. به 1. اما پس از آن رقم (k+2)ام عدد C-A-B برابر با صفر است در حالی که برابر با صفر نیست!!!

این، در واقع، تمام اثبات است. برای درک آن، داشتن تحصیلات عالی و به خصوص ریاضیدان حرفه ای بودن اصلاً ضروری نیست. اما حرفه ای ها سکوت می کنند...

متن قابل خواندن اثبات کامل در اینجا قرار دارد:

بررسی ها

سلام، ویکتور. من از رزومه شما خوشم آمد البته "اجازه نده قبل از مرگ بمیری" عالی به نظر می رسد. صادقانه بگویم، از برخوردم با قضیه فرما در نثر متحیر شدم! آیا او به اینجا تعلق دارد؟ سایت های علمی، عامه پسند و قوری وجود دارد. در غیر این صورت از شما بابت کار ادبی شما سپاسگزارم.
با احترام، آنیا.

آنیا عزیز، با وجود سانسور نسبتاً شدید، نثر به شما اجازه می دهد در مورد همه چیز بنویسید. وضعیت قضیه فرما به این صورت است: انجمن‌های بزرگ ریاضی با فرماتییست‌ها خشن و بی ادبانه برخورد می‌کنند و به طور کلی با آنها به بهترین شکل ممکن رفتار می‌کنند. با این حال، من آخرین نسخه اثبات را در انجمن های کوچک روسی، انگلیسی و فرانسوی ارائه کردم. هیچ کس هنوز هیچ استدلال متقابلی ارائه نکرده است، و من مطمئن هستم که هیچ کس هم هیچ استدلالی ارائه نخواهد کرد (شواهد با دقت بررسی شده است). روز شنبه یک یادداشت فلسفی در مورد قضیه منتشر خواهم کرد.
در نثر تقریباً هیچ خرواری وجود ندارد، و اگر با آنها سر و کار نداشته باشید، به زودی آنها از بین خواهند رفت.
تقریباً همه آثار من روی نثر ارائه شده است، بنابراین من اثبات را نیز در اینجا قرار دادم.
بعدا میبینمت،

افراد زیادی در جهان وجود ندارند که هرگز درباره آخرین قضیه فرما نشنیده باشند - شاید این تنها مسئله ریاضی است که به طور گسترده شناخته شده است و به یک افسانه واقعی تبدیل شده است. در بسیاری از کتاب ها و فیلم ها به آن اشاره شده است و زمینه اصلی تقریباً همه ذکرها، عدم امکان اثبات قضیه است.

بله، این قضیه بسیار شناخته شده است و به تعبیری تبدیل به یک «بت» شده است که توسط ریاضیدانان آماتور و حرفه ای پرستش می شود، اما تعداد کمی از مردم می دانند که اثبات آن پیدا شده است و این اتفاق در سال 1995 رخ داد. اما اول از همه.

بنابراین، آخرین قضیه فرما (که اغلب به عنوان آخرین قضیه فرما نامیده می شود)، که در سال 1637 توسط ریاضیدان برجسته فرانسوی پیر فرما فرموله شد، در اصل بسیار ساده است و برای هر کسی که تحصیلات متوسطه دارد قابل درک است. می گوید که فرمول a به توان n + b به توان n = c به توان n راه حل های طبیعی (یعنی نه کسری) برای n > 2 ندارد. همه چیز ساده و واضح به نظر می رسد، اما بهترین ریاضیدانان و آماتورهای معمولی بیش از سه قرن و نیم با جستجوی راه حل مبارزه کردند.

چرا او اینقدر معروف است؟ حالا ما متوجه می شویم ...

آیا بسیاری از قضایای اثبات شده، اثبات نشده و هنوز اثبات نشده وجود دارد؟ نکته اینجاست که آخرین قضیه فرما نشان دهنده بزرگترین تضاد بین سادگی فرمول و پیچیدگی اثبات است. آخرین قضیه فرما یک مسئله فوق‌العاده دشوار است، و با این حال، فرمول‌بندی آن برای هر کسی که کلاس پنجم دبیرستان دارد قابل درک است، اما حتی هر ریاضیدان حرفه‌ای نمی‌تواند اثبات آن را درک کند. نه در فیزیک، نه در شیمی، نه در زیست شناسی و نه در ریاضیات، هیچ مسئله ای وجود ندارد که بتوان آن را به این سادگی فرموله کرد، اما برای مدت طولانی حل نشده باقی ماند. 2. از چه چیزی تشکیل شده است؟

بیایید با شلوار فیثاغورثی شروع کنیم جمله بندی واقعاً ساده است - در نگاه اول. همانطور که از دوران کودکی می دانیم، "شلوار فیثاغورثی از همه طرف برابر است." مسئله بسیار ساده به نظر می رسد زیرا بر اساس یک گزاره ریاضی است که همه می دانند - قضیه فیثاغورث: در هر مثلث قائم الزاویه، مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاها.

در قرن پنجم قبل از میلاد. فیثاغورث برادری فیثاغورثی را تأسیس کرد. فیثاغورثی‌ها، در میان چیزهای دیگر، سه‌قلوهای صحیح را که برابری x2+y²=z2 را برآورده می‌کردند، مطالعه کردند. آنها ثابت کردند که بی نهایت سه گانه فیثاغورثی وجود دارد و فرمول های کلی برای یافتن آنها به دست آوردند. احتمالاً سعی کرده اند به دنبال درجه های C و بالاتر بگردند. فیثاغورثی ها که متقاعد شده بودند که این کار موثر نبود، تلاش های بیهوده خود را کنار گذاشتند. اعضای اخوان بیشتر فیلسوف و زیباشناس بودند تا ریاضیدان.

یعنی انتخاب مجموعه‌ای از اعداد که تساوی x²+y²=z² را کاملاً برآورده می‌کنند آسان است.

شروع از 3، 4، 5 - در واقع، یک دانش آموز جوان می داند که 9 + 16 = 25.

یا 5، 12، 13: 25 + 144 = 169. عالی است.

بنابراین، معلوم می شود که آنها نیستند. اینجاست که ترفند شروع می شود. سادگی ظاهری است، زیرا اثبات وجود چیزی، بلکه برعکس، عدم وجود آن دشوار است. وقتی نیاز به اثبات وجود راه حل دارید، می توانید و باید به سادگی این راه حل را ارائه دهید.

اثبات غیبت دشوارتر است: مثلاً یکی می گوید: فلان معادله راه حل ندارد. او را در یک گودال بریزیم؟ آسان: بام - و اینجاست، راه حل! (راه حل بدهید). و بس، حریف شکست خورده است. چگونه غیبت را ثابت کنیم؟

بگویید: "من چنین راه حل هایی پیدا نکرده ام"؟ یا شاید خوب به نظر نمی رسید؟ اگر آنها وجود داشته باشند، فقط بسیار بزرگ، بسیار بزرگ، به طوری که حتی یک کامپیوتر فوق قدرتمند هنوز قدرت کافی را نداشته باشد، چه؟ این چیزی است که سخت است.

این را می توان به صورت بصری به این صورت نشان داد: اگر دو مربع با اندازه های مناسب را بردارید و آنها را به مربع های واحد جدا کنید، از این دسته از مربع های واحد یک مربع سوم به دست می آید (شکل 2):


اما بیایید همین کار را با بعد سوم انجام دهیم (شکل 3) - کار نمی کند. مکعب های کافی وجود ندارد، یا مکعب های اضافی باقی مانده است:

اما ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم، پیر دو فرما، با اشتیاق معادله کلی x n + y n = z n را مطالعه کرد. و در نهایت نتیجه گرفتم: برای n>2 هیچ راه حل عدد صحیحی وجود ندارد. اثبات فرما به طور جبران ناپذیری گم شده است. دست نوشته ها می سوزند! تنها چیزی که باقی می‌ماند اظهارات او در حساب دیوفانتوس است: «من یک مدرک واقعا شگفت‌انگیز برای این گزاره پیدا کرده‌ام، اما حاشیه‌ها در اینجا بسیار محدود هستند که نمی‌توان آن را دربر گرفت».

در واقع به قضیه ای بدون اثبات، فرضیه می گویند. اما فرما به این شهرت دارد که هرگز اشتباه نمی کند. حتی اگر او مدرکی دال بر بیانیه ای باقی نگذاشته بود، متعاقباً تأیید شد. علاوه بر این، فرما تز خود را برای n=4 ثابت کرد. بنابراین، فرضیه ریاضیدان فرانسوی به عنوان آخرین قضیه فرما در تاریخ ثبت شد.

پس از فرما، ذهن های بزرگی مانند لئونارد اویلر در جستجوی یک دلیل کار کردند (در سال 1770 او راه حلی برای n = 3 پیشنهاد کرد).

آدرین لژاندر و یوهان دیریکله (این دانشمندان به طور مشترک برای n = 5 در سال 1825 اثبات کردند)، گابریل لام (که اثبات n = 7 را یافت) و بسیاری دیگر. در اواسط دهه 80 قرن گذشته، مشخص شد که دنیای علمی در راه حل نهایی آخرین قضیه فرما است، اما تنها در سال 1993 ریاضیدانان دیدند و باور کردند که حماسه سه قرنی جستجو برای اثبات آخرین قضیه فرما عملا به پایان رسیده بود.

به راحتی نشان داده می شود که اثبات قضیه فرما فقط برای n های ساده کافی است: 3، 5، 7، 11، 13، 17، ... برای n مرکب، اثبات معتبر باقی می ماند. اما اعداد اول بی نهایت زیاد هستند...

در سال 1825، با استفاده از روش سوفی ژرمن، ریاضیدانان زن، دیریکله و لژاندر به طور مستقل قضیه n=5 را اثبات کردند. در سال 1839، گابریل لام فرانسوی با استفاده از همین روش، صحت قضیه را برای n=7 نشان داد. به تدریج این قضیه تقریباً برای همه n کمتر از صد ثابت شد.

سرانجام، ارنست کومر، ریاضیدان آلمانی، در مطالعه ای درخشان نشان داد که این قضیه به طور کلی با استفاده از روش های ریاضیات قرن نوزدهم قابل اثبات نیست. جایزه آکادمی علوم فرانسه، که در سال 1847 برای اثبات قضیه فرما تأسیس شد، بدون اعطا باقی ماند.

در سال 1907، پل ولفسکهل، صنعتگر ثروتمند آلمانی، به دلیل عشق نافرجام تصمیم گرفت جان خود را بگیرد. او مانند یک آلمانی واقعی، تاریخ و زمان خودکشی را تعیین کرد: دقیقاً نیمه شب. روز آخر وصیت کرد و به دوستان و نزدیکان نامه نوشت. همه چیز قبل از نیمه شب تمام شد. باید گفت که پل به ریاضیات علاقه داشت. بدون اینکه کاری انجام دهد، به کتابخانه رفت و شروع به خواندن مقاله معروف کومر کرد. ناگهان به نظرش رسید که کومر در استدلال خود اشتباه کرده است. ولفسکل با مدادی در دست شروع به تحلیل این قسمت از مقاله کرد. نیمه شب گذشت، صبح فرا رسید. شکاف در اثبات پر شده است. و دلیل خودکشی اکنون کاملاً مضحک به نظر می رسید. پولس نامه های خداحافظی خود را پاره کرد و وصیت نامه خود را بازنویسی کرد.

او خیلی زود به مرگ طبیعی درگذشت. وارثان کاملاً شگفت زده شدند: 100000 مارک (بیش از 1000000 پوند استرلینگ فعلی) به حساب انجمن علمی سلطنتی گوتینگن واریز شد که در همان سال مسابقه ای را برای جایزه Wolfskehl اعلام کرد. 100000 نمره به کسی که قضیه فرما را ثابت کرد تعلق گرفت. برای رد این قضیه هیچ پنیگی تعلق نگرفت...

اکثر ریاضیدانان حرفه ای جستجو برای اثبات آخرین قضیه فرما را کاری ناامیدکننده می دانستند و قاطعانه از اتلاف وقت برای چنین تمرین بی فایده ای خودداری می کردند. اما آماتورها یک انفجار داشتند. چند هفته پس از اعلام این خبر، بهمنی از "شواهد" به دانشگاه گوتینگن رسید. پروفسور E.M. Landau که مسئولیتش تجزیه و تحلیل شواهد ارسال شده بود، کارتهایی را بین دانشجویانش توزیع کرد:

عزیز. . . . . . . .

از اینکه نسخه خطی را همراه با اثبات آخرین قضیه فرما برای من ارسال کردید متشکرم. اولین خطا در صفحه ... در ردیف... . به همین دلیل، کل اثبات اعتبار خود را از دست می دهد.
پروفسور E. M. Landau

در سال 1963 پل کوهن با تکیه بر یافته های گودل حل نشدنی یکی از بیست و سه مسئله هیلبرت - فرضیه پیوستگی - را ثابت کرد. چه می شود اگر آخرین قضیه فرما نیز غیرقابل تصمیم گیری باشد؟! اما متعصبان واقعی قضیه بزرگ اصلاً ناامید نشدند. ظهور کامپیوترها به طور ناگهانی روش جدیدی را برای اثبات به ریاضیدانان داد. پس از جنگ جهانی دوم، تیم هایی از برنامه نویسان و ریاضیدانان آخرین قضیه فرما را برای تمام مقادیر n تا 500، سپس تا 1000 و بعداً تا 10000 اثبات کردند.

در دهه 1980، ساموئل واگستاف حد مجاز را به 25000 رساند و در دهه 1990، ریاضیدانان اعلام کردند که آخرین قضیه فرما برای تمام مقادیر n تا 4 میلیون صادق است. اما اگر حتی یک تریلیون تریلیون را از بی نهایت کم کنید، کوچکتر نمی شود. ریاضیدانان با آمار قانع نمی شوند. برای اثبات قضیه بزرگ به معنای اثبات آن برای همه n رفتن به بی نهایت بود.

در سال 1954، دو دوست جوان ریاضیدان ژاپنی شروع به تحقیق در مورد فرم های مدولار کردند. این فرم‌ها مجموعه‌ای از اعداد را تولید می‌کنند که هر کدام سری خاص خود را دارند. به طور تصادفی، تانیاما این سریال ها را با سریال های تولید شده توسط معادلات بیضی مقایسه کرد. مطابقت داشتند! اما اشکال مدولار اجسام هندسی هستند و معادلات بیضوی جبری هستند. هیچ ارتباطی بین چنین اشیاء متفاوتی پیدا نشده است.

با این حال، پس از آزمایش دقیق، دوستان یک فرضیه را مطرح کردند: هر معادله بیضی دارای یک دوقلو است - یک شکل مدولار، و بالعکس. این فرضیه بود که پایه و اساس یک جهت کامل در ریاضیات شد، اما تا زمانی که فرضیه تانیاما-شیمورا ثابت نشد، کل ساختمان هر لحظه ممکن بود فرو بریزد.

در سال 1984، گرهارد فری نشان داد که راه حل معادله فرما، در صورت وجود، می تواند در برخی از معادله های بیضوی گنجانده شود. دو سال بعد، پروفسور کن ریبت ثابت کرد که این معادله فرضی نمی تواند مشابهی در دنیای مدولار داشته باشد. از این به بعد، آخرین قضیه فرما با حدس تانیاما-شیمورا پیوند ناگسستنی داشت. پس از اثبات مدولار بودن هر منحنی بیضوی، نتیجه می گیریم که معادله بیضوی با جواب معادله فرما وجود ندارد و آخرین قضیه فرما بلافاصله اثبات می شود. اما تا سی سال امکان اثبات فرضیه تانیاما-شیمورا وجود نداشت و امید به موفقیت کمتر و کمتر می شد.

اندرو وایلز در سال 1963، زمانی که تنها ده سال داشت، شیفته ریاضیات بود. هنگامی که او در مورد قضیه بزرگ مطلع شد، متوجه شد که نمی تواند از آن دست بکشد. به عنوان یک دانش آموز، دانش آموز و دانش آموز، خود را برای این کار آماده کرد.

وایلز پس از اطلاع از یافته های کن ریبت، با سرسختی در اثبات فرضیه تانیاما-شیمورا غوطه ور شد. او تصمیم گرفت در انزوا و مخفیانه کامل کار کند. "من متوجه شدم که هر چیزی که با آخرین قضیه فرما ربطی داشته باشد، علاقه زیادی را برمی انگیزد... واضح است که تعداد زیادی از تماشاگران در دستیابی به هدف دخالت می کنند." هفت سال کار سخت نتیجه داد، وایلز سرانجام اثبات حدس تانیاما-شیمورا را تکمیل کرد.

در سال 1993، اندرو وایلز، ریاضیدان انگلیسی، اثبات آخرین قضیه فرما را به جهانیان ارائه کرد (وایلز مقاله هیجان انگیز خود را در کنفرانسی در مؤسسه سر آیزاک نیوتن در کمبریج خواند.)، کاری که بیش از هفت سال طول کشید.

در حالی که تبلیغات در مطبوعات ادامه داشت، کار جدی برای تأیید شواهد آغاز شد. قبل از اینکه شواهد دقیق و دقیق در نظر گرفته شوند، باید هر مدرکی را به دقت بررسی کرد. وایلز تابستان بی قراری را در انتظار بازخورد داوران گذراند، به این امید که بتواند تایید آنها را جلب کند. در پایان ماه اوت، کارشناسان این قضاوت را به اندازه کافی اثبات نکردند.

معلوم شد که این تصمیم حاوی یک خطای فاحش است، اگرچه به طور کلی صحیح است. وایلز تسلیم نشد و از متخصص مشهور نظریه اعداد ریچارد تیلور کمک گرفت و قبلاً در سال 1994 اثبات تصحیح شده و بسط قضیه را منتشر کردند. شگفت انگیزترین چیز این است که این کار 130 (!) صفحه در مجله ریاضی "Annals of Mathematics" را اشغال کرده است. اما داستان به همین جا ختم نشد - به نقطه نهایی فقط در سال بعد، 1995 رسید، زمانی که نسخه نهایی و "ایده آل"، از نظر ریاضی، نسخه اثبات منتشر شد.

«...نیم دقیقه بعد از شروع شام جشن به مناسبت تولدش، دستنوشته اثبات کامل را به نادیا تقدیم کردم» (اندرو ولز). آیا هنوز نگفته ام که ریاضیدانان آدم های عجیبی هستند؟

این بار هیچ شکی در شواهد وجود نداشت. دو مقاله تحت دقیق ترین تجزیه و تحلیل قرار گرفتند و در ماه مه 1995 در Annals of Mathematics منتشر شدند.

زمان زیادی از آن لحظه گذشته است، اما هنوز این عقیده در جامعه وجود دارد که آخرین قضیه فرما حل‌ناپذیر است. اما حتی کسانی که در مورد اثبات یافت شده می دانند به کار خود در این جهت ادامه می دهند - تعداد کمی از آنها راضی هستند که قضیه بزرگ به یک راه حل 130 صفحه ای نیاز دارد!

بنابراین، اکنون تلاش بسیاری از ریاضیدانان (عمدتاً آماتور، نه دانشمندان حرفه ای) در جستجوی یک اثبات ساده و مختصر است، اما این راه، به احتمال زیاد، به جایی نخواهد رسید...

منبع

بنابراین، آخرین قضیه فرما (که اغلب آن را آخرین قضیه فرما می نامند)، که در سال 1637 توسط ریاضیدان برجسته فرانسوی پیر فرما فرموله شد، ماهیت بسیار ساده ای دارد و برای هرکسی که تحصیلات متوسطه دارد قابل درک است. می گوید که فرمول a به توان n + b به توان n = c به توان n راه حل های طبیعی (یعنی نه کسری) برای n > 2 ندارد. همه چیز ساده و واضح به نظر می رسد، اما بهترین ریاضیدانان و آماتورهای معمولی بیش از سه قرن و نیم با جستجوی راه حل مبارزه کردند.

اخبار علم و فناوری

UDC 51:37; 517.958

A.V. کونوکو، دکتری.

آکادمی خدمات آتش نشانی دولتی وزارت موقعیت های اضطراری روسیه قضیه بزرگ FERMA ثابت شده است. یا نه؟

برای چندین قرن، ثابت نشد که معادله xn+yn=zn برای n>2 در اعداد گویا و بنابراین در اعداد صحیح غیرقابل حل است. این مشکل تحت نویسندگی وکیل فرانسوی پیر فرما، که در همان زمان به طور حرفه ای در ریاضیات مشغول بود، متولد شد. تصمیم او به معلم ریاضیات آمریکایی اندرو وایلز نسبت داده می شود. این شناخت از سال 1993 تا 1995 ادامه داشت.

قضیه فرمای بزرگ اثبات شده است یا خیر؟

تاریخچه نمایشی اثبات آخرین قضیه فرما در نظر گرفته شده است. تقریباً چهارصد سال طول کشید. پیر فرما کمی نوشت. او به سبک فشرده نوشت. علاوه بر این او تحقیقات خود را منتشر نکرد. این بیانیه که معادله xn+yn=zn غیرقابل حل است. در مورد مجموعه اعداد گویا و اعداد صحیح اگر n>2 توسط تفسیر فرما حضور داشت که او واقعاً اثبات قابل توجهی برای این جمله یافته است. با این اثبات به اولاد نمی رسید. بعدها این بیانیه آخرین قضیه فرما نامیده شد. بهترین ریاضیدانان جهان این قضیه را بدون نتیجه شکستند. در دهه هفتاد، ریاضیدان فرانسوی عضو آکادمی علوم پاریس، آندره ویل رویکردهای جدیدی برای حل ارائه کرد. در 23 ژوئن، در سال 1993، در کنفرانس تئوری اعداد در کمبریج، ریاضیدان دانشگاه پرینستون، اندرو درحالیکه اعلام کرد که اثبات آخرین قضیه فرما تکمیل شده است. با این حال برای پیروزی زود بود.

در سال 1621، نویسنده فرانسوی و عاشق ریاضیات، کلود گاسپارد باشه دی مزریاک، رساله یونانی "حساب" دیوفانتوس را با ترجمه و تفسیر لاتین منتشر کرد. کتاب مجلل «حساب» با حاشیه‌های غیرمعمول گسترده به دست فرما بیست ساله افتاد و سال‌ها به کتاب مرجع او تبدیل شد. او در حاشیه آن 48 یادداشت حاوی حقایقی که در مورد خواص اعداد کشف کرده بود، به جای گذاشت. در اینجا، در حاشیه «حساب»، قضیه بزرگ فرما فرموله شد: «تجزیه یک مکعب به دو مکعب یا یک دوتایی به دو دوتایی، یا به طور کلی توانی بیشتر از دو به دو توان با یک توان غیرممکن است. من یک مدرک واقعا شگفت انگیز برای این موضوع پیدا کردم که به دلیل کمبود فضا نمی تواند در این زمینه ها جای بگیرد." به هر حال، در لاتین به این صورت است: «Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”

ریاضیدان بزرگ فرانسوی پیر فرما (1601-1665) روشی را برای تعیین مساحت ها و حجم ها ایجاد کرد و روش جدیدی از مماس ها و مادون ها ایجاد کرد. او همراه با دکارت خالق هندسه تحلیلی شد، همراه با پاسکال در خاستگاه نظریه احتمال ایستاد، در زمینه روش بی نهایت کوچک قاعده کلی تمایز را ارائه کرد و به صورت کلی قاعده ادغام یک را ثابت کرد. تابع قدرت... اما، از همه مهمتر، یکی از مهم ترین داستان های اسرارآمیز و دراماتیکی که ریاضیات را تا به حال شوکه کرده است - داستان اثبات آخرین قضیه فرما. حال این قضیه در قالب یک جمله ساده بیان می شود: معادله xn + yn = zn برای n>2 در اعداد گویا و بنابراین در اعداد صحیح غیرقابل حل است. به هر حال، برای مورد n = 3، ریاضیدان آسیای مرکزی الخجندی سعی کرد این قضیه را در قرن دهم ثابت کند، اما اثبات او باقی نماند.

پیر فرما که اهل جنوب فرانسه بود، تحصیلات حقوقی گرفت و از سال 1631 به عنوان مشاور پارلمان شهر تولوز (یعنی بالاترین دادگاه) خدمت کرد. پس از یک روز کاری در داخل دیوارهای مجلس، او ریاضیات را آغاز کرد و بلافاصله وارد دنیایی کاملاً متفاوت شد. پول، اعتبار، شناخت عمومی - هیچ کدام از اینها برای او مهم نبود. علم هرگز برای او تبدیل به امرار معاش نشد، به یک صنعت تبدیل نشد و همیشه فقط یک بازی هیجان انگیز ذهن باقی ماند که فقط برای عده کمی قابل درک است. مکاتبات خود را با آنها ادامه داد.

فرما هرگز مقالات علمی به معنای معمول ما ننوشت. و در مکاتبات او با دوستان همیشه چالشی وجود دارد، حتی نوعی تحریک، و به هیچ وجه ارائه آکادمیک مشکل و راه حل آن نیست. به همین دلیل است که بسیاری از نامه‌های او بعداً به عنوان یک چالش شناخته می‌شوند.

شاید دقیقاً به همین دلیل است که او هرگز به قصد خود برای نوشتن مقاله ای خاص در مورد نظریه اعداد پی نبرد. در همین حال، این رشته مورد علاقه او در ریاضیات بود. فرما الهام‌بخش‌ترین خطوط نامه‌هایش را به او تقدیم کرد. او نوشت: «حساب حوزه خاص خود را دارد، نظریه اعداد صحیح، این نظریه فقط کمی توسط اقلیدس مورد توجه قرار گرفت و به اندازه کافی توسط پیروان او توسعه نیافته بود (مگر اینکه در آن آثار دیوفانتوس وجود داشت، که ویرانی های آن وجود داشت. زمان ما را از آن محروم کرده است، بنابراین، حسابداران باید آن را توسعه و تجدید کنند.

چرا خود فرما از اثرات مخرب زمان نمی ترسید؟ او کم و همیشه بسیار مختصر می نوشت. اما مهمتر از همه، او کار خود را منتشر نکرد. در طول زندگی او فقط در نسخه های خطی منتشر می شد. بنابراین جای تعجب نیست که نتایج فرما در مورد نظریه اعداد به صورت پراکنده به ما رسیده است. اما احتمالاً بولگاکف درست می گفت: دست نوشته های بزرگ نمی سوزند! کار فرما باقی می ماند. آنها در نامه های او به دوستان ماندند: معلم ریاضیات لیون، ژاک دو بیلی، کارمند ضرابخانه، برنارد فرنیکل دی بسی، مارسنی، دکارت، بلز پاسکال... آنچه باقی ماند «حساب» دیوفانتوس بود با نظراتش در حاشیه، که پس از مرگ فرما همراه با نظرات باشت در نسخه جدید دیوفانتوس که توسط پسر ارشدش ساموئل در سال 1670 منتشر شد گنجانده شد. فقط خود شواهد باقی نمانده است.

دو سال قبل از مرگش، فرما برای دوستش کارکاوی وصیت نامه ای فرستاد که با عنوان «خلاصه ای از نتایج جدید در علم اعداد» در تاریخ ریاضیات ثبت شد. فرما در این نامه گفته معروف خود را برای مورد n=4 ثابت کرد. اما پس از آن به احتمال زیاد علاقه ای به خود گزاره نداشت، بلکه به روش اثباتی که کشف کرد، که خود فرما آن را تبار نامحدود یا نامعین نامید، علاقه داشت.

دست نوشته ها نمی سوزند اما اگر وقف ساموئل نبود که پس از مرگ پدرش تمام طرح‌های ریاضی و رساله‌های کوچک او را جمع‌آوری کرد و سپس در سال 1679 تحت عنوان «آثار ریاضی متفرقه» منتشر کرد، ریاضی‌دانان دانش‌آموز باید چیزهای زیادی را کشف و دوباره کشف می‌کردند. . اما حتی پس از انتشار آنها، مشکلات مطرح شده توسط ریاضیدان بزرگ برای بیش از هفتاد سال بی حرکت بود. و این تعجب آور نیست. نتایج نظری اعداد P. Fermat به شکلی که به صورت چاپی ظاهر شد، به شکل مشکلات جدی که همیشه برای معاصران واضح نبود، تقریباً بدون اثبات، و نشانه هایی از ارتباطات منطقی داخلی بین آنها، در برابر متخصصان ظاهر شد. شاید در غیاب یک تئوری منسجم و سنجیده، پاسخ این سوال نهفته باشد که چرا خود فرما هرگز تصمیم به انتشار کتابی در مورد نظریه اعداد نگرفت. هفتاد سال بعد ال اویلر به این آثار علاقه مند شد و این واقعا دومین تولد آنها بود...

ریاضیات هزینه گزافی را برای شیوه عجیب و غریب فرما در ارائه نتایج خود پرداخت، گویی به عمد از اثبات خود حذف شده است. اما اگر فرما ادعا می کرد که این یا آن قضیه را ثابت کرده است، پس این قضیه متعاقباً ثابت می شود. با این حال، مشکلی با قضیه بزرگ وجود داشت.

یک رمز و راز همیشه تخیل را تحریک می کند. تمام قاره ها توسط لبخند مرموز جوکوندا فتح شدند. نظریه نسبیت، به عنوان کلید رمز و راز ارتباطات فضا-زمان، به محبوب ترین نظریه فیزیکی قرن تبدیل شده است. و به جرات می توان گفت که هیچ مشکل ریاضی دیگری به اندازه ی ___93 محبوب نبود.

مشکلات علمی و آموزشی حفاظت مدنی

قضیه فرما چیست؟ تلاش‌ها برای اثبات آن منجر به ایجاد شاخه گسترده‌ای از ریاضیات شد - نظریه اعداد جبری، اما (افسوس!) خود این قضیه ثابت نشد. در سال 1908، ولفسکهل، ریاضیدان آلمانی، 100000 مارک به هر کسی که بتواند قضیه فرما را اثبات کند، وصیت کرد. این مبلغ برای آن زمان ها بسیار زیاد بود! در یک لحظه می توانید نه تنها مشهور شوید، بلکه به طرز شگفت انگیزی ثروتمند شوید! بنابراین تعجب آور نیست که دانش آموزان دبیرستانی حتی در روسیه، دور از آلمان، که با یکدیگر رقابت می کردند، برای اثبات قضیه بزرگ عجله کردند. در مورد ریاضیدانان حرفه ای چه بگوییم! اما بیهوده! پس از جنگ جهانی اول، پول بی ارزش شد و جریان نامه ها با شواهد شبه شروع به خشک شدن کرد، هرچند که البته هرگز متوقف نشد. آنها می گویند که ادموند لاندو، ریاضیدان مشهور آلمانی، فرم های چاپی را برای ارسال به نویسندگان اثبات قضیه فرما آماده کرد: "در صفحه ...، در ردیف ... خطایی وجود دارد." (دستیار وظیفه یافتن خطا را بر عهده داشت.) در اثبات این قضیه آنقدر موارد عجیب و غریب و حکایتی وجود داشت که می توان از آنها کتابی تهیه کرد. آخرین حکایت، داستان کارآگاهی A. Marinina "تصادف شرایط" است که در ژانویه 2000 فیلمبرداری و در صفحه های تلویزیونی کشور نمایش داده شد. در آن، هموطن ما قضیه ای را اثبات می کند که توسط همه پیشینیان بزرگش اثبات نشده است و برای آن مدعی جایزه نوبل می شود. همانطور که می دانید، مخترع دینامیت ریاضیدانان را در وصیت نامه خود نادیده گرفت، بنابراین نویسنده اثبات فقط می توانست مدال طلای فیلدز، بالاترین جایزه بین المللی را که توسط خود ریاضیدانان در سال 1936 تایید شده بود، دریافت کند.

در کار کلاسیک ریاضیدان برجسته روسی A.Ya. خینچین، که به قضیه بزرگ فرما اختصاص دارد، اطلاعاتی در مورد تاریخچه این مسئله ارائه می دهد و به روشی که فرما می توانست برای اثبات قضیه خود استفاده کند، توجه می کند. اثباتی برای مورد n = 4 و بررسی مختصری از نتایج مهم دیگر ارائه شده است.

اما زمانی که داستان کارآگاهی نوشته شد، و حتی بیشتر از آن در زمان فیلمبرداری، اثبات کلی قضیه قبلاً پیدا شده بود. در 23 ژوئن 1993، در کنفرانسی در مورد نظریه اعداد در کمبریج، اندرو وایلز ریاضیدان پرینستون اعلام کرد که آخرین قضیه فرما ثابت شده است. اما نه آنطور که خود فرما "قول داده بود". مسیری که اندرو وایلز طی کرد بر اساس روش های ریاضیات ابتدایی نبود. او به اصطلاح نظریه منحنی های بیضوی را مطالعه کرد.

برای به دست آوردن ایده ای از منحنی های بیضوی، باید منحنی صفحه ای را در نظر بگیرید که با یک معادله درجه سوم تعریف شده است.

Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)

تمام این منحنی ها به دو دسته تقسیم می شوند. دسته اول شامل آن دسته از منحنی هایی است که دارای نقاط تیز هستند (مانند سهمی نیمه مکعبی y2 = a2-X با نقطه تیز (0; 0))، نقاط خود تقاطع (مانند ورق دکارتی x3+y3-3axy = 0). ، در نقطه (0; 0))، و همچنین منحنی هایی که چند جمله ای Dx,y) به شکل نشان داده شده است.

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

که در آن ^(x,y) و ^(x,y) چند جمله ای با درجات پایین تر هستند. منحنی های این کلاس را منحنی های منحط درجه سوم می نامند. دسته دوم منحنی ها توسط منحنی های غیر انحطاط تشکیل می شوند. ما آنها را بیضوی می نامیم. اینها ممکن است به عنوان مثال، Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0 باشد. اگر ضرایب چند جمله ای (1) اعداد گویا باشند، منحنی بیضوی را می توان به شکل به اصطلاح متعارف تبدیل کرد.

y2= x3 + تبر + b. (2)

در سال 1955، ریاضیدان ژاپنی Y.Taniyama (1927-1958)، در چارچوب نظریه منحنی های بیضوی، موفق به تدوین فرضیه ای شد که راه را برای اثبات قضیه فرما باز کرد. اما نه خود تانیاما و نه همکارانش در آن زمان به این موضوع مشکوک نبودند. برای تقریباً بیست سال این فرضیه توجه جدی را به خود جلب نکرد و تنها در اواسط دهه 70 محبوبیت یافت. طبق حدس تانیاما، هر بیضوی

منحنی با ضرایب منطقی مدولار است. با این حال، تا کنون فرمول بندی فرضیه چیز کمی به خواننده دقیق می گوید. بنابراین، برخی از تعاریف مورد نیاز خواهد بود.

هر منحنی بیضی را می توان با یک مشخصه عددی مهم مرتبط دانست - متمایز کننده آن. برای منحنی داده شده به شکل متعارف (2)، ممیز A با فرمول تعیین می شود

A = -(4a + 27b2).

فرض کنید E مقداری منحنی بیضوی باشد که با رابطه (2)، که در آن a و b اعداد صحیح هستند.

برای عدد اول p، مقایسه را در نظر بگیرید

y2 = x3 + تبر + b(mod p)، (3)

که در آن a و b باقیمانده های حاصل از تقسیم اعداد صحیح a و b بر p هستند، و اجازه دهید تعداد راه حل های این مقایسه را با np نشان دهیم. اعداد pr در بررسی مسئله حل پذیری معادلات شکل (2) در اعداد صحیح بسیار مفید هستند: اگر مقداری pr برابر با صفر باشد، معادله (2) هیچ جواب عدد صحیحی ندارد. با این حال، محاسبه اعداد فقط در موارد نادر امکان پذیر است. (در عین حال مشخص است که р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

اجازه دهید آن اعداد اول p را در نظر بگیریم که A ممیز منحنی بیضی (2) را تقسیم می کنند. می توان ثابت کرد که برای چنین p چند جمله ای x3 + ax + b را می توان به یکی از دو روش نوشت:

x3 + تبر + b = (x + a)2 (x + ß) (mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p)،

که در آن a، ß، y باقی مانده از تقسیم بر p هستند. اگر برای همه اعداد اول p که تفکیک کننده منحنی را تقسیم می کنند، اولین مورد از دو احتمال مشخص شده محقق شود، منحنی بیضوی را نیمه پایدار می نامند.

اعداد اولی که تفکیک کننده را تقسیم می کنند را می توان در چیزی که به آن یک منحنی بیضوی می گویند ترکیب کرد. اگر E یک منحنی نیمه پایدار باشد، رسانای آن N با فرمول به دست می آید

که در آن برای تمام اعداد اول p > 5 تقسیم A، توان eP برابر با 1 است. نماهای 82 و 83 با استفاده از یک الگوریتم خاص محاسبه می شوند.

اساساً این تمام چیزی است که برای درک اصل برهان لازم است. با این حال، فرضیه تانیاما حاوی یک مفهوم پیچیده و کلیدی در مورد ماژولار بودن است. بنابراین، بیایید برای لحظه ای منحنی های بیضوی را فراموش کنیم و تابع تحلیلی f (یعنی تابعی که می تواند با یک سری توانی نمایش داده شود) آرگومان مختلط z را که در نیم صفحه بالا آورده شده است، در نظر بگیریم.

نیم صفحه مختلط بالایی را با H نشان می دهیم. فرض کنید N یک عدد طبیعی و k یک عدد صحیح باشد. یک شکل سهموی مدولار وزن k سطح N یک تابع تحلیلی f(z) است که در نیمه صفحه بالایی تعریف شده و رابطه را برآورده می کند.

f = (cz + d)kf (z) (5)

برای هر اعداد صحیح a، b، c، d به طوری که ae - bc = 1 و c بر N بخش پذیر باشد. علاوه بر این، فرض می شود که

lim f (r + it) = 0،

که در آن r یک عدد گویا است، و آن

فضای اشکال سهموی مدولار وزن k سطح N با Sk(N) نشان داده می شود. می توان نشان داد که بعد محدودی دارد.

در ادامه، ما به طور خاص به اشکال سهموی مدولار وزن 2 علاقه مند خواهیم شد. برای N کوچک، بعد فضای S2(N) در جدول ارائه شده است. 1. به طور خاص،

ابعاد فضای S2(N)

میز 1

ن<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

از شرط (5) نتیجه می شود که % + 1) = برای هر شکل f e S2(N). بنابراین، f تابع تناوبی است. چنین تابعی را می توان به صورت نمایش داد

اگر ضرایب آن اعداد صحیحی باشند که روابط را برآورده می کنند، یک شکل سهمی مدولار A^) را در S2(N) مناسب بنامیم:

a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 برای p ساده ای که عدد N را تقسیم نمی کند. (8)

(ap) برای p اول که عدد N را تقسیم می کند.

atp = در an، اگر (t,n) = 1.

حال اجازه دهید تعریفی را فرموله کنیم که نقش کلیدی در اثبات قضیه فرما دارد. منحنی بیضوی با ضرایب گویا و هادی N در صورت وجود چنین شکل ویژه ای مدولار نامیده می شود.

f (z) = ^anq" g S2(N)،

که ap = p - pr تقریباً برای همه اعداد اول p. در اینجا n تعداد راه حل های مقایسه است (3).

باور داشتن حتی یک منحنی از این دست دشوار است. تصور اینکه یک تابع A(r) وجود داشته باشد که محدودیت های سخت مندرج (5) و (8) را برآورده کند، که به سری (7) گسترش می یابد، که ضرایب آن عملاً با ضرایب غیر قابل محاسبه مرتبط است، بسیار دشوار است. اعداد Pr. اما فرضیه جسورانه تانیاما به هیچ وجه در واقعیت وجود آنها تردید ایجاد نکرد و مطالب تجربی انباشته شده در طول زمان به طرز درخشانی اعتبار آن را تأیید کرد. پس از دو دهه فراموشی تقریباً کامل، فرضیه تانیاما نوعی باد دوم را در آثار ریاضیدان فرانسوی، عضو آکادمی علوم پاریس، آندره ویل دریافت کرد.

A. Weil در سال 1906 متولد شد و سرانجام یکی از بنیانگذاران گروهی از ریاضیدانان شد که با نام مستعار N. Bourbaki فعالیت می کردند. از سال 1958، A. Weil استاد انستیتوی مطالعات پیشرفته پرینستون شد. و ظهور علاقه او به هندسه جبری انتزاعی به همین دوره بازمی گردد. در دهه هفتاد به توابع بیضوی و حدس تانیاما روی آورد. تک نگاری توابع بیضوی در اینجا در روسیه ترجمه شد. او در سرگرمی خود تنها نیست. در سال 1985، گرهارد فری، ریاضیدان آلمانی، پیشنهاد کرد که اگر قضیه فرما نادرست است، یعنی اگر سه اعداد صحیح a، b، c وجود داشته باشد به طوری که a" + bn = c" (n > 3)، آنگاه منحنی بیضوی وجود دارد.

y2 = x (x - a")-(x - cn)

نمی تواند مدولار باشد، که با حدس تانیاما در تضاد است. خود فری نتوانست این گفته را ثابت کند، اما به زودی این مدرک توسط ریاضیدان آمریکایی کنت ریبت به دست آمد. به عبارت دیگر، ریبت نشان داد که قضیه فرما نتیجه حدس تانیاما است.

او قضیه زیر را فرموله و اثبات کرد:

قضیه 1 (Ribet). فرض کنید E یک منحنی بیضوی با ضرایب گویا و دارای ممیز باشد

و هادی

فرض کنید E مدولار است و let

/ (g) = q + 2 aAn e ^ (N)

شکل مناسب سطح N است. یک عدد اول £ و را ثابت می کنیم

р:еР =1;- "8 р

سپس چنین شکل سهموی وجود دارد

/(g) = 2 dnqn e N)

با ضرایب صحیح به گونه ای که تفاوت های an - dn بر I برای همه 1 بخش پذیر باشد.< п<ад.

واضح است که اگر این قضیه برای یک توان معین ثابت شود، در نتیجه برای همه توان های قابل تقسیم بر n ثابت می شود، از آنجایی که هر عدد صحیح n > 2 بر 4 یا بر یک عدد اول فرد بخش پذیر است، بنابراین می توانیم خود را محدود کنیم. حالتی که توان 4 یا عدد اول فرد باشد. برای n = 4، یک اثبات ابتدایی قضیه فرما ابتدا توسط خود فرما و سپس توسط اویلر به دست آمد. بنابراین، مطالعه معادله کافی است

a1 + b1 = c1، (12)

که در آن توان I یک عدد اول فرد است.

حال با محاسبات ساده می توان قضیه فرما را به دست آورد (2).

قضیه 2. آخرین قضیه فرما از حدس تانیاما برای منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار ناشی می‌شود.

اثبات بیایید فرض کنیم قضیه فرما نادرست است، و اجازه دهید یک مثال متضاد وجود داشته باشد (مانند بالا، در اینجا I عدد اول فرد است). اجازه دهید قضیه 1 را برای منحنی بیضوی اعمال کنیم

y2 = x (x - ae) (x - c1).

محاسبات ساده نشان می دهد که هادی این منحنی با فرمول به دست می آید

با مقایسه فرمول های (11) و (13)، می بینیم که N = 2. بنابراین، با قضیه 1 یک شکل سهمی وجود دارد.

خوابیده در فضای 82 (2). اما به موجب رابطه (6) این فضا صفر است. بنابراین، dn = 0 برای همه n در همان زمان، a^ = 1. بنابراین، تفاوت ag - dl = 1 بر I قابل تقسیم نیست و به یک تضاد می رسیم. بنابراین، قضیه ثابت می شود.

این قضیه کلید اثبات آخرین قضیه فرما را فراهم کرد. و با این حال خود این فرضیه هنوز اثبات نشده باقی مانده است.

اندرو وایلز با اعلام در 23 ژوئن 1993، اثبات حدس تانیاما را برای منحنی های بیضوی نیمه مستقر که شامل منحنی های شکل (8) می شود، عجله داشت. برای ریاضیدانان خیلی زود بود که پیروزی خود را جشن بگیرند.

تابستان گرم به سرعت به پایان رسید، پاییز بارانی پشت سر گذاشت و زمستان آمد. وایلز نسخه نهایی اثبات خود را نوشت و بازنویسی کرد، اما همکاران دقیق‌تر نادرستی‌های بیشتری در کار او یافتند. و بنابراین، در اوایل دسامبر 1993، چند روز قبل از انتشار دست‌نوشته وایلز، شکاف‌های جدی در مدارک او دوباره کشف شد. و سپس وایلز متوجه شد که نمی تواند در یک یا دو روز چیزی را درست کند. این نیاز به بهبود جدی داشت. انتشار اثر باید به تعویق می افتاد. وایلز برای کمک به تیلور مراجعه کرد. "کار بر روی اشتباهات" بیش از یک سال طول کشید. نسخه نهایی اثبات حدس تانیاما که توسط وایلز با همکاری تیلور نوشته شده بود، تنها در تابستان 1995 منتشر شد.

برخلاف قهرمان A. Marinina، وایلز برای جایزه نوبل درخواست نداد، اما هنوز... باید نوعی جایزه به او تعلق می گرفت. اما کدام یک؟ وایلز در آن زمان در پنجاه سالگی خود بود و مدال های طلای فیلدز به شدت تا سن چهل سالگی اعطا می شود، زمانی که اوج فعالیت خلاقانه هنوز نگذشته است. و سپس آنها تصمیم گرفتند یک جایزه ویژه برای Wiles - نشان نقره ای کمیته فیلدز ایجاد کنند. این نشان در کنگره بعدی ریاضیات در برلین به او ارائه شد.

از بین تمام مسائلی که با احتمال کمتر یا بیشتر می توانند جای آخرین قضیه فرما را بگیرند، مشکل نزدیکترین بسته بندی توپ ها بیشترین شانس را دارد. مشکل متراکم‌ترین بسته‌بندی توپ‌ها را می‌توان به‌عنوان مشکل چگونگی تا کردن پرتقال‌ها به‌صورت هرم به‌صورت اقتصادی شکل‌بندی کرد. ریاضیدانان جوان این وظیفه را از یوهانس کپلر به ارث برده اند. این مشکل در سال 1611، زمانی که کپلر مقاله کوتاهی با عنوان "درباره دانه های برف شش ضلعی" نوشت، به وجود آمد. علاقه کپلر به آرایش و خود سازماندهی ذرات ماده، او را به بحث در مورد موضوع دیگری سوق داد - متراکم ترین بسته بندی ذرات، که در آن کمترین حجم را اشغال می کنند. اگر فرض کنیم که ذرات به شکل توپ هستند، پس واضح است که هر طور که در فضا قرار گیرند، به ناچار شکاف هایی بین آنها باقی می ماند و سوال این است که حجم شکاف ها را به حداقل برسانیم. به عنوان مثال، در اثر ذکر شده است (اما ثابت نشده است) که چنین شکلی یک چهار وجهی است، محورهای مختصاتی که در داخل آن زاویه تعامد پایه 109 درجه 28" را تعیین می کند و نه 90 درجه. این مشکل از اهمیت زیادی برخوردار است. برای فیزیک ذرات، کریستالوگرافی و سایر شاخه های علوم طبیعی.

ادبیات

1. Weil A. توابع بیضوی طبق آیزنشتاین و کرونکر. - م.، 1978.

2. Soloviev Yu.P. حدس تانیاما و آخرین قضیه فرما // مجله آموزشی سوروس. - شماره 2. - 1998. - ص 78-95.

3. آخرین قضیه سینگ اس فرما. داستان معمایی که 358 سال بهترین ذهن های جهان را به خود مشغول کرده است / ترنس. از انگلیسی یو.آ. دانیلوا. M.: MTsNMO. 2000. - 260 ص.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. جبر کواترنیونی و چرخش های سه بعدی // این مجله شماره 1(1)، 2008. - ص 75-80.