مساحت فیگورهای مختلف مساحت یک شکل چقدر است؟ حفاظت از اطلاعات شخصی

مساحت یک شکل هندسی- یک مشخصه عددی یک شکل هندسی که اندازه این شکل را نشان می دهد (بخشی از سطح محدود شده توسط کانتور بسته این شکل). اندازه مساحت با تعداد واحدهای مربع موجود در آن بیان می شود.

فرمول های مساحت مثلث

فرمول مساحت یک مثلث در کنار و ارتفاع
مساحت یک مثلثبرابر با نصف حاصلضرب طول یک ضلع مثلث و طول ارتفاع کشیده شده به این ضلع
فرمول مساحت مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره دایره
فرمول مساحت یک مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره محاط شده
مساحت یک مثلثبرابر است با حاصل ضرب نیم محیط مثلث و شعاع دایره محاطی.

فرمول های مساحت مربع

فرمول مساحت مربع در طول ضلع
مساحت مربعبرابر مربع طول ضلع آن است.
فرمول مساحت مربع در طول مورب
مساحت مربعبرابر با نصف مربع طول قطر آن است.
S= 1 2
2

فرمول مساحت مستطیل

مساحت یک مستطیل

فرمول های مساحت متوازی الاضلاع

فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس طول و ارتفاع ضلع
مساحت متوازی الاضلاع
فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس دو ضلع و زاویه بین آنها
مساحت متوازی الاضلاعبرابر است با حاصل ضرب طول اضلاع آن در سینوس زاویه بین آنها.
a b sin α

فرمول های مساحت یک لوزی

فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول و ارتفاع ضلع
مساحت یک لوزیبرابر با حاصلضرب طول ضلع آن و طول ارتفاع پایین آمده به این سمت.
فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول و زاویه ضلع
مساحت یک لوزیبرابر است با حاصل ضرب مربع طول ضلع آن و سینوس زاویه بین اضلاع لوزی.
فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول قطرهای آن
مساحت یک لوزیبرابر با نصف حاصل ضرب طول قطرهای آن است.

فرمول های ناحیه ذوزنقه ای

فرمول هرون برای ذوزنقه
جایی که S مساحت ذوزنقه است،
- طول پایه های ذوزنقه،
- طول اضلاع ذوزنقه،

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟

دانستن و توانایی محاسبه مساحت اشکال مختلف نه تنها برای حل مسائل هندسی ساده ضروری است. هنگام تهیه یا بررسی برآورد تعمیرات محل، محاسبه مقدار مواد مصرفی لازم، نمی توانید بدون این دانش انجام دهید. پس بیایید بفهمیم که چگونه مناطق اشکال مختلف را پیدا کنیم.

به قسمتی از صفحه که در یک کانتور بسته قرار دارد، ناحیه این صفحه نامیده می شود. مساحت با تعداد واحدهای مربع موجود در آن بیان می شود.

برای محاسبه مساحت اشکال هندسی اصلی باید از فرمول صحیح استفاده کنید.

مساحت یک مثلث

نام گذاری ها:

اگر h، a مشخص باشد، مساحت مثلث مورد نیاز به عنوان حاصل ضرب طول ضلع و ارتفاع مثلث پایین‌آمده به این ضلع، به نصف تقسیم می‌شود: S=(a h)/2.
اگر a، b، c شناخته شده باشند، مساحت مورد نیاز با استفاده از فرمول هرون محاسبه می شود: جذر حاصل از حاصل ضرب نصف محیط مثلث و سه اختلاف نصف محیط و هر ضلع مثلث: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
اگر a، b، γ شناخته شده باشند، مساحت مثلث نصف حاصلضرب 2 ضلع، ضرب در مقدار سینوس زاویه بین این ضلع ها تعیین می شود: S=(a b sin γ)/2
اگر a، b، c، R شناخته شده باشند، مساحت مورد نیاز به صورت تقسیم حاصلضرب طول تمام اضلاع مثلث بر چهار شعاع دایره محدود تعیین می شود: S=(a b c)/4R.
اگر p، r شناخته شده باشد، مساحت مورد نیاز مثلث با ضرب نصف محیط در شعاع دایره محاط شده در آن تعیین می شود: S=p·r

مساحت مربع

نام گذاری ها:

اگر ضلع مشخص باشد، مساحت یک شکل به عنوان مربع طول ضلع آن تعیین می شود: S=a 2
اگر d شناخته شود، مساحت مربع نصف مربع طول قطر آن تعیین می شود: S=d 2/2

مساحت یک مستطیل

نام گذاری ها:

S - منطقه تعیین شده،
a، b - طول اضلاع مستطیل.

اگر a، b شناخته شده باشند، مساحت یک مستطیل با حاصل ضرب طول دو ضلع آن تعیین می شود: S=a b.
اگر طول اضلاع ناشناخته باشد، مساحت مستطیل باید به مثلث تقسیم شود. در این حالت مساحت یک مستطیل به عنوان مجموع مساحت مثلث های تشکیل دهنده آن تعیین می شود.

مساحت متوازی الاضلاع

نام گذاری ها:

S منطقه مورد نیاز است،
a، b - طول ضلع،
h طول ارتفاع متوازی الاضلاع معین است،
d1، d2 - طول دو قطر،
α زاویه بین اضلاع است،
γ زاویه بین قطرها است.

اگر a، h مشخص باشد، مساحت مورد نیاز با ضرب طول ضلع و ارتفاع پایین آمده به این سمت تعیین می شود: S=a h.
اگر a، b، α شناخته شده باشند، مساحت متوازی الاضلاع با ضرب طول اضلاع متوازی الاضلاع و سینوس زاویه بین این اضلاع تعیین می شود: S=a b sin α.
اگر d 1 , d 2 , γ شناخته شوند، مساحت متوازی الاضلاع نصف حاصلضرب طول قطرها و سینوس زاویه بین این قطرها تعیین می شود: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

مساحت یک لوزی

نام گذاری ها:

S منطقه مورد نیاز است،
الف - طول ضلع،
h - طول ارتفاع،
α زاویه کوچکتر بین دو ضلع است،
d1، d2 - طول دو مورب.

اگر a، h مشخص باشد، مساحت لوزی با ضرب طول ضلع در طول ارتفاعی که به این سمت پایین می آید تعیین می شود: S=a h.
اگر a، α شناخته شده باشند، مساحت لوزی با ضرب مربع طول ضلع در سینوس زاویه بین اضلاع تعیین می شود: S=a 2 sin α.
اگر d 1 و d 2 شناخته شده باشند، مساحت مورد نیاز نصف حاصلضرب طول قطرهای لوزی تعیین می شود: S=(d 1 d 2)/2

ناحیه ذوزنقه

نام گذاری ها:

اگر a، b، c، d شناخته شده باشند، مساحت مورد نیاز با فرمول تعیین می شود: S= (a+b) /2 *√.
با معلومات a، b، h، مساحت مورد نیاز حاصل ضرب نصف مجموع پایه ها و ارتفاع ذوزنقه تعیین می شود: S=(a+b)/2 h.

مساحت یک چهارضلعی محدب

نام گذاری ها:

اگر d 1 , d 2 , α شناخته شده باشند، مساحت یک چهارضلعی محدب به عنوان نصف حاصل ضرب قطرهای چهارضلعی تعیین می شود، ضرب در سینوس زاویه بین این قطرها: S=(d 1 · د 2 · گناه α)/2
برای p، r شناخته شده، مساحت یک چهارضلعی محدب به عنوان حاصل ضرب نیم محیط چهارضلعی و شعاع دایره محاط شده در این چهار ضلعی تعیین می شود: S=p r.
اگر a، b، c، d، θ شناخته شده باشند، مساحت یک چهارضلعی محدب به عنوان جذر حاصلضرب اختلاف نیم محیط و طول هر ضلع منهای حاصلضرب تعیین می شود. طول همه ضلع ها و مربع کسینوس نصف مجموع دو زاویه مقابل: S 2 = (p - a ) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

مساحت یک دایره

نام گذاری ها:

اگر r شناخته شده باشد، مساحت مورد نیاز به عنوان حاصل ضرب عدد π و شعاع مجذور تعیین می شود: S=π r 2

اگر d مشخص باشد، مساحت دایره به عنوان حاصل ضرب عدد π بر مجذور قطر تقسیم بر چهار تعیین می شود: S=(π d 2)/4

مساحت یک شکل پیچیده

انواع پیچیده را می توان به اشکال هندسی ساده تقسیم کرد. مساحت یک شکل پیچیده به عنوان مجموع یا تفاوت مساحت های اجزای آن تعریف می شود. به عنوان مثال یک حلقه را در نظر بگیرید.

تعیین:

S - ناحیه حلقه،
R، r - به ترتیب شعاع دایره بیرونی و دایره داخلی،
D و d به ترتیب قطر دایره های بیرونی و داخلی هستند.

برای پیدا کردن مساحت حلقه، باید مساحت دایره بزرگتر را کم کنید. دایره کوچکتر S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

بنابراین، اگر R و r شناخته شده باشند، مساحت حلقه به عنوان تفاوت در مربع شعاع دایره های بیرونی و داخلی، ضرب در پی تعیین می شود: S=π(R 2 -r 2).

اگر D و d شناخته شده باشند، مساحت حلقه به عنوان یک چهارم اختلاف مربع های قطر دایره های بیرونی و داخلی، ضرب در پی تعیین می شود: S= (1/4) (D 2) -d 2) π.

ناحیه پچ

بیایید فرض کنیم که در داخل یک مربع (A) دیگری (B) (با اندازه کوچکتر) وجود دارد، و ما باید حفره سایه دار بین شکل های "A" و "B" را پیدا کنیم. بیایید بگوییم، "قاب" یک مربع کوچک. برای این:

مساحت شکل "A" را پیدا کنید (محاسبه شده با استفاده از فرمول برای یافتن مساحت مربع).
به طور مشابه، مساحت شکل "B" را پیدا می کنیم.
مساحت "B" را از ناحیه "A" کم کنید. و بدین ترتیب مساحت شکل سایه دار را بدست می آوریم.

اکنون می دانید که چگونه مناطق اشکال مختلف را پیدا کنید.

کلاس: 5

به نظر من وظیفه معلم فقط آموزش نیست، بلکه ایجاد علاقه شناختی در دانش آموز است. بنابراین در صورت امکان موضوعات درسی را با کارهای عملی مرتبط می کنم.

در طول درس، دانش آموزان، تحت هدایت معلم، طرحی را برای حل مسائل برای یافتن مساحت یک "شکل پیچیده" (برای محاسبه تخمین های تعمیر) ترسیم می کنند، مهارت های حل مسائل را برای یافتن منطقه ادغام می کنند. توسعه توجه، توانایی برای فعالیت های پژوهشی، آموزش فعالیت و استقلال رخ می دهد.

کار به صورت دو نفره باعث ایجاد موقعیت ارتباطی بین صاحبان دانش و کسانی می شود که آن را کسب می کنند. این کار مبتنی بر بهبود کیفیت آموزش در موضوع است. توسعه علاقه به فرآیند یادگیری و جذب عمیق تر مواد آموزشی را ترویج می کند.

این درس نه تنها دانش دانش آموزان را نظام مند می کند، بلکه به رشد توانایی های خلاق و تحلیلی نیز کمک می کند. استفاده از مسائل با محتوای عملی در کلاس به ما امکان می دهد ارتباط دانش ریاضی را در زندگی روزمره نشان دهیم.

اهداف درس:

آموزشی:

ادغام دانش فرمول های مساحت مستطیل، مثلث قائم الزاویه؛
تجزیه و تحلیل وظایف برای محاسبه مساحت یک شکل "پیچیده" و روشهای انجام آنها.
تکمیل مستقل وظایف برای آزمایش دانش، مهارت ها و توانایی ها.

آموزشی:

توسعه روش های فعالیت ذهنی و تحقیقاتی؛
توسعه توانایی گوش دادن و توضیح مسیر یک تصمیم.

آموزشی:

توسعه مهارت های تحصیلی دانش آموزان؛
فرهنگ گفتار شفاهی و نوشتاری ریاضی را پرورش دهید.
ایجاد نگرش دوستانه در کلاس و توانایی کار در گروه.

نوع درس:ترکیب شده.

تجهیزات:

ریاضیات: کتاب درسی پنجم دبستان. آموزش عمومی مؤسسات/ N.Ya. ویلنکین، وی.آی. ژخوف و همکاران، M.: "Mnemosyne"، 2010.
کارت هایی برای گروه های دانش آموزان با اشکال برای محاسبه مساحت یک شکل پیچیده.
وسایل نقاشی.

طرح درس:

زمان سازماندهی
به روز رسانی دانش.
الف) سوالات نظری (آزمون).
ب) بیان مسئله.
مطالب جدید یاد گرفت.
الف) یافتن راه حلی برای مشکل؛
ب) راه حل مسئله
تعمیر مواد.
الف) حل مشکلات جمعی؛
دقیقه تربیت بدنی
ب) کار مستقل
مشق شب.
خلاصه درس. انعکاس.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

ما درس را با این کلمات جدایی آغاز خواهیم کرد:

ریاضی، دوستان،
کاملاً همه به آن نیاز دارند.
در کلاس با پشتکار کار کنید
و موفقیت مطمئناً در انتظار شماست!

II. به روز رسانی دانش.

آ)کار جلویی با کارت های سیگنال (هر دانش آموز کارت هایی با اعداد 1، 2، 3، 4 دارد؛ هنگام پاسخ دادن به یک سوال امتحانی، دانش آموز کارتی را با شماره پاسخ صحیح بالا می آورد).

1. یک سانتی متر مربع عبارت است از:

مساحت مربع با ضلع 1 سانتی متر؛
مربع با ضلع 1 سانتی متر؛
مربع با محیط 1 سانتی متر.

2. مساحت شکل نشان داده شده در شکل برابر است با:

8 dm;
8 dm 2;
15 dm 2.

3. آیا این درست است که ارقام مساوی محیط و مساحت مساوی دارند؟

4. مساحت یک مستطیل با فرمول تعیین می شود:

S = a 2 ;
S = 2 (a + b)؛
S = a b.

5. مساحت شکل نشان داده شده در شکل برابر است با:

12 سانتی متر؛
8 سانتی متر؛
16 سانتی متر.

ب) (تشکیل مسئله). وظیفه. اگر در هر متر مربع 200 گرم رنگ مصرف شود، برای رنگ آمیزی کفی که به شکل زیر است (به شکل زیر مراجعه کنید) چه مقدار رنگ لازم است؟

III. یادگیری مطالب جدید.

برای حل آخرین مشکل چه چیزهایی باید بدانیم؟ (مساحتی از کف را پیدا کنید که شبیه یک "شکل پیچیده" است.)

دانش آموزان موضوع و اهداف درس را تدوین می کنند (در صورت لزوم معلم کمک می کند).

یک مستطیل را در نظر بگیرید آ ب پ ت. بیایید یک خط در آن بکشیم KPMN، شکستن مستطیل آ ب پ تبه دو بخش: ABNMPKو KPMNCD.

منطقه چیست؟ آ ب پ ت? (15 سانتی متر مربع)

مساحت شکل چقدر است؟ ABMNPK? (7 سانتی متر 2)

مساحت شکل چقدر است؟ KPMNCD? (8 سانتی متر 2)

نتایج خود را تجزیه و تحلیل کنید. (15 = = 7 + 8)

نتیجه؟ (مساحت کل شکل برابر است با مجموع مساحت قطعات آن.)

S = S 1 + S 2

چگونه می توانیم این ویژگی را برای حل مشکل خود اعمال کنیم؟ (بیایید یک شکل پیچیده را به قطعات تقسیم کنیم، مساحت قطعات و سپس مساحت کل شکل را پیدا کنیم.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

بیا آرایش کنیم برنامه ریزی برای حل مسائل برای یافتن مساحت یک "شکل پیچیده":

شکل را به شکل های ساده تقسیم می کنیم.
یافتن مساحت شکل های ساده

الف) وظیفه 1. برای چیدمان یک سایت با ابعاد زیر به چند کاشی نیاز است:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 - 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

آیا راه دیگری برای حل وجود دارد؟ (ما در حال بررسی گزینه های پیشنهادی هستیم.)

جواب: 2100 dm 2.

وظیفه 2. (تصمیم گیری جمعی در هیئت مدیره و در دفترچه ها.)چند متر مربع مشمع کف اتاق برای بازسازی اتاقی که به شکل زیر است مورد نیاز است:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m2)
S 2 = ((5 - 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

جواب: 8 متر مربع.

دقیقه تربیت بدنی

و حالا، بچه ها، برخیزید.
سریع دستانشان را بالا بردند.
به طرفین، جلو، عقب.
چرخید به راست، چپ.
آرام نشستند و به کار خود بازگشتند.

ب) کار مستقل (آموزشی) .

دانش آموزان به گروه ها تقسیم می شوند (شماره 5-8 قوی تر هستند). هر گروه یک تیم تعمیر است.

وظیفه برای تیم ها: اگر به ازای هر 1 متر مربع 200 گرم رنگ نیاز است، تعیین کنید که برای رنگ آمیزی کفی که به شکل شکل نشان داده شده روی کارت است، چه مقدار رنگ لازم است.

این شکل را در دفترچه یادداشت خود می سازید و تمام داده ها را یادداشت می کنید و کار را شروع می کنید. شما می توانید در مورد راه حل بحث کنید (اما فقط در گروه خود!). اگر گروهی به سرعت با کار کنار بیایند، یک کار اضافی به آنها داده می شود (پس از بررسی کار مستقل).

وظایف برای گروه ها:

V. تکالیف.

بند 18 شماره 718 شماره 749.

کار اضافینمودار طرح باغ تابستانی (سن پترزبورگ). مساحت آن را محاسبه کنید.

VI. خلاصه درس.

انعکاس.ادامه جمله:

امروز فهمیدم...
جالب بود…
سخت بود…
اکنون می توانم…
به من درس زندگی داد...

در بخش قبلی که به تجزیه و تحلیل معنای هندسی یک انتگرال معین اختصاص داشت، تعدادی فرمول برای محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی دریافت کردیم:

S (G) = ∫ a b f (x) d x برای یک تابع پیوسته و غیر منفی y = f (x) در بازه [ a ; ب ]،

S (G) = - ∫ a b f (x) d x برای یک تابع پیوسته و غیر مثبت y = f (x) در بازه [ a ; ب ] .

این فرمول ها برای حل مسائل نسبتا ساده قابل استفاده هستند. در واقعیت، ما اغلب باید با ارقام پیچیده تری کار کنیم. در این راستا، ما این بخش را به تجزیه و تحلیل الگوریتم‌هایی برای محاسبه مساحت ارقامی اختصاص می‌دهیم که توسط توابع به شکل صریح محدود می‌شوند، یعنی. مانند y = f(x) یا x = g(y).

قضیه

اجازه دهید توابع y = f 1 (x) و y = f 2 (x) در بازه [ a ; b ] و f 1 (x) ≤ f 2 (x) برای هر مقدار x از [ a ; ب ] . سپس فرمول محاسبه مساحت شکل G، محدود شده با خطوط x = a، x = b، y = f 1 (x) و y = f 2 (x) شبیه S (G) = ∫ خواهد بود. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

فرمول مشابهی برای مساحت شکل محدود شده با خطوط y = c، y = d، x = g 1 (y) و x = g 2 (y) قابل اجرا خواهد بود: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

اثبات

بیایید به سه مورد که فرمول برای آنها معتبر خواهد بود نگاه کنیم.

در حالت اول، با در نظر گرفتن خاصیت افزایش سطح، مجموع مساحت های شکل اصلی G و ذوزنقه منحنی G 1 برابر با مساحت شکل G 2 است. این به آن معنا است

بنابراین، S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx

می توانیم آخرین انتقال را با استفاده از ویژگی سوم انتگرال معین انجام دهیم.

در حالت دوم، برابری درست است: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

تصویر گرافیکی به صورت زیر خواهد بود:

اگر هر دو تابع غیرمثبت باشند، می‌گیریم: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . تصویر گرافیکی به صورت زیر خواهد بود:

بیایید به بررسی حالت کلی زمانی که y = f 1 (x) و y = f 2 (x) محور Ox را قطع می کنند، ادامه می دهیم.

نقاط تقاطع را به صورت x i، i = 1، 2، نشان می دهیم. . . ، n - 1 . این نقاط بخش [a; b ] به n قسمت x i - 1 ; x i، i = 1، 2، . . . ، n، که α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

از این رو،

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

می توانیم آخرین انتقال را با استفاده از ویژگی پنجم انتگرال معین انجام دهیم.

اجازه دهید حالت کلی را در نمودار نشان دهیم.

فرمول S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x را می توان اثبات شده در نظر گرفت.

حال بیایید به تجزیه و تحلیل مثال هایی از محاسبه مساحت ارقامی که توسط خطوط y = f (x) و x = g (y) محدود شده اند، برویم.

ما بررسی هر یک از مثال ها را با ساختن یک نمودار آغاز می کنیم. این تصویر به ما اجازه می دهد تا اشکال پیچیده را به عنوان اتحاد اشکال ساده تر نشان دهیم. اگر ساختن نمودارها و شکل های روی آنها برای شما سخت است، می توانید در حین مطالعه یک تابع، بخش توابع ابتدایی پایه، تبدیل هندسی نمودارهای توابع و همچنین ساخت نمودارها را مطالعه کنید.

مثال 1

باید مساحت شکل را تعیین کرد که با سهمی y = - x 2 + 6 x - 5 و خطوط مستقیم y = - 1 3 x - 1 2، x = 1، x = 4 محدود می شود.

راه حل

بیایید خطوط روی نمودار را در سیستم مختصات دکارتی رسم کنیم.

در بخش [1; 4] نمودار سهمی y = - x 2 + 6 x - 5 در بالای خط مستقیم y = - 1 3 x - 1 2 قرار دارد. در این راستا برای به دست آوردن پاسخ از فرمول به دست آمده قبل و همچنین از روش محاسبه انتگرال معین با استفاده از فرمول نیوتن لایب نیتس استفاده می کنیم:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

پاسخ: S(G) = 13

بیایید به یک مثال پیچیده تر نگاه کنیم.

مثال 2

لازم است مساحت شکل را محاسبه کنید که توسط خطوط y = x + 2، y = x، x = 7 محدود شده است.

راه حل

در این حالت فقط یک خط مستقیم داریم که به موازات محور x قرار دارد. این x = 7 است. این مستلزم آن است که خودمان حد دوم ادغام را پیدا کنیم.

بیایید یک نمودار بسازیم و خطوط داده شده در بیان مسئله را روی آن رسم کنیم.

با داشتن نمودار در مقابل چشمانمان، به راحتی می توانیم تعیین کنیم که حد پایین ادغام، آبسیسا نقطه تقاطع نمودار خط مستقیم y = x و نیمه سهمی y = x + 2 خواهد بود. برای یافتن آبسیسا از تساوی استفاده می کنیم:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

معلوم می شود که آبسیسا نقطه تقاطع x = 2 است.

توجه شما را به این واقعیت جلب می کنیم که در مثال کلی در نقاشی، خطوط y = x + 2، y = x در نقطه (2؛ 2) قطع می شوند، بنابراین چنین محاسبات دقیق ممکن است غیر ضروری به نظر برسد. ما در اینجا چنین راه حل مفصلی را ارائه کرده ایم زیرا در موارد پیچیده تر ممکن است راه حل چندان واضح نباشد. یعنی همیشه بهتر است مختصات تقاطع خطوط را به صورت تحلیلی محاسبه کنیم.

در فاصله [ 2 ; 7] نمودار تابع y = x در بالای نمودار تابع y = x + 2 قرار دارد. بیایید از فرمول برای محاسبه مساحت استفاده کنیم:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

پاسخ: S (G) = 59 6

مثال 3

لازم است مساحت شکل را محاسبه کنید که توسط نمودارهای توابع y = 1 x و y = - x 2 + 4 x - 2 محدود شده است.

راه حل

بیایید خطوط روی نمودار را رسم کنیم.

بیایید حدود یکپارچگی را تعریف کنیم. برای این کار مختصات نقاط تقاطع خطوط را با معادل سازی عبارات 1 x و - x 2 + 4 x - 2 تعیین می کنیم. به شرطی که x صفر نباشد، برابری 1 x = - x 2 + 4 x - 2 معادل معادله درجه سوم - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 با ضرایب صحیح می شود. برای تازه کردن حافظه خود از الگوریتم حل این گونه معادلات، می توانیم به بخش حل معادلات مکعبی مراجعه کنیم.

ریشه این معادله x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 است.

با تقسیم عبارت - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 بر دو جمله ای x - 1، به دست می آید: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

ما می توانیم ریشه های باقی مانده را از معادله x 2 - 3 x - 1 = 0 پیدا کنیم:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

ما فاصله x ∈ 1 را پیدا کردیم. 3 + 13 2، که در آن شکل G در بالای خط آبی و زیر خط قرمز قرار دارد. این به ما کمک می کند مساحت شکل را تعیین کنیم:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

پاسخ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

مثال 4

لازم است مساحت شکل را محاسبه کنید که توسط منحنی های y = x 3، y = - log 2 x + 1 و محور آبسیسا محدود شده است.

راه حل

بیایید تمام خطوط روی نمودار را رسم کنیم. ما می توانیم نمودار تابع y = - log 2 x + 1 را از نمودار y = log 2 x بدست آوریم اگر آن را به طور متقارن حول محور x قرار دهیم و آن را یک واحد به سمت بالا ببریم. معادله محور x y = 0 است.

اجازه دهید نقاط تلاقی خطوط را مشخص کنیم.

همانطور که از شکل مشخص است، نمودارهای توابع y = x 3 و y = 0 در نقطه (0؛ 0) قطع می شوند. این اتفاق می افتد زیرا x = 0 تنها ریشه واقعی معادله x 3 = 0 است.

x = 2 تنها ریشه معادله است - log 2 x + 1 = 0، بنابراین نمودارهای توابع y = - log 2 x + 1 و y = 0 در نقطه (2؛ 0) قطع می شوند.

x = 1 تنها ریشه معادله است x 3 = - log 2 x + 1 . در این راستا، نمودارهای توابع y = x 3 و y = - log 2 x + 1 در نقطه (1؛ 1) قطع می شوند. آخرین جمله ممکن است واضح نباشد، اما معادله x 3 = - log 2 x + 1 نمی تواند بیش از یک ریشه داشته باشد، زیرا تابع y = x 3 به شدت در حال افزایش است و تابع y = - log 2 x + 1 است. به شدت در حال کاهش است.

راه حل بیشتر شامل چندین گزینه است.

انتخاب 1

می‌توانیم شکل G را به‌عنوان مجموع دو ذوزنقه منحنی که در بالای محور x قرار گرفته‌اند، تصور کنیم که اولی در زیر خط وسط قطعه x ∈ 0 قرار دارد. 1، و دومی زیر خط قرمز در بخش x ∈ 1 است. 2. این بدان معنی است که مساحت برابر با S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x خواهد بود.

گزینه شماره 2

شکل G را می توان به عنوان تفاوت دو شکل نشان داد، که اولی در بالای محور x و زیر خط آبی در قسمت x ∈ 0 قرار دارد. 2، و دومی بین خطوط قرمز و آبی در بخش x ∈ 1. 2. این به ما امکان می دهد منطقه را به صورت زیر پیدا کنیم:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

در این مورد، برای پیدا کردن مساحت باید از فرمولی به شکل S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y استفاده کنید. در واقع، خطوطی که شکل را محدود می کنند را می توان به عنوان توابعی از آرگومان y نشان داد.

بیایید معادلات y = x 3 و - log 2 x + 1 را با توجه به x حل کنیم:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

ما منطقه مورد نیاز را دریافت می کنیم:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

پاسخ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

مثال 5

لازم است مساحت شکل را محاسبه کنید که توسط خطوط y = x، y = 2 3 x - 3، y = - 1 2 x + 4 محدود شده است.

راه حل

با یک خط قرمز خط تعریف شده توسط تابع y = x را رسم می کنیم. خط y = - 1 2 x + 4 را به رنگ آبی و خط y = 2 3 x - 3 را با رنگ مشکی رسم می کنیم.

بیایید نقاط تقاطع را علامت گذاری کنیم.

بیایید نقاط تقاطع نمودارهای توابع y = x و y = - 1 2 x + 4 را پیدا کنیم:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 بررسی کنید: x 1 = 16 = 4، - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 نیست آیا جواب معادله x 2 = 4 = 2، - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 راه حل معادله ⇒ (4؛ 2) نقطه تقاطع i y = x و y = - 1 2 x است. + 4

بیایید نقطه تقاطع نمودارهای توابع y = x و y = 2 3 x - 3 را پیدا کنیم:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9، x 2 45 - 729 8 = 9 4 بررسی کنید: x 1 = 9 = 3، 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 راه حل معادله ⇒ (9 ؛ 3) نقطه a s y = x و y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2، 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 است. = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 هیچ راه حلی برای معادله وجود ندارد

بیایید نقطه تقاطع خطوط y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3 را پیدا کنیم:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ؛ 1 ) نقطه تقاطع y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3

روش شماره 1

بیایید مساحت شکل مورد نظر را به عنوان مجموع مساحت های تک تک شکل ها تصور کنیم.

سپس مساحت شکل برابر است با:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

روش شماره 2

مساحت شکل اصلی را می توان به صورت مجموع دو شکل دیگر نشان داد.

سپس معادله خط نسبت به x را حل می کنیم و تنها پس از آن فرمول محاسبه مساحت شکل را اعمال می کنیم.

y = x ⇒ x = y 2 خط قرمز y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 خط سیاه y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

بنابراین منطقه عبارت است از:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

همانطور که می بینید، مقادیر یکسان هستند.

پاسخ: S (G) = 11 3

نتایج

برای یافتن مساحت شکلی که با خطوط داده شده محدود شده است، باید خطوطی را روی یک صفحه بسازیم، نقاط تقاطع آنها را پیدا کنیم و فرمول را برای یافتن مساحت اعمال کنیم. در این بخش، رایج ترین انواع وظایف را بررسی کردیم.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

تعداد بی نهایت شکل تخت با اشکال مختلف، منظم و نامنظم وجود دارد. ویژگی مشترک همه ارقام این است که هر یک از آنها یک مساحت دارد. مساحت شکل ها ابعاد قسمتی از صفحه است که توسط این شکل ها اشغال شده است که در واحدهای معینی بیان می شود. این مقدار همیشه به صورت یک عدد مثبت بیان می شود. واحد اندازه گیری مساحت مربعی است که ضلع آن برابر با یک واحد طول است (مثلاً یک متر یا یک سانتی متر). مساحت تقریبی هر رقم را می توان با ضرب تعداد مربع های واحدی که به آنها تقسیم می شود در مساحت یک مربع محاسبه کرد.

تعاریف دیگر این مفهوم به شرح زیر است:

1. مساحت ارقام ساده مقادیر مثبت مقیاسی هستند که شرایط را برآورده می کنند:

ارقام مساوی دارای مساحت مساوی هستند.

اگر یک شکل به قطعات (شکل های ساده) تقسیم شود، مساحت آن مجموع مساحت این اشکال است.

مربع با ضلع واحد اندازه گیری به عنوان واحد مساحت عمل می کند.

2. مساحت شکل های مختلط (چند ضلعی ها) کمیت های مثبت با ویژگی های زیر هستند:

چند ضلعی های مساوی اندازه مساحت یکسانی دارند.

اگر یک چند ضلعی از چند ضلعی دیگر تشکیل شده باشد، مساحت آن برابر است با مجموع مساحت های چند ضلعی. این قانون برای چند ضلعی های غیر همپوشانی معتبر است.

به عنوان یک بدیهیات پذیرفته شده است که مساحت ارقام (چند ضلعی ها) کمیت های مثبت هستند.

تعریف مساحت یک دایره به طور جداگانه به عنوان مقداری که مساحت یک دایره مشخص در یک دایره به آن گرایش دارد - با وجود این واقعیت که تعداد اضلاع آن به بی نهایت میل می کند، ارائه می شود.

مساحت ارقام نامنظم (شکل های دلخواه) تعریفی ندارد، فقط روش های محاسبه آنها مشخص می شود.

قبلاً در دوران باستان، محاسبه مساحت ها یک کار عملی مهم در تعیین اندازه قطعات زمین بود. قواعد محاسبه مساحت ها در طول چند صد سال توسط دانشمندان یونانی فرموله شد و در عناصر اقلیدس به عنوان قضایا بیان شد. جالب است که قوانین تعیین مساحت ارقام ساده در آنها مانند حال حاضر است. مناطق با کانتور منحنی با استفاده از عبور به حد محاسبه شد.

محاسبه مساحت یک مستطیل یا مربع ساده) که برای همه از مدرسه آشناست، بسیار ساده است. حتی لازم نیست فرمول های مربوط به نواحی شکل های حاوی نمادهای حروف را به خاطر بسپارید. کافی است چند قانون ساده را به خاطر بسپارید:

2. مساحت یک مستطیل با ضرب طول آن در عرض آن محاسبه می شود. لازم است که طول و عرض با واحدهای اندازه گیری یکسان بیان شود.

3. مساحت یک شکل پیچیده را با تقسیم آن به چند عدد ساده و جمع کردن مناطق حاصل محاسبه می کنیم.

4. مورب مستطیل آن را به دو مثلث تقسیم می کند که مساحت آنها مساوی و برابر با نصف مساحت آن است.

5- مساحت مثلث نصف حاصلضرب ارتفاع و قاعده آن محاسبه می شود.

6. مساحت دایره برابر است با حاصل ضرب مربع شعاع و عدد معروف «π».

7. مساحت متوازی الاضلاع را حاصل ضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها محاسبه می کنیم.

8. مساحت لوزی ½ حاصل ضرب مورب ها در سینوس زاویه داخلی است.

9. مساحت ذوزنقه را با ضرب ارتفاع آن در طول خط وسط می یابیم که برابر با میانگین حسابی پایه ها است. گزینه دیگر برای تعیین مساحت ذوزنقه ضرب قطرهای آن و سینوس زاویه بین آنهاست.

برای وضوح، به کودکان در مدرسه ابتدایی اغلب وظایف داده می شود: با استفاده از یک پالت یا یک ورق کاغذ شفاف که به مربع تقسیم شده است، مساحت شکلی را که روی کاغذ کشیده شده است، پیدا کنید. چنین ورق کاغذی روی شکل اندازه گیری شده قرار می گیرد، تعداد سلول های کامل (واحد مساحت) که در طرح کلی آن قرار می گیرند شمارش می شود، سپس تعداد ناقص ها که به نصف تقسیم می شود.