باقیمانده تقسیم بر 45. تقسیم با باقیمانده

بیایید به یک مثال ساده نگاه کنیم:
15:5=3
در این مثال عدد طبیعی را 15 تقسیم کردیم به صورت کاملبا 3، بدون باقی مانده.

گاهی اوقات نمی توان یک عدد طبیعی را به طور کامل تقسیم کرد. به عنوان مثال، مشکل را در نظر بگیرید:
در کمد 16 اسباب بازی وجود داشت. در گروه پنج کودک بودند. هر کودک به همان تعداد اسباب بازی برداشت. هر کودک چند اسباب بازی دارد؟

راه حل:
با استفاده از ستون عدد 16 را بر 5 تقسیم می کنیم و به دست می آید:

می دانیم که 16 را نمی توان بر 5 تقسیم کرد. کوچکترین عددی که بر 5 بخش پذیر است 15 با باقیمانده 1 است. می توانیم عدد 15 را 5⋅3 بنویسیم. در نتیجه (16 - سود سهام، 5 - مقسوم علیه، 3 - نصاب ناقص، 1 - باقیمانده). بدست آورد فرمول تقسیم با باقی ماندهکه می توان انجام داد بررسی راه حل.

آ= ب⋅ ج+ د
آ - قابل تقسیم،
ب - تقسیم کننده،
ج - ضریب ناقص،
د - باقی مانده

پاسخ: هر کودک 3 اسباب بازی می گیرد و یک اسباب بازی باقی می ماند.

باقی مانده از تقسیم

باقیمانده باید همیشه کوچکتر از مقسوم علیه باشد.

اگر در حین تقسیم، باقیمانده صفر باشد، به این معنی است که سود تقسیم می شود به صورت کاملیا بدون باقیمانده در مقسوم علیه.

اگر در حین تقسیم، باقیمانده بزرگتر از مقسوم علیه باشد، به این معنی است که عدد یافت شده بزرگترین نیست. عدد بزرگتری وجود دارد که سود تقسیمی را تقسیم می کند و باقیمانده از تقسیم کننده کمتر خواهد بود.

سوالات در مورد "تقسیم با باقیمانده":
آیا باقیمانده می تواند بزرگتر از مقسوم علیه باشد؟
پاسخ: خیر

آیا باقیمانده می تواند برابر با مقسوم علیه باشد؟
پاسخ: خیر

چگونه با استفاده از ضریب ناقص، مقسوم علیه و باقی مانده سود سهام را پیدا کنیم؟
پاسخ: مقادیر ضریب جزئی، مقسوم علیه و باقیمانده را جایگزین فرمول می کنیم و سود سهام را پیدا می کنیم. فرمول:
a=b⋅c+d

مثال شماره 1:
تقسیم را با باقیمانده انجام دهید و بررسی کنید: الف) 258:7 ب) 1873:8

راه حل:
الف) تقسیم بر ستون:

258 - سود سهام،
7 - تقسیم کننده،
36 - ضریب ناقص
6- باقی مانده باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه 6 است<7.

7⋅36+6=252+6=258

ب) تقسیم بر ستون:

1873 - قابل تقسیم،
8 - مقسوم علیه
234 - ضریب ناقص،
1 - باقی مانده باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه 1 است<8.

بیایید آن را در فرمول جایگزین کنیم و بررسی کنیم که آیا مثال را به درستی حل کرده ایم:
8⋅234+1=1872+1=1873

مثال شماره 2:
با تقسیم اعداد طبیعی چه باقی مانده هایی بدست می آید: الف) 3 ب) 8؟

پاسخ:
الف) باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه است، بنابراین کمتر از 3. در مورد ما، باقیمانده می تواند 0، 1 یا 2 باشد.
ب) باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه است، بنابراین کمتر از 8 است. در مورد ما، باقیمانده می تواند 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 یا 7 باشد.

مثال شماره 3:
بزرگترین باقیمانده ای که هنگام تقسیم اعداد طبیعی بدست می آید کدام است: الف) 9 ب) 15؟

پاسخ:
الف) باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه است، بنابراین کمتر از 9. اما باید بزرگترین باقیمانده را نشان دهیم. یعنی نزدیک ترین عدد به مقسوم علیه. این عدد 8 است.
ب) باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه است، بنابراین کمتر از 15. اما باید بزرگترین باقیمانده را نشان دهیم. یعنی نزدیک ترین عدد به مقسوم علیه. این عدد 14 است.

مثال شماره 4:
سود سهام را بیابید: الف) a:6=3(استراحت.4) ب) c:24=4(استراحت.11)

راه حل:
الف) با استفاده از فرمول حل کنید:
a=b⋅c+d
(الف – سود، ب – مقسوم علیه، ج – نصاب جزئی، د – باقیمانده.)
a:6=3 (استراحت.4)
(الف - سود، 6 - مقسوم علیه، 3 - ضریب جزئی، 4 - باقیمانده.) بیایید اعداد را در فرمول جایگزین کنیم:
a=6⋅3+4=22
پاسخ: a=22

ب) با استفاده از فرمول حل کنید:
a=b⋅c+d
(الف – سود، ب – مقسوم علیه، ج – نصاب جزئی، د – باقیمانده.)
s:24=4(rest.11)
(ج - سود، 24 - مقسوم علیه، 4 - نصاب جزئی، 11 - باقیمانده.) بیایید اعداد را در فرمول جایگزین کنیم:
с=24⋅4+11=107
جواب: c=107

وظیفه:

سیم 4 متر باید به قطعات 13 سانتی متری بریده شود. چند قطعه از این دست وجود خواهد داشت؟

راه حل:
ابتدا باید متر را به سانتی متر تبدیل کنید.
4 متر = 400 سانتی متر.
ما می توانیم بر یک ستون تقسیم کنیم یا در ذهنمان به این نتیجه می رسیم:
400:13=30 (10 باقیمانده)
بیایید بررسی کنیم:
13⋅30+10=390+10=400

پاسخ: 30 قطعه می گیرید و 10 سانتی متر سیم باقی می ماند.

در این مقاله به بررسی خواهیم پرداخت تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده. بیایید با اصل کلی تقسیم اعداد صحیح با باقیمانده شروع کنیم، قضیه تقسیم پذیری اعداد صحیح با باقیمانده را فرموله و اثبات کنیم و ارتباطات بین تقسیم کننده، مقسوم علیه، نصاب ناقص و باقیمانده را دنبال کنیم. در مرحله بعد، قوانینی را که بر اساس آنها اعداد صحیح با باقیمانده تقسیم می شوند، بیان می کنیم و کاربرد این قوانین را هنگام حل مثال ها در نظر می گیریم. پس از این، یاد خواهیم گرفت که چگونه نتیجه تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده بررسی کنیم.

پیمایش صفحه.

درک کلی از تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده

ما تقسیم اعداد صحیح با باقیمانده را به عنوان تعمیم تقسیم با باقیمانده اعداد طبیعی در نظر خواهیم گرفت. این به دلیل این واقعیت است که اعداد طبیعی جزء اعداد صحیح هستند.

بیایید با اصطلاحات و عباراتی که در توضیحات استفاده می شود شروع کنیم.

بر اساس قیاس با تقسیم اعداد طبیعی با باقیمانده، نتیجه تقسیم با باقیمانده دو عدد صحیح a و b (b برابر با صفر نیست) دو عدد صحیح c و d است. اعداد a و b نامیده می شوند قابل تقسیمو تقسیم کنندهبر این اساس، عدد d - بقیهاز تقسیم a بر b، و عدد صحیح c نامیده می شود خصوصی ناقص(یا به سادگی خصوصی، اگر باقیمانده صفر باشد).

اجازه دهید قبول کنیم که باقیمانده یک عدد صحیح غیر منفی است، و مقدار آن از b تجاوز نمی کند، یعنی، (زمانی که در مورد مقایسه سه یا چند عدد صحیح صحبت کردیم، با زنجیره های مشابهی از نابرابری ها مواجه شدیم).

اگر عدد c یک ضریب ناقص باشد و عدد d باقیمانده تقسیم عدد صحیح a بر عدد صحیح b باشد، به طور خلاصه این واقعیت را به صورت تساوی به شکل a:b=c (باقیمانده d) می نویسیم.

توجه داشته باشید که هنگام تقسیم یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b، باقیمانده ممکن است صفر باشد. در این صورت می گوییم a بر b بخش پذیر است بدون هیچ ردی(یا به صورت کامل). بنابراین تقسیم اعداد صحیح بدون باقیمانده مورد خاصی از تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده است.

همچنین شایان ذکر است که هنگام تقسیم صفر بر یک عدد صحیح، همیشه با تقسیم بدون باقی مانده سروکار داریم، زیرا در این صورت ضریب برابر با صفر خواهد بود (به بخش تئوری تقسیم صفر بر یک عدد صحیح مراجعه کنید) و باقیمانده نیز برابر با صفر خواهد بود.

ما در مورد اصطلاحات و نشانه گذاری تصمیم گرفته ایم، اکنون بیایید معنای تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده درک کنیم.

تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح مثبت b نیز می تواند معنا پیدا کند. برای این کار یک عدد صحیح منفی را به عنوان بدهی در نظر بگیرید. بیایید این وضعیت را تصور کنیم. بدهی که اقلام را تشکیل می دهد باید توسط b نفر با مشارکت مساوی بازپرداخت شود. قدر مطلق ضریب ناقص c در این حالت میزان بدهی هر یک از این افراد را مشخص می کند و d باقی مانده نشان می دهد که پس از پرداخت بدهی چند مورد باقی می ماند. بیایید یک مثال بزنیم. فرض کنید 2 نفر 7 سیب بدهکار هستند. اگر فرض کنیم که هر کدام از آنها 4 سیب بدهکار هستند، پس از پرداخت بدهی، 1 سیب برای آنها باقی می ماند. این وضعیت با برابری (-7): 2=-4 (1 باقی مانده) مطابقت دارد.

ما هیچ معنایی به تقسیم با باقیمانده یک عدد صحیح دلخواه a به یک عدد صحیح منفی نمی دهیم، اما حق وجود آن را برای خود محفوظ می دانیم.

قضیه تقسیم پذیری اعداد صحیح با باقیمانده

وقتی در مورد تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده صحبت کردیم، متوجه شدیم که سود تقسیم a، مقسوم علیه b، ضریب جزئی c و باقیمانده d با تساوی a=b·c+d مرتبط هستند. اعداد صحیح a، b، c و d رابطه یکسانی دارند. این ارتباط به شرح زیر تایید می شود قضیه تقسیم پذیری با باقی مانده.

قضیه.

هر عدد صحیح a را می توان به طور منحصر به فرد از طریق یک عدد صحیح و غیر صفر b به شکل a=b·q+r نشان داد، که در آن q و r برخی از اعداد صحیح هستند و .

اثبات

ابتدا امکان نمایش a=b·q+r را اثبات می کنیم.

اگر اعداد صحیح a و b به گونه ای باشند که a بر b بخش پذیر باشد، طبق تعریف یک عدد صحیح q وجود دارد به طوری که a=b·q. در این حالت، برابری a=b·q+r در r=0 برقرار است.

حال فرض می کنیم که b یک عدد صحیح مثبت است. اجازه دهید یک عدد صحیح q را انتخاب کنیم تا حاصل ضرب b·q از عدد a تجاوز نکند و حاصل ضرب b·(q+1) از قبل بزرگتر از a باشد. یعنی q را طوری می گیریم که نابرابری های b q

باقی مانده است که امکان نمایش a=b·q+r برای منفی b را اثبات کنیم.

از آنجایی که مدول عدد b در این مورد یک عدد مثبت است، پس برای نمایشی وجود دارد که در آن q 1 مقداری صحیح است، و r یک عدد صحیح است که شرایط را برآورده می کند. سپس، با گرفتن q=−q 1، نمایشی را که برای منفی b به a=b·q+r نیاز داریم، بدست می آوریم.

بیایید به اثبات منحصر به فرد بودن برویم.

فرض کنید که علاوه بر نمایش a=b·q+r، q و r اعداد صحیح هستند و، نمایش دیگری نیز وجود دارد a=b·q 1 +r 1، که در آن q 1 و r 1 برخی از اعداد صحیح هستند و q 1 ≠ س و .

پس از تفریق سمت چپ و راست تساوی دوم به ترتیب از سمت چپ و راست تساوی اول، 0=b·(q−q 1)+r−r 1 را به دست می آوریم که معادل برابری r− است. r 1 =b·(q 1-q) . سپس یک برابری شکل ، و با توجه به خواص مدول اعداد، برابری .

از شرایط می توان نتیجه گرفت که. از آنجایی که q و q 1 اعداد صحیح و q≠q 1 هستند، پس نتیجه می گیریم که . از نابرابری های به دست آمده و نتیجه می شود که برابری شکل تحت فرض ما غیر ممکن است بنابراین، هیچ نمایش دیگری از عدد a به جز a=b·q+r وجود ندارد.

روابط بین سود سهام، مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده

برابری a=b·c+d به شما این امکان را می دهد که سود مجهول a را در صورتی که مقسوم علیه b، ضریب جزئی c و باقیمانده d شناخته شده باشند، بیابید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

اگر با تقسیم بر عدد صحیح 21-، حاصل یک ضریب ناقص 5 و باقیمانده 12 باشد، ارزش سود چقدر است؟

راه حل.

زمانی که مقسوم علیه b=−21، ضریب جزئی c=5 و باقیمانده d=12 مشخص باشد، باید سود سهام a را محاسبه کنیم. با چرخش به برابری a=b·c+d، a=(-21)·5+12 را به دست می آوریم. با مشاهده، ابتدا اعداد صحیح -21 و 5 را طبق قانون ضرب اعداد صحیح با علامت های مختلف ضرب می کنیم و پس از آن جمع اعداد صحیح با علائم مختلف را انجام می دهیم: (-21)·5+12=-105+12=-93. .

پاسخ:

−93 .

ارتباط بین سود تقسیمی، مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده نیز با برابری هایی به شکل b=(a−d):c، c=(a−d):b و d=a−b·c بیان می شود. این تساوی ها به شما امکان می دهد به ترتیب مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده را محاسبه کنید. وقتی سود تقسیمی، مقسوم علیه و ضریب جزئی مشخص باشد، با استفاده از فرمول d=a-b·c، اغلب مجبور می شویم باقیمانده را هنگام تقسیم یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b پیدا کنیم. برای جلوگیری از هرگونه سوال بیشتر، به مثالی از محاسبه باقی مانده نگاه می کنیم.

مثال.

اگر می دانید که ضریب جزئی برابر با 7- است، باقیمانده را هنگام تقسیم عدد صحیح −19 بر عدد صحیح 3 پیدا کنید.

راه حل.

برای محاسبه باقی مانده تقسیم، از فرمولی به شکل d=a−b·c استفاده می کنیم. از شرط ما تمام داده های لازم a=−19, b=3, c=−7 را داریم. ما d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 را دریافت می‌کنیم (تفاوت −19−(−21) را با استفاده از قانون محاسبه کردیم. تفریق یک عدد صحیح منفی).

پاسخ:

تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح مثبت، مثال

همانطور که بیش از یک بار اشاره کرده ایم، اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند. بنابراین، تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح مثبت طبق تمام قوانین تقسیم با باقیمانده اعداد طبیعی انجام می شود. بسیار مهم است که بتوانیم به راحتی تقسیم را با باقیمانده اعداد طبیعی انجام دهیم، زیرا این امر است که اساس تقسیم نه تنها اعداد صحیح مثبت، بلکه اساس همه قوانین برای تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح دلخواه است.

از دیدگاه ما، انجام تقسیم ستون راحت‌تر است. بیایید به مثالی از تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح مثبت نگاه کنیم.

مثال.

باقیمانده 14671 را بر 54 تقسیم کنید.

راه حل.

بیایید این اعداد صحیح مثبت را با یک ستون تقسیم کنیم:

ضریب جزئی برابر با 271 و باقیمانده برابر با 37 است.

پاسخ:

14 671:54=271 (استر. 37) .

قانون تقسیم باقیمانده یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی، مثال‌هایی

اجازه دهید قاعده ای را فرمول بندی کنیم که به ما امکان می دهد با باقیمانده یک عدد صحیح مثبت به یک عدد صحیح منفی تقسیم کنیم.

ضریب جزئی تقسیم یک عدد صحیح مثبت a بر یک عدد صحیح منفی b برعکس ضریب جزئی تقسیم a بر مدول b است و باقیمانده تقسیم a بر b برابر است با باقیمانده تقسیم بر.

از این قاعده نتیجه می شود که ضریب جزئی تقسیم یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی یک عدد صحیح غیر مثبت است.

بیایید قانون بیان شده را به الگوریتمی برای تقسیم با باقی مانده یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی تبدیل کنیم:

• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم می کنیم و ضریب جزئی و باقیمانده را به دست می آوریم. (اگر باقیمانده برابر با صفر باشد، اعداد اصلی بدون باقیمانده تقسیم می شوند و طبق قانون تقسیم اعداد صحیح با علامت مخالف، ضریب لازم برابر با عدد مقابل ضریب حاصل از تقسیم ماژول ها است. )
• عدد مقابل نصاب ناقص بدست آمده و باقیمانده را یادداشت می کنیم. این اعداد به ترتیب ضریب لازم و باقیمانده تقسیم عدد صحیح مثبت اصلی بر یک عدد صحیح منفی هستند.

بیایید مثالی از استفاده از الگوریتم تقسیم یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی ارائه دهیم.

مثال.

باقیمانده عدد صحیح مثبت 17 را بر عدد صحیح منفی -5 تقسیم کنید.

راه حل.

بیایید از الگوریتم تقسیم یک باقیمانده یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی استفاده کنیم.

با تقسیم

عدد مقابل 3 -3 است. بنابراین، ضریب جزئی لازم برای تقسیم 17 بر 5-3- و باقیمانده 2 است.

پاسخ:

17 :(-5)=-3 (2 باقیمانده).

مثال.

تقسیم کنید 45 در 15-.

راه حل.

ماژول های سود سهام و تقسیم کننده به ترتیب 45 و 15 هستند. عدد 45 بدون باقیمانده بر 15 بخش پذیر است و ضریب آن 3 است. بنابراین عدد صحیح مثبت 45 بدون باقیمانده بر عدد صحیح منفی 15- تقسیم می شود و ضریب برابر با عدد مقابل 3 یعنی 3- است. در واقع، طبق قانون تقسیم اعداد صحیح با علائم مختلف، داریم.

پاسخ:

45:(−15)=−3 .

تقسیم با باقی مانده یک عدد صحیح منفی بر یک عدد صحیح مثبت، مثال

اجازه دهید فرمول قانون تقسیم با باقی مانده یک عدد صحیح منفی بر یک عدد صحیح مثبت را ارائه دهیم.

برای به دست آوردن ضریب ناقص c از تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح مثبت b، باید عدد مقابل ضریب ناقص را از تقسیم مدول اعداد اصلی گرفته و یک عدد از آن کم کنید و پس از آن باقیمانده d محاسبه می شود. با استفاده از فرمول d=a−b·c.

از این قاعده تقسیم با باقیمانده، نتیجه می شود که نصاب جزئی تقسیم یک عدد صحیح منفی بر یک عدد صحیح مثبت، یک عدد صحیح منفی است.

از قاعده بیان شده الگوریتمی برای تقسیم با باقی مانده یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح مثبت b به دست می آید:

• یافتن ماژول های سود سهام و مقسوم علیه.
• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم می کنیم و ضریب جزئی و باقیمانده را به دست می آوریم. (اگر باقیمانده صفر باشد، اعداد صحیح اصلی بدون باقیمانده تقسیم می شوند و ضریب لازم برابر با عدد مقابل ضریب تقسیم مدول است.)
• عدد مقابل نصاب ناقص حاصل را یادداشت می کنیم و عدد 1 را از آن کم می کنیم. عدد محاسبه شده ضریب جزئی c مورد نظر از تقسیم عدد صحیح منفی اصلی بر یک عدد صحیح مثبت است.

بیایید راه حل مثال را تجزیه و تحلیل کنیم، که در آن از الگوریتم تقسیم نوشتاری با باقی مانده استفاده می کنیم.

مثال.

ضریب جزئی و باقیمانده را هنگام تقسیم عدد صحیح منفی 17 بر عدد صحیح مثبت 5 بیابید.

راه حل.

مدول تقسیم کننده 17- برابر با 17 و مدول تقسیم کننده 5 برابر با 5 است.

با تقسیم 17 در 5 نصف جزئی 3 و باقیمانده 2 را می گیریم.

نقطه مقابل 3 -3 است. یک را از −3 کم کنید: −3−1=−4. بنابراین، ضریب جزئی مورد نیاز برابر با 4- است.

تنها چیزی که باقی می ماند محاسبه باقی مانده است. در مثال ما a=−17، b=5، c=−4، سپس d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

بنابراین، ضریب جزئی تقسیم عدد صحیح منفی 17 بر عدد صحیح مثبت 5 برابر با 4- و باقیمانده 3 است.

پاسخ:

(−17):5=−4 (3 باقیمانده) .

مثال.

عدد صحیح منفی 1404- را بر عدد صحیح مثبت 26 تقسیم کنید.

راه حل.

ماژول تقسیم سود 1404، ماژول تقسیم کننده 26 است.

با استفاده از ستون 1404 را بر 26 تقسیم کنید:

از آنجایی که ماژول تقسیم بر ماژول مقسوم علیه بدون باقی مانده تقسیم می شود، اعداد صحیح اصلی بدون باقیمانده تقسیم می شوند و ضریب مورد نظر برابر با عدد مقابل 54 است، یعنی 54-.

پاسخ:

(−1 404):26=−54 .

قانون تقسیم با باقیمانده برای اعداد صحیح منفی، مثال

اجازه دهید قانون تقسیم را با باقیمانده اعداد صحیح منفی فرموله کنیم.

برای به دست آوردن ضریب ناقص c از تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح منفی b، باید ضریب ناقص حاصل از تقسیم ماژول های اعداد اصلی را محاسبه کرده و یک عدد به آن اضافه کنید، پس از آن باقیمانده d با استفاده از فرمول d محاسبه می شود. =a−b·c.

از این قاعده نتیجه می شود که ضریب جزئی تقسیم اعداد صحیح منفی یک عدد صحیح مثبت است.

بیایید قانون بیان شده را در قالب یک الگوریتم برای تقسیم اعداد صحیح منفی بازنویسی کنیم:

• یافتن ماژول های سود سهام و مقسوم علیه.
• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم می کنیم و ضریب جزئی و باقیمانده را به دست می آوریم. (اگر باقیمانده صفر باشد، اعداد صحیح اصلی بدون باقیمانده تقسیم می شوند و ضریب لازم برابر است با نصاب مدول مقسوم علیه تقسیم بر مدول مقسوم علیه.)
• به ضریب ناقص حاصله یک عدد اضافه می کنیم.
• باقیمانده را با استفاده از فرمول d=a−b·c محاسبه می کنیم.

اجازه دهید هنگام حل مثال، استفاده از الگوریتم تقسیم اعداد صحیح منفی را در نظر بگیریم.

مثال.

ضریب جزئی و باقیمانده را هنگام تقسیم یک عدد صحیح منفی -17 بر یک عدد صحیح منفی -5 پیدا کنید.

راه حل.

بیایید از الگوریتم تقسیم مناسب با باقی مانده استفاده کنیم.

ماژول سود سهام 17 و ماژول تقسیم کننده 5 است.

بخش 17 روی 5 ضریب جزئی 3 و مابقی 2 را می دهد.

به ضریب ناقص 3 یک اضافه می کنیم: 3+1=4. بنابراین، ضریب جزئی لازم برای تقسیم 17- بر 5 برابر با 4 است.

تنها چیزی که باقی می ماند محاسبه باقی مانده است. در این مثال a=−17، b=−5، c=4، سپس d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

بنابراین، ضریب جزئی تقسیم یک عدد صحیح منفی -17 بر یک عدد صحیح منفی -5 برابر 4 و باقیمانده 3 است.

پاسخ:

(-17): (-5)=4 (3 باقی مانده) .

بررسی نتیجه تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده

پس از تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده، بررسی نتیجه مفید است. تایید در دو مرحله انجام می شود. در مرحله اول، بررسی می شود که آیا باقیمانده d یک عدد غیر منفی است یا خیر، و همچنین بررسی می شود که آیا شرط برقرار است یا خیر. اگر تمام شرایط مرحله اول تأیید وجود داشته باشد، می توانید به مرحله دوم تأیید بروید، در غیر این صورت می توان استدلال کرد که در هنگام تقسیم با باقی مانده، در جایی خطایی رخ داده است. در مرحله دوم، اعتبار برابری a=b·c+d بررسی می شود. اگر این برابری درست باشد، تقسیم با باقیمانده به درستی انجام شده است، در غیر این صورت در جایی خطایی رخ داده است.

بیایید به راه حل هایی برای مثال هایی نگاه کنیم که در آنها نتیجه تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده بررسی می شود.

مثال.

هنگام تقسیم عدد -521 بر -12، ضریب جزئی 44 و باقیمانده 7 بود، نتیجه را بررسی کنید.

راه حل. −2 برای b=−3، c=7، d=1. ما داریم b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. بنابراین، برابری a=b·c+d نادرست است (در مثال ما a=−19).

بنابراین، تقسیم با باقی مانده به اشتباه انجام شد.

این مقاله به بررسی مفهوم تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده می پردازد. بیایید قضیه تقسیم پذیری اعداد صحیح را با باقی مانده ثابت کنیم و به ارتباط بین تقسیم کننده ها و مقسوم علیه ها، ضرایب ناقص و باقیمانده ها نگاه کنیم. بیایید در هنگام تقسیم اعداد صحیح با باقیمانده قوانین را بررسی کنیم و با استفاده از مثال به آنها نگاه کنیم. در پایان راه حل ما یک بررسی انجام می دهیم.

درک کلی از تقسیم اعداد صحیح با باقیمانده

تقسیم اعداد صحیح با باقیمانده به عنوان یک تقسیم تعمیم یافته با باقیمانده اعداد طبیعی در نظر گرفته می شود. این کار به این دلیل انجام می شود که اعداد طبیعی جزء اعداد صحیح هستند.

تقسیم با باقیمانده یک عدد دلخواه می گوید که عدد صحیح a بر عدد غیر صفر b تقسیم می شود. اگر b = 0 باشد، با باقی مانده تقسیم نکنید.

درست مانند تقسیم اعداد طبیعی با باقیمانده، اعداد صحیح a و b با b نه صفر، بر c و d تقسیم می شوند. در این صورت a و b تقسیم کننده و مقسوم علیه نامیده می شوند و d باقیمانده تقسیم است، c یک عدد صحیح یا ناقص است.

اگر فرض کنیم که باقیمانده یک عدد صحیح غیر منفی است، مقدار آن از مدول عدد b بیشتر نیست. بیایید آن را به این صورت بنویسیم: 0 ≤ d ≤ b. این زنجیره نابرابری هنگام مقایسه 3 عدد یا بیشتر استفاده می شود.

اگر c یک ضریب ناقص باشد، d باقیمانده تقسیم عدد صحیح a بر b است که می توان به طور خلاصه بیان کرد: a: b = c (باقیمانده d).

باقیمانده هنگام تقسیم اعداد a بر b می تواند صفر باشد، سپس می گویند a به طور کامل بر b بخش پذیر است، یعنی بدون باقی مانده. تقسيم بدون باقيمانده از موارد خاص تقسيم محسوب مي شود.

اگر صفر را بر عددی تقسیم کنیم، نتیجه صفر می شود. باقی مانده تقسیم نیز صفر خواهد بود. این را می توان از تئوری تقسیم صفر بر یک عدد صحیح ردیابی کرد.

حال بیایید به معنای تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده نگاه کنیم.

معلوم است که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، پس هنگام تقسیم با باقیمانده، همان معنایی به دست می آید که هنگام تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده است.

تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح مثبت b منطقی است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. وضعیتی را تصور کنید که ما بدهی اقلامی به مقدار a داریم که باید توسط b شخص بازپرداخت شود. برای رسیدن به این هدف، همه باید به طور مساوی مشارکت کنند. برای تعیین میزان بدهی برای هر یک، باید به ارزش خصوصی ها توجه کنید. باقیمانده d نشان می دهد که تعداد اقلام پس از پرداخت بدهی مشخص است.

بیایید به مثال سیب نگاه کنیم. اگر 2 نفر 7 سیب بدهکار باشند. اگر محاسبه کنیم که همه باید 4 سیب برگردانند، پس از محاسبه کامل، 1 سیب برای آنها باقی می ماند. اجازه دهید این را به عنوان یک برابر بنویسیم: (− 7) : 2 = − 4 (از t. 1) .

تقسیم هر عدد a بر یک عدد صحیح منطقی نیست، اما به عنوان یک گزینه امکان پذیر است.

قضیه تقسیم پذیری اعداد صحیح با باقیمانده

ما تشخیص دادیم که a سود تقسیمی است، سپس b مقسوم علیه، c ضریب جزئی و d باقیمانده است. آنها به یکدیگر متصل هستند. ما این ارتباط را با استفاده از برابری a = b · c + d نشان خواهیم داد. ارتباط بین آنها با قضیه تقسیم پذیری با باقیمانده مشخص می شود.

قضیه

هر عدد صحیح را فقط می توان از طریق یک عدد صحیح و غیر صفر b به این صورت نشان داد: a = b · q + r، که در آن q و r برخی از اعداد صحیح هستند. در اینجا ما 0 ≤ r ≤ b داریم.

اجازه دهید امکان وجود a = b · q + r را اثبات کنیم.

اثبات

اگر دو عدد a و b وجود داشته باشد و a بدون باقیمانده بر b بخش پذیر باشد، از تعریف چنین بر می آید که عدد q وجود دارد و تساوی a = b · q صادق خواهد بود. سپس برابری را می توان درست در نظر گرفت: a = b · q + r برای r = 0.

سپس لازم است q را طوری بگیریم که با نابرابری b · q داده می شود< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

داریم که مقدار عبارت a − b · q بزرگتر از صفر است و از مقدار b بزرگتر نیست، از این رو r = a − b · q است. دریافتیم که عدد a را می توان به شکل a = b · q + r نشان داد.

اکنون باید نمایش a = b · q + r را برای مقادیر منفی b در نظر بگیریم.

مدول عدد مثبت می شود، سپس a = b · q 1 + r را دریافت می کنیم، جایی که مقدار q 1 مقداری صحیح است، r یک عدد صحیح است که شرط 0 ≤ r را برآورده می کند.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

اثبات منحصر به فرد بودن

فرض کنید a = b q + r، q و r اعداد صحیح با شرط 0 ≤ r درست هستند.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1و r 1برخی از اعداد که در آن q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

وقتی نابرابری از سمت چپ و راست کم شود، 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 به دست می آید که معادل r - r 1 = b · q 1 - q است. از آنجایی که ماژول استفاده می شود، برابری r - r 1 = b · q 1 - q را به دست می آوریم.

شرط داده شده می گوید که 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qو q 1- کل، و q ≠ q 1، سپس q 1 - q ≥ 1. از اینجا داریم که b · q 1 - q ≥ b. نابرابری های حاصل از r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

نتیجه می شود که عدد a را نمی توان به روش دیگری نشان داد مگر با نوشتن a = b · q + r.

رابطه بین سود تقسیمی، مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده

با استفاده از تساوی a = b · c + d، می توانید سود مجهول a را زمانی که مقسوم علیه b با ضریب ناقص c و باقیمانده d شناخته شده است، پیدا کنید.

مثال 1

سود سهام را در صورتی تعیین کنید که پس از تقسیم، - 21 به دست آید، نصاب جزئی 5 و باقیمانده 12 باشد.

راه حل

لازم است سود سهام a را با یک مقسوم علیه شناخته شده b = - 21، ضریب ناقص c = 5 و باقیمانده d = 12 محاسبه کنیم. باید به برابری a = b · c + d برگردیم، از اینجا a = (− 21) · 5 + 12 به دست می‌آید. اگر ترتیب اعمال را دنبال کنیم، - 21 را در 5 ضرب می کنیم، پس از آن (- 21) · 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 به دست می آید.

پاسخ: - 93 .

ارتباط بین مقسوم علیه و نصاب جزئی و باقیمانده را می توان با استفاده از تساوی بیان کرد: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b و d = a − b · c . با کمک آنها می توانیم مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده را محاسبه کنیم. این به یافتن دائمی باقیمانده هنگام تقسیم یک عدد صحیح از اعداد صحیح a بر b با یک تقسیم‌کننده، مقسوم‌کننده و ضریب جزئی مشخص می‌شود. فرمول d = a − b · c اعمال می شود. بیایید راه حل را با جزئیات در نظر بگیریم.

مثال 2

باقیمانده را هنگام تقسیم عدد صحیح - 19 بر عدد صحیح 3 با ضریب ناقص شناخته شده برابر با - 7 پیدا کنید.

راه حل

برای محاسبه باقی مانده تقسیم، فرمولی به شکل d = a − b · c را اعمال می کنیم. طبق شرایط، همه داده ها در دسترس هستند: a = - 19، b = 3، c = - 7. از اینجا d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (تفاوت − 19 − (− 21) به دست می آید. با استفاده از قانون تفریق یک عدد صحیح منفی.

پاسخ: 2 .

همه اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند. نتیجه این است که تقسیم طبق تمام قوانین تقسیم با باقیمانده اعداد طبیعی انجام می شود. سرعت تقسیم با باقیمانده اعداد طبیعی مهم است، زیرا نه تنها تقسیم اعداد مثبت، بلکه قوانین تقسیم اعداد صحیح دلخواه نیز بر اساس آن است.

راحت ترین روش تقسیم یک ستون است، زیرا گرفتن یک ناقص یا صرفاً یک ضریب با باقیمانده آسانتر و سریعتر است. بیایید راه حل را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

مثال 3

14671 را بر 54 تقسیم کنید.

راه حل

این تقسیم باید در یک ستون انجام شود:

یعنی ضریب جزئی برابر با 271 و باقیمانده 37 است.

پاسخ: 14671: 54 = 271. (37 بقیه)

قانون تقسیم باقیمانده یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی، مثال‌هایی

برای انجام تقسیم با باقی مانده یک عدد مثبت بر یک عدد صحیح منفی، لازم است یک قانون فرموله شود.

تعریف 1

از ضریب ناقص تقسیم عدد صحیح مثبت a بر عدد صحیح منفی b عددی به دست می آید که مخالف ضریب ناقص تقسیم مدول اعداد a بر b است. سپس وقتی a بر b تقسیم شود، باقیمانده برابر با باقیمانده است.

از این رو داریم که ضریب ناقص تقسیم یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی یک عدد صحیح غیر مثبت در نظر گرفته می شود.

الگوریتم را دریافت می کنیم:

• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم می کنیم، سپس یک ضریب ناقص بدست می آوریم و
• باقی مانده؛
• بیایید عدد مقابل چیزی را که به دست آوردیم بنویسیم.

بیایید به مثال الگوریتم تقسیم یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی نگاه کنیم.

مثال 4

باقیمانده 17 را بر 5 تقسیم کنید.

راه حل

بیایید الگوریتم تقسیم با باقی مانده یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی را اعمال کنیم. تقسیم 17 بر - 5 مدول ضروری است. از این نتیجه می گیریم که ضریب جزئی برابر با 3 و باقیمانده برابر با 2 است.

عدد مورد نیاز را از تقسیم 17 بر - 5 = - 3 با باقیمانده 2 بدست می آوریم.

پاسخ: 17: (- 5) = - 3 (2 باقیمانده).

مثال 5

باید 45 را بر 15 تقسیم کنید.

راه حل

لازم است که مدول اعداد را تقسیم کنیم. عدد 45 را بر 15 تقسیم می کنیم، ضریب 3 را بدون باقی مانده بدست می آوریم. یعنی عدد 45 بدون باقیمانده بر 15 بخش پذیر است. پاسخ این است - 3، زیرا تقسیم به صورت مدول انجام شد.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

پاسخ: 45: (− 15) = − 3 .

فرمول قاعده تقسیم با باقیمانده به شرح زیر است.

تعریف 2

برای به دست آوردن یک ضریب ناقص c هنگام تقسیم یک عدد صحیح منفی a به مثبت b، باید برعکس عدد داده شده را اعمال کنید و 1 را از آن کم کنید، سپس باقیمانده d با فرمول محاسبه می شود: d = a - قبل از میلاد مسیح.

بر اساس قانون می توان نتیجه گرفت که هنگام تقسیم یک عدد صحیح غیر منفی به دست می آوریم. برای اطمینان از صحت جواب، از الگوریتم تقسیم a بر b با باقی مانده استفاده کنید:

• ماژول های سود و تقسیم کننده را پیدا کنید.
• مدول تقسیم؛
• برعکس عدد داده شده را بنویسید و 1 را کم کنید.
• از فرمول باقیمانده d = a − b · c استفاده کنید.

بیایید به مثالی از راه حلی که در آن از این الگوریتم استفاده شده است نگاه کنیم.

مثال 6

ضریب جزئی و باقیمانده تقسیم - 17 بر 5 را پیدا کنید.

راه حل

ما مدول اعداد داده شده را تقسیم می کنیم. متوجه می شویم که هنگام تقسیم، ضریب 3 و باقیمانده 2 است. از آنجایی که ما 3 گرفتیم، برعکس آن 3 است. باید 1 را کم کنید.

− 3 − 1 = − 4 .

مقدار مورد نظر برابر است با - 4.

برای محاسبه باقی مانده، به a = − 17، b = 5، c = − 4، سپس d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = نیاز دارید. 3 .

این بدان معنی است که ضریب ناقص تقسیم عدد - 4 با باقیمانده برابر با 3 است.

پاسخ:(− 17) : 5 = − 4 (3 باقیمانده).

مثال 7

عدد صحیح منفی 1404 را بر مثبت 26 تقسیم کنید.

راه حل

لازم است که بر اساس ستون و ماژول تقسیم شود.

ما تقسیم بندی ماژول های اعداد را بدون باقی مانده بدست آوردیم. این بدان معنی است که تقسیم بدون باقیمانده انجام می شود و ضریب مورد نظر = - 54 است.

پاسخ: (− 1 404) : 26 = − 54 .

قانون تقسیم با باقیمانده برای اعداد صحیح منفی، مثال

لازم است قاعده ای برای تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح منفی تنظیم شود.

تعریف 3

برای بدست آوردن یک ضریب ناقص c از تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح منفی b، باید محاسبات مدول را انجام دهیم، سپس 1 را اضافه کنیم، سپس می توانیم با استفاده از فرمول d = a − b · c محاسبات را انجام دهیم.

نتیجه می شود که ضریب ناقص تقسیم اعداد صحیح منفی یک عدد مثبت خواهد بود.

اجازه دهید این قانون را در قالب یک الگوریتم فرموله کنیم:

• ماژول های سود و تقسیم کننده را پیدا کنید.
• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم کنید تا یک ضریب ناقص با
• باقی مانده؛
• اضافه کردن 1 به ضریب ناقص؛
• محاسبه باقی مانده بر اساس فرمول d = a - b · c.

بیایید با استفاده از یک مثال به این الگوریتم نگاه کنیم.

مثال 8

ضریب جزئی و باقیمانده را هنگام تقسیم - 17 بر - 5 پیدا کنید.

راه حل

برای صحت جواب از الگوریتم تقسیم با باقی مانده استفاده می کنیم. ابتدا مدول اعداد را تقسیم کنید. از این نتیجه می گیریم که ضریب ناقص 3 و باقیمانده 2 است. طبق قانون باید ضریب ناقص و 1 را اضافه کنید. ما می گیریم که 3 + 1 = 4. از اینجا می گیریم که ضریب جزئی تقسیم اعداد داده شده برابر با 4 است.

برای محاسبه باقی مانده از فرمول استفاده می کنیم. با شرطی داریم که a = - 17، b = - 5، c = 4، سپس با استفاده از فرمول، d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . جواب مورد نیاز یعنی باقیمانده برابر با 3 و ضریب جزئی برابر با 4 است.

پاسخ:(− 17) : (− 5) = 4 (3 باقیمانده).

بررسی نتیجه تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده

پس از تقسیم اعداد با باقی مانده، باید یک بررسی انجام دهید. این بررسی شامل 2 مرحله است. ابتدا باقیمانده d برای غیر منفی بودن بررسی می شود، شرط 0 ≤ d برآورده می شود.< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 9

تقسیم بندی انجام می شود - 521 در - 12. ضریب 44 و باقیمانده 7 است. بررسی را انجام دهید.

راه حل

از آنجایی که باقیمانده یک عدد مثبت است، مقدار آن کمتر از مدول مقسوم علیه است. مقسوم علیه - 12 است، یعنی مدول آن 12 است. می توانید به نقطه چک بعدی بروید.

با شرط، داریم که a = - 521، b = - 12، c = 44، d = 7. از اینجا b · c + d را محاسبه می کنیم که b · c + d = - 12 · 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521. نتیجه می شود که برابری درست است. تأیید تأیید شد.

مثال 10

بررسی تقسیم را انجام دهید (- 17): 5 = - 3 (باقی مانده - 2). آیا برابری درست است؟

راه حل

نکته مرحله اول این است که باید تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده بررسی کرد. از اینجا مشخص می شود که عمل به اشتباه انجام شده است، زیرا باقیمانده برابر - 2 داده می شود. باقیمانده عدد منفی نیست.

ما شرط دوم را داریم اما برای این مورد کافی نیست.

پاسخ:خیر

مثال 11

عدد - 19 بر - 3 تقسیم شد. ضریب جزئی 7 و باقیمانده 1 است. بررسی کنید که آیا این محاسبه به درستی انجام شده است.

راه حل

باقیمانده برابر با 1 داده می شود. او مثبت است. مقدار کمتر از ماژول تقسیم کننده است، به این معنی که مرحله اول در حال تکمیل است. بیایید به مرحله دوم برویم.

بیایید مقدار عبارت b · c + d را محاسبه کنیم. با شرط، b = - 3، c = 7، d = 1، یعنی با جایگزینی مقادیر عددی، b · c + d = - 3 · 7 + 1 = - 21 + 1 = - 20 بدست می آوریم. نتیجه می شود که a = b · c + d برابری برقرار نیست، زیرا شرط a = - 19 را می دهد.

از اینجا نتیجه می شود که تقسیم با اشتباه انجام شده است.

پاسخ:خیر

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

علائم بخش پذیری اعداد- اینها قوانینی هستند که به شما امکان می دهند نسبتاً سریع و بدون تقسیم متوجه شوید که آیا این عدد بر یک عدد معین بدون باقی مانده بخش پذیر است یا خیر.
بعضی از نشانه های تقسیم پذیریبسیار ساده، برخی پیچیده تر. در این صفحه هم علائم بخش پذیری اعداد اول مانند 2، 3، 5، 7، 11 و نشانه های تقسیم پذیری اعداد مرکب مانند 6 یا 12 را خواهید دید.
امیدوارم این اطلاعات برای شما مفید باشد.
یادگیری مبارک!

بخش پذیری بر 2 را تست کنید

این یکی از ساده ترین نشانه های تقسیم پذیری است. به نظر می رسد: اگر نماد یک عدد طبیعی به یک رقم زوج ختم شود، آنگاه زوج است (بدون باقیمانده بر 2 بخش پذیر است) و اگر نماد یک عدد طبیعی به یک رقم فرد ختم شود، این عدد فرد است. .
به عبارت دیگر، اگر آخرین رقم یک عدد باشد 2 , 4 , 6 , 8 یا 0 - عدد بر 2 بخش پذیر است، اگر نه، پس قابل بخش نیست
به عنوان مثال اعداد: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 بر 2 بخش پذیر هستند زیرا زوج هستند.
اعداد: 23 5 , 137 , 2303
آنها بر 2 بخش پذیر نیستند زیرا فرد هستند.

بخش پذیری بر 3 را تست کنید

این علامت بخش پذیری قوانین کاملاً متفاوتی دارد: اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر باشد، آن اعداد بر 3 بخش پذیر است. اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر نباشد، آن عدد بر 3 بخش پذیر نیست.
این بدان معناست که برای درک اینکه آیا یک عدد بر 3 بخش پذیر است یا خیر، فقط باید اعدادی که آن را تشکیل می دهند را با هم جمع کنید.
به نظر می رسد: 3987 و 141 بر 3 بخش پذیر هستند، زیرا در حالت اول 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - قابل تقسیم بر 3)، و در دومی 1+4+1= 6 (6:3=2 - همچنین قابل تقسیم بر 3).
اما اعداد: 235 و 566 بر 3 بخش پذیر نیستند، زیرا 2+3+5= 10 و 5+6+6= 17 (و می دانیم که نه 10 و نه 17 بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر نیستند).

بخش پذیری بر 4 را تست کنید

این نشانه تقسیم پذیری پیچیده تر خواهد بود. اگر 2 رقم آخر یک عدد یک عدد قابل بخش بر 4 یا 00 را تشکیل دهد، آن عدد بر 4 بخش پذیر است، در غیر این صورت عدد داده شده بدون باقی مانده بر 4 بخش پذیر نیست.
به عنوان مثال: 1 00 و 3 64 بر 4 بخش پذیر هستند زیرا در حالت اول عدد به پایان می رسد 00 ، و در دوم در 64 که به نوبه خود بدون باقیمانده بر 4 بخش پذیر است (64:4=16)
اعداد 3 57 و 8 86 بر 4 بخش پذیر نیستند زیرا هیچ کدام 57 هیچ کدام 86 بر 4 بخش پذیر نیستند، به این معنی که با این معیار تقسیم پذیری مطابقت ندارند.

تست بخش پذیری بر 5

و دوباره یک علامت نسبتاً ساده از بخش پذیری داریم: اگر نماد یک عدد طبیعی به عدد 0 یا 5 ختم شود، آنگاه این عدد بر 5 بخش پذیر است، اگر نماد یک عدد با رقم دیگری به پایان برسد عدد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر نیست.
این بدان معنی است که هر عددی که به رقم ختم می شود 0 و 5 مثلاً 1235 5 و 43 0 ، تحت قاعده قرار می گیرند و بر 5 بخش پذیر هستند.
و مثلاً 1549 3 و 56 4 به عدد 5 یا 0 ختم نشوند، یعنی نمی توان آنها را بدون باقیمانده بر 5 تقسیم کرد.

بخش پذیری بر 6 را تست کنید

ما عدد مرکب 6 را داریم که حاصل ضرب اعداد 2 و 3 است. بنابراین علامت بخش پذیری بر 6 نیز مرکب است: برای اینکه یک عدد بر 6 بخش پذیر باشد باید با دو علامت مطابقت داشته باشد. بخش پذیری در همان زمان: علامت بخش پذیری بر 2 و علامت بخش پذیری بر 3. لطفاً توجه داشته باشید که عدد مرکب مانند 4 دارای علامت تقسیم پذیری فردی است، زیرا حاصل ضرب عدد 2 به خودی خود است. اما به آزمون بخش پذیری بر 6 برگردیم.
اعداد 138 و 474 زوج هستند و دارای معیارهای بخش پذیری بر 3 (1+3+8=12، 12:3=4 و 4+7+4=15، 15:3=5) هستند که به معنی بخش پذیر بودن آنهاست. بر 6. اما 123 و 447 اگرچه بر 3 بخش پذیرند (1+2+3=6، 6:3=2 و 4+4+7=15، 15:3=5)، اما فرد هستند که یعنی با معیار بخش پذیری بر 2 مطابقت ندارند و بنابراین با معیار تقسیم پذیری بر 6 مطابقت ندارند.

بخش پذیری بر 7 را تست کنید

این آزمون بخش پذیری پیچیده تر است: عددی بر 7 بخش پذیر است اگر حاصل تفریق دو برابر آخرین رقم از تعداد ده ها این عدد بر 7 یا برابر با 0 بخش پذیر باشد.
بسیار گیج کننده به نظر می رسد، اما در عمل ساده است. خودتان ببینید: شماره 95 9 بر 7 بخش پذیر است زیرا 95 -2*9=95-18=77، 77:7=11 (77 بدون باقیمانده بر 7 تقسیم می شود). علاوه بر این، اگر با تعداد به دست آمده در طول تبدیل مشکلاتی پیش بیاید (به دلیل اندازه آن، درک اینکه آیا بر 7 بخش پذیر است یا نه دشوار است، پس این روش را می توان هر چند بار که لازم دانستید ادامه داد).
مثلا، 45 5 و 4580 1 دارای خاصیت بخش پذیری بر 7 است. در مورد اول، همه چیز بسیار ساده است: 45 -2*5=45-10=35، 35:7=5. در مورد دوم این کار را انجام می دهیم: 4580 -2*1=4580-2=4578. برای ما دشوار است که بفهمیم آیا 457 8 در 7، پس بیایید این روند را تکرار کنیم: 457 -2*8=457-16=441. و دوباره از آزمون بخش پذیری استفاده خواهیم کرد، زیرا هنوز یک عدد سه رقمی در مقابل خود داریم 44 1. بنابراین، 44 -2*1=44-2=42، 42:7=6، یعنی. 42 بدون باقیمانده بر 7 بخش پذیر است، یعنی 45801 بر 7 بخش پذیر است.
در اینجا اعداد آمده است 11 1 و 34 5 بر 7 بخش پذیر نیست زیرا 11 -2*1=11-2=9 (9 بر 7 بخش پذیر نیست) و 34 -2*5=34-10=24 (24 بدون باقیمانده بر 7 بخش پذیر نیست).

تست بخش پذیری بر 8

آزمون بخش پذیری بر 8 به این صورت است: اگر 3 رقم آخر عددی را تشکیل دهند که بر 8 بخش پذیر است یا 000 باشد، عدد داده شده بر 8 بخش پذیر است.
اعداد 1 000 یا 1 088 تقسیم بر 8: اولی به پایان می رسد 000 ، دومین 88 :8=11 (بدون باقیمانده بر 8 بخش پذیر است).
و این هم اعداد 1 100 یا 4 757 بر 8 بخش پذیر نیستند زیرا اعداد 100 و 757 بدون باقی مانده بر 8 بخش پذیر نیستند.

تست بخش پذیری بر 9

این علامت بخش پذیری شبیه علامت بخش پذیری بر 3 است: اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر باشد، آن عدد بر 9 بخش پذیر است. اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر نباشد، آن عدد بر 9 بخش پذیر نیست.
برای مثال: 3987 و 144 بر 9 بخش پذیرند، زیرا در حالت اول 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - بخش پذیر بر 9 بدون باقیمانده)، و در دومی 1+4+4= 9 (9:9=1 - همچنین بر 9 بخش پذیر است).
اما اعداد 235 و 141 بر 9 بخش پذیر نیستند زیرا 2+3+5= 10 و 1+4+1= 6 (و می دانیم که نه 10 و نه 6 بدون باقی مانده بر 9 بخش پذیر نیستند).

علائم بخش پذیری بر 10، 100، 1000 و سایر واحدهای رقمی

من این نشانه‌های بخش‌پذیری را ترکیب کردم زیرا می‌توان آن‌ها را به همین شکل توصیف کرد: اگر تعداد صفرهای انتهای عدد بزرگ‌تر یا مساوی با تعداد صفرهای یک واحد رقمی معین باشد، بر یک واحد رقمی تقسیم می‌شود. .
به عبارت دیگر مثلاً اعداد زیر را داریم: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . که همه آنها بر 1 بخش پذیرند 0 ; 46400 و 867 000 بر 1 نیز بخش پذیرند 00 ; و تنها یکی از آنها 867 است 000 قابل تقسیم بر 1 000 .
هر اعدادی که صفرهای کمتری نسبت به واحد رقمی دارند بر آن واحد رقمی بخش پذیر نیستند، مثلاً 600. 30 و 7 93 غیر قابل تقسیم 1 00 .

تست بخش پذیری بر 11

برای اینکه بفهمید یک عدد بر 11 بخش پذیر است یا خیر، باید تفاوت مجموع ارقام زوج و فرد این عدد را بدست آورید. اگر این تفاوت برابر با 0 باشد یا بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر باشد، خود عدد بدون باقی مانده بر 11 بخش پذیر است.
برای روشن تر شدن موضوع، پیشنهاد می کنم نمونه هایی را مشاهده کنید: 2 35 4 بر 11 بخش پذیر است زیرا ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 نیز بر 11 بخش پذیر است زیرا ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
اینجا 1 است 1 1 یا 4 35 4 بر 11 بخش پذیر نیست، زیرا در حالت اول (1+1) - 1 =1 و در دومی ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

تست بخش پذیری بر 12

عدد 12 مرکب است. علامت تقسیم پذیری آن، مطابقت با علائم تقسیم پذیری بر 3 و 4 است.
به عنوان مثال، 300 و 636 هر دو با علائم بخش پذیری بر 4 (دو رقم آخر صفر هستند یا بر 4 بخش پذیر هستند) و علائم بخش پذیری بر 3 (مجموع ارقام هر دو عدد اول و سوم قابل بخش است. بر 3) اما در نهایت بدون باقیمانده بر 12 بخش پذیرند.
اما 200 یا 630 بر 12 بخش پذیر نیستند، زیرا در حالت اول عدد فقط با معیار بخش پذیری بر 4 و در حالت دوم فقط معیار تقسیم پذیری بر 3 را برآورده می کند، اما نه هر دو معیار را در یک زمان.

تست بخش پذیری بر 13

علامت بخش پذیری بر 13 این است که اگر تعداد ده ها عدد اضافه شده به واحدهای این عدد ضربدر 4 مضرب 13 یا مساوی 0 باشد، خود آن عدد بر 13 بخش پذیر است.
به عنوان مثال در نظر بگیریم 70 2. بنابراین، 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 بدون باقیمانده بر 13 بخش پذیر است) که به این معنی است 70 2 بدون باقی مانده بر 13 بخش پذیر است. مثال دیگر یک عدد است 114 4. 114 +4*4=130، 130:13=10. عدد 130 بدون باقیمانده بر 13 بخش پذیر است، یعنی عدد داده شده با معیار تقسیم پذیری بر 13 مطابقت دارد.
اگر اعداد را بگیریم 12 5 یا 21 2، سپس دریافت می کنیم 12 +4*5=32 و 21 به ترتیب +4*2=29 و نه 32 و نه 29 بدون باقی مانده بر 13 بخش پذیر نیستند، یعنی اعداد داده شده بدون باقی مانده بر 13 بخش پذیر نیستند.

تقسیم پذیری اعداد

همانطور که از موارد بالا مشاهده می شود، می توان فرض کرد که برای هر یک از اعداد طبیعی می توانید علامت جداگانه بخش پذیری خود را انتخاب کنید یا اگر عدد مضرب چندین اعداد مختلف باشد، یک علامت ترکیبی را انتخاب کنید. اما همانطور که تمرین نشان می دهد، به طور کلی هر چه عدد بزرگتر باشد، علامت آن پیچیده تر است. ممکن است زمان صرف شده برای بررسی معیار تقسیم پذیری برابر یا بیشتر از خود تقسیم باشد. به همین دلیل است که ما معمولا از ساده ترین نشانه های تقسیم پذیری استفاده می کنیم.