تعیین تغییرات حرکت بدن تکانه بدن چیست

کمیت های دینامیکی پایه: نیرو، جرم، ضربه بدن، گشتاور نیرو، تکانه زاویه ای.

نیرو یک کمیت برداری است که معیاری از عمل اجسام یا میدان های دیگر بر روی یک جسم معین است.

قدرت با موارد زیر مشخص می شود:

· مدول

جهت

نقطه کاربرد

در سیستم SI، نیرو بر حسب نیوتن اندازه گیری می شود.

برای اینکه بفهمیم نیروی یک نیوتن چیست، باید به خاطر داشته باشیم که نیرویی که به جسم وارد می شود سرعت آن را تغییر می دهد. علاوه بر این، بیایید اینرسی اجسام را به یاد بیاوریم، که همانطور که به یاد داریم، با جرم آنها مرتبط است. بنابراین،

یک نیوتن نیرویی است که سرعت جسمی به وزن 1 کیلوگرم را در هر ثانیه 1 متر بر ثانیه تغییر می دهد.

نمونه هایی از نیروها عبارتند از:

· جاذبه زمین- نیرویی که در نتیجه برهمکنش گرانشی بر جسم وارد می شود.

· نیروی الاستیک- نیرویی که بدن با آن در برابر بار خارجی مقاومت می کند. علت آن برهمکنش الکترومغناطیسی مولکول های بدن است.

· نیروی ارشمیدس- نیرویی مرتبط با این واقعیت است که یک جسم حجم معینی از مایع یا گاز را جابجا می کند.

· نیروی واکنش زمین- نیرویی که تکیه گاه بر روی بدنه ای که روی آن قرار دارد عمل می کند.

· نیروی اصطکاک- نیروی مقاومت در برابر حرکت نسبی سطوح تماس اجسام.

· کشش سطحی نیرویی است که در سطح مشترک بین دو رسانه ایجاد می شود.

· وزن بدن- نیرویی که بدن بر روی تکیه گاه افقی یا تعلیق عمودی وارد می کند.

و نیروهای دیگر.

قدرت با استفاده از یک دستگاه خاص اندازه گیری می شود. این دستگاه دینامومتر نامیده می شود (شکل 1). دینامومتر شامل فنر 1 است که کشش آن نیرو را به ما نشان می دهد، فلش 2، لغزش در امتداد مقیاس 3، میله محدود کننده 4 که از کشش بیش از حد فنر جلوگیری می کند و قلاب 5 که بار از آن معلق است.

برنج. 1. دینامومتر (منبع)

نیروهای زیادی می توانند روی بدن اثر بگذارند. برای توصیف صحیح حرکت یک جسم، استفاده از مفهوم نیروهای برآیند راحت است.

نیروی حاصل نیرویی است که عمل آن جایگزین عمل تمام نیروهای وارد شده به بدن می شود (شکل 2).

با دانستن قوانین کار با کمیت های برداری، به راحتی می توان حدس زد که برآیند تمام نیروهای اعمال شده به یک جسم، مجموع برداری این نیروها است.

برنج. 2. حاصل دو نیروی وارد بر جسم

علاوه بر این، از آنجایی که ما حرکت یک جسم را در برخی از سیستم مختصات در نظر می گیریم، معمولاً برای ما سودمند است که خود نیرو را در نظر نگیریم، بلکه طرح ریزی آن را روی محور در نظر بگیریم. طرح ریزی نیرو بر روی محور می تواند منفی یا مثبت باشد، زیرا پیش بینی یک کمیت اسکالر است. بنابراین، در شکل 3 برآمدگی نیروها نشان داده شده است، طرح نیرو منفی است و پیش بینی نیرو مثبت است.

برنج. 3. پیش بینی نیروها بر روی محور

بنابراین، از این درس ما درک خود را از مفهوم قدرت عمیق تر کرده ایم. واحدهای اندازه گیری نیرو و دستگاهی که نیرو با آن اندازه گیری می شود را به خاطر آوردیم. علاوه بر این، ما به این موضوع نگاه کردیم که چه نیروهایی در طبیعت وجود دارند. در نهایت یاد گرفتیم که وقتی چندین نیرو روی بدن وارد می شوند چگونه عمل کنیم.

وزنیک کمیت فیزیکی، یکی از ویژگی های اصلی ماده، تعیین کننده خواص اینرسی و گرانشی آن است. بر این اساس، بین جرم اینرسی و جرم گرانشی (سنگین، گرانشی) تفاوت قائل می‌شود.

مفهوم جرم توسط I. Newton وارد مکانیک شد. در مکانیک کلاسیک نیوتنی، جرم در تعریف تکانه (میزان حرکت) جسم گنجانده شده است: تکانه. آرمتناسب با سرعت بدن v, p = mv(1). ضریب تناسب یک مقدار ثابت برای یک جسم معین است متر- و جرم بدن است. تعریف معادل جرم از معادله حرکت مکانیک کلاسیک به دست می آید f = ma(2). در اینجا جرم ضریب تناسب بین نیروی وارد بر جسم است fو شتاب بدن ناشی از آن آ. جرمی که با روابط (1) و (2) تعریف می شود، جرم اینرسی یا جرم اینرسی نامیده می شود. ویژگی های دینامیکی یک جسم را مشخص می کند، معیاری برای اینرسی بدن است: با یک نیروی ثابت، جرم جسم بیشتر می شود، شتاب کمتری به دست می آورد، یعنی حالت حرکت آن کندتر تغییر می کند. اینرسی آن بیشتر است).

با اثرگذاری بر روی اجسام مختلف با نیروی یکسان و اندازه گیری شتاب آنها، می توان رابطه بین جرم این اجسام را تعیین کرد: m 1: m 2: m 3 ... = a 1: a 2: a 3 ...; اگر یکی از جرم ها به عنوان واحد اندازه گیری در نظر گرفته شود، جرم اجسام باقی مانده را می توان یافت.

در نظریه گرانش نیوتن، جرم به شکل دیگری ظاهر می شود - به عنوان منبع میدان گرانشی. هر جسم یک میدان گرانشی متناسب با جرم بدن ایجاد می کند (و تحت تأثیر میدان گرانشی ایجاد شده توسط اجسام دیگر است که قدرت آن نیز متناسب با جرم اجسام است). این میدان با نیرویی که توسط قانون گرانش نیوتن تعیین می شود باعث جذب هر جسم دیگری به این جسم می شود:

(3)

جایی که r- فاصله بین اجسام، جیثابت جهانی گرانش است، a متر 1و متر 2- انبوه اجسام جذب کننده. از فرمول (3) به راحتی می توان فرمول را بدست آورد وزن آرجرم بدن متردر میدان گرانشی زمین: P = میلی گرم (4).

اینجا g = G*M/r 2- شتاب سقوط آزاد در میدان گرانشی زمین و r » آر- شعاع زمین جرمی که با روابط (3) و (4) تعیین می شود، جرم گرانشی جسم نامیده می شود.

اصولاً از جایی به دست نمی آید که جرمی که میدان گرانشی را ایجاد می کند، اینرسی همان جسم را نیز تعیین می کند. با این حال، تجربه نشان داده است که جرم اینرسی و جرم گرانشی با یکدیگر متناسب هستند (و با انتخاب معمول واحدهای اندازه گیری، از نظر عددی برابر هستند). این قانون اساسی طبیعت را اصل هم ارزی می نامند. کشف آن با نام G. Galileo مرتبط است که ثابت کرد تمام اجسام روی زمین با یک شتاب سقوط می کنند. الف. انیشتین این اصل را (که برای اولین بار توسط او صورت‌بندی شد) در اساس نظریه نسبیت عام قرار داد. اصل هم ارزی به صورت تجربی با دقت بسیار بالا ایجاد شده است. برای اولین بار (1890-1906)، یک آزمون دقیق از برابری توده های اینرسی و گرانشی توسط L. Eotvos انجام شد، که دریافت که جرم ها با خطای ~ 10 -8 منطبق هستند. در سالهای 1959-1964، فیزیکدانان آمریکایی R. Dicke، R. Krotkov و P. Roll خطا را به 10 -11 کاهش دادند و در سال 1971، فیزیکدانان شوروی V.B.

اصل هم ارزی به ما این امکان را می دهد که به طور طبیعی توده بدن را با وزن کردن تعیین کنیم.

در ابتدا جرم (مثلاً توسط نیوتن) به عنوان اندازه گیری مقدار ماده در نظر گرفته شد. این تعریف فقط برای مقایسه اجسام همگن ساخته شده از یک ماده معنی واضحی دارد. بر افزودنی بودن جرم تأکید می کند - جرم یک جسم برابر است با مجموع جرم اجزای آن. جرم یک جسم همگن با حجم آن متناسب است، بنابراین می توان مفهوم چگالی - جرم واحد حجم یک جسم را معرفی کرد.

در فیزیک کلاسیک اعتقاد بر این بود که جرم بدن در هیچ فرآیندی تغییر نمی کند. این مطابق با قانون بقای جرم (ماده) بود که توسط M.V. Lomonosov و A.L. Lavoisier کشف شد. به ویژه این قانون بیان می کرد که در هر واکنش شیمیایی مجموع جرم اجزای اولیه برابر با مجموع جرم اجزای نهایی است.

مفهوم جرم در مکانیک نظریه نسبیت خاص A. انیشتین، که حرکت اجسام (یا ذرات) را با سرعت های بسیار بالا - قابل مقایسه با سرعت نور با ~ 3 10 10 سانتی متر در ثانیه - در نظر می گیرد، معنای عمیق تری پیدا کرد. در مکانیک جدید - به آن مکانیک نسبیتی می گویند - رابطه بین تکانه و سرعت یک ذره با این رابطه به دست می آید:

(5)

در سرعت های پایین ( v << ج) این رابطه وارد رابطه نیوتنی می شود p = mv. بنابراین ارزش m 0جرم سکون و جرم یک ذره متحرک نامیده می شود متربه عنوان ضریب تناسب وابسته به سرعت بین تعریف می شود پو v:

(6)

با توجه به این فرمول، آنها می گویند که جرم یک ذره (جسم) با افزایش سرعت آن رشد می کند. چنین افزایش نسبیتی در جرم یک ذره با افزایش سرعت آن باید در هنگام طراحی شتاب دهنده های ذرات باردار با انرژی بالا در نظر گرفته شود. توده استراحت m 0(جرم در چارچوب مرجع مرتبط با ذره) مهمترین مشخصه درونی ذره است. همه ذرات بنیادی معانی کاملاً مشخصی دارند m 0، ذاتی یک نوع معین از ذره است.

لازم به ذکر است که در مکانیک نسبیتی، تعریف جرم از معادله حرکت (2) معادل تعریف جرم به عنوان ضریب تناسب بین تکانه و سرعت ذره نیست، زیرا شتاب موازی نیست. به نیرویی که باعث آن شده است و جرم به جهت سرعت ذره بستگی دارد.

طبق نظریه نسبیت، جرم ذرات متربه انرژی او متصل است Eنسبت:

(7)

جرم سکون تعیین کننده انرژی درونی ذره است - به اصطلاح انرژی استراحت E 0 = m 0 s 2. بنابراین، انرژی همیشه با جرم مرتبط است (و بالعکس). بنابراین، هیچ قانون جداگانه ای (مانند فیزیک کلاسیک) در مورد بقای جرم و قانون بقای انرژی وجود ندارد - آنها در یک قانون واحد بقای انرژی کل (به عنوان مثال، از جمله انرژی باقیمانده ذرات) ادغام می شوند. تقسیم تقریبی به قانون بقای انرژی و قانون بقای جرم تنها در فیزیک کلاسیک امکان پذیر است، زمانی که سرعت ذرات کوچک است ( v << ج) و فرآیندهای تبدیل ذرات رخ نمی دهد.

در مکانیک نسبیتی، جرم یک مشخصه افزایشی جسم نیست. هنگامی که دو ذره با هم ترکیب می شوند و یک حالت پایدار ترکیبی ایجاد می کنند، انرژی اضافی (برابر انرژی اتصال) آزاد می شود. E، که با جرم D مطابقت دارد m = D E/s 2. بنابراین، جرم یک ذره مرکب کمتر از مجموع جرم ذرات تشکیل دهنده آن به مقدار D است. E/s 2(به اصطلاح نقص توده ای). این اثر به ویژه در واکنش های هسته ای مشهود است. به عنوان مثال، جرم دوترون ( د) کمتر از مجموع جرم پروتون است ( پ) و نوترون ( n) جرم عیب D مترمرتبط با انرژی به عنوان مثالگاما کوانتوم ( g) در هنگام تشکیل دوترون متولد شد: p + n -> d + g, E g = Dmc 2. نقص جرمی که در طول تشکیل یک ذره مرکب رخ می دهد، ارتباط آلی بین جرم و انرژی را منعکس می کند.

واحد جرم در سیستم واحدهای CGS است گرم، و در سیستم بین المللی واحدها SI - کیلوگرم. جرم اتم ها و مولکول ها معمولاً با واحد جرم اتمی اندازه گیری می شود. جرم ذرات بنیادی معمولاً یا بر حسب واحد جرم الکترون بیان می شود m e، یا در واحدهای انرژی، انرژی استراحت ذره مربوطه را نشان می دهد. بنابراین، جرم یک الکترون 0.511 MeV است، جرم یک پروتون 1836.1 است. m eیا 938.2 مگا ولت و غیره

ماهیت جرم یکی از مهمترین مسائل حل نشده فیزیک مدرن است. به طور کلی پذیرفته شده است که جرم یک ذره بنیادی توسط میدان های مرتبط با آن (الکترومغناطیسی، هسته ای و غیره) تعیین می شود. با این حال، نظریه کمی جرم هنوز ایجاد نشده است. همچنین هیچ نظریه ای وجود ندارد که توضیح دهد چرا جرم ذرات بنیادی یک طیف مجزا از مقادیر را تشکیل می دهد، بسیار کمتر به ما اجازه می دهد این طیف را تعیین کنیم.

در اخترفیزیک، جرم جسمی که میدان گرانشی ایجاد می کند، شعاع گرانشی بدن را تعیین می کند. R gr = 2GM/s 2. به دلیل جاذبه گرانشی، هیچ تابشی، از جمله نور، نمی تواند از سطح جسمی با شعاع خارج شود. R=< R гр . ستاره هایی با این اندازه نامرئی خواهند بود. به همین دلیل به آنها «سیاه چاله» می گفتند. چنین اجرام آسمانی باید نقش مهمی در جهان داشته باشند.

تکانه نیرو. تکانه بدن

مفهوم حرکت در نیمه اول قرن هفدهم توسط رنه دکارت معرفی شد و سپس توسط آیزاک نیوتن اصلاح شد. به گفته نیوتن، که تکانه را کمیت حرکت نامیده است، این اندازه گیری آن است، متناسب با سرعت یک جسم و جرم آن. تعریف مدرن: تکانه یک جسم مقداری فیزیکی است برابر حاصلضرب جرم جسم و سرعت آن:

اول از همه، از فرمول بالا مشخص می شود که ضربه یک کمیت برداری است و جهت آن با جهت سرعت بدن منطبق است: واحد اندازه گیری ضربه:

= [کیلوگرم متر بر ثانیه]

بیایید در نظر بگیریم که چگونه این کمیت فیزیکی با قوانین حرکت مرتبط است. بیایید قانون دوم نیوتن را بنویسیم، با در نظر گرفتن اینکه شتاب تغییر سرعت در طول زمان است:

بین نیروی وارد بر جسم یا به عبارت دقیق تر، نیروی حاصله و تغییر تکانه آن ارتباط وجود دارد. بزرگی حاصل ضرب یک نیرو و یک دوره زمانی را تکانه نیرو می گویند.از فرمول بالا مشخص می شود که تغییر تکانه بدن برابر با ضربه نیرو است.

چه اثراتی را می توان با استفاده از این معادله توصیف کرد (شکل 1)؟

برنج. 1. رابطه بین تکانه نیرو و تکانه بدن (منبع)

تیری که از کمان پرتاب می شود. هر چه تماس ریسمان با فلش بیشتر باشد (∆t)، تغییر در تکانه پیکان (∆) بیشتر می شود و در نتیجه سرعت نهایی آن بیشتر می شود.

برخورد دو توپ همانطور که قانون سوم نیوتن به ما می آموزد، در حالی که توپ ها در تماس هستند، با نیروهای مساوی بر روی یکدیگر عمل می کنند. این بدان معنی است که تغییرات لحظه ای آنها نیز باید از نظر بزرگی برابر باشد، حتی اگر جرم توپ ها برابر نباشد.

پس از تجزیه و تحلیل فرمول ها، دو نتیجه مهم می توان گرفت:

1. نیروهای یکسانی که برای مدت زمان یکسانی عمل می کنند، بدون توجه به جرم دومی، تغییرات یکسانی در تکانه در اجسام مختلف ایجاد می کنند.

2. همان تغییر تکانه یک جسم را می توان با اعمال نیروی کم در مدت زمان طولانی و یا با اعمال کوتاه مدت با نیروی زیاد روی همان جسم به دست آورد.

طبق قانون دوم نیوتن می توان نوشت:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

نسبت تغییر تکانه جسم به دوره زمانی که این تغییر در آن رخ داده است برابر است با مجموع نیروهای وارد بر جسم.

پس از تجزیه و تحلیل این معادله، می بینیم که قانون دوم نیوتن به ما اجازه می دهد تا کلاس مسائل قابل حل را گسترش دهیم و شامل مسائلی باشیم که در آنها جرم اجسام در طول زمان تغییر می کند.

اگر بخواهیم مسائل مربوط به جرم متغیر اجسام را با استفاده از فرمول معمول قانون دوم نیوتن حل کنیم:

سپس تلاش برای چنین راه حلی منجر به خطا می شود.

نمونه آن هواپیمای جت و یا موشک فضایی است که در حال حرکت سوخت می سوزاند و محصولات حاصل از این احتراق به فضای اطراف رها می شود. به طور طبیعی، جرم هواپیما یا موشک با مصرف سوخت کاهش می یابد.

لحظه ای از قدرت- مقداری که اثر چرخشی نیرو را مشخص می کند. دارای بعد حاصل ضرب طول و نیرو است. تمیز دادن لحظه قدرتنسبت به مرکز (نقطه) و نسبت به محور.

ام‌اس. نسبت به مرکز در بارهتماس گرفت کمیت برداری م 0 برابر با حاصلضرب بردار شعاع r ، انجام شده از Oتا نقطه اعمال زور اف ، به قدرت م 0 = [RF ] یا در نمادهای دیگر م 0 = r اف (برنج.). به صورت عددی M.s. برابر با حاصل ضرب مدول نیرو و بازو ساعت، یعنی با طول عمود پایین آمده از در بارهدر خط عمل نیرو یا دو برابر مساحت

مثلث ساخته شده در مرکز Oو قدرت:

وکتور جهت دار م 0 عمود بر صفحه عبوری Oو اف . سمتی که به سمت آن می رود م 0، مشروط انتخاب شده ( م 0 - بردار محوری). با یک سیستم مختصات راست دست، بردار م 0 در جهتی است که چرخش ایجاد شده توسط نیرو در خلاف جهت عقربه های ساعت قابل مشاهده است.

ام‌اس. نسبت به محور z نامیده می شود کمیت اسکالر Mz، برابر با برآمدگی روی محور است zبردار M. s. نسبت به هر مرکزی در باره، گرفته شده در این محور; اندازه Mzهمچنین می تواند به عنوان یک برآمدگی بر روی یک صفحه تعریف شود xy، عمود بر محور z، مساحت مثلث OABیا به عنوان یک لحظه فرافکنی Fxyاستحکام - قدرت اف به هواپیما xy، نسبت به نقطه تلاقی محور z با این صفحه گرفته شده است. به.،

در دو عبارت آخر M.s. هنگامی که نیروی چرخش مثبت در نظر گرفته می شود Fxyاز موقعیت قابل مشاهده است انتهای محور z در خلاف جهت عقربه های ساعت (در سیستم مختصات سمت راست). ام‌اس. نسبت به محورهای مختصات Oxyzبه صورت تحلیلی نیز قابل محاسبه است. f-lam:

جایی که F x، F y، F z- پیش بینی های نیرو اف در محورهای مختصات، x، y، z- مختصات نقطه آاعمال زور مقادیر M x، M y، M zبرابر با پیش بینی های بردار هستند م 0 در محورهای مختصات.

آنها تغییر می کنند زیرا نیروهای برهمکنش بر روی هر یک از اجسام اثر می کنند، اما مجموع تکانه ها ثابت می ماند. به این می گویند قانون بقای تکانه.

قانون دوم نیوتنبا فرمول بیان می شود. اگر به یاد داشته باشیم که شتاب برابر با نرخ تغییر سرعت یک جسم است، می توان آن را به شکل دیگری نوشت. برای حرکت با شتاب یکنواخت، فرمول به صورت زیر خواهد بود:

اگر این عبارت را با فرمول جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

این فرمول را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

سمت راست این برابری تغییر حاصل ضرب جرم بدن و سرعت آن را ثبت می کند. حاصل ضرب جرم و سرعت بدن یک کمیت فیزیکی است که به آن می گویند تکانه بدنیا مقدار حرکت بدن.

تکانه بدنحاصل ضرب جرم بدن و سرعت آن نامیده می شود. این یک کمیت برداری است. جهت بردار تکانه با جهت بردار سرعت منطبق است.

به عبارت دیگر، جسمی از جرم متر، حرکت با سرعت دارای شتاب است. واحد ضربه SI، ضربه جسمی با وزن 1 کیلوگرم است که با سرعت 1 متر بر ثانیه (kg m/s) حرکت می کند. هنگامی که دو جسم با یکدیگر برهم کنش می کنند، اگر جسم اول با نیرویی بر جسم دوم وارد شود، طبق قانون سوم نیوتن، جسم دوم با نیرویی بر جسم اول تأثیر می گذارد. بیایید توده های این دو بدن را با نشان دهیم متر 1 و متر 2، و سرعت آنها نسبت به هر سیستم مرجع از طریق و. در طول زمان تیدر اثر فعل و انفعال اجسام سرعت آنها تغییر می کند و برابر می شود و . با جایگزینی این مقادیر در فرمول، دریافت می کنیم:

از این رو،

اجازه دهید علائم هر دو طرف برابری را به متضاد آنها تغییر دهیم و آنها را به شکل بنویسیم

در سمت چپ معادله مجموع تکانه های اولیه دو جسم، در سمت راست مجموع تکانه های همان اجسام در طول زمان است. تی. مقادیر برابر است. بنابراین، با وجود آن. که تکانه هر جسم در طول تعامل تغییر می کند، کل تکانه (مجموع تکانه های هر دو بدن) بدون تغییر باقی می ماند.

همچنین زمانی معتبر است که چندین بدن با هم تعامل داشته باشند. با این حال، مهم است که این اجسام فقط با یکدیگر تعامل داشته باشند و تحت تأثیر نیروهای سایر اجسام که بخشی از سیستم نیستند (یا نیروهای خارجی متعادل هستند) قرار نگیرند. به گروهی از اجسام که با اجسام دیگر برهمکنش ندارند گفته می شود سیستم بستهفقط برای سیستم های بسته معتبر است.

با مطالعه قوانین نیوتن، می بینیم که با کمک آنها می توان مشکلات اساسی مکانیک را حل کرد، اگر همه نیروهای وارد بر بدن را بدانیم. شرایطی وجود دارد که تعیین این مقادیر دشوار یا حتی غیرممکن است. بیایید چندین موقعیت از این قبیل را در نظر بگیریم.هنگامی که دو توپ بیلیارد یا اتومبیل با هم برخورد می کنند، می توانیم در مورد نیروهایی که در کار هستند ادعا کنیم که این ماهیت نیروهای ارتجاعی آنهاست. با این حال، ما نمی‌توانیم ماژول‌ها یا جهت‌های آنها را دقیقاً تعیین کنیم، به‌ویژه که این نیروها مدت زمان عمل بسیار کوتاهی دارند.با حرکت موشک‌ها و هواپیماهای جت، در مورد نیروهایی که این اجساد را به حرکت در می‌آورند، نمی‌توان گفت کمی.در چنین مواردی از روش هایی استفاده می شود که به فرد اجازه می دهد از حل معادلات حرکت اجتناب کند و بلافاصله از پیامدهای این معادلات استفاده کند. در این حالت، کمیت های فیزیکی جدید معرفی می شوند. بیایید یکی از این کمیت ها را به نام تکانه بدن در نظر بگیریم

تیری که از کمان پرتاب می شود. هر چه تماس ریسمان با پیکان بیشتر باشد (∆t)، تغییر در تکانه پیکان (∆) بیشتر می شود و در نتیجه سرعت نهایی آن بیشتر می شود.

پس از تجزیه و تحلیل فرمول ها، دو نتیجه مهم می توان گرفت:

1. نیروهای یکسانی که برای یک دوره زمانی یکسان عمل می کنند، بدون توجه به جرم دومی، تغییرات یکسانی در تکانه در اجسام مختلف ایجاد می کنند.

طبق قانون دوم نیوتن می توان نوشت:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

نسبت تغییر تکانه جسم به دوره زمانی که این تغییر در آن رخ داده است برابر است با مجموع نیروهای وارد بر جسم.

اگر بخواهیم مسائل مربوط به جرم متغیر اجسام را با استفاده از فرمول معمول قانون دوم نیوتن حل کنیم:

سپس تلاش برای چنین راه حلی منجر به خطا می شود.

علیرغم این واقعیت که قانون دوم نیوتن به شکل "نیروی حاصل برابر است با حاصلضرب جرم یک جسم و شتاب آن" به ما امکان می دهد دسته نسبتاً گسترده ای از مسائل را حل کنیم، مواردی از حرکت اجسام وجود دارد که نمی توان آنها را حل کرد. به طور کامل توسط این معادله توضیح داده شده است. در چنین مواردی لازم است فرمول دیگری از قانون دوم اعمال شود که تغییر تکانه بدن را با ضربه نیروی حاصله مرتبط می کند. علاوه بر این، تعدادی از مسائل وجود دارد که در آنها حل معادلات حرکت از نظر ریاضی بسیار دشوار یا حتی غیرممکن است. در چنین مواردی استفاده از مفهوم تکانه برای ما مفید است.

با استفاده از قانون بقای تکانه و رابطه بین تکانه نیرو و تکانه یک جسم، می توان قانون دوم و سوم نیوتن را استخراج کرد.

قانون دوم نیوتن از رابطه بین تکانه یک نیرو و تکانه یک جسم به دست آمده است.

تکانه نیرو برابر است با تغییر تکانه بدن:

پس از انجام انتقال مناسب، وابستگی نیرو به شتاب را به دست می آوریم، زیرا شتاب به عنوان نسبت تغییر سرعت به زمانی که طی آن این تغییر رخ داده است، تعریف می شود:

با جایگزینی مقادیر به فرمول خود، فرمول قانون دوم نیوتن را به دست می آوریم:

برای استخراج قانون سوم نیوتن، به قانون بقای تکانه نیاز داریم.

بردارها بر ماهیت برداری سرعت تأکید دارند، یعنی این واقعیت که سرعت می تواند در جهت تغییر کند. پس از تحولات به دست می آوریم:

از آنجایی که دوره زمانی در یک سیستم بسته یک مقدار ثابت برای هر دو بدن بود، می‌توانیم بنویسیم:

ما قانون سوم نیوتن را به دست آوردیم: دو جسم با نیروهایی برابر و در جهت مخالف با یکدیگر تعامل دارند. بردارهای این نیروها به ترتیب به سمت یکدیگر هدایت می شوند، مدول های این نیروها از نظر مقدار برابر هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب

Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. فیزیک (سطح پایه) - M.: Mnemosyne، 2012.
Gendenshtein L.E., Dick Yu.I. فیزیک پایه دهم. - M.: Mnemosyne، 2014.
Kikoin I.K.، Kikoin A.K. فیزیک - 9، مسکو، آموزش و پرورش، 1990.

مشق شب

تکانه یک جسم، تکانه نیرو را تعریف کنید.
تکانه یک جسم چگونه با تکانه نیرو مرتبط است؟
از فرمول های تکانه بدن و تکانه نیرو چه نتیجه ای می توان گرفت؟

پورتال اینترنتی Questions-physics.ru ().
پورتال اینترنتی Frutmrut.ru ().
پورتال اینترنتی Fizmat.by ().

مسائل مربوط به اجسام متحرک در فیزیک، زمانی که سرعت آنها بسیار کمتر از نور است، با استفاده از قوانین نیوتنی یا مکانیک کلاسیک حل می شوند. یکی از مفاهیم مهم در آن تکانه است. موارد اساسی در فیزیک در این مقاله آورده شده است.

تکانه یا تکانه؟

قبل از ارائه فرمول تکانه یک جسم در فیزیک، بیایید با این مفهوم آشنا شویم. برای اولین بار، کمیتی به نام ایمپتو (تکانه) در توصیف آثارش توسط گالیله در آغاز قرن هفدهم استفاده شد. متعاقبا، اسحاق نیوتن از نام دیگری برای آن استفاده کرد - موتوس (حرکت). از آنجایی که شکل نیوتن تأثیر بیشتری بر رشد فیزیک کلاسیک داشت تا شکل گالیله، در ابتدا مرسوم بود که در مورد تکانه یک جسم صحبت نمی کرد، بلکه در مورد کمیت حرکت صحبت می کرد.

کمیت حرکت به عنوان حاصل ضرب سرعت حرکت یک جسم با ضریب اینرسی، یعنی بر حسب جرم، درک می شود. فرمول مربوطه این است:

در اینجا p¯ بردارى است که جهت آن منطبق بر v¯ است، اما ماژول m برابر بیشتر از ماژول v¯ است.

تغییر در مقدار p

مفهوم تکانه در حال حاضر کمتر از تکانه استفاده می شود. و این واقعیت مستقیماً با قوانین مکانیک نیوتنی مرتبط است. بیایید آن را به شکلی که در کتاب های درسی فیزیک مدرسه آمده است بنویسیم:

بیایید شتاب a¯ را با عبارت مربوط به مشتق سرعت جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

با انتقال dt از مخرج سمت راست تساوی به صورت کننده سمت چپ، به دست می آید:

نتیجه جالبی گرفتیم: علاوه بر این که نیروی عامل F¯ منجر به شتاب جسم می شود (به فرمول اول این پاراگراف مراجعه کنید)، میزان حرکت آن را نیز تغییر می دهد. حاصل ضرب نیرو و زمان که در سمت چپ است، تکانه نیرو نامیده می شود. معلوم می شود که برابر با تغییر p¯ است. بنابراین به آخرین عبارت در فیزیک فرمول تکانه نیز می گویند.

توجه داشته باشید که dp نیز است، اما، بر خلاف p¯، نه به عنوان سرعت v¯، بلکه به عنوان نیروی F¯ هدایت می شود.

یک مثال بارز تغییر در بردار تکانه (تکانه) وضعیتی است که یک بازیکن فوتبال به توپ ضربه می زند. قبل از ضربه، توپ به سمت بازیکن حرکت کرد، پس از ضربه - دور از او.

قانون بقای حرکت

فرمول هایی در فیزیک که بقای مقدار p را توصیف می کنند را می توان در چندین نسخه ارائه کرد. قبل از نوشتن آنها، اجازه دهید به این سوال پاسخ دهیم که چه زمانی تکانه حفظ می شود.

بیایید به عبارت پاراگراف قبل برگردیم:

می گوید که اگر مجموع نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد (سیستم بسته، F¯= 0)، آنگاه dp¯ = 0، یعنی هیچ تغییری در تکانه رخ نخواهد داد:

این عبارت با تکانه یک جسم و قانون بقای تکانه در فیزیک مشترک است. اجازه دهید به دو نکته مهم که باید در مورد آنها بدانید تا بتوانید این عبارت را در عمل به طور موفقیت آمیزی به کار ببرید:

تکانه در امتداد هر مختصات حفظ می شود، یعنی اگر قبل از رویدادی مقدار p x سیستم 2 کیلوگرم * متر بر ثانیه بود، پس از این رویداد نیز همین خواهد بود.
تکانه صرف نظر از ماهیت برخورد اجسام جامد در سیستم حفظ می شود. دو حالت ایده آل برای چنین برخوردهایی وجود دارد: ضربه های کاملاً الاستیک و کاملاً پلاستیکی. در حالت اول، انرژی جنبشی نیز حفظ می شود، در مورد دوم، بخشی از آن صرف تغییر شکل پلاستیک اجسام می شود، اما تکانه همچنان حفظ می شود.

برهم کنش الاستیک و غیر کشسان دو جسم

مورد خاص استفاده از فرمول تکانه در فیزیک و بقای آن، حرکت دو جسم است که با یکدیگر برخورد می کنند. بیایید دو مورد اساساً متفاوت را در نظر بگیریم که در پاراگراف بالا ذکر شد.

اگر ضربه کاملاً الاستیک باشد، یعنی انتقال تکانه از جسمی به جسم دیگر از طریق تغییر شکل الاستیک انجام شود، فرمول بقای p به صورت زیر نوشته می شود:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = m 1 *u 1 + m 2 *u 2

در اینجا مهم است که به یاد داشته باشید که علامت سرعت باید با در نظر گرفتن جهت آن در امتداد محور مورد نظر جایگزین شود (سرعت های مخالف علائم مختلفی دارند). این فرمول نشان می دهد که با توجه به وضعیت اولیه شناخته شده سیستم (مقادیر m 1، v 1، m 2، v 2)، در حالت نهایی (پس از برخورد) دو مجهول وجود دارد (u 1، u 2) . اگر از قانون مربوطه بقای انرژی جنبشی استفاده کنید، می توانید آنها را پیدا کنید:

m 1 *v 1 2 + m 2 *v 2 2 = m 1 *u 1 2 + m 2 *u 2 2

اگر ضربه کاملا غیر ارتجاعی یا پلاستیکی باشد، پس از برخورد دو جسم به عنوان یک کل واحد شروع به حرکت می کنند. در این حالت، عبارت صورت می گیرد:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = (m 1 + m 2)*u

همانطور که می بینید، ما فقط در مورد یک مجهول (u) صحبت می کنیم، بنابراین همین یک برابری برای تعیین آن کافی است.

حرکت یک جسم در حال حرکت در یک دایره

همه آنچه در بالا در مورد تکانه گفته شد در مورد حرکات خطی اجسام صدق می کند. اگر اجسام حول یک محور بچرخند چه باید کرد؟ برای این منظور مفهوم دیگری در فیزیک معرفی شده است که شبیه تکانه خطی است. به آن تکانه زاویه ای می گویند. فرمول آن در فیزیک به شکل زیر است:

در اینجا r بردار برابر با فاصله محور چرخش تا ذره ای با تکانه p است که حرکت دایره ای حول این محور انجام می دهد. مقدار L¯ نیز یک بردار است، اما محاسبه آن تا حدودی دشوارتر از p¯ است، زیرا ما در مورد یک محصول برداری صحبت می کنیم.

قانون حفاظت L¯

فرمول L¯ که در بالا آورده شده است، تعریف این کمیت است. در عمل، آنها ترجیح می دهند از یک عبارت کمی متفاوت استفاده کنند. ما به جزئیات نحوه به دست آوردن آن نمی پردازیم (این کار دشواری نیست و هر کسی می تواند آن را به تنهایی انجام دهد)، اما بیایید فوراً آن را ارائه دهیم:

در اینجا I ممان اینرسی است (برای یک نقطه مادی برابر با m*r 2 است)، که خواص اینرسی یک جسم در حال چرخش را توصیف می کند، ω¯ سرعت زاویه ای است. همانطور که می بینید، این معادله از نظر شکل شبیه به حرکت خطی p¯ است.

اگر هیچ نیروی خارجی بر روی سیستم دوار (در واقع گشتاور) وارد نشود، حاصلضرب I و ω¯ بدون توجه به فرآیندهایی که در داخل سیستم رخ می دهد حفظ می شود. یعنی قانون بقای L¯ به شکل زیر است:

نمونه ای از تجلی آن عملکرد ورزشکاران اسکیت بازی هنگام انجام چرخش روی یخ است.

سرفصل های کدنویسی آزمون یکپارچه دولتی:تکانه یک جسم، تکانه سیستم اجسام، قانون بقای تکانه.

نبضیک جسم یک کمیت برداری است برابر حاصلضرب جرم بدن و سرعت آن:

واحد خاصی برای اندازه گیری ضربه وجود ندارد. بعد تکانه به سادگی حاصل ضرب بعد جرم و بعد سرعت است:

چرا مفهوم حرکت جالب است؟ به نظر می رسد که با کمک آن می توانید به قانون دوم نیوتن شکلی کمی متفاوت و همچنین بسیار مفید بدهید.

قانون دوم نیوتن در شکل تکانه

اجازه دهید حاصل نیروهای اعمال شده به جسمی با جرم باشد. ما با نماد معمول قانون دوم نیوتن شروع می کنیم:

با توجه به اینکه شتاب جسم برابر با مشتق بردار سرعت است، قانون دوم نیوتن به صورت زیر بازنویسی می شود:

یک ثابت زیر علامت مشتق معرفی می کنیم:

همانطور که می بینیم، مشتق ضربه در سمت چپ به دست می آید:

. ( 1 )

رابطه (1) شکل جدیدی از نوشتن قانون دوم نیوتن است.

قانون دوم نیوتن در شکل تکانه. مشتق تکانه یک جسم حاصل نیروهای وارده به جسم است.

می‌توانیم بگوییم: نیرویی که بر جسم وارد می‌شود برابر با سرعت تغییر تکانه بدن است.

مشتق در فرمول (1) را می توان با نسبت افزایش نهایی جایگزین کرد:

. ( 2 )

در این حالت نیروی متوسطی در طول بازه زمانی بر بدن وارد می شود. هر چه مقدار کوچکتر باشد، نسبت به مشتق نزدیکتر است و میانگین نیرو به مقدار آنی آن در یک زمان معین نزدیکتر است.

در وظایف، به عنوان یک قاعده، فاصله زمانی بسیار کوچک است. به عنوان مثال، این می تواند زمان برخورد توپ با دیوار و سپس میانگین نیروی وارد بر توپ از دیوار در هنگام ضربه باشد.

بردار سمت چپ رابطه (2) نامیده می شود تغییر در تکانهدر حین . تغییر در تکانه تفاوت بین بردار تکانه نهایی و اولیه است. یعنی، اگر تکانه بدن در یک لحظه اولیه از زمان، تکانه بدن پس از یک دوره زمانی باشد، تغییر در تکانه تفاوت است:

اجازه دهید یک بار دیگر تاکید کنیم که تغییر در تکانه تفاوت بین بردارها است (شکل 1):

به عنوان مثال، اجازه دهید توپ به صورت عمود بر دیوار پرواز کند (تکانه قبل از ضربه برابر است با ) و بدون از دست دادن سرعت به عقب برگردد (تکانه بعد از ضربه برابر است). با وجود این واقعیت که تکانه در مقدار مطلق تغییر نکرده است، تغییری در تکانه وجود دارد:

از نظر هندسی، این وضعیت در شکل نشان داده شده است. 2:

مدول تغییر تکانه همانطور که می بینیم برابر با دو برابر مدول ضربه اولیه توپ است: .

فرمول (2) را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

, ( 3 )

یا، با توصیف تغییر در حرکت، مانند بالا:

کمیت نامیده می شود انگیزه قدرتواحد اندازه گیری خاصی برای ضربه نیرو وجود ندارد. بعد ضربه نیرو به سادگی حاصل ضرب ابعاد نیرو و زمان است:

(توجه داشته باشید که این یکی دیگر از واحدهای ممکن برای اندازه گیری تکانه بدن است.)

صورت لفظی برابری (3) به شرح زیر است: تغییر تکانه یک جسم برابر است با تکانه نیروی وارد بر جسم در یک بازه زمانی معین.البته این قانون دوم نیوتن در شکل حرکت است.

مثالی از محاسبه نیرو

به عنوان مثالی از به کارگیری قانون دوم نیوتن در شکل ضربه، مسئله زیر را در نظر می گیریم.

وظیفه. توپی به جرم g، که به صورت افقی با سرعت m/s پرواز می کند، به دیواره عمودی صاف برخورد می کند و بدون از دست دادن سرعت از آن می پرد. زاویه برخورد توپ (یعنی زاویه بین جهت حرکت توپ و عمود بر دیوار) برابر است. ضربه برای s طول می کشد. نیروی متوسط را پیدا کنید،
عمل بر روی توپ در هنگام ضربه

راه حل.اجازه دهید قبل از هر چیز نشان دهیم که زاویه انعکاس برابر با زاویه تابش است، یعنی توپ با همان زاویه از دیوار پریده است (شکل 3).

با توجه به (3) داریم: . نتیجه این است که بردار تکانه تغییر می کند کارگردانی مشترکبا بردار، یعنی عمود بر دیوار در جهت برگشت توپ (شکل 5).

برنج. 5. به وظیفه

بردارها و
از نظر مدول برابر است
(از آنجایی که سرعت توپ تغییر نکرده است). بنابراین، مثلثی متشکل از بردارها، و، متساوی الساقین است. این به این معنی است که زاویه بین بردارها و برابر است، یعنی زاویه انعکاس واقعاً برابر با زاویه برخورد است.

اکنون به علاوه توجه کنید که در مثلث متساوی الساقین ما یک زاویه وجود دارد (این زاویه برخورد است). بنابراین، این مثلث متساوی الاضلاع است. از اینجا:

و سپس میانگین نیروی مورد نظر وارد بر توپ به صورت زیر است:

تکانه سیستم اجسام

بیایید با یک وضعیت ساده از یک سیستم دو بدنه شروع کنیم. یعنی بدن 1 و بدن 2 به ترتیب با تکانه و. ضربه سیستم این اجسام حاصل جمع برداری تکانه های هر جسم است:

به نظر می رسد که برای تکانه یک سیستم اجسام فرمولی مشابه قانون دوم نیوتن در شکل (1) وجود دارد. بیایید این فرمول را استخراج کنیم.

ما همه اشیاء دیگری را که اجسام 1 و 2 مورد نظر ما با آنها برهم کنش می کنند نام خواهیم برد بدن های خارجینیروهایی که اجسام خارجی بر روی اجسام 1 و 2 وارد می کنند نامیده می شوند توسط نیروهای خارجینیروی خارجی حاصل بر جسم 1 را در نظر بگیرید.

علاوه بر این، اجسام 1 و 2 می توانند با یکدیگر تعامل داشته باشند. بگذارید جسم 2 با نیرویی روی جسم 1 عمل کند. سپس جسم 1 با نیرویی روی جسم 2 وارد می شود. بر اساس قانون سوم نیوتن، نیروها از نظر قدر مساوی و در جهت مخالف هستند: . نیروها و هستند نیروهای داخلی،فعال در سیستم

اجازه دهید برای هر جسم 1 و 2 قانون دوم نیوتن را به شکل (1) بنویسیم:

, ( 4 )

. ( 5 )

بیایید برابری های (4) و (5) را اضافه کنیم:

در سمت چپ تساوی حاصل، مجموع مشتقات برابر با مشتق مجموع بردارها و . در سمت راست، به موجب قانون سوم نیوتن، داریم:

اما - این تکانه سیستم اجسام 1 و 2 است. اجازه دهید به آن نیز اشاره کنیم - این نتیجه نیروهای خارجی است که بر روی سیستم تأثیر می گذارد. ما گرفتیم:

. ( 6 )

بدین ترتیب، نرخ تغییر تکانه یک سیستم از اجسام حاصل نیروهای خارجی اعمال شده به سیستم است.ما می خواستیم برابری (6) را بدست آوریم که نقش قانون دوم نیوتن را برای سیستم اجسام ایفا می کند.

فرمول (6) برای مورد دو جسم به دست آمد. حال اجازه دهید استدلال خود را به تعداد دلخواه بدن در سیستم تعمیم دهیم.

با تکانه سیستم اجساماجسام مجموع برداری لحظه ای تمام اجسام موجود در سیستم است. اگر سیستمی از اجسام تشکیل شده باشد، تکانه این سیستم برابر است با:

سپس همه چیز دقیقاً به همان روش بالا انجام می شود (فقط از نظر فنی کمی پیچیده تر به نظر می رسد). اگر برای هر جسم تساوی هایی شبیه به (4) و (5) بنویسیم و سپس همه این تساوی ها را اضافه کنیم، در سمت چپ دوباره مشتق حرکت سیستم را بدست می آوریم و در سمت راست فقط باقی می ماند. مجموع نیروهای خارجی (نیروهای داخلی، با جمع جفت، به دلیل قانون سوم نیوتن، صفر خواهد شد). بنابراین، برابری (6) در حالت کلی معتبر خواهد بود.

قانون بقای حرکت

سیستم اجسام نامیده می شود بسته،اگر اعمال اجسام خارجی بر روی بدنه های یک سیستم معین یا ناچیز باشد یا یکدیگر را جبران کند. بنابراین، در مورد سیستم بسته اجسام، فقط تعامل این اجسام با یکدیگر ضروری است، اما نه با هیچ جسم دیگری.

برآیند نیروهای خارجی اعمال شده به یک سیستم بسته برابر با صفر است: . در این صورت، از (6) به دست می آید:

اما اگر مشتق یک بردار صفر شود (نرخ تغییر بردار صفر است)، آنگاه خود بردار در طول زمان تغییر نمی کند:

قانون بقای حرکت حرکت یک سیستم بسته از اجسام در طول زمان برای هر گونه فعل و انفعالات اجسام در این سیستم ثابت می ماند.

ساده ترین مسائل مربوط به قانون بقای تکانه مطابق طرح استاندارد حل می شود که اکنون نشان خواهیم داد.

وظیفه. جسمی به جرم g با سرعت m/s روی سطح افقی صاف حرکت می کند. جسمی به جرم g با سرعت m/s به سمت آن حرکت می کند. یک ضربه کاملا غیر ارتجاعی رخ می دهد (جسم ها به هم می چسبند). سرعت اجسام را پس از ضربه پیدا کنید.

راه حل.وضعیت در شکل نشان داده شده است. 7. محور را در جهت حرکت جسم اول هدایت می کنیم.

برنج. 7. به وظیفه

از آنجایی که سطح صاف است، اصطکاک وجود ندارد. از آنجایی که سطح افقی است و حرکت در امتداد آن رخ می دهد، نیروی گرانش و واکنش تکیه گاه یکدیگر را متعادل می کنند:

بنابراین مجموع بردار نیروهای وارد شده به سیستم این اجسام برابر با صفر است. یعنی سیستم اجسام بسته است. بنابراین، قانون بقای تکانه برای آن راضی است:

. ( 7 )

ضربه سیستم قبل از ضربه مجموع تکانه های اجسام است:

پس از ضربه غیر ارتجاعی یک جسم جرمی به دست می آید که با سرعت مطلوب حرکت می کند:

از قانون بقای حرکت (7) داریم:

از اینجا به سرعت بدنی که پس از ضربه شکل گرفته است می یابیم:

بیایید به پیش بینی ها روی محور برویم:

با شرط داریم: m/s, m/s, so

علامت منفی نشان می دهد که اجسام چسبیده به هم در جهت مخالف محور حرکت می کنند. سرعت مورد نیاز: m/s

قانون بقای پیش بینی تکانه

وضعیت زیر اغلب در مشکلات رخ می دهد. سیستم اجسام بسته نیست (مجموع بردار نیروهای خارجی وارد بر سیستم برابر با صفر نیست)، اما چنین محوری وجود دارد، مجموع پیش بینی نیروهای خارجی بر روی محور صفر استدر هر زمان داده شده. سپس می‌توان گفت که در امتداد این محور، سیستم اجسام ما بسته عمل می‌کند و حرکت حرکتی سیستم بر روی محور حفظ می‌شود.

بیایید این را دقیق تر نشان دهیم. بیایید برابری (6) را روی محور طرح کنیم:

اگر برآمدگی نیروهای خارجی حاصل از بین برود، پس

بنابراین، طرح ریزی ثابت است:

قانون بقای پیش بینی تکانه. اگر بر روی محور مجموع نیروهای خارجی وارد بر سیستم برابر با صفر باشد، در این صورت طرح تکانه سیستم در طول زمان تغییر نمی کند.

بیایید به مثالی از یک مسئله خاص نگاه کنیم تا ببینیم قانون بقای طرح تکانه چگونه کار می کند.

وظیفه. یک پسر توده ای که روی اسکیت روی یخ صاف ایستاده است، یک سنگ توده ای را با زاویه ای نسبت به افقی پرتاب می کند. سرعتی را که پسر پس از پرتاب به عقب می غلتد را پیدا کنید.

راه حل.وضعیت به صورت شماتیک در شکل نشان داده شده است. 8 . پسر به صورت بنددار مستقیم به تصویر کشیده شده است.

برنج. 8. به وظیفه

حرکت سیستم "پسر + سنگ" حفظ نشده است. این را می توان از این واقعیت دریافت که پس از پرتاب، یک جزء عمودی از حرکت سیستم ظاهر می شود (یعنی جزء عمودی تکانه سنگ) که قبل از پرتاب وجود نداشت.

بنابراین سیستمی که پسر و سنگ تشکیل می دهند بسته نیست. چرا؟ واقعیت این است که مجموع بردار نیروهای خارجی در حین پرتاب برابر با صفر نیست. مقدار بزرگتر از مجموع است و به دلیل این مازاد، جزء عمودی تکانه سیستم ظاهر می شود.

با این حال، نیروهای خارجی فقط به صورت عمودی عمل می کنند (اصطکاک وجود ندارد). بنابراین، طرح تکانه بر روی محور افقی حفظ می شود. قبل از پرتاب، این برون ریزی صفر بود. جهت دادن محور در جهت پرتاب (بنابراین پسر در جهت نیمه محور منفی رفت)، دریافت می کنیم.