مختصات تعمیم یافته و نیروهای تعمیم یافته. مختصات تعمیم یافته و نیروهای تعمیم یافته کار نیروها در مختصات تعمیم یافته چگونه به نظر می رسد

مکانیک تحلیلی. طبقه بندی اتصالات مثال ها. حرکات احتمالی

ارتباط- این رابطه بین مختصات و سرعت نقاط سیستم است که به صورت برابری یا نابرابری ارائه می شود.

طبقه بندی:

هندسی- محدودیت هایی را فقط بر روی مختصات نقاط سیستم اعمال می کند (سرعت ها شامل نمی شوند)

حرکتی- سرعت ها وارد معادلات می شوند. اگر بتوانید از شر سرعت ها خلاص شوید، اتصال یکپارچه شده است.

اتصالات هولونومیک- اتصالات دیفرانسیل هندسی و یکپارچه

اتصال نامیده می شود برگزاری(محدودیت های اعمال شده یا در هر موقعیتی از سیستم باقی می ماند) و بی بند و بار، که این ویژگی را ندارند (از چنین اتصالاتی ، همانطور که می گویند ، سیستم می تواند "آزاد شود"

جابجایی احتمالی

هر ذهنی

بی نهایت کوچک

جابجایی نقاط سیستم مجاز است

در این لحظه از زمان

اتصالات تحمیل شده به سیستم

حرکت واقعی- بستگی به نیروها، زمان، اتصالات، شرایط اولیه دارد.

حرکت ممکن فقط به اتصالات بستگی دارد.

برای اتصالات ثابت، حرکت واقعی یکی از موارد ممکن است.

اتصالات ایده آل اصل حرکات ممکن

ایده آلبه اتصالاتی گفته می شود که مجموع کارهای ابتدایی تمام واکنش های آنها در هر جابجایی احتمالی برابر با 0 باشد.

اصل حرکات ممکن

برای تعادل یک سیستم مکانیکی با اتصالات ثابت ایده آل، لازم و کافی است که مجموع کار اولیه همه نیروهای فعال در هر جابجایی احتمالی برابر با 0 باشد. در این صورت برای کفایت، سرعت اولیه باید برابر باشد. به صفر تعادل لازم => کافی => تعادل.

مختصات تعمیم یافته تعداد درجات آزادی سیستم. نیروهای تعمیم یافته، روش های محاسبه آنها. شرایط تعادل برای یک سیستم با محدودیت های هولونومیک، که بر حسب نیروهای تعمیم یافته بیان می شود.

مختصات تعمیم یافته- یک پارامتر مستقل که موقعیت سیستم را به طور کامل تعیین می کند و از طریق آن می توان تمام مختصات دکارتی نقاط در سیستم را بیان کرد.

تعداد درجات آزادی با تعداد مختصات تعمیم یافته تعیین می شود

تعداد کمیت های اسکالر مستقل متقابل که موقعیت یک سیستم مکانیکی را در فضا مشخص می کند، تعداد درجات آزادی نامیده می شود.

مختصات تعمیم یافته یک سیستم مکانیکی هر کمیت هندسی مستقل از یکدیگر است که موقعیت سیستم را در فضا به طور منحصر به فردی تعیین می کند.

Q i = δA j / δq j یا δA j = Q i ⋅ δq j .

نیروی تعمیم یافته- این نیرویی است که بر روی یک جابجایی احتمالی در امتداد مختصات تعمیم یافته خود همان کار را انجام می دهد که تمام نیروهای اعمال شده به سیستم در جابجایی متناظر نقاط اعمال آنها.

برای یافتن نیروی تعمیم یافته، جابجایی احتمالی را در امتداد مختصات تعمیم یافته آن می دهیم و سایر مختصات را بدون تغییر می گذاریم. سپس کار انجام شده توسط تمام نیروهای اعمال شده به سیستم را پیدا کرده و بر جابجایی احتمالی تقسیم می کنیم.

اصل جابجایی های ممکن بر حسب نیروهای تعمیم یافته.

از آنجایی که در حالت تعادل، مجموع کار ابتدایی بر روی هر جابجایی احتمالی ( bA=بq j , که به یکدیگر وابسته نیستند، پس برای این باید موارد زیر درست باشد: Q 1 = 0; Q 2 = 0; Q K = 0

تعریف نیروهای تعمیم یافته

برای سیستمی با یک درجه آزادی، نیروی تعمیم یافته مربوط به مختصات تعمیم یافته است q، کمیت تعیین شده توسط فرمول نامیده می شود

جایی که د q- افزایش اندک مختصات تعمیم یافته؛ – مجموع کارهای ابتدایی نیروهای نظام بر حرکت احتمالی آن.

بیایید به یاد بیاوریم که حرکت احتمالی سیستم به عنوان حرکت سیستم به یک موقعیت بی نهایت نزدیک که توسط اتصالات در یک لحظه معین از زمان مجاز است تعریف می شود (برای جزئیات بیشتر، به پیوست 1 مراجعه کنید).

مشخص است که مجموع کار انجام شده توسط نیروهای واکنش پیوندهای ایده آل بر روی هر جابجایی احتمالی سیستم برابر با صفر است. بنابراین برای سیستمی با اتصالات ایده آل فقط باید کار نیروهای فعال سیستم را در بیان در نظر گرفت. اگر اتصالات ایده آل نباشند، نیروهای واکنش آنها، به عنوان مثال، نیروهای اصطکاک، به طور معمول نیروهای فعال در نظر گرفته می شوند (برای دستورالعمل های نمودار در شکل 1.5 به زیر مراجعه کنید). این شامل کار ابتدایی نیروهای فعال و کار ابتدایی لحظه های جفت نیروهای فعال است. بیایید فرمول هایی را برای تعیین این آثار بنویسیم. بیایید بگوییم نیرو ( F kx، F ky، F kz) در نقطه اعمال می شود به، که بردار شعاع آن ( x k، y k، z k، و جابجایی احتمالی - (د xk،د y kد z k). کار اولیه یک نیرو بر روی یک جابجایی ممکن برابر است با حاصل ضرب اسکالر که در شکل تحلیلی با عبارت مطابقت دارد.

د آ( ) = F بهد r به cos()، (1.3a)

و به صورت مختصات - عبارت

د آ( ) = F kxد x k + F kyد y k + F kzد z k. (1.3b)

اگر یکی دو نیرو با یک لحظه مبه جسم دوار اعمال می شود که مختصات زاویه ای آن j است و جابجایی احتمالی آن dj است، سپس کار ابتدایی لحظه مدر جابجایی احتمالی dj با فرمول تعیین می شود

د صبح) = ± مد j. (1.3v)

در اینجا علامت (+) مربوط به موردی است که لحظه مو حرکت ممکن dj در جهت منطبق است. علامت (–) زمانی که در جهت مخالف هستند.

برای اینکه بتوان نیروی تعمیم یافته را با استفاده از فرمول (1.3) تعیین کرد، لازم است حرکات ممکن اجسام و نقاط را از طریق یک افزایش کوچک مختصات تعمیم یافته d بیان کرد. q، با استفاده از وابستگی های (1)…(7) adj. 1.

تعریف نیروی تعمیم یافته س، مربوط به مختصات تعمیم یافته انتخاب شده است q، توصیه می شود به ترتیب زیر انجام شود.

· تمام نیروهای فعال سیستم را روی نمودار طراحی بکشید.

· یک افزایش کوچک به مختصات تعمیم یافته d بدهید q> 0; در نمودار محاسباتی، جابجایی های ممکن مربوط به تمام نقاطی که نیرو در آنها اعمال می شود، و جابجایی های زاویه ای ممکن تمام اجسامی که ممان های جفت نیرو به آنها اعمال می شود را نشان دهید.

· یک عبارت برای کار ابتدایی همه نیروهای فعال سیستم بر روی این حرکات بنویسید، حرکات ممکن را در d بیان کنید. q.

· با استفاده از فرمول (1.3) نیروی تعمیم یافته را تعیین کنید.

مثال 1.4 (به شرایط شکل 1.1 مراجعه کنید).

اجازه دهید نیروی تعمیم یافته مربوط به مختصات تعمیم یافته را تعریف کنیم س(شکل 1.4).

نیروهای فعال بر روی سیستم عمل می کنند: پ- وزن محموله؛ جی- وزن و گشتاور درام م.

صفحه مایل ناهموار برای بار است آاتصال ناقص نیروی اصطکاک لغزشی F tr، بر روی بار عمل می کند آاز این اتصال، برابر است با F tr = f N.

برای تعیین قدرت نفشار طبیعی یک بار بر روی هواپیما در حین حرکت، از اصل دالامبر استفاده می کنیم: اگر یک نیروی اینرسی شرطی به هر نقطه از سیستم اعمال شود، علاوه بر نیروهای فعال فعال و نیروهای واکنش اتصالات، مجموعه حاصل از نیروها متعادل می شوند و معادلات دینامیکی را می توان به شکل معادلات تعادل ایستا در نظر گرفت. با پیروی از روش شناخته شده اعمال این اصل، تمام نیروهای وارد بر بار را به تصویر خواهیم کشید آ(شکل 1.5)، – و نیروی کششی کابل کجاست.

برنج. 1.4 شکل. 1.5

بیایید نیروی اینرسی را اضافه کنیم که شتاب بار کجاست. معادله اصل d'Alembert در طرح ریزی بر روی محور yبه نظر می رسد N–Pcosآ = 0.

از اینجا N = Pcosآ. اکنون می توان نیروی اصطکاک لغزشی را با فرمول تعیین کرد F tr = f P cosآ.

بیایید مختصات تعمیم یافته را بدهیم سافزایش کوچک د s> 0. در این حالت، بار (شکل 1.4) از صفحه شیبدار تا فاصله d به سمت بالا حرکت می کند. س، و درام با زاویه dj در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد.

با استفاده از فرمول هایی مانند (1.3a) و (1.3c)، اجازه دهید یک عبارت برای مجموع کارهای گشتاور اولیه بسازیم. م، استحکام - قدرت پو F tr:

بیایید dj را در این معادله از طریق d بیان کنیم س: ، سپس

نیروی تعمیم یافته را با استفاده از فرمول (1.3) تعریف می کنیم.

بیایید فرمول نوشته شده قبلی را در نظر بگیریم F trو بالاخره بدست می آوریم

اگر در همین مثال، زاویه j را به عنوان مختصات تعمیم یافته در نظر بگیریم، آنگاه نیروی تعمیم یافته را در نظر بگیریم Q jبا فرمول بیان می شود

1.4.2. تعیین نیروهای سیستم تعمیم یافته
با دو درجه آزادی

اگر سیستم داشته باشد nدرجات آزادی، موقعیت آن مشخص می شود nمختصات تعمیم یافته هر مختصات q i(من = 1,2,…,n) با نیروی تعمیم یافته آن مطابقت دارد چی، که با فرمول مشخص می شود

مجموع کارهای ابتدایی نیروهای فعال در کجاست من-ام حرکت احتمالی سیستم زمانی که د q i > 0، و مختصات تعمیم یافته باقی مانده بدون تغییر هستند.

هنگام تعیین، لازم است دستورالعمل تعیین نیروهای تعمیم یافته طبق فرمول (1.3) در نظر گرفته شود.

توصیه می شود نیروهای تعمیم یافته یک سیستم با دو درجه آزادی را به ترتیب زیر تعیین کنید.

· روی نمودار طراحی تمام نیروهای فعال سیستم را نشان دهید.

· اولین نیروی تعمیم یافته را تعیین کنید س 1. برای انجام این کار، اولین حرکت ممکن را در زمانی که d به سیستم بدهید q 1 > 0 و d q 2 =q 1حرکات احتمالی تمام اجسام و نقاط سیستم؛ نوشتن - بیانی از کار اولیه نیروهای سیستم در اولین جابجایی ممکن. حرکات ممکن در بیان شده از طریق د q 1; پیدا کردن س 1طبق فرمول (1.4)، گرفتن من = 1.

· دومین نیروی تعمیم یافته را تعیین کنید س 2. برای انجام این کار، یک حرکت احتمالی دوم را در زمانی که d به سیستم بدهید q 2 > 0 و d q 1 = 0; d مربوطه را در نمودار طراحی نشان دهید q 2حرکات احتمالی تمام اجسام و نقاط سیستم؛ نوشتن - بیانی از کار اولیه نیروهای سیستم در دومین جابجایی احتمالی. حرکات ممکن در بیان شده از طریق د q 2; پیدا کردن س 2طبق فرمول (1.4)، گرفتن من = 2.

مثال 1.5 (شرط شکل 1.2 را ببینید)

بیایید تعریف کنیم س 1و س 2، مربوط به مختصات تعمیم یافته است xDو xA(شکل 1.6، آ).

سه نیروی فعال بر روی سیستم وجود دارد: P A = 2P, P B = P D = P.

تعریف س 1. اجازه دهید سیستم اولین حرکت ممکن را زمانی که d xD> 0، د x A = 0 (شکل 1.6، آ). در همان زمان، بار D xD، مسدود کردن بدر خلاف جهت عقربه های ساعت با زاویه dj می چرخد ب، محور سیلندر آبی حرکت خواهد ماند، سیلندر آحول یک محور خواهد چرخید آدر زاویه دی جی آدر جهت عقربه های ساعت بیایید مجموع کار روی حرکات مشخص شده را جمع آوری کنیم:

بیایید تعریف کنیم

بیایید تعریف کنیم س 2. اجازه دهید به سیستم یک حرکت احتمالی دوم بدهیم که d x D = 0، د xA> 0 (شکل 1.6، ب). در این مورد، محور سیلندر آبه صورت عمودی به یک فاصله d حرکت می کند xA، سیلندر آحول یک محور خواهد چرخید آدر جهت عقربه های ساعت به زاویه dj آ، مسدود کردن بو محموله Dبی حرکت خواهد ماند بیایید مجموع کار روی حرکات مشخص شده را جمع آوری کنیم:

بیایید تعریف کنیم

مثال 1.6 (شرط شکل 1.3 را ببینید)

بیایید تعریف کنیم س 1و س 2، مربوط به مختصات تعمیم یافته j، س(شکل 1.7، آ). چهار نیروی فعال روی سیستم وجود دارد: وزن میله پ، وزن توپ، نیروی کشسان فنر و .

بیایید آن را در نظر بگیریم. مدول نیروهای الاستیک با فرمول (الف) تعیین می شود.

توجه داشته باشید که نقطه اعمال نیرو F 2بی حرکت است، بنابراین کار این نیرو بر روی هر جابجایی احتمالی سیستم صفر است، در بیان نیروهای تعمیم یافته نیرو F 2داخل نمی شود

تعریف س 1. اجازه دهید به سیستم اولین حرکت ممکن را هنگام dj بدهیم > 0، د s = 0 (شکل 1.7، آ). در این مورد، میله ABحول یک محور خواهد چرخید zدر خلاف جهت عقربه های ساعت توسط زاویه dj، حرکات احتمالی توپ Dو مرکز Eمیله ها عمود بر بخش هدایت می شوند آگهی، طول فنر تغییر نمی کند. بیایید آن را به شکل مختصات قرار دهیم [نگاه کنید به. فرمول (1.3b)]:

(لطفاً توجه داشته باشید که بنابراین، کار انجام شده توسط این نیرو بر روی اولین جابجایی ممکن صفر است).

اجازه دهید جابجایی های d را بیان کنیم x Eو د xDاز طریق دی جی برای این کار ابتدا می نویسیم

سپس مطابق فرمول (7) adj. 1 پیدا خواهیم کرد

با جایگزینی مقادیر یافت شده به ، دریافت می کنیم

با استفاده از فرمول (1.4)، با در نظر گرفتن آن، تعیین می کنیم

تعریف س 2. اجازه دهید به سیستم یک حرکت احتمالی دوم در هنگام dj بدهیم = 0، د s> 0 (شکل 1.7، ب). در این مورد، میله ABبی حرکت خواهد ماند و توپ مدر طول میله با فاصله d حرکت می کند س. بیایید مجموع کار روی حرکات مشخص شده را جمع آوری کنیم:

بیایید تعریف کنیم

جایگزینی مقدار نیرو F 1از فرمول (الف) دریافت می کنیم

1.5. بیان انرژی جنبشی یک سیستم
در مختصات تعمیم یافته

انرژی جنبشی یک سیستم برابر است با مجموع انرژی جنبشی اجسام و نقاط آن (پیوست 2). برای بدست آوردن تیعبارت (1.2) باید سرعت تمام اجسام و نقاط سیستم را از طریق سرعت های تعمیم یافته با استفاده از روش های سینماتیک بیان کند. در این حالت، سیستم در یک موقعیت دلخواه در نظر گرفته می شود، تمام سرعت های تعمیم یافته آن مثبت در نظر گرفته می شوند، یعنی به سمت افزایش مختصات تعمیم یافته هدایت می شوند.

مثال 1. 7 (شرایط شکل 1.1 را ببینید)

اجازه دهید انرژی جنبشی سیستم را تعیین کنیم (شکل 1.8) و فاصله را به عنوان یک مختصات تعمیم یافته در نظر بگیریم. اس،

T = T A + T B.

با توجه به فرمول (2) و (3) adj. 2 داریم: .

جایگزینی این داده ها در تیو با در نظر گرفتن آن، دریافت می کنیم

مثال 1.8(شرایط شکل 1.2 را ببینید)

اجازه دهید انرژی جنبشی سیستم را در شکل 1 تعیین کنیم. 1.9، کمیت ها را به عنوان مختصات تعمیم یافته در نظر بگیرید xDو xA,

T = T A + T B + T D.

طبق فرمول های (2)، (3)، (4) adj. 2 ما یادداشت می کنیم

بیان کنیم V A، V D، W Bو w آاز طریق :

هنگام تعیین w آدر نظر گرفته شده است که نکته O(شکل 1.9) - مرکز آنی سرعت سیلندر آو V k = V D(توضیحات مربوطه را برای مثال 2 پیوست 2 ببینید).

جایگزینی نتایج به دست آمده در تیو با توجه به اینکه

بیایید تعریف کنیم

مثال 1.9(شرایط شکل 1.3 را ببینید)

اجازه دهید انرژی جنبشی سیستم را در شکل 1 تعیین کنیم. 1.10، گرفتن j و به عنوان مختصات تعمیم یافته س,

T = T AB + T D.

طبق فرمول های (1) و (3) adj. 2 ما داریم

اجازه دهید w را بیان کنیم ABو V Dاز طریق و:

سرعت انتقال توپ کجاست Dمدول آن با فرمول تعیین می شود

جهت عمود بر قطعه آگهیدر جهت افزایش زاویه j; - سرعت نسبی توپ، ماژول آن با فرمول تعیین می شود که به سمت افزایش مختصات هدایت می شود س. توجه داشته باشید که عمود است، بنابراین

جایگزینی این نتایج در تیو با توجه به اینکه

1.6. ترسیم معادلات دیفرانسیل
حرکت سیستم های مکانیکی

برای به دست آوردن معادلات مورد نیاز، لازم است که عبارت قبلاً یافت شده انرژی جنبشی سیستم را در مختصات تعمیم یافته و نیروهای تعمیم یافته جایگزین معادلات لاگرانژ (1.1) کرد. س 1 , س 2 , … , Qn.

هنگام یافتن مشتقات جزئی تیبا استفاده از مختصات تعمیم یافته و سرعت های تعمیم یافته باید در نظر گرفت که متغیرها q 1 ، ق 2 , … , q n; مستقل از یکدیگر در نظر گرفته می شوند. این بدان معناست که هنگام تعریف مشتق جزئی تیبرای یکی از این متغیرها، همه متغیرهای دیگر در عبارت for تیباید به عنوان ثابت در نظر گرفته شود.

هنگام انجام یک عملیات، تمام متغیرهای موجود در متغیر باید در زمان متمایز شوند.

تاکید می کنیم که معادلات لاگرانژ برای هر مختصات تعمیم یافته نوشته می شود q i (من = 1, 2,…n) سیستم های.

در مکانیک تحلیلی، همراه با مفهوم نیرو به‌عنوان کمیت برداری که تأثیر اجسام مادی دیگر بر جسم معین را مشخص می‌کند، از مفهوم نیرو استفاده می‌کنند. نیروی تعمیم یافته. برای تعیین قدرت تعمیم یافتهبیایید کار مجازی نیروهای اعمال شده در نقاط سیستم را در نظر بگیریم.

اگر یک سیستم مکانیکی با نیروهای بازدارنده هولونومیک بر آن تحمیل شود ساعتارتباطات دارد s = 3n-hدرجه آزادی , سپس موقعیت این سیستم مشخص می شود ( i = s)

مختصات تعمیم یافته و (2.11) : با توجه به (2.13)، (2.14) جابجایی مجازی k –امتیاز

(2.13)

(2.14)

جایگزینی (2.14): به فرمول کار مجازی نیروها

(2.24)، دریافت می کنیم

کمیت اسکالر = (2.26)

تماس گرفت نیروی تعمیم یافته، متناظر منمختصات تعمیم یافته

نیروی تعمیم یافتهمربوط به i-مختصات تعمیم یافته کمیتی برابر با ضریب تغییر یک مختصات تعمیم یافته در بیان کار مجازی نیروهای وارد بر یک سیستم مکانیکی است.

کار مجازیتعیین شده از

¾ نیروهای فعال مشخص مستقل از محدودیت ها و

¾ واکنش های جفت (اگر کوپلینگ ها ایده آل نیستند، برای حل مشکل لازم است وابستگی فیزیکی را نیز تنظیم کنید. تی j از ن j، ( تی j ¾ اینها معمولاً نیروهای اصطکاک یا گشتاورهای مقاومت در برابر اصطکاک غلتشی هستند که می توانیم آنها را تعیین کنیم).

به طور کلی نیروی تعمیم یافتهتابعی از مختصات تعمیم یافته، سرعت نقاط سیستم و زمان است. از تعریف بر می آید که نیروی تعمیم یافته¾ یک کمیت اسکالر است که به مختصات تعمیم یافته انتخاب شده برای یک سیستم مکانیکی معین بستگی دارد. این بدان معناست که وقتی مجموعه مختصات تعمیم یافته ای که موقعیت یک سیستم معین را تعیین می کنند تغییر می کند نیروهای تعمیم یافته

مثال 2.10. برای یک دیسک با شعاع rو جرم متر، که بدون لغزش روی یک صفحه شیبدار می غلتد (شکل 2.9)، می تواند به عنوان یک مختصات تعمیم یافته در نظر گرفته شود:

¾ یا q = s¾ حرکت مرکز جرم دیسک،

¾ یا q= j ¾ زاویه چرخش دیسک. اگر از مقاومت غلتشی غفلت کنیم، آنگاه:

¾ در مورد اول نیروی تعمیم یافتهاراده

برنج. 2.9 Q s = میلی گرم سینا، a

¾ در مورد دوم ¾ Q j = mg r cosa.

مختصات تعمیم یافته نیز واحد اندازه گیری مربوطه را تعیین می کند قدرت تعمیم یافتهاز بیان (2.25)

(2.27)

نتیجه می شود که واحد اندازه گیری قدرت تعمیم یافتهبرابر با واحد کار تقسیم بر واحد مختصات تعمیم یافته.

اگر به عنوان مختصات تعمیم یافته qتایید کنید q = s¾ حرکت هر نقطه، سپس واحد اندازه گیری قدرت تعمیم یافته Q ¾ خواهد بود [نیوتن] ,

اگر، به عنوان یک q= j ¾ زاویه چرخش بدن (بر حسب رادیان) گرفته می شود، سپس واحد اندازه گیری قدرت تعمیم یافته Q j 2 خواهد بود [ نیوتن متر].

اجازه دهید مجموع کارهای اولیه نیروهای وارد بر نقاطی از سیستم بر روی جابجایی احتمالی سیستم را بنویسیم:

اجازه دهید سیستم هولونومیک داشته باشد درجات آزادی و در نتیجه موقعیت آن در فضا مشخص می شود مختصات تعمیم یافته
.

جایگزینی (225) به (226) و تغییر ترتیب جمع بر اساس شاخص ها و ، ما گرفتیم

. (226")

کمیت اسکالر کجاست

تماس گرفت نیروی تعمیم یافته مربوط به مختصات تعمیم یافته . با استفاده از عبارت معروف برای حاصل ضرب اسکالر دو بردار، نیروی وارده را می توان به صورت

- پیش بینی نیرو بر روی محورهای مختصات؛
- مختصات نقطه اعمال نیرو

بعد نیروی تعمیم یافته مطابق با (226") به ابعاد زیر بستگی دارد ، همزمان با بعد :

, (228)

یعنی بعد نیروی تعمیم یافته برابر است با بعد کار نیرو (انرژی) یا گشتاور نیرو تقسیم بر بعد مختصات تعمیم یافته که نیروی تعمیم یافته به آن اختصاص داده شده است. از این نتیجه می شود که یک نیروی تعمیم یافته می تواند بعد نیرو یا لحظه نیرو داشته باشد.

محاسبه نیروی تعمیم یافته

1. نیروی تعمیم یافته را می توان با استفاده از فرمول (227)، که آن را تعریف می کند، محاسبه کرد.

2. نیروهای تعمیم یافته را می توان به عنوان ضرایبی برای تغییرات متناظر مختصات تعمیم یافته در بیان برای کار ابتدایی (226") محاسبه کرد، یعنی.

3. مناسب ترین روش برای محاسبه نیروهای تعمیم یافته که از (226 "") به دست می آید این است که به سیستم چنان حرکت ممکن داده شود که فقط یک مختصات تعمیم یافته تغییر کند، در حالی که بقیه تغییر نکنند. بنابراین، اگر
، و بقیه
، سپس از (179") داریم

.

فهرست مطالب نشان می دهد که مجموع کارهای ابتدایی بر روی یک جابجایی احتمالی محاسبه می شود که در طی آن فقط مختصات تغییر می کند (متغیر است) . اگر مختصات متغیر باشد ، آن

. (227")

شرایط تعادل برای سیستمی از نیروها بر حسب نیروهای تعمیم یافته

شرایط تعادل سیستم برگرفته از اصل حرکات ممکن است. آنها برای سیستم هایی اعمال می شوند که این اصل برای آنها معتبر است: برای تعادل یک سیستم مکانیکی مشمول قیود هولونومیک، ثابت، ایده آل و غیر آزاد کننده، در لحظه ای که سرعت تمام نقاط سیستم برابر با صفر است، لازم و کافی است که تمام نیروهای تعمیم یافته برابر با صفر باشند.

. (228")

3.6.7. معادله کلی دینامیک

معادله کلی دینامیک برای یک سیستم با هر اتصال (ترکیب اصل d'Alembert-Lagrangeیا معادله کلی مکانیک):

, (229)

جایی که - نیروی فعال اعمال شده به -مین نقطه سیستم؛ - قدرت واکنش پیوندها؛
- نیروی اینرسی نقطه ای؛ - حرکت احتمالی

در حالت تعادل سیستم، وقتی تمام نیروهای اینرسی نقاط سیستم از بین برود، به اصل جابجایی های احتمالی تبدیل می شود. معمولاً برای سیستم‌هایی با اتصالات ایده‌آل استفاده می‌شود که شرایط برای آنها برآورده می‌شود

در این مورد (229) یکی از اشکال زیر را به خود می گیرد:

,

,

. (230)

بدین ترتیب، بر اساس معادله کلی دینامیک، در هر لحظه از حرکت یک سیستم با اتصالات ایده آل، مجموع کارهای اولیه همه نیروهای فعال و نیروهای اینرسی نقاط سیستم برابر با صفر در هر حرکت احتمالی سیستم مجاز است. توسط اتصالات.

معادله کلی دینامیک را می توان اشکال معادل دیگری نیز ارائه داد. با گسترش حاصل ضرب اسکالر بردارها، می توان آن را به صورت بیان کرد

جایی که
- مختصات -مین نقطه سیستم با توجه به اینکه پیش بینی نیروهای اینرسی بر روی محورهای مختصات از طریق پیش بینی شتاب ها بر روی این محورها توسط روابط بیان می شود.

,

معادله کلی دینامیک را می توان شکل داد

در این شکل نامیده می شود معادله کلی دینامیک به صورت تحلیلی.

هنگام استفاده از معادله کلی دینامیک، لازم است بتوانیم کار اولیه نیروهای اینرسی سیستم را بر روی جابجایی های احتمالی محاسبه کنیم. برای انجام این کار، فرمول های مربوطه را برای کار ابتدایی به دست آمده برای نیروهای معمولی اعمال کنید. اجازه دهید کاربرد آنها را برای نیروهای اینرسی یک جسم صلب در موارد خاصی از حرکت آن در نظر بگیریم.

در حین حرکت رو به جلو در این حالت بدن دارای سه درجه آزادی است و به دلیل محدودیت های تحمیلی فقط می تواند حرکت انتقالی را انجام دهد. حرکات احتمالی بدن که امکان اتصال را فراهم می کند نیز انتقالی هستند.

نیروهای اینرسی در طول حرکت انتقالی به نتیجه کاهش می یابد
. برای مجموع کارهای اولیه نیروهای اینرسی در حرکت انتقالی ممکن یک جسم، به دست می آوریم

جایی که
- حرکت ممکن مرکز جرم و هر نقطه از بدن، زیرا حرکت ممکن انتقالی همه نقاط بدن یکسان است: شتاب ها نیز یکسان هستند، یعنی.
.

هنگامی که یک جسم صلب حول یک محور ثابت می چرخد. بدن در این حالت یک درجه آزادی دارد. می تواند حول یک محور ثابت بچرخد
. حرکت احتمالی که توسط اتصالات روی هم مجاز است، همچنین چرخش بدن با یک زاویه ابتدایی است.
حول یک محور ثابت

نیروهای اینرسی به یک نقطه کاهش یافت بر روی محور چرخش، به بردار اصلی کاهش می یابد و نکته اصلی
. بردار اصلی نیروهای اینرسی به یک نقطه ثابت اعمال می شود و کار اولیه آن روی جابجایی احتمالی صفر است. برای لحظه اصلی نیروهای اینرسی، کار ابتدایی غیرصفر فقط با پرتاب آن بر روی محور چرخش انجام می شود.
. بنابراین، برای مجموع کار نیروهای اینرسی بر روی جابجایی احتمالی در نظر گرفته شده است

,

اگر زاویه
گزارش در جهت فلش کمانی شتاب زاویه ای .

در حرکت صاف. در این حالت، محدودیت های اعمال شده بر بدنه صلب فقط امکان حرکت مسطح ممکن را فراهم می کند. در حالت کلی، شامل یک حرکت انتقالی ممکن همراه با قطب است که مرکز جرم را برای آن انتخاب می کنیم، و یک چرخش در یک زاویه ابتدایی.
حول محور
عبور از مرکز جرم و عمود بر صفحه موازی که جسم می تواند حرکت صفحه را انجام دهد.

از آنجایی که نیروهای اینرسی در حرکت صفحه یک جسم صلب را می توان به بردار اصلی کاهش داد و نکته اصلی
(اگر مرکز جرم را به عنوان مرکز کاهش انتخاب کنیم)، مجموع کار اولیه نیروهای اینرسی در یک صفحه جابجایی احتمالی به کار اولیه بردار نیروی اینرسی کاهش می یابد.
در مورد حرکت احتمالی مرکز جرم و کار ابتدایی ممان اصلی نیروهای اینرسی در یک حرکت چرخشی اولیه حول یک محور
، از مرکز جرم عبور می کند. در این حالت، کار ابتدایی غیر صفر را فقط می توان با پیش بینی ممان اصلی نیروهای اینرسی بر روی محور انجام داد.
، یعنی
. بنابراین، در مورد مورد بررسی داریم

اگر چرخش با یک زاویه ابتدایی باشد
مستقیم در یک فلش قوس دار به .

البته هنگام محاسبه این نیروی تعمیم یافته، انرژی پتانسیل باید تابعی از مختصات تعمیم یافته تعیین شود.

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

یادداشت.

اولین. هنگام محاسبه نیروهای واکنش تعمیم یافته، اتصالات ایده آل در نظر گرفته نمی شود.

دومین. بعد نیروی تعمیم یافته به بعد مختصات تعمیم یافته بستگی دارد. بنابراین اگر بعد [ q] – متر، سپس بعد

[Q]= Nm/m = نیوتن، اگر [ q] – رادیان، سپس [Q] = Nm. اگر [ q] = m 2، سپس [Q] = H/m و غیره.

مثال 4.یک حلقه در امتداد میله ای که در یک صفحه عمودی تاب می خورد می لغزد. موزن آر(شکل 10). میله را بی وزن در نظر می گیریم. اجازه دهید نیروهای تعمیم یافته را تعریف کنیم.

شکل 10

راه حل.این سیستم دارای دو درجه آزادی است. ما دو مختصات تعمیم یافته را اختصاص می دهیم سو .

اجازه دهید نیروی تعمیم یافته مربوط به مختصات را پیدا کنیم سبه این مختصات افزایش می دهیم و مختصات را بدون تغییر می گذاریم و کار تنها نیروی فعال را محاسبه می کنیم. آر، نیروی تعمیم یافته را بدست می آوریم

سپس با این فرض مختصات را افزایش می دهیم س= ثابت هنگامی که میله از طریق یک زاویه می چرخد، نقطه اعمال نیرو است آر، حلقه م، به . نیروی تعمیم یافته خواهد بود

از آنجایی که سیستم محافظه کار است، نیروهای تعمیم یافته را نیز می توان با استفاده از انرژی پتانسیل یافت. ما گرفتیم و . خیلی ساده تر به نظر می رسد.

معادلات تعادل لاگرانژ

طبق تعریف (7) نیروهای تعمیم یافته , ک = 1,2,3,…,س، جایی که س- تعداد درجات آزادی

اگر سیستم در حالت تعادل باشد، طبق اصل جابجایی های احتمالی (1) . در اینجا حرکات مجاز توسط اتصالات، حرکات ممکن است. بنابراین، هنگامی که یک سیستم مادی در تعادل است، تمام نیروهای تعمیم یافته آن برابر با صفر هستند:

Q k= 0, (ک=1,2,3,…, س). (10)

این معادلات معادلات تعادل در مختصات تعمیم یافتهیا معادلات تعادل لاگرانژ , یک روش دیگر برای حل مسائل استاتیکی اجازه دهید.

اگر سیستم محافظه کار است، پس . این بدان معناست که در وضعیت تعادل قرار دارد. یعنی در موقعیت تعادل چنین سیستم مادی، انرژی پتانسیل آن حداکثر یا حداقل است، یعنی. تابع П(q) یک اکسترموم دارد.

این از تجزیه و تحلیل ساده ترین مثال آشکار است (شکل 11). انرژی بالقوه توپ در موقعیت م 1 دارای حداقل، در موقعیت است م 2 - حداکثر می توان متوجه شد که در موقعیت م 1 تعادل پایدار خواهد بود. حامله م 2- ناپایدار

شکل 11

اگر به بدن در این موقعیت سرعت کم داده شود یا فاصله کمی جابجا شود و این انحرافات در آینده افزایش نیابد، تعادل پایدار در نظر گرفته می شود.

می توان ثابت کرد (قضیه لاگرانژ- دیریکله) اگر در موقعیت تعادل یک سیستم محافظه کار انرژی پتانسیل آن حداقل باشد، آنگاه این موقعیت تعادل پایدار است.

برای یک سیستم محافظه کار با یک درجه آزادی، شرط حداقل انرژی پتانسیل، و در نتیجه پایداری موقعیت تعادل، توسط مشتق دوم، مقدار آن در موقعیت تعادل تعیین می شود.

مثال 5.هسته OAوزن آرمی تواند در یک صفحه عمودی حول یک محور بچرخد در باره(شکل 12). بیایید پایداری موقعیت های تعادلی را پیدا و مطالعه کنیم.

شکل 12

راه حل.میله یک درجه آزادی دارد. مختصات تعمیم یافته - زاویه.

نسبت به پایین تر، موقعیت صفر، انرژی پتانسیل P = Phیا

در موقعیت تعادل باید وجود داشته باشد . از این رو ما دو موقعیت تعادل مربوط به زاویه ها و (موقعیت ها) داریم OA 1 و OA 2). بیایید ثبات آنها را بررسی کنیم. پیدا کردن مشتق دوم البته با، . موقعیت تعادل پایدار است. در . موقعیت تعادل دوم ناپایدار است. نتایج آشکار است.

نیروهای اینرسی تعمیم یافته

با استفاده از همان روش (8) که توسط آن نیروهای تعمیم یافته محاسبه شد Q k، مربوط به نیروهای فعال، مشخص شده، نیروهای تعمیم یافته نیز تعیین می شود S kمتناظر با نیروهای اینرسی نقاط سیستم:

و از که

چند تبدیل ریاضی

به طور مشخص،

از آنجایی که a qk = qk(t)، (k = 1،2،3،…، s)، پس

این بدان معنی است که مشتق جزئی سرعت با توجه به

علاوه بر این، در آخرین ترم (14) می توانید ترتیب تمایز را تغییر دهید:

با جایگزینی (15) و (16) به (14) و سپس (14) به (13)، به دست می آوریم.

با تقسیم آخرین مجموع بر دو و با در نظر گرفتن اینکه مجموع مشتقات برابر با مشتق جمع است، به دست می آید.

انرژی جنبشی سیستم کجاست و سرعت تعمیم یافته است.

معادلات لاگرانژ

طبق تعریف (7) و (12) نیروهای تعمیم یافته

اما بر اساس معادله دینامیک عمومی (3)، سمت راست برابری برابر با صفر است. و از آنجایی که همه چیز ( ک = 1,2,3,…,س) با صفر متفاوت هستند، سپس . با جایگزینی مقدار نیروی اینرسی تعمیم یافته (17)، معادله را به دست می آوریم

این معادلات معادلات دیفرانسیل حرکت در مختصات تعمیم یافته، معادلات لاگرانژ نوع دوم نامیده می شوند یا به سادگی – معادلات لاگرانژ

تعداد این معادلات برابر است با تعداد درجات آزادی سیستم مادی.

اگر سیستم محافظه کار باشد و تحت تأثیر نیروهای میدان بالقوه حرکت کند، وقتی نیروهای تعمیم یافته هستند، معادلات لاگرانژ را می توان به شکل تشکیل داد.

جایی که L = تی- P نامیده می شود تابع لاگرانژ (فرض می شود که انرژی پتانسیل P به سرعت های تعمیم یافته بستگی ندارد).

اغلب، هنگام مطالعه حرکت سیستم های مادی، مشخص می شود که برخی مختصات تعمیم یافته است q jبه صراحت در تابع لاگرانژ (یا در تیو P). چنین مختصاتی نامیده می شود چرخه ای. معادلات لاگرانژ مربوط به این مختصات ساده تر به دست می آیند.

اولین انتگرال چنین معادلاتی را می توان بلافاصله پیدا کرد. به آن انتگرال چرخه ای می گویند:

مطالعات بیشتر و تبدیل معادلات لاگرانژ موضوع بخش خاصی از مکانیک نظری - "مکانیک تحلیلی" را تشکیل می دهد.

معادلات لاگرانژ در مقایسه با سایر روش های مطالعه حرکت سیستم ها دارای مزایای متعددی هستند. مزایای اصلی: روش تشکیل معادلات در همه مسائل یکسان است، واکنش های اتصالات ایده آل در حل مسائل در نظر گرفته نمی شود.

و یک چیز دیگر - این معادلات می تواند برای مطالعه نه تنها مکانیکی، بلکه سایر سیستم های فیزیکی (الکتریکی، الکترومغناطیسی، نوری و غیره) استفاده شود.

مثال 6.بیایید مطالعه خود را در مورد حرکت حلقه ادامه دهیم مروی یک میله چرخان (مثال 4).

مختصات تعمیم یافته تخصیص داده می شود – و s (شکل 13). نیروهای تعمیم یافته تعریف می شوند: و .

شکل 13

راه حل.انرژی جنبشی حلقه که در آن a و .

ما دو معادله لاگرانژ می سازیم

سپس معادلات به این صورت می شوند:

ما دو معادله دیفرانسیل مرتبه دوم غیرخطی به دست آورده ایم که حل آنها به روش های خاصی نیاز دارد.

مثال 7.بیایید یک معادله دیفرانسیل حرکت پرتو ایجاد کنیم AB، که بدون لغزش در امتداد یک سطح استوانه ای می غلتد (شکل 14). طول پرتو AB = ل، وزن - آر.

در حالت تعادل، پرتو افقی و مرکز ثقل بود بادر بالای سیلندر قرار داشت. پرتو یک درجه آزادی دارد. موقعیت آن توسط یک مختصات تعمیم یافته تعیین می شود - یک زاویه (شکل 76).

شکل 14

راه حل.سیستم محافظه کار است. بنابراین، معادله لاگرانژ را با استفاده از انرژی پتانسیل P=mgh که نسبت به موقعیت افقی محاسبه می‌شود، می‌سازیم. در نقطه تماس مرکز آنی سرعت ها و (برابر طول قوس دایره ای با زاویه) وجود دارد.

بنابراین (نگاه کنید به شکل 76) و .

انرژی جنبشی (پرتو متحمل حرکت صفحه موازی می شود)

مشتقات لازم را برای معادله و

بیایید یک معادله بسازیم

یا در نهایت

سوالات خودآزمایی

حرکت احتمالی یک سیستم مکانیکی محدود چیست؟

حرکات ممکن و واقعی سیستم چگونه به هم مرتبط هستند؟

به چه اتصالاتی می گویند: الف) ثابت. ب) ایده آل؟

اصل حرکات ممکن را فرموله کنید. عبارت فرمولی آن را بنویسید.

آیا می توان اصل حرکات مجازی را برای سیستم هایی با اتصالات غیر ایده آل اعمال کرد؟

مختصات تعمیم یافته یک سیستم مکانیکی چیست؟

تعداد درجات آزادی یک سیستم مکانیکی چقدر است؟

در چه صورت مختصات دکارتی نقاط در سیستم نه تنها به مختصات تعمیم یافته، بلکه به زمان نیز بستگی دارد؟

حرکات احتمالی یک سیستم مکانیکی چیست؟

آیا حرکات ممکن به نیروهای وارد بر سیستم بستگی دارد؟

چه اتصالات یک سیستم مکانیکی ایده آل نامیده می شود؟

چرا پیوندی که با اصطکاک ایجاد می شود، پیوند ایده آلی نیست؟

اصل حرکات ممکن چگونه فرموله می شود؟

معادله کار چه انواعی می تواند داشته باشد؟

چرا اصل جابه‌جایی‌های ممکن، استخراج شرایط تعادل را برای نیروهای اعمال شده به سیستم‌های محدود متشکل از تعداد زیادی جسم ساده می‌کند؟

چگونه معادلات کار برای نیروهای وارد بر یک سیستم مکانیکی با چندین درجه آزادی ساخته می شود؟

رابطه بین نیروی محرکه و نیروی مقاوم در ماشین های ساده چیست؟

قانون طلایی مکانیک چگونه تدوین می شود؟

چگونه واکنش اتصالات با استفاده از اصل حرکات ممکن تعیین می شود؟

چه اتصالاتی را هولونومیک می نامند؟

تعداد درجات آزادی یک سیستم مکانیکی چقدر است؟

مختصات تعمیم یافته سیستم چیست؟

یک سیستم مکانیکی غیر آزاد چند مختصات تعمیم یافته دارد؟

فرمان خودرو چند درجه آزادی دارد؟

نیروی تعمیم یافته چیست؟

فرمولی را بنویسید که کل کار ابتدایی همه نیروهای اعمال شده به سیستم را در مختصات تعمیم یافته بیان می کند.

بعد نیروی تعمیم یافته چگونه تعیین می شود؟

نیروهای تعمیم یافته در سیستم های محافظه کار چگونه محاسبه می شوند؟

یکی از فرمول های بیانگر معادله کلی دینامیک یک سیستم با اتصالات ایده آل را بنویسید. مفهوم فیزیکی این معادله چیست؟

نیروی تعمیم یافته نیروهای فعال اعمال شده به یک سیستم چیست؟

نیروی اینرسی تعمیم یافته چیست؟

اصل دالامبر را در نیروهای تعمیم یافته فرموله کنید.

معادله کلی دینامیک چیست؟

نیروی تعمیم یافته مربوط به برخی مختصات تعمیم یافته سیستم چیست و چه بُعدی دارد؟

واکنش های تعمیم یافته پیوندهای ایده آل چیست؟

معادله کلی دینامیک در نیروهای تعمیم یافته را بدست آورید.

شرایط تعادل نیروهای اعمال شده به یک سیستم مکانیکی که از معادله کلی دینامیک در نیروهای تعمیم یافته به دست می آید، به چه شکل است؟

چه فرمول هایی نیروهای تعمیم یافته را از طریق پیش بینی نیروها بر روی محورهای ثابت مختصات دکارتی بیان می کنند؟

نیروهای تعمیم یافته در مورد نیروهای محافظه کار و در مورد نیروهای غیر محافظه کار چگونه تعیین می شوند؟

چه اتصالاتی را هندسی می نامند؟

یک نمایش برداری از اصل جابجایی های ممکن ارائه دهید.

شرط لازم و کافی برای تعادل یک سیستم مکانیکی با اتصالات هندسی ثابت ایده آل را نام ببرید.

تابع نیروی یک سیستم محافظه کار در حالت تعادل چه ویژگی دارد؟

یک سیستم معادلات دیفرانسیل لاگرانژ از نوع دوم را بنویسید.

چند معادله لاگرانژ از نوع دوم را می توان برای یک سیستم مکانیکی مقید ساخت؟

آیا تعداد معادلات لاگرانژ یک سیستم مکانیکی به تعداد اجسام موجود در سیستم بستگی دارد؟

پتانسیل جنبشی یک سیستم چقدر است؟

تابع لاگرانژ برای کدام سیستم های مکانیکی وجود دارد؟

تابع بردار سرعت یک نقطه متعلق به یک سیستم مکانیکی با چه آرگومان هایی است سدرجه آزادی؟

مشتق جزئی بردار سرعت یک نقطه از سیستم نسبت به سرعت تعمیم یافته چیست؟

تابع کدام آرگومان‌ها انرژی جنبشی یک سیستم تابع محدودیت‌های غیر ثابت هولونومی است؟

معادلات لاگرانژ نوع دوم چه شکلی دارند؟ تعداد این معادلات برای هر سیستم مکانیکی چقدر است؟

معادلات لاگرانژ نوع دوم در موردی که سیستم به طور همزمان توسط نیروهای محافظه کار و غیر محافظه کار عمل می کند، چه شکلی به خود می گیرد؟

تابع لاگرانژ یا پتانسیل جنبشی چیست؟

معادلات لاگرانژ نوع دوم برای یک سیستم محافظه کار چه شکلی دارند؟

بسته به اینکه انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی را هنگام ساخت معادلات لاگرانژ باید بیان کرد؟

انرژی پتانسیل یک سیستم مکانیکی تحت تأثیر نیروهای الاستیک چگونه تعیین می شود؟

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

وظیفه 1.با استفاده از اصل جابجایی های ممکن، واکنش های اتصالات سازه های مرکب را تعیین کنید. نمودارهای ساختاری در شکل نشان داده شده است. 15، و داده های لازم برای حل در جدول آورده شده است. 1. در تصاویر تمامی ابعاد بر حسب متر می باشد.

میز 1

گزینه 1 گزینه 2

گزینه 3 گزینه 4

گزینه 5 گزینه 6

گزینه 7 گزینه 8

Fig.16 Fig.17

راه حل.به راحتی می توان تأیید کرد که در این مشکل همه شرایط برای اعمال اصل لاگرانژ برآورده شده است (سیستم در تعادل است، اتصالات ثابت، هولونومی، محدود و ایده آل هستند).

بیایید خود را از ارتباط مربوط به واکنش رها کنیم ایکسالف (شکل 17). برای این کار در نقطه A باید لولای ثابت را مثلاً با تکیه گاه میله ای تعویض کرد که در این صورت سیستم یک درجه آزادی دریافت می کند. همانطور که قبلا ذکر شد، حرکت احتمالی سیستم توسط محدودیت های اعمال شده بر آن تعیین می شود و به نیروهای اعمال شده بستگی ندارد. بنابراین، تعیین جابجایی های احتمالی یک مسئله سینماتیکی است. از آنجایی که در این مثال کادر فقط می تواند در صفحه تصویر حرکت کند، حرکات احتمالی آن نیز مسطح است. در حرکت صفحه می توان حرکت بدن را به صورت چرخشی حول مرکز آنی سرعت ها در نظر گرفت. اگر مرکز لحظه‌ای سرعت‌ها در بی‌نهایت قرار داشته باشد، این با حالت حرکت انتقالی آنی مطابقت دارد، زمانی که جابجایی همه نقاط بدن یکسان است.

برای یافتن مرکز لحظه ای سرعت ها، باید جهت سرعت هر دو نقطه از بدن را دانست. بنابراین، تعیین جابه‌جایی‌های احتمالی یک سازه مرکب باید با یافتن جابه‌جایی‌های احتمالی عنصری که چنین سرعت‌هایی برای آن شناخته شده‌اند، آغاز شود. در این مورد، شما باید با قاب شروع کنید CDB، از آنجا که نقطه آن است که دربی حرکت است و بنابراین، حرکت احتمالی این قاب، چرخش آن در یک زاویه حول محوری است که از لولا B می گذرد. ​​حال با دانستن حرکت احتمالی نقطه با(به طور همزمان به هر دو قاب سیستم تعلق دارد) و حرکت احتمالی نقطه آ(یک حرکت ممکن نقطه A حرکت آن در امتداد محور است ایکس، مرکز سرعت لحظه ای C 1 کادر را پیدا کنید AES. بنابراین، امکان حرکت قاب وجود دارد AESچرخش آن حول نقطه C 1 با یک زاویه است. ارتباط بین زاویه ها و از طریق حرکت نقطه C تعیین می شود (شکل 17 را ببینید).

از شباهت مثلث های EC 1 C و BCD داریم

در نتیجه، وابستگی ها را دریافت می کنیم:

طبق اصل حرکات ممکن

اجازه دهید مشاغل احتمالی موجود در اینجا را به ترتیب محاسبه کنیم:

Q=2q - حاصل بار توزیع شده که نقطه اعمال آن در شکل 1 نشان داده شده است. 79; کار ممکن انجام شده توسط آن برابر است.