یک متغیر تصادفی پیوسته است. متغیر تصادفی پیوسته

3. متغیرهای تصادفی پیوسته.

علاوه بر متغیرهای تصادفی گسسته که مقادیر ممکن آنها یک دنباله متناهی یا نامتناهی از اعداد را تشکیل می دهند که هیچ بازه ای را به طور کامل پر نمی کنند، اغلب متغیرهای تصادفی وجود دارند که مقادیر ممکن آنها یک بازه مشخص را تشکیل می دهند. نمونه ای از چنین متغیرهای تصادفی انحراف از مقدار اسمی اندازه معینی از یک قطعه با یک فرآیند تکنولوژیکی به درستی تعیین شده است. این نوع متغیرهای تصادفی را نمی توان با استفاده از قانون توزیع احتمال مشخص کرد p(x). با این حال، آنها را می توان با استفاده از تابع توزیع احتمال مشخص کرد F(x). این تابع دقیقاً به همان روشی که در مورد یک متغیر تصادفی گسسته تعریف می شود:

بنابراین، در اینجا نیز تابع F(x)بر روی محور عدد کامل و مقدار آن در نقطه تعریف شده است ایکسبرابر با احتمال این است که متغیر تصادفی مقداری کمتر از آن به خود بگیرد ایکس.
فرمول () و خواص 1° و 2° برای تابع توزیع هر متغیر تصادفی معتبر است. اثبات به طور مشابه در مورد یک کمیت گسسته انجام می شود.
متغیر تصادفی نامیده می شود مداوم، اگر برای آن یک تابع تکه ای-پیوسته غیر منفی* وجود داشته باشد که برای هر مقداری راضی کننده باشد ایکسبرابری
بر اساس معنای هندسی انتگرال به عنوان یک مساحت، می توان گفت که احتمال تحقق نابرابری ها برابر است با مساحت یک ذوزنقه منحنی با قاعده. در بالا توسط یک منحنی محدود شده است (شکل 6).
از آنجایی که و بر اساس فرمول ()
، سپس
توجه داشته باشید که برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تابع توزیع است F(x)پیوسته در هر نقطه ایکس، جایی که تابع پیوسته است. این از این واقعیت ناشی می شود که F(x)در این نقاط قابل تمایز است.
بر اساس فرمول () با فرض x 1 = x، ، ما داریم

با توجه به تداوم عملکرد F(x)ما آن را دریافت می کنیم

از این رو

بدین ترتیب، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته بتواند هر مقدار x را بگیرد صفر است.
از این نتیجه می شود که وقایع شامل تحقق هر یک از نابرابری ها است
, , ,
احتمال یکسانی دارند، یعنی.

در واقع، برای مثال،

مانند

اظهار نظر.همانطور که می دانیم، اگر رویدادی غیرممکن باشد، احتمال وقوع آن صفر است. در تعریف کلاسیک احتمال، زمانی که تعداد نتایج آزمون محدود است، گزاره معکوس نیز اتفاق می‌افتد: اگر احتمال یک رویداد صفر باشد، آن رویداد غیرممکن است، زیرا در این مورد هیچ یک از نتایج آزمون به نفع آن نیست. در مورد یک متغیر تصادفی پیوسته، تعداد مقادیر ممکن آن بی نهایت است. احتمال اینکه این مقدار مقدار خاصی به خود بگیرد x 1همانطور که دیدیم برابر با صفر است. با این حال، از این نتیجه نمی‌شود که این رویداد غیرممکن است، زیرا در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی به ویژه می‌تواند مقدار را به خود بگیرد. x 1. بنابراین، در مورد یک متغیر تصادفی پیوسته، منطقی است که در مورد احتمال قرار گرفتن متغیر تصادفی در بازه صحبت کنیم، و نه در مورد احتمال اینکه مقدار خاصی به خود بگیرد.
بنابراین، برای مثال، در ساخت یک غلتک، ما علاقه ای به این نداریم که قطر آن برابر با مقدار اسمی باشد. برای ما احتمال اینکه قطر غلتک از حد تحمل خارج نشود مهم است.

چگالی توزیع احتمالات ایکستابع را فراخوانی کنید f(x)اولین مشتق تابع توزیع است F(x):

مفهوم چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی ایکسبرای یک مقدار گسسته قابل استفاده نیست.

چگالی احتمالی f(x)تابع توزیع دیفرانسیل نامیده می شود:

ملک 1.چگالی توزیع یک مقدار غیر منفی است:

ملک 2.انتگرال نامناسب چگالی توزیع در محدوده از تا برابر با یک است:

مثال 1.25.با توجه به تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته ایکس:

f(x).

تصمیم:چگالی توزیع برابر است با اولین مشتق تابع توزیع:

1. با توجه به تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته ایکس:

چگالی توزیع را پیدا کنید.

2. تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته داده شده است ایکس:

چگالی توزیع را پیدا کنید f(x).

1.3. ویژگی های عددی تصادفی پیوسته

مقادیر

ارزش مورد انتظارمتغیر تصادفی پیوسته ایکس، که مقادیر ممکن آن متعلق به کل محور است اوه، با برابری تعیین می شود:

فرض بر این است که انتگرال به طور مطلق همگرا می شود.

الف، ب)، سپس:

f(x)چگالی توزیع متغیر تصادفی است.

پراکندگی متغیر تصادفی پیوسته ایکس، که مقادیر ممکن آن متعلق به کل محور است، با برابری تعیین می شود:

مورد خاص. اگر مقادیر متغیر تصادفی متعلق به بازه ( الف، ب)، سپس:

احتمال اینکه ایکسمقادیر مربوط به بازه ( الف، ب) با برابری تعیین می شود:

.

مثال 1.26.متغیر تصادفی پیوسته ایکس

انتظارات ریاضی، واریانس و احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی را بیابید ایکسدر بازه (0؛ 0.7).

تصمیم:متغیر تصادفی در بازه (0،1) توزیع می شود. اجازه دهید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته را تعریف کنیم ایکس:

الف) انتظارات ریاضی :

ب) پراکندگی

که در)

وظایف برای کار مستقل:

1. متغیر تصادفی ایکستوسط تابع توزیع داده شده است:

M(x);

ب) پراکندگی D(x);

ایکسدر بازه (2،3).

2. مقدار تصادفی ایکس

پیدا کنید: الف) انتظار ریاضی M(x);

ب) پراکندگی D(x);

ج) احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکسدر فاصله (1؛ 1.5).

3. مقدار تصادفی ایکستوسط تابع توزیع انتگرال داده می شود:

پیدا کنید: الف) انتظار ریاضی M(x);

ب) پراکندگی D(x);

ج) احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکسدر فاصله زمانی

1.4. قوانین توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته

1.4.1. توزیع یکنواخت

متغیر تصادفی پیوسته ایکسدارای توزیع یکنواخت در بازه [ الف، ب]، اگر در این بخش چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی ثابت و خارج از آن برابر با صفر باشد، یعنی:

برنج. 4.

; ; .

مثال 1.27.یک اتوبوس در برخی از مسیرها به طور یکنواخت با فاصله زمانی 5 دقیقه حرکت می کند. احتمال توزیع یکنواخت متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس– زمان انتظار اتوبوس کمتر از 3 دقیقه خواهد بود.

تصمیم:مقدار تصادفی ایکس- به طور یکنواخت در بازه زمانی توزیع شده است.

چگالی احتمالی: .

برای اینکه زمان انتظار بیش از 3 دقیقه نباشد، مسافر باید بین 2 تا 5 دقیقه پس از حرکت اتوبوس قبلی به ایستگاه اتوبوس برسد. مقدار تصادفی ایکسباید در بازه (2;5) قرار گیرد. که احتمال مورد نظر:

وظایف برای کار مستقل:

1. الف) انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را بیابید ایکسبه طور یکنواخت در فاصله (2؛ 8) توزیع شده است.

ب) واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را بیابید ایکس،به طور یکنواخت در فاصله (2;8) توزیع شده است.

2. عقربه دقیقه یک ساعت الکتریکی در پایان هر دقیقه می پرد. این احتمال را پیدا کنید که ساعت در یک لحظه معین زمانی را نشان دهد که با زمان واقعی بیش از 20 ثانیه تفاوت ندارد.

1.4.2. توزیع نمایی (نمایی).

متغیر تصادفی پیوسته ایکسبه صورت نمایی توزیع می شود اگر چگالی احتمال آن به شکل زیر باشد:

پارامتر توزیع نمایی کجاست.

بدین ترتیب

برنج. 5.

مشخصات عددی:

مثال 1.28.مقدار تصادفی ایکس- زمان کار لامپ - دارای توزیع نمایی است. اگر میانگین عمر لامپ 400 ساعت باشد، احتمال دوام لامپ حداقل 600 ساعت را تعیین کنید.

تصمیم:با توجه به شرط مسئله، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی ایکسبرابر 400 ساعت است، بنابراین:

;

احتمال مورد نظر، جایی که

سرانجام:

وظایف برای کار مستقل:

1. تابع چگالی و توزیع قانون نمایی را بنویسید، اگر پارامتر .

2. مقدار تصادفی ایکس

انتظارات ریاضی و واریانس یک کمیت را پیدا کنید ایکس.

3. مقدار تصادفی ایکستوسط تابع توزیع احتمال داده می شود:

انتظارات ریاضی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را بیابید.

1.4.3. توزیع نرمال

معمولیتوزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته نامیده می شود ایکس، که چگالی آن به شکل زیر است:

جایی که آ– انتظارات ریاضی – انحراف معیار ایکس.

احتمال اینکه ایکسمقداری متعلق به بازه دریافت می کند:

، جایی که

تابع لاپلاس است.

توزیعی که دارای ; ، یعنی با چگالی احتمال استاندارد نامیده می شود.

برنج. 6.

احتمال اینکه مقدار مطلق انحراف کمتر از یک عدد مثبت باشد:

.

به ویژه، زمانی که a=برابری 0 درست است:

مثال 1.29.مقدار تصادفی ایکسبه صورت عادی توزیع می شود. انحراف معیار . این احتمال را پیدا کنید که انحراف یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن در مقدار مطلق کمتر از 0.3 باشد.

تصمیم: .

وظایف برای کار مستقل:

1. چگالی احتمال توزیع نرمال یک متغیر تصادفی را بنویسید ایکس، با دانستن اینکه M(x)= 3, D(x)= 16.

2. انتظارات ریاضی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال ایکسبه ترتیب 20 و 5 هستند.احتمالی که در نتیجه آزمون را بیابید ایکسمقدار موجود در بازه (15;20) را می گیرد.

3. خطاهای اندازه گیری تصادفی مشمول قانون عادی با انحراف معیار میلی متر و انتظارات ریاضی هستند. a= 0. این احتمال را بیابید که خطای حداقل یکی از 3 اندازه گیری مستقل از 4 میلی متر در مقدار مطلق تجاوز نکند.

4. برخی از مواد بدون خطاهای سیستماتیک وزن می شوند. خطاهای توزین تصادفی مشمول قانون عادی با انحراف معیار r هستند. احتمال اینکه توزین با خطای بیش از 10 گرم در مقدار مطلق انجام شود را پیدا کنید.

تابع توزیع در این مورد، مطابق (5.7)، به شکل زیر خواهد بود:

که در آن: m انتظار ریاضی است، s انحراف معیار است.

توزیع نرمال به نام گاوس ریاضیدان آلمانی نیز گاوسی نامیده می شود. این واقعیت که یک متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال با پارامترهای: m,, به صورت زیر است: N (m, s)، که در آن: m =a =M ;

اغلب، در فرمول ها، انتظارات ریاضی با نشان داده می شود آ . اگر یک متغیر تصادفی بر اساس قانون N(0,1) توزیع شود، آن را متغیر نرمال شده یا استاندارد شده می نامند. تابع توزیع برای آن به شکل زیر است:

نمودار چگالی توزیع نرمال که منحنی نرمال یا منحنی گاوسی نامیده می شود در شکل 5.4 نشان داده شده است.

برنج. 5.4. چگالی توزیع نرمال

تعیین ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی با چگالی آن در یک مثال در نظر گرفته شده است.

مثال 6.

یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی توزیع داده می شود: .

نوع توزیع را تعیین کنید، انتظار ریاضی M(X) و واریانس D(X) را پیدا کنید.

با مقایسه چگالی توزیع داده شده با (5.16)، می توان نتیجه گرفت که قانون توزیع نرمال با m = 4 داده شده است. بنابراین، انتظار ریاضی M(X)=4، واریانس D(X)=9.

انحراف معیار s=3.

تابع لاپلاس که به شکل زیر است:

با تابع توزیع نرمال (5.17)، با رابطه:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0.5.

تابع لاپلاس فرد است.

Ф(-x)=-Ф(x).

مقادیر تابع لاپلاس Ф(х) جدول بندی شده و با توجه به مقدار x از جدول گرفته شده است (پیوست 1 را ببینید).

توزیع نرمال یک متغیر تصادفی پیوسته نقش مهمی در تئوری احتمالات و در توصیف واقعیت ایفا می کند؛ این توزیع در پدیده های تصادفی طبیعی بسیار گسترده است. در عمل، اغلب متغیرهای تصادفی وجود دارند که دقیقاً در نتیجه جمع آوری بسیاری از اصطلاحات تصادفی تشکیل می شوند. به طور خاص، تجزیه و تحلیل خطاهای اندازه گیری نشان می دهد که آنها مجموع انواع مختلف خطاها هستند. تمرین نشان می دهد که توزیع احتمال خطاهای اندازه گیری نزدیک به قانون عادی است.

با استفاده از تابع لاپلاس می توان مسائل مربوط به محاسبه احتمال سقوط در یک بازه معین و انحراف معین یک متغیر تصادفی نرمال را حل کرد.

مقادیر تصادفی

مثال 2.1.مقدار تصادفی ایکستوسط تابع توزیع داده می شود

احتمال اینکه در نتیجه آزمون را بیابید ایکسمقادیری بین (2.5؛ 3.6) خواهد گرفت.

تصمیم: ایکسدر فاصله (2.5؛ 3.6) را می توان به دو روش تعیین کرد:

مثال 2.2.در چه مقادیری از پارامترها ولیو ATعملکرد اف(ایکس) = A + Be - xمی تواند یک تابع توزیع برای مقادیر غیر منفی یک متغیر تصادفی باشد ایکس.

تصمیم:از آنجایی که تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی ایکسبه بازه تعلق دارند، سپس برای اینکه تابع یک تابع توزیع برای آن باشد ایکس، ملک باید دارای موارد زیر باشد:

.

پاسخ: .

مثال 2.3.متغیر تصادفی X توسط تابع توزیع داده می شود

احتمال اینکه در نتیجه چهار آزمایش مستقل، مقدار را پیدا کنید ایکسدقیقاً 3 بار مقدار مربوط به بازه (0.25؛ 0.75) را می گیرد.

تصمیم:احتمال ضربه زدن به یک مقدار ایکسدر بازه (0.25؛ 0.75) با فرمول پیدا می کنیم:

مثال 2.4.احتمال برخورد توپ به سبد در یک پرتاب 0.3 است. قانون توزیع تعداد ضربه در سه پرتاب را ترسیم کنید.

تصمیم:مقدار تصادفی ایکس- تعداد ضربه در سبد با سه پرتاب - می تواند مقادیر: 0، 1، 2، 3 را به خود اختصاص دهد. احتمالاتی که ایکس

ایکس:

مثال 2.5.دو تیرانداز یک شلیک به سمت هدف می زنند. احتمال ضربه زدن به آن توسط تیرانداز اول 0.5، دوم - 0.4 است. قانون توزیع تعداد ضربه به هدف را بنویسید.

تصمیم:قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را پیدا کنید ایکس- تعداد ضربه به هدف. اجازه دهید رویداد ضربه ای به هدف توسط تیرانداز اول باشد، و - ضربه تیرانداز دوم، و - به ترتیب، از دست دادن آنها.

اجازه دهید قانون توزیع احتمال SV را بسازیم ایکس:

مثال 2.6. 3 عنصر آزمایش می شوند که مستقل از یکدیگر کار می کنند. مدت زمان (به ساعت) عملکرد بدون خرابی عناصر دارای توابع چگالی توزیع هستند: برای اول: اف 1 (تی) =1-الکترونیکی 0,1 تی، برای دوم: اف 2 (تی) = 1-الکترونیکی 0,2 تی، برای سومی: اف 3 (تی) =1-الکترونیکی 0,3 تی. این احتمال را پیدا کنید که در بازه زمانی 0 تا 5 ساعت: فقط یک عنصر از کار بیفتد. تنها دو عنصر شکست خواهند خورد. هر سه عنصر شکست می خورند.

تصمیم:بیایید از تعریف تابع مولد احتمالات استفاده کنیم:

احتمالی که در محاکمات مستقل که در اولی آن احتمال وقوع یک رویداد وجود دارد ولیبرابر است، در دوم، و غیره، رویداد ولیدقیقا یک بار ظاهر می شود، برابر است با ضریب at در بسط تابع مولد در توان های . بیایید احتمال خرابی و عدم شکست عنصر اول، دوم و سوم را به ترتیب در بازه زمانی 0 تا 5 ساعت پیدا کنیم:

بیایید یک تابع تولید کننده ایجاد کنیم:

ضریب at برابر با احتمال وقوع رویداد است ولیدقیقاً سه بار ظاهر می شود، یعنی احتمال شکست هر سه عنصر. ضریب at برابر است با احتمال اینکه دقیقاً دو عنصر از کار بیفتند. ضریب at برابر با احتمال خرابی تنها یک عنصر است.

مثال 2.7.با توجه به چگالی احتمال f(ایکس) متغیر تصادفی ایکس:

تابع توزیع F(x) را پیدا کنید.

تصمیم:ما از فرمول استفاده می کنیم:

.

بنابراین، تابع توزیع به شکل زیر است:

مثال 2.8.این دستگاه از سه عنصر مستقل تشکیل شده است. احتمال شکست هر عنصر در یک آزمایش 0.1 است. قانون توزیع تعداد عناصر شکست خورده را در یک آزمایش تدوین کنید.

تصمیم:مقدار تصادفی ایکس- تعداد عناصری که در یک آزمایش شکست خورده اند - می تواند مقادیر: 0، 1، 2، 3 را بگیرد. احتمالاتی که ایکساین مقادیر را با فرمول برنولی دریافت می کنیم:

بنابراین، قانون زیر را در مورد توزیع احتمال یک متغیر تصادفی بدست می آوریم ایکس:

مثال 2.9. 4 قسمت استاندارد در تعداد زیادی از 6 قسمت وجود دارد. 3 مورد به صورت تصادفی انتخاب شدند. قانون توزیع تعداد قطعات استاندارد در بین قطعات انتخاب شده را ترسیم کنید.

تصمیم:مقدار تصادفی ایکس- تعداد قطعات استاندارد در بین موارد انتخاب شده - می تواند مقادیر: 1، 2، 3 را داشته باشد و دارای توزیع فوق هندسی است. احتمالاتی که ایکس

جایی که -- تعداد قطعات در دسته؛

-- تعداد قطعات استاندارد در لات؛

– تعداد قطعات انتخاب شده؛

-- تعداد قطعات استاندارد در بین قطعات انتخاب شده

.

.

.

مثال 2.10.متغیر تصادفی دارای چگالی توزیع است

کجا و معلوم نیست، اما، a و . پیدا کردن و .

تصمیم:در این مورد، متغیر تصادفی ایکسدارای توزیع مثلثی (توزیع سیمپسون) در بازه [ الف، ب]. ویژگی های عددی ایکس:

از این رو، . با حل این سیستم، دو جفت مقدار بدست می آوریم: . از آنجایی که با توجه به شرایط مشکل، در نهایت داریم: .

پاسخ: .

مثال 2.11.به طور متوسط ​​برای 10 درصد از قراردادها، شرکت بیمه مبالغ بیمه شده را در رابطه با وقوع یک رویداد بیمه شده پرداخت می کند. انتظارات ریاضی و واریانس تعداد چنین قراردادهایی را در بین چهار قرارداد انتخاب شده به طور تصادفی محاسبه کنید.

تصمیم:انتظارات و واریانس ریاضی را می توان با استفاده از فرمول های زیر پیدا کرد:

.

مقادیر احتمالی SV (تعداد قراردادها (از چهار) با وقوع یک رویداد بیمه شده): 0، 1، 2، 3، 4.

ما از فرمول برنولی برای محاسبه احتمالات تعداد متفاوتی از قراردادها (از چهار مورد) استفاده می کنیم که مبالغ بیمه برای آنها پرداخت شده است:

.

سری توزیع CV (تعداد قراردادها با وقوع یک رویداد بیمه شده) به شکل زیر است:

پاسخ: ، .

مثال 2.12.از پنج گل رز، دو رز سفید هستند. یک قانون توزیع برای یک متغیر تصادفی بنویسید که تعداد گل های رز سفید را در بین دو رز به طور همزمان بیان می کند.

تصمیم:در یک نمونه از دو گل رز، ممکن است رز سفید وجود نداشته باشد یا ممکن است یک یا دو رز سفید وجود داشته باشد. بنابراین، متغیر تصادفی ایکسمی تواند مقادیر: 0، 1، 2 را بگیرد. احتمالاتی که ایکسبا گرفتن این مقادیر، با فرمول پیدا می کنیم:

جایی که -- تعداد گل رز؛

-- تعداد گل رز سفید؛

– تعداد گل رزهای گرفته شده همزمان؛

-- تعداد رزهای سفید در میان آنهایی که گرفته شده اند.

.

.

.

سپس قانون توزیع یک متغیر تصادفی به صورت زیر خواهد بود:

مثال 2.13.از میان 15 واحد مونتاژ شده، 6 واحد نیاز به روغن کاری اضافی دارند. قانون توزیع تعداد واحدهایی که نیاز به روغن کاری اضافی دارند را از بین پنج عدد به طور تصادفی انتخاب کنید.

تصمیم:مقدار تصادفی ایکس- تعداد واحدهایی که نیاز به روغن کاری اضافی در بین پنج انتخاب شده دارند - می تواند مقادیر: 0، 1، 2، 3، 4، 5 را داشته باشد و دارای توزیع فوق هندسی است. احتمالاتی که ایکسبا گرفتن این مقادیر، با فرمول پیدا می کنیم:

جایی که -- تعداد واحدهای مونتاژ شده؛

-- تعداد واحدهایی که نیاز به روغن کاری اضافی دارند.

– تعداد مصالح انتخابی؛

-- تعداد واحدهایی که نیاز به روغن کاری اضافی در بین واحدهای انتخاب شده دارند.

.

.

.

.

.

.

سپس قانون توزیع یک متغیر تصادفی به صورت زیر خواهد بود:

مثال 2.14.از 10 ساعت دریافت شده برای تعمیر، 7 ساعت نیاز به تمیز کردن کلی مکانیسم دارند. ساعت ها بر اساس نوع تعمیر طبقه بندی نمی شوند. استاد که می خواهد ساعتی را بیابد که نیاز به تمیز کردن دارد، آنها را یکی یکی بررسی می کند و با یافتن چنین ساعتی، تماشای بیشتر را متوقف می کند. انتظارات ریاضی و واریانس تعداد ساعات تماشا را پیدا کنید.

تصمیم:مقدار تصادفی ایکس- تعداد واحدهایی که نیاز به روغنکاری اضافی در بین پنج انتخاب شده دارند - می تواند مقادیر زیر را داشته باشد: 1، 2، 3، 4. احتمالاتی که ایکسبا گرفتن این مقادیر، با فرمول پیدا می کنیم:

.

.

.

.

سپس قانون توزیع یک متغیر تصادفی به صورت زیر خواهد بود:

حال بیایید ویژگی های عددی کمیت را محاسبه کنیم:

پاسخ: ، .

مثال 2.15.مشترک آخرین رقم شماره تلفن مورد نیاز خود را فراموش کرده است، اما به یاد می آورد که فرد است. انتظار ریاضی و واریانس تعداد شماره گیری هایی را که قبل از زدن عدد مورد نظر انجام داده است، بیابید، اگر آخرین رقم را به طور تصادفی شماره گیری کند و در آینده رقم شماره گیری شده را نگیرد.

تصمیم:متغیر تصادفی می تواند مقادیر زیر را بگیرد. از آنجایی که مشترک در آینده رقم شماره گیری شده را شماره گیری نمی کند، احتمال این مقادیر برابر است.

بیایید یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی بسازیم:

بیایید انتظار ریاضی و واریانس تعداد دفعات شماره گیری را محاسبه کنیم:

پاسخ: ، .

مثال 2.16.احتمال خرابی در طول تست های قابلیت اطمینان برای هر دستگاه از سری برابر است پ. در صورت آزمایش، انتظارات ریاضی تعداد دستگاه‌های شکست خورده را تعیین کنید نلوازم خانگی

تصمیم:متغیر تصادفی گسسته X تعداد دستگاه‌های از کار افتاده در آن است نتست های مستقل که در هر یک از آنها احتمال شکست برابر است پ،بر اساس قانون دوجمله ای توزیع می شود. انتظار ریاضی از توزیع دوجمله ای برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش ها و احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمایش:

مثال 2.17.متغیر تصادفی گسسته ایکس 3 مقدار ممکن را می گیرد: با احتمال ; با احتمال و با احتمال . پیدا کنید و بدانید که M( ایکس) = 8.

تصمیم:ما از تعاریف انتظارات ریاضی و قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته استفاده می کنیم:

ما پیدا می کنیم: .

مثال 2.18.بخش کنترل فنی محصولات را از نظر استاندارد بررسی می کند. احتمال استاندارد بودن آیتم 0.9 است. هر دسته شامل 5 مورد است. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس- تعداد دسته‌هایی که هر کدام دقیقاً حاوی 4 محصول استاندارد هستند، در صورتی که 50 دسته مشمول تأیید باشند.

تصمیم:در این مورد، تمام آزمایش های انجام شده مستقل هستند و احتمال اینکه هر دسته دقیقاً شامل 4 محصول استاندارد باشد یکسان است، بنابراین، انتظارات ریاضی را می توان با فرمول تعیین کرد:

,

تعداد احزاب کجاست

احتمال اینکه یک دسته دقیقاً شامل 4 آیتم استاندارد باشد.

با استفاده از فرمول برنولی احتمال را پیدا می کنیم:

پاسخ: .

مثال 2.19.واریانس یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس- تعداد وقوع رویداد آدر دو کارآزمایی مستقل، در صورتی که احتمال وقوع یک رویداد در این کارآزمایی ها یکسان باشد و معلوم شود که م(ایکس) = 0,9.

تصمیم:مشکل از دو طریق قابل حل است.

1) مقادیر CB ممکن ایکس: 0، 1، 2. با استفاده از فرمول برنولی، احتمالات این رویدادها را تعیین می کنیم:

, , .

سپس قانون توزیع ایکسبه نظر می رسد:

از تعریف انتظار ریاضی، احتمال را تعیین می کنیم:

بیایید واریانس SW را پیدا کنیم ایکس:

.

2) می توانید از فرمول استفاده کنید:

.

پاسخ: .

مثال 2.20.انتظارات ریاضی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال ایکسبه ترتیب 20 و 5 هستند.احتمالی که در نتیجه آزمون را بیابید ایکسمقدار موجود در بازه (15؛ 25) را می گیرد.

تصمیم:احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی معمولی ایکسدر بخش از به بر حسب تابع لاپلاس بیان می شود:

مثال 2.21.با توجه به یک تابع:

در چه مقدار از پارامتر سیاین تابع چگالی توزیع برخی از متغیرهای تصادفی پیوسته است ایکس? انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس.

تصمیم:برای اینکه یک تابع چگالی توزیع یک متغیر تصادفی باشد، باید غیرمنفی باشد، و باید ویژگی:

.

از این رو:

انتظارات ریاضی را با استفاده از فرمول محاسبه کنید:

.

واریانس را با استفاده از فرمول محاسبه کنید:

T است پ. یافتن انتظارات و واریانس ریاضی این متغیر تصادفی ضروری است.

تصمیم:قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X - تعداد وقوع یک رویداد در آزمایش های مستقل، که در هر یک از آنها احتمال وقوع یک رویداد برابر است، دو جمله ای نامیده می شود. انتظار ریاضی از توزیع دوجمله ای برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش و احتمال وقوع رویداد A در یک آزمایش:

.

مثال 2.25.سه گلوله مستقل به سمت هدف شلیک می شود. احتمال زدن هر شلیک 0.25 است. انحراف معیار تعداد ضربه ها را با سه ضربه مشخص کنید.

تصمیم:از آنجایی که سه آزمایش مستقل انجام می شود و احتمال وقوع رویداد A (ضربه) در هر آزمایش یکسان است، فرض می کنیم که متغیر تصادفی گسسته X - تعداد ضربه به هدف - بر اساس دوجمله ای توزیع می شود. قانون

واریانس توزیع دوجمله ای برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش و احتمال وقوع و عدم وقوع یک رویداد در یک آزمایش:

مثال 2.26.میانگین مراجعه مشتریان به شرکت بیمه در 10 دقیقه سه نفر است. احتمال ورود حداقل یک مشتری در 5 دقیقه آینده را پیدا کنید.

میانگین تعداد مشتریانی که در 5 دقیقه وارد می شوند: . .

مثال 2.29.زمان انتظار برای برنامه در صف پردازنده از قانون توزیع نمایی با مقدار متوسط ​​20 ثانیه تبعیت می کند. این احتمال را پیدا کنید که درخواست بعدی (خودسرانه) بیش از 35 ثانیه برای پردازنده منتظر بماند.

تصمیم:در این مثال، انتظار ، و میزان شکست است.

سپس احتمال مورد نظر این است:

مثال 2.30.یک گروه 15 نفره از دانش آموزان در سالنی با 20 ردیف 10 صندلی تشکیل جلسه می دهند. هر دانش آموز به طور تصادفی در سالن می نشیند. احتمال اینکه بیش از سه نفر در رتبه هفتم ردیف قرار نگیرند چقدر است؟

تصمیم:

مثال 2.31.

سپس طبق تعریف کلاسیک احتمال:

جایی که -- تعداد قطعات در دسته؛

-- تعداد قطعات غیر استاندارد در لات؛

– تعداد قطعات انتخاب شده؛

-- تعداد قطعات غیر استاندارد در بین موارد انتخاب شده.

سپس قانون توزیع متغیر تصادفی به صورت زیر خواهد بود.

متغیرهای تصادفی پیوسته دارای تعداد نامتناهی مقادیر ممکن هستند. بنابراین نمی توان سریال توزیعی برای آنها معرفی کرد.

به جای احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقداری برابر با x به خود بگیرد، یعنی. p(X = x)، احتمال اینکه X مقداری کمتر از x به خود بگیرد را در نظر بگیرید، یعنی. P(X< х).

ما یک ویژگی جدید از متغیرهای تصادفی - تابع توزیع را معرفی می کنیم و ویژگی های آن را در نظر می گیریم.

تابع توزیع جهانی ترین مشخصه یک متغیر تصادفی است. می توان آن را برای متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته تعریف کرد:

F(x) = p(X< x).

ویژگی های تابع توزیع

تابع توزیع یک تابع غیرنزولی آرگومان آن است، یعنی. اگر:

در منهای بی نهایت، تابع توزیع صفر است:

در بعلاوه بی نهایت، تابع توزیع برابر با یک است:

احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک بازه معین با فرمول تعیین می شود:

تابع f(x) که برابر با مشتق تابع توزیع است، چگالی احتمال یک متغیر تصادفی X یا چگالی توزیع نامیده می شود:

بیایید احتمال برخورد قسمت b به c را بر حسب f(x) بیان کنیم. برابر است با مجموع عناصر احتمال در این بخش، یعنی. انتگرال:

از اینجا می توانیم تابع توزیع را بر حسب چگالی احتمال بیان کنیم:

خواص چگالی احتمال

چگالی احتمال یک تابع غیر منفی است (از آنجایی که تابع توزیع یک تابع غیر کاهشی است):

تراکم احتمالا

sti یک تابع پیوسته است.

انتگرال در حدود نامتناهی چگالی احتمال برابر با 1 است:

چگالی احتمال ابعاد یک متغیر تصادفی دارد.

انتظارات ریاضی و پراکندگی یک متغیر تصادفی پیوسته

معنای انتظارات و واریانس ریاضی همانند متغیرهای تصادفی گسسته باقی می ماند. شکل فرمول های پیدا کردن آنها با جایگزین کردن:

سپس فرمول هایی برای محاسبه انتظارات ریاضی و پراکندگی یک متغیر تصادفی پیوسته به دست می آوریم:

مثال. تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته به صورت زیر ارائه می شود:

مقدار a، چگالی احتمال، احتمال برخورد به سایت (0.25-0.5)، انتظارات ریاضی و واریانس را بیابید.

از آنجایی که تابع توزیع F(x) پیوسته است، پس برای x = 1 ax2 = 1، بنابراین a = 1.

چگالی احتمال به عنوان یک مشتق از تابع توزیع یافت می شود:

محاسبه احتمال برخورد به یک ناحیه معین را می توان به دو روش انجام داد: با استفاده از تابع توزیع و با استفاده از چگالی احتمال.

• راه 1. ما از فرمول برای یافتن احتمال از طریق تابع توزیع استفاده می کنیم:
• راه دوم ما از فرمول برای یافتن احتمال از طریق چگالی احتمال استفاده می کنیم:

یافتن انتظارات ریاضی:

یافتن واریانس:

توزیع یکنواخت

یک متغیر تصادفی پیوسته X را در نظر بگیرید که مقادیر ممکن آن در یک بازه زمانی مشخص قرار دارند و به همان اندازه محتمل هستند.

چگالی احتمال چنین متغیر تصادفی به صورت زیر خواهد بود:

جایی که c مقداری ثابت است.

نمودار چگالی احتمال به صورت زیر نمایش داده می شود:

پارامتر c را بر حسب b و c بیان می کنیم. برای انجام این کار، از این واقعیت استفاده می کنیم که انتگرال چگالی احتمال در کل منطقه باید برابر با 1 باشد:

چگالی توزیع یک متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت

تابع توزیع را پیدا کنید:

تابع توزیع یک متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت

بیایید تابع توزیع را رسم کنیم:

اجازه دهید انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی را که از توزیع یکنواخت تبعیت می کند محاسبه کنیم.

سپس انحراف استاندارد به صورت زیر خواهد بود:

توزیع نرمال (گاوسی).

یک متغیر تصادفی پیوسته X به طور معمول با پارامترهای a، y > 0 توزیع می شود اگر چگالی احتمال داشته باشد:

منحنی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

تست 2

وظیفه 1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X را بنویسید، انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

انتخاب 1

QCD محصولات را از نظر استاندارد بررسی می کند. احتمال استاندارد بودن آیتم 0.7 است. 20 مورد تست شده قانون توزیع متغیر تصادفی X - تعداد محصولات استاندارد را در بین محصولات آزمایش شده پیدا کنید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

گزینه 2

4 توپ در کوزه وجود دارد که روی آنها نقاط 2 نشان داده شده است. 4 5 5. یک توپ به طور تصادفی کشیده می شود. قانون توزیع یک متغیر تصادفی X - تعداد نقاط روی آن را پیدا کنید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

گزینه 3

شکارچی به بازی شلیک می کند تا زمانی که ضربه بزند، اما نمی تواند بیش از سه تیر شلیک کند. احتمال زدن هر شلیک 0.6 است. قانون توزیع متغیر تصادفی X - تعداد تیرهای شلیک شده توسط تیرانداز را بنویسید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

گزینه 4

احتمال تجاوز از دقت تعیین شده در اندازه گیری 0.4 است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی X - تعداد خطاها در 10 اندازه گیری را بنویسید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

گزینه 5

احتمال اصابت به هدف با یک شلیک 0.45 است. 20 گلوله شلیک شد. قانون توزیع یک متغیر تصادفی X - تعداد بازدیدها را بنویسید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

گزینه 6

محصولات یک کارخانه خاص 5 درصد ازدواج را شامل می شود. یک قانون توزیع برای متغیر تصادفی X ایجاد کنید - تعداد محصولات معیوب در بین پنج محصول که برای خوش شانسی انتخاب شده اند. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

گزینه 7

قطعات مورد نیاز مونتاژ کننده در سه جعبه از پنج جعبه قرار دارند. مونتاژ کننده جعبه ها را باز می کند تا زمانی که قطعات مناسب را پیدا کند. قانون توزیع یک متغیر تصادفی X - تعداد کادرهای باز شده را بنویسید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

گزینه 8

یک کوزه شامل 3 توپ سیاه و 2 توپ سفید است. استخراج متوالی توپ ها بدون بازگشت تا زمانی که سیاه ظاهر شود انجام می شود. قانون توزیع یک متغیر تصادفی X - تعداد توپ های استخراج شده را بنویسید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

گزینه 9

دانش آموز 15 سوال از 20 سوال را می داند 3 سوال در بلیط وجود دارد. قانون توزیع یک متغیر تصادفی X را بنویسید - تعداد سؤالاتی که دانش آموز در بلیط می داند. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

گزینه 10

3 لامپ وجود دارد که هر کدام دارای ایراد با احتمال 0.4 هستند. وقتی روشن می شود، لامپ معیوب می سوزد و لامپ دیگری جایگزین می شود. یک قانون توزیع برای متغیر تصادفی X - تعداد لامپ های آزمایش شده ایجاد کنید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید.

وظیفه 2. متغیر تصادفی X توسط تابع توزیع F(X) داده می شود. چگالی توزیع، انتظارات ریاضی، واریانس و همچنین احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه (b, c) را بیابید. نمودارهایی از توابع F(X) و f(X) بسازید.

انتخاب 1

گزینه 2

گزینه 3

گزینه 4

گزینه 5

گزینه 6

گزینه 7

گزینه 8

گزینه 9

گزینه 10

سوالات برای امتحان

تعریف کلاسیک احتمال

عناصر ترکیبیات. محل اقامت. مثال ها.

عناصر ترکیبیات. جایگشت. مثال ها.

عناصر ترکیبیات. ترکیبات. مثال ها.

قضیه مجموع احتمالات.

قضیه ضرب احتمال.

عملیات روی رویدادها

فرمول احتمال کل

فرمول بیز

تکرار تست ها فرمول برنولی

متغیرهای تصادفی گسسته محدوده توزیع مثال.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته.

پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته.

توزیع دو جمله ای یک متغیر تصادفی.

توزیع پواسون

توزیع بر اساس قانون پیشرفت هندسی.

متغیرهای تصادفی پیوسته تابع توزیع و خواص آن

چگالی احتمال و خواص آن

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته.

پراکندگی یک متغیر تصادفی پیوسته.

توزیع یکنواخت یک متغیر تصادفی پیوسته.

قانون توزیع عادی