بزرگترین مقدار یک تابع از چندین متغیر را پیدا کنید. کارکرد

در جولای 2020، ناسا یک سفر به مریخ راه اندازی کرد. این فضاپیما یک رسانه الکترونیکی با نام تمام شرکت کنندگان ثبت نام شده در سفر به مریخ تحویل خواهد داد.

ثبت نام شرکت کنندگان باز است. بلیط خود را به مریخ با استفاده از این لینک دریافت کنید.

اگر این پست مشکل شما را حل کرد یا فقط آن را دوست داشتید، لینک آن را با دوستان خود در شبکه های اجتماعی به اشتراک بگذارید.

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر لود می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

یک شب سال نو دیگر... هوای یخبندان و دانه های برف روی شیشه پنجره... همه اینها باعث شد دوباره درباره... فراکتال ها و آنچه ولفرام آلفا درباره آن می داند بنویسم. مقاله جالبی در این زمینه وجود دارد که شامل نمونه هایی از ساختارهای فراکتالی دو بعدی است. در اینجا به نمونه های پیچیده تری از فراکتال های سه بعدی خواهیم پرداخت.

یک فراکتال را می توان به صورت بصری به عنوان یک شکل هندسی یا بدن (به این معنی که هر دو مجموعه ای هستند، در این مورد، مجموعه ای از نقاط) نمایش داده می شود (توصیف می شود) که جزئیات آن همان شکل خود شکل اصلی است. یعنی این یک ساختار خود مشابه است که با بررسی جزئیات آن با بزرگنمایی، همان شکل بدون بزرگنمایی را خواهیم دید. در حالی که در مورد یک شکل هندسی معمولی (نه فراکتال)، با بزرگنمایی جزئیاتی را خواهیم دید که شکل ساده تری نسبت به خود شکل اصلی دارند. به عنوان مثال، در بزرگنمایی به اندازه کافی بالا، بخشی از یک بیضی مانند یک بخش خط مستقیم به نظر می رسد. در مورد فراکتال ها این اتفاق نمی افتد: با هر افزایشی در آنها، دوباره همان شکل پیچیده را خواهیم دید که با هر افزایش بارها و بارها تکرار می شود.

بنوا ماندلبروت، بنیان‌گذار علم فراکتال‌ها، در مقاله‌اش فراکتال‌ها و هنر به نام علم می‌نویسد: «فرکتال‌ها اشکال هندسی هستند که در جزئیات خود به همان اندازه پیچیده هستند، یعنی اگر بخشی از فراکتال باشند به اندازه کل بزرگ می شود، به عنوان یک کل ظاهر می شود، یا دقیقاً یا شاید با تغییر شکل جزئی.

قضیه 1.5 اجازه دهید در یک منطقه بسته دیعملکرد مشخص شده است z=z(x,y)، داشتن مشتقات جزئی پیوسته مرتبه اول. مرز جیمنطقه دیبه صورت تکه ای صاف است (یعنی از تکه هایی از منحنی های "صاف در لمس" یا خطوط مستقیم تشکیل شده است). سپس در منطقه دیتابع z(x,y)به بزرگترین خود می رسد مو کمترین مترارزش های.

بدون اثبات.

می توانید طرح زیر را برای یافتن پیشنهاد دهید مو متر.
1. ما یک نقاشی می سازیم، تمام قسمت های مرز منطقه را انتخاب می کنیم دیو تمام نقاط "گوشه" مرز را پیدا کنید.
2. نقاط ثابت داخل را پیدا کنید دی.
3. نقاط ثابت را در هر یک از مرزها پیدا کنید.
4. ما در تمام نقاط ثابت و گوشه محاسبه می کنیم و سپس بزرگترین را انتخاب می کنیم مو حداقل مترمعانی

مثال 1.14 بزرگترین را پیدا کنید مو حداقل مترمقادیر تابع z= 4x2-2xy+y2-8xدر یک منطقه بسته دی، محدود: ایکس= 0، y = 0، 4x+3y = 12 .

1. بیایید یک منطقه بسازیم دی(شکل 1.5) در یک هواپیما اوهو.

نقاط گوشه: O (0; 0)، B (0; 4)، A (3; 0).

مرز جیمنطقه دیشامل سه بخش است:

2. نقاط ثابت داخل منطقه را بیابید دی:

3. نقاط ثابت در مرزها l 1، l 2، l 3:

4. ما شش مقدار را محاسبه می کنیم:

مثال ها

مثال 1.

این تابع برای تمام مقادیر متغیرها تعریف شده است ایکسو y، به جز در مبدا که مخرج به صفر می رسد.

چند جمله ای x 2 +y 2در همه جا پیوسته است و بنابراین جذر یک تابع پیوسته پیوسته است.

کسر در همه جا پیوسته خواهد بود به جز در نقاطی که مخرج آن صفر است. یعنی تابع مورد نظر در کل صفحه مختصات پیوسته است اوهو، به استثنای مبدا.

مثال 2.

تداوم یک تابع را بررسی کنید z=tg(x,y). مماس برای تمام مقادیر متناهی آرگومان تعریف شده و پیوسته است، به جز مقادیری برابر با عدد فرد از کمیت. π /2 ، یعنی به استثنای نقاطی که در آن

برای هر ثابت "ک"معادله (1.11) هذلولی را تعریف می کند. بنابراین تابع مورد نظر تابعی پیوسته است ایکسو y، به استثنای نقاطی که روی منحنی ها قرار دارند (1.11).

مثال 3.

مشتقات جزئی یک تابع را پیدا کنید u=z -xy، z > 0.

مثال 4.

آن تابع را نشان دهید

هویت را برآورده می کند:

- این برابری برای همه نقاط معتبر است M(x;y;z)، به جز نکته M 0 (a;b;c).

بیایید تابع z=f(x,y) دو متغیر مستقل را در نظر بگیریم و معنای هندسی متغیرهای جزئی را مشخص کنیم. z" x =f" x(x,y)و z" y =f" y(x,y).

در این مورد، معادله z=f(x,y)معادله ای از سطح وجود دارد (شکل 1.3). بیایید یک هواپیما بکشیم y= ثابت. در بخشی از این صفحه سطحی z=f(x,y)شما یک خط دریافت می کنید l 1تقاطعی که در طول آن فقط کمیت ها تغییر می کنند ایکسو z.

مشتق جزئی z"x(معنای هندسی آن مستقیماً از معنای هندسی شناخته شده مشتق تابع یک متغیر ناشی می شود) از نظر عددی برابر با مماس زاویه است. α شیب، نسبت به محور اوه، مماس L 1به منحنی l 1، منجر به ایجاد یک مقطع از سطح می شود z=f(x,y)سطح y= ثابتدر نقطه M(x,y,f(xy)): z" x = tanα.

در بخش سطح z=f(x,y)سطح ایکس= ثابتشما یک خط تقاطع دریافت می کنید l 2، که در طول آن فقط کمیت ها تغییر می کنند درو z. سپس مشتق جزئی z" yاز نظر عددی برابر با مماس زاویه است β شیب نسبت به محور OU، مماس L 2به خط مشخص شده l 2تقاطع ها در یک نقطه M(x,y,f(xy)): z"x = tanβ.

مثال 5.

چه زاویه ای با محور ایجاد می کند؟ اوهمماس بر خط:

در نقطه M(2،4،5)?

ما از معنای هندسی مشتق جزئی با توجه به یک متغیر استفاده می کنیم ایکس(به صورت ثابت در):

مثال 6.

طبق (1.31):

مثال 7.

با فرض این که معادله

به طور ضمنی یک تابع را تعریف می کند

پیدا کردن z"x، z" y.

بنابراین با توجه به (1.37) پاسخ را می گیریم.

مثال 8.

تا حد زیادی کاوش کنید:

1. با حل سیستم (1.41) نقاط ثابت را بیابید:

یعنی چهار نقطه ثابت پیدا می شود.
2.

توسط قضیه 1.4 در نقطه ای که حداقل وجود دارد.

علاوه بر این

4. ما شش مقدار را محاسبه می کنیم:

از بین شش مقدار به دست آمده، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب:

ü بلکو I.V., Kuzmich K.K. ریاضیات عالی برای اقتصاددانان. ترم اول: دوره اکسپرس. - م.: دانش جدید، 1381. - 140 ص.

ü Gusak A. A. تجزیه و تحلیل ریاضی و معادلات دیفرانسیل - Mn.: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A.. ریاضیات عالی. کتاب درسی برای دانشجویان در 2 جلد. – Mn., 1998. – 544 p. (1 جلد)، 448 ص. (2 تن).

ü Kremer N. Sh.، Putko B. A.، Trishin I. M.، Fridman M. N. ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی برای دانشگاه ها / ویرایش. پروفسور N. Sh. Kremer – M.: UNITI, 2002. – 471 p.

ü Yablonsky A.I.، Kuznetsov A.V.، Shilkina E.I. و دیگران. درس عمومی: کتاب درسی / زیر عمومی. ویرایش س.ا.سمال – من.:ویش. مدرسه، 2000. – 351 ص.

اجازه دهید تابع $z=f(x,y)$ در برخی دامنه های بسته محدود شده $D$ تعریف و پیوسته باشد. اجازه دهید تابع داده شده در این ناحیه مشتقات جزئی محدودی از مرتبه اول داشته باشد (به جز، شاید برای تعداد محدودی از نقاط). برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع از دو متغیر در یک منطقه بسته معین، سه مرحله از یک الگوریتم ساده مورد نیاز است.

نقاط بحرانی چیست؟ نمایش/پنهان کردن

زیر نقاط بحرانیدلالت بر نقاطی دارد که هر دو مشتق جزئی مرتبه اول برابر با صفر هستند (یعنی $\frac(\ z جزئی)(\ x جزئی)=0$ و $\frac(\z جزئی)(\جزئی y)=0 $) یا حداقل یک مشتق جزئی وجود ندارد.

اغلب نقاطی که مشتقات جزئی مرتبه اول برابر با صفر هستند نامیده می شوند نقاط ثابت. بنابراین، نقاط ثابت زیر مجموعه ای از نقاط بحرانی هستند.

مثال شماره 1

بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع $z=x^2+2xy-y^2-4x$ را در یک منطقه بسته محدود شده توسط خطوط $x=3$، $y=0$ و $y=x بیابید. +1 دلار

موارد بالا را دنبال می کنیم، اما ابتدا به ترسیم یک ناحیه معین می پردازیم که آن را با حرف $D$ نشان می دهیم. معادلات سه خط مستقیم که این ناحیه را محدود می کنند به ما داده شده است. خط مستقیم $x=3$ از نقطه $(3;0)$ موازی با محور ارتین (محور Oy) می گذرد. خط مستقیم $y=0$ معادله محور آبسیسا (محور Ox) است. خوب برای ساخت خط $y=x+1$ دو نقطه پیدا می کنیم که از طریق آنها این خط را رسم می کنیم. البته می توانید چند مقدار دلخواه را به جای $x$ جایگزین کنید. به عنوان مثال، با جایگزینی $x=10$، دریافت می کنیم: $y=x+1=10+1=11$. ما نقطه $(10;11)$ را در خط $y=x+1$ پیدا کردیم. با این حال، بهتر است نقاطی را پیدا کنید که در آنها خط مستقیم $y=x+1$ خطوط $x=3$ و $y=0$ را قطع می کند. چرا این بهتر است؟ زیرا ما با یک سنگ چند پرنده را خواهیم کشت: دو نقطه برای ساختن خط مستقیم $y=x+1$ بدست می آوریم و در همان زمان متوجه می شویم که این خط مستقیم در چه نقاطی خطوط دیگر را قطع می کند که ناحیه داده شده را محدود می کند. خط $y=x+1$ خط $x=3$ را در نقطه $(3;4)$ و خط $y=0$ در نقطه $(-1;0)$ قطع می کند. برای اینکه پیشرفت راه حل را با توضیحات کمکی به هم نریزم، موضوع حصول این دو نکته را در یادداشتی مطرح می کنم.

امتیاز $(3;4)$ و $(-1;0)$ چگونه به دست آمد؟ نمایش/پنهان کردن

از نقطه تقاطع خطوط $y=x+1$ و $x=3$ شروع می کنیم. مختصات نقطه مورد نظر به هر دو خط مستقیم اول و دوم تعلق دارد، بنابراین، برای یافتن مختصات مجهول، باید سیستم معادلات را حل کنید:

$$ \چپ \( \begin(تراز شده) & y=x+1;\\ & x=3. \end (تراز شده) \راست. $$

راه حل چنین سیستمی بی اهمیت است: با جایگزینی $x=3$ در اولین معادله خواهیم داشت: $y=3+1=4$. نقطه $(3;4)$ نقطه تلاقی مورد نظر خطوط $y=x+1$ و $x=3$ است.

حالا نقطه تقاطع خطوط $y=x+1$ و $y=0$ را پیدا می کنیم. اجازه دهید دوباره سیستم معادلات را بسازیم و حل کنیم:

$$ \چپ \( \begin(تراز شده) & y=x+1;\\ & y=0. \end (تراز شده) \راست. $$

با جایگزینی $y=0$ در معادله اول، دریافت می کنیم: $0=x+1$، $x=-1$. نقطه $(-1;0)$ نقطه تلاقی مورد نظر خطوط $y=x+1$ و $y=0$ (محور x) است.

همه چیز برای ساختن نقشه ای آماده است که به شکل زیر باشد:

سوال یادداشت واضح به نظر می رسد، زیرا همه چیز در تصویر قابل مشاهده است. با این حال، شایان ذکر است که یک نقاشی نمی تواند به عنوان مدرک باشد. نقاشی فقط برای اهداف تصویری است.

منطقه ما با استفاده از معادلات خط مستقیم که آن را محدود می کند، تعریف شده است. بدیهی است که این خطوط یک مثلث را تعریف می کنند، درست است؟ یا کاملا واضح نیست؟ یا شاید به ما منطقه متفاوتی داده می شود که با همان خطوط محدود شده است:

البته شرط می گوید که منطقه بسته است، بنابراین تصویر نشان داده شده نادرست است. اما برای جلوگیری از این گونه ابهامات، بهتر است مناطق را با نابرابری تعریف کنیم. آیا ما به بخشی از هواپیما که در زیر خط مستقیم $y=x+1$ قرار دارد علاقه مندیم؟ بسیار خوب، پس $y ≤ x+1$. آیا منطقه ما باید بالای خط $y=0$ واقع شود؟ عالی است، یعنی $y ≥ 0$. به هر حال، دو نابرابری آخر را می توان به راحتی در یکی ترکیب کرد: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \ چپ \( \شروع (تراز شده) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end (تراز شده) \راست. $$

این نابرابری ها منطقه $D$ را تعریف می کنند و بدون ابهام آن را بدون ابهام تعریف می کنند. اما این موضوع چگونه به سؤالی که در ابتدای یادداشت بیان شد به ما کمک می کند؟ همچنین کمک خواهد کرد :) ما باید بررسی کنیم که آیا نقطه $M_1(1;1)$ به منطقه $D$ تعلق دارد یا خیر. اجازه دهید $x=1$ و $y=1$ را در سیستم نابرابری‌هایی که این ناحیه را تعریف می‌کنند، جایگزین کنیم. اگر هر دو نابرابری ارضا شوند، آنگاه نقطه در داخل منطقه نهفته است. اگر حداقل یکی از نابرابری ها برآورده نشود، آن نقطه متعلق به منطقه نیست. بنابراین:

$$ \ چپ \( \ آغاز (تراز شده) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(تراز شده) \راست. \;\; \چپ \( \شروع(تراز) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(تراز شده) \راست $$.

هر دو نابرابری معتبر هستند. نقطه $M_1(1;1)$ متعلق به منطقه $D$ است.

اکنون زمان مطالعه رفتار تابع در مرز منطقه است، یعنی. برویم به . بیایید با خط مستقیم $y=0$ شروع کنیم.

خط مستقیم $y=0$ (محور آبسیسا) منطقه $D$ را تحت شرایط $-1 ≤ x ≤ 3$ محدود می کند. بیایید $y=0$ را در تابع داده شده $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ جایگزین کنیم. تابع یک متغیر $x$ را که در نتیجه جایگزینی بدست می آید به صورت $f_1(x)$ نشان می دهیم:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

اکنون برای تابع $f_1(x)$ باید بزرگترین و کوچکترین مقادیر را در بازه $-1 ≤ x ≤ 3$ پیدا کنیم. بیایید مشتق این تابع را پیدا کرده و آن را با صفر برابر کنیم:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

مقدار $x=2$ متعلق به بخش $-1 ≤ x ≤ 3$ است، بنابراین ما همچنین $M_2(2;0)$ را به لیست نقاط اضافه خواهیم کرد. علاوه بر این، اجازه دهید مقادیر تابع $z$ را در انتهای بخش $-1 ≤ x ≤ 3$ محاسبه کنیم، یعنی. در نقاط $M_3(-1;0)$ و $M_4(3;0)$. ضمناً، اگر نقطه $M_2$ متعلق به بخش مورد نظر نبود، مسلماً نیازی به محاسبه مقدار تابع $z$ در آن نخواهد بود.

بنابراین، بیایید مقادیر تابع $z$ را در نقاط $M_2$، $M_3$، $M_4$ محاسبه کنیم. البته می توانید مختصات این نقاط را با عبارت اصلی $z=x^2+2xy-y^2-4x$ جایگزین کنید. به عنوان مثال، برای نقطه $M_2$ دریافت می کنیم:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

با این حال، محاسبات را می توان کمی ساده کرد. برای انجام این کار، شایان ذکر است که در بخش $M_3M_4$، $z(x,y)=f_1(x)$ داریم. من این را با جزئیات می نویسم:

\begin(تراز شده) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (تراز شده)

البته معمولاً نیازی به چنین سوابق دقیقی نیست و در آینده همه محاسبات را به اختصار یادداشت خواهیم کرد:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

حالا بیایید به خط مستقیم $x=3$ بپردازیم. این خط مستقیم منطقه $D$ را تحت شرایط $0 ≤ y ≤ $ محدود می کند. اجازه دهید $x=3$ را در تابع داده شده $z$ جایگزین کنیم. در نتیجه این جایگزینی تابع $f_2(y)$ را دریافت می کنیم:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

برای تابع $f_2(y)$ باید بزرگترین و کوچکترین مقادیر را در بازه $0 ≤ y ≤ 4$ پیدا کنیم. بیایید مشتق این تابع را پیدا کرده و آن را با صفر برابر کنیم:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

مقدار $y=3$ متعلق به بخش $0 ≤ y ≤ 4$ است، بنابراین ما همچنین $M_5(3;3)$ را به نقاط پیدا شده قبلی اضافه می کنیم. علاوه بر این، لازم است مقدار تابع $z$ در نقاط انتهای بخش $0 ≤ y ≤ 4$ محاسبه شود، یعنی. در نقاط $M_4(3;0)$ و $M_6(3;4)$. در نقطه $M_4(3;0)$ قبلاً مقدار $z$ را محاسبه کرده ایم. اجازه دهید مقدار تابع $z$ را در نقاط $M_5$ و $M_6$ محاسبه کنیم. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که در بخش $M_4M_6$ ما $z(x,y)=f_2(y)$ داریم، بنابراین:

\begin(تراز شده) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (تراز شده)

و در نهایت، آخرین مرز منطقه $D$ را در نظر بگیرید، یعنی. خط مستقیم $y=x+1$. این خط مستقیم منطقه $D$ را تحت شرایط $-1 ≤ x ≤ 3$ محدود می کند. با جایگزینی $y=x+1$ در تابع $z$، خواهیم داشت:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

یک بار دیگر تابعی از یک متغیر $x$ داریم. و دوباره باید بزرگترین و کوچکترین مقادیر این تابع را در بازه $-1 ≤ x ≤ 3$ پیدا کنیم. بیایید مشتق تابع $f_(3)(x)$ را پیدا کرده و آن را با صفر برابر کنیم:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

مقدار $x=1$ متعلق به بازه $-1 ≤ x ≤ 3$ است. اگر $x=1$، آنگاه $y=x+1=2$. بیایید $M_7(1;2)$ را به لیست نقاط اضافه کنیم و بفهمیم که مقدار تابع $z$ در این مرحله چقدر است. نقاط در انتهای بخش $-1 ≤ x ≤ 3$، یعنی. نقاط $M_3(-1;0)$ و $M_6(3;4)$ قبلاً در نظر گرفته شدند، ما قبلاً مقدار تابع را در آنها پیدا کردیم.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

مرحله دوم راه حل کامل شده است. ما هفت مقدار دریافت کردیم:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

بیایید به . با انتخاب بزرگترین و کوچکترین مقادیر از اعداد به دست آمده در پاراگراف سوم، خواهیم داشت:

$$z_(دقیقه)=-4; \; z_(حداکثر)=6.$$

مشکل حل شد، تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است.

پاسخ: $z_(min)=-4; \; z_(حداکثر)=6 دلار.

مثال شماره 2

بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع $z=x^2+y^2-12x+16y$ را در منطقه $x^2+y^2 ≤ 25$ بیابید.

ابتدا بیایید یک نقاشی بسازیم. معادله $x^2+y^2=25$ (این خط مرزی یک ناحیه معین است) دایره ای را با مرکز در مبدا (یعنی در نقطه $(0;0)$) و شعاع آن تعریف می کند. 5. نابرابری $x^2 +y^2 ≤ $25 تمام نقاط داخل و روی دایره ذکر شده را برآورده می کند.

طبق آن عمل خواهیم کرد. بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم و نقاط بحرانی را دریابیم.

$$ \frac(\ z جزئی)(\ x جزئی)=2x-12; \frac(\ z جزئی)(\جزئی y)=2y+16. $$

هیچ نقطه ای وجود ندارد که در آن مشتقات جزئی یافت شده وجود نداشته باشد. اجازه دهید دریابیم که در چه نقاطی هر دو مشتق جزئی به طور همزمان برابر با صفر هستند، یعنی. بیایید نقاط ثابت را پیدا کنیم

$$ \چپ \( \begin(تراز شده) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(تراز شده) \راست. \;\; \چپ \( \شروع (تراز) & x =6;\\ & y=-8.

ما یک نقطه ثابت $(6;-8)$ به دست آورده ایم. با این حال، نقطه یافت شده به منطقه $D$ تعلق ندارد. حتی بدون متوسل شدن به نقاشی نشان دادن این آسان است. بیایید بررسی کنیم که آیا نابرابری $x^2+y^2 ≤ 25$ برقرار است، که منطقه ما را $D$ تعریف می کند. اگر $x=6$، $y=-8$، سپس $x^2+y^2=36+64=100$، یعنی. نابرابری $x^2+y^2 ≤ 25$ برقرار نیست. نتیجه گیری: نقطه $(6;-8)$ به منطقه $D$ تعلق ندارد.

بنابراین، هیچ نقطه بحرانی در داخل منطقه $D$ وجود ندارد. بریم سراغ... ما باید رفتار تابع را در مرز یک منطقه معین مطالعه کنیم، یعنی. روی دایره $x^2+y^2=25$. البته می‌توانیم $y$ را برحسب $x$ بیان کنیم و سپس عبارت حاصل را با تابع $z$ جایگزین کنیم. از معادله یک دایره به دست می آید: $y=\sqrt(25-x^2)$ یا $y=-\sqrt(25-x^2)$. برای مثال، با جایگزینی $y=\sqrt(25-x^2)$ در تابع داده شده، خواهیم داشت:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2)؛ \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

راه حل بعدی کاملاً مشابه مطالعه رفتار تابع در مرز منطقه در مثال قبلی شماره 1 خواهد بود. با این حال، به نظر من استفاده از روش لاگرانژ در این شرایط معقول تر است. ما فقط به بخش اول این روش علاقه مند خواهیم بود. پس از اعمال قسمت اول روش لاگرانژ، نقاطی را به دست می آوریم که در آنها تابع $z$ را برای مقادیر حداقل و حداکثر بررسی می کنیم.

تابع لاگرانژ را می سازیم:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

مشتقات جزئی تابع لاگرانژ را پیدا می کنیم و سیستم معادلات مربوطه را می سازیم:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \چپ \( \شروع (تراز شده) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(تراز شده) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( تراز شده)\راست.$ $

برای حل این سیستم بلافاصله به این نکته اشاره می کنیم که $\lambda\neq -1$. چرا $\lambda\neq -1$؟ بیایید سعی کنیم $\lambda=-1$ را در معادله اول جایگزین کنیم:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

تضاد حاصل $0=6$ نشان می دهد که مقدار $\lambda=-1$ غیرقابل قبول است. خروجی: $\lambda\neq -1$. اجازه دهید $x$ و $y$ را برحسب $\lambda$ بیان کنیم:

\begin(تراز شده) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (تراز شده)

من معتقدم که در اینجا واضح می شود که چرا ما به طور خاص شرط $\lambda\neq -1$ را تعیین کردیم. این کار برای جا دادن عبارت $1+\lambda$ در مخرج بدون تداخل انجام شد. یعنی مطمئن شوید که مخرج $1+\lambda\neq 0$ است.

اجازه دهید عبارات به دست آمده را با $x$ و $y$ در معادله سوم سیستم جایگزین کنیم، یعنی. در $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \راست)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

از برابری به دست آمده نتیجه می شود که $1+\lambda=2$ یا $1+\lambda=-2$. بنابراین ما دو مقدار از پارامتر $\lambda$ داریم، یعنی: $\lambda_1=1$، $\lambda_2=-3$. بر این اساس، دو جفت مقدار $x$ و $y$ دریافت می کنیم:

\begin(تراز شده) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (تراز شده)

بنابراین، ما دو نقطه از یک مادون شرطی ممکن را به دست آورده‌ایم، یعنی. $M_1(3;-4)$ و $M_2(-3;4)$. بیایید مقادیر تابع $z$ را در نقاط $M_1$ و $M_2$ پیدا کنیم:

\begin(تراز شده) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (تراز شده)

از بین مقادیری که در مرحله اول و دوم به دست آورده ایم، باید بزرگترین و کوچکترین مقادیر را انتخاب کنیم. اما در این مورد انتخاب کوچک است :) ما داریم:

$$ z_(min)=-75; \; z_(حداکثر)=125. $$

پاسخ: $z_(min)=-75; \; z_(حداکثر) = 125 دلار.

از نقطه نظر عملی، بیشترین علاقه در استفاده از مشتق برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع است. این به چه چیزی مرتبط است؟ به حداکثر رساندن سود، به حداقل رساندن هزینه ها، تعیین بار بهینه تجهیزات ... به عبارت دیگر، در بسیاری از زمینه های زندگی باید مشکلات بهینه سازی برخی از پارامترها را حل کنیم. و اینها وظایف یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع است.

لازم به ذکر است که بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع معمولاً در یک بازه خاص X جستجو می شود که یا کل دامنه تابع یا بخشی از دامنه تعریف است. خود بازه X می تواند یک قطعه، یک بازه باز باشد ، یک فاصله بی نهایت.

در این مقاله در مورد یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع به طور واضح تعریف شده از یک متغیر y=f(x) صحبت خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

بیایید به طور خلاصه به تعاریف اصلی نگاه کنیم.

بزرگترین مقدار تابع که برای هر کسی نابرابری درست است

کوچکترین مقدار تابع y=f(x) در بازه X چنین مقداری است که برای هر کسی نابرابری درست است

این تعاریف شهودی هستند: بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع بزرگترین (کوچکترین) مقدار پذیرفته شده در بازه مورد بررسی در ابسیسا است.

نقاط ثابت مقادیر آرگومانی هستند که در آن مشتق تابع صفر می شود.

چرا هنگام یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر به نقاط ثابت نیاز داریم؟ پاسخ این سوال را قضیه فرما می دهد. از این قضیه چنین استنباط می‌شود که اگر یک تابع قابل تمایز در نقطه‌ای دارای یک اکسترموم (حداقل محلی یا حداکثر محلی) باشد، این نقطه ثابت است. بنابراین، تابع اغلب بزرگترین (کوچکترین) مقدار خود را در بازه X در یکی از نقاط ثابت از این بازه می گیرد.

همچنین، یک تابع اغلب می تواند بزرگترین و کوچکترین مقادیر خود را در نقاطی که اولین مشتق این تابع وجود ندارد، به خود بگیرد و خود تابع نیز تعریف شده باشد.

بیایید بلافاصله به یکی از رایج ترین سؤالات در مورد این موضوع پاسخ دهیم: "آیا همیشه امکان تعیین بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع وجود دارد؟ نه همیشه نه گاهی اوقات مرزهای بازه X با مرزهای دامنه تعریف تابع منطبق است یا بازه X بی نهایت است. و برخی از توابع در بی نهایت و در مرزهای دامنه تعریف می توانند مقادیر بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک داشته باشند. در این موارد نمی توان در مورد بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع چیزی گفت.

برای وضوح، ما یک تصویر گرافیکی ارائه می دهیم. به تصاویر نگاه کنید خیلی چیزها واضح تر می شود.

در بخش

در شکل اول، تابع بزرگترین (max y) و کوچکترین (min y) مقادیر را در نقاط ثابتی که در داخل قطعه قرار دارند می گیرد [-6;6].

موردی که در شکل دوم نشان داده شده است را در نظر بگیرید. بیایید بخش را به . در این مثال، کوچکترین مقدار تابع در یک نقطه ثابت و بزرگترین مقدار در نقطه ای با آبسیسا مربوط به مرز سمت راست بازه به دست می آید.

در شکل 3، نقاط مرزی قطعه [-3;2] ابسیساهای نقاط مربوط به بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع هستند.

در یک بازه باز

در شکل چهارم، تابع بیشترین (max y) و کوچکترین (min y) مقادیر را در نقاط ثابت واقع در بازه باز (-6;6) می گیرد.

در بازه زمانی، هیچ نتیجه ای در مورد بزرگترین مقدار نمی توان گرفت.

در بی نهایت

در مثال ارائه شده در شکل هفتم، تابع بیشترین مقدار (max y) را در یک نقطه ثابت با آبسیسا x=1 می گیرد و کوچکترین مقدار (min y) در مرز سمت راست بازه به دست می آید. در منهای بی نهایت، مقادیر تابع به طور مجانبی به y=3 نزدیک می شوند.

در طول بازه، تابع نه به کوچکترین و نه بزرگترین مقدار می رسد. با نزدیک شدن x=2 از سمت راست، مقادیر تابع به منهای بی نهایت میل می کنند (خط x=2 مجانبی عمودی است)، و از آنجایی که آبسیسا به اضافه بی نهایت تمایل دارد، مقادیر تابع به طور مجانبی به y=3 نزدیک می شود. یک تصویر گرافیکی از این مثال در شکل 8 نشان داده شده است.

اجازه دهید الگوریتمی بنویسیم که به ما امکان می دهد بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را در یک بخش پیدا کنیم.

بیایید الگوریتم حل یک مثال را برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بخش تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید

• در بخش؛
• در بخش [-4;-1].

راه حل.

دامنه تعریف یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است، به استثنای صفر، یعنی. هر دو بخش در حوزه تعریف قرار می گیرند.

مشتق تابع را با توجه به:

بدیهی است که مشتق تابع در تمام نقاط قطعه و [-4;-1] وجود دارد.

نقاط ثابت را از معادله تعیین می کنیم. تنها ریشه واقعی x=2 است. این نقطه ثابت در بخش اول قرار می گیرد.

برای حالت اول، مقادیر تابع را در انتهای قطعه و در نقطه ثابت محاسبه می کنیم، یعنی برای x=1، x=2 و x=4:

بنابراین، بیشترین مقدار تابع در x=1 و کوچکترین مقدار به دست می آید – در x=2.

برای مورد دوم، مقادیر تابع را فقط در انتهای بخش [-4;-1] محاسبه می کنیم (زیرا حاوی یک نقطه ثابت نیست):

راه حل.

بیایید با دامنه تابع شروع کنیم. مثلث مربع در مخرج کسر نباید ناپدید شود:

به راحتی می توان بررسی کرد که تمام فواصل بیان مشکل به حوزه تعریف تابع تعلق دارند.

بیایید تابع را متمایز کنیم:

بدیهی است که مشتق در کل دامنه تعریف تابع وجود دارد.

بیایید نقاط ثابت را پیدا کنیم. مشتق به صفر می رسد. این نقطه ثابت در فواصل (-3;1] و (-3;2) قرار می گیرد.

اکنون می توانید نتایج به دست آمده در هر نقطه را با نمودار تابع مقایسه کنید. خطوط نقطه‌دار آبی مجانبی را نشان می‌دهند.

در این مرحله می توانیم با یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع کار را به پایان برسانیم. الگوریتم های مورد بحث در این مقاله به شما امکان می دهد با حداقل اقدامات به نتیجه برسید. با این حال، ابتدا می‌توان فواصل افزایش و کاهش تابع را تعیین کرد و تنها پس از آن در مورد بزرگترین و کوچک‌ترین مقادیر تابع در هر بازه‌ای نتیجه‌گیری کرد. این یک تصویر واضح تر و توجیه دقیق برای نتایج ارائه می دهد.

§ مقادیر حداکثر، حداکثر و حداقل توابع چندین متغیر - صفحه شماره 1/1

نقطه
تماس گرفت حداکثر امتیازکارکرد
، اگر برای هر نکته

نابرابری برقرار است

.

به همین ترتیب اشاره کنید
تماس گرفت حداقل امتیازکارکرد
، اگر برای هر نکته
از فلان محله یک نقطه
نابرابری برقرار است

.

یادداشت. 1) با توجه به تعاریف، تابع
باید در محله ای از نقطه تعریف شود
. آن ها حداکثر و حداقل امتیاز تابع
فقط نقاط داخلی منطقه می تواند وجود داشته باشد
.

2) اگر همسایگی نقطه وجود داشته باشد
، که در آن برای هر نقطه
متفاوت از
نابرابری برقرار است

(

) سپس نکته
تماس گرفت حداکثر نقطه دقیق(به ترتیب حداقل نقطه دقیق) کارکرد
. در این راستا، نقاط حداکثر و حداقل تعریف شده در بالا، گاهی اوقات حداکثر و حداقل امتیاز غیر دقیق نامیده می شود.

مفاهیم افراطی ماهیت محلی دارند: مقدار یک تابع در یک نقطه
با مقادیر تابع در نقاط نسبتا نزدیک مقایسه می شود. در یک ناحیه معین، یک تابع ممکن است اصلاً انتها نداشته باشد، یا ممکن است چندین حداقل، چندین ماکزیمم و حتی تعداد نامتناهی از هر دو داشته باشد. علاوه بر این، برخی از حداقل ها ممکن است بیشتر از برخی از حداکثرهای آن باشد. مقادیر حداکثر و حداقل یک تابع را با مقادیر حداکثر و حداقل آن اشتباه نگیرید.

اجازه دهید شرایط لازم برای یک افراط را پیدا کنیم. بگذارید مثلاً
- حداکثر نقطه تابع
. سپس، طبق تعریف، یک گیف" align=absmiddle width="17px" height="18px">-همسایگی نقطه وجود دارد.
به طوری که
برای هر نقطه
از این منطقه به خصوص،

(1)

جایی که
,
، و

(2)

جایی که
,
. اما (1) به این معنی است که تابعی از یک متغیر است
در نقطه ای دارد حداکثر یا در فاصله زمانی است
ثابت. از این رو،

یا
- وجود ندارد،

⇒
یا
- وجود ندارد.

به همین ترتیب، از (2) آن را به دست می آوریم

یا
- وجود ندارد.

بنابراین، قضیه زیر معتبر است.

قضیه 8.1. (شرایط لازم برای افراط). اگر تابع
در نقطه
یک اکسترموم دارد، پس در این مرحله یا هر دو مشتق جزئی مرتبه اول آن برابر با صفر هستند یا حداقل یکی از این مشتقات جزئی وجود ندارد.

از نظر هندسی، قضیه 8.1 به این معنی است که اگر
- نقطه منتهی تابع
، سپس صفحه مماس بر نمودار این تابع در نقطه یا موازی با صفحه است.
، یا اصلا وجود ندارد. برای تأیید این موضوع، کافی است به یاد داشته باشید که چگونه معادله یک صفحه مماس بر یک سطح را پیدا کنید (به فرمول (4.6) مراجعه کنید).

نقاطی که شرایط قضیه 8.1 را برآورده می کنند نامیده می شوند نقاط بحرانیکارکرد
. همانطور که برای یک تابع از یک متغیر، شرایط لازم برای یک اکستروم کافی نیست. آن ها هر نقطه بحرانی یک تابع، نقطه انتهایی آن نخواهد بود.

مثال.تابع را در نظر بگیرید
. نقطه
برای این تابع حیاتی است، زیرا در این مرحله هر دو مشتق جزئی مرتبه اول آن
و
برابر با صفر هستند. با این حال، این یک نقطه افراطی نخواهد بود. واقعا،
، اما در هر محله ای از نقطه
نقاطی وجود دارد که تابع مقادیر مثبت می گیرد و نقاطی که تابع مقادیر منفی می گیرد. اگر نموداری از تابع بسازید - یک سهمی هذلولی - آسان است.

برای تابعی از دو متغیر، راحت ترین شرایط کافی توسط قضیه زیر ارائه می شود.

قضیه 8.2. (شرایط کافی برای حداکثر یک تابع از دو متغیر). اجازه دهید
- نقطه بحرانی تابع
و در برخی از محله های نقطه
تابع دارای مشتقات جزئی پیوسته تا مرتبه دوم است. بیایید نشان دهیم

,
,
.

سپس 1) اگر
، سپس اشاره کنید
یک نقطه افراطی نیست.


اگر از قضیه 8.2 برای بررسی نقطه بحرانی استفاده کنیم
شکست خورده (یعنی اگر
یا تابع اصلاً نقطه ای در همسایگی ندارد
مشتقات جزئی پیوسته ترتیب مورد نیاز)، پاسخ به سؤال در مورد حضور در یک نقطه
extremum علامت افزایش تابع را در این نقطه نشان می دهد.

در واقع، از تعریف چنین برمی‌آید که اگر تابع
در نقطه ای دارد
پس حداکثر سختگیرانه

برای تمام نقاط
از فلان محله یک نقطه
، یا درغیر این صورت

برای همه به اندازه کافی کوچک است
و
. به همین ترتیب، اگر
یک نقطه حداقل دقیق است، پس برای همه به اندازه کافی کوچک است
و
نابرابری ارضا خواهد شد
.

بنابراین، برای پیدا کردن اینکه آیا نقطه بحرانی است
نقطه اکسترموم، لازم است افزایش تابع در این نقطه بررسی شود. اگر برای همه به اندازه کافی کوچک است
و
آن علامت را حفظ می کند، سپس در نقطه
تابع دارای یک اکسترموم شدید (حداقل اگر
، و حداکثر اگر
).

اظهار نظر. این قاعده برای یک افراط گرایی غیر سخت گیرانه باقی می ماند، اما با اصلاحاتی که برای برخی از ارزش ها وجود دارد
و
افزایش تابع صفر خواهد بود
مثال. حداکثر توابع را پیدا کنید:

1)
; 2)
.

برای مطالعه نقاط بحرانی، از قضیه 8.2 استفاده می کنیم. ما داریم:

,
,
.

بیایید موضوع را بررسی کنیم
:

,
,
,

;
.

بنابراین، در نقطه
این تابع دارای حداقل است، یعنی
.

بررسی نقطه بحرانی
:

,
,
,


.

بنابراین، دومین نقطه بحرانی، نقطه منتهی الیه تابع نیست.

برای مطالعه نقطه بحرانی، قضیه 8.2 را اعمال می کنیم. ما داریم:

,
,
,

,
,
,

.

وجود یا عدم وجود یک اکستریم را در یک نقطه تعیین کنید
استفاده از قضیه 8.2 شکست خورد.

بیایید علامت افزایش تابع را در نقطه بررسی کنیم
:

اگر
، آن
;

اگر
، آن
.

زیرا
علامت را در همسایگی یک نقطه حفظ نمی کند
، در این مرحله تابع یک اکسترموم ندارد.

.

به طور مشابه، مقدار تابع در نقطه
تماس گرفت کوچکترین، اگر برای هر نکته
از منطقه
نابرابری برقرار است

.

قبلاً گفتیم که اگر یک تابع پیوسته باشد و مساحت
– بسته و محدود است، سپس تابع بیشترین و کوچکترین مقادیر خود را در این ناحیه می گیرد. در عین حال، امتیاز
و
می تواند هر دو در داخل منطقه قرار گیرد
، و در مرز آن. اگر نکته
(یا
) در داخل منطقه قرار دارد
، سپس این حداکثر (حداقل) نقطه تابع خواهد بود
، یعنی نقطه بحرانی یک تابع در داخل یک منطقه
. بنابراین، برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع
در منطقه
نیاز به:
.