تابع خطی و آن تابع خطی

یک تابع خطی تابعی به شکل y=kx+b است که x متغیر مستقل است، k و b هر عددی هستند.
نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است.

1. برای رسم نمودار تابع،ما به مختصات دو نقطه متعلق به نمودار تابع نیاز داریم. برای پیدا کردن آنها، باید دو مقدار x بگیرید، آنها را در معادله تابع جایگزین کنید و از آنها برای محاسبه مقادیر y مربوطه استفاده کنید.

برای مثال، برای رسم تابع y= x+2، راحت است که x=0 و x=3 را در نظر بگیریم، سپس مختصات این نقاط برابر با y=2 و y=3 خواهد بود. امتیاز A(0;2) و B(3;3) را بدست می آوریم. بیایید آنها را به هم وصل کنیم و نموداری از تابع y= x+2 بدست آوریم:

2. در فرمول y=kx+b عدد k را ضریب تناسب می نامند:
اگر k>0 باشد، تابع y=kx+b افزایش می یابد
اگر ک
ضریب b جابجایی نمودار تابع را در امتداد محور OY نشان می دهد:
اگر b>0 باشد، نمودار تابع y=kx+b از نمودار تابع y=kx با جابجایی b واحد به سمت بالا در امتداد محور OY به دست می آید.
اگر ب
شکل زیر نمودار توابع y=2x+3 را نشان می دهد. y= ½ x+3; y=x+3

توجه داشته باشید که در تمام این توابع ضریب k بالای صفر،و توابع هستند افزایش می یابد.علاوه بر این، هر چه مقدار k بیشتر باشد، زاویه تمایل خط مستقیم به جهت مثبت محور OX بیشتر است.

در همه توابع b=3 - و می بینیم که تمام نمودارها محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کنند.

حال نمودارهای توابع y=-2x+3 را در نظر بگیرید. y=- ½ x+3; y=-x+3

این بار در همه توابع ضریب k کمتر از صفرو توابع در حال کاهش هستند.ضریب b=3 و نمودارها مانند حالت قبل محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کنند.

نمودارهای توابع y=2x+3 را در نظر بگیرید. y=2x; y=2x-3

اکنون در تمام معادلات تابع ضرایب k برابر با 2 است. و سه خط موازی به دست آوردیم.

اما ضرایب b متفاوت است و این نمودارها محور OY را در نقاط مختلف قطع می کنند:
نمودار تابع y=2x+3 (b=3) محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کند.
نمودار تابع y=2x (b=0) محور OY را در نقطه (0;0) - مبدا قطع می کند.
نمودار تابع y=2x-3 (b=-3) محور OY را در نقطه (0;-3) قطع می کند.

بنابراین، اگر نشانه های ضرایب k و b را بدانیم، بلافاصله می توانیم تصور کنیم که نمودار تابع y=kx+b چگونه است.
اگر k 0

اگر k>0 و b>0، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k>0 و b، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k=0، سپس تابع y=kx+b به تابع y=b تبدیل می شود و نمودار آن به شکل زیر است:

مختصات تمام نقاط نمودار تابع y=b برابر با b است اگر b=0، سپس نمودار تابع y=kx (نسبت مستقیم) از مبدأ عبور می کند:

3. اجازه دهید به طور جداگانه نمودار معادله x=a را یادداشت کنیم.نمودار این معادله یک خط مستقیم موازی با محور OY است که تمام نقاط آن دارای ابسیسا x=a هستند.

برای مثال نمودار معادله x=3 به شکل زیر است:
توجه!معادله x=a یک تابع نیست، بنابراین یک مقدار آرگومان با مقادیر مختلف تابع مطابقت دارد که با تعریف یک تابع مطابقت ندارد.

4. شرط موازی بودن دو خط:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 با نمودار تابع y=k 2 x+b 2 موازی است اگر k 1 =k 2

5. شرط عمود بودن دو خط مستقیم:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 بر نمودار تابع y=k 2 x+b 2 عمود است اگر k 1 *k 2 =-1 یا k 1 =-1/k 2

6. نقاط تلاقی نمودار تابع y=kx+b با محورهای مختصات.

با محور OY. آبسیسا هر نقطه متعلق به محور OY برابر با صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OY، باید به جای x، صفر را در معادله تابع جایگزین کنید. y=b می گیریم. یعنی نقطه تقاطع با محور OY مختصات (0; b) دارد.

با محور OX: اردین هر نقطه متعلق به محور OX صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OX، باید به جای y، صفر را در معادله تابع جایگزین کنید. 0=kx+b می گیریم. بنابراین x=-b/k. یعنی نقطه تقاطع با محور OX دارای مختصات (-b/k;0) است:

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

تابع خطیتابع فرم نامیده می شود y = kx + b، بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است. اینجا ک- شیب (عدد واقعی)، ب – مدت آزاد (عدد واقعی)، ایکس- متغیر مستقل

در حالت خاص، اگر k = 0، یک تابع ثابت بدست می آوریم y = بکه نمودار آن یک خط مستقیم موازی با محور Ox است که از نقطه ای با مختصات می گذرد. (0؛ ب).

اگر b = 0، سپس تابع را دریافت می کنیم y = kx، که است تناسب مستقیم

ب – طول قطعه، که توسط یک خط مستقیم در امتداد محور Oy قطع می شود و از مبدأ شمارش می شود.

معنی هندسی ضریب ک – زاویه شیبمستقیم به جهت مثبت محور Ox، در خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته شده است.

ویژگی های تابع خطی:

1) دامنه تعریف تابع خطی کل محور واقعی است.

2) اگر k ≠ 0، سپس محدوده مقادیر تابع خطی کل محور واقعی است. اگر k = 0، سپس محدوده مقادیر تابع خطی از عدد تشکیل شده است ب;

3) یکنواختی و عجیب بودن یک تابع خطی به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب.

آ) b ≠ 0، k = 0،از این رو، y = b – زوج؛

ب) b = 0، k ≠ 0،از این رو y = kx – فرد؛

ج) b ≠ 0، k ≠ 0،از این رو y = kx + b - تابع شکل کلی.

د) b = 0، k = 0،از این رو y = 0 - هر دو توابع زوج و فرد.

4) تابع خطی خاصیت تناوب را ندارد.

5) نقاط تقاطع با محورهای مختصات:

گاو: y = kx + b = 0، x = -b/k، از این رو (-b/k؛ 0)- نقطه تقاطع با محور آبسیسا.

اوه: y = 0k + b = b، از این رو (0؛ ب)– نقطه تقاطع با محور ارتین.

توجه: اگر b = 0و k = 0، سپس تابع y = 0برای هر مقدار از متغیر به صفر می رسد ایکس. اگر b ≠ 0و k = 0، سپس تابع y = ببرای هیچ مقداری از متغیر ناپدید نمی شود ایکس.

6) فواصل ثبات علامت به ضریب k بستگی دارد.

آ) k > 0; kx + b > 0، kx > -b، x > -b/k.

y = kx + b- مثبت وقتی ایکساز جانب (-b/k؛ +∞),

y = kx + b- منفی وقتی ایکساز جانب (-∞؛ -b/k).

ب) ک< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- مثبت وقتی ایکساز جانب (-∞؛ -b/k),

y = kx + b- منفی وقتی ایکساز جانب (-b/k؛ +∞).

ج) k = 0، b > 0; y = kx + bمثبت در کل محدوده تعریف،

k = 0، b< 0; y = kx + b در کل محدوده تعریف منفی است.

7) فواصل یکنواختی یک تابع خطی به ضریب بستگی دارد ک.

k > 0، از این رو y = kx + bدر کل دامنه تعریف افزایش می یابد،

ک< 0 ، از این رو y = kx + bدر کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

8) نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. برای ساخت یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است. موقعیت خط مستقیم در صفحه مختصات به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب. در زیر جدولی وجود دارد که به وضوح این موضوع را نشان می دهد.

تعریف تابع خطی

اجازه دهید تعریف تابع خطی را معرفی کنیم

تعریف

تابعی به شکل $y=kx+b$ که $k$ غیر صفر است، تابع خطی نامیده می شود.

نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. عدد $k$ را شیب خط می نامند.

وقتی $b=0$ تابع خطی تابع تناسب مستقیم $y=kx$ نامیده می شود.

شکل 1 را در نظر بگیرید.

برنج. 1. معنای هندسی شیب یک خط

مثلث ABC را در نظر بگیرید. می بینیم که $ВС=kx_0+b$. بیایید نقطه تقاطع خط $y=kx+b$ را با محور $Ox$ پیدا کنیم:

\ \

بنابراین $AC=x_0+\frac(b)(k)$. بیایید نسبت این اضلاع را پیدا کنیم:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

از سوی دیگر، $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

بنابراین، می توانیم نتیجه گیری زیر را داشته باشیم:

نتیجه

معنای هندسی ضریب $k$. ضریب زاویه ای خط مستقیم $k$ برابر است با مماس زاویه میل این خط مستقیم بر محور $Ox$.

مطالعه تابع خطی $f\left(x\right)=kx+b$ و نمودار آن

ابتدا تابع $f\left(x\right)=kx+b$ را در نظر بگیرید که در آن $k > 0$ است.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. در نتیجه، این تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. هیچ نقطه افراطی وجود ندارد.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. نمودار (شکل 2).

برنج. 2. نمودارهای تابع $y=kx+b$، برای $k > 0$.

حالا تابع $f\left(x\right)=kx$ را در نظر بگیرید که در آن $k است

1. دامنه تعریف همه اعداد است.
2. محدوده مقادیر همه اعداد است.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. تابع نه زوج است و نه فرد.
4. برای $x=0،f\left(0\right)=b$. وقتی $y=0.0=kx+b،\ x=-\frac(b)(k)$.

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: $\left(-\frac(b)(k)،0\right)$ و $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. بنابراین، تابع نقطه عطف ندارد.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. نمودار (شکل 3).

مفهوم تابع عددی روش های تعیین یک تابع خواص توابع.

تابع عددی تابعی است که از یک فضای عددی (مجموعه) به فضای عددی دیگر (مجموعه) عمل می کند.

سه روش اصلی برای تعریف یک تابع: تحلیلی، جدولی و گرافیکی.

1. تحلیلی.

روش تعیین تابع با استفاده از فرمول را تحلیلی می نامند. این روش اصلی ترین روش در تشک است. تجزیه و تحلیل، اما در عمل راحت نیست.

2. روش جدولی برای تعیین یک تابع.

یک تابع را می توان با استفاده از جدولی که حاوی مقادیر آرگومان و مقادیر تابع متناظر آنها است، مشخص کرد.

3. روش گرافیکی تعیین یک تابع.

به یک تابع y=f(x) گفته می شود که اگر نمودار آن ساخته شده باشد به صورت گرافیکی داده می شود. این روش تعیین یک تابع، تعیین مقادیر تابع را فقط به طور تقریبی امکان پذیر می کند، زیرا ساخت یک نمودار و یافتن مقادیر تابع روی آن با خطا همراه است.

ویژگی های یک تابع که باید هنگام ساخت نمودار آن در نظر گرفته شود:

1) دامنه تعریف تابع.

دامنه تابع،یعنی آن مقادیری که آرگومان x تابع F =y (x) می تواند بگیرد.

2) فواصل توابع افزایش و کاهش.

تابع افزایش نامیده می شوددر بازه مورد بررسی، اگر مقدار بزرگتری از آرگومان با مقدار بزرگتری از تابع y(x) مطابقت داشته باشد. این بدان معنی است که اگر دو آرگومان دلخواه x 1 و x 2 از بازه مورد بررسی گرفته شود و x 1 > x 2، آنگاه y(x 1) > y(x 2) باشد.

تابع کاهش نامیده می شوددر بازه مورد بررسی، اگر مقدار بزرگتری از آرگومان با مقدار کوچکتری از تابع y(x) مطابقت داشته باشد. این بدان معنی است که اگر دو آرگومان دلخواه x 1 و x 2 از بازه مورد بررسی گرفته شود، و x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) تابع صفر.

به نقاطی که تابع F = y (x) محور آبسیسا را ​​قطع می کند (با حل معادله y(x) = 0 به دست می آیند) صفرهای تابع نامیده می شوند.

4) توابع زوج و فرد.

تابع زوج نامیده می شود،اگر برای همه مقادیر آرگومان از محدوده

y(-x) = y(x).

نمودار یک تابع زوج متقارن نسبت به ارتجاع است.

تابع فرد نامیده می شود، اگر برای همه مقادیر آرگومان از دامنه تعریف

y(-x) = -y(x).

نمودار یک تابع زوج نسبت به مبدا متقارن است.

بسیاری از توابع نه زوج هستند و نه فرد.

5) تناوب بودن تابع.

تابع دوره ای نامیده می شود،اگر عدد P وجود داشته باشد به طوری که برای تمام مقادیر آرگومان از دامنه تعریف

y (x + P) = y (x).

تابع خطی، خواص و نمودار آن.

تابع خطی تابعی از فرم است y = kx + b، بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است.

ک- شیب (عدد واقعی)

ب- عبارت ساختگی (عدد واقعی)

ایکس- متغیر مستقل

· در حالت خاص، اگر k = 0 باشد، یک تابع ثابت y = b به دست می آوریم که نمودار آن یک خط مستقیم موازی با محور Ox است که از نقطه ای با مختصات (0؛ b) می گذرد.

· اگر b = 0 باشد، تابع y = kx به دست می آید که تناسب مستقیم است.

o معنای هندسی ضریب b طول قطعه ای است که خط مستقیم آن را در امتداد محور Oy قطع می کند و از مبدأ شمارش می کند.

o معنای هندسی ضریب k زاویه میل خط مستقیم به جهت مثبت محور Ox است که در خلاف جهت عقربه های ساعت محاسبه می شود.

ویژگی های تابع خطی:

1) دامنه تعریف تابع خطی کل محور واقعی است.

2) اگر k ≠ 0 باشد، دامنه مقادیر تابع خطی کل محور واقعی است.

اگر k = 0 باشد، محدوده مقادیر تابع خطی از عدد b تشکیل شده است.

3) یکنواختی و عجیب بودن یک تابع خطی به مقادیر ضرایب k و b بستگی دارد.

الف) b ≠ 0، k = 0، بنابراین، y = b - زوج.

ب) b = 0، k ≠ 0، بنابراین y = kx – فرد.

ج) b ≠ 0، k ≠ 0، بنابراین y = kx + b تابعی از شکل کلی است.

د) b = 0، k = 0، بنابراین y = 0 هم یک تابع زوج و هم یک تابع فرد است.

4) تابع خطی خاصیت تناوب را ندارد.

5) نقاط تقاطع با محورهای مختصات:

Ox: y = kx + b = 0، x = -b/k، بنابراین (-b/k؛ 0) نقطه تقاطع با محور x است.

Oy: y = 0k + b = b، بنابراین (0؛ b) نقطه تقاطع با مصداق است.

اظهار نظر. اگر b = 0 و k = 0، تابع y = 0 برای هر مقدار از متغیر x ناپدید می شود. اگر b ≠ 0 و k = 0 باشد، تابع y = b برای هیچ مقداری از متغیر x ناپدید نمی شود.

6) فواصل علامت ثابت به ضریب k بستگی دارد.

الف) k > 0; kx + b > 0، kx > -b، x > -b/k.

y = kx + b - مثبت در x از (-b/k؛ +∞)،

y = kx + b - منفی برای x از (-∞؛ -b/k).

ب) ک< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - مثبت در x از (-∞؛ -b/k)،

y = kx + b - منفی برای x از (-b/k؛ +∞).

ج) k = 0، b > 0; y = kx + b در کل دامنه تعریف مثبت است،

k = 0، b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) فواصل یکنواختی یک تابع خطی به ضریب k بستگی دارد.

k> 0، بنابراین y = kx + b در کل دامنه تعریف افزایش می یابد،

ک< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. تابع y = ax 2 + bx + c، خواص و نمودار آن.

تابع y = ax 2 + bx + c (a، b، c ثابت هستند، a ≠ 0) نامیده می شود. درجه دومدر ساده ترین حالت، y = ax 2 (b = c = 0) نمودار یک خط منحنی است که از مبدا می گذرد. منحنی که به عنوان نمودار تابع y = ax 2 عمل می کند یک سهمی است. هر سهمی دارای یک محور تقارن به نام است محور سهمینقطه O تقاطع سهمی با محور آن نامیده می شود راس سهمی.

نمودار را می توان بر اساس طرح زیر ساخت: 1) مختصات راس سهمی را پیدا کنید x 0 = -b/2a. y 0 = y (x 0). 2) چندین نقطه دیگر را می سازیم که متعلق به سهمی است؛ هنگام ساخت، می توانیم از تقارن سهمی نسبت به خط مستقیم x = -b/2a استفاده کنیم. 3) نقاط مشخص شده را با یک خط صاف وصل کنید. مثال. تابع b = x 2 + 2x - 3 را رسم کنید.راه حل ها نمودار تابع یک سهمی است که شاخه های آن به سمت بالا هستند. آبسیسا راس سهمی x 0 = 2/(2 ∙1) = -1، مختصات آن y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. بنابراین، راس سهمی نقطه (-1; -4) است. بیایید جدول مقادیر را برای چندین نقطه که در سمت راست محور تقارن سهمی قرار دارند - خط مستقیم x = -1 جمع آوری کنیم. ویژگی های عملکرد