مختصات و بردارها. راهنمای جامع (2020)

محور ابسیسا و ارتین نامیده می شود مختصات بردار. مختصات برداری معمولاً در فرم نشان داده می شود (x، y)، و خود بردار به صورت: =(x, y).

فرمول تعیین مختصات برداری برای مسائل دو بعدی.

در مورد یک مسئله دو بعدی، بردار با معلوم مختصات نقاط A (x 1; y 1)و ب(ایکس 2 ; y 2 ) قابل محاسبه است:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

فرمول تعیین مختصات برداری برای مسائل فضایی.

در مورد یک مسئله فضایی، بردار با معلوم مختصات نقاطآ (x 1; y 1;z 1 ) و ب (ایکس 2 ; y 2 ; z 2 ) را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

= (ایکس 2 - ایکس 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

مختصات توصیف جامعی از بردار را ارائه می دهند، زیرا می توان خود بردار را با استفاده از مختصات ساخت. با دانستن مختصات، محاسبه و محاسبه آسان است طول برداری. (ملاک 3 زیر).

ویژگی های مختصات برداری

1. هر بردارهای مساویدر یک سیستم مختصات واحد دارند مختصات مساوی.

2. مختصات بردارهای خطیمتناسب. به شرطی که هیچ یک از بردارها صفر نباشد.

3. مجذور طول هر بردار با مجموع مجذورات آن برابر است مختصات.

4- در حین جراحی ضرب برداریبر عدد واقعیهر یک از مختصات آن در این عدد ضرب می شود.

5. هنگام جمع بردارها، مجموع بردارها را محاسبه می کنیم مختصات برداری.

6. حاصلضرب عددیدو بردار برابر است با مجموع حاصل از مختصات مربوطه آنها.

12. طول بردار، طول پاره، زاویه بین بردارها، شرط عمود بردارها.

وکتور – این قطعه جهت دار است که دو نقطه در فضا یا در یک صفحه را به هم متصل می کند.بردارها معمولاً با حروف کوچک یا با نقطه شروع و پایان مشخص می شوند. معمولاً یک خط تیره در بالا وجود دارد.

به عنوان مثال، یک بردار هدایت شده از نقطه آبه نقطه ب، قابل تعیین است آ ,

بردار صفر 0 یا 0 - این بردار است که نقطه شروع و پایان آن بر هم منطبق است، یعنی. آ = ب. از اینجا، 0 = – 0 .

طول برداری (مدول)آ طول قطعه ای است که آن را نشان می دهد AB که با | نشان داده می شودآ | . به طور خاص، | 0 | = 0.

بردارها نامیده می شوند خطی، اگر پاره های جهت دار آنها روی خطوط موازی قرار گیرند. بردارهای خطی آ و ب تعیین شده اند آ || ب .

سه یا چند بردار نامیده می شوند هم صفحه، اگر در یک هواپیما دراز بکشند.

اضافه بردار. از آنجایی که بردارها هستند جهت داربخش ها، سپس می توان آنها را اضافه کرد از نظر هندسی. (جمع جبری بردارها در زیر، در پاراگراف «بردارهای متعامد واحد» توضیح داده شده است). بیایید وانمود کنیم که

آ = ABو ب = سی دی،

سپس بردار __ __

آ + ب = AB+ سی دی

نتیجه دو عملیات است:

آ)انتقال موازییکی از بردارها به طوری که نقطه شروع آن با نقطه پایان بردار دوم منطبق باشد.

ب)اضافه هندسی، یعنی ساختن یک بردار حاصل که از نقطه شروع بردار ثابت به نقطه پایان بردار منتقل شده می رود.

تفریق بردارها. این عملیات با جایگزینی بردار subtrahend با بردار مخالف آن به قبلی کاهش می یابد: آ – ب =آ + (– ب ) .

قوانین اضافه

من. آ + ب = ب + آ (قانون انتقال).

II. (آ + ب ) + ج = آ + (ب + ج ) (حقوق ترکیبی).

III. آ + 0 = آ .

IV. آ + (– آ ) = 0 .

قوانین ضرب بردار در عدد

من. 1 · آ = آ , 0 · آ = 0 , متر· 0 = 0 , (– 1) · آ = – آ .

II. مترآ = آ متر,| مترآ | = | متر | · | یک | .

III. m(nآ ) = (mn)آ . (C o m b e t a l

قانون ضرب در عدد).

IV. (m+n) آ = مترآ +nآ , (توزیع

متر(آ + ب ) = مترآ +mب . قانون ضرب در عدد).

حاصل ضرب نقطه ای بردارها. __ __

زاویه بین بردارهای غیر صفر ABو سی دی- این زاویه ای است که بردارها هنگام انتقال موازی تا زمانی که نقاط در یک راستا قرار گیرند، تشکیل می دهند. آو ج. حاصلضرب نقطه ای بردارهاآ و ب عددی برابر نامیده می شود حاصل ضرب طول آنها و کسینوس زاویه بین آنها:

اگر یکی از بردارها صفر باشد، حاصل ضرب اسکالر آنها، مطابق با تعریف، برابر با صفر است:

(آ، 0 ) = ( 0 , ب ) = 0 .

اگر هر دو بردار غیر صفر باشند، کسینوس زاویه بین آنها با فرمول محاسبه می شود:

حاصلضرب عددی ( الف، الف )، برابر با | آ | 2، تماس گرفت مربع اسکالرطول برداری آ و مربع اسکالر آن با رابطه:

حاصل ضرب نقطه ای دو بردار:

- مثبت، اگر زاویه بین بردارها باشد تند;

- منفی،اگر زاویه بین بردارها باشد صریح.

حاصل ضرب اسکالر دو بردار غیر صفر برابر با صفر است و فقط زمانی که زاویه بین آنها مستقیم باشد، یعنی. وقتی این بردارها عمود بر هم باشند (متعامد):

خواص محصول اسکالر برای هر بردار آ، قبل از میلاد مسیح و هر عددی مترروابط زیر معتبر است:

من. (آ، ب ) = (ب، الف ) . (قانون انتقال)

II. (مترآ، ب ) = متر(آ، ب ) .

III.(a+b,c ) = (آ، ج ) + (ب ج ). (قانون توزیع)

بردارهای متعامد واحد. در هر سیستم مختصات مستطیلی می توانید وارد کنید بردارهای متعامد زوجی واحدمن , j و ک مرتبط با محورهای مختصات: من – دارای محور ایکس, j – دارای محور Yو ک – دارای محور ز. طبق این تعریف:

(من ، ج ) = (من ، ک ) = (j ، ک ) = 0,

| من | =| j | =| k | = 1.

هر بردار آ می توان از طریق این بردارها به روشی منحصر به فرد بیان کرد: آ = ایکسمن + yj+ zک . شکل دیگری از ضبط: آ = (x، y، z). اینجا ایکس, y, z - مختصاتبردار آ در این سیستم مختصات مطابق با آخرین رابطه و خواص بردارهای متعامد واحد من، ج ، ک حاصل ضرب اسکالر دو بردار را می توان متفاوت بیان کرد.

اجازه دهید آ = (x، y، z); ب = (u، v، w). سپس ( آ، ب ) = xu + yv + zw.

حاصل ضرب اسکالر دو بردار برابر است با مجموع حاصلضرب مختصات مربوطه.

طول برداری (مدول) آ = (ایکس, y, z ) برابر است با:

علاوه بر این، ما در حال حاضر فرصت انجام جبریعملیات بر روی بردارها، یعنی جمع و تفریق بردارها را می توان با استفاده از مختصات انجام داد:

یک + b = (x + u، y + v، z + w) ;

آ – b = (ایکس–تو، ای– v، z–w) .

ضرب ضربدری بردارها. اثر هنری وکتور [آ، ب ] بردارهاآ وب (به این ترتیب) بردار نامیده می شود:

فرمول دیگری برای طول بردار وجود دارد [ الف، ب ] :

| [ الف، ب ] | = | آ | | ب | گناه ( الف، ب ) ,

یعنی طول ( مدول ) حاصل ضرب برداری بردارهاآ وب برابر است با حاصل ضرب طول (ماژول) این بردارها و سینوس زاویه بین آنها.به عبارت دیگر: طول (مدول) بردار[ الف، ب ] از نظر عددی برابر با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها است آ وب .

ویژگی های یک محصول برداری

من.بردار [ الف، ب ] عمود بر (قائم)هر دو بردار آ و ب .

(لطفاً این را ثابت کنید!).

II.[ آ، ب ] = – [ب، الف ] .

III. [ مترآ، ب ] = متر[آ، ب ] .

IV. [ a+b,c ] = [ آ، ج ] + [ ب ج ] .

V. [ آ، [ قبل از میلاد مسیح ] ] = ب (الف، ج ) – ج (الف، ب ) .

VI. [ [ آ، ب ] ، ج ] = ب (الف، ج ) – آ (قبل از میلاد مسیح ) .

شرط لازم و کافی برای هم خطی بردارها آ = (x، y، z) و ب = (u، v، w) :

شرط لازم و کافی برای همسطح بودن بردارها آ = (x، y، z), ب = (u، v، w) و ج = (p, q, r) :

مثال بردارها آورده شده است: آ = (1، 2، 3) و ب = (– 2 , 0 ,4).

ضریب نقطه و متقاطع و زاویه آنها را محاسبه کنید

بین این بردارها

راه حل با استفاده از فرمول های مناسب (به بالا مراجعه کنید)، به دست می آوریم:

آ). حاصلضرب عددی:

(الف، ب ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

ب). محصول برداری:

یافتن مختصات یک بردار یک شرط نسبتاً رایج برای بسیاری از مسائل در ریاضیات است. توانایی یافتن مختصات برداری به شما در مسائل پیچیده‌تر دیگر با موضوعات مشابه کمک می‌کند. در این مقاله به فرمول یافتن مختصات برداری و چندین مسئله خواهیم پرداخت.

پیدا کردن مختصات یک بردار در یک صفحه

هواپیما چیست؟ یک صفحه یک فضای دو بعدی، فضایی با دو بعد (بعد x و بعد y) در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، کاغذ صاف است. سطح میز صاف است. هر شکل غیر حجمی (مربع، مثلث، ذوزنقه) نیز یک صفحه است. بنابراین، اگر در بیان مسئله نیاز به یافتن مختصات یک بردار باشد که روی یک صفحه قرار دارد، بلافاصله x و y را به خاطر می آوریم. مختصات چنین بردار را می توانید به صورت زیر بیابید: مختصات AB بردار = (xB – xA؛ yB – xA). فرمول نشان می دهد که باید مختصات نقطه شروع را از مختصات نقطه پایان کم کنید.

مثال:

• CD برداری دارای مختصات اولیه (5; 6) و نهایی (7; 8) است.
• مختصات خود بردار را بیابید.
• با استفاده از فرمول بالا، عبارت زیر را دریافت می کنیم: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• بنابراین، مختصات بردار CD = (2؛ 2).
• بر این اساس، مختصات x برابر با دو، مختصات y نیز دو است.

یافتن مختصات یک بردار در فضا

فضا چیست؟ فضا در حال حاضر یک بعد سه بعدی است که در آن 3 مختصات داده می شود: x، y، z. اگر نیاز به یافتن برداری دارید که در فضا قرار دارد، فرمول عملا تغییر نمی کند. فقط یک مختصات اضافه شده است. برای پیدا کردن بردار، باید مختصات شروع را از مختصات پایانی کم کنید. AB = (xB – xA؛ yB – yA؛ zB – zA)

مثال:

• بردار DF دارای اولیه (2; 3; 1) و نهایی (1; 5; 2) است.
• با استفاده از فرمول فوق، به دست می آوریم: مختصات برداری DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• به یاد داشته باشید، مقدار مختصات می تواند منفی باشد، مشکلی وجود ندارد.

چگونه مختصات برداری را به صورت آنلاین پیدا کنیم؟

اگر به دلایلی نمی خواهید مختصات را خودتان پیدا کنید، می توانید از یک ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. برای شروع، بعد برداری را انتخاب کنید. بعد یک بردار مسئول ابعاد آن است. بعد 3 به این معنی است که بردار در فضا است، بعد 2 به این معنی است که بر روی صفحه است. سپس مختصات نقاط را در فیلدهای مناسب وارد کنید و برنامه مختصات خود بردار را برای شما تعیین می کند. همه چیز بسیار ساده است.

با کلیک بر روی دکمه، صفحه به صورت خودکار به پایین اسکرول می شود و پاسخ صحیح را همراه با مراحل حل به شما می دهد.

توصیه می شود این مبحث را به خوبی مطالعه کنید، زیرا مفهوم بردار نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک نیز یافت می شود. دانشجویان دانشکده فناوری اطلاعات نیز مبحث بردارها را مطالعه می کنند اما در سطح پیچیده تری.

1. تعریف بردار. طول برداری هم خطی، همسطح بودن بردارها.

بردار یک قطعه جهت دار است. طول یا مدول یک بردار طول قطعه جهت داده شده مربوطه است.

ماژول برداری آنشان داده شده با . بردار آواحد نامیده می شود اگر . اگر بردارها موازی با یک خط باشند، خطی نامیده می شوند. اگر بردارها با یک صفحه موازی باشند همسطح نامیده می شوند.

2. ضرب بردار در عدد. ویژگی های عملیاتی

از ضرب یک بردار در یک عدد، بردار خلاف جهتی به دست می آید که طول آن دو برابر است. ضرب یک بردار در یک عدد به صورت مختصات با ضرب همه مختصات در این عدد انجام می شود:

بر اساس تعریف، عبارتی برای مدول بردار ضرب در عدد به دست می آوریم:

مشابه اعداد، عمل اضافه کردن بردار به خود را می توان از طریق ضرب در یک عدد نوشت:

و تفریق بردارها را می توان از طریق جمع و ضرب بازنویسی کرد:

بر اساس این واقعیت که ضرب در طول بردار را تغییر نمی دهد، بلکه فقط جهت را تغییر می دهد و با در نظر گرفتن تعریف یک بردار، به دست می آوریم:

3. جمع بردارها، تفریق بردارها.

در نمایش مختصات، بردار مجموع با جمع مختصات متناظر عبارت ها به دست می آید:

برای ساختن هندسی یک بردار مجموع، از قوانین (روش‌ها) مختلفی استفاده می‌شود، اما همه آنها نتیجه یکسانی دارند. استفاده از یک یا آن قانون با مشکل در حال حل توجیه می شود.

قانون مثلث

قانون مثلث به طور طبیعی از درک یک بردار به عنوان یک انتقال پیروی می کند. واضح است که نتیجه اعمال متوالی دو انتقال در یک نقطه معین مانند اعمال یک انتقال در یک بار مطابق با این قانون خواهد بود. برای اضافه کردن دو بردار طبق قانون مثلثهر دوی این بردارها به موازات خودشان منتقل می شوند به طوری که ابتدای یکی از آنها با انتهای دیگری منطبق است. سپس بردار مجموع با ضلع سوم مثلث حاصل داده می شود و ابتدای آن با ابتدای بردار اول و پایان آن با پایان بردار دوم منطبق است.

این قانون را می توان به طور مستقیم و به طور طبیعی به جمع هر تعداد بردار تعمیم داد و تبدیل به قانون خط شکسته:

قانون چند ضلعی

ابتدای بردار دوم منطبق با پایان بردار اول، آغاز سوم با پایان بردار دوم و به همین ترتیب، مجموع بردارها یک بردار است که آغاز آن با ابتدای بردار اول منطبق است، و انتهای آن منطبق با انتهای هفتم است (یعنی با یک قطعه جهت دار که خط شکسته را می بندد) تصویر می شود. قانون خط شکسته نیز نامیده می شود.

قانون متوازی الاضلاع

برای اضافه کردن دو بردار و طبق قانون متوازی الاضلاعهر دوی این بردارها به موازات خودشان منتقل می شوند تا مبدأ آنها منطبق باشد. سپس بردار مجموع با مورب متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی آنها، از مبدا مشترک آنها شروع می شود. (در هنگام استفاده از قانون مثلث به راحتی می توان متوجه شد که این قطر با ضلع سوم مثلث منطبق است).

قانون متوازی الاضلاع مخصوصاً زمانی مناسب است که نیاز باشد بردار مجموع را به شکلی که بلافاصله در همان نقطه اعمال می شود به تصویر بکشیم - یعنی هر سه بردار را به عنوان منشأ مشترک به تصویر بکشیم.

مدول جمع برداری

مدول مجموع دو بردارمی توان با استفاده از قضیه کسینوس:

کسینوس زاویه بین بردارها کجاست.

اگر بردارها مطابق با قاعده مثلث ترسیم شوند و زاویه بر اساس نقشه گرفته شود - بین اضلاع مثلث - که با تعریف معمول زاویه بین بردارها مطابقت ندارد و بنابراین با زاویه در بالا مطابقت ندارد. فرمول، سپس جمله آخر یک علامت منفی به دست می آورد که با قضیه کسینوس در فرمول مستقیم آن مطابقت دارد.

برای مجموع تعداد دلخواه برداریک فرمول مشابه قابل استفاده است، که در آن عبارت‌های بیشتری با کسینوس وجود دارد: برای هر جفت بردار از مجموعه جمع‌شده، یک عبارت وجود دارد. به عنوان مثال، برای سه بردار فرمول به صورت زیر است:

تفریق برداری

دو بردار و بردار تفاوت آنها

برای بدست آوردن تفاوت در فرم مختصات، باید مختصات مربوط به بردارها را کم کنید:

برای به دست آوردن بردار اختلاف، ابتدای بردارها به هم وصل شده و ابتدای بردار انتها و پایان بردار پایان خواهد بود. اگر آن را با استفاده از نقاط برداری بنویسیم، پس.

ماژول تفاوت برداری

سه بردار، مانند جمع، یک مثلث را تشکیل می دهند، و بیان ماژول تفاوت مشابه است:

کسینوس زاویه بین بردارها کجاست

تفاوت با فرمول مدول مجموع در علامت مقابل کسینوس است، در این مورد، باید به دقت نظارت کنید که کدام زاویه گرفته شده است (نسخه فرمول برای مدول مجموع با زاویه بین). اضلاع یک مثلث هنگام جمع کردن طبق قانون مثلث از نظر شکل با این فرمول برای مدول اختلاف تفاوتی ندارد، اما باید توجه داشته باشید که در اینجا زوایای مختلفی گرفته می شود: در صورت مجموع، زاویه هنگامی که بردار به انتهای بردار منتقل می شود، زاویه بین بردارهای اعمال شده به یک نقطه با استفاده از همان زاویه گرفته می شود برای مدول اختلاف، در علامت جلوی کسینوس متفاوت است).

اول از همه، ما باید مفهوم خود بردار را درک کنیم. برای معرفی تعریف بردار هندسی، به یاد بیاوریم که پاره چیست. اجازه دهید تعریف زیر را معرفی کنیم.

تعریف 1

پاره قسمتی از یک خط مستقیم است که دارای دو مرز به صورت نقطه است.

یک بخش می تواند 2 جهت داشته باشد. برای نشان دادن جهت، یکی از مرزهای قطعه را ابتدای آن و مرز دیگر را انتهای آن می نامیم. جهت از ابتدا تا انتهای بخش نشان داده شده است.

تعریف 2

بردار یا پاره جهت دار قطعه ای خواهد بود که مشخص می شود کدام یک از مرزهای پاره آغاز و کدام انتهای آن است.

نامگذاری: با دو حرف: $\overline(AB)$ – (که $A$ شروع آن و $B$ پایان آن است).

در یک حرف کوچک: $\overline(a)$ (شکل 1).

اکنون به طور مستقیم مفهوم طول برداری را معرفی می کنیم.

تعریف 3

طول بردار $\overline(a)$ طول بخش $a$ خواهد بود.

علامت گذاری: $|\overline(a)|$

مفهوم طول بردار به عنوان مثال با مفهومی مانند برابری دو بردار مرتبط است.

تعریف 4

دو بردار را در صورتی مساوی می نامیم که دو شرط را داشته باشند: 1. هم جهت باشند. 1. طول آنها برابر است (شکل 2).

برای تعریف بردارها، یک سیستم مختصات را وارد کرده و مختصات بردار را در سیستم وارد شده تعیین کنید. همانطور که می دانیم، هر بردار را می توان به شکل $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ تجزیه کرد که $m$ و $n$ اعداد واقعی هستند و $\overline (i )$ و $\overline(j)$ به ترتیب بردارهای واحد روی محور $Ox$ و $Oy$ هستند.

تعریف 5

ضرایب بسط بردار $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ را مختصات این بردار در سیستم مختصات معرفی شده می نامیم. از نظر ریاضی:

$\overline(c)=(m,n)$

چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم؟

برای به دست آوردن فرمولی برای محاسبه طول یک بردار دلخواه با توجه به مختصات آن، مسئله زیر را در نظر بگیرید:

مثال 1

داده شده: بردار $\overline(α)$ با مختصات $(x,y)$. پیدا کنید: طول این بردار.

اجازه دهید یک سیستم مختصات دکارتی $xOy$ را در هواپیما معرفی کنیم. اجازه دهید $\overline(OA)=\overline(a)$ را از مبدا سیستم مختصات معرفی شده کنار بگذاریم. اجازه دهید پیش بینی های $OA_1$ و $OA_2$ از بردار ساخته شده را به ترتیب روی محورهای $Ox$ و $Oy$ بسازیم (شکل 3).

بردار $\overline(OA)$ که ساخته ایم، بردار شعاع نقطه $A$ خواهد بود، بنابراین مختصات $(x,y)$ خواهد داشت، به این معنی که

$=x$، $[OA_2]=y$

حالا با استفاده از قضیه فیثاغورث به راحتی می توانیم طول مورد نیاز را پیدا کنیم

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

پاسخ: $\sqrt(x^2+y^2)$.

نتیجه:برای یافتن طول برداری که مختصات آن داده شده است، باید ریشه مجذور مجموع این مختصات را پیدا کنید.

نمونه کارها

مثال 2

فاصله بین نقاط $X$ و $Y$ را پیدا کنید که به ترتیب دارای مختصات زیر هستند: $(-1.5)$ و $(7.3)$.

هر دو نقطه را می توان به راحتی با مفهوم بردار مرتبط کرد. برای مثال، بردار $\overline(XY)$ را در نظر بگیرید. همانطور که می دانیم، مختصات چنین بردار را می توان با کم کردن مختصات مربوط به نقطه شروع ($X$) از مختصات نقطه پایانی ($Y$) پیدا کرد. ما آن را دریافت می کنیم