نحوه پیدا کردن مماس 45 درجه
جداول مقادیر سینوس ها (sin)، کسینوس ها (cos)، مماس ها (tg)، کوتانژانت ها (ctg) ابزاری قدرتمند و مفید هستند که به حل بسیاری از مسائل، چه از لحاظ نظری و چه کاربردی، کمک می کند. در این مقاله جدولی از توابع مثلثاتی اصلی (سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها) برای زوایای 0، 30، 45، 60، 90، ...، 360 درجه (0، π 6، π 3، π) ارائه خواهیم کرد. 2,... , 2 π رادیان). جداول Bradis جداگانه برای سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها نیز نشان داده می شود، همراه با توضیح نحوه استفاده از آنها برای یافتن مقادیر توابع مثلثاتی پایه.
جدول توابع مثلثاتی پایه برای زوایای 0، 30، 45، 60، 90، ...، 360 درجه
بر اساس تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت، می توانید مقادیر این توابع را برای زوایای 0 و 90 درجه پیدا کنید.
sin 0 = 0، cos 0 = 1، t g 0 = 0، کاتانژانت صفر تعریف نشده است،
sin 90° = 1، cos 90° = 0، c t g 90° = 0، مماس نود درجه تعریف نشده است.
مقادیر سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها در درس هندسه به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تعریف می شود که زوایای آن 30، 60 و 90 درجه و همچنین 45، 45 و 90 درجه است.
تعریف توابع مثلثاتی برای زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه
سینوسی- نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز.
کسینوس- نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.
مماس- نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.
کوتانژانت- نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.
مطابق با تعاریف، مقادیر توابع یافت می شود:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1، sin 60° = 3 2، cos 45° = 1 2، tg 45° = 3، c tg 45° = 3 3.
بیایید این مقادیر را در یک جدول قرار دهیم و آن را جدولی از مقادیر اساسی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت بنامیم.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
گناه α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | تعریف نشده |
c t g α | تعریف نشده | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α، r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
یکی از ویژگی های مهم توابع مثلثاتی تناوب است. بر اساس این ویژگی، این جدول را می توان با استفاده از فرمول های کاهش گسترش داد. در زیر جدول گسترده ای از مقادیر توابع مثلثاتی اصلی برای زوایای 0، 30، 60، ...، 120، 135، 150، 180، ...، 360 درجه (0، π 6، π 3) ارائه می کنیم. ، π 2 ، ... ، 2 π رادیان).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
گناه α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α، r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
تناوب سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به شما این امکان را می دهد که این جدول را به مقادیر دلخواه زاویه بزرگ بسط دهید. مقادیر جمع آوری شده در جدول اغلب هنگام حل مسائل استفاده می شود، بنابراین توصیه می شود آنها را به خاطر بسپارید.
نحوه استفاده از جدول مقادیر پایه توابع مثلثاتی
اصل استفاده از جدول مقادیر سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها در سطح شهودی روشن است. تقاطع یک سطر و یک ستون مقدار تابع را برای یک زاویه خاص نشان می دهد.
مثال. نحوه استفاده از جدول سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها
ما باید بفهمیم که 7 π 6 برابر با چه گناهی است
ستونی را در جدول پیدا می کنیم که آخرین مقدار آن 7 π 6 رادیان است - همان 210 درجه. سپس عبارت جدولی را انتخاب می کنیم که در آن مقادیر سینوس ها ارائه شده است. در تقاطع سطر و ستون مقدار مورد نظر را پیدا می کنیم:
sin 7 π 6 = - 1 2
میزهای بردیس
جدول Bradis به شما این امکان را می دهد که بدون استفاده از فناوری رایانه، مقدار سینوس، کسینوس، مماس یا کوتانژانت را با دقت 4 رقم اعشار محاسبه کنید. این یک نوع جایگزینی برای ماشین حساب مهندسی است.
ارجاع
ولادیمیر مودستوویچ برادیس (1890 - 1975) - معلم ریاضیدان شوروی، از سال 1954 عضو متناظر آکادمی علوم تربیتی اتحاد جماهیر شوروی. جداول لگاریتم های چهار رقمی و کمیت های مثلثاتی طبیعی که توسط برادیس تهیه شده بود برای اولین بار در سال 1921 منتشر شد.
ابتدا جدول بردیس برای سینوس و کسینوس را ارائه می دهیم. این امکان را به شما می دهد تا مقادیر تقریبی این توابع را برای زوایای حاوی تعداد صحیح درجه و دقیقه محاسبه کنید. ستون سمت چپ جدول نشان دهنده درجه و سطر بالا نشان دهنده دقیقه است. توجه داشته باشید که تمام مقادیر زاویه جدول برادیس مضرب شش دقیقه است.
جدول بردیس برای سینوس و کسینوس
گناه | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90 درجه | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89 درجه | 3 | 6 | 9 |
1 درجه | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88 درجه | 3 | 6 | 9 |
2 درجه | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87 درجه | 3 | 6 | 9 |
3 درجه | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86 درجه | 3 | 6 | 9 |
4 درجه | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85 درجه | 3 | 6 | 9 |
5 درجه | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84 درجه | 3 | 6 | 9 |
6 درجه | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83 درجه | 3 | 6 | 9 |
7 درجه | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82 درجه | 3 | 6 | 9 |
8 درجه | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81 درجه | 3 | 6 | 9 |
9 درجه | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80 درجه | 3 | 6 | 9 |
10 درجه | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79 درجه | 3 | 6 | 9 |
11 درجه | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78 درجه | 3 | 6 | 9 |
12 درجه | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77 درجه | 3 | 6 | 9 |
13 درجه | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76 درجه | 3 | 6 | 8 |
14 درجه | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75 درجه | 3 | 6 | 8 |
15 درجه | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74 درجه | 3 | 6 | 8 |
16 درجه | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73 درجه | 3 | 6 | 8 |
17 درجه | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72 درجه | 3 | 6 | 8 |
18 درجه | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71 درجه | 3 | 6 | 8 |
19 درجه | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70 درجه | 3 | 5 | 8 |
20 درجه | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69 درجه | 3 | 5 | 8 |
21 درجه | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68 درجه | 3 | 5 | 8 |
22 درجه | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67 درجه | 3 | 5 | 8 |
23 درجه | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66 درجه | 3 | 5 | 8 |
24 درجه | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65 درجه | 3 | 5 | 8 |
25 درجه | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64 درجه | 3 | 5 | 8 |
26 درجه | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63 درجه | 3 | 5 | 8 |
27 درجه | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62 درجه | 3 | 5 | 8 |
28 درجه | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61 درجه | 3 | 5 | 8 |
29 درجه | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60 درجه | 3 | 5 | 8 |
30 درجه | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59 درجه | 3 | 5 | 8 |
31 درجه | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58 درجه | 2 | 5 | 7 |
32 درجه | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57 درجه | 2 | 5 | 7 |
33 درجه | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56 درجه | 2 | 5 | 7 |
34 درجه | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55 درجه | 2 | 5 | 7 |
35 درجه | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54 درجه | 2 | 5 | 7 |
36 درجه | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53 درجه | 2 | 5 | 7 |
37 درجه | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52 درجه | 2 | 5 | 7 |
38 درجه | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51 درجه | 2 | 5 | 7 |
39 درجه | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50 درجه | 2 | 4 | 7 |
40 درجه | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49 درجه | 2 | 4 | 7 |
41 درجه | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48 درجه | 2 | 4 | 7 |
42 درجه | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47 درجه | 2 | 4 | 6 |
43 درجه | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46 درجه | 2 | 4 | 6 |
44 درجه | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45 درجه | 2 | 4 | 6 |
45 درجه | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44 درجه | 2 | 4 | 6 |
46 درجه | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43 درجه | 2 | 4 | 6 |
47 درجه | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42 درجه | 2 | 4 | 6 |
48 درجه | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41 درجه | 2 | 4 | 6 |
49 درجه | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40 درجه | 2 | 4 | 6 |
50 درجه | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39 درجه | 2 | 4 | 6 |
51 درجه | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38 درجه | 2 | 4 | 5 |
52 درجه | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37 درجه | 2 | 4 | 5 |
53 درجه | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36 درجه | 2 | 3 | 5 |
54 درجه | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35 درجه | 2 | 3 | 5 |
55 درجه | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34 درجه | 2 | 3 | 5 |
56 درجه | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33 درجه | 2 | 3 | 5 |
57 درجه | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32 درجه | 2 | 3 | 5 |
58 درجه | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31 درجه | 2 | 3 | 5 |
59 درجه | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30 درجه | 1 | 3 | 4 |
60 درجه | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29 درجه | 1 | 3 | 4 |
61 درجه | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28 درجه | 1 | 3 | 4 |
62 درجه | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27 درجه | 1 | 3 | 4 |
63 درجه | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26 درجه | 1 | 3 | 4 |
64 درجه | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25 درجه | 1 | 3 | 4 |
65 درجه | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24 درجه | 1 | 2 | 4 |
66 درجه | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23 درجه | 1 | 2 | 3 |
67 درجه | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22 درجه | 1 | 2 | 3 |
68 درجه | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21 درجه | 1 | 2 | 3 |
69 درجه | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20 درجه | 1 | 2 | 3 |
70 درجه | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19 درجه | 1 | 2 | 3 |
71 درجه | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18 درجه | 1 | 2 | 3 |
72 درجه | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17 درجه | 1 | 2 | 3 |
73 درجه | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16 درجه | 1 | 2 | 2 |
74 درجه | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15 درجه | 1 | 2 | 2 |
75 درجه | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14 درجه | 1 | 1 | 2 |
76 درجه | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13 درجه | 1 | 1 | 2 |
77 درجه | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12 درجه | 1 | 1 | 2 |
78 درجه | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11 درجه | 1 | 1 | 2 |
79 درجه | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10 درجه | 1 | 1 | 2 |
80 درجه | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9 درجه | 0 | 1 | 1 |
81 درجه | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8 درجه | 0 | 1 | 1 |
82 درجه | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7 درجه | 0 | 1 | 1 |
83 درجه | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6 درجه | 0 | 1 | 1 |
84 درجه | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5 درجه | 0 | 1 | 1 |
85 درجه | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4 درجه | 0 | 0 | 1 |
86 درجه | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3 درجه | 0 | 0 | 0 |
87 درجه | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2 درجه | 0 | 0 | 0 |
88 درجه | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1 درجه | 0 | 0 | 0 |
89 درجه | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90 درجه | 1.0000 | ||||||||||||||
گناه | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
برای یافتن مقادیر سینوس ها و کسینوس های زاویه ای که در جدول ارائه نشده اند، باید از اصلاحات استفاده کرد.
اکنون جدول برادیس را برای مماس ها و کوتانژانت ها ارائه می دهیم. این شامل مقادیر مماس زوایای 0 تا 76 درجه و کانتانژانت زاویه از 14 تا 90 درجه است.
میز برادیس برای مماس و کوتانژانت
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90 درجه | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89 درجه | 3 | 6 | 9 |
1 درجه | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88 درجه | 3 | 6 | 9 |
2 درجه | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87 درجه | 3 | 6 | 9 |
3 درجه | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86 درجه | 3 | 6 | 9 |
4 درجه | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85 درجه | 3 | 6 | 9 |
5 درجه | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84 درجه | 3 | 6 | 9 |
6 درجه | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83 درجه | 3 | 6 | 9 |
7 درجه | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82 درجه | 3 | 6 | 9 |
8 درجه | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81 درجه | 3 | 6 | 9 |
9 درجه | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80 درجه | 3 | 6 | 9 |
10 درجه | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79 درجه | 3 | 6 | 9 |
11 درجه | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78 درجه | 3 | 6 | 9 |
12 درجه | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77 درجه | 3 | 6 | 9 |
13 درجه | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76 درجه | 3 | 6 | 9 |
14 درجه | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75 درجه | 3 | 6 | 9 |
15 درجه | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74 درجه | 3 | 6 | 9 |
16 درجه | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73 درجه | 3 | 6 | 9 |
17 درجه | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72 درجه | 3 | 6 | 10 |
18 درجه | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71 درجه | 3 | 6 | 10 |
19 درجه | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70 درجه | 3 | 7 | 10 |
20 درجه | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69 درجه | 3 | 7 | 10 |
21 درجه | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68 درجه | 3 | 7 | 10 |
22 درجه | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67 درجه | 3 | 7 | 10 |
23 درجه | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66 درجه | 3 | 7 | 10 |
24 درجه | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65 درجه | 4 | 7 | 11 |
25 درجه | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64 درجه | 4 | 7 | 11 |
26 درجه | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63 درجه | 4 | 7 | 11 |
27 درجه | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62 درجه | 4 | 7 | 11 |
28 درجه | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61 درجه | 4 | 8 | 11 |
29 درجه | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60 درجه | 4 | 8 | 12 |
30 درجه | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59 درجه | 4 | 8 | 12 |
31 درجه | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58 درجه | 4 | 8 | 12 |
32 درجه | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57 درجه | 4 | 8 | 12 |
33 درجه | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56 درجه | 4 | 8 | 13 |
34 درجه | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55 درجه | 4 | 9 | 13 |
35 درجه | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54 درجه | 4 | 8 | 13 |
36 درجه | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53 درجه | 5 | 9 | 14 درجه |
37 درجه | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52 درجه | 5 | 9 | 14 |
38 درجه | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51 درجه | 5 | 9 | 14 |
39 درجه | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50 درجه | 5 | 10 | 15 |
40 درجه | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49 درجه | 5 | 10 | 15 |
41 درجه | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48 درجه | 5 | 10 | 16 |
42 درجه | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47 درجه | 6 | 11 | 16 |
43 درجه | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46 درجه | 6 | 11 | 17 |
44 درجه | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45 درجه | 6 | 11 | 17 |
45 درجه | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44 درجه | 6 | 12 | 18 |
46 درجه | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43 درجه | 6 | 12 | 18 |
47 درجه | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42 درجه | 6 | 13 | 19 |
48 درجه | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41 درجه | 7 | 13 | 20 |
49 درجه | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40 درجه | 7 | 14 | 21 |
50 درجه | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39 درجه | 7 | 14 | 22 |
51 درجه | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38 درجه | 8 | 15 | 23 |
52 درجه | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37 درجه | 8 | 16 | 24 |
53 درجه | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36 درجه | 8 | 16 | 25 |
54 درجه | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35 درجه | 9 | 17 | 26 |
55 درجه | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34 درجه | 9 | 18 | 27 |
56 درجه | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33 درجه | 10 | 19 | 29 |
57 درجه | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32 درجه | 10 | 20 | 30 |
58 درجه | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31 درجه | 11 | 21 | 32 |
59 درجه | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30 درجه | 11 | 23 | 34 |
60 درجه | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29 درجه | 1 | 2 | 4 |
61 درجه | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28 درجه | 1 | 3 | 4 |
62 درجه | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27 درجه | 1 | 3 | 4 |
63 درجه | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26 درجه | 1 | 3 | 4 |
64 درجه | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25 درجه | 2 | 3 | 5 |
65 درجه | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24 درجه | 2 | 3 | 5 |
66 درجه | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23 درجه | 2 | 4 | 5 |
67 درجه | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22 درجه | 2 | 4 | 6 |
68 درجه | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21 درجه | 2 | 4 | 6 |
69 درجه | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20 درجه | 2 | 5 | 7 |
70 درجه | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19 درجه | 3 | 5 | 8 |
71 درجه | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18 درجه | 3 | 6 | 9 |
72 درجه | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17 درجه | 3 | 6 | 10 |
73 درجه | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16 درجه | 4 | 7 | 11 | |||||||
74 درجه | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15 درجه | 4 | 8 | 13 | |||||||
75 درجه | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14 درجه | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
نحوه استفاده از جداول برادیس
جدول Bradis را برای سینوس ها و کسینوس ها در نظر بگیرید. همه چیز مربوط به سینوس ها در بالا و سمت چپ است. اگر به کسینوس نیاز داریم، به سمت راست در پایین جدول نگاه کنید.
برای یافتن مقادیر سینوس یک زاویه، باید تقاطع ردیف حاوی تعداد درجه مورد نیاز را در سمت چپ ترین سلول و ستون حاوی تعداد دقیقه لازم را در سلول بالا پیدا کنید.
اگر مقدار دقیق زاویه در جدول برادیس نباشد، به اصلاحات متوسل می شویم. اصلاحات یک، دو و سه دقیقه در سمت راست ترین ستون جدول آورده شده است. برای یافتن مقدار سینوس زاویه ای که در جدول نیست، نزدیک ترین مقدار را به آن می یابیم. پس از این، تصحیح مربوط به اختلاف زاویه ها را اضافه یا کم می کنیم.
اگر به دنبال سینوس زاویه ای بزرگتر از 90 درجه هستیم، ابتدا باید از فرمول های کاهش استفاده کنیم و فقط از جدول Bradis استفاده کنیم.
مثال. نحوه استفاده از جدول برادیس
فرض کنید باید سینوس زاویه 17 درجه و 44 اینچ را پیدا کنیم. با استفاده از جدول، سینوس 17 درجه و 42 اینچ برابر است و یک تصحیح دو دقیقه ای به مقدار آن اضافه می کنیم:
17°44" - 17°42" = 2" (اصلاح ضروری) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0. 3046
اصل کار با کسینوس، مماس و کوتانژانت مشابه است. با این حال، مهم است که نشانه اصلاحات را به خاطر بسپارید.
مهم!
هنگام محاسبه مقادیر سینوس ها، تصحیح دارای علامت مثبت است و هنگام محاسبه کسینوس، تصحیح باید با علامت منفی گرفته شود.
اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید
توابع اصلی مثلثاتی عبارتند از: سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت، سکانت و کوسکانت. بر این اساس مماس یک زاویه در مثلثات به عنوان یک تابع مثلثاتی تعریف می شود که نسبت سینوس این زاویه به کسینوس همان زاویه را بیان می کند. اگر تعیین مماس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه ضروری باشد، می توان آن را به صورت هندسی محاسبه کرد، زیرا مماس در این حالت برابر با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور مثلث قائم الزاویه خواهد بود. خود اصطلاح "مماس" از زبان لاتین وام گرفته شده است. مماس با حروف لاتین نشان داده می شود. مماس یک زاویه x به عنوان "tg x" نشان داده می شود، اگرچه ریاضیدانان غربی به طور سنتی مماس را با مخفف کلمه انگلیسی نشان می دهند: مماس زاویه x در آنجا به عنوان "tan x" نشان داده می شود.
مماس 30 درجه چقدر است؟
با توجه به اینکه مماس یک زاویه برابر است با نسبت سینوس یک زاویه به کسینوس همان زاویه، مماس زاویه 30 درجه را می توان با تقسیم مقدار سینوس یک زاویه به دست آورد. 30 درجه با مقدار کسینوس همان زاویه. مماس برابر با 0.5774 خواهد بود.
مماس 60 درجه چقدر است؟
مماس زاویه 60 درجه به روشی مشابه محاسبه می شود: با تقسیم سینوس زاویه 60 درجه بر مقدار کسینوس همان زاویه عدد 1.7321 بدست می آید که مماس 60 درجه است.
مماس 45 درجه چقدر است؟
از آنجایی که مقدار سینوس زاویه 45 درجه برابر با مقدار کسینوس همان زاویه است، مقدار مماس زاویه 45 درجه که از تقسیم سینوس بر کسینوس به دست می آید، یک (مماس) به دست می دهد. برابر با 1 است).
مماس 90 درجه چقدر است؟
محاسبه مماس زاویه 90 درجه غیرممکن است، زیرا کسینوس زاویه 90 درجه برابر با صفر است و یکی از قوانین اساسی تقسیم این قانون است که "شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید" در حالی که مماس در این حالت باید با تقسیم سینوس بر کسینوس یعنی به صفر بدست آید. مقدار مماس 90 درجه مشخص نشده است.
مماس 120 درجه چقدر است؟
به همین ترتیب، با محاسبه مماس زاویه 120 درجه، می توانید عدد 1.7321- (منفی) را بدست آورید که مماس زاویه 120 درجه خواهد بود.
مماس 0 درجه چیست؟
با توجه به اینکه سینوس زاویه 0 درجه برابر با صفر و کسینوس همان زاویه برابر با 1 است، مماس از تقسیم صفر بر یک به دست می آید که 0 به دست می آید. مماس 0 درجه برابر است با بنابراین برابر با 0 است.
مماس 135 درجه چقدر است؟
مماس 135 درجه با استفاده از حساب مشابه برابر با 1- (منهای یک) است.
توجه داشته باشید: همچنین ببینید جدول مقادیر توابع مثلثاتیزوایای دیگر.
سینوس، کسینوس، مماس زاویه 45 درجه (sin 45، cos 45، tg 45)
مقادیر جدول سینوس 45، کسینوس 45 و مماس 45 درجهنشان داد . در ادامه روش و صحت محاسبه این مقادیر برای یک مثلث قائم الزاویه دلخواه توضیح داده شده است.
45 درجه π/4 رادیان است. فرمول های مقادیر کسینوس، سینوس و مماس پی/4 رادیان در زیر آورده شده است (اگرچه آنها یکسان هستند).
یعنی مثلا tan π/4 = برنزه 45درجه
مقادیر توابع مثلثاتی در α=45 درجه
چگونه به طور مستقل مقادیر sin cos tg 45 درجه را محاسبه کنیم؟
بیایید یک مثلث قائم الزاویه ABC بسازیم و در نظر بگیریم که زاویه آن ∠ B = 45 درجه. بر اساس نسبت اضلاع آن، مقادیر توابع مثلثاتی را در یک مثلث قائم الزاویه برای زاویه 45 درجه محاسبه می کنیم. از آنجایی که مثلث قائم الزاویه است، مقادیر توابع سینوس، کسینوس و مماس برابر با نسبت اضلاع متناظر آن خواهد بود.
از آنجایی که مقادیر توابع سینوس، کسینوس و مماس منحصراً به درجه اندازه گیری زاویه (یا مقدار بیان شده در رادیان) بستگی دارد، نسبت هایی که ما پیدا کردیم مقادیر تابع سینوس 45، کسینوس 45 خواهد بود. و مماس 45 درجه.
با توجه به خواص مثلث قائم الزاویه، زاویه C قائم الزاویه و برابر با 90 درجه است. ما در ابتدا زاویه B را با اندازه گیری درجه 45 درجه ساختیم. بیایید مقدار زاویه A را پیدا کنیم.از آنجایی که مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است، پس
∠
A+ ∠
B + ∠
C = 180 درجه
زاویه C راست و برابر با 90 درجه است، زاویه B را در ابتدا 45 درجه تعریف کردیم، بنابراین:
∠
A = 180 درجه - ∠
با - ∠
B = 180 درجه - 90 درجه - 45 درجه = 45 درجه
از آنجایی که این مثلث دارای دو زاویه برابر با یکدیگر است، پس مثلث ABC است مستطیل شکل و در عین حال متساوی الساقین، که در آن هر دو پا با یکدیگر برابر هستند: AC = BC.
فرض کنید طول اضلاع برابر با یک عدد مشخص AC = BC = a باشد. با دانستن طول پاها، طول هیپوتنوز را محاسبه می کنیم.
طبق قضیه فیثاغورث: AB 2 = AC 2 + BC 2
بیایید طول های AC و BC را با متغیر a جایگزین کنیم، سپس به دست می آوریم:
AB 2 = a 2 + a 2 = 2a 2،
سپس AB=a √ 2.
در نتیجه طول همه طرف ها را بیان کردیمیک مثلث قائم الزاویه با زاویه 45 درجه از طریق متغیر a.
با توجه به خواص توابع مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه نسبت اضلاع متناظر مثلث برابر با مقدار توابع مربوطه خواهد بود. بنابراین، برای زاویه α = 45 درجه:
sin α = قبل از میلاد / AB(طبق تعریف سینوس برای مثلث قائم الزاویه، این نسبت پای مقابل به هیپوتنوز، BC - ساق، AB - هیپوتنوز است)
cos α = AC / AB(طبق تعریف کسینوس، این نسبت پای مجاور به هیپوتنوز، AC ساق، AB هیپوتنوز است)
tg α = قبل از میلاد / AC(به طور مشابه، مماس زاویه α برابر با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور خواهد بود)
به جای تعیین اضلاع، مقادیر طول آنها را از طریق متغیر a جایگزین می کنیم.
بر این اساس (جدول مقادیر را ببینید sin 45, cos 45, tg 45) ما گرفتیم:
مقادیر جدول sin 45, cos 45, tg 45(یعنی ارزش سینوس 45، کسینوس 45 و مماس 45درجه را می توان به عنوان نسبت اضلاع متناظر یک مثلث معین محاسبه کرد)، مقادیر طول ضلع های محاسبه شده در بالا را در فرمول ها جایگزین می کنیم و نتیجه را در تصویر زیر می گیریم.
مقادیر جدول: سینوس 45، کسینوس 45 و مماس 45 درجه
بدین ترتیب:
- مماس 45 درجه برابر با یک است
- سینوس 45 درجه برابر است با کسینوس 45 درجه و برابر است با ریشه دو در نصف (همانطور که یک تقسیم بر ریشه دو)
همانطور که از محاسبات داده شده در بالا مشاهده می شود، برای محاسبه مقادیر تابع مثلثاتی مربوطه، طول اضلاع مثلث مهم نیست، بلکه نسبت آنها است که همیشه برای همان زاویه ها یکسان است. ، صرف نظر از اندازه یک مثلث خاص.
سینوس، کسینوس و مماس π/4 رادیان
در مسائل پیشنهادی برای حل در دبیرستان و در آزمون آموزش خارجی / آزمون یکپارچه دولتی، به جای اندازه گیری درجه یک زاویه، اغلب با نشانه ای از بزرگی آن مواجه می شویم که بر حسب رادیان اندازه گیری می شود. اندازه گیری زاویه که بر حسب رادیان بیان می شود بر اساس عدد پی است که وابستگی محیط دایره را به قطر آن بیان می کند.
برای سهولت درک، توصیه می کنم به خاطر بسپارید اصل ساده برای تبدیل درجه به رادیان. قطر یک دایره قوس 180 درجه را می پوشاند. بنابراین رادیان پی برابر با 180 درجه خواهد بود. از آنجا به راحتی می توان هر درجه یک زاویه را به رادیان تبدیل کرد و بالعکس.
بیایید آن را در نظر بگیریم زاویه 45 درجه بر حسب رادیان بیان می شود، برابر است با (180 / 45 = 4) π/4 (pi ضربدر چهار). بنابراین، مقادیری که ما پیدا کردیم برای همان درجه اندازه گیری زاویه درست هستند که بر حسب رادیان بیان می شوند:
- مماس π/4(pi بیش از چهار) برابر است با یک
- سینوس π/4(pi ضربدر چهار) درجه برابر است با کسینوس π/4درجه و برابر است با ریشه دو در نصف
جدول مماس یکی از چهار جدول مثلثاتی پرکاربرد در کتاب جدول بردیس است. حتی اگر مماس و کوتانژانت اساساً مشتقاتی از سینوس و کسینوس هستند، اغلب مفید است که مقادیر محاسبهشده آماده برای مماسها داشته باشیم.
توابع مثلثاتی و اهمیت آنها در مطالعه هندسه
در هندسه توابع مثلثاتی نقش ویژه ای ایفا می کنند که به کمک آن ها نحوه ارتباط اضلاع و زوایای مثلث قائم الزاویه را با یکدیگر مشخص می کنند. البته مثلثات ثابت نمی ماند و از زمان اقلیدس بسیار جلو رفته است و اکنون می توان این توابع را از طریق حل معادلات دیفرانسیل بیان کرد.
در حال حاضر در حال استفاده است شش نماد برای توابع مثلثاتی اساسی و چهار تابع از شش تابع، که آخرین آنها در ردیف هستند، نه تنها با استفاده از هندسه قابل تعیین هستند.
سینوسی (گناه)
کسینوس
(cos)
مماس (tg/tan)
کوتانژانت (ctg/تخت نوزاد)
سکنت
(ثانیه)
Cosecant (cosec/csc) .
بیایید خود مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیریم.
در این مثلث سه زاویه وجود دارد که با α، β، γ نشان داده می شوند که γ همیشه 90 درجه است. ضلعی که در مقابل زاویه راست γ قرار دارد، هیپوتنوس نامیده می شود، آن را با حرف C نشان می دهیم. زاویه α، که تمام محاسبات از آن شروع می شود، در مقابل ضلع a / BC / قرار دارد که مخالف این زاویه و ضلع b / AC نامیده می شود. / که نزدیک است تابع این زاویه است و مجاور نامیده می شود.
بر اساس نظریه اقلیدسی که همچنان صادق است (و همیشه صادق خواهد بود) مجموع زوایای چنین مثلثی که در همان صفحه قرار دارد برابر با 180 یا عدد π خواهد بود. و مقدار هر زاویه ای بین 0 و π /2 خواهد بود.
سپس توابع مثلثاتی را می توان بر حسب ابعاد اضلاع این مثلث بیان کرد. از آنجایی که زاویه α هم در الفبای یونانی و هم در مثلث ما اولین است، آشنایی خود را با توابع از این زاویه آغاز می کنیم.
- سینوس α از طریق نسبت پایی که در مقابل این زاویه قرار دارد به هیپوتنوز مثلث ما بیان می شود، یعنی sin α = a: c.
- کسینوس α از طریق نسبت ساق که در مجاورت زاویه α است و هیپوتانوس c، cos α = b: c بیان می شود. به هر حال، sin β = α: с، که به ما اجازه می دهد بپذیریم که sin α برابر است با cos β و بنابراین sin β برابر است با cos α.
- مماس α برابر ضریب نسبت ضلع مقابل a به ضلع مجاور b : tg α = a: b.
- کتانژانت زاویه α بر این اساس برابر است با ctg α = b: a.
- مقطع زاویه α نسبت هیپوتنوز مثلث به ساق مجاور این زاویه است sec α = c: b.
- همزمان زاویه α نسبت هیپوتنوز یک مثلث به پایه ای است که در مقابل زاویه قرار دارد، cosecα = c: a.
این توابع را می توان از طریق یک دایره با تعیین یک سیستم مختصات نیز بیان کرد. ما یک سیستم مختصات را با مرکز در نقطه O تنظیم می کنیم. زاویه ای که از طریق آن قطعه OA نشان داده شده در نقاشی می چرخد، دلخواه در نظر گرفته می شود، اجازه دهید آن را θ بنامیم.
سپس مماس این زاویه θ را نسبت مختصات نقطه A روی دایره به ابسیسا در نظر می گیرند. بنابراین، اگر ctg α = b: a، و AC = sin θ، OS = cos θ، پس tanθ = sin θ: cos θ. به طور مشابه، cos θ = cos θ: sin θ یا 1: tanθ را بدست می آوریم.