مطالعه تابع y 4x x 2. مسائل از مجموعه کوزنتسوف L

حل کننده کوزنتسوف.
نمودارهای III

وظیفه 7. یک مطالعه کامل از تابع انجام دهید و نمودار آن را بسازید.

        قبل از شروع دانلود گزینه های خود، سعی کنید مشکل را مطابق مثال زیر برای گزینه 3 حل کنید. برخی از گزینه ها با فرمت rar. آرشیو شده اند.

        7.3 مطالعه کاملی از تابع انجام دهید و آن را رسم کنید

راه حل.

        1) محدوده تعریف:         یا        ، یعنی        .
.
بنابراین:         .

        2) هیچ نقطه تقاطعی با محور Ox وجود ندارد. در واقع، معادله         هیچ راه حلی ندارد.
هیچ نقطه تقاطعی با محور Oy وجود ندارد، زیرا        .

        3) تابع نه زوج است و نه فرد. هیچ تقارنی در مورد محور ترتیب وجود ندارد. همچنین هیچ تقارنی در مورد مبدا وجود ندارد. زیرا
.
می بینیم که         و          .

        4) تابع در حوزه تعریف پیوسته است
.

; .

; .
در نتیجه، نقطه         یک نقطه ناپیوستگی از نوع دوم (ناپیوستگی بی نهایت) است.

5) مجانب عمودی:       

بیایید مجانب اریب         را پیدا کنیم. اینجا

;
.
در نتیجه، ما یک مجانب افقی داریم: y=0. هیچ مجانب مایل وجود ندارد.

        6) بیایید اولین مشتق را پیدا کنیم. مشتق اول:
.
و به همین دلیل
.
بیایید نقاط ثابتی را پیدا کنیم که مشتق آن برابر با صفر است، یعنی
.

        7) بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم. مشتق دوم:
.
و این به راحتی قابل بررسی است، زیرا

چگونه یک تابع را مطالعه کرده و نمودار آن را بسازیم؟

به نظر می رسد که من در حال درک چهره معنوی رهبر پرولتاریای جهانی، نویسنده آثار گردآوری شده در 55 جلد هستم... سفر طولانی با اطلاعات اولیه در مورد شروع شد توابع و نمودارها، و اکنون کار بر روی یک موضوع کار فشرده با یک نتیجه منطقی به پایان می رسد - یک مقاله در مورد مطالعه کامل تابع. وظیفه مدتها مورد انتظار به شرح زیر است:

یک تابع را با استفاده از روش های حساب دیفرانسیل مطالعه کنید و نمودار آن را بر اساس نتایج مطالعه بسازید

یا به طور خلاصه: تابع را بررسی کنید و یک نمودار بسازید.

چرا کاوش کنیم؟در موارد ساده، درک توابع ابتدایی و رسم نمودار به دست آمده با استفاده از آن برای ما دشوار نخواهد بود تحولات هندسی ابتداییو غیره با این حال، ویژگی‌ها و نمایش‌های گرافیکی توابع پیچیده‌تر چندان واضح نیستند، به همین دلیل است که یک مطالعه کامل مورد نیاز است.

مراحل اصلی راه حل در مواد مرجع خلاصه شده است طرح مطالعه تابع، این راهنمای شما برای این بخش است. آدمک ها نیاز به توضیح گام به گام درباره یک موضوع دارند، برخی از خوانندگان نمی دانند از کجا شروع کنند یا چگونه تحقیق خود را سازماندهی کنند، و دانش آموزان پیشرفته ممکن است فقط به چند نکته علاقه مند شوند. اما بازدید کننده عزیز هر که هستید، خلاصه پیشنهادی با اشاره به دروس مختلف به سرعت شما را جهت گیری و در جهت علاقه راهنمایی می کند. ربات ها اشک می ریزند =) راهنما به صورت فایل پی دی اف قرار داده شده و جایگاه واقعی خود را در صفحه گرفته است. فرمول ها و جداول ریاضی.

من عادت دارم تحقیقات یک تابع را به 5-6 نقطه تقسیم کنم:

6) امتیاز و نمودار اضافی بر اساس نتایج تحقیق.

در مورد اقدام نهایی، من فکر می کنم همه چیز برای همه روشن است - اگر در عرض چند ثانیه خط کشیده شود و کار برای تجدید نظر برگردانده شود، بسیار ناامید کننده خواهد بود. یک نقاشی صحیح و دقیق نتیجه اصلی راه حل است! احتمالاً خطاهای تحلیلی را "پوشانده" می کند، در حالی که یک برنامه نادرست و/یا بی دقتی حتی با یک مطالعه کاملاً انجام شده باعث ایجاد مشکلاتی می شود.

لازم به ذکر است که در منابع دیگر تعداد نکات تحقیق، ترتیب اجرای آنها و سبک طراحی ممکن است به طور قابل توجهی با طرح پیشنهادی من متفاوت باشد، اما در اکثر موارد کاملاً کافی است. ساده‌ترین نسخه این مسئله فقط از 2-3 مرحله تشکیل شده است و چیزی شبیه به این فرمول‌بندی شده است: "با استفاده از مشتق تابع را بررسی کنید و یک نمودار بسازید" یا "با استفاده از مشتقات 1 و 2 تابع را بررسی کنید، یک نمودار بسازید."

به طور طبیعی، اگر کتابچه راهنمای شما الگوریتم دیگری را با جزئیات توصیف می کند یا معلم شما به شدت از شما می خواهد که به سخنرانی های او پایبند باشید، باید تنظیماتی را در راه حل انجام دهید. سخت تر از تعویض چنگال اره برقی با قاشق نیست.

بیایید تابع را برای زوج/فرد بررسی کنیم:

این با یک پاسخ الگو همراه است:
، یعنی این تابع زوج یا فرد نیست.

از آنجایی که تابع روی پیوسته است، هیچ مجانبی عمودی وجود ندارد.

مجانب مایل نیز وجود ندارد.

توجه داشته باشید : به شما یادآوری می کنم که بالاتر ترتیب رشد, از , بنابراین حد نهایی دقیقا” به علاوهبی نهایت."

بیایید دریابیم که تابع در بی نهایت چگونه رفتار می کند:

به عبارت دیگر، اگر به سمت راست برویم، نمودار بی نهایت به سمت بالا می رود، اگر به سمت چپ برویم، بی نهایت به سمت پایین می رود. بله، در یک ورودی نیز دو محدودیت وجود دارد. اگر در رمزگشایی علائم مشکل دارید، لطفاً به درس مربوطه مراجعه کنید توابع بی نهایت کوچک.

بنابراین تابع از بالا محدود نیستو از پایین محدود نمی شود. با توجه به اینکه نقطه شکست نداریم، مشخص می شود محدوده عملکرد: – همچنین هر عدد واقعی.

تکنیک فنی مفید

هر مرحله از کار اطلاعات جدیدی در مورد نمودار تابع به ارمغان می آوردبنابراین، در حین حل، استفاده از نوعی LAYOUT راحت است. بیایید یک سیستم مختصات دکارتی را روی یک پیش نویس رسم کنیم. چه چیزی قبلاً با اطمینان شناخته شده است؟ اولاً، نمودار مجانبی ندارد، بنابراین نیازی به ترسیم خطوط مستقیم نیست. ثانیاً، ما می دانیم که تابع در بی نهایت چگونه رفتار می کند. با توجه به تجزیه و تحلیل، ما اولین تقریب را ترسیم می کنیم:

لطفا توجه داشته باشید که به دلیل تداومتابع روشن است و این واقعیت که نمودار باید حداقل یک بار از محور عبور کند. یا شاید چندین نقطه تقاطع وجود دارد؟

3) صفرهای تابع و فواصل علامت ثابت.

ابتدا نقطه تلاقی گراف با محور ارتین را پیدا می کنیم. ساده است. محاسبه مقدار تابع در موارد زیر ضروری است:

یک و نیم بالاتر از سطح دریا.

برای یافتن نقاط تقاطع با محور (صفرهای تابع)، باید معادله را حل کنیم و در اینجا یک شگفتی ناخوشایند در انتظار ما است:

در پایان یک عضو رایگان در کمین است که کار را بسیار دشوارتر می کند.

چنین معادله ای حداقل یک ریشه واقعی دارد و اغلب این ریشه غیرمنطقی است. در بدترین افسانه، سه خوک کوچک منتظر ما هستند. معادله با استفاده از به اصطلاح قابل حل است فرمول های کاردانو، اما آسیب به کاغذ تقریباً با کل مطالعه قابل مقایسه است. در این زمینه، عاقلانه تر است که سعی کنید حداقل یکی را به صورت شفاهی یا پیش نویس انتخاب کنید. کلریشه بیایید بررسی کنیم که آیا این اعداد عبارتند از:
- مناسب نیست؛
- وجود دارد!

خوش شانس اینجا. در صورت شکست، شما همچنین می توانید تست کنید، و اگر این اعداد مطابقت ندارند، می ترسم که شانس بسیار کمی برای یک راه حل سودآور برای معادله وجود داشته باشد. سپس بهتر است از موضوع تحقیق به طور کامل صرف نظر کنید - شاید در مرحله نهایی، زمانی که نکات اضافی شکسته می شوند، چیزی واضح تر شود. و اگر ریشه (ها) به وضوح "بد" هستند، پس بهتر است در مورد فواصل پایداری علائم سکوت کنید و با دقت بیشتری ترسیم کنید.

با این حال، ما یک ریشه زیبا داریم، بنابراین چند جمله ای را تقسیم می کنیم بدون باقی مانده:

الگوریتم تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای در اولین مثال درس به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. محدودیت های پیچیده.

در نتیجه، سمت چپ معادله اصلی به محصول تجزیه می شود:

و اکنون کمی در مورد سبک زندگی سالم. من البته این را درک می کنم معادلات درجه دومباید هر روز حل شود، اما امروز یک استثنا قائل می شویم: معادله دو ریشه واقعی دارد

اجازه دهید مقادیر یافت شده را روی خط اعداد رسم کنیم و روش فاصلهبیایید علائم تابع را تعریف کنیم:


og بنابراین، در فواصل برنامه زمان بندی قرار گرفته است
زیر محور x، و در فواصل - بالای این محور

یافته‌ها به ما امکان می‌دهند طرح‌بندی خود را اصلاح کنیم، و تقریب دوم نمودار به این صورت است:

لطفاً توجه داشته باشید که یک تابع باید حداقل یک حداکثر در یک بازه و حداقل یک حداقل در یک بازه داشته باشد. اما ما هنوز نمی دانیم که برنامه چند بار، کجا و چه زمانی حلقه می شود. به هر حال، یک تابع می تواند بی نهایت تعداد زیادی داشته باشد افراط.

4) افزایش، کاهش و افراطی تابع.

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:

این معادله دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را روی خط اعداد قرار دهیم و علائم مشتق را مشخص کنیم:


بنابراین، تابع افزایش می یابد و کاهش می یابد.
در نقطه ای که تابع به حداکثر خود می رسد: .
در نقطه ای که تابع به حداقل می رسد: .

حقایق ثابت شده الگوی ما را به یک چارچوب نسبتاً سفت وادار می کند:

نیازی به گفتن نیست که حساب دیفرانسیل چیز قدرتمندی است. بیایید در نهایت شکل نمودار را درک کنیم:

5) نقاط تحدب، تقعر و عطف.

بیایید نقاط بحرانی مشتق دوم را پیدا کنیم:

بیایید علائم را تعریف کنیم:


نمودار تابع روی محدب و روی مقعر است. ترتیب نقطه عطف را محاسبه می کنیم: .

تقریباً همه چیز روشن شده است.

6) یافتن نکات اضافی باقی مانده است که به شما کمک می کند تا نمودار را با دقت بیشتری بسازید و خودآزمایی انجام دهید. در این مورد تعداد کمی از آنها وجود دارد، اما ما از آنها غافل نخواهیم شد:

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

نقطه عطف با رنگ سبز مشخص شده است، نقاط اضافی با ضربدر مشخص شده اند. نمودار یک تابع مکعبی متقارن در مورد نقطه عطف آن است که همیشه دقیقاً در وسط بین حداکثر و حداقل قرار دارد.

همانطور که تکلیف پیش رفت، من سه نقشه موقت فرضی ارائه کردم. در عمل کافی است یک سیستم مختصات رسم کنید، نقاط پیدا شده را علامت گذاری کنید و بعد از هر نقطه تحقیق به طور ذهنی تخمین بزنید که نمودار تابع چگونه می تواند باشد. برای دانش آموزانی که سطح آمادگی خوبی دارند، انجام چنین تحلیلی صرفاً در ذهن خود بدون درگیر کردن پیش نویس دشوار نخواهد بود.

برای اینکه خودتان آن را حل کنید:

مثال 2

تابع را کاوش کرده و یک نمودار بسازید.

اینجا همه چیز سریعتر و سرگرم کننده تر است، یک نمونه تقریبی از طراحی نهایی در پایان درس.

مطالعه توابع گویا کسری اسرار بسیاری را آشکار می کند:

مثال 3

برای مطالعه یک تابع از روش های حساب دیفرانسیل استفاده کنید و بر اساس نتایج مطالعه، نمودار آن را بسازید.

راه حل: مرحله اول مطالعه با هیچ چیز قابل توجهی متمایز نمی شود، به استثنای یک سوراخ در ناحیه تعریف:

1) تابع در کل خط عددی به جز نقطه تعریف شده و پیوسته است. دامنه: .

، یعنی این تابع زوج یا فرد نیست.

واضح است که تابع غیر تناوبی است.

نمودار تابع دو شاخه پیوسته را نشان می دهد که در نیم صفحه چپ و راست قرار دارند - این شاید مهمترین نتیجه گیری از نقطه 1 باشد.

2) مجانب، رفتار یک تابع در بی نهایت.

الف) با استفاده از محدودیت های یک طرفه، ما رفتار تابع را در نزدیکی یک نقطه مشکوک بررسی می کنیم، جایی که باید به وضوح یک مجانب عمودی وجود داشته باشد:

در واقع، عملکردها ماندگار هستند شکاف بی پایاندر نقطه
و خط مستقیم (محور) است مجانب عمودیهنرهای گرافیکی .

ب) بیایید بررسی کنیم که آیا مجانب مایل وجود دارد یا خیر:

بله مستقیم است مجانب مایلگرافیک , اگر .

تحلیل محدودیت ها بی معنی است، زیرا از قبل واضح است که تابع مجانب مایل خود را در بر می گیرد. از بالا محدود نیستو از پایین محدود نمی شود.

دومین نکته تحقیقاتی اطلاعات مهم زیادی در مورد عملکرد به دست داد. بیایید یک طرح کلی انجام دهیم:

نتیجه گیری شماره 1 مربوط به فواصل علامت ثابت است. در "منهای بی نهایت" نمودار تابع به وضوح در زیر محور x قرار دارد و در "بعلاوه بی نهایت" بالای این محور قرار دارد. علاوه بر این، حدود یک طرفه به ما گفت که هم در سمت چپ و هم در سمت راست نقطه، تابع نیز بزرگتر از صفر است. لطفاً توجه داشته باشید که در نیم صفحه سمت چپ نمودار باید حداقل یک بار از محور x عبور کند. ممکن است هیچ صفری از تابع در نیم صفحه سمت راست وجود نداشته باشد.

نتیجه شماره 2 این است که تابع در و سمت چپ نقطه افزایش می یابد (از پایین به بالا می رود). در سمت راست این نقطه، تابع کاهش می یابد (از بالا به پایین می رود). شاخه سمت راست نمودار قطعا باید حداقل یک حداقل داشته باشد. در سمت چپ، افراط تضمین نمی شود.

نتیجه گیری شماره 3 اطلاعات قابل اعتمادی در مورد تقعر نمودار در مجاورت نقطه ارائه می دهد. ما هنوز نمی‌توانیم در مورد تحدب/تعرفه در بی‌نهایت‌ها چیزی بگوییم، زیرا یک خط را می‌توان هم از بالا و هم از پایین به مجانب آن فشار داد. به طور کلی، در حال حاضر یک روش تحلیلی برای فهمیدن این موضوع وجود دارد، اما شکل نمودار در مرحله بعد واضح تر خواهد شد.

چرا این همه کلمه؟ برای کنترل نکات تحقیقاتی بعدی و جلوگیری از اشتباه! محاسبات بیشتر نباید با نتایج به دست آمده مغایرت داشته باشد.

3) نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات، فواصل علامت ثابت تابع.

نمودار تابع محور را قطع نمی کند.

با استفاده از روش فاصله، علائم را تعیین می کنیم:

، اگر ؛
، اگر .

نتایج این نکته کاملاً با نتیجه گیری شماره 1 مطابقت دارد. پس از هر مرحله، به پیش نویس نگاه کنید، تحقیق را به صورت ذهنی بررسی کنید و نمودار تابع را کامل کنید.

در مثالی که در نظر گرفته می شود، صورت به ترم بر مخرج تقسیم می شود که برای تمایز بسیار مفید است:

در واقع، این قبلاً هنگام یافتن مجانبی انجام شده است.

- نقطه بحرانی.

بیایید علائم را تعریف کنیم:

افزایش می یابد و کاهش می یابد

در نقطه ای که تابع به حداقل می رسد: .

همچنین هیچ مغایرتی با نتیجه گیری شماره 2 وجود نداشت و به احتمال زیاد ما در مسیر درستی هستیم.

این بدان معنی است که نمودار تابع در کل دامنه تعریف مقعر است.

عالی - و نیازی به کشیدن چیزی ندارید.

هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

تقعر مطابق با نتیجه شماره 3 است، علاوه بر این، نشان می دهد که در بی نهایت (هم آنجا و هم آنجا) نمودار تابع قرار دارد. بالاترمجانب مایل آن

6) وظیفه را با وجدان با نکات اضافی پین می کنیم. اینجاست که ما باید سخت کار کنیم، زیرا فقط دو نکته را از تحقیق می دانیم.

و تصویری که احتمالا خیلی ها مدت ها پیش تصورش را می کردند:

در حین اجرای کار، باید به دقت اطمینان حاصل کنید که هیچ تناقضی بین مراحل تحقیق وجود ندارد، اما گاهی اوقات وضعیت فوری یا حتی به شدت بن بست است. تجزیه و تحلیل "با هم جمع نمی شود" - این همه چیز است. در این مورد، من یک تکنیک اضطراری را توصیه می کنم: تا جایی که ممکن است نقاط مربوط به نمودار را پیدا می کنیم (به همان اندازه که صبر داریم) و آنها را در صفحه مختصات علامت گذاری می کنیم. تجزیه و تحلیل گرافیکی مقادیر یافت شده در بیشتر موارد به شما می گوید که کجا حقیقت است و کجا نادرست است. علاوه بر این، نمودار را می توان با استفاده از برخی برنامه ها، به عنوان مثال، در اکسل از پیش ساخته شد (البته، این نیاز به مهارت دارد).

مثال 4

از روش های حساب دیفرانسیل برای مطالعه یک تابع و ساخت نمودار آن استفاده کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. در آن، خودکنترلی با برابری تابع افزایش می‌یابد - نمودار متقارن با محور است، و اگر چیزی در تحقیقات شما وجود دارد که با این واقعیت مغایرت دارد، به دنبال خطا باشید.

یک تابع زوج یا فرد را می توان فقط در , مطالعه کرد و سپس از تقارن نمودار استفاده کرد. این راه حل بهینه است، اما، به نظر من، بسیار غیر معمول به نظر می رسد. من شخصاً به کل خط اعداد نگاه می کنم ، اما هنوز نقاط اضافی را فقط در سمت راست پیدا می کنم:

مثال 5

یک مطالعه کامل از تابع انجام دهید و نمودار آن را بسازید.

راه حل: اوضاع سخت شد:

1) تابع در کل خط اعداد تعریف شده و پیوسته است: .

این بدان معنی است که این تابع فرد است، نمودار آن نسبت به مبدا متقارن است.

واضح است که تابع غیر تناوبی است.

2) مجانب، رفتار یک تابع در بی نهایت.

از آنجایی که تابع روی پیوسته است، هیچ مجانبی عمودی وجود ندارد

برای تابعی که دارای توان است، معمولی است جداگانه، مجزامطالعه "به علاوه" و "منهای بی نهایت"، با این حال، زندگی ما با تقارن نمودار آسان تر می شود - یا مجانبی در سمت چپ و راست وجود دارد، یا وجود ندارد. بنابراین، هر دو حد نامتناهی را می توان تحت یک ورودی نوشت. در طول محلول ما استفاده می کنیم قانون L'Hopital:

خط مستقیم (محور) مجانب افقی نمودار در .

لطفاً توجه داشته باشید که چگونه من با حیله از الگوریتم کامل برای یافتن مجانب مایل اجتناب کردم: حد کاملاً قانونی است و رفتار تابع را در بی نهایت روشن می کند و مجانب افقی "گویی در همان زمان" کشف شد.

از تداوم در و وجود مجانب افقی نتیجه می شود که تابع در بالا محدود شده استو در زیر محدود شده است.

3) نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات، فواصل علامت ثابت.

در اینجا نیز راه حل را کوتاه می کنیم:
نمودار از مبدا عبور می کند.

هیچ نقطه تقاطع دیگری با محورهای مختصات وجود ندارد. علاوه بر این، فواصل پایداری علامت واضح است و نیازی به ترسیم محور نیست: ، به این معنی که علامت تابع فقط به "x" بستگی دارد:
، اگر ؛
، اگر .

4) افزایش، کاهش، افراطی تابع.


- نقاط بحرانی.

نقاط متقارن در مورد صفر هستند، همانطور که باید باشد.

اجازه دهید علائم مشتق را تعیین کنیم:


تابع در یک بازه افزایش می یابد و در فواصل زمانی کاهش می یابد

در نقطه ای که تابع به حداکثر خود می رسد: .

با توجه به اموال (عجیب بودن تابع) حداقل نیازی به محاسبه نیست:

از آنجایی که تابع در بازه زمانی کاهش می یابد، پس واضح است که نمودار در "منهای بی نهایت" قرار دارد. زیرمجانب آن در طول بازه، تابع نیز کاهش می یابد، اما در اینجا برعکس است - پس از عبور از حداکثر نقطه، خط از بالا به محور نزدیک می شود.

از موارد فوق همچنین نتیجه می شود که نمودار تابع در "منهای بی نهایت" محدب و در "به علاوه بی نهایت" مقعر است.

پس از این نقطه مطالعه، محدوده مقادیر تابع ترسیم شد:

اگر از نکاتی سوء تفاهم دارید، یک بار دیگر از شما می‌خواهم که محورهای مختصات را در دفترچه یادداشت خود ترسیم کنید و با یک مداد در دست، هر نتیجه کار را دوباره تحلیل کنید.

5) تحدب، تقعر، پیچ خوردگی نمودار.

- نقاط بحرانی.

تقارن نقاط حفظ شده است و به احتمال زیاد ما اشتباه نمی کنیم.

بیایید علائم را تعریف کنیم:


نمودار تابع محدب است و مقعر در .

تحدب / تقعر در فواصل شدید تایید شد.

در تمام نقاط بحرانی پیچ خوردگی در نمودار وجود دارد. بیایید مختصات نقاط عطف را پیدا کنیم و دوباره تعداد محاسبات را با استفاده از عجیب بودن تابع کاهش دهیم:

اگر مسئله مستلزم مطالعه کامل تابع f (x) = x 2 4 x 2 - 1 با ساخت نمودار آن باشد، آنگاه این اصل را به تفصیل در نظر خواهیم گرفت.

برای حل مشکلی از این نوع، باید از ویژگی ها و نمودارهای توابع ابتدایی اولیه استفاده کنید. الگوریتم تحقیق شامل مراحل زیر است:

یافتن حوزه تعریف

از آنجایی که تحقیقات در حوزه تعریف تابع انجام می شود، لازم است از این مرحله شروع شود.

مثال 1

مثال داده شده شامل یافتن صفرهای مخرج به منظور حذف آنها از ODZ است.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

در نتیجه می توانید ریشه، لگاریتم و غیره را بدست آورید. سپس ODZ را می توان برای ریشه یک درجه زوج از نوع g (x) 4 با نابرابری g (x) ≥ 0، برای لاگ لگاریتمی a g (x) با نابرابری g (x) > 0 جستجو کرد.

مطالعه مرزهای ODZ و یافتن مجانب عمودی

مجانبی عمودی در مرزهای تابع وجود دارد، زمانی که حدود یک طرفه در چنین نقاطی بی نهایت باشد.

مثال 2

برای مثال، نقاط مرزی را برابر با x = ± 1 2 در نظر بگیرید.

سپس برای یافتن حد یک طرفه باید تابع را مطالعه کرد. سپس دریافت می کنیم که: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

این نشان می دهد که حدود یک طرفه بی نهایت هستند، به این معنی که خطوط مستقیم x = ± 1 2 مجانب عمودی نمودار هستند.

مطالعه یک تابع و زوج یا فرد بودن آن

وقتی شرط y (- x) = y (x) برآورده شود، تابع زوج در نظر گرفته می شود. این نشان می دهد که نمودار با توجه به Oy به صورت متقارن قرار دارد. وقتی شرط y (- x) = - y (x) برآورده شد، تابع فرد در نظر گرفته می شود. این بدان معنی است که تقارن نسبت به مبدأ مختصات است. اگر حداقل یک نابرابری ارضا نشود، تابعی از شکل کلی به دست می آوریم.

برابری y (- x) = y (x) نشان می دهد که تابع زوج است. هنگام ساخت، باید در نظر داشت که با توجه به Oy تقارن وجود خواهد داشت.

برای حل نابرابری، فواصل افزایش و کاهش به ترتیب با شرایط f " (x) ≥ 0 و f" (x) ≤ 0 استفاده می شود.

تعریف 1

نقاط ثابت- اینها نقاطی هستند که مشتق را صفر می کنند.

نقاط بحرانی- اینها نقاط داخلی از دامنه تعریف هستند که مشتق تابع برابر با صفر است یا وجود ندارد.

هنگام تصمیم گیری، نکات زیر باید در نظر گرفته شود:

• برای فواصل موجود افزایش و کاهش نابرابری های شکل f " (x) > 0، نقاط بحرانی در راه حل گنجانده نشده است.
• نقاطی که تابع بدون مشتق محدود تعریف می‌شود باید در بازه‌های افزایش و کاهش گنجانده شوند (به عنوان مثال، y = x 3، جایی که نقطه x = 0 تابع تعریف شده را می‌سازد، مشتق دارای مقدار بی‌نهایت در این است. نقطه، y " = 1 3 x 2 3، y "(0) = 1 0 = ∞، x = 0 در بازه افزایشی گنجانده شده است).
• برای جلوگیری از اختلاف نظر، استفاده از ادبیات ریاضی توصیه شده توسط وزارت آموزش و پرورش توصیه می شود.

درج نقاط بحرانی در فواصل افزایش و کاهش در صورتی که حوزه تعریف تابع را برآورده کنند.

تعریف 2

برای برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع، باید آن را پیدا کرد:

• مشتق؛
• نقاط بحرانی؛
• دامنه تعریف را با استفاده از نقاط بحرانی به فواصل تقسیم کنید.
• علامت مشتق را در هر یک از فواصل تعیین کنید، جایی که + افزایش و - کاهش است.

مثال 3

مشتق را در دامنه تعریف f " (x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - بیابید 1) 2.

راه حل

برای حل شما نیاز دارید:

• نقاط ثابت را پیدا کنید، این مثال x = 0 دارد.
• صفرهای مخرج را پیدا کنید، مثال مقدار صفر را در x = ± 1 2 می گیرد.

برای تعیین مشتق در هر بازه، نقاطی را روی محور اعداد قرار می دهیم. برای این کار کافی است هر نقطه ای را از بازه بردارید و یک محاسبه انجام دهید. اگر نتیجه مثبت باشد، + را روی نمودار نشان می‌دهیم که به معنای افزایش تابع و - به معنای کاهش است.

به عنوان مثال، f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0، به این معنی که اولین بازه سمت چپ دارای علامت + است. خط عددی را در نظر بگیرید.

پاسخ:

• تابع در بازه افزایش می یابد - ∞. - 1 2 و (- 1 2 ; 0 ] ;
• کاهش در فاصله [0; 1 2) و 1 2 ; + ∞ .

در نمودار با استفاده از + و - مثبت و منفی تابع نشان داده شده است و فلش ها نشان دهنده کاهش و افزایش هستند.

نقاط افراطی یک تابع نقاطی هستند که تابع در آنها تعریف می شود و مشتق از طریق آنها علامت تغییر می دهد.

مثال 4

اگر مثالی را در نظر بگیریم که x = 0، آنگاه مقدار تابع موجود در آن برابر با f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 است. هنگامی که علامت مشتق از + به - تغییر می کند و از نقطه x = 0 عبور می کند، نقطه دارای مختصات (0؛ 0) حداکثر نقطه در نظر گرفته می شود. هنگامی که علامت از - به + تغییر می کند، یک حداقل نقطه به دست می آوریم.

تحدب و تقعر با حل نابرابری های شکل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 تعیین می شود. نام محدب به جای تقعر به سمت پایین و به جای محدب نام تحدب رو به بالا که کمتر مورد استفاده قرار می گیرد.

تعریف 3

برای تعیین فواصل تقعر و تحدبلازم:

• مشتق دوم را پیدا کنید.
• صفرهای تابع مشتق دوم را پیدا کنید.
• ناحیه تعریف را به فواصل با نقاط ظاهر شده تقسیم کنید.
• علامت فاصله را تعیین کنید.

مثال 5

مشتق دوم را از حوزه تعریف بیابید.

راه حل

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ما صفرهای صورت و مخرج را پیدا می کنیم، جایی که در مثال ما داریم که صفرهای مخرج x = ± 1 2

حالا باید نقاط روی خط اعداد را رسم کنید و علامت مشتق دوم را از هر بازه مشخص کنید. ما آن را دریافت می کنیم

پاسخ:

• تابع از بازه - 1 2 محدب است. 12 ;
• تابع از فواصل - ∞ مقعر است. - 1 2 و 1 2; + ∞ .

تعریف 4

نقطه عطف- این یک نقطه به شکل x 0 است. f (x 0). وقتی تابع نمودار مماس دارد، وقتی از x 0 عبور می کند، علامت آن را به عکس تغییر می دهد.

به عبارت دیگر، این نقطه ای است که مشتق دوم از آن عبور می کند و علامت تغییر می دهد و در خود نقاط برابر با صفر یا وجود ندارد. همه نقاط به عنوان دامنه تابع در نظر گرفته می شوند.

در مثال، واضح بود که هیچ نقطه عطفی وجود ندارد، زیرا مشتق دوم در حین عبور از نقاط x = 1 ± علامت تغییر می دهد. آنها به نوبه خود در محدوده تعریف قرار نمی گیرند.

یافتن مجانب افقی و مایل

هنگام تعریف یک تابع در بی نهایت، باید به دنبال مجانب افقی و مایل باشید.

تعریف 5

مجانب مایلبا استفاده از خطوط مستقیم داده شده توسط معادله y = k x + b، که در آن k = lim x → ∞ f (x) x و b = lim x → ∞ f (x) - k x نشان داده شده است.

برای k = 0 و b مساوی بی نهایت نیست، متوجه می شویم که مجانب مایل می شود افقی.

به عبارت دیگر مجانب خطوطی در نظر گرفته می شوند که نمودار یک تابع در بی نهایت به آنها نزدیک می شود. این امر ساخت سریع نمودار تابع را تسهیل می کند.

اگر مجانبی وجود نداشته باشد، اما تابع در هر دو بینهایت تعریف شده باشد، لازم است حد تابع در این بینهایت ها محاسبه شود تا بفهمیم نمودار تابع چگونه رفتار خواهد کرد.

مثال 6

بیایید به عنوان مثال در نظر بگیریم که

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

مجانبی افقی است. پس از بررسی تابع، می توانید شروع به ساخت آن کنید.

محاسبه مقدار یک تابع در نقاط میانی

برای دقیق تر کردن نمودار، توصیه می شود چندین مقدار تابع را در نقاط میانی پیدا کنید.

مثال 7

از مثالی که در نظر گرفتیم، لازم است مقادیر تابع را در نقاط x = - 2، x = - 1، x = - 3 4، x = - 1 4 پیدا کنیم. از آنجایی که تابع زوج است، دریافت می کنیم که مقادیر با مقادیر در این نقاط منطبق هستند، یعنی x = 2، x = 1، x = 3 4، x = 1 4 به دست می آوریم.

بیایید بنویسیم و حل کنیم:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

برای تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع، نقاط عطف و نقاط میانی، لازم است مجانبی بسازیم. برای تعیین راحت، فواصل افزایش، کاهش، تحدب و تقعر ثبت می شود. بیایید به تصویر زیر نگاه کنیم.

لازم است خطوط نمودار را از طریق نقاط مشخص شده ترسیم کنید، که به شما امکان می دهد با دنبال کردن فلش ها به مجانب نزدیک شوید.

این کاوش کامل تابع را به پایان می رساند. مواردی از ساخت برخی از توابع ابتدایی وجود دارد که برای آنها از تبدیل های هندسی استفاده می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مدتی است که پایگاه داده گواهی داخلی TheBat برای SSL به درستی کار نمی کند (معلوم نیست به چه دلیل).

هنگام بررسی پست، یک خطا ظاهر می شود:

گواهی CA ناشناخته
سرور گواهی ریشه در جلسه ارائه نکرد و گواهی ریشه مربوطه در دفترچه آدرس یافت نشد.
این ارتباط نمی تواند مخفی باشد. لطفا
با مدیر سرور خود تماس بگیرید

و گزینه ای از پاسخ ها به شما پیشنهاد می شود - بله / خیر. و بنابراین هر بار که ایمیل را حذف می کنید.

راه حل

در این صورت باید استاندارد پیاده سازی S/MIME و TLS را با Microsoft CryptoAPI در تنظیمات TheBat جایگزین کنید!

از آنجایی که باید همه فایل ها را با هم ترکیب کنم، ابتدا تمام فایل های doc را به یک فایل pdf تبدیل کردم (با استفاده از برنامه Acrobat)، و سپس آن را از طریق یک مبدل آنلاین به fb2 منتقل کردم. همچنین می توانید فایل ها را به صورت جداگانه تبدیل کنید. فرمت ها می توانند کاملاً هر (منبع) باشند - doc، jpg، و حتی یک آرشیو فشرده!

نام سایت مطابق با اصل است :) فتوشاپ آنلاین.

به روز رسانی می 2015

یه سایت عالی دیگه پیدا کردم! حتی راحت تر و کاربردی تر برای ایجاد یک کلاژ کاملا سفارشی! این سایت http://www.fotor.com/ru/collage/ است. برای سلامتی خود از آن لذت ببرید. و من خودم از آن استفاده خواهم کرد.

در زندگی با مشکل تعمیر اجاق برقی مواجه شدم. من قبلاً کارهای زیادی انجام داده‌ام، چیزهای زیادی یاد گرفته‌ام، اما به نوعی ارتباط کمی با کاشی‌ها داشتم. لازم بود که کنتاکت های روی رگولاتورها و مشعل ها تعویض شوند. این سوال مطرح شد - چگونه می توان قطر مشعل را روی اجاق برقی تعیین کرد؟

جواب ساده بود. شما نیازی به اندازه گیری چیزی ندارید، می توانید به راحتی با چشم تعیین کنید که چه اندازه ای نیاز دارید.

کوچکترین مشعل- این 145 میلی متر (14.5 سانتی متر) است

مشعل وسط- این 180 میلی متر (18 سانتی متر) است.

و در نهایت، بیشترین مشعل بزرگ- این 225 میلی متر (22.5 سانتی متر) است.

کافی است اندازه را با چشم تعیین کنید و بفهمید که چه قطری به مشعل نیاز دارید. وقتی این را نمی دانستم، نگران این ابعاد بودم، نمی دانستم چگونه اندازه گیری کنم، کدام لبه را پیمایش کنم و غیره. حالا من عاقل شدم :) امیدوارم به شما هم کمک کرده باشم!

در زندگی ام با چنین مشکلی مواجه شدم. فکر می کنم من تنها نیستم.