تابع y=sinx، خصوصیات اصلی و نمودار آن. توابع y = sin x، y = cos x، خصوصیات و نمودارهای آنها - هایپر مارکت دانش نمودار تابع y برابر با سینوس x است.

"کالج فناوری های خدمات یوشکار اولا"

ساخت و مطالعه نمودار تابع مثلثاتی y=sinx در یک صفحه گستردهام‌اس برتری داشتن

/توسعه روش شناختی/

یوشکار – اولا

موضوع. ساخت و مطالعه نمودار یک تابع مثلثاتیy = سینکس در صفحه گسترده MS Excel

نوع درس- یکپارچه (کسب دانش جدید)

اهداف:

هدف آموزشی - رفتار نمودارهای تابع مثلثاتی را بررسی کنیدy= سینکسبسته به شانس استفاده از کامپیوتر

آموزشی:

1. تغییر نمودار یک تابع مثلثاتی را دریابید y= گناه ایکسبسته به شانس

2. معرفی فن آوری کامپیوتر در تدریس ریاضیات، ادغام دو مبحث جبر و علوم کامپیوتر را نشان دهید.

3. ایجاد مهارت در استفاده از فناوری کامپیوتر در درس ریاضیات

4. تقویت مهارت مطالعه توابع و ساخت نمودار آنها

آموزشی:

1. ایجاد علاقه شناختی دانش آموزان به رشته های تحصیلی و توانایی به کارگیری دانش خود در موقعیت های عملی.

2. توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، برجسته کردن چیز اصلی را توسعه دهید

3. کمک به بهبود سطح کلی رشد دانش آموزان

آموزش دادن :

1. تقویت استقلال، دقت، و سخت کوشی

2. فرهنگ گفتگو را پرورش دهید

اشکال کار در درس -ترکیب شده

امکانات و تجهیزات آموزشی:

1. کامپیوتر

2. پروژکتور چند رسانه ای

4. جزوات

5. اسلایدهای ارائه

در طول کلاس ها

من. سازماندهی شروع درس

· خوشامدگویی به دانشجویان و مهمانان

· خلق و خوی برای درس

II. تعیین هدف و تحقق موضوع

مطالعه یک تابع و ساخت نمودار آن زمان زیادی می برد، شما باید محاسبات دست و پا گیر زیادی را انجام دهید، راحت نیست، فناوری رایانه به کمک می آید.

امروز ما یاد خواهیم گرفت که چگونه نمودارهایی از توابع مثلثاتی در محیط صفحه گسترده MS Excel 2007 بسازیم.

موضوع درس ما «ساخت و مطالعه نمودار یک تابع مثلثاتی است y= سینکسدر یک پردازنده جدول"

از درس جبر، طرح مطالعه یک تابع و ساختن نمودار آن را می شناسیم. بیایید به یاد بیاوریم که چگونه این کار را انجام دهیم.

اسلاید 2

طرح مطالعه تابع

1. دامنه تابع (D(f))

2. محدوده تابع E(f)

3. تعیین برابری

4. فرکانس

5. صفرهای تابع (y=0)

6. فواصل علامت ثابت (y>0، y<0)

7. دوره های یکنواختی

8. مادون تابع

III. جذب اولیه مواد آموزشی جدید

MS Excel 2007 را باز کنید.

بیایید تابع y=sin را رسم کنیم ایکس

ساختن نمودارها در یک پردازنده صفحه گستردهام‌اس برتری داشتن 2007

نمودار این تابع را روی قطعه رسم می کنیم ایکسЄ [-2π; 2π]

مقادیر آرگومان را به صورت افزایشی در نظر می گیریم , تا نمودار دقیق تر شود.

از آنجایی که ویرایشگر با اعداد کار می کند، بیایید رادیان ها را به اعداد تبدیل کنیم P ≈ 3.14 . (جدول ترجمه در جزوه).

1. مقدار تابع را در نقطه پیدا کنید x=-2P. برای بقیه، ویرایشگر مقادیر تابع مربوطه را به طور خودکار محاسبه می کند.

2. اکنون جدولی با مقادیر آرگومان و تابع داریم. با این داده ها، باید این تابع را با استفاده از Chart Wizard رسم کنیم.

3. برای ساخت یک نمودار، باید محدوده داده، خطوط با آرگومان و مقادیر تابع را انتخاب کنید

4..jpg" width="667" height="236 src=">

نتیجه گیری ها را در دفترچه یادداشت می کنیم (اسلاید 5)

نتیجه. نمودار تابعی به شکل y=sinx+k از نمودار تابع y=sinx با استفاده از ترجمه موازی در امتداد محور op-amp توسط k واحد به دست می آید.

اگر k>0 باشد، نمودار با k واحد به سمت بالا جابه‌جا می‌شود

اگر ک<0, то график смещается вниз на k единиц

ساخت و مطالعه تابعی از فرمy=ک*سینکس،ک- پایان

وظیفه 2.در محل کار ورق 2رسم نمودار توابع در یک سیستم مختصات y= سینکس y=2* سینکس, y= * سینکس, در بازه (-2π؛ 2π) و نحوه تغییر ظاهر نمودار را تماشا کنید.

(برای اینکه مقدار آرگومان را دوباره تنظیم نکنیم، بیایید مقادیر موجود را کپی کنیم. حالا باید فرمول را تنظیم کرده و با استفاده از جدول حاصل یک نمودار بسازید.)

نمودارهای به دست آمده را با هم مقایسه می کنیم. ما همراه با دانش آموزان، رفتار نمودار یک تابع مثلثاتی را بسته به ضرایب تجزیه و تحلیل می کنیم. (اسلاید 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , در بازه (-2π؛ 2π) و مشاهده کنید که چگونه ظاهر نمودار تغییر می کند.

نمودارهای به دست آمده را با هم مقایسه می کنیم. همراه با دانش آموزان، رفتار نمودار یک تابع مثلثاتی را بسته به ضرایب تجزیه و تحلیل می کنیم. (اسلاید 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

نتیجه گیری را در یک دفترچه یادداشت می کنیم (اسلاید 11)

نتیجه. نمودار تابعی به شکل y=sin(x+k) از نمودار تابع y=sinx با استفاده از ترجمه موازی در امتداد محور OX با k واحد به دست می آید.

اگر k>1 باشد، نمودار در امتداد محور OX به سمت راست تغییر می کند

اگر 0

IV. تثبیت اولیه دانش اکتسابی

کارت های متمایز با وظیفه ساخت و مطالعه یک تابع با استفاده از نمودار

V. سازمان تکلیف

نموداری از تابع y=-2*sinх+1 رسم کنید، صحت ساختار را در یک محیط صفحه گسترده مایکروسافت اکسل بررسی و بررسی کنید. (اسلاید 12)

VI. انعکاس

در این درس نگاهی دقیق به تابع y = sin x، خصوصیات اساسی و نمودار آن خواهیم داشت. در ابتدای درس به تعریف تابع مثلثاتی y = sin t روی دایره مختصات می پردازیم و نمودار تابع را روی دایره و خط در نظر می گیریم. بیایید تناوب این تابع را در نمودار نشان دهیم و خصوصیات اصلی تابع را در نظر بگیریم. در پایان درس با استفاده از نمودار یک تابع و ویژگی های آن چندین مسئله ساده را حل می کنیم.

موضوع: توابع مثلثاتی

درس: تابع y=sinx، خصوصیات اساسی و نمودار آن

هنگام در نظر گرفتن یک تابع، مهم است که هر مقدار آرگومان را با یک مقدار تابع واحد مرتبط کنیم. این قانون مکاتباتو تابع نامیده می شود.

اجازه دهید قانون مطابقت را برای .

هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه از دایره واحد است که به آن سینوس عدد می گویند.

هر مقدار آرگومان با یک مقدار تابع منفرد مرتبط است.

خواص آشکار از تعریف سینوس به دست می آید.

شکل نشان می دهد که زیرا ترتیب یک نقطه روی دایره واحد است.

نمودار تابع را در نظر بگیرید. اجازه دهید تفسیر هندسی استدلال را به یاد بیاوریم. آرگومان زاویه مرکزی است که با رادیان اندازه گیری می شود. در امتداد محور اعداد یا زوایا واقعی را بر حسب رادیان رسم می کنیم و در امتداد محور مقادیر مربوط به تابع را ترسیم می کنیم.

به عنوان مثال، یک زاویه روی دایره واحد مربوط به نقطه ای از نمودار است (شکل 2).

ما یک نمودار از تابع در منطقه به دست آورده ایم، اما با دانستن دوره سینوس، می توانیم نمودار تابع را در کل دامنه تعریف به تصویر بکشیم (شکل 3).

دوره اصلی تابع به این معنی است که نمودار را می توان در یک بخش به دست آورد و سپس در کل دامنه تعریف ادامه داد.

ویژگی های تابع را در نظر بگیرید:

1) محدوده تعریف:

2) محدوده مقادیر:

3) تابع فرد:

4) کوچکترین دوره مثبت:

5) مختصات نقاط تقاطع نمودار با محور آبسیسا:

6) مختصات نقطه تلاقی گراف با محور ارتین:

7) فواصل زمانی که تابع مقادیر مثبت می گیرد:

8) فواصل زمانی که تابع مقادیر منفی می گیرد:

9) افزایش فواصل:

10) کاهش فواصل:

11) حداقل امتیاز:

12) حداقل توابع:

13) حداکثر امتیاز:

14) حداکثر توابع:

ما به ویژگی های تابع و نمودار آن نگاه کردیم. ویژگی ها به طور مکرر در هنگام حل مشکلات استفاده خواهند شد.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب درسی موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S.، Shvartsburd S.I. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 10 (کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضیات - M.: Prosveshchenie، 1996).

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. بررسی عمیق جبر و تحلیل ریاضی.-م.: آموزش و پرورش، 1376.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان مؤسسات آموزش عالی (ویرایش M.I. Skanavi - م.: مدرسه عالی، 1371).

6. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. شبیه ساز جبری.-K.: A.S.K.، 1997.

7. Sahakyan S.M.، Goldman A.M.، Denisov D.V. مسائل مربوط به جبر و اصول تجزیه و تحلیل (راهنمای دانش آموزان در کلاس های 10-11 موسسات آموزش عمومی - M.: Prosveshchenie، 2003).

8. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و اصول تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای کلاس های 10-11. با عمق مطالعه کرد ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

مشق شب

جبر و شروع تحلیل پایه دهم (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

منابع وب اضافی

3. پورتال آموزشی آمادگی آزمون ().

چگونه تابع y=sin x را رسم کنیم؟ ابتدا، بیایید به نمودار سینوس در بازه نگاه کنیم.

ما یک بخش 2 سلولی را در دفترچه یادداشت برداریم. در محور Oy یکی را علامت گذاری می کنیم.

برای راحتی، عدد π/2 را به 1.5 گرد می کنیم (و نه به 1.6، همانطور که قوانین گرد کردن لازم است). در این مورد، یک قطعه به طول π/2 مربوط به 3 سلول است.

در محور Ox ما نه بخش های منفرد، بلکه بخش هایی به طول π/2 (هر 3 سلول) را علامت گذاری می کنیم. بر این اساس، یک قطعه از طول π مربوط به 6 سلول، و یک قطعه به طول π/6 مربوط به 1 سلول است.

با این انتخاب یک قطعه واحد، نمودار نشان داده شده بر روی یک برگه دفترچه یادداشت در یک جعبه، بیشترین تطابق را با نمودار تابع y=sin x دارد.

بیایید جدولی از مقادیر سینوس در بازه ایجاد کنیم:

نقاط حاصل را در صفحه مختصات علامت گذاری می کنیم:

از آنجایی که y=sin x یک تابع فرد است، نمودار سینوسی با توجه به مبدا متقارن است - نقطه O(0;0). با در نظر گرفتن این واقعیت، نمودار را به سمت چپ و سپس نقاط -π را ادامه می دهیم:

تابع y=sin x تناوبی با دوره T=2π است. بنابراین، نمودار تابعی که در بازه [-π;π] گرفته شده است، بی نهایت بار به سمت راست و چپ تکرار می شود.

در این درس نگاهی دقیق به تابع y = sin x، خصوصیات اساسی و نمودار آن خواهیم داشت. در ابتدای درس به تعریف تابع مثلثاتی y = sin t روی دایره مختصات می پردازیم و نمودار تابع را روی دایره و خط در نظر می گیریم. بیایید تناوب این تابع را در نمودار نشان دهیم و خصوصیات اصلی تابع را در نظر بگیریم. در پایان درس با استفاده از نمودار یک تابع و ویژگی های آن چندین مسئله ساده را حل می کنیم.

موضوع: توابع مثلثاتی

درس: تابع y=sinx، خصوصیات اساسی و نمودار آن

هنگام در نظر گرفتن یک تابع، مهم است که هر مقدار آرگومان را با یک مقدار تابع واحد مرتبط کنیم. این قانون مکاتباتو تابع نامیده می شود.

اجازه دهید قانون مطابقت را برای .

هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه از دایره واحد است که به آن سینوس عدد می گویند.

هر مقدار آرگومان با یک مقدار تابع منفرد مرتبط است.

خواص آشکار از تعریف سینوس به دست می آید.

شکل نشان می دهد که زیرا ترتیب یک نقطه روی دایره واحد است.

نمودار تابع را در نظر بگیرید. اجازه دهید تفسیر هندسی استدلال را به یاد بیاوریم. آرگومان زاویه مرکزی است که با رادیان اندازه گیری می شود. در امتداد محور اعداد یا زوایا واقعی را بر حسب رادیان رسم می کنیم و در امتداد محور مقادیر مربوط به تابع را ترسیم می کنیم.

به عنوان مثال، یک زاویه روی دایره واحد مربوط به نقطه ای از نمودار است (شکل 2).

ما یک نمودار از تابع در منطقه به دست آورده ایم، اما با دانستن دوره سینوس، می توانیم نمودار تابع را در کل دامنه تعریف به تصویر بکشیم (شکل 3).

دوره اصلی تابع به این معنی است که نمودار را می توان در یک بخش به دست آورد و سپس در کل دامنه تعریف ادامه داد.

ویژگی های تابع را در نظر بگیرید:

1) محدوده تعریف:

2) محدوده مقادیر:

3) تابع فرد:

4) کوچکترین دوره مثبت:

5) مختصات نقاط تقاطع نمودار با محور آبسیسا:

6) مختصات نقطه تلاقی گراف با محور ارتین:

7) فواصل زمانی که تابع مقادیر مثبت می گیرد:

8) فواصل زمانی که تابع مقادیر منفی می گیرد:

9) افزایش فواصل:

10) کاهش فواصل:

11) حداقل امتیاز:

12) حداقل توابع:

13) حداکثر امتیاز:

14) حداکثر توابع:

ما به ویژگی های تابع و نمودار آن نگاه کردیم. ویژگی ها به طور مکرر در هنگام حل مشکلات استفاده خواهند شد.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب درسی موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S.، Shvartsburd S.I. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 10 (کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضیات - M.: Prosveshchenie، 1996).

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. بررسی عمیق جبر و تحلیل ریاضی.-م.: آموزش و پرورش، 1376.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان مؤسسات آموزش عالی (ویرایش M.I. Skanavi - م.: مدرسه عالی، 1371).

6. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. شبیه ساز جبری.-K.: A.S.K.، 1997.

7. Sahakyan S.M.، Goldman A.M.، Denisov D.V. مسائل مربوط به جبر و اصول تجزیه و تحلیل (راهنمای دانش آموزان در کلاس های 10-11 موسسات آموزش عمومی - M.: Prosveshchenie، 2003).

8. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و اصول تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای کلاس های 10-11. با عمق مطالعه کرد ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

مشق شب

جبر و شروع تحلیل پایه دهم (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

منابع وب اضافی

3. پورتال آموزشی آمادگی آزمون ().

ما متوجه شدیم که رفتار توابع مثلثاتی، و توابع y = گناه x به خصوص، در کل خط اعداد (یا برای همه مقادیر آرگومان ایکس) کاملاً با رفتار آن در بازه مشخص می شود 0 < ایکس < π / 2 .

بنابراین، ابتدا تابع را رسم می کنیم y = گناه x دقیقا در این فاصله

بیایید جدول زیر از مقادیر تابع خود را بسازیم.

با علامت گذاری نقاط مربوطه در صفحه مختصات و اتصال آنها با یک خط صاف، منحنی نشان داده شده در شکل را به دست می آوریم.

منحنی به دست آمده را می‌توان به صورت هندسی، بدون تهیه جدولی از مقادیر تابع، ساخت y = گناه x .

1. ربع اول یک دایره با شعاع 1 را به 8 قسمت مساوی تقسیم کنید.

2. ربع اول دایره مربوط به زوایای 0 تا است π / 2 . بنابراین، در محور ایکسبیایید یک قطعه برداریم و آن را به 8 قسمت مساوی تقسیم کنیم.

3. خطوط مستقیم موازی با محورها رسم می کنیم ایکسو از نقاط تقسیم عمود می سازیم تا زمانی که با خطوط افقی تلاقی کنند.

4. نقاط تقاطع را با یک خط صاف وصل کنید.

حالا بیایید به فاصله زمانی نگاه کنیم π / 2 < ایکس < π .
هر مقدار آرگومان ایکساز این فاصله را می توان به صورت نمایش داد

ایکس = π / 2 + φ

جایی که 0 < φ < π / 2 . طبق فرمول های کاهش

گناه ( π / 2 + φ ) = cos φ = گناه ( π / 2 - φ ).

نقاط محور ایکسبا آبسیسا π / 2 + φ و π / 2 - φ متقارن با یکدیگر در مورد نقطه محور ایکسبا آبسیسا π / 2 ، و سینوس ها در این نقاط یکسان هستند. این به ما امکان می دهد نموداری از تابع را بدست آوریم y = گناه x در فاصله [ π / 2 , π ] به سادگی با نمایش متقارن نمودار این تابع در بازه نسبت به خط مستقیم ایکس = π / 2 .

در حال حاضر با استفاده از اموال تابع برابری فرد y = گناه x،

گناه (- ایکس) = - گناه ایکس,

رسم این تابع در بازه [- آسان است π , 0].

تابع y = sin x تناوبی با دوره 2π است ;. بنابراین برای ساخت کل نمودار این تابع کافی است منحنی نشان داده شده در شکل را به صورت دوره ای با نقطه به چپ و راست ادامه دهید. 2π .

منحنی حاصل نامیده می شود سینوسی . نمودار تابع را نشان می دهد y = گناه x.

شکل به خوبی تمام ویژگی های تابع را نشان می دهد y = گناه x ، که قبلا ثابت کرده ایم. بیایید این خواص را یادآوری کنیم.

1) عملکرد y = گناه x برای همه مقادیر تعریف شده است ایکس ، بنابراین دامنه آن مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است.

2) عملکرد y = گناه x محدود. تمام مقادیری که می پذیرد بین 1- و 1 است که شامل این دو عدد می شود. در نتیجه، دامنه تغییرات این تابع با نابرابری -1 تعیین می شود < در < 1. وقتی ایکس = π / 2 + 2 هزار π تابع بزرگترین مقادیر برابر با 1 را می گیرد و برای x = - π / 2 + 2 هزار π - کوچکترین مقادیر برابر با - 1 است.

3) عملکرد y = گناه x فرد است (موج سینوسی نسبت به مبدا متقارن است).

4) عملکرد y = گناه x دوره ای با دوره 2 π .

5) در فواصل 2n π < ایکس < π + 2n π (n هر عدد صحیح است) مثبت است و در فواصل زمانی π + 2 هزار π < ایکس < 2π + 2 هزار π (k هر عدد صحیحی است) منفی است. در x = k π تابع به صفر می رسد. بنابراین، این مقادیر آرگومان x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) تابع صفر نامیده می شوند y = گناه x

6) در فواصل زمانی - π / 2 + 2n π < ایکس < π / 2 + 2n π تابع y = گناه ایکس به صورت یکنواخت و در فواصل زمانی افزایش می یابد π / 2 + 2 هزار π < ایکس < 3π / 2 + 2 هزار π یکنواخت کاهش می یابد.

شما باید به رفتار تابع توجه ویژه ای داشته باشید y = گناه x نزدیک نقطه ایکس = 0 .

به عنوان مثال، sin 0.012 ≈ 0.012; sin(-0.05) ≈ -0,05;

گناه 2 درجه = گناه π 2 / 180 = گناه π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

در عین حال، باید توجه داشت که برای هر مقدار x

| گناه ایکس| < | x | . (1)

در واقع، بگذارید شعاع دایره نشان داده شده در شکل برابر با 1 باشد،
آ / AOB = ایکس.

بعد گناه کن ایکس= AC اما AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол ایکس. طول این کمان آشکارا برابر است با ایکس، از آنجایی که شعاع دایره 1 است. بنابراین، در 0< ایکس < π / 2

گناه x< х.

از این رو، به دلیل عجیب بودن تابع y = گناه x به راحتی می توان نشان داد که وقتی - π / 2 < ایکس < 0

| گناه ایکس| < | x | .

بالاخره کی ایکس = 0

| گناه x | = | x |.

بنابراین، برای | ایکس | < π / 2 نابرابری (1) ثابت شده است. در واقع این نابرابری برای | نیز صادق است ایکس | > π / 2 با توجه به اینکه | گناه ایکس | < 1، الف π / 2 > 1

تمرینات

1. طبق نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید: الف) گناه 2; ب) گناه 4; ج) گناه (-3).

2. طبق نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید کدام عدد از بازه
[ - π / 2 , π / 2 ] دارای سینوس برابر با: الف) 0.6; ب) -0.8.

3. با توجه به نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید کدام اعداد دارای سینوس هستند،
برابر با 1/2.

4. تقریباً (بدون استفاده از جداول) پیدا کنید: a) sin 1°; ب) گناه 0.03;
ج) گناه (-0.015); د) گناه (-2°30").