فرمول های اتصال بخش های متناسب در یک مثلث قائم الزاویه. قطعات متناسب در مثلث قائم الزاویه
تست تشابه برای مثلث های قائم الزاویه
اجازه دهید ابتدا معیار تشابه را برای مثلث های قائم الزاویه معرفی کنیم.
قضیه 1
تست تشابه برای مثلث های قائم الزاویه: دو مثلث قائم الزاویه زمانی شبیه هم هستند که هر کدام یک زاویه تند مساوی داشته باشند (شکل 1).
شکل 1. مثلث های قائم الزاویه مشابه
اثبات
اجازه دهید به ما داده شود که $\angle B=\angle B_1$. از آنجایی که مثلث ها قائم الزاویه هستند، پس $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. بنابراین با توجه به اولین معیار تشابه مثلث ها مشابه هستند.
قضیه ثابت شده است.
قضیه ارتفاع در مثلث قائم الزاویه
قضیه 2
ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که از راس یک زاویه قائم الزاویه کشیده شده است، مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه مشابه تقسیم می کند که هر یک شبیه مثلث داده شده است.
اثبات
اجازه دهید یک مثلث قائم الزاویه $ABC$ با زاویه راست $C$ به ما داده شود. بیایید ارتفاع $CD$ را رسم کنیم (شکل 2).
شکل 2. تصویر قضیه 2
اجازه دهید ثابت کنیم که مثلث‌های $ACD$ و $BCD$ شبیه مثلث $ABC$ هستند و مثلث‌های $ACD$ و $BCD$ مشابه یکدیگر هستند.
از آنجایی که $\angle ADC=(90)^0$ است، پس مثلث $ACD$ قائم الزاویه است. مثلث $ACD$ و $ABC$ دارای زاویه مشترک $A$ هستند، بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث $ACD$ و $ABC$ مشابه هستند.
از آنجایی که $\angle BDC=(90)^0$، پس مثلث $BCD$ قائم الزاویه است. مثلث $BCD$ و $ABC$ دارای زاویه مشترک $B$ هستند، بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث $BCD$ و $ABC$ مشابه هستند.
حال اجازه دهید مثلث های $ACD$ و $BCD$ را در نظر بگیریم
\[\زاویه A=(90)^0-\زاویه ACD\] \[\زاویه BCD=(90)^0-\زاویه ACD=\زاویه A\]
بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث های $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند.
قضیه ثابت شده است.
متوسط متناسب
قضیه 3
ارتفاع مثلث قائم الزاویه ای که از راس یک زاویه قائم الزاویه کشیده می شود، میانگین متناسب با بخش هایی است که ارتفاع، هیپوتنوز مثلث داده شده را به آنها تقسیم می کند.
اثبات
با قضیه 2، می‌بینیم که مثلث‌های $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند، بنابراین
قضیه ثابت شده است.
قضیه 4
ساق یک مثلث قائم الزاویه، میانگین تناسب بین هیپوتنوز و قسمتی از هیپوتنوز است که بین ساق و ارتفاع رسم شده از راس زاویه قرار دارد.
اثبات
در اثبات قضیه از نماد شکل 2 استفاده می کنیم.
با قضیه 2، می دانیم که مثلث های $ACD$ و $ABC$ مشابه هستند، بنابراین
قضیه ثابت شده است.
اهداف درس:
- مفهوم میانگین متناسب (میانگین هندسی) دو بخش را معرفی کنید.
- مسئله قطعات متناسب در یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید: ویژگی ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از راس یک زاویه قائمه ترسیم شده است.
- توسعه مهارت های دانش آموزان در استفاده از موضوع مورد مطالعه در فرآیند حل مسائل.
نوع درس:درس یادگیری مطالب جدید
طرح:
- لحظه سازمان.
- به روز رسانی دانش.
- بررسی ویژگی ارتفاع مثلث قائم الزاویه رسم شده از رأس یک زاویه قائمه:
- مرحله آماده سازی؛
- معرفی؛
- ادغام. - معرفی مفهوم میانگین متناسب با دو بخش.
- تسلط بر مفهوم میانگین تناسب دو بخش.
- اثبات عواقب:
- ارتفاع مثلث قائم الزاویه کشیده شده از راس یک زاویه قائمه، میانگین تناسب بین بخشهایی است که هیپوتانوس به این ارتفاع تقسیم می شود.
- ساق یک مثلث قائم الزاویه، میانگین تناسب بین هیپوتنوز و قسمتی از هیپوتنوز است که بین پا و ارتفاع محصور شده است. - حل مسئله.
- خلاصه کردن.
- تنظیم تکالیف.
در طول کلاس ها
I. لحظه سازمانی
- سلام بچه ها، بشینید. آیا همه برای کلاس آماده هستند؟
بیایید کار را شروع کنیم.
II. دانش به روز شد
- چه مفهوم مهم ریاضی را در درس های قبلی یاد گرفتید؟ ( با مفهوم تشابه مثلث ها)
- به یاد بیاوریم که به کدام دو مثلث شبیه هم می گویند؟ (اگر دو مثلث به ترتیب با هم مساوی باشند و اضلاع یک مثلث با اضلاع مشابه مثلث دیگر متناسب باشند، مشابه نامیده می شوند.)
- برای اثبات شباهت دو مثلث از چه چیزی استفاده می کنیم؟ (
- این علائم را فرموله کنید (سه علامت تشابه مثلث ها را فرموله کنید)
III. بررسی ویژگی های ارتفاع مثلث مستطیل شکل که از بالای یک زاویه قائم الزاویه هدایت می شود
الف) مرحله مقدماتی
- بچه ها لطفا به اسلاید اول نگاه کنید. ( کاربرد) در اینجا دو مثلث قائم الزاویه نشان داده شده است – و . و ارتفاعات و به ترتیب هستند. 
.
وظیفه 1. الف)مشخص کنید که آیا و مشابه هستند.
- برای اثبات شباهت مثلث ها از چه چیزی استفاده می کنیم؟ ( نشانه های شباهت مثلث ها)
(نشان اول، زیرا در مسئله هیچ چیز در مورد اضلاع مثلث معلوم نیست)
. (دو جفت: 1. ∟B= ∟B1 (مستقیم)، 2. ∟A= ∟A 1)
- نتیجه گیری کنید.( با اولین معیار تشابه مثلث ها ~)
وظیفه 1. ب)مشخص کنید که آیا و مشابه هستند.
– از چه نشانه ای برای تشابه استفاده خواهیم کرد و چرا؟ (نشان اول، زیرا در مسئله هیچ چیز در مورد اضلاع مثلث ها معلوم نیست)
- چند جفت زاویه مساوی باید پیدا کنیم؟ این جفت ها را پیدا کنید (از آنجایی که مثلث ها قائم الزاویه هستند، پس یک جفت زاویه مساوی کافی است: ∟A= ∟A 1)
- نتیجه گیری کنید. (بر اساس اولین معیار تشابه مثلث ها به این نتیجه می رسیم که این مثلث ها شبیه هم هستند).
در نتیجه مکالمه، اسلاید 1 به شکل زیر است:
ب) کشف قضیه
وظیفه 2.
- تشابه و مشابه بودن را مشخص کنید. در نتیجه مکالمه، پاسخ هایی ساخته می شوند که در اسلاید منعکس می شوند.
- تصویر نشان می دهد که . آیا در پاسخ به سوالات تکلیف از این معیار درجه استفاده کردیم؟ ( نه ما استفاده نکردیم)
- بچه ها، یک نتیجه بگیرید: یک مثلث قائم الزاویه با ارتفاعی که از راس زاویه قائم گرفته شده است به چه مثلث هایی تقسیم می شود؟ (نتیجه گرفتن)
– این سوال پیش می آید که آیا این دو مثلث قائم الزاویه که ارتفاع مثلث قائم الزاویه را بین آنها تقسیم می کند شبیه یکدیگر خواهند بود؟ بیایید سعی کنیم جفت زاویه های مساوی را پیدا کنیم.
در نتیجه مکالمه، یک رکورد ساخته می شود:
- حالا بیایید یک نتیجه گیری کامل بگیریم.( نتیجه گیری: ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائمه کشیده شده است، مثلث را به دو قسمت تقسیم می کند. مشابه
- اون ما یک قضیه در مورد ویژگی ارتفاع مثلث قائم الزاویه فرموله و اثبات کردیم.
بیایید ساختار قضیه را ایجاد کنیم و یک نقاشی بکشیم. چه چیزی در قضیه آمده است و چه چیزی نیاز به اثبات دارد؟ دانش آموزان در دفتر خود می نویسند:
- بیایید اولین نکته قضیه را برای ترسیم جدید ثابت کنیم. از چه ویژگی شباهتی استفاده خواهیم کرد و چرا؟ (اول، زیرا در قضیه هیچ چیز در مورد اضلاع مثلث معلوم نیست)
- چند جفت زاویه مساوی باید پیدا کنیم؟ این جفت ها را پیدا کنید. (در این صورت یک جفت کافی است: ∟الف-عمومی)
- نتیجه گیری کنید. مثلث ها شبیه هم هستند. در نتیجه نمونه ای از قضیه نشان داده می شود
– نکته دوم و سوم را خودتان در خانه بنویسید.
ج) تسلط بر قضیه
- پس دوباره قضیه را فرموله کنید (ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که از راس یک زاویه قائمه کشیده شده است، مثلث را به دو قسمت تقسیم می کند. مشابهمثلث های قائم الزاویه که هر کدام شبیه به این یکی هستند)
- چند جفت مثلث مشابه در ساختار "در یک مثلث قائم الزاویه ارتفاع از راس یک زاویه قائمه رسم شده است" این قضیه به شما اجازه می دهد که پیدا کنید؟ ( سه جفت)
به دانش آموزان تکالیف زیر داده می شود:
IV. معرفی مفهوم میانگین تناسب دو بخش
- و اکنون یک مفهوم جدید را با شما مطالعه خواهیم کرد.
توجه!
تعریف.بخش خط XYتماس گرفت متوسط متناسب (میانگین هندسی)بین بخش ها ABو سی دی، اگر
(آن را در یک دفتر یادداشت کنید).
V. درک مفهوم نسبت متوسط دو بخش
– حالا به اسلاید بعدی می رویم.
تمرین 1.اگر MN = 9 سانتی‌متر، KP = 16 سانتی‌متر، طول بخش‌های متناسب متوسط MN و KP را بیابید.
- در مسئله چه چیزی آمده است؟ ( دو بخش و طول آنها: MN = 9 سانتی متر، KP = 16 سانتی متر)
- چه چیزی را باید پیدا کنید؟ ( طول میانگین متناسب با این بخش ها است)
- چه فرمولی میانگین تناسبی را بیان می کند و چگونه آن را پیدا می کنیم؟
(داده ها را در فرمول جایگزین کنید و طول میانگین پایه را پیدا کنید.)
وظیفه شماره 2.اگر میانگین متناسب پاره های AB و CD 90 سانتی متر و CD = 100 سانتی متر باشد، طول قطعه AB را بیابید.
- در مسئله چه چیزی آمده است؟ (طول قطعه CD = 100 سانتی متر و میانگین متناسب قطعات AB و CD 90 سانتی متر است)
- در مشکل چه چیزی باید یافت؟ ( طول قطعه AB)
- چگونه مشکل را حل خواهیم کرد؟ (بیایید فرمول میانگین بخش های متناسب AB و CD را بنویسیم، طول AB را از آن بیان کنیم و داده های مسئله را جایگزین کنیم.)
VI. نتیجه گیری از مفاهیم
- آفرین بچه ها. حال برگردیم به شباهت مثلث ها که در قضیه ثابت کردیم. دوباره قضیه را بیان کنید. ( ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از رأس یک زاویه قائمه کشیده شده است، مثلث را به دو قسمت تقسیم می کند. مشابهمثلث های قائم الزاویه که هر کدام شبیه مثلث داده شده است)
– ابتدا از تشابه مثلث ها و . چه چیزی از این نتیجه می شود؟ ( طبق تعریف، اضلاع تشابه متناسب با اضلاع مشابه هستند)
- هنگام استفاده از ویژگی اصلی تناسب چه برابری حاصل می شود؟ ()
– سی دی را بیان کنید و نتیجه بگیرید (
;
.
نتیجه: ارتفاع مثلث قائم الزاویه کشیده شده از راس یک زاویه قائمه، میانگین تناسب بین قطعاتی است که هیپوتانوس به این ارتفاع تقسیم می شود.)
– اکنون به تنهایی ثابت کنید که ساق یک مثلث قائم الزاویه، میانگین تناسب بین هیپوتانوس و پاره تناسبی است که بین پا و ارتفاع محصور شده است با این ارتفاع )
ساق مثلث قائم الزاویه، میانگین تناسب بین...(-...هیپوتنوز و قطعه هیپوتنوز محصور بین این پا و ارتفاع )
- جملاتی را که یاد گرفته ایم در کجا به کار می بریم؟ ( هنگام حل مشکلات)
IX تنظیم تکالیف
d/z:شماره 571، شماره 572 (الف، د)، کار مستقل در یک دفتر، نظریه.
امروز ارائه دیگری در مورد یک موضوع شگفت انگیز و اسرارآمیز - هندسه - به شما توجه می کنیم. در این ارائه شما را با ویژگی جدیدی از اشکال هندسی، به ویژه مفهوم قطعات متناسب در مثلث های قائم الزاویه آشنا می کنیم.
ابتدا باید به یاد داشته باشیم که مثلث چیست؟ این ساده ترین چند ضلعی است که از سه رأس تشکیل شده است که توسط سه بخش به هم متصل شده اند. مثلثی که یکی از زوایای آن برابر با 90 درجه باشد را مثلث قائم الزاویه می گویند. شما قبلاً در مطالب آموزشی قبلی ما با جزئیات بیشتری با آنها آشنا شده اید.
بنابراین، با بازگشت به موضوع امروز خود، به این ترتیب مشخص می کنیم که ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که از زاویه 90 درجه ترسیم شده است، آن را به دو مثلث تقسیم می کند که هم به یکدیگر و هم به مثلث اصلی شبیه هستند. تمام نقشه ها و نمودارهایی که مورد علاقه شما هستند در ارائه پیشنهادی ارائه شده است.
نمونه ای گرافیکی از پایان نامه فوق در اسلاید دوم قابل مشاهده است. بر اساس اولین علامت تشابه مثلث ها، مثلث ها شبیه به هم هستند زیرا دو زاویه یکسان دارند. اگر با جزئیات بیشتر مشخص کنیم، ارتفاع پایین آمده تا هیپوتانوس با آن زاویه قائمه تشکیل می دهد، یعنی از قبل زوایای یکسانی وجود دارد و هر یک از زوایای تشکیل شده نیز یک زاویه مشترک به عنوان زاویه اصلی دارد. نتیجه دو زاویه برابر با یکدیگر است. یعنی مثلث ها شبیه هم هستند.
اجازه دهید همچنین مشخص کنیم که مفهوم "معنای متناسب" یا "معنای هندسی" به چه معناست؟ این یک قطعه XY مشخص برای قطعات AB و CD است، زمانی که برابر با جذر حاصلضرب طول آنها باشد.
همچنین از آن نتیجه می شود که ساق یک مثلث قائم الزاویه، میانگین هندسی بین هیپوتنوز و برآمدگی این پایه بر روی هیپوتنوس، یعنی یک پایه دیگر است.
یکی دیگر از ویژگی های مثلث قائم الزاویه این است که ارتفاع آن، از زاویه 90 درجه، میانگین تناسب بین برآمدگی های پاها بر روی هیپوتنوس است. اگر به ارائه و سایر مطالب ارائه شده توجه خود بپردازید، خواهید دید که شواهدی از این پایان نامه به شکل بسیار ساده و در دسترس وجود دارد. قبلاً ثابت کرده‌ایم که مثلث‌های به‌دست‌آمده مشابه یکدیگر و مثلث اصلی هستند. سپس با استفاده از نسبت پایه های این اشکال هندسی به این نتیجه می رسیم که ارتفاع مثلث قائم الزاویه با جذر حاصلضرب قطعاتی که در نتیجه کاهش ارتفاع از قائم الزاویه به وجود آمده اند نسبت مستقیم دارد. زاویه قائمه مثلث اصلی
آخرین مورد در ارائه این است که پایه یک مثلث قائم الزاویه میانگین هندسی برای هیپوتنوس و قطعه آن است که بین پا و ارتفاع رسم شده از زاویه ای برابر با 90 درجه قرار دارد. این مورد را باید از این نظر در نظر گرفت که مثلث های نشان داده شده شبیه به هم هستند و ساق یکی از آنها فرضیه دیگری است. اما با مطالعه مطالب پیشنهادی بیشتر با این موضوع آشنا خواهید شد.
تست تشابه برای مثلث های قائم الزاویه
اجازه دهید ابتدا معیار تشابه را برای مثلث های قائم الزاویه معرفی کنیم.
قضیه 1
تست تشابه برای مثلث های قائم الزاویه: دو مثلث قائم الزاویه زمانی شبیه هم هستند که هر کدام یک زاویه تند مساوی داشته باشند (شکل 1).
شکل 1. مثلث های قائم الزاویه مشابه
اثبات
اجازه دهید به ما داده شود که $\angle B=\angle B_1$. از آنجایی که مثلث ها قائم الزاویه هستند، پس $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. بنابراین با توجه به اولین معیار تشابه مثلث ها مشابه هستند.
قضیه ثابت شده است.
قضیه ارتفاع در مثلث قائم الزاویه
قضیه 2
ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که از راس یک زاویه قائم الزاویه کشیده شده است، مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه مشابه تقسیم می کند که هر یک شبیه مثلث داده شده است.
اثبات
اجازه دهید یک مثلث قائم الزاویه $ABC$ با زاویه راست $C$ به ما داده شود. بیایید ارتفاع $CD$ را رسم کنیم (شکل 2).
شکل 2. تصویر قضیه 2
اجازه دهید ثابت کنیم که مثلث‌های $ACD$ و $BCD$ شبیه مثلث $ABC$ هستند و مثلث‌های $ACD$ و $BCD$ مشابه یکدیگر هستند.
از آنجایی که $\angle ADC=(90)^0$ است، پس مثلث $ACD$ قائم الزاویه است. مثلث $ACD$ و $ABC$ دارای زاویه مشترک $A$ هستند، بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث $ACD$ و $ABC$ مشابه هستند.
از آنجایی که $\angle BDC=(90)^0$، پس مثلث $BCD$ قائم الزاویه است. مثلث $BCD$ و $ABC$ دارای زاویه مشترک $B$ هستند، بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث $BCD$ و $ABC$ مشابه هستند.
حال اجازه دهید مثلث های $ACD$ و $BCD$ را در نظر بگیریم
\[\زاویه A=(90)^0-\زاویه ACD\] \[\زاویه BCD=(90)^0-\زاویه ACD=\زاویه A\]
بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث های $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند.
قضیه ثابت شده است.
متوسط متناسب
قضیه 3
ارتفاع مثلث قائم الزاویه ای که از راس یک زاویه قائم الزاویه کشیده می شود، میانگین متناسب با بخش هایی است که ارتفاع، هیپوتنوز مثلث داده شده را به آنها تقسیم می کند.
اثبات
با قضیه 2، می‌بینیم که مثلث‌های $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند، بنابراین
قضیه ثابت شده است.
قضیه 4
ساق یک مثلث قائم الزاویه، میانگین تناسب بین هیپوتنوز و قسمتی از هیپوتنوز است که بین ساق و ارتفاع رسم شده از راس زاویه قرار دارد.
اثبات
در اثبات قضیه از نماد شکل 2 استفاده می کنیم.
با قضیه 2، می دانیم که مثلث های $ACD$ و $ABC$ مشابه هستند، بنابراین
قضیه ثابت شده است.
درس 40. پاره های متناسب در مثلث قائم الزاویه. ج. ب. آ. ساعت س. قبل از میلاد N. ac. الف- ب- ارتفاع مثلث قائم الزاویه ای که از راس قائم الزاویه کشیده شده است، مثلث را به 2 مثلث قائم الزاویه مشابه تقسیم می کند که هر کدام شبیه مثلث داده شده است. تست تشابه برای مثلث های قائم الزاویه دو مثلث قائم الزاویه شبیه هم هستند اگر هر کدام دارای زاویه تند برابر باشند. پاره XY در صورت خاصیت 1، میانگین تناسبی (میانگین هندسی) پاره های AB و CD نامیده می شود. ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از راس یک زاویه قائمه ترسیم شده است، میانگین متناسب بین برآمدگی های پاها بر روی هیپوتنوس است. خاصیت 2. ساق مثلث قائم الزاویه میانگین متناسب بین هیپوتنوز و برآمدگی این پایه بر روی هیپوتنوز است.
اسلاید 28از ارائه "هندسه "مثلث های مشابه". حجم آرشیو با ارائه 232 کیلوبایت است.هندسه پایه هشتم
خلاصه سایر ارائه ها"حل مسائل در قضیه فیثاغورث" - مثلث ABC متساوی الساقین است. کاربرد عملی قضیه فیثاغورث. ABCD یک چهار ضلعی است. مساحت یک مربع. خورشید را پیدا کن اثبات پایه های یک ذوزنقه متساوی الساقین. قضیه فیثاغورث را در نظر بگیرید. مساحت یک چهار ضلعی. مثلث های قائم الزاویه قضیه فیثاغورس. مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.
"یافتن مساحت متوازی الاضلاع" - پایه. ارتفاع تعیین ارتفاع متوازی الاضلاع. نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه. مساحت متوازی الاضلاع. مساحت مثلث را پیدا کنید. خواص مناطق. تمرینات دهانی. مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنید. ارتفاع متوازی الاضلاع. محیط مربع را پیدا کنید. مساحت یک مثلث. مساحت مربع را پیدا کنید. مساحت مستطیل را پیدا کنید. مساحت یک مربع.
""میدان" کلاس 8" - میدان سیاه. وظایف کار شفاهی در اطراف محیط مربع. مساحت یک مربع. نشانه های مربع. میدان در میان ماست. مربع مستطیلی است که تمام اضلاع آن برابر است. مربع. کیف با پایه مربع. وظایف شفاهی چند مربع در تصویر نشان داده شده است. خواص مربع تاجر ثروتمند تکالیف برای کار شفاهی در مساحت یک مربع. محیط یک مربع.
"تعریف تقارن محوری" - نقاطی که روی یک عمود قرار دارند. دو خط مستقیم بکشید. ساخت و ساز. نقاط را ترسیم کنید. سرنخ. ارقامی که تقارن محوری ندارند. بخش خط. مختصات از دست رفته شکل. شکل هایی که بیش از دو محور تقارن دارند. تقارن. تقارن در شعر مثلث بسازید محورهای تقارن. ساخت یک قطعه. ساخت یک نقطه. شکل هایی با دو محور تقارن. مردم. مثلثها. تناسب.
"تعریف مثلث های مشابه" - چند ضلعی. بخش های متناسب نسبت مساحت مثلث های مشابه. دو مثلث مشابه نامیده می شوند. شرایط با استفاده از دو زاویه داده شده و نیمساز در راس یک مثلث بسازید. فرض کنید باید فاصله تا ستون را تعیین کنیم. سومین علامت شباهت مثلث ها. بیایید نوعی مثلث بسازیم. ABC. مثلث های ABC و ABC از سه ضلع برابر هستند. تعیین ارتفاع یک جسم.
"حل قضیه فیثاغورث" - بخش هایی از پنجره ها. ساده ترین اثبات حمورابی. مورب. اثبات کامل اثبات با روش تفریق. فیثاغورثی ها اثبات با روش تجزیه. تاریخچه قضیه. قطر. اثبات با روش جمع اثبات اپستین کانتور. مثلثها. پیروان. کاربردهای قضیه فیثاغورث. قضیه فیثاغورس. بیان قضیه. اثبات پریگال. کاربرد قضیه.
