خط وسط در ذوزنقه چیست؟ خواص ذوزنقه

در حل مسائل پلان متری، علاوه بر اضلاع و زوایای یک شکل، مقادیر دیگر اغلب نقش فعالی دارند - وسط، ارتفاع، مورب، نیمساز و غیره. اینها شامل خط وسط است.
اگر چند ضلعی اصلی ذوزنقه باشد، خط وسط آن چقدر است؟ این قطعه بخشی از یک خط مستقیم است که دو طرف شکل را در وسط قطع می کند و به موازات دو ضلع دیگر - پایه ها قرار دارد.

چگونه خط وسط ذوزنقه را از طریق خط وسط و قاعده پیدا کنیم؟

اگر مقادیر پایه های بالا و پایین مشخص باشد، عبارت به محاسبه مجهول کمک می کند:

a، b - پایه ها، l - خط وسط.

چگونه خط وسط ذوزنقه را از طریق یک ناحیه پیدا کنیم

اگر داده منبع شامل مساحت شکل باشد، با استفاده از این مقدار می توانید طول خط در وسط ذوزنقه را نیز محاسبه کنید. بیایید از فرمول S = (a+b)/2*h استفاده کنیم،
S – ناحیه،
h – ارتفاع،
الف، ب - پایه ها.
اما، از آنجایی که l = (a+b)/2، پس S = l*h، که به معنای l=S/h است.

نحوه یافتن خط وسط ذوزنقه از طریق قاعده و زوایای آن

با توجه به طول قاعده بزرگتر شکل، ارتفاع آن و همچنین اندازه گیری درجه های شناخته شده زوایای آن، عبارت برای یافتن خط وسط ذوزنقه به شکل زیر خواهد بود:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2، در حالی که
l مقدار مورد نیاز است،
الف – پایه بزرگتر
α، β زوایای آن هستند،
h - ارتفاع شکل.

اگر مقدار پایه کوچکتر مشخص باشد (با توجه به همان داده های دیگر)، رابطه زیر به یافتن خط وسط کمک می کند:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2،

l مقدار مورد نیاز است،
ب – پایه کوچکتر،
α، β زوایای آن هستند،
h - ارتفاع شکل.

خط وسط ذوزنقه را با استفاده از ارتفاع، مورب و زاویه پیدا کنید

بیایید وضعیتی را در نظر بگیریم که در آن شرایط مشکل شامل مقادیر قطرهای شکل، زوایایی که هنگام تقاطع یکدیگر تشکیل می دهند و همچنین ارتفاع است. می توانید خط مرکزی را با استفاده از عبارات زیر محاسبه کنید:

l=(d1*d2)/2h*sinγ یا l=(d1*d2)/2h*sinφ،

ل - خط وسط،
d1، d2 - مورب،
φ، γ - زوایای بین آنها،
h - ارتفاع شکل.

نحوه پیدا کردن خط وسط ذوزنقه برای یک شکل متساوی الساقین

اگر شکل اصلی یک ذوزنقه متساوی الساقین باشد، فرمول های فوق به شکل زیر خواهند بود.

• اگر مقادیر پایه های ذوزنقه ای وجود داشته باشد، تغییری در عبارت ایجاد نخواهد شد.

l = (a+b)/2، a، b – پایه ها، l – خط وسط.

• اگر ارتفاع، پایه و زوایای مجاور آن مشخص باشد، آنگاه:

l=a-h*ctgα،
l=b+h*ctgα،

ل - خط وسط،
الف، ب – پایه ها (ب< a),
α زوایای آن هستند،
h - ارتفاع شکل.

• اگر ضلع جانبی ذوزنقه و یکی از پایه ها مشخص باشد، با مراجعه به عبارت می توان مقدار مورد نظر را تعیین کرد:

l=a-√(c*c-h*h)،
l=b+√(c*c-h*h)،
ل - خط وسط،
الف، ب – پایه ها (ب< a),
h - ارتفاع شکل.

• با مقادیر شناخته شده ارتفاع، مورب ها (و آنها با یکدیگر برابر هستند) و زوایایی که در نتیجه تقاطع آنها ایجاد می شود، خط وسط را می توان به صورت زیر یافت:

l=(d*d)/2h*sinγ یا l=(d*d)/2h*sinφ،

ل - خط وسط،
d - مورب ها
φ، γ - زوایای بین آنها،
h - ارتفاع شکل.

• مساحت و ارتفاع شکل مشخص است، سپس:

l=S/h،
S – ناحیه،
h - ارتفاع.

• اگر ارتفاع عمود مجهول باشد، می توان آن را با استفاده از تعریف تابع مثلثاتی تعیین کرد.

بنابراین h=c*sinα
l=S/c*sinα،
ل - خط وسط،
S – ناحیه،
ج – سمت،
α زاویه پایه است.

خط وسط ذوزنقه و به ویژه خواص آن، اغلب در هندسه برای حل مسائل و اثبات قضایای خاص استفاده می شود.

یک چهار ضلعی است که فقط 2 ضلع آن موازی با یکدیگر هستند. اضلاع موازی پایه نامیده می شوند (در شکل 1 - آگهیو قبل از میلاد مسیح.، دو مورد دیگر جانبی هستند (در شکل ABو سی دی).

خط وسط ذوزنقهقطعه ای است که نقاط میانی اضلاع خود را به هم متصل می کند (در شکل 1 - KL).

ویژگی های خط وسط ذوزنقه

اثبات قضیه خط وسط ذوزنقه

ثابت كردنکه خط وسط ذوزنقه برابر با نصف مجموع قاعده های آن و موازی با این پایه ها است.

ذوزنقه داده شده است آ ب پ تبا خط وسط KL. برای اثبات خواص مورد نظر، لازم است یک خط مستقیم از میان نقاط ترسیم شود بو L. در شکل 2 این یک خط مستقیم است BQ. و همچنین پایه را ادامه دهید آگهیبه تقاطع با خط BQ.

مثلث های حاصل را در نظر بگیرید L.B.C.و LQD:

1. با تعریف خط وسط KLنقطه Lنقطه وسط قطعه است سی دی. نتیجه می شود که بخش ها C.L.و LDبرابر هستند.
2. ∠BLC = ∠QLD، از آنجایی که این زوایا عمودی هستند.
3. ∠BCL = ∠LDQ، زیرا این زوایا به صورت متقاطع روی خطوط موازی قرار دارند آگهیو قبل از میلاد مسیح.و سکنت سی دی.

از این 3 تساوی نتیجه می شود که مثلث هایی که قبلا در نظر گرفته شده اند L.B.C.و LQDدر 1 ضلع و دو زاویه مجاور برابر است (شکل 3 را ببینید). از این رو، ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQو مهمترین چیز - BL=LQ => KL، که خط وسط ذوزنقه است آ ب پ ت، همچنین خط وسط مثلث است ABQ. با توجه به ویژگی خط وسط یک مثلث ABQما گرفتیم.

مفهوم خط وسط ذوزنقه

ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چه شکلی ذوزنقه نامیده می شود.

تعریف 1

ذوزنقه چهار ضلعی است که دو ضلع آن موازی و دو ضلع دیگر موازی نیستند.

در این حالت اضلاع موازی را قاعده ذوزنقه و اضلاع غیر موازی را اضلاع جانبی ذوزنقه می نامند.

تعریف 2

خط وسط ذوزنقه قطعه ای است که نقاط میانی اضلاع جانبی ذوزنقه را به هم متصل می کند.

قضیه خط وسط ذوزنقه

حال قضیه خط وسط ذوزنقه را معرفی کرده و با استفاده از روش برداری آن را اثبات می کنیم.

قضیه 1

خط وسط ذوزنقه موازی قاعده ها و برابر با نیم جمع آنهاست.

اثبات

اجازه دهید یک ذوزنقه $ABCD$ با پایه $AD\ و\ BC$ به ما داده شود. و اجازه دهید $MN$ خط وسط این ذوزنقه باشد (شکل 1).

شکل 1. خط وسط ذوزنقه

اجازه دهید ثابت کنیم که $MN||AD\ و\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

بردار $\overrightarrow(MN)$ را در نظر بگیرید. در مرحله بعد از قانون چند ضلعی برای اضافه کردن بردارها استفاده می کنیم. از یک طرف، ما آن را دریافت می کنیم

از طرف دیگر

بیایید دو برابر آخر را با هم جمع کنیم و بدست آوریم

از آنجایی که $M$ و $N$ نقاط میانی اضلاع جانبی ذوزنقه هستند، خواهیم داشت

ما گرفتیم:

از این رو

از همان برابری (از آنجایی که $\overrightarrow(BC)$ و $\overrightarrow(AD)$ هم جهت هستند و بنابراین، هم خطی هستند) آن $MN||AD$ را بدست می آوریم.

قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مسائل مربوط به مفهوم خط وسط ذوزنقه

مثال 1

اضلاع جانبی ذوزنقه به ترتیب 15$/cm$ و 17$$cm$ است. محیط ذوزنقه $52\cm$ است. طول خط وسط ذوزنقه را پیدا کنید.

راه حل.

اجازه دهید خط وسط ذوزنقه را با $n$ نشان دهیم.

مجموع اضلاع برابر است

بنابراین، از آنجایی که محیط $52\cm$ است، مجموع پایه ها برابر است با

بنابراین، با قضیه 1، ما دریافت می کنیم

پاسخ: 10$\cm$.

مثال 2

انتهای قطر دایره به ترتیب 9$ سانتی متر و 5$ سانتی متر از مماس آن فاصله دارد قطر این دایره را بیابید.

راه حل.

اجازه دهید دایره ای با مرکز در نقطه $O$ و قطر $AB$ به ما داده شود. بیایید یک مماس $l$ رسم کنیم و فواصل $AD=9\cm$ و $BC=5\cm$ را بسازیم. بیایید شعاع $OH$ را رسم کنیم (شکل 2).

شکل 2.

از آنجایی که $AD$ و $BC$ فواصل تا مماس هستند، پس $AD\bot l$ و $BC\bot l$ و از آنجایی که $OH$ شعاع است، پس $OH\bot l$، بنابراین، $OH |\چپ|AD\راست||BC$. از همه اینها دریافتیم که $ABCD$ یک ذوزنقه است و $OH$ خط وسط آن است. با قضیه 1 دریافت می کنیم

ذوزنقه حالت خاصی از چهار ضلعی است که در آن یک جفت ضلع موازی است. اصطلاح "ذوزنقه" از کلمه یونانی τράπεζα به معنای "میز"، "میز" گرفته شده است. در این مقاله به بررسی انواع ذوزنقه و خواص آن می پردازیم. علاوه بر این، نحوه محاسبه عناصر منفرد این را خواهیم فهمید، به عنوان مثال، مورب ذوزنقه متساوی الساقین، خط مرکزی، مساحت و غیره. .

اطلاعات کلی

ابتدا بیایید بفهمیم که چهارضلعی چیست. این شکل یک حالت خاص از یک چند ضلعی است که شامل چهار ضلع و چهار راس است. دو رأس یک چهار ضلعی که مجاور هم نباشند مخالف نامیده می شوند. همین را می توان برای دو ضلع غیر مجاور نیز گفت. انواع اصلی چهارضلعی ها متوازی الاضلاع، مستطیل، لوزی، مربع، ذوزنقه و دلتوئید هستند.

پس بیایید به ذوزنقه ها برگردیم. همانطور که قبلاً گفتیم این رقم دارای دو ضلع موازی است. به آنها پایگاه می گویند. دو طرف دیگر (غیر موازی) اضلاع جانبی هستند. در مواد امتحانات و تست های مختلف اغلب می توانید مشکلات مربوط به ذوزنقه ها را بیابید که حل آنها اغلب مستلزم داشتن دانشی است که در برنامه پیش بینی نشده است. درس هندسه مدرسه دانش آموزان را با ویژگی های زاویه ها و مورب ها و همچنین خط وسط ذوزنقه متساوی الساقین آشنا می کند. اما علاوه بر این، شکل هندسی مذکور ویژگی های دیگری نیز دارد. اما در مورد آنها کمی بعد ...

انواع ذوزنقه

انواع مختلفی از این شکل وجود دارد. با این حال، اغلب مرسوم است که دو مورد از آنها را در نظر بگیریم - متساوی الساقین و مستطیل.

1. ذوزنقه مستطیلی شکلی است که یکی از اضلاع آن بر پایه ها عمود باشد. دو زاویه او همیشه برابر با نود درجه است.

2. ذوزنقه متساوی الساقین شکل هندسی است که اضلاع آن با هم برابر است. این بدان معنی است که زوایای پایه ها نیز به صورت جفت برابر هستند.

اصول اصلی روش شناسی برای مطالعه خواص ذوزنقه

اصل اصلی شامل استفاده از رویکرد به اصطلاح وظیفه است. در واقع نیازی به وارد کردن ویژگی های جدید این شکل در درس هندسه نظری نیست. آنها را می توان در فرآیند حل مسائل مختلف (ترجیحاً سیستمی) کشف و فرموله کرد. در عین حال، بسیار مهم است که معلم بداند چه وظایفی باید در یک دوره آموزشی به دانش آموزان محول شود. علاوه بر این، هر ویژگی ذوزنقه می تواند به عنوان یک وظیفه کلیدی در یک سیستم وظیفه نمایش داده شود.

اصل دوم، سازماندهی به اصطلاح مارپیچی برای مطالعه خواص "قابل توجه" ذوزنقه است. این به معنای بازگشت در فرآیند یادگیری به ویژگی های فردی یک شکل هندسی معین است. این باعث می شود دانش آموزان راحت تر آنها را به خاطر بسپارند. مثلاً خاصیت چهار نقطه. هم هنگام مطالعه شباهت و هم پس از آن با استفاده از بردارها می توان آن را ثابت کرد. و هم ارزی مثلث های مجاور اضلاع یک شکل را می توان نه تنها با اعمال خواص مثلث هایی با ارتفاع مساوی که به ضلع هایی که روی یک خط مستقیم قرار دارند، بلکه با استفاده از فرمول S = 1/2 نیز اثبات کرد. ab*sina). علاوه بر این، می توانید بر روی ذوزنقه حکاکی شده یا مثلث قائم الزاویه روی ذوزنقه حکاکی شده و غیره کار کنید.

استفاده از ویژگی های "خارج از برنامه" یک شکل هندسی در محتوای یک دوره مدرسه یک فناوری مبتنی بر وظیفه برای آموزش آنها است. رجوع مداوم به ویژگی های مورد مطالعه در حین مرور موضوعات دیگر به دانش آموزان اجازه می دهد تا دانش عمیق تری از ذوزنقه به دست آورند و موفقیت در حل مسائل تعیین شده را تضمین می کند. بنابراین، بیایید شروع به مطالعه این شکل شگفت انگیز کنیم.

عناصر و خواص ذوزنقه متساوی الساقین

همانطور که قبلاً اشاره کردیم، این شکل هندسی دارای اضلاع مساوی است. به ذوزنقه صحیح نیز معروف است. چرا اینقدر قابل توجه است و چرا چنین نامی به خود گرفته است؟ ویژگی این شکل این است که نه تنها اضلاع و زوایای پایه ها، بلکه مورب ها نیز برابر هستند. به علاوه مجموع زوایای ذوزنقه متساوی الساقین 360 درجه است. اما این همه ماجرا نیست! از میان همه ذوزنقه‌های شناخته شده، فقط یک متساوی الساقین را می‌توان به عنوان دایره توصیف کرد. این به این دلیل است که مجموع زوایای مقابل این شکل برابر با 180 درجه است و فقط در این شرایط می توان دایره ای را در اطراف یک چهار ضلعی توصیف کرد. ویژگی بعدی شکل هندسی مورد بررسی این است که فاصله راس قاعده تا برآمدگی راس مقابل بر روی خط مستقیمی که این قاعده را در خود دارد برابر با خط وسط خواهد بود.

حالا بیایید بفهمیم که چگونه زوایای یک ذوزنقه متساوی الساقین را پیدا کنیم. اجازه دهید راه حلی برای این مشکل در نظر بگیریم، مشروط بر اینکه ابعاد اضلاع شکل مشخص باشد.

راه حل

به طور معمول، چهار ضلعی معمولا با حروف A، B، C، D نشان داده می شود، که در آن BS و AD پایه هستند. در ذوزنقه متساوی الساقین، اضلاع با هم برابر هستند. اندازه آنها را برابر با X و اندازه پایه ها را برابر با Y و Z (به ترتیب کوچکتر و بزرگتر) فرض خواهیم کرد. برای انجام محاسبات، لازم است که ارتفاع H را از زاویه B رسم کنیم. نتیجه یک مثلث قائم الزاویه ABN است که AB هیپوتانوس و BN و AN پاها هستند. اندازه ساق AN را محاسبه می کنیم: پایه کوچکتر را از پایه بزرگتر کم می کنیم و حاصل را بر 2 تقسیم می کنیم. آن را به صورت فرمول می نویسیم: (Z-Y)/2 = F. حالا برای محاسبه حاد زاویه مثلث، از تابع cos استفاده می کنیم. ورودی زیر را دریافت می کنیم: cos(β) = X/F. حالا زاویه را محاسبه می کنیم: β=arcos (X/F). علاوه بر این، با دانستن یک زاویه، می توانیم دومی را تعیین کنیم، برای این کار یک عملیات حسابی ابتدایی را انجام می دهیم: 180 - β. تمام زوایا تعریف شده است.

راه حل دومی برای این مشکل وجود دارد. ابتدا آن را از گوشه به ارتفاع H پایین می آوریم. مقدار پایه BN را محاسبه می کنیم. می دانیم که مجذور هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها. دریافت می کنیم: BN = √(X2-F2). سپس از تابع مثلثاتی tg استفاده می کنیم. در نتیجه داریم: β = آرکتان (BN/F). یک زاویه حاد پیدا شده است. در مرحله بعد، آن را مشابه روش اول تعریف می کنیم.

ویژگی قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین

ابتدا اجازه دهید چهار قانون را بنویسیم. اگر قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین عمود بر هم باشند، آنگاه:

ارتفاع شکل برابر با مجموع پایه ها تقسیم بر دو خواهد بود.

ارتفاع و خط وسط آن برابر است.

مرکز دایره نقطه ای است که در آن ;

اگر ضلع جانبی توسط نقطه مماس به قطعات H و M تقسیم شود، آنگاه برابر است با جذر حاصلضرب این قطعات.

چهارضلعی که از نقاط تماس، راس ذوزنقه و مرکز دایره محاطی تشکیل شده است مربعی است که ضلع آن برابر با شعاع است.

مساحت یک شکل برابر است با حاصل ضرب پایه ها و حاصل ضرب نصف مجموع پایه ها و ارتفاع آن.

ذوزنقه های مشابه

این مبحث برای مطالعه خواص این بسیار مناسب است، به عنوان مثال، مورب ها یک ذوزنقه را به چهار مثلث تقسیم می کنند و آنهایی که در مجاورت پایه ها قرار دارند مشابه هستند و آنهایی که مجاور اضلاع هستند از نظر اندازه برابر هستند. این عبارت را می توان ویژگی مثلث هایی نامید که ذوزنقه بر اساس قطرهایش به آنها تقسیم می شود. قسمت اول این گفته از طریق علامت تشابه در دو زاویه ثابت می شود. برای اثبات قسمت دوم بهتر است از روش زیر استفاده کنید.

اثبات قضیه

می پذیریم که شکل ABSD (AD و BS پایه های ذوزنقه هستند) به قطرهای VD و AC تقسیم شده است. نقطه تقاطع آنها O است. ما چهار مثلث داریم: AOS - در پایه پایین، BOS - در پایه بالا، ABO و SOD در اضلاع. مثلث های SOD و BOS دارای ارتفاع مشترک هستند اگر قطعات BO و OD پایه آنها باشند. ما متوجه شدیم که تفاوت بین مساحت آنها (P) برابر است با تفاوت بین این بخش ها: PBOS/PSOD = BO/OD = K. بنابراین، PSOD = PBOS/K. به طور مشابه، مثلث های BOS و AOB دارای ارتفاع مشترک هستند. بخش های CO و OA را به عنوان پایه آنها در نظر می گیریم. ما PBOS/PAOB = CO/OA = K و PAOB = PBOS/K را دریافت می کنیم. از این نتیجه می شود که PSOD = PAOB.

برای تجمیع مطالب، به دانش‌آموزان توصیه می‌شود تا با حل مسئله زیر، ارتباط بین مناطق مثلث‌های حاصل را که ذوزنقه بر اساس قطرهای آن تقسیم می‌شود، بیابند. مشخص است که مثلث های BOS و AOD دارای مساحت مساوی هستند. از آنجایی که PSOD = PAOB، به معنای PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD است. از شباهت مثلث های BOS و AOD نتیجه می شود که BO/OD = √(PBOS/PAOD). بنابراین PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). ما PSOD = √ (PBOS*PAOD) را دریافت می کنیم. سپس PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

خواص تشابه

با ادامه توسعه این موضوع، می‌توانیم ویژگی‌های جالب دیگر ذوزنقه‌ها را ثابت کنیم. بنابراین با استفاده از تشابه می توان خاصیت پاره ای را که از نقطه ای که از تقاطع مورب های این شکل هندسی به موازات قاعده ها تشکیل شده است را اثبات کرد. برای انجام این کار، اجازه دهید مشکل زیر را حل کنیم: لازم است طول قطعه RK را که از نقطه O می گذرد، پیدا کنیم. از شباهت مثلث های AOD و BOS نتیجه می شود که AO/OS = AD/BS. از شباهت مثلث های AOP و ASB چنین بر می آید که AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). از اینجا دریافت می کنیم که RO=BS*BP/(BS+BP). به همین ترتیب، از تشابه مثلث های DOC و DBS، نتیجه می شود که OK = BS*AD/(BS+AD). از اینجا دریافت می کنیم که RO=OK و RK=2*BS*AD/(BS+AD). قطعه ای که از نقطه تقاطع مورب ها به موازات پایه ها می گذرد و دو ضلع جانبی را به هم وصل می کند، توسط نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود. طول آن میانگین هارمونیک پایه های شکل است.

ویژگی زیر ذوزنقه را در نظر بگیرید که به آن خاصیت چهار نقطه می گویند. نقاط تقاطع مورب ها (O)، محل تلاقی ادامه اضلاع (E) و همچنین نقاط میانی پایه ها (T و F) همیشه روی یک خط قرار دارند. این را می توان به راحتی با روش تشابه اثبات کرد. مثلث های BES و AED به دست آمده مشابه هستند و در هر یک از آنها میانه های ET و EJ زاویه رأس E را به قسمت های مساوی تقسیم می کنند. بنابراین، نقاط E، T و F روی یک خط مستقیم قرار دارند. به همین ترتیب، نقاط T، O، و Zh روی یک خط مستقیم قرار دارند. از اینجا نتیجه می گیریم که هر چهار نقطه - E، T، O و F - روی یک خط مستقیم قرار می گیرند.

با استفاده از ذوزنقه های مشابه، می توانید از دانش آموزان بخواهید طول قطعه (LS) را که شکل را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند، بیابند. این قطعه باید موازی با پایه ها باشد. از آنجایی که ذوزنقه های حاصل ALFD و LBSF مشابه هستند، پس BS/LF = LF/AD. نتیجه این است که LF=√(BS*AD). متوجه شدیم که قطعه ای که ذوزنقه را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند دارای طولی برابر با میانگین هندسی طول پایه های شکل است.

ویژگی تشابه زیر را در نظر بگیرید. بر اساس قطعه ای است که ذوزنقه را به دو شکل مساوی تقسیم می کند. ما فرض می کنیم که ذوزنقه ABSD توسط قطعه EH به دو قطعه مشابه تقسیم می شود. از راس B یک ارتفاع حذف شده است که توسط بخش EN به دو قسمت - B1 و B2 تقسیم می شود. دریافت می کنیم: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 و PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. سپس، سیستمی را می سازیم که اولین معادله آن (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 و معادله دوم (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 باشد. نتیجه می شود که B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) و BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). متوجه می‌شویم که طول قطعه‌ای که ذوزنقه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند برابر است با ریشه میانگین مربع طول پایه‌ها: √((BS2+AD2)/2).

یافته های شباهت

بنابراین، ما ثابت کردیم که:

1. پاره ای که نقاط میانی اضلاع ذوزنقه را به هم وصل می کند، موازی با AD و BS است و برابر است با میانگین حسابی BS و AD (طول قاعده ذوزنقه).

2. خطی که از نقطه O تقاطع قطرهای موازی AD و BS می گذرد برابر با میانگین هارمونیک اعداد AD و BS (2*BS*AD/(BS+AD)) خواهد بود.

3. پاره ای که ذوزنقه را به قطعات مشابه تقسیم می کند، طول میانگین هندسی پایه های BS و AD را دارد.

4. عنصری که یک شکل را به دو عدد مساوی تقسیم می کند دارای طول ریشه مجذور میانگین اعداد AD و BS است.

برای ادغام مطالب و درک ارتباط بین بخش های در نظر گرفته شده، دانش آموز باید آنها را برای یک ذوزنقه خاص بسازد. او به راحتی می تواند خط وسط و قطعه ای را که از نقطه O - محل تقاطع مورب های شکل - موازی با پایه ها عبور می کند، نمایش دهد. اما سومین و چهارمین کجا قرار خواهند گرفت؟ این پاسخ دانش آموز را به کشف رابطه مطلوب بین مقادیر متوسط ​​می رساند.

پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند

ویژگی زیر را در این شکل در نظر بگیرید. فرض می کنیم که قطعه MH موازی با قاعده ها است و قطرها را نصف می کند. نقطه های تقاطع Ш و Ш را می نامیم. بیایید به این موضوع با جزئیات بیشتری نگاه کنیم. MS خط وسط مثلث ABS است، برابر با BS/2 است. MSH خط وسط مثلث ABD است که برابر با AD/2 است. سپس دریافت می کنیم که ShShch = MSh-Msh، بنابراین، ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

مرکز گرانش

بیایید ببینیم که چگونه این عنصر برای یک شکل هندسی مشخص تعیین می شود. برای انجام این کار، لازم است که پایه ها را در جهت مخالف گسترش دهید. چه مفهومی داره؟ شما باید پایه پایین را به پایه بالایی اضافه کنید - در هر جهت، به عنوان مثال، به سمت راست. و قسمت پایینی را به طول قسمت بالایی به سمت چپ گسترش می دهیم. سپس آنها را به صورت مورب به هم وصل می کنیم. نقطه تلاقی این قطعه با خط وسط شکل مرکز ثقل ذوزنقه است.

ذوزنقه های کتیبه دار و محصور

بیایید ویژگی های چنین ارقامی را فهرست کنیم:

1. ذوزنقه را فقط در صورتی می توان به صورت دایره ای حک کرد که متساوی الساقین باشد.

2. ذوزنقه را می توان حول دایره توصیف کرد، مشروط بر اینکه مجموع طول پایه های آنها با مجموع طول اضلاع برابر باشد.

پیامدهای دایره:

1. ارتفاع ذوزنقه توصیف شده همیشه برابر با دو شعاع است.

2. ضلع ذوزنقه توصیف شده از مرکز دایره با زاویه قائمه مشاهده می شود.

نتیجه اول واضح است، اما برای اثبات دومی باید ثابت کرد که زاویه SOD درست است، که در واقع دشوار نیست. اما آگاهی از این ویژگی به شما این امکان را می دهد که در حل مسائل از مثلث قائم الزاویه استفاده کنید.

حال اجازه دهید این پیامدها را برای ذوزنقه متساوی الساقین که در یک دایره حک شده است مشخص کنیم. متوجه می شویم که ارتفاع، میانگین هندسی پایه های شکل است: H=2R=√(BS*AD). دانش آموز در حین تمرین تکنیک اساسی برای حل مسائل ذوزنقه ای (اصل ترسیم دو ارتفاع) باید تکلیف زیر را حل کند. فرض می کنیم که BT ارتفاع شکل متساوی الساقین ABSD است. یافتن بخش های AT و TD ضروری است. با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا، انجام این کار دشوار نخواهد بود.

حالا بیایید بفهمیم که چگونه شعاع دایره را با استفاده از مساحت ذوزنقه محدود شده تعیین کنیم. ارتفاع را از راس B به پایه AD کاهش می دهیم. از آنجایی که دایره در یک ذوزنقه حک شده است، پس BS+AD = 2AB یا AB = (BS+AD)/2. از مثلث ABN، sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) را پیدا می کنیم. PABSD = (BS+BP)*BN/2، BN=2R. ما PABSD = (BS+BP)*R را دریافت می کنیم، نتیجه آن این است که R = PABSD/(BS+BP).

تمام فرمول های خط وسط ذوزنقه

حالا وقت آن است که به آخرین عنصر این شکل هندسی برویم. بیایید بفهمیم که خط وسط ذوزنقه (M) برابر است با:

1. از طریق پایه ها: M = (A+B)/2.

2. از طریق ارتفاع، پایه و گوشه ها:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. از طریق ارتفاع، مورب و زاویه بین آنها. برای مثال، D1 و D2 قطرهای ذوزنقه هستند. α، β - زوایای بین آنها:

M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.

4. از طریق مساحت و ارتفاع: M = P/N.

در این مقاله سعی خواهیم کرد تا حد امکان خواص ذوزنقه را به طور کامل منعکس کنیم. به طور خاص، در مورد خصوصیات و خصوصیات کلی ذوزنقه و همچنین خواص ذوزنقه کتیبه و دایره حک شده در ذوزنقه صحبت خواهیم کرد. همچنین به خواص ذوزنقه متساوی الساقین و مستطیلی خواهیم پرداخت.

نمونه ای از حل یک مسئله با استفاده از ویژگی های مورد بحث به شما کمک می کند تا آن را در ذهن خود مرتب کنید و مطالب را بهتر به خاطر بسپارید.

ذوزنقه و همه همه

برای شروع، اجازه دهید به طور خلاصه یادآوری کنیم که ذوزنقه چیست و چه مفاهیم دیگری با آن مرتبط است.

بنابراین، ذوزنقه یک شکل چهار ضلعی است که دو ضلع آن با یکدیگر موازی هستند (اینها پایه ها هستند). و این دو موازی نیستند - اینها طرفین هستند.

در یک ذوزنقه، ارتفاع را می توان کاهش داد - عمود بر پایه ها. خط وسط و مورب ها ترسیم شده اند. همچنین می توان نیمساز را از هر زاویه ای از ذوزنقه ترسیم کرد.

اکنون در مورد خواص مختلف مرتبط با همه این عناصر و ترکیب آنها صحبت خواهیم کرد.

خواص قطرهای ذوزنقه ای

برای واضح تر شدن آن، در حین مطالعه، ذوزنقه ACME را روی یک تکه کاغذ ترسیم کنید و مورب ها را در آن بکشید.

1. اگر نقاط میانی هر یک از مورب ها را پیدا کنید (این نقاط را X و T بنامیم) و آنها را به هم وصل کنید، یک پاره به دست می آورید. یکی از ویژگی های قطرهای ذوزنقه این است که قطعه HT روی خط وسط قرار دارد. و طول آن را می توان با تقسیم اختلاف پایه ها بر دو به دست آورد: ХТ = (a – b)/2.
2. قبل از ما همان ذوزنقه ACME است. مورب ها در نقطه O قطع می شوند. بیایید به مثلث های AOE و MOK نگاه کنیم که توسط بخش هایی از مورب ها همراه با پایه های ذوزنقه تشکیل شده اند. این مثلث ها شبیه هم هستند. ضریب شباهت k مثلث ها از طریق نسبت پایه های ذوزنقه بیان می شود: k = AE/KM.
   نسبت مساحت مثلث های AOE و MOK با ضریب k 2 توصیف می شود.
3. همان ذوزنقه، همان قطرهای متقاطع در نقطه O. فقط این بار مثلث هایی را در نظر می گیریم که قطعات مورب همراه با اضلاع ذوزنقه تشکیل شده اند. مساحت مثلث های AKO و EMO از نظر اندازه برابر است - مساحت آنها یکسان است.
4. یکی دیگر از ویژگی های ذوزنقه شامل ساخت مورب است. بنابراین، اگر دو طرف AK و ME را در جهت پایه کوچکتر ادامه دهید، دیر یا زود آنها در یک نقطه خاص قطع می شوند. سپس یک خط مستقیم از وسط پایه های ذوزنقه بکشید. این پایه ها را در نقاط X و T قطع می کند.
   اگر اکنون خط XT را گسترش دهیم، آنگاه نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه O را به هم متصل می کند، نقطه ای که در آن امتداد اضلاع و وسط پایه های X و T قطع می شود.
5. از طریق نقطه تقاطع مورب ها، قطعه ای را ترسیم می کنیم که پایه های ذوزنقه را به هم متصل می کند (T روی پایه کوچکتر KM، X در AE بزرگتر قرار دارد). نقطه تقاطع مورب ها این بخش را به نسبت زیر تقسیم می کند: TO/OX = KM/AE.
6. حال از نقطه تلاقی مورب ها، پاره ای موازی با پایه های ذوزنقه (a و b) ترسیم می کنیم. نقطه تقاطع آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. با استفاده از فرمول می توانید طول قطعه را پیدا کنید 2ab/(a + b).

ویژگی های خط وسط ذوزنقه

خط وسط را در ذوزنقه به موازات پایه های آن بکشید.

1. طول خط وسط یک ذوزنقه را می توان با جمع کردن طول پایه ها و تقسیم آنها به دو نیم محاسبه کرد: m = (a + b)/2.
2. اگر هر پاره ای (مثلاً ارتفاع) را از هر دو پایه ذوزنقه بکشید، خط وسط آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

ویژگی نیمساز ذوزنقه

هر زاویه ای از ذوزنقه را انتخاب کنید و نیمساز بکشید. برای مثال، زاویه KAE ذوزنقه ACME را در نظر بگیرید. پس از تکمیل ساخت و ساز، می توانید به راحتی تأیید کنید که نیمساز از پایه (یا ادامه آن در یک خط مستقیم خارج از خود شکل) قطعه ای به همان طول ضلع را قطع می کند.

خواص زوایای ذوزنقه ای

1. هر کدام از دو جفت زاویه مجاور ضلع را انتخاب کنید، مجموع زوایای جفت همیشه 180 0 است: α + β = 180 0 و γ + δ = 180 0.
2. بیایید نقاط میانی پایه ذوزنقه را با یک قطعه TX به هم وصل کنیم. حال بیایید به زوایای پایه ذوزنقه نگاه کنیم. اگر مجموع زوایای هر یک از آنها 90 0 باشد، طول قطعه TX را می توان به راحتی بر اساس اختلاف طول پایه ها به نصف محاسبه کرد: TX = (AE – KM)/2.
3. اگر خطوط موازی در اضلاع یک زاویه ذوزنقه ای رسم شوند، اضلاع زاویه را به بخش های متناسب تقسیم می کنند.

خواص ذوزنقه متساوی الساقین (متساوی الاضلاع).

1. در ذوزنقه متساوی الساقین، زوایای هر قاعده مساوی است.
2. اکنون مجدداً یک ذوزنقه بسازید تا تصور آنچه در مورد آن صحبت می کنیم آسان تر شود. با دقت به پایه AE نگاه کنید - راس پایه مخالف M به نقطه خاصی از خطی که حاوی AE است پیش بینی می شود. فاصله راس A تا نقطه برآمدگی راس M و خط وسط ذوزنقه متساوی الساقین برابر است.
3. چند کلمه در مورد ویژگی مورب های یک ذوزنقه متساوی الساقین - طول آنها برابر است. و همچنین زوایای تمایل این قطرها به قاعده ذوزنقه یکسان است.
4. فقط در اطراف یک ذوزنقه متساوی الساقین می توان یک دایره را توصیف کرد، زیرا مجموع زوایای مقابل یک چهار ضلعی 180 0 است - پیش نیاز این است.
5. خاصیت ذوزنقه متساوی الساقین از پاراگراف قبل به دست می آید - اگر بتوان دایره ای را در نزدیکی ذوزنقه توصیف کرد، آن متساوی الساقین است.
6. از ویژگی های یک ذوزنقه متساوی الساقین، ویژگی ارتفاع ذوزنقه به دست می آید: اگر قطرهای آن در زاویه قائمه همدیگر را قطع کنند، طول ارتفاع برابر است با نصف مجموع پایه ها: h = (a + b)/2.
7. مجدداً قطعه TX را از میان نقاط پایه ذوزنقه بکشید - در ذوزنقه متساوی الساقین بر پایه ها عمود است. و در عین حال TX محور تقارن ذوزنقه متساوی الساقین است.
8. این بار، ارتفاع را از راس مخالف ذوزنقه روی پایه بزرگتر کاهش دهید (بیایید آن را a بنامیم). دو بخش دریافت خواهید کرد. اگر طول پایه ها را جمع کرده و به نصف تقسیم کنیم، طول یک را می توان یافت: (a + b)/2. وقتی پایه کوچکتر را از پایه بزرگتر کم کنیم و اختلاف حاصل را بر دو تقسیم کنیم، دومی را بدست می آوریم: (الف – ب)/2.

خواص ذوزنقه ای که در دایره حک شده است

از آنجایی که ما قبلاً در مورد ذوزنقه ای صحبت می کنیم که در یک دایره حکاکی شده است، اجازه دهید در مورد این موضوع با جزئیات بیشتری صحبت کنیم. به ویژه، در جایی که مرکز دایره در رابطه با ذوزنقه قرار دارد. در اینجا نیز توصیه می شود که برای برداشتن مداد و ترسیم آنچه در زیر بحث خواهد شد، وقت بگذارید. به این ترتیب سریعتر متوجه خواهید شد و بهتر به یاد خواهید آورد.

1. محل مرکز دایره با زاویه تمایل قطر ذوزنقه به سمت آن تعیین می شود. به عنوان مثال، یک مورب ممکن است از بالای یک ذوزنقه در زوایای قائم به سمت امتداد یابد. در این مورد، پایه بزرگتر مرکز دایره را دقیقاً در وسط قطع می کند (R = ½AE).
2. مورب و ضلع نیز می توانند در یک زاویه حاد به هم برسند - سپس مرکز دایره در داخل ذوزنقه قرار دارد.
3. مرکز دایره محصور شده ممکن است خارج از ذوزنقه، فراتر از قاعده بزرگتر آن باشد، اگر یک زاویه مبهم بین قطر ذوزنقه و ضلع وجود داشته باشد.
4. زاویه تشکیل شده توسط مورب و پایه بزرگ ذوزنقه ACME (زاویه محاطی) نیمی از زاویه مرکزی است که با آن مطابقت دارد: MAE = ½ MOE.
5. به طور خلاصه در مورد دو روش برای یافتن شعاع یک دایره محدود شده. روش اول: با دقت به نقاشی خود نگاه کنید - چه می بینید؟ به راحتی می توانید متوجه شوید که مورب ذوزنقه را به دو مثلث تقسیم می کند. شعاع را می توان با نسبت ضلع مثلث به سینوس زاویه مقابل ضرب در دو یافت. مثلا، R = AE/2*sinAME. فرمول را می توان به روشی مشابه برای هر یک از ضلع های هر دو مثلث نوشت.
6. روش دوم: شعاع دایره محدود شده را از طریق مساحت مثلثی که توسط مورب، ضلع و قاعده ذوزنقه تشکیل شده است، پیدا کنید: R = AM*ME*AE/4*S AME.

خصوصیات ذوزنقه ای که دور یک دایره محصور شده است

اگر یک شرط وجود داشته باشد، می توانید یک دایره را در ذوزنقه قرار دهید. در ادامه در مورد آن بیشتر بخوانید. و این ترکیب از ارقام دارای تعدادی ویژگی جالب است.

1. اگر دایره ای در ذوزنقه حک شده باشد، طول خط وسط آن را می توان به راحتی با اضافه کردن طول اضلاع و تقسیم حاصل به نصف یافت: m = (c + d)/2.
2. برای یک ACME ذوزنقه ای که به دور یک دایره احاطه شده است، مجموع طول پایه ها برابر است با مجموع طول اضلاع: AK + ME = KM + AE.
3. از این خاصیت قاعده ذوزنقه، گزاره معکوس به دست می آید: دایره ای را می توان در ذوزنقه ای که مجموع پایه های آن برابر با مجموع اضلاع آن است، حک کرد.
4. نقطه مماس دایره ای با شعاع r که در ذوزنقه ای محاط شده است، ضلع را به دو قسمت تقسیم می کند، آنها را a و b بنامیم. شعاع دایره را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: r = √ab.
5. و یک ملک دیگر برای جلوگیری از سردرگمی، خودتان این مثال را نیز ترسیم کنید. ما ذوزنقه خوب قدیمی ACME را داریم که در اطراف یک دایره توضیح داده شده است. این شامل مورب هایی است که در نقطه O قطع می شوند. مثلث های AOK و EOM که توسط بخش های مورب و اضلاع جانبی تشکیل شده اند مستطیل شکل هستند.
   ارتفاع این مثلث ها که تا هیپوتنوس ها (یعنی اضلاع جانبی ذوزنقه) پایین می آیند، با شعاع دایره محاط شده منطبق است. و ارتفاع ذوزنقه منطبق بر قطر دایره محاطی است.

خواص ذوزنقه مستطیل شکل

ذوزنقه در صورتی مستطیل نامیده می شود که یکی از زوایای آن قائمه باشد. و خواص آن ناشی از همین شرایط است.

1. یک ذوزنقه مستطیل شکل یکی از اضلاع آن عمود بر قاعده خود است.
2. ارتفاع و ضلع ذوزنقه در مجاورت زاویه قائمه با هم برابر است. این به شما امکان می دهد مساحت ذوزنقه مستطیلی را محاسبه کنید (فرمول کلی S = (a + b) * h/2) نه تنها از طریق ارتفاع، بلکه از طریق ضلع مجاور زاویه سمت راست.
3. برای یک ذوزنقه مستطیلی، ویژگی های کلی مورب های یک ذوزنقه که قبلاً در بالا توضیح داده شد، مرتبط هستند.

شواهدی از برخی خواص ذوزنقه

تساوی زوایای قاعده ذوزنقه متساوی الساقین:

• احتمالاً قبلاً حدس زده اید که در اینجا دوباره به ذوزنقه AKME نیاز خواهیم داشت - یک ذوزنقه متساوی الساقین بکشید. یک خط مستقیم MT از راس M به موازات ضلع AK رسم کنید (MT || AK).

چهارضلعی AKMT حاصل یک متوازی الاضلاع است (AK || MT، KM || AT). از آنجایی که ME = KA = MT، ∆ MTE متساوی الساقین و MET = MTE است.

AK || MT، بنابراین MTE = KAE، MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME کجاست.

Q.E.D.

حال بر اساس خاصیت ذوزنقه متساوی الساقین (برابری قطرها) ثابت می کنیم که ذوزنقه ACME متساوی الساقین است:

• ابتدا یک خط مستقیم MX – MX || رسم می کنیم KE. ما یک متوازی الاضلاع KMHE (پایه - MX || KE و KM || EX) به دست می آوریم.

∆AMX متساوی الساقین است، زیرا AM = KE = MX، و MAX = MEA.

MH || KE، KEA = MHE، بنابراین MAE = MHE.

معلوم شد که مثلث های AKE و EMA با یکدیگر برابر هستند، زیرا AM = KE و AE ضلع مشترک دو مثلث هستند. و همچنین MAE = MXE. می توان نتیجه گرفت که AK = ME، و از این نتیجه می شود که ذوزنقه AKME متساوی الساقین است.

بررسی کار

پایه های ذوزنقه ACME 9 سانتی متر و 21 سانتی متر است، ضلع KA برابر با 8 سانتی متر با پایه کوچکتر زاویه 150 0 را تشکیل می دهد. شما باید ناحیه ذوزنقه را پیدا کنید.

راه حل: از راس K ارتفاع را به قاعده بزرگتر ذوزنقه کاهش می دهیم. و اجازه دهید شروع به بررسی زوایای ذوزنقه کنیم.

زاویه های AEM و KAN یک طرفه هستند. یعنی در مجموع 180 0 می دهند. بنابراین، KAN = 30 0 (بر اساس خاصیت زوایای ذوزنقه ای).

اجازه دهید اکنون ΔANC مستطیلی را در نظر بگیریم (من معتقدم این نکته برای خوانندگان بدون شواهد اضافی واضح است). از آن ما ارتفاع ذوزنقه KH را خواهیم یافت - در یک مثلث پایی است که در مقابل زاویه 30 0 قرار دارد. بنابراین، KN = ½AB = 4 سانتی متر.

مساحت ذوزنقه را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 سانتی متر مربع.

پس گفتار

اگر این مقاله را با دقت و سنجیده مطالعه کرده اید، برای کشیدن ذوزنقه برای تمام ویژگی های داده شده با یک مداد در دست و تجزیه و تحلیل آنها در عمل، خیلی تنبل نبوده اید، باید به خوبی بر مواد مسلط شده باشید.

البته، در اینجا اطلاعات زیادی وجود دارد، متنوع و گاهی اوقات حتی گیج کننده: اشتباه کردن خواص ذوزنقه توصیف شده با خواص ذوزنقه آنقدر دشوار نیست. اما شما خودتان دیدید که تفاوت بسیار زیاد است.

اکنون شما یک طرح کلی از تمام خصوصیات کلی یک ذوزنقه دارید. و همچنین خواص و ویژگی های خاص ذوزنقه های متساوی الساقین و مستطیل شکل. استفاده از آن برای آماده شدن برای آزمون ها و امتحانات بسیار راحت است. خودتان آن را امتحان کنید و لینک را با دوستان خود به اشتراک بگذارید!

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.