چیزی که به آن پیشرفت حسابی می گویند. چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم؟ مثال های پیشروی حسابی با حل

بسیاری از مردم در مورد پیشرفت محاسباتی شنیده‌اند، اما همه نمی‌دانند که آن چیست. در این مقاله ما تعریف مربوطه را ارائه می دهیم و همچنین به این سؤال می پردازیم که چگونه تفاوت یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم و تعدادی مثال ارائه می دهیم.

تعریف ریاضی

بنابراین، اگر ما در مورد یک پیشرفت حسابی یا جبری صحبت می کنیم (این مفاهیم یک چیز را تعریف می کنند)، به این معنی است که یک سری عددی خاص وجود دارد که قانون زیر را برآورده می کند: هر دو عدد مجاور در سری با یک مقدار متفاوت هستند. از نظر ریاضی به این صورت نوشته شده است:

در اینجا n به معنای تعداد عنصر a n در دنباله است و عدد d تفاوت پیشروی است (نام آن از فرمول ارائه شده است).

دانستن تفاوت d به چه معناست؟ در مورد اینکه اعداد همسایه چقدر از یکدیگر فاصله دارند. با این حال، آگاهی از d شرط لازم اما کافی برای تعیین (بازیابی) کل پیشرفت است. لازم است یک عدد دیگر بدانید که می تواند مطلقاً هر عنصر سری مورد بررسی باشد، به عنوان مثال، 4، a10، اما، به عنوان یک قاعده، آنها از اولین عدد، یعنی یک 1 استفاده می کنند.

فرمول هایی برای تعیین عناصر پیشرفت

به طور کلی، اطلاعات بالا از قبل برای حرکت به سمت حل مشکلات خاص کافی است. با این وجود، قبل از اینکه پیشرفت محاسباتی داده شود، و لازم باشد تفاوت آن را پیدا کنیم، چند فرمول مفید را ارائه خواهیم داد، در نتیجه روند بعدی حل مسائل را تسهیل می کنیم.

به راحتی می توان نشان داد که هر عنصری از دنباله با عدد n را می توان به صورت زیر یافت:

a n = a 1 + (n - 1) * d

در واقع، هر کسی می‌تواند این فرمول را با جستجوی ساده بررسی کند: اگر n = 1 را جایگزین کنید، اولین عنصر را دریافت می‌کنید، اگر n = 2 را جایگزین کنید، سپس عبارت مجموع عدد اول و تفاوت را نشان می‌دهد و غیره.

شرایط بسیاری از مسائل به گونه ای تشکیل شده است که با توجه به یک جفت اعداد شناخته شده که اعداد آنها نیز در دنباله آورده شده است، لازم است کل سری اعداد بازسازی شود (تفاوت و عنصر اول را بیابید). حال این مشکل را به صورت کلی حل می کنیم.

بنابراین، اجازه دهید دو عنصر با اعداد n و m داده شود. با استفاده از فرمول به دست آمده در بالا، می توانید یک سیستم از دو معادله ایجاد کنید:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

برای یافتن مقادیر مجهول، از یک تکنیک ساده و شناخته شده برای حل چنین سیستمی استفاده می کنیم: طرف چپ و راست را جفت تفریق کنید، تساوی معتبر باقی می ماند. ما داریم:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

بنابراین، ما یک مجهول (a 1) را حذف کردیم. حال می توانیم عبارت نهایی را برای تعیین d بنویسیم:

d = (a n - a m) / (n - m)، که در آن n > m

ما یک فرمول بسیار ساده دریافت کردیم: برای محاسبه تفاوت d مطابق با شرایط مسئله، فقط باید نسبت تفاوت بین خود عناصر و شماره سریال آنها را در نظر گرفت. به یک نکته مهم باید توجه کرد: تفاوت ها بین اعضای " ارشد" و "جوانتر" گرفته می شود، یعنی n > m (" ارشد" به معنای دورتر ایستادن از ابتدای دنباله است، قدر مطلق آن می تواند یکی باشد. عنصر "جوانتر" بیشتر یا کمتر).

عبارت تفاوت پیشروی d باید در ابتدای حل مسئله در هر یک از معادلات جایگزین شود تا مقدار جمله اول به دست آید.

در عصر توسعه فناوری رایانه ما، بسیاری از دانش‌آموزان سعی می‌کنند راه‌حل‌هایی برای تکالیف خود در اینترنت بیابند، بنابراین سؤالاتی از این نوع اغلب مطرح می‌شود: تفاوت یک پیشرفت حسابی را به صورت آنلاین پیدا کنید. برای چنین درخواستی، موتور جستجو تعدادی صفحه وب را برمی گرداند که با رفتن به آنها باید داده های شناخته شده از شرایط را وارد کنید (این می تواند دو عبارت پیشرفت یا مجموع تعداد معینی از آنها باشد. ) و بلافاصله پاسخ را دریافت کنید. با این حال، این رویکرد برای حل مشکل از نظر رشد و درک دانش آموز از ماهیت وظیفه ای که به او محول شده است، بی ثمر است.

راه حل بدون استفاده از فرمول

بیایید مشکل اول را بدون استفاده از هیچ یک از فرمول های داده شده حل کنیم. اجازه دهید عناصر سری داده شوند: a6 = 3، a9 = 18. تفاوت پیشروی حسابی را پیدا کنید.

عناصر شناخته شده در یک ردیف نزدیک به یکدیگر ایستاده اند. چند بار باید اختلاف d را به کوچکترین اضافه کرد تا بزرگترین حاصل شود؟ سه بار (اولین بار با اضافه کردن d، عنصر 7 را دریافت می کنیم، بار دوم - هشتم، و در نهایت، بار سوم - نهمین). برای بدست آوردن 18 چه عددی باید سه بار به سه اضافه شود؟ این عدد پنج است. واقعا:

بنابراین، تفاوت مجهول d = 5.

البته راه حل می توانست با استفاده از فرمول مناسب انجام شود، اما این کار عمدی انجام نشده است. توضیح دقیق راه حل مسئله باید به مثالی روشن و واضح از پیشرفت حسابی تبدیل شود.

کاری شبیه به کار قبلی

حالا بیایید یک مشکل مشابه را حل کنیم، اما داده های ورودی را تغییر دهید. بنابراین، باید پیدا کنید که a3 = 2، a9 = 19.

البته، می توانید دوباره به روش راه حل "هدر رو" متوسل شوید. اما از آنجایی که عناصر سریال ارائه شده است که نسبتاً از یکدیگر فاصله دارند، این روش کاملاً مناسب نخواهد بود. اما استفاده از فرمول به‌سرعت ما را به پاسخ می‌رساند:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

در اینجا عدد نهایی را گرد کرده ایم. میزانی که این گرد کردن منجر به خطا شده است را می توان با بررسی نتیجه قضاوت کرد:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

این نتیجه تنها 0.1٪ با مقدار داده شده در شرایط متفاوت است. بنابراین، گرد کردن به نزدیکترین صدم را می توان یک انتخاب موفق در نظر گرفت.

مشکلات مربوط به استفاده از فرمول برای یک عبارت

بیایید یک مثال کلاسیک از یک مسئله را برای تعیین مجهول d در نظر بگیریم: تفاوت یک پیشرفت حسابی را اگر a1 = 12، a5 = 40 پیدا کنید.

وقتی دو عدد از یک دنباله جبری مجهول داده می شود و یکی از آنها عنصر a 1 است، دیگر نیازی به فکر کردن طولانی نیست، بلکه باید فوراً فرمول عبارت a n را اعمال کنید. در این مورد داریم:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

ما عدد دقیق را هنگام تقسیم دریافت کردیم، بنابراین بررسی صحت نتیجه محاسبه شده، همانطور که در پاراگراف قبلی انجام شد، فایده ای ندارد.

بیایید یک مشکل مشابه دیگر را حل کنیم: ما باید تفاوت یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم اگر a1 = 16، a8 = 37.

ما از روشی مشابه روش قبلی استفاده می کنیم و دریافت می کنیم:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

چه چیز دیگری باید در مورد پیشرفت حسابی بدانید؟

علاوه بر مشکلات یافتن یک تفاوت مجهول یا عناصر منفرد، اغلب لازم است مسائل حاصل از مجموع جمله های اول یک دنباله حل شود. در نظر گرفتن این مشکلات خارج از حوصله مقاله است، اما برای کامل شدن اطلاعات، فرمول کلی برای مجموع n عدد در یک سری ارائه می دهیم:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

ماهیت اصلی فرمول چیست؟

این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هر با شماره او " n" .

البته باید ترم اول را هم بدانید یک 1و تفاوت پیشرفت دخوب، بدون این پارامترها نمی توانید یک پیشرفت خاص را یادداشت کنید.

به خاطر سپردن (یا کتک زدن) این فرمول کافی نیست. شما باید ماهیت آن را درک کنید و فرمول را در مسائل مختلف اعمال کنید. و همچنین در لحظه مناسب فراموش نکنیم، بله...) چگونه فراموش نکن- من نمی دانم. و اینجا چگونه به خاطر بسپاریمدر صورت لزوم حتما به شما مشاوره خواهم داد. برای کسانی که درس را تا پایان کامل می کنند.)

بنابراین، بیایید به فرمول ترم n یک پیشروی حسابی نگاه کنیم.

فرمول به طور کلی چیست؟ به هر حال، اگر آن را نخوانده اید، نگاهی بیندازید. آنجا همه چیز ساده است. باقی مانده است که بفهمیم چیست ترم نهم

به طور کلی پیشرفت را می توان به صورت یک سری اعداد نوشت:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

یک 1- نشان دهنده اولین جمله یک پیشرفت حسابی است، یک 3- عضو سوم، یک 4- چهارم، و غیره. اگر به دوره پنجم علاقه مندیم، فرض کنیم که با آن کار می کنیم یک 5، اگر صد و بیستم یک 120.

چگونه می توانیم آن را به طور کلی تعریف کنیم؟ هرعبارت یک پیشرفت حسابی، با هرعدد؟ بسیار ساده! مثل این:

a n

همین است نهمین ترم یک پیشرفت حسابی.حرف n همه اعداد اعضا را به طور همزمان پنهان می کند: 1، 2، 3، 4 و غیره.

و چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ فقط فکر کن به جای یک عدد یک نامه نوشتند...

این نماد یک ابزار قدرتمند برای کار با پیشرفت حسابی به ما می دهد. با استفاده از نماد a n، ما می توانیم به سرعت پیدا کنیم هرعضو هرپیشرفت حسابی و یک سری مشکلات پیشرفت دیگر را حل کنید. خودت بیشتر میبینی

در فرمول n ام یک پیشروی حسابی:

یک 1- اولین ترم یک پیشرفت حسابی؛

n- شماره عضو

فرمول پارامترهای کلیدی هر پیشرفت را به هم متصل می کند: a n ; a 1 ; دو n. تمام مشکلات پیشرفت حول این پارامترها می چرخد.

از فرمول ترم n نیز می توان برای نوشتن یک پیشرفت خاص استفاده کرد. به عنوان مثال، مشکل ممکن است بگوید که پیشرفت با شرط مشخص شده است:

a n = 5 + (n-1) 2.

چنین مشکلی می تواند بن بست باشد... نه سری است و نه تفاوتی... اما با مقایسه شرط با فرمول به راحتی می توان فهمید که در این پیشروی a 1 = 5 و d = 2.

و حتی می تواند بدتر باشد!) اگر همین شرط را در نظر بگیریم: a n = 5 + (n-1) 2،بله، پرانتز را باز کنید و مشابه آن را بدهید؟ ما یک فرمول جدید دریافت می کنیم:

a n = 3 + 2n.

این فقط نه کلی، بلکه برای یک پیشرفت خاص. اینجاست که دام در کمین است. برخی از مردم فکر می کنند که ترم اول یک سه است. اگرچه در واقع اولین ترم پنج است ... کمی پایین تر با چنین فرمول اصلاح شده ای کار خواهیم کرد.

در مشکلات پیشرفت علامت دیگری وجود دارد - یک n+1. همانطور که حدس زدید، این عبارت "n به علاوه اول" پیشرفت است. معنی آن ساده و بی ضرر است.) این عضوی از پیشرفت است که تعداد آن از عدد n به یک بیشتر است. به عنوان مثال، اگر در برخی از مشکل ما را a nترم پنجم پس از آن یک n+1ششمین عضو خواهد بود. و غیره.

اغلب تعیین یک n+1در فرمول های عود یافت می شود. از این کلمه ترسناک نترسید!) این فقط راهی برای بیان عضوی از یک پیشروی حسابی است. از طریق قبلیفرض کنید با استفاده از یک فرمول تکراری، یک پیشرفت حسابی در این شکل به ما داده می شود:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

چهارم - از طریق سوم، پنجم - از طریق چهارم، و غیره. چگونه می توانیم فوراً مثلاً ترم بیستم را بشماریم؟ یک 20? اما هیچ راهی وجود ندارد!) تا زمانی که ترم 19 را پیدا نکنیم، نمی توانیم بیستمین را بشماریم. این تفاوت اساسی بین فرمول مکرر و فرمول ترم n است. مکرر فقط از طریق کار می کند قبلیترم، و فرمول ترم n از طریق است اولینو اجازه می دهد فوراهر عضوی را با شماره آن پیدا کنید. بدون محاسبه کل سری اعداد به ترتیب.

در یک پیشرفت حسابی، تبدیل یک فرمول تکراری به یک فرمول معمولی آسان است. یک جفت عبارت متوالی بشمارید، تفاوت را محاسبه کنید د،در صورت لزوم، اولین ترم را پیدا کنید یک 1فرمول را به شکل معمولش بنویسید و با آن کار کنید. چنین وظایفی اغلب در آکادمی علوم دولتی انجام می شود.

استفاده از فرمول برای ترم n یک پیشروی حسابی.

ابتدا به کاربرد مستقیم فرمول نگاه می کنیم. در پایان درس قبلی یک مشکل وجود داشت:

یک پیشرفت حسابی (a n) داده شده است. اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

این مشکل را می توان بدون هیچ فرمولی و به سادگی بر اساس معنای یک پیشرفت حسابی حل کرد. اضافه کنید و اضافه کنید... یکی دو ساعت.)

و طبق فرمول، محلول کمتر از یک دقیقه طول خواهد کشید. شما می توانید آن را زمان بندی کنید.) بیایید تصمیم بگیریم.

شرایط تمام داده ها را برای استفاده از فرمول فراهم می کند: a 1 = 3، d = 1/6.باقی مانده است که بفهمیم چه چیزی برابر است nمشکلی نیست! ما باید پیدا کنیم یک 121. پس می نویسیم:

لطفا توجه کنید! به جای شاخص nیک عدد مشخص ظاهر شد: 121. که کاملاً منطقی است.) ما به عضوی از پیشروی حسابی علاقه مندیم. شماره یکصد و بیست و یکاین مال ما خواهد بود nاین معناست n= 121 ما بیشتر در فرمول، در پرانتز جایگزین خواهیم کرد. همه اعداد را در فرمول جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

همین. به همان سرعتی که می‌توان کلمه پانصد و دهم و هزار و سوم را پیدا کرد. به جای آن قرار دادیم nعدد مورد نظر در نمایه کنار حرف " آ"و در پرانتز، و ما شمارش می کنیم.

بگذارید این نکته را به شما یادآوری کنم: این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هرترم پیشروی حسابی با شماره او " n" .

بیایید مشکل را به روشی زیرکانه تر حل کنیم. اجازه دهید با مشکل زیر مواجه شویم:

جمله اول پیشرفت حسابی (a n) را بیابید، اگر a 17 =-2; d=-0.5.

اگر مشکلی دارید قدم اول را به شما می گویم. فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید!بله بله. با دستانتان درست در دفترچه یادداشت کنید:

و اکنون، با نگاهی به حروف فرمول، متوجه می شویم که چه داده هایی داریم و چه چیزی کم است؟ در دسترس d=-0.5،یک عضو هفدهم وجود دارد... همین است؟ اگر فکر می کنید همین است، پس مشکل را حل نمی کنید، بله...

ما هنوز یک شماره داریم n! در شرایط a 17 =-2پنهان شده است دو پارامتراین هم مقدار جمله هفدهم (2-) و هم عدد آن (17) است. آن ها n=17.این «ریزه کاری» اغلب از سر می گذرد و بدون آن، (بدون «چیز»، نه سر!) مشکل حل نمی شود. گرچه... و بدون سر هم.)

اکنون می‌توانیم به سادگی داده‌های خود را با فرمول جایگزین کنیم:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

آه بله، یک 17ما می دانیم که -2 است. خوب، بیایید جایگزین کنیم:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

اساساً همین است. باقی مانده است که جمله اول پیشروی حسابی را از فرمول بیان کنیم و آن را محاسبه کنیم. پاسخ این خواهد بود: a 1 = 6.

این تکنیک - نوشتن یک فرمول و به سادگی جایگزینی داده های شناخته شده - کمک بزرگی در کارهای ساده است. خب البته باید بتوانید یک متغیر را از فرمول بیان کنید، اما چه باید کرد!؟ بدون این مهارت ممکن است اصلا ریاضیات خوانده نشود...

یک پازل محبوب دیگر:

تفاوت پیشروی حسابی (a n) را بیابید، اگر a 1 =2; a 15 = 12.

ما چه کار می کنیم؟ تعجب خواهید کرد، ما در حال نوشتن فرمول هستیم!)

بیایید آنچه را که می دانیم در نظر بگیریم: a 1 = 2; a 15 = 12; و (به ویژه برجسته می کنم!) n=15. با خیال راحت این را در فرمول جایگزین کنید:

12=2 + (15-1) روز

ما حساب را انجام می دهیم.)

12=2 + 14 روز

د=10/14 = 5/7

این جواب درست است.

بنابراین، وظایف برای a n، a 1و دتصمیم گرفت. تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیرید چگونه شماره را پیدا کنید:

عدد 99 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است که در آن a 1 =12; d=3. شماره این عضو را پیدا کنید.

ما مقادیر شناخته شده را در فرمول n ام جایگزین می کنیم:

a n = 12 + (n-1) 3

در نگاه اول، دو کمیت ناشناخته در اینجا وجود دارد: a n و nولی a n- این برخی از اعضای پیشرفت با یک عدد است n...و ما این عضو پیشرفت را می شناسیم! 99 است. ما شماره اش را نمی دانیم. nبنابراین این شماره همان چیزی است که باید پیدا کنید. عبارت پیشرفت 99 را با فرمول جایگزین می کنیم:

99 = 12 + (n-1) 3

از فرمول بیان می کنیم n، ما فکر می کنیم. جواب میگیریم: n=30.

و اکنون یک مشکل در همان موضوع، اما خلاقانه تر):

تعیین کنید که آیا عدد 117 عضوی از پیشروی حسابی (an) است یا خیر:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

بیایید دوباره فرمول را بنویسیم. چه، هیچ پارامتری وجود ندارد؟ هوم... چرا به ما چشم داده اند؟) آیا ترم اول پیشرفت را می بینیم؟ می بینیم. این -3.6 است. می توانید با خیال راحت بنویسید: a 1 = -3.6.تفاوت دآیا می توانید از روی یک سریال تعیین کنید؟ اگر بدانید تفاوت یک پیشرفت حسابی چیست آسان است:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

بنابراین، ما ساده ترین کار را انجام دادیم. تنها چیزی که باقی می ماند رسیدگی به شماره ناشناخته است nو عدد نامفهوم 117. در مسئله قبلی حداقل معلوم بود که اصطلاح پیشروی داده شده است. اما اینجا ما حتی نمی دانیم ... چه باید کرد!؟ خوب، چگونه بودن، چگونه بودن... توانایی های خلاقانه خود را روشن کنید!)

ما فرض کنیدبالاخره 117 عضوی از پیشرفت ماست. با شماره نامعلوم n. و درست مانند مشکل قبلی، بیایید سعی کنیم این عدد را پیدا کنیم. آن ها ما فرمول را می نویسیم (بله، بله!)) و اعداد خود را جایگزین می کنیم:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

دوباره از فرمول بیان می کنیمn، می شماریم و می گیریم:

اوه! شماره معلوم شد کسری!صد و یک و نیم. و اعداد کسری در پیشرفت نمیتونه باشه.چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟ آره! شماره 117 نیستعضو پیشرفت ما جایی بین ترم صد و اول و صد و دوم است. اگر عدد طبیعی بود، یعنی. یک عدد صحیح مثبت است، آنگاه عدد عضوی از پیشرفت با عدد یافت شده خواهد بود. و در مورد ما، پاسخ به این مشکل خواهد بود: خیر

وظیفه ای بر اساس نسخه واقعی GIA:

یک پیشروی حسابی با شرط داده می شود:

a n = -4 + 6.8n

عبارت اول و دهم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت به روشی غیرعادی تنظیم شده است. نوعی فرمول ... این اتفاق می افتد.) با این حال، این فرمول (همانطور که در بالا نوشتم) - همچنین فرمول nامین ترم یک پیشروی حسابی!او هم اجازه می دهد هر عضوی از پیشرفت را با تعداد آن پیدا کنید.

ما به دنبال اولین عضو هستیم. اونی که فکر میکنه این که عبارت اول منهای چهار است، به طرز مهلکی اشتباه می شود!) زیرا فرمول موجود در مسئله اصلاح شده است. عبارت اول از پیشروی حسابی در آن پنهان شده است.اشکالی ندارد، اکنون آن را پیدا خواهیم کرد.)

درست مانند مشکلات قبلی، جایگزین می کنیم n=1به این فرمول:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

اینجا! جمله اول 2.8 است نه -4!

ما برای ترم دهم به همین ترتیب جستجو می کنیم:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

خودشه.

و اکنون، برای کسانی که این خطوط را خوانده اند، پاداش وعده داده شده است.)

فرض کنید، در یک موقعیت جنگی دشوار در آزمون دولتی یا آزمون یکپارچه دولتی، فرمول مفید ترم n یک پیشروی حسابی را فراموش کرده اید. من چیزی را به یاد می آورم، اما به نحوی نامطمئن... یا nوجود دارد، یا n+1 یا n-1...چگونه باشیم!؟

آرام! این فرمول به راحتی قابل استخراج است. خیلی سخت گیرانه نیست، اما قطعا برای اطمینان و تصمیم درست کافی است!) برای نتیجه گیری، کافی است معنای ابتدایی یک پیشرفت حسابی را به خاطر بسپارید و چند دقیقه وقت داشته باشید. شما فقط باید یک تصویر بکشید. برای شفافیت.

یک خط عددی بکشید و اولین مورد را روی آن علامت بزنید. دوم، سوم و غیره اعضا. و ما تفاوت را یادداشت می کنیم دبین اعضا مثل این:

ما به تصویر نگاه می کنیم و فکر می کنیم: عبارت دوم برابر با چه چیزی است؟ دومین یکی د:

آ 2 =a 1 + 1 د

ترم سوم چیست؟ سومترم برابر با ترم اول به اضافه است دو د.

آ 3 =a 1 + 2 د

متوجه شدي؟ بیهوده نیست که برخی از کلمات را به صورت پررنگ برجسته می کنم. خوب، یک قدم دیگر).

ترم چهارم چیست؟ چهارمترم برابر با ترم اول به اضافه است سه د.

آ 4 =a 1 + 3 د

وقت آن رسیده است که متوجه شویم که تعداد شکاف ها، یعنی. د، همیشه یک کمتر از تعداد عضو مورد نظر شما n. یعنی به عدد n، تعداد فضاهااراده n-1.بنابراین، فرمول (بدون تغییرات!):

به طور کلی، تصاویر بصری در حل بسیاری از مسائل در ریاضیات بسیار مفید هستند. از تصاویر غافل نشوید اما اگر ترسیم یک تصویر دشوار است، پس ... فقط یک فرمول!) علاوه بر این، فرمول ترم n به شما امکان می دهد کل زرادخانه قدرتمند ریاضیات را به راه حل متصل کنید - معادلات، نابرابری ها، سیستم ها و غیره. شما نمی توانید یک تصویر را در معادله وارد کنید ...

وظایف برای راه حل مستقل

برای گرم شدن:

1. در پیشرفت حسابی (a n) a 2 =3; a 5 = 5.1. 3 را پیدا کنید.

نکته: با توجه به تصویر، مشکل در 20 ثانیه حل می شود ... طبق فرمول، دشوارتر می شود. اما برای تسلط بر فرمول، مفیدتر است.) در بخش 555، این مشکل با استفاده از تصویر و فرمول حل شده است. تفاوت را احساس کنید!)

و این دیگر گرم کردن نیست.)

2. در پیشرفت حسابی (a n) a 85 =19.1; a 236 = 49، 3. یک 3 را پیدا کنید.

چه، شما نمی خواهید یک نقاشی بکشید؟) البته! طبق فرمول بهتره، بله...

3. پیشروی حسابی با شرط داده می شود:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. جمله صد و بیست و پنجم این پیشروی را پیدا کنید.

در این کار، پیشرفت به صورت تکراری مشخص می شود. اما شمردن تا ترم صد و بیست و پنجم... همه توانایی چنین شاهکاری را ندارند.) اما فرمول ترم n در توان همه است!

4. با توجه به پیشروی حسابی (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

عدد کوچکترین جمله مثبت پیشرفت را پیدا کنید.

5. با توجه به شرایط تکلیف 4، مجموع کوچکترین مثبت و بزرگترین جمله های منفی پیشروی را پیدا کنید.

6. حاصل ضرب جمله های پنجم و دوازدهم یک پیشروی حسابی فزاینده برابر با 2.5- و مجموع جمله های سوم و یازدهم برابر با صفر است. 14 را پیدا کنید.

ساده ترین کار نیست، بله...) روش "نوک انگشت" در اینجا کار نخواهد کرد. شما باید فرمول بنویسید و معادلات را حل کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

اتفاق افتاد؟ خوبه!)

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. به هر حال، یک نکته ظریف در آخرین کار وجود دارد. هنگام خواندن مشکل دقت لازم است. و منطق.

راه حل همه این مسائل به تفصیل در بخش 555 مورد بحث قرار گرفته است. و عنصر فانتزی برای چهارم، و نکته ظریف برای ششم، و رویکردهای کلی برای حل هر مشکلی که شامل فرمول n ام است - همه چیز شرح داده شده است. من توصیه می کنم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

مجموع یک تصاعد حسابی

مجموع یک تصاعد حسابی چیز ساده ای است. هم در معنا و هم در فرمول. اما انواع و اقسام وظایف در این موضوع وجود دارد. از ابتدایی تا کاملا جامد.

ابتدا بیایید معنی و فرمول مقدار را درک کنیم. و بعد تصمیم می گیریم برای دلخوشی خودت.) معنی مقدار به سادگی یک مو است. برای یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، فقط باید تمام عبارات آن را با دقت اضافه کنید. اگر این عبارات کم هستند، می توانید بدون هیچ فرمولی اضافه کنید. اما اگر زیاد باشد، یا زیاد... اضافه آزاردهنده است.) در این صورت فرمول به کمک می آید.

فرمول مقدار ساده است:

بیایید بفهمیم که چه نوع حروفی در فرمول گنجانده شده است. این موضوع خیلی چیزها را روشن می کند.

S n - مجموع یک تصاعد حسابی. نتیجه اضافه هر کساعضا، با اولینتوسط آخر.مهم است. آنها دقیقاً جمع می شوند همهاعضا پشت سر هم، بدون پرش یا پرش. و دقیقاً شروع از اولین.در مسائلی مانند یافتن مجموع ترم های سوم و هشتم، یا مجموع ترم های پنجم تا بیستم، استفاده مستقیم از فرمول ناامید کننده خواهد بود.)

یک 1 - اولینعضو پیشرفت اینجا همه چیز واضح است، ساده است اولینشماره ردیف.

a n- آخرعضو پیشرفت آخرین شماره سریال. نام چندان آشنا نیست، اما وقتی روی مقدار اعمال شود، بسیار مناسب است. بعد خودت خواهی دید.

n - شماره آخرین عضو درک این نکته مهم است که در فرمول این عدد با تعداد اصطلاحات اضافه شده منطبق است.

بیایید مفهوم را تعریف کنیم آخرعضو a n. سوال مشکل: کدام عضو خواهد بود آخریناگر داده شود بی پایانپیشرفت حسابی؟)

برای پاسخ با اطمینان، باید معنای ابتدایی پیشرفت حسابی را درک کنید و ... کار را با دقت بخوانید!)

در کار یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، آخرین جمله همیشه ظاهر می شود (مستقیم یا غیر مستقیم)، که باید محدود شود.در غیر این صورت یک مبلغ نهایی و مشخص به سادگی وجود نداردبرای حل، مهم نیست که پیشرفت داده شود: متناهی یا نامتناهی. مهم نیست چگونه داده می شود: یک سری اعداد یا یک فرمول برای ترم n.

مهمترین چیز این است که درک کنید که فرمول از اولین ترم پیشرفت به ترم با عدد کار می کند nدر واقع، نام کامل فرمول به صورت زیر است: مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.تعداد این اعضای اولیه، یعنی. n، صرفاً توسط وظیفه تعیین می شود. در یک کار، همه این اطلاعات ارزشمند اغلب رمزگذاری می شوند، بله... اما مهم نیست، در مثال های زیر این اسرار را فاش می کنیم.)

نمونه هایی از کارها بر روی مجموع یک پیشرفت حسابی.

اول از همه، اطلاعات مفید:

مشکل اصلی در کارهایی که شامل مجموع یک پیشروی حسابی است در تعیین صحیح عناصر فرمول نهفته است.

وظیفه نویسان دقیقاً همین عناصر را با تخیل بی حد و حصر رمزگذاری می کنند.) نکته اصلی در اینجا این است که نترسید. با درک ماهیت عناصر، کافی است به سادگی آنها را رمزگشایی کنیم. بیایید به چند نمونه با جزئیات نگاه کنیم. بیایید با یک کار مبتنی بر یک GIA واقعی شروع کنیم.

1. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود: a n = 2n-3.5. مجموع 10 جمله اول آن را بیابید.

آفرین. آسان.) برای تعیین مقدار با استفاده از فرمول، چه چیزهایی باید بدانیم؟ عضو اول یک 1، ترم آخر a n، بله شماره آخرین عضو n

از کجا می توانم شماره آخرین عضو را دریافت کنم؟ n? بله، همانجا، به شرطی! می گوید: جمع را پیدا کن 10 عضو اولخوب با چه عددی خواهد بود؟ آخر،عضو دهم؟) باور نمی کنید، شماره او دهم است!) بنابراین، به جای a nما به فرمول جایگزین می کنیم یک 10، و به جاش n- ده تکرار می کنم تعداد آخرین عضو با تعداد اعضا مطابقت دارد.

باقی مانده است که مشخص شود یک 1و یک 10. این به راحتی با استفاده از فرمول ترم n که در بیان مسئله آورده شده است محاسبه می شود. نمی دانید چگونه این کار را انجام دهید؟ در درس قبلی شرکت کنید، بدون این هیچ راهی وجود ندارد.

یک 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

یک 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

ما به معنای تمام عناصر فرمول برای مجموع یک پیشرفت حسابی پی برده ایم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که آنها را جایگزین کنیم و بشماریم:

خودشه. جواب: 75.

وظیفه دیگری بر اساس GIA است. کمی پیچیده تر:

2. با توجه به یک تصاعد حسابی (an)، که اختلاف آن 3.7 است. a 1 = 2.3. مجموع 15 جمله اول آن را بیابید.

بلافاصله فرمول جمع را می نویسیم:

این فرمول به ما اجازه می دهد تا مقدار هر عبارتی را با تعداد آن پیدا کنیم. ما به دنبال یک جایگزین ساده هستیم:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

باقی مانده است که همه عناصر را در فرمول برای مجموع یک پیشرفت حسابی جایگزین کرده و پاسخ را محاسبه کنیم:

جواب: 423.

به هر حال، اگر در فرمول جمع به جای a nما به سادگی فرمول را برای ترم n جایگزین می کنیم و به دست می آوریم:

بیایید موارد مشابه را ارائه کنیم و یک فرمول جدید برای مجموع شرایط یک پیشرفت حسابی به دست آوریم:

همانطور که می بینید، ترم n در اینجا مورد نیاز نیست a n. در برخی مشکلات این فرمول کمک زیادی می کند، بله... می توانید این فرمول را به خاطر بسپارید. یا می توانید به سادگی آن را در زمان مناسب مانند اینجا نمایش دهید. پس از همه، شما همیشه باید فرمول جمع و فرمول ترم n را به خاطر بسپارید.)

اکنون کار به شکل یک رمزگذاری کوتاه:

3. مجموع تمام اعداد دو رقمی مثبت را که مضرب سه هستند بیابید.

وای! نه عضو اولت، نه آخرین و نه پیشرفت اصلا... چگونه زندگی کنیم!؟

شما باید با سر خود فکر کنید و تمام عناصر حاصل از مجموع پیشرفت حسابی را از شرط بیرون بکشید. ما می دانیم که اعداد دو رقمی چیست. آنها از دو عدد تشکیل شده اند.) چه عددی دو رقمی خواهد بود اولین? 10، احتمالا.) A آخرین چیزعدد دو رقمی؟ 99 البته! سه رقمی ها دنبالش می آیند...

مضرب سه... هوم... اینها اعدادی هستند که بر سه بخش پذیرند، اینجا! ده بر سه بخش پذیر نیست، 11 بخش پذیر نیست... 12... بخش پذیر است! بنابراین، چیزی در حال ظهور است. از قبل می توانید یک سری را با توجه به شرایط مشکل بنویسید:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

آیا این سریال یک پیشروی حسابی خواهد بود؟ قطعا! هر ترم با ترم قبلی کاملاً سه تفاوت دارد. اگر 2 یا 4 را به یک عبارت اضافه کنید، بگویید نتیجه، یعنی. عدد جدید دیگر بر 3 بخش پذیر نیست. می توانید فوراً تفاوت پیشرفت حسابی را تعیین کنید: d = 3.به کار خواهد آمد!)

بنابراین، می توانیم با خیال راحت برخی از پارامترهای پیشرفت را بنویسیم:

عدد چقدر خواهد بود؟ nآخرین عضو؟ هر کس فکر می کند که 99 به شدت در اشتباه است... اعداد همیشه پشت سر هم می روند، اما اعضای ما از سه می پرند. مطابقت ندارند

در اینجا دو راه حل وجود دارد. یکی از راه ها برای افراد فوق العاده سخت کوش است. می توانید پیشرفت، کل سری اعداد را یادداشت کنید و تعداد اعضا را با انگشت خود بشمارید.) راه دوم برای افراد متفکر است. شما باید فرمول ترم n را به خاطر بسپارید. اگر فرمول را برای مسئله خود اعمال کنیم، متوجه می شویم که 99 عبارت سی ام پیشرفت است. آن ها n = 30.

بیایید به فرمول مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم:

ما نگاه می کنیم و خوشحال می شویم.) ما از بیانیه مشکل هر چیزی را که برای محاسبه مقدار لازم بود بیرون کشیدیم:

یک 1= 12.

یک 30= 99.

S n = S 30.

تنها چیزی که باقی می ماند محاسبات ابتدایی است. اعداد را جایگزین فرمول می کنیم و محاسبه می کنیم:

جواب: 1665

نوع دیگری از پازل محبوب:

4. با توجه به یک پیشرفت حسابی:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

مجموع عبارت های بیستم تا سی و چهار را بیابید.

فرمول مبلغ را نگاه می کنیم و... ناراحت می شویم.) فرمول، یادآوری کنم، مقدار را محاسبه می کند. از اولعضو و در مسئله باید مجموع را محاسبه کنید از بیستم ...فرمول کار نخواهد کرد

البته می‌توانید کل پیشرفت را در یک سری بنویسید و عبارت‌های 20 تا 34 را اضافه کنید.

راه حل ظریف تری وجود دارد. بیایید سریال خود را به دو قسمت تقسیم کنیم. قسمت اول خواهد بود از ترم اول تا نوزدهمبخش دوم - از بیست تا سی و چهارواضح است که اگر مجموع عبارات قسمت اول را محاسبه کنیم S 1-19، آن را با مجموع شرایط قسمت دوم اضافه می کنیم S 20-34، مجموع پیشرفت از ترم اول تا سی و چهارم را بدست می آوریم S 1-34. مثل این:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

از این می توانیم ببینیم که مجموع را پیدا می کنیم S 20-34می توان با تفریق ساده انجام داد

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

هر دو مقدار در سمت راست در نظر گرفته شده است از اولعضو، یعنی فرمول جمع استاندارد کاملاً برای آنها قابل اجرا است. بیا شروع کنیم؟

ما پارامترهای پیشرفت را از عبارت مشکل استخراج می کنیم:

d = 1.5.

یک 1= -21,5.

برای محاسبه مجموع 19 ترم اول و 34 ترم اول به ترم های 19 و 34 نیاز داریم. ما آنها را با استفاده از فرمول ترم n، مانند مسئله 2 محاسبه می کنیم:

یک 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

یک 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

چیزی باقی نمانده از مجموع 34 جمله، مجموع 19 جمله را کم کنید:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

جواب: 262.5

یک نکته مهم! یک ترفند بسیار مفید در حل این مشکل وجود دارد. به جای محاسبه مستقیم آنچه شما نیاز دارید (S 20-34)،ما شمردیم چیزی که به نظر نمی رسد مورد نیاز باشد - S 1-19.و بعد تعیین کردند S 20-34، دور انداختن موارد غیر ضروری از نتیجه کامل. این نوع "تظاهرات با گوش" اغلب شما را از مشکلات بد نجات می دهد.)

در این درس، مسائلی را بررسی کردیم که برای درک معنای مجموع یک پیشروی حسابی کافی است. خوب، شما باید چند فرمول را بدانید.)

توصیه عملی:

هنگام حل هر مسئله ای که شامل مجموع یک پیشرفت حسابی است، توصیه می کنم فوراً دو فرمول اصلی را از این مبحث بنویسید.

فرمول ترم n:

این فرمول ها بلافاصله به شما می گویند که برای حل مشکل به دنبال چه چیزی باشید و در چه جهتی فکر کنید. کمک می کند.

و اکنون وظایف برای راه حل مستقل.

5- مجموع تمام اعداد دو رقمی که بر سه بخش پذیر نیستند را بیابید.

جالب است؟) اشاره در یادداشت مسئله 4 پنهان است. خوب، مشکل 3 کمک خواهد کرد.

6. پیشروی حسابی با شرط داده می شود: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. مجموع 24 جمله اول آن را بیابید.

غیر معمول؟) این یک فرمول تکراری است. می توانید در درس قبلی در مورد آن مطالعه کنید. پیوند را نادیده نگیرید، چنین مشکلاتی اغلب در آکادمی علوم دولتی یافت می شود.

7. واسیا برای تعطیلات پول پس انداز کرد. به اندازه 4550 روبل! و تصمیم گرفتم به شخص مورد علاقه ام (خودم) چند روز شادی بدهم). زیبا زندگی کن بدون اینکه چیزی از خودت انکار کنی. در روز اول 500 روبل خرج کنید و در هر روز بعد 50 روبل بیشتر از روز قبل خرج کنید! تا زمانی که پول تمام شود. واسیا چند روز خوشبختی داشت؟

آیا دشوار است؟) فرمول اضافی از کار 2 کمک خواهد کرد.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7، 3240، 6.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

اگر برای هر عدد طبیعی n با یک عدد واقعی مطابقت دهید a n ، سپس می گویند داده شده است دنباله اعداد :

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n , . . . .

بنابراین، دنباله اعداد تابعی از آرگومان طبیعی است.

عدد آ 1 تماس گرفت اولین ترم دنباله ، عدد آ 2 — ترم دوم دنباله ، عدد آ 3 — سوم و غیره عدد a n تماس گرفت نهمین عضو دنباله و یک عدد طبیعی n — شماره او .

از دو عضو مجاور a n و a n +1 عضو سکانس a n +1 تماس گرفت متعاقب (به سمت a n )، آ a n — قبلی (به سمت a n +1 ).

برای تعریف یک دنباله، باید روشی را مشخص کنید که به شما امکان می دهد عضوی از دنباله را با هر عددی پیدا کنید.

اغلب توالی با استفاده از آن مشخص می شود فرمول های ترم n ، یعنی فرمولی که به شما امکان می دهد عضوی از یک دنباله را با تعداد آن تعیین کنید.

مثلا،

دنباله ای از اعداد فرد مثبت را می توان با فرمول به دست آورد

a n= 2n- 1,

و دنباله متناوب 1 و -1 - فرمول

ب n = (-1)n +1 . ◄

توالی را می توان تعیین کرد فرمول مکرر, یعنی فرمولی که هر یک از اعضای دنباله را بیان می کند، که با تعدادی شروع می شود، از طریق اعضای قبلی (یک یا چند).

مثلا،

اگر آ 1 = 1 ، آ a n +1 = a n + 5

آ 1 = 1,

آ 2 = آ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

آ 3 = آ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

آ 4 = آ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

آ 5 = آ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اگر یک 1= 1, یک 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , سپس هفت جمله اول دنباله عددی به صورت زیر ایجاد می شود:

یک 1 = 1,

یک 2 = 1,

یک 3 = یک 1 + یک 2 = 1 + 1 = 2,

یک 4 = یک 2 + یک 3 = 1 + 2 = 3,

یک 5 = یک 3 + یک 4 = 2 + 3 = 5,

آ 6 = آ 4 + آ 5 = 3 + 5 = 8,

آ 7 = آ 5 + آ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

دنباله ها می توانند باشند نهایی و بی پایان .

دنباله نامیده می شود نهایی ، اگر تعداد اعضا محدود باشد. دنباله نامیده می شود بی پایان ، اگر تعداد اعضای آن بی نهایت زیاد باشد.

مثلا،

دنباله اعداد طبیعی دو رقمی:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهایی

دنباله اعداد اول:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بی پایان ◄

دنباله نامیده می شود افزایش می یابد ، اگر هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، بزرگتر از قبلی باشد.

دنباله نامیده می شود در حال کاهش ، در صورتی که هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، کمتر از قبلی باشد.

مثلا،

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - افزایش توالی؛

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - توالی کاهشی ◄

دنباله ای که با افزایش تعداد عناصر آن کاهش نمی یابد یا برعکس افزایش نمی یابد، نامیده می شود دنباله یکنواخت .

توالی های یکنواخت، به ویژه، دنباله های افزایشی و توالی های کاهشی هستند.

پیشرفت حسابی

پیشرفت حسابی دنباله ای است که در آن هر عضو با شروع از دومی برابر با عضو قبلی است که همان عدد به آن اضافه می شود.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n, . . .

اگر برای هر عدد طبیعی باشد، یک تصاعد حسابی است n شرط برقرار است:

a n +1 = a n + د,

جایی که د - یک عدد مشخص

بنابراین، تفاوت بین عبارت‌های بعدی و قبلی یک پیشروی حسابی معین همیشه ثابت است:

یک 2 - آ 1 = یک 3 - آ 2 = . . . = a n +1 - a n = د.

عدد د تماس گرفت تفاوت پیشرفت حسابی.

برای تعریف یک پیشروی حسابی، کافی است اولین جمله و تفاوت آن را نشان دهیم.

مثلا،

اگر آ 1 = 3, د = 4 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

یک 1 =3,

یک 2 = یک 1 + د = 3 + 4 = 7,

یک 3 = یک 2 + د= 7 + 4 = 11,

یک 4 = یک 3 + د= 11 + 4 = 15,

آ 5 = آ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

برای پیشروی حسابی با جمله اول آ 1 و تفاوت د او n

a n = یک 1 + (n- 1)د

مثلا،

جمله سی ام پیشروی حسابی را پیدا کنید

1, 4, 7, 10, . . .

یک 1 =1, د = 3,

یک 30 = یک 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

یک n-1 = یک 1 + (n- 2)د،

a n= یک 1 + (n- 1)د،

a n +1 = آ 1 + nd,

سپس بدیهی است

هر عضو یک پیشرفت حسابی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی اعضای قبلی و بعدی.

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی از یک پیشروی حسابی هستند، اگر و فقط اگر یکی از آنها با میانگین حسابی دو نفر دیگر برابر باشد.

مثلا،

a n = 2n- 7 ، یک پیشرفت حسابی است.

بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

a n = 2n- 7,

یک n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

یک n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

از این رو،

◄

توجه داشته باشید که n ترم امین یک پیشروی حسابی را می توان نه تنها از طریق پیدا کرد آ 1 ، بلکه هر قبلی یک ک

a n = یک ک + (n- ک)د.

مثلا،

برای آ 5 می توان یادداشت کرد

یک 5 = یک 1 + 4د,

یک 5 = یک 2 + 3د,

یک 5 = یک 3 + 2د,

یک 5 = یک 4 + د. ◄

a n = یک n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

سپس بدیهی است

هر عضوی از یک پیشروی حسابی، که از دومی شروع شود، برابر است با نصف مجموع اعضای مساوی این پیشرفت حسابی.

علاوه بر این، برای هر پیشروی حسابی برابری زیر برقرار است:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

مثلا،

در پیشرفت حسابی

1) آ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (آ 9 + آ 11 )/2;

2) 28 = یک 10 = یک 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) یک 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, زیرا

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

اولین n عبارات یک پیشروی حسابی برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع عبارات افراطی و تعداد عبارت‌ها:

از اینجا، به ویژه، نتیجه می شود که اگر شما نیاز به جمع بندی شرایط دارید

یک ک, یک ک +1 , . . . , a n,

سپس فرمول قبلی ساختار خود را حفظ می کند:

مثلا،

در پیشرفت حسابی 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

اس 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = اس 10 - اس 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

اگر یک تصاعد حسابی داده شود، کمیت ها آ 1 , a n, د, nواس n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر سه مورد از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

پیشروی حسابی یک دنباله یکنواخت است. که در آن:

• اگر د > 0 ، سپس در حال افزایش است.
• اگر د < 0 ، سپس در حال کاهش است.
• اگر د = 0 ، سپس دنباله ثابت خواهد بود.

پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی دنباله ای است که در آن هر عضو، با شروع از دوم، برابر با یکی قبلی ضرب در همان عدد است.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , b n, . . .

یک تصاعد هندسی برای هر عدد طبیعی است n شرط برقرار است:

b n +1 = b n · q,

جایی که q ≠ 0 - یک عدد مشخص

بنابراین، نسبت جمله بعدی یک پیشرفت هندسی معین به مورد قبلی یک عدد ثابت است:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

عدد q تماس گرفت مخرج پیشرفت هندسی.

برای تعریف یک تصاعد هندسی کافی است اولین جمله و مخرج آن را مشخص کنیم.

مثلا،

اگر ب 1 = 1, q = -3 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 و مخرج q او n عبارت هفتم را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

b n = ب 1 · qn -1 .

مثلا،

جمله هفتم پیشرفت هندسی را پیدا کنید 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, q = 2,

ب 7 = ب 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ب 1 · qn -2 ,

b n = ب 1 · qn -1 ,

b n +1 = ب 1 · qn,

سپس بدیهی است

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

هر عضو پیشروی هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین هندسی (متناسب) اعضای قبلی و بعدی.

از آنجایی که عکس آن نیز صادق است، عبارت زیر صادق است:

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی برخی از تصاعد هندسی هستند، اگر و فقط اگر مجذور یکی از آنها با حاصلضرب دو عدد دیگر برابر باشد، یعنی یکی از اعداد میانگین هندسی دو عدد دیگر باشد.

مثلا،

اجازه دهید ثابت کنیم که دنباله داده شده توسط فرمول b n= -3 · 2 n ، یک پیشرفت هندسی است. بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

از این رو،

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

که بیان مورد نظر را ثابت می کند. ◄

توجه داشته باشید که n ترم هفتم یک پیشرفت هندسی را نه تنها می توان از طریق آن یافت ب 1 ، بلکه هر عضو قبلی b k ، که برای آن استفاده از فرمول کافی است

b n = b k · qn - ک.

مثلا،

برای ب 5 می توان یادداشت کرد

ب 5 = ب 1 · q 4 ,

ب 5 = ب 2 · س 3,

ب 5 = ب 3 · q 2,

ب 5 = ب 4 · q. ◄

b n = b k · qn - ک,

b n = b n - ک · q k,

سپس بدیهی است

b n 2 = b n - ک· b n + ک

مجذور هر جمله از یک تصاعد هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با حاصل ضرب ترم های با فاصله مساوی این پیشرفت.

علاوه بر این، برای هر پیشرفت هندسی برابری صادق است:

b m· b n= b k· b l,

متر+ n= ک+ ل.

مثلا،

در پیشرفت هندسی

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , زیرا

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + b n

اولین n اعضای یک تصاعد هندسی با مخرج q ≠ 0 با فرمول محاسبه می شود:

و وقتی که q = 1 - طبق فرمول

S n= nb 1

توجه داشته باشید که در صورت نیاز به جمع بندی شرایط

b k, b k +1 , . . . , b n,

سپس از فرمول استفاده می شود:

مثلا،

در پیشرفت هندسی 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

اس 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = اس 10 - اس 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

اگر یک پیشروی هندسی داده شود، آنگاه کمیت ها ب 1 , b n, q, nو S n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر هر سه از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شوند و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

برای یک پیشرفت هندسی با جمله اول ب 1 و مخرج q موارد زیر صورت می گیرد خواص یکنواختی :

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت افزایش می یابد:

ب 1 > 0 و q> 1;

ب 1 < 0 و 0 < q< 1;

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت کاهش می یابد:

ب 1 > 0 و 0 < q< 1;

ب 1 < 0 و q> 1.

اگر q< 0 ، سپس پیشرفت هندسی متناوب است: جمله های آن با اعداد فرد دارای علامت یکسانی با جمله اول هستند و عبارت های دارای اعداد زوج دارای علامت مخالف هستند. واضح است که یک پیشرفت هندسی متناوب یکنواخت نیست.

محصول اولی n شرایط یک پیشرفت هندسی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

Pn= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · b n = (ب 1 · b n) n / 2 .

مثلا،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است یک پیشروی هندسی نامتناهی نامیده می شود که مدول مخرج آن کمتر است 1 ، به این معنا که

|q| < 1 .

توجه داشته باشید که یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت ممکن است یک دنباله کاهشی نباشد. متناسب با موقعیت است

1 < q< 0 .

با چنین مخرجی، دنباله متناوب است. مثلا،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش عددی را که مجموع اولین ها بدون محدودیت به آن نزدیک می شود نام ببرید n اعضای یک پیشرفت با افزایش نامحدود در تعداد n . این عدد همیشه محدود است و با فرمول بیان می شود

مثلا،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

رابطه بین پیشرفت های حسابی و هندسی

پیشرفت های حسابی و هندسی ارتباط نزدیکی با هم دارند. بیایید فقط به دو نمونه نگاه کنیم.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . د ، آن

ب الف 1 , ب الف 2 , ب الف 3 , . . . ب د .

مثلا،

1, 3, 5, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج q ، آن

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ورود به سیستم aq .

مثلا،

2, 12, 72, . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 6 و

ال جی 2, ال جی 12, ال جی 72, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ال جی 6 . ◄

ریاضیات مانند نقاشی و شعر زیبایی خاص خود را دارد.

دانشمند روسی، مکانیک N.E. ژوکوفسکی

مشکلات بسیار رایج در کنکور ریاضی مسائل مربوط به مفهوم پیشروی حسابی است. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید دانش خوبی از خواص پیشروی حسابی داشته باشید و مهارت های خاصی در کاربرد آنها داشته باشید.

اجازه دهید ابتدا خصوصیات اساسی یک پیشروی حسابی را یادآوری کنیم و مهم ترین فرمول ها را ارائه کنیم, مربوط به این مفهوم است.

تعریف. دنباله اعداد, که در آن هر عبارت بعدی با همان عدد قبلی متفاوت است, پیشرفت حسابی نامیده می شود. در این مورد، شمارهتفاوت پیشرفت نامیده می شود.

برای پیشرفت حسابی، فرمول های زیر معتبر هستند:

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول عبارت کلی یک پیشروی حسابی نامیده می‌شود و فرمول (2) نشان‌دهنده ویژگی اصلی یک پیشروی حسابی است: هر جمله از پیشروی با میانگین حسابی عبارت‌های همسایه و .

توجه داشته باشید که دقیقاً به دلیل این ویژگی است که پیشرفت مورد بررسی "حساب" نامیده می شود.

فرمول های (1) و (2) فوق به صورت زیر تعمیم داده می شوند:

(3)

برای محاسبه مقداراولین شرایط یک پیشرفت حسابیفرمول معمولا استفاده می شود

(5) کجا و .

اگر فرمول (1) را در نظر بگیریم), سپس از فرمول (5) به دست می آید

اگر نشان دهیم، پس

جایی که . از آنجایی که فرمول های (7) و (8) تعمیم فرمول های مربوطه (5) و (6) هستند.

به خصوص ، از فرمول (5) به شرح زیر است، چی

برای اکثر دانش‌آموزان، ویژگی پیشروی حسابی که از طریق قضیه زیر فرمول‌بندی می‌شود کمی شناخته شده است.

قضیه.اگر پس از آن

اثباتاگر پس از آن

قضیه ثابت شده است.

مثلا ، با استفاده از قضیه، می توان نشان داد که

بیایید به بررسی نمونه های معمولی از حل مسائل در موضوع "پیشرفت حسابی" بپردازیم.

مثال 1.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.با استفاده از فرمول (6) بدست می آوریم. از آنجایی که و پس از آن یا .

مثال 2.بگذارید سه برابر بزرگتر شود و وقتی بر ضریب تقسیم شود، نتیجه 2 و باقیمانده 8 می شود. تعیین کنید و .

راه حل.از شرایط مثال، سیستم معادلات به دست می آید

از آنجایی که , و , سپس از سیستم معادلات (10) بدست می آوریم

راه حل این سیستم معادلات و .

مثال 3.پیدا کردن اگر و .

راه حل.طبق فرمول (5) داریم یا . با این حال، با استفاده از ویژگی (9)، ما به دست می آوریم.

از آنجا که و، سپس از برابری معادله به شرح زیر استیا .

مثال 4.پیدا کنید اگر .

راه حل.طبق فرمول (5) داریم

با این حال، با استفاده از قضیه، می توانیم بنویسیم

از اینجا و از فرمول (11) بدست می آوریم.

مثال 5. داده شده: . پیدا کردن .

راه حل.از آن به بعد. با این حال، بنابراین.

مثال 6.اجازه دهید، و. پیدا کردن .

راه حل.با استفاده از فرمول (9) به دست می آوریم. بنابراین، اگر، پس یا .

از آنجایی که و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

با حل آن، به دست می آوریم و .

ریشه طبیعی معادلهاست .

مثال 7.پیدا کردن اگر و .

راه حل.از آنجایی که طبق فرمول (3) آن را داریم، پس سیستم معادلات از شرایط مسئله تبعیت می کند

اگر عبارت را جایگزین کنیمبه معادله دوم سیستم، سپس می گیریم یا .

ریشه های یک معادله درجه دوم هستندو .

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. اجازه دهید، سپس. از آن زمان و پس از آن .

در این صورت طبق فرمول (6) داریم

2. اگر، پس، و

پاسخ: و.

مثال 8.معلوم است که و. پیدا کردن .

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) و شرط مثال می نویسیم و .

این به معنای سیستم معادلات است

اگر معادله اول سیستم را در 2 ضرب کنیم و سپس آن را به معادله دوم اضافه کنیم، به دست می آید.

طبق فرمول (9) داریم. در این راستا از (12) نتیجه می شود.یا .

از آن زمان و پس از آن .

پاسخ: .

مثال 9.پیدا کردن اگر و .

راه حل.از آنجا که , و به شرط , سپس یا .

از فرمول (5) معلوم است، چی . از آن به بعد.

از این رو، در اینجا ما یک سیستم معادلات خطی داریم

از اینجا می گیریم و . با در نظر گرفتن فرمول (8) می نویسیم.

مثال 10.معادله را حل کنید.

راه حل.از معادله داده شده نتیجه می شود که . بیایید فرض کنیم که , و . در این مورد .

با توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم یا .

از آنجایی که معادله (13) تنها ریشه مناسب را دارد.

مثال 11.حداکثر مقدار را به شرطی که و .

راه حل.از آنجا که، پس از آن پیشرفت محاسباتی مورد بررسی در حال کاهش است. در این راستا، عبارت زمانی حداکثر مقدار خود را به دست می آورد که تعداد حداقل جمله مثبت پیشرفت باشد.

اجازه دهید از فرمول (1) و واقعیت استفاده کنیم، آن و . سپس آن را دریافت می کنیم یا .

از آن پس یا . با این حال، در این نابرابریبزرگترین عدد طبیعی، از همین رو .

اگر مقادیر و به فرمول (6) جایگزین شوند، به دست می آوریم.

پاسخ: .

مثال 12.مجموع تمام اعداد طبیعی دو رقمی را که با تقسیم بر عدد 6، باقیمانده 5 باقی می ماند، تعیین کنید.

راه حل.اجازه دهید با مجموعه تمام اعداد طبیعی دو رقمی نشان دهیم، یعنی. . در مرحله بعد، یک زیرمجموعه متشکل از آن عناصر (اعداد) مجموعه می سازیم که با تقسیم بر عدد 6، باقیمانده 5 به دست می آید.

نصب آسان، چی . به طور مشخص ، که عناصر مجموعهیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند، که در آن و .

برای تعیین کاردینالیته (تعداد عناصر) مجموعه، فرض می کنیم که . از آنجایی که و از فرمول (1) یا . با در نظر گرفتن فرمول (5) به دست می آوریم.

مثال های بالا از حل مسئله به هیچ وجه نمی توانند ادعا کنند که جامع هستند. این مقاله بر اساس تجزیه و تحلیل روش های مدرن برای حل مسائل معمولی در یک موضوع خاص نوشته شده است. برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسائل مربوط به پیشروی حسابی، توصیه می شود به فهرست مقالات توصیه شده مراجعه کنید.

1. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م.: صلح و آموزش، 2013. – 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه درسی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. – 216 ص.

3. Medynsky M.M. دوره کامل ریاضیات ابتدایی در مسائل و تمرینات. کتاب 2: توالی اعداد و پیشرفت ها. - م.: ویرایش، 2015. – 208 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.