اعداد برای یافتن nok. نحوه پیدا کردن کمترین مضرب مشترک، nok برای دو یا چند عدد

پیدا کردن NOC

به منظور پیدا کردن مخرج مشترک هنگام جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف، باید بدانید و بتوانید محاسبه کنید حداقل مضرب مشترک (LCM).

مضرب a عددی است که خود بدون باقیمانده بر a بخش پذیر است.
اعدادی که مضرب 8 هستند (یعنی این اعداد بدون باقیمانده بر 8 بخش پذیرند): این اعداد 16، 24، 32...
مضرب 9: 18، 27، 36، 45...

بی نهایت مضرب یک عدد معین a وجود دارد، برخلاف مقسوم علیه های همان عدد. تعداد متناهی مقسوم علیه وجود دارد.

مضرب مشترک دو عدد طبیعی عددی است که بر هر دوی این اعداد بخش پذیر باشد.

• کمترین مضرب مشترک (LCM) دو یا چند عدد طبیعی کوچکترین عدد طبیعی است که خود بر هر یک از این اعداد بخش پذیر است.

نحوه پیدا کردن NOC
LCM را می توان به دو صورت یافت و نوشت.

اولین راه برای پیدا کردن LOC
این روش معمولا برای تعداد کم استفاده می شود.
1. مضرب های هر عدد را روی یک خط بنویسید تا زمانی که مضربی را پیدا کنید که برای هر دو عدد یکسان است.
2. مضرب a با حرف بزرگ "K" نشان داده می شود.

K(a) = (...،...)
مثال. LOC 6 و 8 را پیدا کنید.
K (6) = (12، 18، 24، 30، ...)

K(8) = (8، 16، 24، 32، ...)

LCM(6، 8) = 24

راه دوم برای پیدا کردن LOC
استفاده از این روش برای یافتن LCM برای سه عدد یا بیشتر راحت است.
1. اعداد داده شده را به تقسیم کنید سادهضرب کننده ها در مبحث نحوه یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) می توانید در مورد قوانین فاکتورگیری به ضرایب اول بیشتر بخوانید.

2. عوامل موجود در بسط را روی یک خط بنویسید بزرگترین از اعداد، و در زیر آن تجزیه اعداد باقی مانده است.

• تعداد عوامل یکسان در تجزیه اعداد می تواند متفاوت باشد.

60 = 2 . 2 . 3 . 5

24 = 2 . 2 . 2 . 3
3. در تجزیه تاکید کنید کمتراعداد (اعداد کوچکتر) عواملی که در بسط عدد بزرگتر (در مثال ما 2 است) لحاظ نشده اند و این عوامل را به بسط عدد بزرگتر اضافه کنید.
LCM(24، 60) = 2. 2. 3. 5 . 2
4. محصول به دست آمده را به عنوان پاسخ یادداشت کنید.
پاسخ: LCM (24، 60) = 120

همچنین می توانید یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM) را به صورت زیر رسمی کنید. بیایید LCM را پیدا کنیم (12، 16، 24).

24 = 2 . 2 . 2 . 3

16 = 2 . 2 . 2 . 2

12 = 2 . 2 . 3

همانطور که از تجزیه اعداد مشاهده می کنیم، همه عوامل 12 در تجزیه 24 (بزرگترین اعداد) گنجانده شده اند، بنابراین ما فقط یک 2 از تجزیه عدد 16 را به LCM اضافه می کنیم.
LCM(12، 16، 24) = 2. 2. 2. 3. 2 = 48
پاسخ: LCM (12، 16، 24) = 48

موارد خاص پیدا کردن NPL
1. اگر یکی از اعداد بر اعداد دیگر بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک این اعداد برابر با این عدد است.
به عنوان مثال، LCM (60، 15) = 60
2. از آنجایی که اعداد نسبتا اول دارای ضرایب اول مشترک نیستند، کمترین مضرب مشترک آنها برابر حاصلضرب این اعداد است.
مثال.
LCM(8، 9) = 72

بیایید حل مشکل زیر را در نظر بگیریم. گام پسر 75 سانتی متر و گام دختر 60 سانتی متر است.

راه حل.کل مسیری که بچه ها طی خواهند کرد باید بر 60 و 70 بخش پذیر باشد، زیرا هر کدام باید تعداد صحیحی از مراحل را طی کنند. به عبارت دیگر، پاسخ باید مضرب هر دو 75 و 60 باشد.

ابتدا تمام مضرب های عدد 75 را یادداشت می کنیم.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

حالا بیایید اعدادی را که مضرب 60 هستند بنویسیم.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

حالا اعدادی را که در هر دو ردیف هستند پیدا می کنیم.

• مضرب مشترک اعداد 300، 600 و غیره خواهد بود.

کوچکترین آنها عدد 300 است در این صورت کوچکترین مضرب مشترک اعداد 75 و 60 نامیده خواهد شد.

با بازگشت به وضعیت مشکل، کوچکترین فاصله ای که پسرها در آن تعداد صحیح قدم برمی دارند 300 سانتی متر خواهد بود، پسر این مسیر را در 4 مرحله طی می کند و دختر باید 5 قدم بردارد.

تعیین حداقل چندگانه مشترک

• کوچکترین مضرب مشترک دو عدد طبیعی a و b کوچکترین عدد طبیعی است که مضرب هر دو a و b باشد.

برای یافتن کمترین مضرب مشترک دو عدد، لازم نیست همه مضرب های این اعداد را پشت سر هم بنویسید.

می توانید از روش زیر استفاده کنید.

چگونه کوچکترین مضرب مشترک را پیدا کنیم

ابتدا باید این اعداد را در فاکتورهای اول قرار دهید.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

حال بیایید تمام عواملی که در بسط عدد اول (2،2،3،5) هستند را بنویسیم و تمام عوامل گمشده از بسط عدد دوم (5) را به آن اضافه کنیم.

در نتیجه یک سری اعداد اول بدست می آوریم: 2،2،3،5،5. حاصلضرب این اعداد کمترین عامل رایج برای این اعداد خواهد بود. 2*2*3*5*5 = 300.

طرح کلی برای یافتن کمترین مضرب مشترک

• 1. اعداد را به عوامل اول تقسیم کنید.
• 2-عوامل اولی که جزء یکی از آنها هستند را بنویسید.
• 3. به این عوامل همه آنهایی را اضافه کنید که در بسط بقیه هستند، اما در انتخاب شده نه.
• 4. حاصلضرب تمام عوامل نوشته شده را بیابید.

این روش جهانی است. می توان از آن برای یافتن حداقل مضرب مشترک هر تعداد از اعداد طبیعی استفاده کرد.

کمترین مضرب مشترک دو عدد با بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن اعداد رابطه مستقیم دارد. این ارتباط بین GCD و NOCبا قضیه زیر تعیین می شود.

قضیه.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح مثبت a و b برابر است با حاصلضرب a و b تقسیم بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک a و b، یعنی: LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

اثبات

اجازه دهید M مضربی از اعداد a و b است. یعنی M بر a بخش پذیر است و با تعریف تقسیم پذیری مقداری k وجود دارد به طوری که برابری M=a·k درست است. اما M نیز بر b بخش پذیر است، سپس a·k بر b بخش پذیر است.

بیایید gcd(a,b) را با d نشان دهیم. سپس می توانیم تساوی a=a 1 ·d و b=b 1 ·d را بنویسیم و a 1 =a:d و b 1 =b:d اعداد نسبتا اول خواهند بود. در نتیجه، شرط به دست آمده در پاراگراف قبل مبنی بر اینکه a · k بر b بخش پذیر است را می توان به صورت زیر فرموله کرد: a 1 · d · k بر b 1 · d تقسیم می شود و این به دلیل ویژگی های تقسیم پذیری، معادل شرط است. که a 1 · k بر b 1 بخش پذیر است.

همچنین باید دو نتیجه مهم از قضیه در نظر گرفته شده را یادداشت کنید.

مضرب مشترک دو عدد با مضرب کوچکترین مضرب مشترک آنها یکسان است.

این در واقع چنین است، زیرا هر مضرب مشترک M از اعداد a و b با برابری M=LMK(a, b)·t برای مقداری عدد صحیح t تعیین می شود.

کمترین مضرب مشترک اعداد مثبت متقابل a و b برابر است با حاصلضرب آنها.

دلیل این واقعیت کاملاً واضح است. از آنجایی که a و b نسبتاً اول هستند، پس gcd(a, b)=1، بنابراین، GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

حداقل مضرب مشترک سه یا چند عدد

یافتن حداقل مضرب مشترک سه یا چند عدد را می توان به یافتن متوالی LCM دو عدد کاهش داد. چگونگی انجام این کار در قضیه زیر نشان داده شده است. و از آنجایی که کوچکترین مضرب مثبت عدد m k خود عدد m k است، پس کوچکترین مضرب مشترک اعداد a 1، a 2، ...، a k m k است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ویلنکین N.Ya. و سایرین. پایه ششم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی.
• وینوگرادوف I.M. مبانی نظریه اعداد.
• میخلوویچ ش.ح. نظریه اعداد
• کولیکوف ال.یا. و دیگران مجموعه مسائل جبر و تئوری اعداد: کتاب درسی برای دانشجویان فیزیک و ریاضی. تخصص های موسسات آموزشی.

مضرب عددی است که بر یک عدد معین بدون باقیمانده بخش پذیر است. کمترین مضرب مشترک (LCM) یک گروه از اعداد کوچکترین عددی است که بر هر عدد در گروه بدون باقی ماندن باقیمانده بخش پذیر است. برای یافتن کمترین مضرب مشترک، باید ضرایب اول اعداد داده شده را پیدا کنید. LCM همچنین می تواند با استفاده از تعدادی روش دیگر که برای گروه های دو یا چند عددی اعمال می شود محاسبه شود.

مراحل

سری چندتایی

به این اعداد نگاه کنید.روشی که در اینجا توضیح داده می شود زمانی بهترین استفاده را دارد که دو عدد داده شود، که هر کدام کمتر از 10 باشد. اگر اعداد بزرگتر داده شده است، از روش دیگری استفاده کنید.

• به عنوان مثال، کوچکترین مضرب مشترک 5 و 8 را پیدا کنید. اینها اعداد کوچکی هستند، بنابراین می توانید از این روش استفاده کنید.

1. مضرب عددی است که بر یک عدد معین بدون باقیمانده بخش پذیر است. در جدول ضرب ضریب ها را می توان یافت.

   • برای مثال اعدادی که مضرب 5 هستند عبارتند از: 5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40.

2. یک سری اعداد را که مضربی از عدد اول هستند بنویسید.این کار را زیر مضربی از عدد اول انجام دهید تا دو مجموعه اعداد را با هم مقایسه کنید.

   • به عنوان مثال، اعدادی که مضرب 8 هستند عبارتند از: 8، 16، 24، 32، 40، 48، 56 و 64.

3. کوچکترین عددی را که در هر دو مجموعه مضرب وجود دارد بیابید.ممکن است مجبور شوید سری های طولانی مضرب بنویسید تا تعداد کل را بیابید. کوچکترین عددی که در هر دو مجموعه مضرب وجود دارد، کمترین مضرب مشترک است.

   • برای مثال کوچکترین عددی که در سری مضرب های 5 و 8 ظاهر می شود عدد 40 است بنابراین 40 کمترین مضرب مشترک 5 و 8 است.

   فاکتورسازی اولیه

   1. به این اعداد نگاه کنید.روشی که در اینجا توضیح داده می شود زمانی بهتر است که به دو عدد داده شود، که هر کدام بزرگتر از 10 است. اگر اعداد کوچکتر داده شده اند، از روش دیگری استفاده کنید.

      • برای مثال کوچکترین مضرب مشترک اعداد 20 و 84 را پیدا کنید. هر کدام از اعداد بزرگتر از 10 هستند، بنابراین می توانید از این روش استفاده کنید.

   2. عامل به عوامل اصلی شماره اولیعنی باید چنین اعداد اولی را پیدا کنید که وقتی ضرب شوند، عدد معینی به دست آید. هنگامی که عوامل اصلی را پیدا کردید، آنها را به صورت برابر بنویسید.

      عدد دوم را به فاکتورهای اول تبدیل کنید.این کار را به همان ترتیبی که عدد اول را فاکتور گرفتید انجام دهید، یعنی اعداد اولی را پیدا کنید که وقتی ضرب شوند، عدد داده شده به دست می آید.

      عوامل مشترک هر دو عدد را بنویسید.عواملی را به عنوان عملیات ضرب بنویسید. همانطور که هر عامل را می نویسید، آن را در هر دو عبارت خط بزنید (عباراتی که فاکتورسازی اعداد را به عوامل اول توصیف می کنند).

      عوامل باقیمانده را به عملیات ضرب اضافه کنید.اینها عواملی هستند که در هر دو عبارت خط زده نمی شوند، یعنی عواملی که در هر دو عدد مشترک نیستند.

      حداقل مضرب مشترک را محاسبه کنید.برای این کار اعداد را در عملیات ضرب نوشتاری ضرب کنید.

   یافتن عوامل مشترک

   یک شبکه مانند یک بازی تیک تاک بکشید.چنین شبکه ای از دو خط موازی تشکیل شده است که (در زاویه قائمه) با دو خط موازی دیگر قطع می شوند. این به شما سه ردیف و سه ستون می دهد (شبکه شباهت زیادی به نماد # دارد). در سطر اول و ستون دوم عدد اول را بنویسید. عدد دوم را در سطر اول و ستون سوم بنویسید.

   • به عنوان مثال، حداقل مضرب مشترک اعداد 18 و 30 را پیدا کنید، در سطر اول و ستون دوم عدد 18 را بنویسید و در سطر اول و ستون سوم عدد 30 را بنویسید.

   1. مقسوم علیه مشترک هر دو عدد را پیدا کنید.آن را در سطر اول و ستون اول یادداشت کنید. بهتر است به دنبال عوامل اصلی باشید، اما این یک الزام نیست.

      • به عنوان مثال، 18 و 30 اعداد زوج هستند، بنابراین ضریب مشترک آنها 2 است. بنابراین در سطر اول و ستون اول 2 بنویسید.

   2. هر عدد را بر تقسیم کننده اول تقسیم کنید.هر ضریب را زیر عدد مناسب بنویسید. ضریب حاصل از تقسیم دو عدد است.

      مقسوم علیه مشترک هر دو ضریب را پیدا کنید.اگر چنین مقسوم‌کننده‌ای وجود ندارد، از دو مرحله بعدی بگذرید. در غیر این صورت در سطر دوم و ستون اول تقسیم کننده را بنویسید.

      • به عنوان مثال 9 و 15 بر 3 بخش پذیرند پس در سطر دوم و ستون اول عدد 3 را بنویسید.

   3. هر ضریب را بر دومین مقسوم علیه آن تقسیم کنید.نتیجه هر تقسیم را زیر ضریب مربوطه بنویسید.

      در صورت لزوم، سلول های اضافی را به شبکه اضافه کنید.مراحل توضیح داده شده را تا زمانی تکرار کنید که ضریب ها یک مقسوم علیه مشترک داشته باشند.

      دور اعداد ستون اول و سطر آخر شبکه حلقه بزنید.سپس اعداد انتخاب شده را به صورت عملیات ضرب بنویسید.

   الگوریتم اقلیدس

   اصطلاحات مرتبط با عملیات تقسیم را به خاطر بسپارید.سود سهام عددی است که تقسیم می شود. مقسوم علیه عددی است که بر آن تقسیم می شود. ضریب حاصل از تقسیم دو عدد است. باقی مانده عددی است که هنگام تقسیم دو عدد باقی می ماند.

   عبارتی را بنویسید که عملیات تقسیم را با باقی مانده توصیف کند.اصطلاح: سود = مقسوم علیه × ضریب + باقیمانده (\displaystyle (\text(dividend))=(\text(divisor))\times (\text(quotient))+(\text (باقیمانده))). این عبارت برای نوشتن الگوریتم اقلیدسی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد استفاده خواهد شد.

   بزرگتر از دو عدد را به عنوان سود تقسیمی در نظر بگیرید.کوچکتر از دو عدد را مقسوم علیه در نظر بگیرید. برای این اعداد، عبارتی بنویسید که عملیات تقسیم را با باقیمانده توضیح دهد.

   تقسیم کننده اول را به سود سهام جدید تبدیل کنید.از باقی مانده به عنوان مقسوم علیه جدید استفاده کنید. برای این اعداد، عبارتی بنویسید که عملیات تقسیم را با باقیمانده توضیح دهد.

بیایید گفتگو را در مورد کمترین مضرب مشترک، که در بخش "LCM - حداقل مضرب مشترک، تعریف، مثال ها" شروع کردیم، ادامه دهیم. در این مبحث به بررسی راه های یافتن LCM برای سه یا چند عدد می پردازیم و به این سوال می پردازیم که چگونه LCM یک عدد منفی را پیدا کنیم.

محاسبه حداقل چندگانه مشترک (LCM) از طریق GCD

ما قبلاً رابطه بین کمترین مضرب مشترک و بزرگترین مقسوم علیه مشترک را ایجاد کرده ایم. حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه LCM را از طریق GCD تعیین کنیم. ابتدا بیایید نحوه انجام این کار را برای اعداد مثبت دریابیم.

تعریف 1

با استفاده از فرمول LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) می توانید کمترین مضرب مشترک را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک پیدا کنید.

مثال 1

باید LCM اعداد 126 و 70 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید a = 126، b = 70 را در نظر بگیریم. بیایید مقادیر را در فرمول محاسبه کمترین مضرب مشترک از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) جایگزین کنیم.

gcd اعداد 70 و 126 را پیدا می کند. برای این ما به الگوریتم اقلیدسی نیاز داریم: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4، بنابراین GCD (126 , 70) = 14 .

بیایید LCM را محاسبه کنیم: LCD (126، 70) = 126 70: GCD (126، 70) = 126 70: 14 = 630.

پاسخ: LCM(126، 70) = 630.

مثال 2

تعداد اعداد 68 و 34 را بیابید.

راه حل

یافتن GCD در این مورد دشوار نیست، زیرا 68 بر 34 بخش پذیر است. بیایید حداقل مضرب مشترک را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم: LCM (68، 34) = 68 34: GCD (68، 34) = 68 34: 34 = 68.

پاسخ: LCM(68، 34) = 68.

در این مثال از قانون برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد صحیح مثبت a و b استفاده کردیم: اگر عدد اول بر عدد دوم بخش پذیر باشد، LCM آن اعداد برابر با عدد اول خواهد بود.

یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به عوامل اول

حال بیایید به روش یافتن LCM نگاه کنیم که بر اساس فاکتورگیری اعداد به فاکتورهای اول است.

تعریف 2

برای یافتن کمترین مضرب مشترک، باید چند مرحله ساده را انجام دهیم:

• ما حاصل ضرب همه ضرایب اول اعدادی را که برای آنها باید LCM را پیدا کنیم، ترکیب می کنیم.
• ما همه عوامل اصلی را از محصولات حاصل از آنها حذف می کنیم.
• حاصلضرب پس از حذف ضرایب اول مشترک برابر با LCM اعداد داده شده خواهد بود.

این روش برای یافتن کمترین مضرب مشترک مبتنی بر برابری LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) است. اگر به فرمول نگاه کنید، مشخص می شود: حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب همه عواملی که در تجزیه این دو عدد شرکت می کنند. در این حالت، gcd دو عدد برابر است با حاصلضرب همه عوامل اولی که همزمان در فاکتورسازی این دو عدد وجود دارند.

مثال 3

دو عدد 75 و 210 داریم. می توانیم آنها را به صورت زیر در نظر بگیریم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. اگر حاصل ضرب تمام ضرایب دو عدد اصلی را بسازید، به دست می آورید: 2 3 3 5 5 5 7.

اگر فاکتورهای مشترک هر دو عدد 3 و 5 را حذف کنیم، حاصل ضربی به شکل زیر می‌شویم: 2 3 5 5 7 = 1050. این محصول LCM ما برای اعداد 75 و 210 خواهد بود.

مثال 4

LCM اعداد را پیدا کنید 441 و 700 ، هر دو عدد را به فاکتورهای اول فاکتور می کنیم.

راه حل

بیایید همه عوامل اول اعداد داده شده در شرط را پیدا کنیم:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

دو زنجیره اعداد بدست می آوریم: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.

حاصلضرب همه عواملی که در تجزیه این اعداد شرکت کرده اند به شکل زیر خواهد بود: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. بیایید عوامل مشترک را پیدا کنیم. این عدد 7 است. بیایید آن را از کل محصول حذف کنیم: 2 2 3 3 5 5 7 7. معلوم می شود که NOC (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

پاسخ: LOC(441، 700) = 44100.

اجازه دهید فرمول دیگری از روش برای یافتن LCM با تجزیه اعداد به عوامل اول ارائه دهیم.

تعریف 3

قبلاً، ما از تعداد کل عوامل مشترک برای هر دو اعداد حذف شدیم. حالا ما این کار را متفاوت انجام خواهیم داد:

• بیایید هر دو عدد را به عوامل اول فاکتور کنیم:
• به حاصل ضرب ضرایب اول عدد اول عوامل گمشده عدد دوم را اضافه کنید.
• حاصلضرب را بدست می آوریم که LCM مورد نظر دو عددی خواهد بود.

مثال 5

بیایید به اعداد 75 و 210 برگردیم که قبلاً در یکی از نمونه های قبلی به دنبال LCM بودیم. بیایید آنها را به عوامل ساده تقسیم کنیم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. به حاصل ضرب عوامل 3، 5 و 5 اعداد 75 فاکتورهای گمشده را اضافه کنید 2 و 7 شماره 210. ما گرفتیم: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .این LCM اعداد 75 و 210 است.

مثال 6

محاسبه LCM اعداد 84 و 648 ضروری است.

راه حل

بیایید اعداد را از شرط به عوامل ساده تبدیل کنیم: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. فاکتورهای 2، 2، 3 و را به محصول اضافه می کنیم 7 اعداد 84 عوامل گمشده 2، 3، 3 و
3 شماره 648. ما محصول را دریافت می کنیم 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.این کمترین مضرب مشترک 84 و 648 است.

پاسخ: LCM(84, 648) = 4,536.

یافتن LCM سه یا چند عدد

صرف نظر از اینکه با چند عدد سروکار داریم، الگوریتم اقدامات ما همیشه یکسان خواهد بود: ما به صورت متوالی LCM دو عدد را پیدا خواهیم کرد. یک قضیه برای این مورد وجود دارد.

قضیه 1

بیایید فرض کنیم اعداد صحیح داریم a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kاین اعداد با محاسبه متوالی m 2 = LCM (a 1، a 2)، m 3 = LCM (m 2, a 3)، ...، m k = LCM (m k - 1، a k) به دست می آیند.

حال بیایید ببینیم که چگونه می توان از این قضیه برای حل مسائل خاص استفاده کرد.

مثال 7

شما باید حداقل مضرب مشترک چهار عدد 140، 9، 54 و را محاسبه کنید 250 .

راه حل

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: a 1 = 140، a 2 = 9، a 3 = 54، a 4 = 250.

بیایید با محاسبه m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) شروع کنیم. بیایید الگوریتم اقلیدسی را برای محاسبه GCD اعداد 140 و 9 اعمال کنیم: 140 = 9 15 + 5، 9 = 5 1 + 4، 5 = 4 1 + 1، 4 = 1 4. دریافت می کنیم: GCD (140، 9) = 1، GCD (140، 9) = 140 9: GCD (140، 9) = 140 9: 1 = 1260. بنابراین، m 2 = 1260.

اکنون بیایید با استفاده از همان الگوریتم m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) محاسبه کنیم. در طی محاسبات m 3 = 3 780 بدست می آوریم.

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) را محاسبه کنیم. ما از همین الگوریتم پیروی می کنیم. m 4 = 94 500 بدست می آوریم.

LCM چهار عدد از شرط مثال 94500 است.

پاسخ: NOC (140، 9، 54، 250) = 94500.

همانطور که می بینید، محاسبات ساده هستند، اما کاملاً کار فشرده هستند. برای صرفه جویی در زمان، می توانید راه دیگری را انتخاب کنید.

تعریف 4

ما الگوریتم اقدامات زیر را به شما پیشنهاد می کنیم:

• ما همه اعداد را به عوامل اول تجزیه می کنیم.
• به حاصل ضرب ضرایب عدد اول، عوامل گمشده را از حاصل ضرب عدد دوم اضافه می کنیم.
• به محصول به دست آمده در مرحله قبل عوامل گمشده عدد سوم و غیره را اضافه می کنیم.
• حاصلضرب حاصل کمترین مضرب مشترک همه اعداد شرط خواهد بود.

مثال 8

شما باید LCM پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید هر پنج عدد را در ضرایب اول فاکتور کنیم: 84 = 2 2 3 7، 6 = 2 3، 48 = 2 2 2 2 3، 7، 143 = 11 13. اعداد اول که عدد 7 است را نمی توان در فاکتورهای اول قرار داد. چنین اعدادی با تجزیه آنها به عوامل اول همزمان است.

حال بیایید حاصل ضرب ضرایب اول 2، 2، 3 و 7 عدد 84 را گرفته و ضرایب گمشده عدد دوم را به آنها اضافه کنیم. عدد 6 را به 2 و 3 تجزیه کردیم. این عوامل قبلاً در حاصل ضرب عدد اول هستند. بنابراین، آنها را حذف می کنیم.

ما به افزودن ضریب های گمشده ادامه می دهیم. بریم سراغ عدد 48 که از حاصل ضرب ضرایب اولش 2 و 2 می گیریم. سپس ضریب اول 7 را از عدد چهارم و ضریب های 11 و 13 عدد پنجم را جمع می کنیم. ما دریافت می کنیم: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. این کمترین مضرب مشترک پنج عدد اصلی است.

پاسخ: LCM (84، 6، 48، 7، 143) = 48،048.

پیدا کردن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی

برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی ابتدا باید این اعداد با اعدادی با علامت مخالف جایگزین شوند و سپس با استفاده از الگوریتم های فوق محاسبات انجام شود.

مثال 9

LCM (54، - 34) = LCM (54، 34) و LCM (-622، - 46، - 54، - 888) = LCM (622، 46، 54، 888).

این گونه اعمال از این جهت جایز است که اگر بپذیریم آو - الف- اعداد مقابل،
سپس مجموعه مضرب یک عدد آبا مجموعه مضرب یک عدد مطابقت دارد - الف.

مثال 10

محاسبه LCM اعداد منفی ضروری است − 145 و − 45 .

راه حل

بیایید اعداد را جایگزین کنیم − 145 و − 45 به اعداد مخالف خود 145 و 45 . اکنون با استفاده از الگوریتم، LCM (145، 45) = 145 45 را محاسبه می کنیم: GCD (145، 45) = 145 45: 5 = 1 305، که قبلاً GCD را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی تعیین کرده ایم.

دریافت می کنیم که LCM اعداد − 145 و است − 45 برابر است 1 305 .

پاسخ: LCM (- 145، - 45) = 1305.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید