Единицы измерения заряда. Закон Кулона

Страница 56

ЗАКОН КУЛОНА(уч.10кл.стр.354-362)

Основной закон электростатики. Понятие точечного заряженного тела.

Измерение силы взаимодействия зарядов с помощью крутильных весов. Опыты Кулона

Определение точечного заряда

Закон Кулона. Формулировка и формула

Сила Кулона

Определение единицы заряда

Коэффициент в законе Кулона

Сравнение электростатических и гравитационных сил в атоме

Равновесие статических зарядов и его физический смысл (на примере трех зарядов)

Основной закон электростатики – закон взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тел.

Установлен Шарлем Огюстеном Кулоном в 1785 году и носит его имя.

В природе точечных заряженных тел не существует, но если расстояние между телами во много раз больше их размеров, то ни форма, ни размеры заряженных тел существенно не влияют на взаимодействия между ними. В током случае эти тела можно рассматривать, как точечные.

Сила взаимодействия заряженных тел зависит от свойств среды между ними. Опыт показывает, что воздух очень мало влияет на силу этого взаимодействия и она оказывается почти такой же как в вакууме.

Опыт Кулона

Первые результаты по измерению силы взаимодействия зарядов получены в 1785 г. французским ученым Шарлем Огюстеном Кулоном

Для измерения силы использовались крутильные весы.

Маленькая тонкая незаряженная золотая сфера на одном конце изолирующего коромысла, подвешенного на упругой серебряной нити, уравновешивалась на другом концу коромысла бумажным диском.

Поворотом коромысла она приводилась в контакт с такой же неподвижной заряженной сферой, в результате чего ее заряд делился поровну между сферами.

Диаметр сфер выбирался много меньше расстояния между ними, чтобы исключить влияние размеров и формы заряженных тел на результаты измерений.

Точечный заряд – заряженное тело, размер которого много меньше расстояния его возможного действия на другие тела.

Сферы, имеющие одноименные заряды, начинали отталкиваться, закручивая нить. Угол поворота был пропорционален силе, действующей на подвижную сферу.

Расстояние между сферами измерялось по специальной градуировочной шкале.

Разряжая сферу 1 после измерения силы и соединяя ее вновь с неподвижной сферой, Кулон уменьшал заряд на взаимодействующих сферах в 2,4,8 и т.д. раз,

Закон Кулона:

Сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, и направлена по прямой, соединяющей заряды.

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Силу F12 называю силой Кулона

Сила Кулона центральная, т.е. направлена по линии соединяющей центры зарядов.

В СИ единица заряда является не основной, а производной, и определяется с помощью Ампера – основной единицы СИ.

Кулон – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока в 1 А за 1 с

В СИ коэффициент пропорциональности в законе Кулона для вакуума:

k = 9*109 Нм2/Кл2

Часто коэффициент записывают в виде:

e0 = 8,85*10-12 Кл2/(Нм2) – электрическая постоянная

Закон Кулона записывается в форме:

Если точечный заряд поместить в среду с относительной диэлектрической проницаемостью e, отличную от вакуума, кулоновская сила уменьшится в e раз.

У любой среды кроме вакуума e > 1

Согласно закону Кулона два точечных заряда по 1 Кл, на расстоянии 1 м в вакууме, взаимодействуют с силой

Из этой оценки видно, что заряд в 1 Кулон – очень большая величина.

На практике пользуются дольными единицами – мкКл (10-6), мКл (10-3)

1 Кл содержит 6*1018 зарядов электронов.

На примере сил взаимодействия электрона и протона в ядре можно показать, что электростатическая сила взаимодействия частиц больше гравитационной примерно на 39 порядков. Однако электростатические силы взаимодействия макроскопических тел (в целом электронейтральных) определяются лишь очень малыми избыточными зарядами, находящимися на них, и поэтому не велики по сравнению с гравитационными, зависящими от массы тел.

Возможно ли равновесие статических зарядов?

Рассмотрим систему из двух положительных точечных зарядов q1 и q2.

Найдем, в какую точку следует поместить третий заряд, чтобы он находился в равновесии, а так же определим величину и знак этого заряда.

Статическое равновесие возникает тогда, когда геометрическая (векторная) сумма сил, действующих на тело, равна нулю.

Точка, в которой силы, действующие на третий заряд q3, могут компенсировать друг друга, находится на прямой между зарядами.

При этом заряд q3 может быть как положительным так и отрицательным. В первом случае компенсируются силы отталкивания, во втором – силы притяжения.

Учитывая закон Кулона статическое равновесие зарядов будет в случае:

Равновесие заряда q3 не зависит ни от его величины, ни от знака заряда.

При изменении заряда q3 в равной мере меняются как силы притяжения (q3 положительный), так и силы отталкивания (q3 отрицательный)

Решив квадратное уравнение относительно x можно показать, что заряд любого знака и величины будет находится в равновесии в точке на расстоянии x1 от заряда q1:

Выясним устойчивым или неустойчивым будет положение третьего заряда.

(При устойчивом равновесии тело, выведенное из положения равновесия, возвращается к нему, при неустойчивом – удаляется от него)

При горизонтальном смещении силы отталкивания F31, F32 меняются из-за изменения расстояний между зарядами, возвращая заряд к положению равновесия.

При горизонтальном смещении равновесие заряда q3 устойчивое.

При вертикальном смещении, равнодействующая F31, F32 выталкивает q3

Перейти на страницу:

Зако́н Куло́на — это закон, описывающий силы взаимодействия между точечными электрическими зарядами.

Был открыт Шарлем Кулоном в 1785 г. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Шарль Кулон дал такую формулировку закона:

Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними

Иначе: Два точечных заряда в вакууме действуют друг на друга с силами, которые пропорциональны произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются электростатическими (кулоновскими).

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;
3. взаимодействие в вакууме.

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

где — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; — величина зарядов; — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — ); — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые — притягиваются).

Коэффициент k

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k равен единице.

В Международной системе единиц (СИ) одной из основных единиц является единица силы электрического тока ампер, а единица заряда — кулон — производная от него. Величина ампера определена таким образом, что k = c2·10-7 Гн/м = 8,9875517873681764·109 Н·м2/Кл2 (или Ф−1·м). В СИ коэффициент k записывается в виде:

где ≈ 8,854187817·10−12 Ф/м — электрическая постоянная.

В однородном изотропном веществе в знаменатель формулы добавляется относительная диэлектрическая проницаемость среды ε.

Закон Кулона в квантовой механике

В квантовой механике закон Кулона формулируется не при помощи понятия силы, как в классической механике, а при помощи понятия потенциальной энергии кулоновского взаимодействия. В случае, когда рассматриваемая в квантовой механике система содержит электрически заряженные частицы, к оператору Гамильтона системы добавляются слагаемые, выражающие потенциальную энергию кулоновского взаимодействия, так, как она вычисляется в классической механике.

Так, оператор Гамильтона атома с зарядом ядра Z имеет вид:

j}\frac{e^2}{r_{ij}}" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/0/8/d081b99fac096b0e0c5b4290a9573794.png">.

Здесь m — масса электрона, е — его заряд, — абсолютная величина радиус-вектора j -го электрона, . Первое слагаемое выражает кинетическую энергию электронов, второе слагаемое — потенциальную энергию кулоновского взаимодействия электронов с ядром и третье слагаемое — потенциальную кулоновскую энергию взаимного отталкивания электронов. Суммирование в первом и втором слагаемом ведется по всем N электронам. В третьем слагаемом суммирование идёт по всем парам электронов, причём каждая пара встречается однократно.

Закон Кулона с точки зрения квантовой электродинамики

Согласно квантовой электродинамике, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц осуществляется путём обмена виртуальными фотонами между частицами. Принцип неопределённости для времени и энергии допускает существование виртуальных фотонов на время между моментами их испускания и поглощения. Чем меньше расстояние между заряженными частицами, тем меньшее время нужно виртуальным фотонам для преодоления этого расстояния и следовательно, тем большая энергия виртуальных фотонов допускается принципом неопределенности. При малых расстояниях между зарядами принцип неопределённости допускает обмен как длинноволновыми, так и коротковолновыми фотонами, а при больших расстояниях в обмене участвуют только длинноволновые фотоны. Таким образом, с помощью квантовой электродинамики можно вывести закон Кулона.

История

Впервые исследовать экспериментально закон взаимодействия электрически заряженных тел предложил Г. В. Рихман в 1752—1753 гг. Он намеревался использовать для этого сконструированный им электрометр-«указатель». Осуществлению этого плана помешала трагическая гибель Рихмана.

В 1759 г. профессор физики Санкт-Петербургской академии наук Ф. Эпинус, занявший кафедру Рихмана после его гибели, впервые предположил, что заряды должны взаимодействовать обратно пропорционально квадрату расстояния. В 1760 г. появилось краткое сообщениео том, что Д. Бернулли в Базеле установил квадратичный закон с помощью сконструированного им электрометра. В 1767 г. Пристли в своей «Истории электричества» отметил, что опыт Франклина, обнаружившего отсутствие электрического поля внутри заряженного металлического шара, может означать, что «электрическое притяжение следует точно такому же закону, как и тяготение, то есть квадрату расстояния» . Шотландский физик Джон Робисон утверждал (1822), что в 1769 г. обнаружил, что шары с одинаковым электрическим зарядом отталкиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, и таким образом предвосхитил открытие закона Кулона (1785).

Примерно за 11 лет до Кулона, в 1771 г., закон взаимодействия зарядов был экспериментально открыт Г. Кавендишем, однако результат не был опубликован и долгое время (свыше 100 лет) оставался неизвестным. Рукописи Кавендиша были вручены Д. К. Максвеллу лишь в 1874 г одним из потомков Кавендиша на торжественном открытии Кавендишской лаборатории и опубликованы в 1879 г.

Сам Кулон занимался исследованием кручения нитей и изобрел крутильные весы. Он открыл свой закон, измеряя с помощью них силы взаимодействия заряженных шариков.

Закон Кулона, принцип суперпозиции и уравнения Максвелла

Закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей полностью равносильны уравнениям Максвелла для электростатики и . То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей.

Cтепень точности закона Кулона

Закон Кулона — экспериментально установленный факт. Его справедливость неоднократно подтверждалась всё более точными экспериментами. Одним из направлений таких экспериментов является проверка того, отличается ли показатель степени r в законе от 2. Для поиска этого отличия используется тот факт, что если степень точно равна двум, то поле внутри полости в проводнике отсутствует, какова бы ни была форма полости или проводника.

Эксперименты, проведённые в 1971 г. в США Э. Р. Уильямсом, Д. Е. Фоллером и Г. А. Хиллом, показали, что показатель степени в законе Кулона равен 2 с точностью до .

Для проверки точности закона Кулона на внутриатомных расстояниях У. Ю. Лэмбом и Р. Резерфордом в 1947 г. были использованы измерения относительного расположения уровней энергии водорода. Было установлено, что и на расстояниях порядка атомных 10−8 см, показатель степени в законе Кулона отличается от 2 не более чем на 10−9.

Коэффициент в законе Кулона остается постоянным с точностью до 15·10−6.

Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике

На небольших расстояниях (порядка комптоновской длины волны электрона, ≈3.86·10−13 м, где — масса электрона, — постоянная Планка, — скорость света) становятся существенными нелинейные эффекты квантовой электродинамики: на обмен виртуальными фотонами накладывается генерация виртуальных электрон-позитронных (а также мюон-антимюонных и таон-антитаонных) пар, а также уменьшается влияние экранирования (см. перенормировка). Оба эффекта ведут к появлению экспоненциально убывающих членов порядка в выражении для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и, как результат, к увеличению силы взаимодействия по сравнению с вычисляемой по закону Кулона. Например, выражение для потенциала точечного заряда в системе СГС, с учётом радиационных поправок первого порядка принимает вид:

где — комптоновская длина волны электрона, — постоянная тонкой структуры и . На расстояниях порядка ~ 10−18 м, где — масса W-бозона, в игру вступают уже электрослабые эффекты.

В сильных внешних электромагнитных полях, составляющих заметную долю от поля пробоя вакуума (порядка ~1018 В/м или ~109 Тл, такие поля наблюдаются, например, вблизи некоторых типов нейтронных звёзд, а именно магнитаров) закон Кулона также нарушается в силу дельбрюковского рассеяния обменных фотонов на фотонах внешнего поля и других, более сложных нелинейных эффектов. Это явление уменьшает кулоновскую силу не только в микро- но и в макромасштабах, в частности, в сильном магнитном поле кулоновский потенциал падает не обратно пропорционально расстоянию, а экспоненциально.

Закон Кулона и поляризация вакуума

Явление поляризации вакуума в квантовой электродинамике заключается в образовании виртуальных электронно-позитронных пар. Облако электронно-позитронных пар экранирует электрический заряд электрона. Экранировка растет с ростом расстояния от электрона, в результате эффективный электрический заряд электрона является убывающей функцией расстояния . Эффективный потенциал, создаваемый электроном с электрическим зарядом , можно описать зависимостью вида . Эффективный заряд зависит от расстояния по логарифмическому закону:

— т. н. постоянная тонкой структуры ≈7.3·10−3;

— т. н. классический радиус электрона ≈2.8·10−13 см.

Эффект Юлинга

Явление отклонения электростатического потенциала точечных зарядов в вакууме от значения закона Кулона известно как эффект Юлинга, который впервые вычислил отклонения от закона Кулона для атома водорода. Эффект Юлинга даёт поправку к лэмбовскому сдвигу 27 мггц.

Закон Кулона и сверхтяжелые ядра

В сильном электромагнитном поле вблизи сверхтяжелых ядер с зарядом 170" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/d/7/0d7b5476a5437d2a99326cf04b131458.png"> осуществляется перестройка вакуума, аналогичная обычному фазовому переходу. Это приводит к поправкам к закону Кулона.

Значение закона Кулона в истории науки

Закон Кулона является первым открытым количественным и сформулированным на математическом языке законом для электромагнитных явлений. С открытия закона Кулона началась современная наука об электромагнетизме.

В результате долгих наблюдений учеными было установлено, что разноименно заряженные тела притягиваются, а одноименно заряженные наоборот – отталкиваются. Это значит, что между телами возникают силы взаимодействия. Французский физик Ш. Кулон опытным путем исследовал закономерности взаимодействия металлических шаров и установил, что сила взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами будет прямопропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерений физических величин, которые входят в формулу, а также и от среды, в которой находятся электрические заряды q 1 и q 2 . r – расстояние между ними.

Отсюда можем сделать вывод, что закон Кулона будет справедлив только точечных зарядов, то есть для таких тел, размерами которых вполне можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними.

В векторной форме закон Кулона будет иметь вид:

Где q 1 и q 2 заряды, а r – радиус-вектор их соединяющий; r = |r|.

Силы, которые действуют на заряды, называют центральными. Они направлены по прямой, соединяющей эти заряды, причем сила, действующая со стороны заряда q 2 на заряд q 1 , равна силе, действующей со стороны заряда q 1 на заряд q 2 , и противоположна ей по знаку.

Для измерения электрических величин могут использоваться две системы счисления – система СИ (основная) и иногда могут использовать систему СГС.

В системе СИ одной из главных электрических величин является единица силы тока – ампер (А), то единица электрического заряда будет ее производной (выражается через единицу силы тока). Единицей определения заряда в СИ является кулон. 1 кулон (Кл) – это количество «электричества», проходящего через поперечное сечение проводника за 1 с при токе в 1 А , то есть 1 Кл = 1 А·с.

Коэффициент k в формуле 1а) в СИ принимается равным:

И закон Кулона можно будет записать в так называемой «рационализированной» форме:

Многие уравнения, описывающие магнитные и электрические явления, содержат множитель 4π. Однако, если данный множитель ввести в знаменатель закона Кулона, то он исчезнет из большинства формул магнетизма и электричества, которые очень часто применяют в практических расчетах. Такую форму записи уравнения называют рационализированной.

Величина ε 0 в данной формуле – электрическая постоянная.

Основными единицами системы СГС являются механические единицы СГС (грамм, секунда, сантиметр). Новые основные единицы дополнительно к вышеперечисленным трем в системе СГС не вводятся. Коэффициент k в формуле (1) принимается равным единице и безразмерным. Соответственно закон Кулона в не рационализированной форме будет иметь вид:

В системе СГС силу измеряют в динах: 1 дин = 1 г·см/с 2 , а расстояние в сантиметрах. Предположим, что q = q 1 = q 2 , тогда из формулы (4) получим:

Если r = 1см, а F = 1 дин, то из этой формулы следует, что в системе СГС за единицу заряда принимают точечный заряд, который (в вакууме) действует на равный ему заряд, удаленный от него на расстояние 1 см, с силой в 1 дин. Такая единица заряда называется абсолютной электростатической единицей количества электричества (заряда) и обозначается СГС q . Ее размерность:

Для вычисления величины ε 0 , сравним выражения для закона Кулона, записанные в системе СИ и СГС. Два точечных заряда по 1 Кл каждый, которые находятся на расстоянии 1 м друг от друга, будут взаимодействовать с силой (согласно формуле 3):

В СГС данная сила будет равна:

Сила взаимодействия между двумя заряженными частицами зависит от среды, в которой они находятся. Чтобы характеризовать электрические свойства различных, сред было введено понятие относительной диэлектрической проницательности ε.

Значение ε это различная величина для разных веществ – для сегнетоэлектриков ее значение лежит в пределах 200 – 100 000, для кристаллических веществ от 4 до 3000, для стекла от 3 до 20, для полярных жидкостей от 3 до 81, для неполярных жидкостей от 1,8 до 2,3; для газов от 1,0002 до 1,006.

Также от температуры окружающей среды зависит и диэлектрическая проницаемость (относительная).

Если учесть диэлектрическую проницаемость среды, в которую помещены заряды, в СИ закон Кулона примет вид:

Диэлектрическая проницаемость ε – величина безразмерная и она не зависит от выбора единиц измерения и для вакуума считается равной ε = 1. Тогда для вакуума закон Кулона примет вид:

Поделив выражение (6) на (5) получим:

Соответственно относительная диэлектрическая проницаемость ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия между точечными зарядами в какой-то среде, которые находятся на расстоянии r друг относительно друга меньше, чем в вакууме, при том же расстоянии.

Для раздела электричества и магнетизма систему СГС иногда называют системой Гаусса. До появления системы СГС действовали системы СГСЭ (СГС электрическая) для измерения электрических величин и СГСМ (СГС магнитная) для измерения магнитных величин. В первой равной единице принималась электрическая постоянная ε 0 , а второй магнитная постоянная μ 0 .

В системе СГС формулы электростатики совпадают соответствующими формулами СГСЭ, а формулы магнетизма, при условии, что они содержат только магнитные величины – с соответствующими формулами в СГСМ.

Но если в уравнении одновременно будет содержаться и магнитные, и электрические величины, то данное уравнение, записанное в системе Гаусса, будет отличаться от этого же уравнения, но записанного в системе СГСМ или СГСЭ множителем 1/с или 1/с 2 . Величина с равна скорости света (с = 3·10 10 см/с) называется электродинамической постоянной.

Закон Кулона в системе СГС будет иметь вид:

Пример

На двух абсолютно идентичных каплях масла недостает по одному электрону. Силу ньютоновского притяжения уравновешивает сила кулоновского отталкивания. Нужно определить радиусы капель, если расстояния между ними значительно превышает их линейные размеры.

Решение

Поскольку расстояние между каплями r значительно больше их линейных размеров, то капли можно принять за точечные заряды, и тогда сила кулоновского отталкивания будет равна:

Где е – положительный заряд капли масла, равный заряду электрона.

Силу ньютоновского притяжения можно выразить формулой:

Где m – масса капли, а γ – гравитационная постоянная. Согласно условию задачи F к = F н, поэтому:

Масса капли выражена через произведение плотности ρ на объем V, то есть m = ρV, а объем капли радиуса R равен V = (4/3)πR 3 , откуда получаем:

В данной формуле постоянные π, ε 0 , γ известны; ε = 1; также известен и заряд электрона е = 1,6·10 -19 Кл и плотность масла ρ = 780 кг/м 3 (справочные данные). Подставив числовые значения в формулу получим результат: R = 0,363·10 -7 м.

Силы электростатического взаимодействия зависят от формы и размеров наэлектризованных тел, а также от характера распределения заряда на этих телах. В некоторых случаях можно пренебречь формой и размерами заряженных тел и считать, что каждый заряд сосредоточен в одной точке. Точечный заряд – это электрический заряд , когда размер тела, на котором этот заряд сосредоточен, намного меньше расстояния между заряженными телами. Приближённо точечные заряды можно получить на опыте, заряжая, например, достаточно маленькие шарики.

Взаимодействие двух покоящихся точечных зарядов определяет основной закон электростатики – закон Кулона . Этот закон экспериментально установил в 1785 году французский физик Шарль Огюстен Кулон (1736 – 1806). Формулировка закона Кулона следующая:

Сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме прямо пропорциональная произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Эта сила взаимодействия называется кулоновская сила , и формула закона Кулона будет следующая:

F = k · (|q 1 | · |q 2 |) / r 2

Где |q1|, |q2| – модули зарядов, r – расстояния между зарядами, k – коэффициент пропорциональности.

Коэффициент k в СИ принято записывать в форме:

K = 1 / (4πε 0 ε)

Где ε 0 = 8,85 * 10 -12 Кл/Н*м 2 – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость среды.

Для вакуума ε = 1, k = 9 * 10 9 Н*м/Кл 2 .

Сила взаимодействия неподвижных точечных зарядов в вакууме:

F = · [(|q 1 | · |q 2 |) / r 2 ]

Если два точечных заряда помещены в диэлектрик и расстояние от этих зарядов до границ диэлектрика значительно больше расстояния между зарядами, то сила взаимодействия между ними равна:

F = · [(|q 1 | · |q 2 |) / r 2 ] = k · (1 /π) · [(|q 1 | · |q 2 |) / r 2 ]

Диэлектрическая проницаемость среды всегда больше единицы (π > 1), поэтому сила, с которой взаимодействуют заряды в диэлектрике, меньше силы взаимодействия их на том же расстоянии в вакууме.

Силы взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тел направлены вдоль прямой, соединяющей эти тела (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Силы взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тел.

Кулоновские силы, как и гравитационные силы, подчиняются третьему закону Ньютона:

F 1,2 = -F 2,1

Кулоновская сила является центральной силой. Как показывает опыт , одноимённые заряженные тела отталкиваются, разноимённо заряженные тела притягиваются.

Вектор силы F 2,1 , действующей со стороны второго заряда на первый, направлен в сторону второго заряда, если заряды разных знаков, и в противоположную, если заряды одного знака (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Взаимодействие разноименных и одноименных электрических зарядов.

Электростатические силы отталкивания принято считать положительными, силы притяжения – отрицательными. Знаки сил взаимодействия соответствуют закону Кулона: произведение одноимённых зарядов является положительным числом, и сила отталкивания имеет положительный знак. Произведение разноимённых зарядов является отрицательным числом, что соответствует знаку силы притяжения.

В опытах Кулона измерялись силы взаимодействия заряженных шаров, для чего применялись крутильные весы (рис. 1.10). На тонкой серебряной нити подвешена лёгкая стеклянная палочка с , на одном конце которой закреплён металлический шарик а , а на другом противовес d . Верхний конец нити закреплён на вращающейся головке прибора е , угол поворота которой можно точно отсчитывать. Внутри прибора имеется такого же размера металлический шарик b , неподвижно закреплённый на крышке весов. Все части прибора помещены в стеклянный цилиндр, на поверхности которого нанесена шкала, позволяющая определить расстояние между шариками a и b при различных их положениях.

Рис. 1.10. Опыт Кулона (крутильные весы).

При сообщении шарикам одноимённых зарядов они отталкиваются друг от друга. При этом упругую нить закручивают на некоторый угол, чтобы удержать шарики на фиксированном расстоянии. По углу закручивания нити и определяют силу взаимодействия шариков в зависимости от расстояния между ними. Зависимость силы взаимодействия от величины зарядов можно установить так: сообщить каждому из шариков некоторый заряд, установить их на определённом расстоянии и измерить угол закручивания нити. Затем надо коснуться одного из шариков таким же по величине заряженным шариком, изменяя при этом его заряд, так как при соприкосновении равных по величине тел заряд распределяется между ними поровну. Для сохранения между шариками прежнего расстояния необходимо изменить угол закручивания нити, а следовательно, и определить новое значение силы взаимодействия при новом заряде.

Закон Кулона количественно описывает взаимодействие заряженных тел. Он является фундаментальным законом, то есть установлен при помощи эксперимента и не следует ни из какого другого закона природы. Он сформулирован для неподвижных точечных зарядов в вакууме. В реальности точечных зарядов не существует, но такими можно считать заряды, размеры которых значительно меньше расстояния между ними. Сила взаимодействия в воздухе почти не отличается от силы взаимодействия в вакууме (она слабее менее чем на одну тысячную).

Электрический заряд – это физическая величина, характеризующая свойство частиц или тел вступать в электромагнитные силовые взаимодействия.

Впервые закон взаимодействия неподвижных зарядов был открыт французским физиком Ш. Кулоном в 1785 г. В опытах Кулона измерялось взаимодействие между шариками, размеры которых много меньше расстояния между ними. Такие заряженные тела принято называть точечными зарядами .

На основании многочисленных опытов Кулон установил следующий закон:

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, и является силой притяжения, если заряды разноименные, и силой отталкивания, если заряды одноименные.

Если обозначить модули зарядов через |q 1 | и |q 2 |, то закон Кулона можно записать в следующей форме:

\[ F = k \cdot \dfrac{\left|q_1 \right| \cdot \left|q_2 \right|}{r^2} \]

Коэффициент пропорциональности k в законе Кулона зависит от выбора системы единиц.

\[ k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \]

Полная формула закона Кулона:

\[ F = \dfrac{\left|q_1 \right|\left|q_2 \right|}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} \]

\(F \) - Сила Кулона

\(q_1 q_2 \) - Электрический заряд тела

\(r \) - Расстояние между зарядами

\(\varepsilon_0 = 8,85*10^{-12} \) - Электрическая постоянная

\(\varepsilon \) - Диэлектрическая проницаемость среды

\(k = 9*10^9 \) - Коэффициент пропорциональности в законе Кулона

Силы взаимодействия подчиняются третьему закону Ньютона: \(\vec{F}_{12}=\vec{F}_{21} \) . Они являются силами отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения при разных знаках.

Электрический заряд обычно обозначается буквами q или Q .

Совокупность всех известных экспериментальных фактов позволяет сделать следующие выводы:

Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.

Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.

Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. В этом также проявляется принципиальное отличие электромагнитных сил от гравитационных. Гравитационные силы всегда являются силами притяжения.

Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием. Раздел электродинамики, изучающий кулоновское взаимодействие, называют электростатикой.

Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел. Практически закон Кулона хорошо выполняется, если размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними.

Отметим, чтоб выполнялся закон Кулона необходимо 3 условия:

• Точечность зарядов - то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров.
• Неподвижность зарядов . Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд.
• Взаимодействие зарядов в вакууме .

В Международной системе СИ за единицу заряда принят кулон (Кл) .

Кулон – это заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А . Единица силы тока (Ампер) в СИ является наряду с единицами длины, времени и массы основной единицей измерения.

Пример 1

Задача

Заряженный шарик приводят в соприкосновение с точно таким же незаряженным шариком. Находясь на расстоянии \(r = 15 \) см, шарики отталкиваются с силой \(F = 1 \) мН. Каков был первоначальный заряд заряженного шарика?

Решение

При соприкосновении заряд разделится ровно пополам (шарики одинаковые).По данной силе взаимодействия можем определить заряды шариков после соприкосновения (не забудем, что все величины надо представить в единицах СИ – \(F = 10^{-3} \) Н, \(r = 0.15 \) м):

\(F = \dfrac{k\cdot q^2}{r^2} , q^2 = \dfrac{F\cdot r^2}{k} \)

\(k=\dfrac{1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon _0} = 9\cdot 10^9 \)

\(q=\sqrt{\dfrac{f\cdot r^2}{k} } = \sqrt{\dfrac{10^{-3}\cdot (0.15)^2 }{9\cdot 10^9} } = 5\cdot 10^8 \)

Тогда до соприкосновения заряд заряженного шарика был вдвое больше: \(q_1=2\cdot 5\cdot 10^{-8}=10^{-7} \)

Ответ

\(q_1=10^{-7}=10\cdot 10^{-6} \) Кл, или 10 мкКл.

Пример 2

Задача

Два одинаковых маленьких шарика массой по 0,1г каждый подвешены на непроводящих нитях длиной \(\displaystyle{\ell = 1\,{\text{м}}} \) к одной точке. После того как шарикам были сообщены одинаковые заряды \(\displaystyle{q} \) , они разошлись на расстояние \(\displaystyle{r=9\,{\text{см}}} \) . Диэлектрическая проницаемость воздуха \(\displaystyle{\varepsilon=1} \) . Определить заряды шариков.

Данные

\(\displaystyle{m=0,1\,{\text{г}}=10^{-4}\,{\text{кг}}} \)

\(\displaystyle{\ell=1\,{\text{м}}} \)

\(\displaystyle{r=9\,{\text{см}}=9\cdot 10^{-2}\,{\text{м}}} \)

\(\displaystyle{\varepsilon = 1} \)

\(\displaystyle{q} - ? \)

Решение

Поскольку шарики одинаковы, то на каждый шарик действуют одинаковые силы: сила тяжести \(\displaystyle{m \vec g} \), сила натяжения нити \(\displaystyle{\vec T} \)и сила кулоновского взаимодействия (отталкивания) \(\displaystyle{\vec F} \). На рисунке показаны силы, действующие на один из шариков. Поскольку шарик находится в равновесии, сумма всех сил, действующих на него, равна 0. Кроме того, сумма проекций сил на оси \(\displaystyle{OX} \) и \(\displaystyle{OY} \)равна 0:

\(\begin{equation} {{\mbox{на ось }} {OX} : \atop { \mbox{ на ось }} {OY} : }\quad \left\{\begin{array}{ll} F-T\sin{\alpha} & =0 \\ T\cos{\alpha}-mg & =0 \end{array}\right. \quad{\text{или}}\quad \left\{\begin{array}{ll} T\sin{\alpha} & =F \\ T\cos{\alpha} & = mg \end{array}\right. \end{equation} \)

Решим совместно эти уравнения. Разделив первое равенство почленно на второе, получим:

\(\begin{equation} {\mbox{tg}\,}= {F\over mg}\,. \end{equation} \)

Так как угол \(\displaystyle{\alpha} \) мал, то

\(\begin{equation} {\mbox{tg}\,}\approx\sin{\alpha}={r\over 2\ell}\,. \end{equation} \)

Тогда выражение примет вид:

\(\begin{equation} {r\over 2\ell}={F\over mg}\,. \end{equation} \)

Сила \(\displaystyle{F} \)по закону Кулона равна: \(\displaystyle{F=k{q^2\over\varepsilon r^2}} \). Подставим значение \(\displaystyle{F} \)в выражение (52):

\(\begin{equation} {r\over 2\ell}={kq^2\over\varepsilon r^2 mg}\, \end{equation} \)

откуда выразим в общем виде искомый заряд:

\(\begin{equation} q=r\sqrt{r\varepsilon mg\over 2k\ell}\,. \end{equation} \)

После подстановки численных значений будем иметь:

\(\begin{equation} q= 9\cdot 10^{-2}\sqrt{9\cdot 10^{-2}\cdot 1 \cdot 10^{-4}\cdot 9,8\over 2\cdot 9\cdot 10^9\cdot 1}\, {{\text{Кл}}}=6.36\cdot 10^{-9}\, {{\text{Кл}}}\,. \end{equation} \)

Предлагается самостоятельно проверить размерность для расчетной формулы.

Ответ: \(\displaystyle{q=6,36\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}\,.} \)

Ответ

\(\displaystyle{q=6,36\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}\,.} \)

Пример 3

Задача

Какую работу надо совершить, чтобы перенести точечный заряд \(\displaystyle{q=6\,{\text{нКл}}} \) из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии \(\displaystyle{\ell = 10\,{\text{см}}} \) от поверхности металлического шарика, потенциал которого \(\displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}} \), а радиус \(\displaystyle{R = 2\,{\text{см}}} \)? Шарик находится в воздухе (считать \(\displaystyle{\varepsilon=1} \)).

Данные

\(\displaystyle{q=6\,{\text{нКл}}=6\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}} \)\(\displaystyle{\ell=10\,{\text{см}}} \)\(\displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}} \)\(\displaystyle{R=2\,{\text{см}}} \) \(\displaystyle{\varepsilon = 1} \) \(\displaystyle{A} \) - ?

Решение

Работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести заряд из точки с потенциалом \(\displaystyle{\varphi_1} \) в точку с потенциалом \(\displaystyle{\varphi_2} \) , равна изменению потенциальной энергии точечного заряда, взятому с обратным знаком:

\(\begin{equation} A=-\Delta W_n\,. \end{equation} \)

Известно, что \(\displaystyle{A=-q(\varphi_2-\varphi_1) } \) или

\(\begin{equation} A=q(\varphi_1-\varphi_2) \,. \end{equation} \)

Поскольку точечный заряд первоначально находится на бесконечности, то потенциал в этой точке поля равен 0: \(\displaystyle{\varphi_1=0} \) .

Определим потенциал в конечной точке, то есть \(\displaystyle{\varphi_2} \) .

Пусть \(\displaystyle{Q_{\text{ш}}} \) – заряд шарика. По условию задачи потенциал шарика известен (\(\displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}} \)) , тогда:

\(\begin{equation} \varphi_{\text{ш}}={Q_{\text{ш}}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R}\, \end{equation} \)

\(\begin{equation} {\text{откуда}}\quad Q_{\text{ш}}=\varphi_{\text{ш}}\cdot 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R\,. \end{equation} \)

Значение потенциала поля в конечной точке с учетом:

\(\begin{equation} \varphi_2={Q_{\text{ш}}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon(R+\ell) }= {\varphi_{\text{ш}}R\over (R+\ell) }\,. \end{equation} \)

Подставим в выражение значение \(\displaystyle{\varphi_1} \) и \(\displaystyle{\varphi_2} \) , после чего получим искомую работу:

\(\begin{equation} A=-q{\varphi_{\text{ш}}R\over (R+\ell) }\,. \end{equation} \)

В результате расчетов получим: \(\displaystyle{A=-2\cdot 10^{-7}\,{\text{Дж}}} \) .

Тогда модуль силы взаимодействия между соседними зарядами равен:

\(F = \dfrac{k\cdot q^2}{l^{2}_{1}} =\Delta l\cdot k_{pr} \)

Причем удлинение шнура равно: \(\Delta l = l \).

Откуда величина заряда равна:

\(q=\sqrt{\frac{4\cdot l^3\cdot k_{pr}}{k} } \)

Ответ

\(q=2\cdot l\cdot \sqrt{\frac{l\cdot k_{pr}}{k} } \)