Что такое период математического маятника. Период колебаний: опыты, формулы, задачи

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими ) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными .

Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Крылья насекомых и птиц в полете, высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни, звук - это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны - периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет - тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой, землетрясения - колебания почвы, биение пульса - периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего.

Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Признаком колебательного движения является его периодичность .

Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки времени .

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине (пружинный маятник) или шарик на нити (математический маятник).

При механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются.

При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль . В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения . Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия , его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией . Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии.

При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот .

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при механических колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине :

В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии деформированной пружины:

При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии груза:

Для малых колебаний математического маятника :

В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии поднятого на высоту h тела:

При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии тела:

Здесь h m – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, x m и υ m = ω 0 x m – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.

Гармонические колебания и их характеристики. Уравнение гармонического колебания.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

x = x m cos (ωt + φ 0).

Здесь x – смещение тела от положения равновесия,
x m – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия,
ω – циклическая или круговая частота колебаний,
t – время.

Характеристики колебательного движения.

Смещение х – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.

Амплитуда колебаний А – максимальноеотклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.

Период колебаний T – минимальный интервал времени, за который происходит одно полное колебание, называется. Единица измерения – 1 секунда.

T=t/N

где t - время колебаний, N - количество колебаний, совершенных за это время.

По графику гармоническихколебаний можно определить период и амплитуду колебаний:

Частота колебаний ν – физическая величина, равная числу колебаний за единицу времени.

ν=N/t

Частота – величина, обратная периоду колебаний:

Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с.Единица частоты – герц (Гц).

Циклическая частота ω – число колебаний за 2π секунды.

Частота колебаний ν связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Фаза гармонического процесса – величина, стоящая под знаком синуса или косинуса в уравнении гармонических колебаний φ = ωt + φ 0 . При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой .

График гармонических колебаний представляет собой синусоиду или косинусоиду.

Во всех трех случаях для синих кривых φ 0 = 0:

только большей амплитудой (x" m > x m);

красная кривая отличается от синей только значением периода (T" = T / 2);

красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы (рад).

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения Δх/Δt при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как x" (t ).Скорость равна производной функции х(t ) по времени t.

Для гармонического закона движения x = x m cos (ωt + φ 0) вычисление производной приводит к следующему результату:

υ х =x" (t )= ωx m sin (ωt + φ 0)

Аналогичным образом определяется ускорение a x тела при гармонических колебаниях. Ускорение a равно производной функции υ(t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:

а х =υ х "(t) =x"" (t )= -ω 2 x m cos (ωt + φ 0)=-ω 2 x

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

На рисунке приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.

Пружинный маятник.

Пружинным маятником называют груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно .

Собственная частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится по формуле:

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

Значит, период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза и от жесткости пружины.

Физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 и период T . Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Математический маятник.

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела.

В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити N. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = –mg sin φ. Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Математический маятник.φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия,

x = lφ – смещение маятника по дуге

Собственная частота малых колебаний математического маятника выражается формулой:

Период колебаний математического маятника:

Значит, период колебаний математического маятника зависит отдлины нити и от ускорения свободного падения той местности, где установлен маятник.

Свободные и вынужденные колебания.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными .

Свободные колебания – это колебания, которые возникают в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения устойчивого равновесия.

Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению .

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими .

Затухающими называют колебания, амплитуда которых уменьшается со временем .

Чтобы колебания не затухали, необходимо сообщать системе дополнительную энегрию, т.е. воздействовать на колебательную систему периодической силой (например, для раскачивания качели).

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными .

Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .

Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты собственных колебаний с частотой внешней вынуждающей силы называется резонансом .

Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой .

Резонансные кривые при различных уровнях затухания:

1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда x m вынужденных колебаний неограниченно возрастает;

2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различным трением.

В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение, тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название - осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень. Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.

Общие сведения о механической системе

Формула периода колебания этого маятника была выведена голландским ученым Гюйгенсом (1629-1695 гг.). Этот современник И. Ньютона очень увлекался данной механической системой. В 1656 г. он создал первые часы с маятниковым механизмом. Они измеряли время с исключительной для тех времен точностью. Это изобретение стало важнейшим этапом в развитии физических экспериментов и практической деятельности.

Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей. Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос. В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название. Ее называют маятником Капицы.

Свойства маятника

Математический маятник имеет очень интересные свойства. Все они подтверждаются известными физическими законами. Период колебаний любого другого маятника зависит от разных обстоятельств, таких как размер и форма тела, расстояние между точкой подвеса и центром тяжести, распределение массы относительно данной точки. Именно поэтому определение периода висящего тела является довольно сложной задачей. Намного легче вычисляется период математического маятника, формула которого будет приведена ниже. В результате наблюдений над подобными механическими системами можно установить такие закономерности:

Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.

Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» - время, «изос» - равный).

Период математического маятника

Этот показатель представляет собой период собственных колебаний. Несмотря на сложную формулировку, сам процесс очень прост. Если длина нити математического маятника L, а ускорение свободного падения g, то эта величина равна:

Период малых ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.

Колебания математического маятника

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:

x + ω2 sin x = 0,

где х (t) - неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω - положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g - это ускорение свободного падения, а L - длина математического маятника (подвес).

Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так:

x + ω2 sin x = 0

Колебательные движения маятника

Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:

x = A sin (θ 0 + ωt),

где θ 0 - начальная фаза, A - амплитуда колебания, ω - циклическая частота, определяемая из уравнения движения.

Математический маятник (формулы для больших амплитуд)

Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

где sn - синус Якоби, который для u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

где ε = E/mL2 (mL2 - энергия маятника).

Определение периода колебания нелинейного маятника осуществляется по формуле:

где Ω = π/2 * ω/2K(u), K - эллиптический интеграл, π - 3,14.

Движение маятника по сепаратрисе

Сепаратрисой называют траекторию динамической системы, у которой двумерное фазовое пространство. Математический маятник движется по ней непериодически. В бесконечно дальнем моменте времени он падает из крайнего верхнего положения в сторону с нулевой скоростью, затем постепенно набирает ее. В конечном итоге он останавливается, вернувшись в исходное положение.

Если амплитуда колебаний маятника приближается к числу π , это говорит о том, что движение на фазовой плоскости приближается к сепаратрисе. В этом случае под действием малой вынуждающей периодической силы механическая система проявляет хаотическое поведение.

При отклонении математического маятника от положения равновесия с некоторым углом φ возникает касательная силы тяжести Fτ = -mg sin φ. Знак «минус» означает, что эта касательная составляющая направляется в противоположную от отклонения маятника сторону. При обозначении через x смещения маятника по дуге окружности с радиусом L его угловое смещение равняется φ = x/L. Второй закон предназначенный для проекций и силы, даст искомое значение:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Исходя из этого соотношения, видно, что этот маятник представляет собой нелинейную систему, поскольку сила, которая стремится вернуть его в положение равновесия, всегда пропорциональна не смещению x, а sin x/L.

Только тогда, когда математический маятник осуществляет малые колебания, он является гармоническим осциллятором. Иными словами, он становится механической системой, способной выполнять гармонические колебания. Такое приближение практически справедливо для углов в 15-20°. Колебания маятника с большими амплитудами не является гармоническим.

Закон Ньютона для малых колебаний маятника

Если данная механическая система выполняет малые колебания, 2-й закон Ньютона будет выглядеть таким образом:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Исходя из этого, можно заключить, что математического маятника пропорционально его смещению со знаком «минус». Это и является условием, благодаря которому система становится гармоническим осциллятором. Модуль коэффициента пропорциональности между смещением и ускорением равняется квадрату круговой частоты:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Эта формула отражает собственную частоту малых колебаний этого вида маятника. Исходя из этого,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Вычисления на основе закона сохранения энергии

Свойства маятника можно описать и при помощи закона сохранения энергии. При этом следует учитывать, что маятника в поле тяжести равняется:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Полная равняется кинетической или максимальной потенциальной: Epmax = Ekmsx = E

После того как будет записан закон сохранения энергии, берут производную от правой и левой частей уравнения:

Поскольку производная от постоянных величин равняется 0, то (Ep + Ek)" = 0. Производная суммы равняется сумме производных:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/2*2v*v" = mv* α,

следовательно:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Исходя из последней формулы находим: α = - g/L*x.

Практическое применение математического маятника

Ускорение изменяется с географической широтой, поскольку плотность земной коры по всей планете не одинакова. Там, где залегают породы с большей плотностью, оно будет несколько выше. Ускорение математического маятника нередко применяют для геологоразведки. В его помощью ищут различные полезные ископаемые. Просто подсчитав количество колебаний маятника, можно обнаружить в недрах Земли каменный уголь или руду. Это связано с тем, что такие ископаемые имеют плотность и массу больше, чем лежащие под ними рыхлые горные породы.

Математическим маятником пользовались такие выдающиеся ученые, как Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед. Многие из них верили в то, что эта механическая система может влиять на судьбу и жизнь человека. Архимед использовал математический маятник при своих вычислениях. В наше время многие оккультисты и экстрасенсы пользуются этой механической системой для осуществления своих пророчеств или поиска пропавших людей.

Известный французский астроном и естествоиспытатель К. Фламмарион для своих исследований также использовал математический маятник. Он утверждал, что с его помощью ему удалось предсказать открытие новой планеты, появление Тунгусского метеорита и другие важные события. Во время Второй мировой войны в Германии (г. Берлин) работал специализированный Институт маятника. В наши дни подобными исследованиями занят Мюнхенский институт парапсихологии. Свою работу с маятником сотрудники этого заведения называют «радиэстезией».

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы).

Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно. Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С. При этом действующие на него сила тяжести \(\vec F\) и сила упругости \(\vec F_{ynp}\) нити взаимно компенсируются.

Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 13.11). В этом случае силы \(\vec F\) и \(\vec F_{ynp}\) не уравновешивают друг друга. Тангенциальная составляющая силы тяжести \(\vec F_\tau\), действуя на маятник, сообщает ему тангенциальное ускорение \(\vec a_\tau\) (составляющая полного ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения математического маятника), и маятник начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Тангенциальная составляющая силы тяжести \(\vec F_\tau\) является, таким образом, возвращающей силой. Нормальная составляющая \(\vec F_n\) силы тяжести направлена вдоль нити против силы упругости \(\vec F_{ynp}\). Равнодействующая сил \(\vec F_n\) и \(\vec F_{ynp}\) сообщает маятнику нормальное ускорение \(~a_n\), которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ABCD.

Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей \(~F_\tau = F \sin \alpha\). В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая \(\vec F_\tau\) направлена против скорости. С увеличением угла отклонения а модуль силы \(\vec F_\tau\) увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.

Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника.

Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса l , а массу маятника - m .

Из рисунка 13.11 видно, что \(~F_\tau = F \sin \alpha\), где \(\alpha =\frac{S}{l}.\) При малых углах \(~(\alpha <10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac{S}{l} = -mg\frac{S}{l}.\)

Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.

Согласно второму закону Ньютона \(m \vec a = m \vec g + F_{ynp}.\) Спроецируем векторные величины этого уравнения на направление касательной к траектории движения математического маятника

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Из этих уравнений получим

\(a_\tau = -\frac{g}{l}S\) - динамическое уравнение движения математического маятника. Тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия. Это уравнение можно записать в виде\. Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний \(~a_x + \omega^2x = 0\) (см. § 13.3), можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.

Обозначим \(\frac{g}{l} = \omega^2.\) Откуда \(\omega = \sqrt \frac{g}{l}\) - циклическая частота колебаний маятника.

Период колебаний маятника \(T = \frac{2 \pi}{\omega}.\) Следовательно,

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }\)

Это выражение называют формулой Гюйгенса. Оно определяет период свободных колебаний математического маятника. Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника: 1) не зависит от его массы и амплитуды колебаний; 2) пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения. Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем.

Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий: 1) колебания маятника должны быть малыми; 2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится.

Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением \(\vec a\) то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g"} }\)

где \(~g"\) - "эффективное" ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения \(\vec g\) и вектора, противоположного вектору \(\vec a\), т.е. его можно рассчитать по формуле

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 374-376.

Определение

Математический маятник - это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Формула для периода колебаний математического маятника

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline{F}$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

где $L$ - длина окружности; $v$ - скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).

Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:

\[\frac{mv^2}{R}=mg\frac{R}{l}\ \to v=R\sqrt{\frac{g}{l}}\left(4\right).\]

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

\ \

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot {10}^{-1}$м равен T=1 c?\textit{}

Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:

Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:

Вычислим искомое ускорение:

Ответ. $g=9,81\frac{м}{с^2}$

Пример 2

Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$

Решение. Сделаем рисунок.

1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:

2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:

Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$; 2) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$

Колебательное движение - периодическое или почти периодическое движение тела, координата, скорость и ускорение которого через равные промежутки времени принимают примерно одинаковые значения.

Механические колебания возникают тогда, когда при выводе тела из положения равновесия появляется сила, стремящаяся вернуть тело обратно.

Смещение х - отклонение тела от положения равновесия.

Амплитуда А - модуль максимального смещения тела.

Период колебания Т - время одного колебания:

Частота колебания

Число колебаний, совершаемых телом за единицу времени: При колебаниях скорость и ускорение периодически изменяются. В положении равновесия скорость максимальна, ускорение равно нулю. В точках максимального смещения ускорение достигает максимума, скорость обращается в нуль.

ГРАФИК ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Гармоническими называются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса:

где x(t) - смещение системы в момент t, A - амплитуда, ω - циклическая частота колебаний.

Если по вертикальной оси откладывать отклонение тела от положения равновесия, а по горизонтальной - время, то получится график колебания х = x(t) - зависимость смещения тела от времени. При свободных гармонических колебаниях - это синусоида или косинусоида. На рисунке представлены графики зависимости смещения х, проекций скорости V х и ускорения а х от времени.

Как видно из графиков, при максимальном смещении х скорость V колеблющегося тела равна нулю, ускорение а, а значит и действующая на тело сила, максимальны и направлены противоположно смещению. В положении равновесия смещение и ускорение обращаются в нуль, скорость максимальна. Проекция ускорения всегда имеет знак, противоположный смещению.

ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий и при отсутствии трения остается постоянной:

В момент, когда смещение достигает максимума х = А, скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия, обращаются в нуль.

При этом полная энергия равна потенциальной энергии:

Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.

Когда система проходит положение равновесия, смещение и потенциальная энергия равны нулю: х = 0, Е п = 0. Поэтому полная энергия равна кинетической:

Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату его скорости в положении равновесия. Следовательно:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

1. Математический маятник - это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

В положении равновесия сила тяжести компенсируется силой натяжения нити. Если маятник отклонить и отпустить, то силы и перестанут компенсировать друг друга, и возникнет результирующая сила , направленная к положению равновесия. Второй закон Ньютона:

При малых колебаниях, когда смещение х много меньше l, материальная точка будет двигаться практически вдоль горизонтальной оси х. Тогда из треугольника МАВ получаем:

Так как sin a = х/l , то проекция результирующей силы R на ось х равна

Знак "минус" показывает, что сила R всегда направлена против смещения х.

2. Итак, при колебаниях математического маятника, так же как и при колебаниях пружинного маятника, возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону.

Сравним выражения для возвращающей силы математического и пружинного маятников:

Видно, что mg/l является аналогом k. Заменяя, k на mg/l в формуле для периода пружинного маятника

получаем формулу для периода математического маятника:

Период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.

Математический маятник используют для измерения времени, определения ускорения свободного падения в данном месте земной поверхности.

Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения являются гармоническими. Они происходят благодаря равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити, а также инерции груза. Равнодействующая этих сил является возвращающей силой.

Пример. Определите ускорение свободного падения на планете, где маятник длиной 6,25 м имеет период свободных колебаний 3,14 с.

Период колебаний математического маятника зависит от длины нити и ускорения свободного падения:

Возведя обе части равенства в квадрат, получаем:

Ответ: ускорение свободного падения равно 25 м/с 2 .

Задачи и тесты по теме "Тема 4. "Механика. Колебания и волны"."

• Поперечные и продольные волны. Длина волны

  Уроков: 3 Заданий: 9 Тестов: 1

• Звуковые волны. Скорость звука - Механические колебания и волны. Звук 9 класс