Цель и образовательные задачи изучения нумерации. Письменная нумерация

В начальном курсе математики под нумерацией будем понимать совокупность приемов обозначения и наименования натуральных чисел.

Натуральные числа изучаются по концентрам. Концентр - это объединенная по общим признакам область рассматриваемых чисел. В начальном курсе выделяют следующие концентры: десяток, сотня (2 этапа - от 11 до 20; от 21 до 100); тысяча, многозначные числа.

Конечная цель изучения нумерации - усвоение ряда общих принципов, лежащих в основе десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации, подведение учащихся к систематическим обобщениям, умение выделять и подчеркивать то общее, что обнаруживается в новой области чисел, и рассмотрение нового на основе и в сравнении с ранее изученным.

Основными образовательными задачами изучения нумерации можно назвать:

1. Сформировать систему знаний:

О натуральном числе и числе «0»;

О натуральной последовательности;

Об устной и письменной нумерации.

2. Ознакомить с вычислительными приемами, основанными на знании нумерации.

При изучении данной темы у учащихся должны быть сформированы следующие умения:

Обозначать число письменно;

Сравнивать любые числа разными способами;

Заменять число суммой разрядных слагаемых;

Дать характеристику любого числа.

Рассмотрим методику ознакомления с основными математическими понятиями, изучаемыми в данной теме.

Понятие натурального числа дается на эмпирическом уровне.

Число обозначается в порядке установления взаимно-однозначного соответствия между предметами данной совокупности и словами - числительными.

В начальной школе:

Число - это количественная характеристика класса эквивалентных множеств.

Число - это элемент упорядоченного множества, член натуральной последовательности.

При изучении действий число выступает как объект, над которым выполняется арифметическое действие.

У учащихся необходимо сформировать следующие знания и умения:

Выделить число из других понятий;

Правильно назвать число;

Знать способы образования числа (в результате счета; в результате измерения; в результате выполнения арифметических действий);

Знать способы обозначения чисел с помощью цифр; цифра - это знак для обозначения числа;

Знать различные функции числа (количественная функция, функция порядка, измерительная функция).

Число и цифра «0».

Нуль рассматриваем как количественную характеристику класса пустых множеств (2-2, 4-4), т.е. множества, не содержащего ни одного элемента.

Нуль рассматриваем как цифру, обозначающую на линейке начало измерения (отмеривания).

Нуль рассматриваем как компонент действий I и II ступени (5+0, 05).

4. Число нуль используется в том случае, если отсутствуют единицы какого-либо разряда (но не отсутствует разряд).

Например, в числе 300 отсутствуют единицы I и II разряда, т.е. единицы и десятки, обозначим число единиц и десятков нулями.

Натуральная последовательность чисел.

По традиционной программе натуральная последовательность вводится как ряд чисел, по которому ведется счет.

Свойства отрезка натурального ряда:

Натуральный ряд чисел начинается с единицы.

Каждое число имеет свое место. Каждое следующее число на единицу больше предыдущего; каждое предыдущее на единицу меньше последующего.

Все числа, стоящие до выделенного числа, меньше его; стоящие после - больше изученного числа.

Бесконечность натурального ряда чисел.

В натуральном ряду чисел учащиеся должны уметь выделить конечные последовательности: однозначных, двузначных, n-значных чисел.

9, 99, 999, 9999… - наибольшие однозначное, двузначное, трехзначное, четырехзначное, n-значное числа.

Почему? Если прибавим к каждому из них 1, то получим наименьшее число следующей последовательности.

10, 100, 1000, 10000 … - наименьшее двузначное, трехзначное, n-знач­ное число, т.к. при вычитании из каждого единицы получим наибольшее число предыдущей последовательности.

Различают устную и письменную нумерацию.

Устная нумерация - совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих слов составлять названия для многих чисел. В ходе изучения устной нумерации необходимо раскрыть правила счета, чтения, образования чисел; знать цифры от 0 до 9, слова-числительные - сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Правила счета:

Конечное число при счете относить ко всему множеству.

Правила образования названий и чтения чисел.

1. Названия чисел от 10 до 20 образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, но имеет свою особенность - при чтении сначала называется нижний разряд, затем остальные (один-на-дцать; две-на-дцать).

2. Остальные названия чисел образуются по принципу поразрядности; чтение чисел начинается с единиц высшего разряда.

3. При образовании и чтении многозначных чисел соблюдается принцип чтения по классам.

Письменная нумерация - это совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих знаков обозначать любые числа.

В ходе изучения письменной нумерации вводится понятие «цифры».

Цифра - это знак для обозначения числа. Проводится целенаправленная систематическая работа по различению понятий «число» и «цифра».

Вводятся знаки (цифры) для обозначения первых девяти чисел. Запись всех остальных чисел выполняется с использованием тех же десяти цифр (от 0 до 9), но с помощью двух или более цифр, значение которых зависит от места, занимаемое цифрой в записи числа (т.е. поместное значение цифры или позиционный принцип записи чисел).

Устная и письменная нумерация чисел опирается на знание десятичной системы счисления. В математике системой счисления называют набор знаков, правил операций и порядка записи этих знаков при образовании числа. Различают два типа систем счисления:

Непозиционная система, которая характеризуется тем, что каждому знаку независимо от формы записи числа приписывается одно вполне определенное значение (например, римская нумерация).

Позиционная система (например, десятичная система счисления), которая характеризуется следующими свойствами:

Каждая цифра принимает различные значения в зависимости от ее положения в записи числа (позиционный принцип записи).

Каждая цифра в зависимости от ее положения называется разрядной единицей; разрядные единицы следующие: единицы, десятки, сотни и т.д.

10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда, т.е. соотношение разрядных единиц равно десяти (10 ед. = 1 дес.; 10 дес. = 1 сот. и т.д.).

Начиная справа налево и подряд, каждые 3 разрядные единицы образуют разрядные классы (единиц, тысяч, миллионов и др.).

Прибавление к девяти единицам еще одной единицы данного разряда дает единицу следующего, более высшего (старшего) разряда.

Следует выделить основные понятия десятичной системы счисления:

Счетная единица - то, что берем за основу счета. Каждая следующая счетная единица больше предшествующей в 10 раз.

Разряд - место цифры в записи числа.

3. Единицы I, II, III разрядов и т.д. - единицы, стоящие на первом (единицы), втором (десятки), третьем (сотни) месте в записи числа, считая справа налево.

4. Разрядное число - число, состоящее из единиц одного разряда.

5. Неразрядное число - число, состоящее из единиц разных разрядов.

6. Класс - объединение по определенным признакам единиц трех разрядов. Каждая единица следующего класса больше предшествующей в тысячу раз. (Так, первая единица класса единиц меньше в 1000 раз первой единицы класса тысяч и т.д.)

Порядок изучения нумерации можно отразить в таблице:

Методика изучения нумерации целых неотрицательных чисел предполагает возможность различных подходов.

В методике начального обучения традиционно изучение нумерации по концентрам. Этот подход отражен в учебниках математики, разработанных Бантовой М.А., Бельтюковой Г.В. и др.

Постепенное расширение числовой области создает хорошие условия для формирования знаний, умений, навыков по нумерации: постепенно обогащаются знания о числах и способах их обозначения; усложняются практические действия с числами (образование, название, запись, сравнение, преобразование и др.).

Выделяются три основных этапа изучения нумерации: подготовительный, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний и умений.

На подготовительном этапе необходимо сформировать у учащихся психологическую установку на изучение нумерации, активизировать их предшествующий опыт и имеющиеся знания, вызвать интерес к новым числам. С этой целью предлагается заранее включать упражнения на повторение основных вопросов нумерации чисел предыдущего концентра: соотношение изученных счетных единиц, десятичный состав чисел, натуральная последовательность, правила записи и способы сравнения чисел; приемы сложения и вычитания, основанные на знании нумерации. Также разработаны упражнения в счете предметов или в назывании чисел натуральной последовательности с выходом в новый концентр, это помогает учащимся понять, что существуют числа и за пределами изученного концентра и что они чем-то похожи на уже знакомые детям числа.

При ознакомлении с нумерацией упражнения помогают учащимся выделить существенные признаки формируемых понятий, овладеть способами изучаемых действий.

Проведен отбор вопросов и определен порядок изучения в каждом концентре:

сначала рассматривается образование счетной единицы, ведется счет предметов с помощью этой счетной единицы;

на основе счета вводятся новые разрядные числа, раскрывается их образование и названия;

на основе счета с помощью всех известных счетных единиц показывается образование и устное обозначение неразрядных чисел; их состав из разрядных;

включаются упражнения в счете предметов с использованием новых чисел; усваивается натуральная последовательность чисел;

на основе знания десятичного состава и поместного значения цифр раскрывается письменная нумерация чисел;

во всех концентрах наряду со счетом рассматривается измерение таких величин, как длина, масса, стоимость; единицы измерения этих величин и их соотношение изучаются в сопоставлении с соответствующими счетными единицами и помогают их усвоению, (например, 1 дм = 10 см; 1 р. = 100 к.; 1 кг = 1000 г и т.д.);

вводятся способы сравнения чисел на основе:

принципа образования натуральной последовательности;

установления взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств;

знания разрядного состава чисел;

знания классового состава;

в каждом концентре вводятся вычислительные приемы, основанные на знании нумерации:

а) принципа образования натуральной последовательности вводятся случаи вида а + 1, где а - любое натуральное число;

б) разрядного состава чисел (упражнения в сложении разрядных чисел и обратные упражнения в замене неразрядных чисел суммой разрядных, а также в вычитании из неразрядных чисел отдельных, составляющих их разрядных чисел) например:

400+70+3=473; 506=500+6; 842-40=802;

842-800=42; 842-2=840.

При ознакомлении с нумерацией необходимо опираться на предметные действия учащихся. Для этого предлагается использовать различные средства обучения: счетный материал, на котором легко иллюстрировать десятичную группировку предметов при счете (палочки, пучки палочек, квадраты, полоски квадратов, треугольники с 10-ю кружками); наглядные пособия, формирующие представления о натуральной последовательности чисел (линейки, рулетки, ленты с выделенными сантиметрами, дециметрами, метрами); наглядные пособия, помогающие осознать позиционный принцип записи чисел (нумерационные таблицы разрядов и классов, абаки).

После введения проводится целенаправленная работа на закрепление знаний и отработку умений. Тренировочные упражнения сочетаются с упражнениями творческого характера.

Даются задания на анализ типичных ошибок, на сравнение, классификацию, обобщение, для характеристики любого числа. Схема (план) разбора чисел, начиная с однозначного, до многозначного будет постепенно расширяться, углубляться, обогащаться новым теоретическим материалом. На начальном этапе она может составляться на основе обобщения сформулированных ответов учащихся и включать следующие вопросы:

Чтение числа.

Место числа при счете.

Десятичный состав.

Запись числа с помощью цифр.

При изучении нумерации многозначных чисел схема разбора будет включать большее количество заданий.

Эта работа позволит обобщить и систематизировать знания учащихся по нумерации целых неотрицательных чисел.

Возможен другой подход к изучению нумерации чисел, который нашел отражение в программе и учебниках, разработанных Истоминой Н.Б.

В связи с тематическим построением курса в нем выделяются не концентры, а темы: «Однозначные числа», «Двузначные числа», «Трехзначные числа», «Четырехзначные числа», «Пятизначные и шестизначные числа», в процессе изучения которых у детей формируются сознательные навыки чтения и записи чисел.

Выделение тем, названия которых сориентированы на количество знаков в числе, способствует пониманию детьми различий между числом и цифрой.

На первом этапе в теме «Однозначные числа» у учащихся формируются представления о количественном и порядковом числе, навыки счета; они знакомятся с записью чисел и с отрезком натурального ряда однозначных чисел. Затем они усваивают смысл сложения и вычитания и состав однозначных чисел. Работа по усвоению нумерации начинается с осознания того, что двузначное число состоит из десятков и единиц.

Последующая работа, направленная на усвоение десятичной системы счисления и на формирование навыка читать и записывать двузначные числа, связана с установлением соответствия между предметной моделью числа и его символической записью. В качестве предметной модели десятка используется наглядное пособие в виде треугольника с 10-ю кружками.

Предлагаются задания:

На выявление признаков сходства и различия двузначных и трехзначных чисел;

На запись чисел определенными цифрами;

На сравнение чисел;

На выявление правила (закономерности) построения ряда чисел.

Перечисленные виды заданий используются и при изучении других тем.

Задание: Сравните упражнения в процессе выполнения, которых учащиеся усваивают устную и письменную нумерацию чисел в различных учебниках математики для начальных классов. Каковы особенности этих упражнений в каждом учебнике?

Способ наименования (называния) с помощью немногих слов любого натурального числа называется устной нумерацией.
Когда человек знал лишь несколько первых натуральных чисел, то естественно, что каждое число он назвал своим особым именем: "один", "два", "три" и т.д.
Тот способ устной нумерации, которым мы пользуемся в настоящее время, был выработан людьми постепенно в процессе многовековой практики счета. В основу современной устной нумерации положены следующие принципы:
Принцип поразрядного счета.
Назвать какое-то натуральное число - это тоже самое, что назвать результат счета единиц, содержащихся в этом числе. Очевидно, что если в данном числе содержится очень много единиц, то сосчитать их трудно и назвать результат счета сложно.
Представьте, что вам нужно пересчитать огромную кучу каких-то предметов (пуговиц, спичек и т.п.). Если считать их по одному предмету, то это займет очень много времени. Тогда поступают так. Разложим все предметы по коробкам так, чтобы в каждой коробке было одно и тоже число предметов. Затем если этих коробок окажется много, то разложим их по ящикам, причем так, чтобы в каждом ящике было столько коробок, сколько предметов было в одной коробке. Если и ящиков окажется много, то разложим их таким же образом по еще большим упаковкам и т.д.
При таком способе счета используется не одна единица счета, а много разных: сначала в качестве единицы счета используется сам предмет - это первая единица счета, затем коробка - это вторая единица, ящик - это третья единица и т.д.
Эти единицы счета называются разрядами, а число единиц одного разряда, составляющих единицу следующего разряда, называется основанием системы нумерации.
В той нумерации, которой мы пользуемся, основанием служит число 10 - число пальцев на обеих руках человека. Поэтому наша нумерация называется десятичной.
Чтобы назвать какое-либо число, используя принцип поразрядного счета, нужно назвать, сколько единиц каждого разряда содержится в этом числе. Например, 4 единицы 3-го разряда, 5 единиц 2-го разряда и 7 единиц 1-го разряда - четыреста пятьдесят семь.
Однако, когда приходится иметь дело с большими числами, обойтись одним принципом
поразрядного счета трудно, т.к. число разрядов может оказаться чересчур большим. Чтобы еще уменьшить число различных слов, нужно для именования чисел, вводя еще один принцип.
Принцип поклассного объединения разрядов.
Согласно этому принципу каждые три разряда, начиная с 1-го, объединяют в один класс: первые три разряда (единицы, десятки и сотни) объединяют в первый класс единиц, следующая Письменная нумерация.
Письменная нумерация – это способ, позволяющий с помощью небольшого числа особых знаков записывать любое натуральное число.
В устной нумерации нам нужны особые слова для обозначения первых девяти натуральных чисел, а также слово для обозначения второго и третьего разрядов каждого класса и всех классов, начиная со второго.
В десятичной письменной нумерации для записи любого натурального числа нужны в первую очередь знаки для записи первых девяти натуральных чисел. Эти знаки называются цифрами. А вот особых знаков для обозначения разрядов и классов в нашей системе письменной нумерации нет, они и не нужны, т.к. запись натуральных чисел ведется на основе следующего важнейшего принципа: один и тот же знак (цифра) обозначает одно и то же число единиц различных разрядов в зависимости от того, на каком месте в записи числа стоит этот знак.
Так, например, цифра 3 обозначает три единицы первого разряда, если эта цифра в записи числа стоит на первом месте справа, и та же цифра 3 обозначает три единицы пятого разряда, т.е. три десятка тысяч, если эта цифра стоит на пятом месте справа ие три разряда (с 4-го по 6-й) объединяют во второй класс тысяч, затем следующие три разряда (с 7-го по 9-й) - в класс миллионов, следующие три разряда (с 10-го по 12-й) - в класс миллиардов, или биллионов, затем идут классы триллионов, квадриллионов и т.д.

Письменная нумерация.

В десятичной системе счисления для записи чисел используют десять знаков: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Знаки для записи чисел называют цифрами .

Разряд – место для записи цифр в числе. Каждый разряд имеет свое название. Название разрядов совпадает с названием единиц счета – разряд единиц, десятков, сотен и т.д. Кроме того, разрядам дают названия, совпадающие с номером места, занимаемого разрядом в записи числа. Разряды нумеруют справа налево. Соответственно: 1-ый разряд – разряд единиц; 2-ой разряд- разряд десятков; 3-ий разряд – разряд сотен, 4-ый разряд – разряд единиц тысяч и т. д.

Запись чисел ведется на основе принципа поместного значения цифр : значение цифры зависит от места занимаемого этой цифрой в записи числа

В устной нумерации для обозначения разрядов или классов, не содержащих ни одной единицы, особые слова не требуются, ибо названия этих разрядных единиц просто опускаются. В письменной нумерации на месте отсутствующих единиц в каком-либо разряде или классе ставится цифра 0. Изобразим рассмотренные выше факты в виде схемы (см. схему 1).

При изучении нумерации учащиеся знакомятся с характеристикой числа:

2. Указать, сколько в нем счетных единиц каждого рода (единиц, десятков, сотен и т.д.).

3. Сколько единиц в каждом разряде.

4. Назвать непосредственно следующее и пред-шествующее числа для данного числа (соседей числа).

5. Представить число в виде суммы разрядных слагаемых.

В математике существует 3 подхода к формированию понятия числа: аксиоматический, теоретико-множест-венный и через измерение величин.

В традиционной и некоторых других образовательных системах («Гармония», система Л.В. Занкова и др.) понятие числа формируется на основе теоретико-множест-венного подхода с элементами аксиоматического, который позволяет усваивать свойства ряда натуральных чисел.

Рассмотрим теперь порядок изучения нумерации в системе Л.В. Занкова .

В данной системе выделяются следующие разделы «Однозначные числа», «Двузначные числа», «Трехзначные числа», «Многозначные числа», «Числа в пределах миллиона». Изучение нумерации проходит в два этапа: подготовительный (дочисловой) этап и изучение чисел.

На подготовительном этапе учащиеся закрепляют понятия «больше», «меньше», «равно», уточняются пространственные представления учащихся.

Изучение натурального ряда чисел начинается с ознакомления учащихся с историей возникновения чисел (когда люди не знали чисел, как они считали и др. вопросы). Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход. Число возникает как инвариантная характеристика класса равносильных множеств, а основным инструментом познания отношений между ними становится установление взаимно однозначного соответствия между элементами сравниваемых множеств. На этой основе формируются понятия об отношениях больше, меньше, равно, неравно как между множествами, так и между соответствующими им числами. На данном этапе учащиеся соотносят число с конкретными конечными множествами.

С числами и цифрами дети знакомятся вне их упорядоченного расположения. Написание цифр изучается в порядке возрастания трудности их изображения: 1, 4, 6, 9, 5, 3, 2, 7, 8.

На следующем этапе однозначные натуральные числа, с которыми дети познакомились в процессе сравнения множеств, упорядочиваются в начало натурального ряда чисел и происходит знакомство с его основными свойствами.

План работы на данном этапе:

1. Активизация представлений детей о наведении порядка в самом общем смысле этого слова и о многообразии возможностей его наведения (Задание: На рисунке ты видишь много разных геометрических фигур. Как ты думаешь, есть на этом рисунке порядок? Расскажи, как бы ты навел порядок среди этих фигур. Сделай рисунок.)

2. Формирование представлений о некоторых способах упорядочивания в математике, сосредоточив основное внимание на упорядочивании в порядке возрастания и в порядке убывания.

3. Упорядочивание расположения нескольких разночисленных множеств в порядке увеличения (уменьшения) количества элементов.

Задание: Что можно сказать о рядах кругов? Можно ли сказать, что они расположены в порядке увеличения? Запишите числом, сколько кругов в каждом ряду. Поставьте знаки сравнения.

4. Упорядочивание соответствующих множествам чисел как различающихся на одно и тоже число, так и на разные числа.

5. Упорядочивание всех однозначных натуральных чисел и введение понятия натурального ряда чисел.

6. Знакомство со свойствами натурального ряда чисел (начинается с 1, каждое следующее на 1 больше предыдущего, бесконечный).

7. Понятие об отрезке натурального ряда чисел, сходство и различие между натуральным рядом чисел и его отрезком.

Затем учащиеся знакомятся с числом 0 (число 0 характеризует отсутствие объектов пересчета).

Изучение концентра «Двузначные числа» начинается с числа 10.

Алгоритм изучения двузначных чисел:

· Образование новой счетной единицы – десятка объединением десяти предыдущих единиц.

· Образование десяти как следующего числа натурального ряда.

· Запись 10 и анализ записи.

· Счет десятками до 90.

· Запись получившихся чисел.

· Знакомство с названиями круглых десятков и анализ их образования.

· Заполнение промежутков между круглыми десятками в натуральном ряду чисел.

· Знакомство с название двузначных чисел, стоящих между десятками. Установление общего принципа образования этих названий.

· Сравнение всех изученных натуральных чисел.

Перед изучением новой счетной единицы проходит подготовительная работа: На дом детям дается задание узнать когда и какие предметы считают разными группами и зачем это делают (пара ботинок, перчаток, коробка карандашей 6 (12, 18) и др.).

Ознакомление с числами второго, третьего и т.д. десятка идет постепенно. Каждый новый десяток рассматривается отдельно (сначала образование чисел второго десятка, через несколько уроков образование чисел третьего десятка и т.д.). Изучение двузначных чисел значительно растянуто во времени. Это сделано для того, чтобы дети имели возможность глубоко осознать принцип построения той системы счисления, которой мы пользуемся.

Изучение трехзначных чисел начинается в конце 2 класса и идет в соответствии с тем алгоритмом, который мы написали для двузначных чисел.

В 3 и 4 классах учащиеся продолжают знакомиться с натуральным рядом чисел. Рассмотрение темы «Многозначные числа » разбито на 2 этапа: сначала дети изучают числа в пределах первых двух классов (класса единиц и класса тысяч), а затем знакомятся с числами класса миллионов.

Центральным моментом каждого нового расширения множества натуральных чисел является образование новой счетной единицы (тысячи, десятка тысяч, сотни тысяч и т.д.). Каждая такая единица возникает в первую очередь как результат объединения десяти предыдущих единиц в единое целое: десять сотен – одна тысяча, десять тысяч – один десяток тысяч и т.д.

Хотя первоначально натуральное число возникает перед учениками в теоретико-множественном подходе, уже в первом классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это происходит при изучении таких величин как длина, масса, емкость и др. Эти два подхода продолжают сосуществовать и в дальнейшем, завершаясь обобщением, в результате которого появляются понятия точного и приближенного числа. Расширение понятия числа происходит за счет знакомства с дробными, а также положительными и отрицательными числами.

Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост экономических потребностей у людей вел их по пути все большего и большего расширения и углубления понятия о числе. Особенно значительные сдвиги в этом смысле произошли, когда возникли государства с более или менее сложным государственным аппаратом, потребовавшим учета имущества и создание налоговой системы, и когда товарообмен перешел в стадию развития торговли с применением денежной системы. С одной стороны, это повлекло за собой зарождение письменной нумерации, а с другой - стали развиваться счетные операции, т.е. появились действия над числами.

Своего рода запись чисел производилась еще в те отдаленные эпохи жизни человечества: все эти узелки, зарубки, нанизанные на шнур раковины, являлись ни чем иным, как зародышем записанного числа. Далее стали обозначать число 1 - одной черточкой, 2 - двумя, 3 - тремя и т.д.

Развитие числовой записи всегда сопутствовало общему подъёму культурного уровня народов, а потому, протекало наиболее интенсивно в тех странах, которые быстро шли по пути развития государственности.

Среди народов земного шара в наиболее благоприятных условиях для развития их экономической и политической жизни были такие, которые обитали на стыке трех материков: Европы, Африки и Азии, а также народы занимавшие территории полуострова Индостан и современного Китая. Природные условия в этих местах были на редкость разнообразны. Это разнообразие и крайняя дифференцированность наблюдались в развитии производительных сил и соответственно общественного быта.

Государства расположенные на этих территориях, явились первыми в истории человечества государствами, где мы находим зародыш современных наук и математики в частности.

Нумерация государств Древнего Востока и Рима.

Древневавилонское государство располагалось в той части Месопотамии где наиболее сближаются русла рек Тигра и Евфрата. Главный город этого государства - Вавилон находился на берегу Евфрата.

Расцвет вавилонского государства относится ко второй половине XVIII в. до н.э. Продукты сельского хозяйства (зерно, фрукты, скот) являлись предметами вывоза в соседние страны. Торговле благоприятствовало центральное положение Вавилона на берегу судоходных рек. Расцвет торговли повлек за собой развитие денежной системы мер. В Вавилоне была создана система мер аналогичная нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.

Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.

Числовая запись у вавилонян возникла в весьма отдаленную эпоху. Предполагают, что вавилоняне заимствовали её у народов, которые жили на территории Вавилонского государства еще до его сформирования. Эта запись, подобно вавилонской письменности, производилась на глиняных табличках путем выдавливания на них треугольных клиньев, причем орудием для записи служил трехгранный брусок. Такого рода клинопись состояла главным образом из трех положений клинка: вертикального острием вниз, горизонтального острием влево и горизонтального острием вправо. При этом знак Ў означал единицу, 3 - десяток. При помощи этих знаков, применяя еще метод сложения, можно было выражать и многозначные числа. Например, знак ЎЎЎ изображал 5, знак 33ЎЎЎ - число 23 и т.д. ЎЎ

Зарождение египетской культуры относится к периоду времени за 4000 лет до н.э. Предполагают, что в эту эпоху была создана и египетская письменность. Первоначально она носила иероглифический характер, т.е. каждое понятие изображалось в виде отдельного рисунка. Но постепенно иероглифические записи принимали несколько иную форму, именуемую иероглифической записью.

Таким же методом производилась и запись чисел. При иероглифической записи числа выражались уже в десятичной системе, причем существовали особые знаки для разрядных чисел: единиц, десятков, сотен и т.д. Единица изображались знаком |, десяток, сотня, тысяча, десять тысяч, сто тысяч, миллион, десять миллионов. При этом если единица какого-нибудь разряда содержалась в числе несколько раз, то она столько же раз повторялась в записи, т.е. соблюдался закон сложения. Например, число 5 выражалось так: . Число 122 имело вид: .

У египтян употреблялись только единичные дроби, т.е. такие которые выражают только одну долю в нашей записи имеют в числителе единицу (сакие дроби мы называем аликвотными ). Исключение составила дробь 2/3, для которой существовал особый знак: ; Ѕ тоже имела особый знак, а все остальные выражались при помощи символа «ро», который имел вид. Чтобы изобразить какую-нибудь дробь рисовали этот символ и под ним ставили число, представлявшее знаменатель. Например, одна седьмая записывалась так: .

Записи производились преимущественно красками на папирусе. Иногда же материалом для записи служили камень, дерево, кожа, холст. Текст вписывался в строки преимущественно справа налево и столбцами сверху вниз.

Начальные понятия математики, зародившиеся в Древнем Китае, послужили развитию математической культуры соседних народов, которые занимали территорию современной Кореи Индокитая и с особенности Японии.

В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. При этом китайские иероглифические цифры были по записи еще сложнее египетских. (рис. в прил.).

Но, помимо этих иероглифических цифр, в Китае имели распространение и более простые цифровые знаки, употреблявшиеся при торговых операциях.

Выглядели они следующим образом: |=1; ||=2; |||=3; ||||=4; |||||=5; | =6; ||=7; |||=8;||||=9; 0=0. Запись чисел производилась столбцами сверху вниз. Большим преимуществом китайской записи чисел было введение в употребление нуля для выражения отсутствующих разрядов. Предполагают, что нуль заимствован из Индии в XII в.

Уже с давних времен в Китае вошел в употребление счетный прибор саун-пан, по конструкции напоминающий современные русские счеты (рис. в прил.). Главное его отличие от русских счетов в том, что наши счеты основаны на десятичной системе счисления, а в саун-пан смешанная пятеричная и двоичная система. В саун-пан каждая проволока делится на две части: в нижней её части нанизано 5 косточек, а в верхней - 2. Когда нижней части проволоки отсчитаны все пять косточек, то они заменяются одной в верхней части; где косточки в верхней части заменяются одной косточкой высшего разряда. счисление нумерация дробный рациональный

На заре человеческой культуры в развитии математики Китай шёл далеко впереди Вавилона и Египта.

Метод записи чисел у римлян, заимствован у древних этрусков - однго из племен Древней Италии. В этой записи сохранились следы пятеричной системы счисления, и числа выражались при помощи букв, а именно числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 обозначались собственно буквами I, V, X, L, C, D и M. Для более крупных чисел (10000, 100000, 1000000) существовали особые знаки. Для обозначения нуля знака не было. В записях они придерживались принципа сложения и вычитания: числа, написанные справа, прибавлялись, а числа написанные слева, вычитались от числа, написанного рядом с ним. Так, IX, XII, XC и CXXX означали соответственно 9, 12, 90 и 130. Римская запись чисел используется в наше время в тех случаях, когда надо записать какое-либо строго зафиксированное число, над которым не придется производить ни каких арифметических операций, например, дата постройки памятника или здания, век, глава в книге и т.п.

Вследствие затруднительности вычислений, римляне прибегали к помощи пальцевого счета или абака. (рис).

Этот абак представляет собой металлическую доску с желобками, вдоль которых могут передаваться жетоны. Продольных желобков девять, причем семь из них дают возможность отсчитывать единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и миллионы. Разряды единиц укрупняются при переходе от правых желобков к левым (как это возможно видеть на рисунке). Два же самых правых желобка дают возможность вести отсчет дробных долей. желобки для целых чисел разделяются на две части: в верхней помещен один жетон, а в нижней - четыре. Верхний жетон заменяет пять нижних. Второй желобок справа тоже разделен на две части и дает возможность отсчитывать двенадцатые доли, причем верхняя его часть содержит один жетон, а нижняя - пять. Самый правый желобок разделен на три части, из которых верхняя даёт отчет 24-х долей, средняя 48-х и нижняя - 72-х. На правом чертеже представлен отчет, равный 84 071+2|12+1|72.

Числа в Индии.

Особенно ценный вклад в арифметику внесен индийцами. В этом отношении математика обязана индийцам упорядочением числовой записи при помощи введения цифр для десятичной системы счисления и установления принципа поместного значения цифр. Кроме того, в Индии получило распространение употребление нуля для указания соответствующих разрядных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании числовых записей и облегчении операций над числами.

Цифровые знаки Индии не совпадают по очертаниям с современными цифрами, но все же имеют с ними в некоторых случаях большое сходство. Так, например, очень походили на современные цифры индийские знаки, изображавшие единицу, семерку и нуль. Остальные знаки в течение многих веков, отделяющих нас от времени их происхождения, сильно видоизменялись.

Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие. Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. В то время как у греков, евреев, сирийцев и т.д. для записи чисел употреблялось до 27 различных цифровых знаков, у индийцев число таких цифровых знаков снизилось до 10, включая и обозначение нуля. Что касается позиционной системы, её зачатки были еще у вавилонян, но там эта система применялась для шестидесятеричного счета, а индийцы ввели её для десятичного. Наконец, применение знака для нуля при позиционной системе дало большое преимущество перед записью чисел у вавилонян. Так, например, у вавилонян значок Ў мог обозначать и единицу и 1/60, и вообще любое число вида 60 n , а в записи у индийцев знак 1 мог обозначать только единицу, так как для обозначения десятка, сотни и так далее после единицы записывалось соответствующее число нулей.

Процесс записи чисел и проведение арифметических операций над ними делались индийцами на белой доске, засыпанной красным песком. Орудием для записи служила палочка. Таким образом, при записи на красной поверхности появлялись белые знаки, прочерченные палочкой.

Числа народов Средней Азии.

Начиная с VII в. в истории народов, входящих в состав государств Средней Азии и Ближнего Востока значительную роль начинает играть арабское государство. Из мелких арабских государств, целиком умещавшихся на Аравийском полуострове в VII-VIII вв., был создан арабский халифат - государство, занимающее огромную территорию. В его состав вошли, кроме основной территории арабов, Палестина, Сирия, Месопотамия, Персия, Закавказье, Средняя Азия, Северная Индия, Египет, Северная Африка и Пиренейский полуостров. Столицей халифата сначала был Дамаск, а затем в VIII в. вблизи бывшего Вавилона был построен новый город - Багдад, куда и была перенесена столица.

Так многие из представителей народов, вошедших в халифат, писали на арабском языке, то буржуазные историки неправильно включают работы ученых этих народов в число работ арабов.

Первым по времени крупным математиком был у народов входивших в состав халифата, мы назовем великого узбекского (хорезмийского) математика и астролога IX в. Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (2-я половина VIII в. - между 830-840).

Сочинение аль-Хорезми по арифметике дошло до нашего времени только в переводе на латинский язык. Оно сыграло значительную роль в развитии европейской математики, так как именно в нем европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с системой индийских цифр, с употреблением нуля и с помесным значением цифр. Вследствие того, что сведения эти были получены европейцами из книги, автор которой жил в арабском государстве и писал на арабском языке, индийские цифры десятичной системы стали неправильно именоваться «арабскими цифрами».

Нумерация на Руси.

Восточно-славянские племена, древние предки русской, украинской и белоруской народностей начали формироваться около 2-3 т. лет до н.э. В VII и VIII вв. у славян появились первые города. Первыми большими городами Руси были Киев и Новгород.

В X в., в княжение Владимира Святославовича (?-1015), древнерусское государство (Киевская Русь) достигло наибольшего расцвета и могущества. По развитию культуры оно занимало одно из видных мест среди государств Европы. На Руси в эту эпоху параллельно с общим развитием культуры шло сравнительно быстрое распространение сведений из математики.

Правда, до нашего времени не сохранилось никаких памятников математической литературы, которые давали бы нам возможность судить о развитии математики на Руси в IX-X вв., но документы другого характера позволяют делать некоторые выводы в этом отношении. Первым русским памятником математического содержания до настоящего времени считается рукописное сочинение новгородского монаха Кирика, написанное им в 1136 г. и носящее заголовок «Критика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение имже ведати человеку числа всех лет».

В этом сочинении Кирик выявил себя весьма искусным счетчиком и великим числолюбцем. Основные задачи, которые разрешаются Кириком, хронологического порядка: вычисление времени, протекшего между каким-либо событием. При вычислениях Кирик пользовался той системой нумерации, которая называлась малым перечнем и выражалась следующими наименованиями: 10000 - тьма, 100 000 - легион, или неведий, 1 000 000 - леодр.

Кроме малого перечня, в Древней Руси существовал еще больший перечень, который давал возможность оперировать с очень большими числами. В системе перечня основные разрядные единицы имели те же наименования, что и в малом, но соотношения между этими единицами были иные, а именно:

Тысяча тысяч - тьма;

Тьма тем - легион, или певедий;

Легион легионов - леодр;

Леодр леодров - ворон;

10 воронов - колода.

В последнем из этих чисел, т.е. о колоде, говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумевати».

Единицы, десятки и сотни изображались славянскими буквами с поставленным над ними знаком, называемым титло, для отличия цифр от букв. Тысячи изображались теми же буквами, но перед ними ставился знак Так, изображала единицу, - двадцать два, - шесть тысяч и т.д.

Тьма, легион и леодр изображались теми же буквами, но для отличия от единиц, десятков, сотен и тысяч они обводились кружками. Так, изображало три тьмы; - три легиона, а - три леодра.

К XVI в. относится изобретение замечательного счетного прибора, получившего впоследствии название «русские счеты» (рис). Как полагают, идея создания этого прибора принадлежит русским купцам Строгоновым. Дроби в Древней Руси назывались долями, позднее «ломанными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

Половина, полтина, - треть, - четь, - полтреть, - полчеть, - полполтреть, - полполчеть, - полполполтреть (малая треть), - полполполчеть, - пятина, - седьмина, - десятина.

Славянские нумерации употреблялись в России до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну постепенно стала проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Клинообразная нумерация . Еще халдеи и вавилоняне имели письменные знаки для изображения чисел. Их нумерация носит название клинообразной и встречается на гробницах древних персидских царей.

Иероглифическая нумерация . Египтяне приписывают изобретение арифметики мифическому лицу Тоту (Фоту). Они имели десятичное счисление еще при Фра-Сезострисе. Египетская нумерация носит название иероглифической . Египтяне обозначали единицу, десяток, сотню и тысячу особыми знаками, иероглифами . Несколько единиц, десятков, сотен и тысяч изображались простым построение этих знаков.

Китайская нумерация . К числу древнейших нужно отнести также нумерацию китайскую . По уверению китайцев, они пользуются ею со времен Фуги, китайского императора, жившего за 300 лет до Р. Х. В этой нумерации первые девять чисел изображаются особыми знаками. Существовали также знаки для обозначения 10, 100, 1000. Большие числа писались колоннами сверху вниз.

Финикийская нумерация . Наконец, к древнейшим нужно отнести еще нумерацию финикийскую . Финикияне, сравнительно с египтянами, совершили реформу в нумерации в том смысле, что заменили иероглифы буквами своего алфавита. Этой нумерацией пользовались и евреи.

Финикияне и евреи изображали первые девять чисел и первые девять десятков 18 начальными буквами своего алфавита и писали большие числа от правой руки к левой.

В самом Египте была оставлена иероглифическая нумерация и введены сначала иератическая, а потом для всеобщего употребления демотические письмена (за 600 л. до Р. Х.). В иератической нумерации три первых числа сходны с настоящими цифрами.

Греческая, римская и церковно-славянская нумерация . Греки переняли у финикиян систему изображать числа буквами. Некоторые утверждают, что до тех пор они изображали числа теми самыми знаками, которые известны под именем римской нумерации, и что римская нумерация есть, таким образом, древняя греческая. Церковно-славянская есть не что иное, как греческая, выраженная только славянскими буквами.

Римляне при изображении чисел пользовались следующими знаками:

1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.

При изображении остальных чисел они руководствовались следующим правилом:

Если меньшая цифра следует за большей, она увеличивает числ ан свою величину; если же меньшая цифра предшествует большей, она уменьшает число на свою величину.

Сообразно с этим правилом, они следующим образом изображали числа:

1 – I, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII, 13 – XIII, 14 – XIV, 15 – XV, 16 – XVI, 17 – XVII, 18 – XVIII, 19 – XIX, 20 – XX, … 27 – XXVII, … 40 – XL, 60 – LX, 90 – XC, 100 – C, 110 – CX, 150 – CL, 400 – CD, 600 – DC, 900 – CM, 1100 – MC.

Числа, состоящие из нескольких тысяч, писались, как пишутся числа до тысячи, с тою только разницей, что после числа тысяч внизу с правой стороны приписывалась буква m (mille - тысяча). Таким образом, 505197 = DV m CXCVII.

В славянском и греческом счислении обозначались особыми буквами первые девять чисел, девять десятков и девять сотен.

В славянском счислении ставят на буквой титло (¯ ), для обозначения того, что буква изображает число.

В нижеследующей таблицы приведены параллельно греческая и славянская нумерации:

Для обозначения тысяч перед числом тысяч ставился в славянском счислении знак , а в греческом счислении к числу, обозначавшему тысячи, присоединялась снизу черточка.

Таким образом,

Происхождение и распространение десятичной нумерации

Хотя нельзя еще сделать окончательный вывод относительно изображения, введения и распространения по Европе десятичной системы нумерации, однако, литература дает многие весьма важные указания по этому вопросу. Некоторые называют эту систему арабской. Действительно, из истории видно, что десятичная система заимствована у арабов. Так, известно, что в начале XIII столетия тосканский купец Леонард познакомил своих соотечественников с приемами десятичной системы после своего путешествия по Сирии и Египту. Сарко-Боско, известный преподаватель математики в Париже (умер в 1256 г.), и Рожер Бекон своими сочинениями наиболее содействовали распространению этой системы по Европе. Они уже указывают, что десятичная нумерация заимствована арабами у индийцев. Из памятников арабской литературы достоверно известно, что Абу-Абдаллах-Магомет-Ибн-Муза, родом из Кораизма, в IX столетии долго путешествовал по Индии и познакомил после своего возвращения арабских ученых с индийской нумерацией. Арабские писатели Авицена Абен-Рагель и Альсефади также приписывают изобретение нумерации индийцам.

Письменные памятники санскрита, языка древней Индии, подтверждают указания арабских писателей.

Из сочинения Баскары, индийского писателя XII века, видно, что индийцам было известно за несколько столетий до Баскары изображение чисел десятью знаками, ибо в этом сочинении изложена связкая теория четырех арифметических действий и даже извлечение квадратных корней. Как Баскара, так и более древний писатель Брамегупта считают факт изобретения нумерации очень древним. У писателя еще более древнего Ариабгата мы встречаем решение многих замечательных математических вопросов.

Эти указания, кажется, делают мало вероятными уверения французского геометра Шаля, что десятичная система есть развитие римского способа пользоваться при вычислениях столиком для вычисления (Abacus) и что достаточно было одного введения нуля, чтобы получить настоящую десятичную систему.

Арифметика и логистика у греков . Греки называли арифметикой учение об общих свойствах чисел. Искусство же считать, или совокупность практических приемов при вычислении, греки называли логистикой .