Sve o logaritamskim nejednakostima. Analiza primjera

Među čitavim nizom logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednakosti s promjenjivom bazom. Oni se rješavaju pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Umjesto “∨” polja za potvrdu možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti.

Na ovaj način se oslobađamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednakost. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali pri odbacivanju logaritma mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odsjekli, dovoljno je pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, toplo preporučujem da ga ponovite - pogledajte “Šta je logaritam”.

Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ove četiri nejednakosti čine sistem i moraju biti zadovoljene istovremeno. Kada je raspon prihvatljivih vrijednosti pronađen, ostaje samo da ga presječemo rješenjem racionalne nejednakosti - i odgovor je spreman.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

Prvo, napišimo ODZ logaritma:

Prve dvije nejednakosti su zadovoljene automatski, ali će posljednja morati biti ispisana. Pošto je kvadrat broja nula ako i samo ako je sam broj nula, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednačinu:

Vršimo prijelaz sa logaritamske nejednakosti na racionalnu. Originalna nejednakost ima predznak “manje od”, što znači da rezultirajuća nejednakost također mora imati predznak “manje od”. Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nule ovog izraza su: x = 3; x = −3; x = 0. Štaviše, x = 0 je korijen druge višestrukosti, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo:

Dobijamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ-u logaritma, što znači da je ovo odgovor.

Pretvaranje logaritamskih nejednakosti

Često je originalna nejednakost drugačija od gornje. Ovo se lako može ispraviti korištenjem standardnih pravila za rad s logaritmima - pogledajte “Osnovna svojstva logaritma”. naime:

Bilo koji broj se može predstaviti kao logaritam sa datom bazom;
Zbir i razlika logaritama sa istim bazama mogu se zamijeniti jednim logaritmom.

Zasebno, želio bih da vas podsjetim na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednakosti može biti nekoliko logaritama, potrebno je pronaći VA svakog od njih. Dakle, opća shema za rješavanje logaritamskih nejednačina je sljedeća:

Pronađite VA svakog logaritma uključenog u nejednakost;
Smanjite nejednakost na standardnu koristeći formule za sabiranje i oduzimanje logaritama;
Riješi rezultirajuću nejednačinu prema gore navedenoj shemi.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

Nađimo domenu definicije (DO) prvog logaritma:

Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojilaca:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Zatim - nule imenioca:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove:

Dobijamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam će imati isti VA. Ako ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva:

Kao što vidite, trojke u osnovi i ispred logaritma su smanjene. Dobili smo dva logaritma sa istom bazom. Hajde da ih zbrojimo:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standardnu logaritamsku nejednakost. Riješimo se logaritama pomoću formule. Budući da izvorna nejednakost sadrži znak “manje od”, rezultirajući racionalni izraz također mora biti manji od nule. Imamo:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva seta:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).

Ostaje presijecati ove skupove - dobijamo pravi odgovor:

Zanima nas presjek skupova, pa biramo intervale koji su zasjenjeni na obje strelice. Dobijamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve tačke su izbušene.

Među čitavim nizom logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednakosti s promjenjivom bazom. Oni se rješavaju pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi. U prezentaciji su predstavljena rješenja zadataka C3 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike 2014. godine.

Skinuti:

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Rješavanje logaritamskih nejednačina koje sadrže varijablu u bazi logaritma: metode, tehnike, ekvivalentni prijelazi, nastavnik matematike, srednja škola br. 143 Knyazkina T.V.

Među čitavim nizom logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednakosti sa promjenjivom bazom. Oni se rješavaju pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Umjesto polja za potvrdu “∨” možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti. Na ovaj način se oslobađamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednakost. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali pri odbacivanju logaritma mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odsjekli, dovoljno je pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. Ne zaboravite ODZ logaritma! Sve što se odnosi na opseg prihvatljivih vrijednosti mora se posebno ispisati i riješiti: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Ove četiri nejednakosti čine sistem i moraju biti zadovoljene istovremeno. Kada je raspon prihvatljivih vrijednosti pronađen, ostaje samo da ga presječemo rješenjem racionalne nejednakosti - i odgovor je spreman.

Riješite nejednakost: Rješenje Prvo, napišemo OD logaritma. Prve dvije nejednakosti su zadovoljene automatski, ali će posljednja morati biti zapisana. Pošto je kvadrat broja jednak nuli ako i samo ako je sam broj jednak nuli, imamo: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Sada rješavamo glavnu nejednakost: vršimo prijelaz iz logaritamske nejednakosti u racionalnu. Izvorna nejednakost ima predznak “manje od”, što znači da rezultirajuća nejednakost također mora imati predznak “manje od”.

Imamo: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Transformisanje logaritamskih nejednakosti Često je originalna nejednakost drugačija od gornje. Ovo se lako može ispraviti korištenjem standardnih pravila za rad s logaritmima. Naime: Bilo koji broj se može predstaviti kao logaritam sa datom bazom; Zbir i razlika logaritama sa istim bazama mogu se zamijeniti jednim logaritmom. Zasebno, želio bih da vas podsjetim na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednakosti može biti nekoliko logaritama, potrebno je pronaći VA svakog od njih. Dakle, opšta shema za rješavanje logaritamskih nejednakosti je sljedeća: Pronađite VA svakog logaritma uključenog u nejednakost; Nejednakost svesti na standardnu koristeći formule za sabiranje i oduzimanje logaritama; Riješi rezultirajuću nejednačinu prema gore navedenoj shemi.

Rješavanje nejednakosti: Rješenje Nađimo domen definicije (DO) prvog logaritma: Riješimo metodom intervala. Naći nule brojilaca: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Zatim - nule nazivnika: x − 1 = 0; x = 1. Označite nule i predznake na koordinatnoj liniji:

Dobijamo x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Drugi logaritam će imati isti VA. Ako ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformirajmo drugi logaritam tako da u osnovi bude dvojka: Kao što vidite, trojke u osnovi i ispred logaritma su poništene. Dobili smo dva logaritma sa istom bazom. Zbrojite ih: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Zanima nas presjek skupova, pa biramo intervale koji su zasjenjeni na obje strelice. Dobijamo: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - sve tačke su izbušene. Odgovor: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Rješavanje USE-2014 zadataka tipa C3

Riješi sistem nejednačina. ODZ:  1) 2)

Riješite sistem nejednačina 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (nastavak)

Riješite sistem nejednačina 4) Opšte rješenje: i -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (nastavak)

Riješite nejednačinu (nastavak) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Riješite nejednakost Rješenje. ODZ: 

Riješite nejednačinu (nastavak)

Riješite nejednakost Rješenje. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

Sa njima su unutrašnji logaritmi.

primjeri:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Kako riješiti logaritamske nejednačine:

Trebalo bi nastojati da svedemo bilo koju logaritamsku nejednakost na oblik $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (simbol $˅$ znači bilo koji od ). Ovaj tip vam omogućava da se riješite logaritama i njihovih baza, čineći prijelaz na nejednakost izraza pod logaritmima, odnosno na oblik $f(x) ˅ g(x)$.

Ali kada pravite ovu tranziciju postoji jedna vrlo važna suptilnost:
$-$ ako je broj i veći je od 1, znak nejednakosti ostaje isti tokom prijelaza,
$-$ ako je osnova broj veći od 0, ali manji od 1 (leži između nule i jedan), onda bi predznak nejednakosti trebao promijeniti u suprotan, tj.

primjeri:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Rješenje:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Odgovor: $(6;8)$

$\log$$_(0,5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0,5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\početak(slučajevi)2x-4>0\\x+1 > 0\kraj(slučajevi)$
$\početak(slučajevi)2x>4\\x > -1\kraj(slučajevi)$ $\Leftrightarrow$ $\početak(slučajevi)x>2\\x > -1\kraj(slučajevi) $ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Rješenje:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Odgovor: $(2;5]$

Veoma važno! U bilo kojoj nejednakosti, prijelaz sa oblika $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ na poređenje izraza pod logaritmima može se izvršiti samo ako:

Primjer . Riješite nejednakost: $\log$$≤-1$

Rješenje:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Otvaramo zagrade i donosimo .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Pomnožimo nejednakost sa $-1$, ne zaboravljajući da obrnemo znak poređenja.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Konstruirajmo brojevnu pravu i označimo tačke $\frac(7)(3)$ i $\frac(3)(2)$ na njoj. Imajte na umu da je tačka uklonjena iz nazivnika, uprkos činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova tačka neće biti rješenje, jer će nas, kada se zamijeni u nejednakosti, dovesti do dijeljenja sa nulom.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji pada u ODZ.
	Zapisujemo konačan odgovor.

odgovor: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Primjer . Riješite nejednačinu: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Rješenje:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: $x>0$	Idemo do rješenja.
Rješenje: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Ovdje imamo tipičnu kvadratno-logaritamsku nejednakost. Hajde da to uradimo.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Proširujemo lijevu stranu nejednakosti u .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Sada se moramo vratiti na originalnu varijablu - x. Da bismo to učinili, idemo na , koji ima isto rješenje, i napravimo obrnutu zamjenu.
$\left[ \begin(sakupljeno) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Transformirajte $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Pređimo na poređenje argumenata. Osnove logaritma su veće od $1$, pa se predznak nejednačina ne mijenja.
$\left[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Kombinirajmo rješenje nejednačine i ODZ na jednoj slici.
	Hajde da zapišemo odgovor.

odgovor: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Rješavanje najjednostavnijih logaritamskih nejednačina i nejednačina kod kojih je osnova logaritma fiksirana smo razmatrali u prošloj lekciji.

Ali šta ako postoji varijabla u osnovi logaritma?

Tada će nam priskočiti u pomoć racionalizacija nejednakosti. Da bismo razumjeli kako ovo funkcionira, razmotrimo, na primjer, nejednakost:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Očekivano, krenimo od ODZ-a.

ODZ

$$\left[ \begin(niz)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(niz)\desno.$$

Rješenje nejednakosti

Razmotrimo kao da rješavamo nejednačinu s fiksnom bazom. Ako je baza veća od jedan, oslobađamo se logaritama, a znak nejednakosti se ne mijenja, ako je manji od jedan.

Zapišimo ovo kao sistem:

$$\left[ \begin(niz)(l) \left\( \begin(niz)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(niz)\desno. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Radi daljeg razmišljanja, pomjerimo sve desne strane nejednačina ulijevo.

$$\left[ \begin(niz)(l) \left\( \begin(niz)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(niz)\desno. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Šta smo dobili? Ispostavilo se da su nam potrebni izrazi `2x-1` i `x^2 - x` da budu pozitivni ili negativni u isto vrijeme. Isti rezultat će se dobiti ako riješimo nejednakost:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Ova nejednakost, kao i originalni sistem, je tačna ako su oba faktora ili pozitivna ili negativna. Ispostavilo se da možete prijeći s logaritamske nejednakosti na racionalnu (uzimajući u obzir ODZ).

Hajde da formulišemo metoda za racionalizaciju logaritamskih nejednakosti$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ gdje je `\vee` bilo koji znak nejednakosti. (Za znak `>` upravo smo provjerili valjanost formule. Za ostalo predlažem da provjerite sami - bolje će se pamtiti).

Vratimo se rješavanju naše nejednakosti. Proširujući ga u zagrade (da bi se nule funkcije lakše uočile), dobijamo

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Metoda intervala će dati sljedeću sliku:

(Budući da je nejednakost stroga i da nas ne zanimaju krajevi intervala, oni nisu zasjenjeni.) Kao što se može vidjeti, rezultujući intervali zadovoljavaju ODZ. Dobili smo odgovor: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Primjer dva. Rješavanje logaritamske nejednakosti s promjenljivom bazom

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\end(niz)\desno.$$

Rješenje nejednakosti

Po pravilu koje smo upravo primili racionalizacija logaritamskih nejednakosti, nalazimo da je ova nejednakost identična (uzimajući u obzir ODZ) sljedećoj:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Kombinacijom ovog rješenja sa ODZ-om dobijamo odgovor: `(1,2)`.

Treći primjer. Logaritam razlomka

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

Pošto je sistem relativno složen, odmah nacrtajmo rješenje nejednačina na brojevnoj pravoj:

Dakle, ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

Rješenje nejednakosti

Hajde da predstavimo `-1` kao logaritam sa bazom `x`.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Korišćenjem racionalizacija logaritamske nejednakosti dobijamo racionalnu nejednakost:

$$(x-1)\levo(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\desno)\leqslant0,$$

$$(x-1)\levo(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\desno)\leqslant0,$$

$$(x-1)\levo(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\desno)\leqslant0.$$

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otvaramo zagrade i donosimo .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Pomnožimo nejednakost sa \(-1\), ne zaboravljajući da obrnemo znak poređenja.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Konstruirajmo brojevnu pravu i označimo tačke \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) na njoj. Imajte na umu da je tačka uklonjena iz nazivnika, uprkos činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova tačka neće biti rješenje, jer će nas, kada se zamijeni u nejednakosti, dovesti do dijeljenja sa nulom.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji pada u ODZ.
	Zapisujemo konačan odgovor.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Idemo do rješenja.
Rješenje: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Ovdje imamo tipičnu kvadratno-logaritamsku nejednakost. Hajde da to uradimo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Proširujemo lijevu stranu nejednakosti u .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sada se moramo vratiti na originalnu varijablu - x. Da bismo to učinili, idemo na , koji ima isto rješenje, i napravimo obrnutu zamjenu.
\(\left[ \begin(sakupljeno) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformirajte \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Pređimo na poređenje argumenata. Osnove logaritma su veće od \(1\), pa se predznak nejednačina ne mijenja.
\(\left[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Kombinirajmo rješenje nejednačine i ODZ na jednoj slici.
	Hajde da zapišemo odgovor.