Jednačine ravnih i sfernih talasa. Jednačina ravnog putujućeg talasa Izvod koji karakteriše ravan talas

Oscilatorni proces koji se širi u mediju u obliku vala, čiji je front avion, zvao ravni zvučni talas. U praksi, ravan val može biti formiran od izvora čije su linearne dimenzije velike u odnosu na dugu valnu dužinu koju emituje, i ako se zona valnog polja nalazi na dovoljno velikoj udaljenosti od njega. Ali to je slučaj u neograničenom okruženju. Ako je izvor ograđeno bilo koja prepreka, onda je klasičan primjer ravnog vala oscilacije koje pobuđuje kruti, nesavitljivi klip u dugoj cijevi (valovodu) s krutim stijenkama, ako je promjer klipa znatno manji od dužine emitiranih valova. Zbog krutih zidova, prednja površina u cijevi se ne mijenja kako se talas širi duž talasovoda (vidi sliku 3.3). Zanemarujemo gubitke zvučne energije zbog apsorpcije i disipacije u zraku.

Ako emiter (klip) oscilira po harmonijskom zakonu sa frekvencijom
, a dimenzije klipa (prečnik talasovoda) su znatno manje od talasne dužine zvuka, tada je pritisak stvoren blizu njegove površine
. Očigledno, iz daljine X pritisak će biti
, Gdje
– vrijeme putovanja talasa od emitera do tačkex. Pogodnije je ovaj izraz napisati kao:
, Gdje
- talasni broj prostiranja talasa. Posao
- određen fazni pomak oscilatornog procesa u tački udaljenoj udaljenosti X od emitera.

Zamjenjujući rezultirajući izraz u jednačinu kretanja (3.1), integriramo potonju s obzirom na brzinu oscilatora:

(3.8)

Općenito, za proizvoljan trenutak u vremenu ispada da:

. (3.9)

Desna strana izraza (3.9) je karakteristika, talas ili specifični akustički otpor medija (impedansa). Sama jednačina (3.) se ponekad naziva akustičnim “Omovim zakonom”. Kao što slijedi iz rješenja, rezultirajuća jednačina vrijedi u polju ravnog vala. Pritisak i brzina vibracije u fazi, što je posljedica čisto aktivnog otpora medija.

Primer: Maksimalni pritisak u ravnom talasu
Pa. Odredite amplitudu pomaka čestica zraka po frekvenciji?

Rješenje: Pošto , onda:

Iz izraza (3.10) proizilazi da je amplituda zvučnih talasa vrlo mala, barem u poređenju sa veličinom samih izvora zvuka.

Pored skalarnog potencijala, pritiska i brzine vibracije, zvučno polje karakterišu i energetske karakteristike, od kojih je najvažniji intenzitet – vektor gustine energetskog fluksa koji talas prenosi u jedinici vremena. A-prioritet
- je rezultat proizvoda zvučnog pritiska i brzine vibracije.

U odsustvu gubitaka u mediju, ravan talas, teoretski, može da se širi bez slabljenja na proizvoljno velike udaljenosti, jer očuvanje ravnog prednjeg oblika ukazuje na odsustvo "divergencije" talasa, a samim tim i na odsustvo slabljenja. Situacija je drugačija ako val ima zakrivljenu frontu. Takvi valovi uključuju, prije svega, sferne i cilindrične valove.

3.1.3. Modeli talasa sa neravnim frontom

Za sferni talas, površina jednakih faza je sfera. Izvor takvog talasa je takođe sfera, čije sve tačke osciluju sa istim amplitudama i fazama, a centar ostaje nepomičan (vidi sliku 3.4, a).

Sferni val je opisan funkcijom koja je rješenje valne jednadžbe u sfernom koordinatnom sistemu za potencijal vala koji se širi od izvora:

. (3.11)

Radeći po analogiji sa ravnim talasom, može se pokazati da je na udaljenostima od izvora zvuka dužina talasa koji se proučava znatno veća:
. To znači da je akustični “Ohmov zakon” također istinit u ovom slučaju. U praktičnim uslovima, sferni talasi se pobuđuju uglavnom kompaktnim izvorima proizvoljnog oblika, čije su dimenzije znatno manje od dužine pobuđenog zvučnog ili ultrazvučnog talasa. Drugim riječima, “tačkasti” izvor emituje pretežno sferne valove. Na velikim udaljenostima od izvora, ili, kako kažu, u „daljoj“ zoni, sferni val, u odnosu na dijelove fronta valova ograničene veličine, ponaša se kao ravni val, ili, kako kažu: „degenerira u ravni talas.” Zahtjevi za malo područje određuju se ne samo učestalošću, već
- razlika u udaljenostima između upoređenih tačaka. Imajte na umu da je ova funkcija
ima karakteristiku:
at
. To uzrokuje određene poteškoće u rigoroznom rješavanju problema difrakcije povezanih sa zračenjem i rasipanjem zvuka.

Zauzvrat, cilindrične valove (površina valnog fronta je cilindar) emituje beskonačno dug pulsirajući cilindar (vidi sliku 3.4).

U dalekoj zoni, izraz za potencijalnu funkciju takvog izvora asimptotski teži izrazu:


. (3.12)

Može se pokazati da i u ovom slučaju relacija vrijedi
. Cilindrični talasi, poput sfernih, u dalekoj zoni degenerisati u ravni talase.

Slabljenje elastičnih talasa tokom širenja povezano je ne samo sa promjenom zakrivljenosti fronta talasa („divergencija“ talasa), već i sa prisustvom „slabljenja“, tj. slabljenje zvuka. Formalno, prisustvo slabljenja u mediju može se opisati predstavljanjem talasnog broja kao kompleksnog
. Tada se, na primjer, za ravan tlačni val može dobiti: R(x, t) = P Max
=
.

Može se vidjeti da realni dio kompleksnog valnog broja opisuje prostorni putujući val, a imaginarni dio karakterizira slabljenje vala u amplitudi. Stoga se vrijednost  naziva koeficijent prigušenja (atenuacije),  je dimenziona vrijednost (Neper/m). Jedan “Naper” odgovara promjeni amplitude talasa za “e” puta kada se front talasa pomera po jedinici dužine. U opštem slučaju, slabljenje je određeno apsorpcijom i rasipanjem u medijumu:  =  apsorbovati +  diss. Ovi efekti su određeni različitim razlozima i mogu se razmatrati zasebno.

Općenito, apsorpcija je povezana s nepovratnim gubicima zvučne energije kada se ona pretvara u toplinu.

Rasipanje je povezano sa preorijentacijom dijela energije upadnog vala u druge smjerove koji se ne poklapaju s upadnim valom.

Ova funkcija mora biti periodična i s obzirom na vrijeme i koordinate (val je oscilacija koja se širi, dakle kretanje koje se periodično ponavlja). Osim toga, tačke koje se nalaze na udaljenosti l jedna od druge vibriraju na isti način.

Jednačina ravnih talasa

Nađimo oblik funkcije x u slučaju ravnog vala, uz pretpostavku da su oscilacije harmonijske prirode.

Usmjerimo koordinatne ose tako da os x poklopila sa pravcem širenja talasa. Tada će valna površina biti okomita na os x. Budući da sve tačke valne površine osciliraju jednako, pomak x ovisit će samo o X I t: . Neka oscilacija tačaka koje leže u ravni ima oblik (u početnoj fazi)

Nađimo vrstu vibracije čestica u ravni koja odgovara proizvoljnoj vrijednosti x. Da idem putem x, potrebno je vrijeme.

dakle, vibracije čestica u ravnixće zaostati u vremenutod vibracija čestica u ravni, tj.

,

(5.2.3)

- Ovo jednačina ravnih talasa.

Dakle, x Tu je pristrasnost bilo koja od tačaka sa koordinatamaxu određenom trenutkut. U izvođenju smo pretpostavili da je amplituda oscilacije . To će se dogoditi ako medij ne apsorbira energiju valova.

Jednačina (5.2.3) će imati isti oblik ako se vibracije šire duž ose y ili z.

Uglavnom jednačina ravnih talasa je napisano ovako:

Izrazi (5.2.3) i (5.2.4) su jednačine putujućih talasa .

Jednačina (5.2.3) opisuje talas koji se širi u pravcu rasta x. Talas koji se širi u suprotnom smjeru ima oblik:

.

Talasna jednačina se može napisati u drugom obliku.

Hajde da se predstavimo talasni broj , ili u vektorskom obliku:

gdje je talasni vektor i normala na površinu talasa.

Od tada . Odavde. Onda jednačina ravnih talasa biće napisano ovako:

.

(5.2.6)

Jednačina sfernog talasa

Talasi u zavisnosti od jedne prostorne koordinate

Animacija

Opis

U ravnom talasu, sve tačke medija koje leže u bilo kojoj ravni okomitoj na pravac prostiranja talasa odgovaraju u svakom trenutku vremena istim pomacima i brzinama čestica medija. Dakle, sve veličine koje karakteriziraju ravan val su funkcije vremena i samo jedne koordinate, na primjer, x, ako se osa Ox poklapa sa smjerom širenja vala.

Talasna jednadžba za longitudinalni ravni talas ima oblik:

d 2 j / dx 2 = (1/c 2 ) d 2 j / dt 2 . (1)

Njegovo generalno rješenje je izraženo na sljedeći način:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x), (2)

gde je j potencijal ili druga veličina koja karakteriše talasno kretanje sredine (pomeraj, brzina pomeranja, itd.);

c je brzina prostiranja talasa;

f 1 i f 2 su proizvoljne funkcije, pri čemu prvi član (2) opisuje ravan val koji se širi u pozitivnom smjeru ose Ox, a drugi u suprotnom smjeru.

Talasne površine ili geometrijske lokacije tačaka u medijumu gde, u datom trenutku, talasna faza ima istu vrednost, za PV predstavljaju sistem paralelnih ravni (slika 1).

Valne površine ravnog vala

Rice. 1

U homogenom izotropnom mediju, valne površine ravnog talasa su okomite na pravac prostiranja talasa (smer prenosa energije), koji se naziva zraka.

Vremenske karakteristike

Vrijeme inicijacije (log do -10 do 1);

Životni vijek (log tc od -10 do 3);

Vrijeme degradacije (log td od -10 do 1);

Vrijeme optimalnog razvoja (log tk od -3 do 1).

dijagram:

Tehničke implementacije efekta

Tehnička implementacija efekta

Strogo govoreći, nijedan pravi talas nije ravan, jer Ravni talas koji se širi duž x ose mora pokriti čitavu oblast prostora duž y i z koordinata od -Ґ do +Ґ. Međutim, u mnogim slučajevima moguće je naznačiti dio vala ograničen na y, z, gdje se on praktično poklapa sa ravnim talasom. Prije svega, to je moguće u homogenom izotropnom mediju na dovoljno velikim udaljenostima R od izvora. Dakle, za harmonijski ravni talas, faza u svim tačkama ravni okomita na pravac njegovog širenja je ista. Može se pokazati da se bilo koji harmonični talas može smatrati ravnim talasom na preseku širine r<< (2R l )1/2 .

Primjena efekta

Neke tehnologije talasa su najefikasnije u aproksimaciji ravnih talasa. Konkretno, pokazano je da tokom seizmoakustičkih uticaja (u cilju povećanja iskorištavanja nafte i gasa) na naftne i gasne formacije predstavljene slojevitim geološkim strukturama, interakcija direktnih i ravnih frontova talasa reflektovanih od granica slojeva dovodi do pojave stojećih talasa, koji iniciraju postepeno kretanje i koncentraciju ugljovodoničnih tečnosti na antičvorovima stojećeg talasa (vidi opis FE „Standing Waves”).

PLATE WAVE

PLATE WAVE

Talas čiji je smjer širenja isti u svim tačkama u prostoru. Najjednostavniji primjer je homogeni monokromatski. neprigušeni P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

gdje je A amplituda, j= wt±kz - , w=2p/T - kružna frekvencija, T - period oscilovanja, k - . Konstantne fazne površine (fazni frontovi) j=const P.v. su avioni.

U nedostatku disperzije, kada su vph i vgr identični i konstantni (vgr = vph = v), postoje stacionarna (tj. koja se kreću kao cjelina) tekuća linearna kretanja, koja omogućavaju opći prikaz oblika:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

gdje je f proizvoljna funkcija. U nelinearnim medijima sa disperzijom, moguće su i stacionarne PV. tipa (2), ali njihov oblik više nije proizvoljan, već zavisi kako od parametara sistema tako i od prirode kretanja. U apsorbirajućim (disipativnim) medijima P. v. smanjiti njihovu amplitudu kako se šire; sa linearnim prigušenjem, ovo se može uzeti u obzir zamjenom k ​​u (1) sa kompleksnim talasnim brojem kd ± ikm, gdje je km koeficijent. slabljenje P. v.

Homogeni PV koji zauzima čitavu beskonačnost je idealizacija, ali bilo koji val koncentriran u konačnom području (na primjer, usmjeren putem dalekovoda ili valovoda) može se predstaviti kao superpozicija PV. sa jednim ili drugim prostorom. spektar k. U ovom slučaju, val može i dalje imati ravan fazni front, ali neujednačenu amplitudu. Takav P. v. pozvao ravni nehomogeni talasi. Neka područja su sferna. i cilindrične talasi koji su mali u poređenju sa radijusom zakrivljenosti faznog fronta ponašaju se približno kao fazni talas.

Fizički enciklopedijski rječnik. - M.: Sovjetska enciklopedija. . 1983 .

PLATE WAVE

- talas, smjer širenja je isti u svim tačkama u prostoru.

Gdje A - amplituda, - faza, - kružna frekvencija, T - period oscilovanja k- talasni broj. = const P.v. su avioni.
U nedostatku disperzije, kada je fazna brzina v f i grupa v gr su identične i konstantne ( v gr = v f = v) postoje stacionarni (tj. pokretni kao cjelina) trčanje P. c., koji se može predstaviti u opštem obliku

Gdje f- proizvoljna funkcija. U nelinearnim medijima sa disperzijom, moguće su i stacionarne PV. tipa (2), ali njihov oblik više nije proizvoljan, već zavisi kako od parametara sistema tako i od prirode talasnog kretanja. U apsorbirajućim (disipativnim) medijima, P. k na kompleksnom talasnom broju k d ik m, gdje k m - koeficijent slabljenje P. v. Homogeno talasno polje koje zauzima čitavu beskonačnost je idealizacija, ali svako talasno polje koncentrisano u konačnom području (na primer, usmereno dalekovoda ili talasovodi), može se predstaviti kao superpozicija P. V. sa jednim ili drugim prostornim spektrom k. U ovom slučaju, talas može i dalje imati ravan fazni front, sa neujednačenom raspodelom amplitude. Takav P. v. pozvao ravni nehomogeni talasi. Dept. areaspherical ili cilindrične talasi koji su mali u poređenju sa radijusom zakrivljenosti faznog fronta ponašaju se približno kao PT.

Lit. vidi pod čl. Talasi.

M. A. Miller, L. A. Ostrovsky.

Fizička enciklopedija. U 5 tomova. - M.: Sovjetska enciklopedija. Glavni i odgovorni urednik A. M. Prokhorov. 1988 .

: takav val ne postoji u prirodi, jer prednja strana ravnog vala počinje na $-\backslash mathcal(1)$ i završava u $+\backslash mathcal(1)$, što očigledno ne može biti. Takođe, ravan talas bi nosio beskonačnu snagu i bila bi potrebna beskonačna energija da se stvori ravan talas. Talas sa kompleksnim (stvarnim) frontom može se predstaviti kao spektar ravnih valova korištenjem Fourierove transformacije u prostornim varijablama.

Kvaziravni talas- talas čija je fronta blizu ravnog u ograničenom području. Ako su dimenzije područja dovoljno velike za problem koji se razmatra, tada se kvaziravni val može približno smatrati ravnim. Val sa kompleksnim frontom može se aproksimirati skupom lokalnih kvaziravninskih valova, čiji su vektori fazne brzine normalni na stvarni front u svakoj od njegovih tačaka. Primjeri izvora kvaziravninskih elektromagnetnih valova su laserske, zrcalne i leće antene: distribucija faze elektromagnetnog polja u ravni paralelnoj s otvorom (emisionom rupom) je blizu ravnomjerne. Kako se udaljava od otvora, front talasa poprima složen oblik.

Definicija

Jednadžba bilo kojeg vala je rješenje diferencijalne jednadžbe tzv talas. Talasna jednadžba za funkciju $A$ napisano u formi

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$ Gdje

• $\backslash Delta$- Laplace operater;
• $A(\backslash vec(r),t)$- traženu funkciju;
• $r$- radijus vektor željene tačke;
• $v$- brzina talasa;
• $t$- vrijeme.

Jednodimenzionalni slučaj

Ukupna energija je

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Gustoća energije je, shodno tome, jednaka

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash desno).$

Polarizacija

Napišite recenziju o članku "Pravinski val"

Književnost

• Savelyev I.V.[Deo 2. Talasi. Elastični talasi.] // Kurs opšte fizike / Uredili Gladnev L.I., Mikhalin N.A., Mirtov D.A. - 3. izd. - M.: Nauka, 1988. - T. 2. - P. 274-315. - 496 s. - 220.000 primjeraka.

Bilješke

vidi takođe

Odlomak koji karakteriše ravan talas

Na trgu gdje je išao suveren, s desne strane stajao je bataljon vojnika Preobraženskog licem u lice, a s lijeve strane bataljon francuske garde u šeširima od medvjeđe kože.
Dok se suveren približavao jednom boku bataljona, koji su bili na straži, druga gomila konjanika je skočila na suprotni bok i ispred njih Rostov je prepoznao Napoleona. To ne može biti bilo ko drugi. Jahao je u galopu u malom šeširu, sa Andrijevskom vrpcom preko ramena, u plavoj uniformi otvorenoj preko bijele kamisole, na neobično rasnom arapskom sivom konju, na grimiznom, zlatom izvezenom sedlaru. Prišavši Aleksandru, podigao je šešir i tim pokretom Rostovljevo konjičko oko nije moglo a da ne primijeti da Napoleon slabo i nečvrsto sjedi na konju. Bataljoni su uzvikivali: Ura i živio l "Care! [Živio Car!] Napoleon je nešto rekao Aleksandru. Oba cara su sišla sa konja i uhvatila se za ruke. Na Napoleonovom licu je bio neugodno glumljeni osmijeh. Aleksandar je nešto rekao njega sa ljubaznim izrazom lica.
Rostov je, ne skidajući pogled, uprkos gaženju konja francuskih žandarma koji su opsjedali gomilu, pratio svaki pokret cara Aleksandra i Bonaparte. Iznenadila ga je činjenica da se Aleksandar ponašao kao ravnopravan sa Bonapartom, i da je Bonaparte bio potpuno slobodan, kao da mu je ta bliskost sa suverenom prirodna i poznata, kao ravnopravan, tretirao je ruskog cara.
Aleksandar i Napoleon sa dugim repom svoje pratnje prišli su desnom boku Preobraženskog bataljona, direktno prema gomili koja je tamo stajala. Gomila se odjednom našla toliko blizu careva da se Rostov, koji je stajao u prvim redovima, uplašio da će ga prepoznati.
„Gospodaru, je vous requiree la permission de donner la legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Gospodine, molim vaše dopuštenje da dodelim Orden Legije časti najhrabrijim od vaših vojnika] rekao je oštar, precizan glas, završavajući svako slovo. Govorio je kratki Bonaparta, gledajući pravo u Aleksandrove oči odozdo, Aleksandar je pažljivo slušao šta mu se govori i pognuo glavu, prijatno se smešeći.
"A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Onome koji se pokazao najhrabrijim tokom rata]", dodao je Napoleon, naglašavajući svaki slog, sa smirenošću i samopouzdanjem nečuvenim za Rostov, gledajući po redovima Rusa ispruženih ispred su vojnici koji sve čuvaju i nepomično gledaju u lice svog cara.
„Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonel? [Vaše Veličanstvo će mi dozvoliti da pitam pukovnikovo mišljenje?] - rekao je Aleksandar i napravio nekoliko žurnih koraka prema knezu Kozlovskom, komandantu bataljona. U međuvremenu, Bonaparte je počeo da preduzima skinuo belu rukavicu, malu šaku i, rastrgnuvši je, bacio je unutra. Ađutant je, žurno jureći napred s leđa, podigao.
- Kome da ga dam? – upitao je car Aleksandar Kozlovskog ne glasno, na ruskom.
- Kome naručujete, Vaše Veličanstvo? “Car se trznuo od negodovanja i, pogledavši okolo, rekao:
- Ali moraš mu odgovoriti.
Kozlovsky se odlučnim pogledom osvrnuo na redove i ovim pogledom uhvatio i Rostov.
"Zar nisam ja?" pomisli Rostov.
- Lazarev! – namršteno je komandovao pukovnik; a prvorangirani vojnik Lazarev je pametno istupio.
-Gdje ideš? Zaustavi ovdje! - šaputali su glasovi Lazarevu, koji nije znao kuda da ide. Lazarev je stao, uplašeno pogledao pukovnika iskosa, a lice mu je zadrhtalo, kao što biva kod vojnika pozvanih na front.
Napoleon je lagano okrenuo glavu unazad i povukao svoju malu bucmastu ruku, kao da želi nešto uzeti. Lica njegove pratnje, naslutivši baš te sekunde šta se dešava, počeše da se bune, šapuću, prenose nešto jedno drugom, a paž, onaj isti koga je Rostov juče video kod Borisa, potrča napred i sa poštovanjem se sagne. ispružene ruke i nije je natjerao da čeka ni sekunde, stavio je na nju naredbu na crvenoj vrpci. Napoleon je, ne gledajući, stisnuo dva prsta. Red se našao između njih. Napoleon je prišao Lazarevu, koji je, kolutajući očima, tvrdoglavo nastavio da gleda samo u svog suverena, i osvrnuo se na cara Aleksandra, pokazujući time da ono što sada radi, radi za svog saveznika. Mala bela ručica sa naređenjem dodirnula je dugme vojnika Lazareva. Kao da je Napoleon znao da je, da bi ovaj vojnik zauvek bio srećan, nagrađen i odlikovan od svih na svetu, trebalo samo da on, Napoleonova ruka, bude dostojan da dotakne prsa vojnika. Napoleon je samo stavio krst na Lazareva grudi i, pustivši mu ruku, okrenuo se ka Aleksandru, kao da je znao da krst treba da se zalepi za Lazareva prsa. Krst se zaista zaglavio.