Izrada matematičkih modela. Matematički model u praksi Koje vrste matematičkih modela koriste algoritme

Matematičko modeliranje

1. Šta je matematičko modeliranje?

Od sredine 20. veka. Matematičke metode i kompjuteri počeli su da se široko koriste u različitim oblastima ljudske delatnosti. Pojavile su se nove discipline kao što su „matematička ekonomija”, „matematička hemija”, „matematička lingvistika” itd., koje proučavaju matematičke modele relevantnih objekata i pojava, kao i metode za proučavanje ovih modela.

Matematički model je približan opis bilo koje klase pojava ili objekata stvarnog svijeta na jeziku matematike. Glavna svrha modeliranja je istraživanje ovih objekata i predviđanje rezultata budućih promatranja. Međutim, modeliranje je i metoda razumijevanja svijeta oko nas, omogućavajući njegovu kontrolu.

Matematičko modeliranje i povezani kompjuterski eksperimenti su neophodni u slučajevima kada je eksperiment u punoj veličini nemoguć ili težak iz ovog ili onog razloga. Na primjer, nemoguće je postaviti prirodni eksperiment u historiji kako bi se provjerilo “šta bi se dogodilo da...” Nemoguće je provjeriti ispravnost jedne ili druge kosmološke teorije. Moguće je, ali teško da je mudro, eksperimentirati sa širenjem bolesti, kao što je kuga, ili izvesti nuklearnu eksploziju kako bi se proučile njene posljedice. Međutim, sve se to može uraditi na kompjuteru tako što se prvo konstruišu matematički modeli fenomena koji se proučavaju.

2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1) Izgradnja modela. U ovoj fazi precizira se određeni „nematematički” objekt - prirodni fenomen, dizajn, ekonomski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, po pravilu, jasan opis situacije je težak. Prvo se identifikuju glavne karakteristike fenomena i veze između njih na kvalitativnom nivou. Zatim se pronađene kvalitativne zavisnosti formulišu jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteža faza modeliranja.

2) Rješavanje matematičkog problema do kojeg vodi model. U ovoj fazi se velika pažnja poklanja razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računaru, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći sa potrebnom tačnošću iu prihvatljivom vremenu.

3) Interpretacija dobijenih posledica iz matematičkog modela. Posljedice izvedene iz modela na jeziku matematike tumače se jezikom prihvaćenim u ovoj oblasti.

4) Provjera adekvatnosti modela. U ovoj fazi se utvrđuje da li se eksperimentalni rezultati slažu s teorijskim posljedicama modela u određenoj preciznosti.

5) Modifikacija modela. U ovoj fazi ili se model komplikuje kako bi bio adekvatniji realnosti, ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.

3. Klasifikacija modela

Modeli se mogu klasifikovati prema različitim kriterijumima. Na primjer, prema prirodi problema koji se rješavaju, modeli se mogu podijeliti na funkcionalne i strukturalne. U prvom slučaju, kvantitativno se izražavaju sve veličine koje karakteriziraju pojavu ili predmet. U ovom slučaju, neke od njih se smatraju nezavisnim varijablama, dok se druge smatraju funkcijama ovih veličina. Matematički model je obično sistem jednačina različitih tipova (diferencijalni, algebarski, itd.) koji uspostavljaju kvantitativne odnose između veličina koje se razmatraju. U drugom slučaju, model karakterizira strukturu složenog objekta koji se sastoji od pojedinačnih dijelova, između kojih postoje određene veze. Obično se ove veze ne mogu kvantificirati. Za konstruiranje takvih modela zgodno je koristiti teoriju grafova. Graf je matematički objekat koji predstavlja skup tačaka (vrhova) na ravni ili u prostoru, od kojih su neke povezane linijama (ivicama).

Na osnovu prirode početnih podataka i rezultata, predviđanja modela se mogu podijeliti na deterministička i vjerovatno-statistička. Modeli prvog tipa daju određena, nedvosmislena predviđanja. Modeli drugog tipa zasnivaju se na statističkim informacijama, a predviđanja dobijena uz njihovu pomoć su vjerovatnoće.

4. Primjeri matematičkih modela

1) Problemi oko kretanja projektila.

Razmotrite sljedeći problem mehanike.

Projektil je lansiran sa Zemlje početnom brzinom v 0 = 30 m/s pod uglom a = 45° prema njenoj površini; potrebno je pronaći putanju njegovog kretanja i udaljenost S između početne i krajnje tačke ove putanje.

Zatim, kao što je poznato iz školskog kursa fizike, kretanje projektila opisuje se formulama:

gdje je t vrijeme, g = 10 m/s 2 je ubrzanje gravitacije. Ove formule daju matematički model problema. Izražavajući t kroz x iz prve jednačine i zamjenom je u drugu, dobijamo jednačinu za putanju projektila:

Ova kriva (parabola) siječe x os u dvije tačke: x 1 = 0 (početak putanje) i (mesto gde je projektil pao). Zamjenom datih vrijednosti v0 i a u rezultirajuće formule, dobijamo

odgovor: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Imajte na umu da su prilikom konstruiranja ovog modela korištene brojne pretpostavke: na primjer, pretpostavlja se da je Zemlja ravna, a zrak i rotacija Zemlje ne utiču na kretanje projektila.

2) Problem sa rezervoarom sa najmanjom površinom.

Potrebno je pronaći visinu h 0 i poluprečnik r 0 limenog rezervoara zapremine V = 30 m 3, koji ima oblik zatvorenog kružnog cilindra, pri čemu je njegova površina S minimalna (u ovom slučaju najmanja količina kalaja će se koristiti za njegovu proizvodnju).

Napišimo sljedeće formule za volumen i površinu cilindra visine h i polumjera r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Izražavajući h kroz r i V iz prve formule i zamjenom rezultirajućeg izraza u drugu, dobivamo:

Dakle, sa matematičke tačke gledišta, problem se svodi na određivanje vrijednosti r pri kojoj funkcija S(r) dostiže svoj minimum. Nađimo one vrijednosti r 0 za koje je izvod

ide na nulu: Možete provjeriti da li drugi izvod funkcije S(r) mijenja predznak iz minusa u plus kada argument r prolazi kroz tačku r 0 . Prema tome, u tački r0 funkcija S(r) ima minimum. Odgovarajuća vrijednost je h 0 = 2r 0 . Zamjenom date vrijednosti V u izraz za r 0 i h 0 dobijamo željeni polumjer i visina

3) Transportni problem.

Grad ima dva magacina brašna i dvije pekare. Dnevno se iz prvog skladišta transportuje 50 tona brašna, a iz drugog u fabrike 70 tona, od čega 40 tona u prvo i 80 tona u drugo.

Označimo sa a ij je trošak transporta 1 tone brašna od i-og skladišta do j-tog pogona (i, j = 1,2). Neka

a 11 = 1,2 rublje, a 12 = 1,6 rubalja, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rub.

Kako planirati transport da bi njegov trošak bio minimalan?

Dajmo problem matematičkoj formulaciji. Označimo sa x 1 i x 2 količinu brašna koja se mora transportovati iz prvog skladišta u prvu i drugu fabriku, a sa x 3 i x 4 - iz drugog skladišta u prvu i drugu fabriku. onda:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Ukupni trošak cjelokupnog transporta određuje se formulom

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

Sa matematičke tačke gledišta, problem je pronaći četiri broja x 1, x 2, x 3 i x 4 koji zadovoljavaju sve date uslove i daju minimum funkcije f. Rešimo sistem jednačina (1) za xi (i = 1, 2, 3, 4) eliminacijom nepoznanica. Shvatili smo to

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

i x 4 se ne može odrediti jednoznačno. Kako je x i í 0 (i = 1, 2, 3, 4), iz jednačina (2) slijedi da je 30J x 4 J 70. Zamjenom izraza za x 1, x 2, x 3 u formulu za f dobijamo

f = 148 – 0,2x 4.

Lako je vidjeti da se minimum ove funkcije postiže pri maksimalnoj mogućoj vrijednosti x 4, odnosno pri x 4 = 70. Odgovarajuće vrijednosti ostalih nepoznanica određene su formulama (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problem radioaktivnog raspada.

Neka je N(0) početni broj atoma radioaktivne supstance, a N(t) broj neraspadnutih atoma u trenutku t. Eksperimentalno je utvrđeno da je brzina promjene broja ovih atoma N"(t) proporcionalna N(t), odnosno N"(t)=–l N(t), l >0 je konstanta radioaktivnosti date supstance. U školskom kursu matematičke analize pokazano je da rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima oblik N(t) = N(0)e –l t. Vrijeme T tokom kojeg se broj početnih atoma prepolovio naziva se poluživotom i važna je karakteristika radioaktivnosti tvari. Da bismo odredili T, moramo unijeti formulu Onda Na primjer, za radon l = 2,084 · 10 –6, pa prema tome T = 3,15 dana.

5) Problem trgovačkog putnika.

Prodavac koji živi u gradu A 1 treba da posjeti gradove A 2 , A 3 i A 4 , svaki grad tačno jednom, a zatim se vrati nazad u A 1 . Poznato je da su svi gradovi povezani u parove putevima, a dužine puteva b ij između gradova A i i A j (i, j = 1, 2, 3, 4) su sljedeće:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Potrebno je odrediti redoslijed obilaska gradova u kojima je dužina odgovarajućeg puta minimalna.

Opišimo svaki grad kao tačku na ravni i označimo ga odgovarajućom oznakom Ai (i = 1, 2, 3, 4). Povežimo ove tačke pravim linijama: one će predstavljati puteve između gradova. Za svaki „put“ označavamo njegovu dužinu u kilometrima (slika 2). Rezultat je graf - matematički objekat koji se sastoji od određenog skupa tačaka na ravni (koji se nazivaju vrhovi) i određenog skupa linija koje povezuju ove tačke (zvane ivice). Štaviše, ovaj graf je označen, pošto su njegovim vrhovima i ivicama dodeljene neke oznake - brojevi (idovi) ili simboli (vertices). Ciklus na grafu je niz vrhova V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 tako da su vrhovi V 1 , ..., V k različiti, a bilo koji par vrhova V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) i par V 1, V k povezani su ivicom. Dakle, problem koji se razmatra je pronaći ciklus na grafu koji prolazi kroz sva četiri vrha za koji je zbir svih težina ivica minimalan. Hajde da pretražimo sve različite cikluse koji prolaze kroz četiri vrha i počinju od A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Nađimo sada dužine ovih ciklusa (u km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Dakle, ruta najkraće dužine je prva.

Imajte na umu da ako postoji n vrhova u grafu i svi vrhovi su povezani u parovima ivicama (takav graf se naziva kompletnim), tada je broj ciklusa koji prolaze kroz sve vrhove Dakle, u našem slučaju postoje tačno tri ciklusa.

6) Problem nalaženja veze između strukture i svojstava supstanci.

Pogledajmo nekoliko hemijskih jedinjenja zvanih normalni alkani. Sastoje se od n atoma ugljika i n + 2 atoma vodika (n = 1, 2 ...), međusobno povezanih kao što je prikazano na slici 3 za n = 3. Neka su poznate eksperimentalne vrijednosti tačaka ključanja ovih jedinjenja:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Potrebno je pronaći približan odnos između tačke ključanja i broja n za ova jedinjenja. Pretpostavimo da ova zavisnost ima oblik

y" a n+b,

Gdje a, b - konstante koje treba odrediti. Naći a i b u ovu formulu zamjenjujemo redom n = 3, 4, 5, 6 i odgovarajuće vrijednosti tačaka ključanja. Imamo:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Da odredimo najbolje a i b postoji mnogo različitih metoda. Koristimo najjednostavniji od njih. Izrazimo b kroz a iz ovih jednačina:

b » – 42 – 3 a, b " – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Uzmimo aritmetičku sredinu ovih vrijednosti kao željeni b, odnosno stavimo b » 16 – 4,5 a. Zamenimo ovu vrednost b u originalni sistem jednačina i, računajući a, dobijamo za a sljedeće vrijednosti: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36. Uzmimo kao traženo a prosječnu vrijednost ovih brojeva, tj. stavimo a" 34. Dakle, tražena jednačina ima oblik

y » 34n – 139.

Provjerimo tačnost modela na originalna četiri spoja, za koje izračunavamo tačke ključanja koristeći rezultirajuću formulu:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Dakle, greška u izračunavanju ove osobine za ova jedinjenja ne prelazi 5°. Dobivenu jednačinu koristimo za izračunavanje tačke ključanja jedinjenja sa n = 7, koje nije uključeno u originalni skup, za koji u ovu jednačinu zamenjujemo n = 7: y r (7) = 99°. Rezultat je bio prilično tačan: poznato je da je eksperimentalna vrijednost tačke ključanja y e (7) = 98°.

7) Problem određivanja pouzdanosti električnog kola.

Ovdje ćemo pogledati primjer probabilističkog modela. Prvo, predstavljamo neke informacije iz teorije vjerovatnoće - matematičke discipline koja proučava obrasce slučajnih pojava uočenih tokom višestrukog ponavljanja eksperimenata. Nazovimo slučajni događaj A mogućim ishodom nekog eksperimenta. Događaji A 1, ..., A k čine kompletnu grupu ako se jedan od njih nužno javlja kao rezultat eksperimenta. Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu dogoditi istovremeno u jednom iskustvu. Neka se događaj A dogodi m puta tokom n-strukog ponavljanja eksperimenta. Učestalost događaja A je broj W = . Očigledno, vrijednost W se ne može precizno predvidjeti dok se ne izvede serija od n eksperimenata. Međutim, priroda slučajnih događaja je takva da se u praksi ponekad uočava sljedeći efekat: kako se broj eksperimenata povećava, vrijednost praktično prestaje biti slučajna i stabilizuje se oko nekog neslučajnog broja P(A), koji se naziva vjerovatnoća događaj A. Za nemoguć događaj (koji se nikada ne dešava u eksperimentu) P(A)=0, a za pouzdan događaj (koji se uvek dešava u iskustvu) P(A)=1. Ako događaji A 1 , ..., A k čine kompletnu grupu nekompatibilnih događaja, tada je P(A 1)+...+P(A k)=1.

Neka se, na primjer, eksperiment sastoji od bacanja kocke i promatranja broja izbačenih bodova X. Tada možemo uvesti sljedeće slučajne događaje A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Oni. čine kompletnu grupu nekompatibilnih jednako verovatnih događaja, stoga P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Zbir događaja A i B je događaj A + B, koji se sastoji u činjenici da se barem jedan od njih javlja u iskustvu. Proizvod događaja A i B je događaj AB, koji se sastoji od istovremene pojave ovih događaja. Za nezavisne događaje A i B, istinite su sljedeće formule:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Razmotrimo sada sljedeće zadatak. Pretpostavimo da su tri elementa povezana u seriju u električni krug i rade nezavisno jedan od drugog. Vjerovatnoće kvara 1., 2. i 3. elementa su redom jednake P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Kolo ćemo smatrati pouzdanim ako je vjerovatnoća da u kolu neće biti struje veća od 0,4. Potrebno je utvrditi da li je dato kolo pouzdano.

Budući da su elementi povezani serijski, neće biti struje u kolu (događaj A) ako barem jedan od elemenata pokvari. Neka je A i događaj da i-ti element radi (i = 1, 2, 3). Tada je P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Očigledno, A 1 A 2 A 3 je događaj u kojem sva tri elementa rade istovremeno, i

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Tada je P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, pa je P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

U zaključku, napominjemo da su dati primjeri matematičkih modela (uključujući funkcionalne i strukturne, determinističke i probabilističke) ilustrativne prirode i, očigledno, ne iscrpljuju raznolikost matematičkih modela koji se javljaju u prirodnim i humanističkim naukama.

Šta je matematički model?

Koncept matematičkog modela.

Matematički model je vrlo jednostavan koncept. I veoma važno. Matematički modeli su ti koji povezuju matematiku i stvarni život.

jednostavnim riječima, matematički model je matematički opis bilo koje situacije. To je sve. Model može biti primitivan, ili može biti super složen. Kakva god da je situacija, takav je model.)

U bilo kom (ponavljam - u bilo kom!) u slučaju kada treba nešto prebrojati i izračunati - bavimo se matematičkim modeliranjem. Čak i ako ne sumnjamo.)

P = 2 CB + 3 CM

Ovaj unos će biti matematički model troškova naših kupovina. Model ne uzima u obzir boju pakovanja, rok trajanja, ljubaznost blagajnika itd. Zato ona model, nije stvarna kupovina. Ali troškovi, tj. šta nam treba- Saznaćemo sigurno. Naravno, ako je model ispravan.

Korisno je zamisliti šta je matematički model, ali to nije dovoljno. Najvažnije je da budete u mogućnosti da napravite ove modele.

Izrada (konstrukcija) matematičkog modela problema.

Stvoriti matematički model znači prevesti uslove problema u matematički oblik. One. pretvoriti riječi u jednačinu, formulu, nejednakost itd. Štaviše, transformirajte ga tako da ova matematika striktno odgovara izvornom tekstu. U suprotnom, na kraju ćemo dobiti matematički model nekog drugog nama nepoznatog problema.)

Tačnije, trebate

Na svijetu postoji beskrajan broj zadataka. Stoga ponudite jasne upute korak po korak za izradu matematičkog modela bilo koji zadaci su nemogući.

Ali postoje tri glavne tačke na koje morate obratiti pažnju.

1. Bilo koji problem sadrži tekst, što je čudno.) Ovaj tekst, po pravilu, sadrži eksplicitne, otvorene informacije. Brojevi, vrijednosti itd.

2. Bilo koji problem ima skrivene informacije. Ovo je tekst koji pretpostavlja dodatno znanje u vašoj glavi. Bez njih - ništa. Osim toga, matematičke informacije su često skrivene iza jednostavnih riječi i... izmiču pažnji.

3. Svaki zadatak se mora dati međusobno povezivanje podataka. Ova veza može biti data u običnom tekstu (nešto je jednako nečemu), ili može biti skrivena iza jednostavnih riječi. Ali jednostavne i jasne činjenice se često zanemaruju. A model nije sastavljen ni na koji način.

Odmah ću reći: da biste primijenili ove tri tačke, morate pročitati problem (i pažljivo!) nekoliko puta. Uobičajena stvar.

A sada - primjeri.

Počnimo s jednostavnim problemom:

Petrović se vratio sa pecanja i ponosno predstavio svoj ulov porodici. Pažljivijim ispitivanjem ispostavilo se da je 8 riba došlo iz sjevernih mora, 20% svih riba je došlo iz južnih mora, a nijedna nije došla iz lokalne rijeke u kojoj je Petrović lovio. Koliko ribe je Petrović kupio u prodavnici morskih plodova?

Sve ove riječi treba pretvoriti u neku vrstu jednačine. Da biste to uradili trebate, ponavljam, uspostaviti matematičku vezu između svih podataka u problemu.

Gdje početi? Prvo, izdvojimo sve podatke iz zadatka. Počnimo redom:

Obratimo pažnju na prvu tačku.

Koji je ovde? eksplicitno matematičke informacije? 8 riba i 20%. Ne puno, ali nam ne treba puno.)

Obratimo pažnju na drugu tačku.

Tražite skriveno informacije. Ovdje je. ovo su riječi: „20% sve ribe". Ovdje treba shvatiti koji su procenti i kako se računaju. Inače se problem ne može riješiti. Upravo to je dodatna informacija koja bi vam trebala biti u glavi.

Tu je i matematički informacije koje su potpuno nevidljive. Ovo pitanje zadatka: "Koliko sam ribe kupio..." Ovo je takođe broj. A bez toga se neće formirati nijedan model. Stoga, označimo ovaj broj slovom "X". Još ne znamo čemu je x jednako, ali će nam ova oznaka biti vrlo korisna. Više detalja o tome šta treba poduzeti za X i kako se nositi s tim napisano je u lekciji Kako rješavati zadatke iz matematike? Zapišimo to odmah:

x komada - ukupan broj riba.

U našem problemu južne ribe su date u procentima. Moramo ih pretvoriti u komade. Za što? Šta onda unutra bilo koji problem modela mora biti nacrtan u istoj vrsti količina. Komadi - tako da je sve u komadima. Ako se daju, recimo, sati i minute, sve prevodimo u jednu stvar - ili samo sate, ili samo minute. Nije bitno šta je. Važno je da sve vrijednosti su bile istog tipa.

Vratimo se na otkrivanje informacija. Ko ne zna koliki je postotak, nikada to neće otkriti, da... Ali ko zna, odmah će reći da se ovdje procenti baziraju na ukupnom broju riba. Ali ovaj broj ne znamo. Ništa neće raditi!

Nije uzalud ukupan broj ribe (u komadima!) "X" određen. Južne ribe neće biti moguće prebrojati u komadima, ali možemo ih zapisati? Volim ovo:

0,2 x komada - broj riba iz južnih mora.

Sada smo preuzeli sve informacije iz zadatka. I očigledne i skrivene.

Obratimo pažnju na treću tačku.

Tražite matematička veza između podataka zadatka. Ova veza je toliko jednostavna da je mnogi ne primjećuju... Ovo se često dešava. Ovdje je korisno jednostavno zapisati prikupljene podatke na hrpu i vidjeti šta je šta.

šta imamo? Jedi 8 komada sjeverne ribe, 0,2 x komada- južna riba i x riba- ukupan iznos. Da li je moguće nekako povezati ove podatke? Yes Easy! Ukupan broj riba jednaki zbir južnog i severnog! Pa ko bi rekao...) Pa zapisujemo:

x = 8 + 0,2x

Ovo je jednadžba matematički model našeg problema.

Imajte na umu da u ovom problemu Od nas se ne traži ništa da preklopimo! Mi smo sami, van glave, shvatili da će nam zbir južne i sjeverne ribe dati ukupan broj. Stvar je toliko očigledna da ostaje neprimećena. Ali bez ovog dokaza, matematički model se ne može stvoriti. Volim ovo.

Sada možete koristiti punu snagu matematike da riješite ovu jednačinu). Upravo zbog toga je sastavljen matematički model. Rješavamo ovu linearnu jednačinu i dobijamo odgovor.

odgovor: x=10

Hajde da napravimo matematički model drugog problema:

Pitali su Petrovića: "Imaš li puno novca?" Petrović je počeo da plače i odgovorio: „Da, samo malo ako potrošim polovinu novca, a polovinu ostatka, ostaće mi samo jedna vreća novca...“ Koliko novca ima?

Opet radimo tačku po tačku.

1. Tražimo eksplicitne informacije. Nećete ga odmah pronaći! Eksplicitna informacija je jedan torba za novac. Ima još nekih polovina... Pa, to ćemo pogledati u drugoj tački.

2. Tražimo skrivene informacije. Ovo su polovice. Šta? Nije baš jasno. Tražimo dalje. Postoji još jedno pitanje za zadatak: "Koliko novca ima Petrović?" Označimo iznos novca slovom "X":

X- sav novac

I ponovo čitamo problem. Već znam da je Petrović X novac. Ovdje će polovice raditi! Zapisujemo:

0,5 x- pola novca.

Ostatak će također biti polovina, tj. 0,5 x. A pola pola se može napisati ovako:

0,5 0,5 x = 0,25x- polovina ostatka.

Sada su sve skrivene informacije otkrivene i snimljene.

3. Tražimo vezu između snimljenih podataka. Ovdje možete jednostavno pročitati Petrovičevu patnju i zapisati je matematički):

Ako potrošim pola novca...

Snimimo ovaj proces. Sav novac - X. pola - 0,5 x. Potrošiti znači oduzeti. Fraza se pretvara u snimak:

x - 0,5 x

da pola ostalo...

Oduzmimo drugu polovinu ostatka:

x - 0,5 x - 0,25x

onda će mi ostati samo jedna vreća novca...

I tu smo našli jednakost! Nakon svih oduzimanja ostaje jedna vreća novca:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Evo ga, matematički model! Ovo je opet linearna jednadžba, riješimo je, dobijemo:

Pitanje za razmatranje. Šta je četiri? Rublja, dolar, juan? I u kojim jedinicama je novac napisan u našem matematičkom modelu? U vrećama! To znači četiri torba novac od Petroviča. Dobro, također.)

Zadaci su, naravno, elementarni. Ovo je posebno da bi se uhvatila suština izrade matematičkog modela. Neki zadaci mogu sadržavati mnogo više podataka u kojima se može lako izgubiti. To se često dešava u tzv. zadaci kompetencije. Kako izdvojiti matematički sadržaj iz gomile riječi i brojeva prikazano je na primjerima

Još jedna napomena. U klasičnim školskim problemima (cijevi pune bazen, čamci koji negdje plutaju, itd.), svi podaci se po pravilu biraju vrlo pažljivo. Postoje dva pravila:
- ima dovoljno informacija u problemu da ga se riješi,
- U problemu nema nepotrebnih informacija.

Ovo je nagoveštaj. Ako je neka vrijednost ostala neiskorištena u matematičkom modelu, razmislite da li postoji greška. Ako nema dovoljno podataka, najvjerovatnije nisu sve skrivene informacije identificirane i zabilježene.

U poslovima vezanim za kompetencije i drugim životnim zadacima ova pravila se ne poštuju striktno. Nema pojma. Ali i takvi problemi se mogu riješiti. Ako, naravno, vježbate na klasičnim.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: "model (latinski modul - mjera) je zamjenski objekt za originalni objekt, koji osigurava proučavanje nekih svojstava originala." (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta pomoću objekta modela naziva se modeliranje.” (str. 6) „Pod matematičkim modeliranjem podrazumijevamo proces uspostavljanja korespondencije datog realnog objekta sa određenim matematičkim objektom, koji se naziva matematički model, i proučavanje ovog modela, koji nam omogućava da dobijemo karakteristike realnog objekta. predmet koji se razmatra. Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta, tako i od zadataka proučavanja objekta i zahtevane pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.”

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: „Jednačina koja izražava ideju."

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se konstruiše u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija:

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mešoviti tipovi: koncentrisani u jednom pogledu (u smislu parametara), raspoređeni u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je predmet predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

• Strukturni ili funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa svojom strukturom i mehanizmom funkcionisanja. Funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo eksterno percipirano ponašanje (funkcionisanje) objekta. U svom ekstremnom izrazu, oni se nazivaju i modelima „crne kutije“ Mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju i „sivim kutijama“.

Sadržajni i formalni modeli

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja ukazuju da se prvo gradi posebna idealna struktura, tj. model sadržaja. Ovdje nema utvrđene terminologije, a drugi autori ovaj objekt nazivaju idealnim konceptualni model , spekulativni model ili premodel. U ovom slučaju se zove konačna matematička konstrukcija formalni model ili jednostavno matematički model dobijen kao rezultat formalizacije datog smislenog modela (predmodela). Konstrukcija smislenog modela može se izvršiti korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna klatna, elastični mediji, itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u oblastima znanja u kojima ne postoje potpuno završene formalizovane teorije (najbolja fizika, biologija, ekonomija, sociologija, psihologija i većina drugih oblasti), stvaranje smislenih modela postaje dramatično teže.

Sadržajna klasifikacija modela

Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je ovo vrlo jasno formulirao:

“Uvijek imamo priliku da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste iznijeli uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i ustanovili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.”

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je on privremeno prepoznat kao istina i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Tip 2: Fenomenološki model (ponašamo se kao da…)

Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne uklapa dobro sa postojećim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat i da se potraga za “pravim mehanizmima” mora nastaviti. Peierls uključuje, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica kao drugi tip.

Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, a može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postepeno doći u sukob sa modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se prevesti u drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici je nastao kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije postao prvi tip. Ali eterski modeli su prošli put od tipa 1 do tipa 2 i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje dolazi u različitim oblicima. Peierls identificira tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Tip 3: Aproksimacija (smatramo nečim vrlo velikim ili vrlo malim)

Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

Ovdje dolazi tip 8, koji je široko rasprostranjen u matematičkim modelima bioloških sistema.

Tip 8: Feature Demonstration (glavna stvar je pokazati unutrašnju konzistentnost mogućnosti)

Ovo su također misaoni eksperimenti sa imaginarnim entitetima, koji to pokazuju navodni fenomen u skladu sa osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih ovih eksperimenata je geometrija Lobačevskog (Lobačevski ju je nazvao "imaginarna geometrija"). Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela hemijskih i bioloških vibracija, autotalasa, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je zamišljen kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplaniran način, na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Primjer

Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od opruge pričvršćene na jednom kraju i mase mase m pričvršćen na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge (na primjer, kretanje se događa duž šipke). Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem x od centra tereta do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo interakciju opruge i opterećenja pomoću Hookeov zakon (F = − kx ), a zatim koristite drugi Newtonov zakon da ga izrazite u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugi derivat od x po vremenu: .

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj model se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke (o odsustvu vanjskih sila, odsustvu trenja, malenosti odstupanja, itd.), koje u stvarnosti možda neće biti ispunjene.

U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu tipa 4 pojednostavljenje(„izostavićemo neke detalje radi jasnoće“), budući da su neke bitne univerzalne karakteristike (na primjer, disipacija) izostavljene. U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, sa malim trenjem, ne previše vremena i podložan određenim drugim uslovima), takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sistem, jer odbačeni faktori imaju zanemariv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom primjene.

Međutim, prilikom usavršavanja modela, složenost njegovog matematičkog istraživanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje stvarnog sistema od složenijeg (i, formalno, „ispravnijeg“).

Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte daleko od fizike, njegov sadržajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije bi ga trebalo klasificirati kao tip 6 analogija(„uzmimo u obzir samo neke karakteristike“).

Tvrdi i mekani modeli

Harmonski oscilator je primjer takozvanog “tvrdog” modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je proučavati “meki” model koji se dobija malim perturbacijom “tvrdog”. Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

Evo neke funkcije koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog rastezanja - neki mali parametar. Eksplicitni tip funkcije f Trenutno nismo zainteresovani. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog (bez obzira na eksplicitni tip uznemirujućih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer uzimajući u obzir sistem sa proizvoljno malim trenjem (uvek prisutno u realnom sistemu), dobijamo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.

Ako sistem održava svoje kvalitativno ponašanje pod malim poremećajima, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog (nehrapavog) sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenom vremenskom periodu.

Raznovrsnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo svestranost: Fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije u nivou tekućine u U- posuda u obliku ili promjena jačine struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavanjem jednog matematičkog modela, mi odmah proučavamo čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja inspirisao Ludwiga von Bertalanffyja da stvori „Opću teoriju sistema“.

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo morate smisliti osnovni dijagram modeliranog objekta, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Tako se vagon pretvara u sistem ploča i složenijih tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednačine, a usput neki detalji se odbacuju kao nevažni, vrše se proračuni, upoređuju se sa mjerenjima, model se rafinira i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne komponente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je provesti studiju modela kako bi se izvukla korisna znanja o objektu. Koje će statičko opterećenje most izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog problema. Postavljanje pravog direktnog problema (postavljanje pravog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postavljaju prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. u Engleskoj srušio metalni most preko rijeke Tay, čiji su projektanti napravili model mosta, izračunali da ima 20-struki sigurnosni faktor za djelovanje korisnog tereta, ali su stalno zaboravili na vjetrove. duva na tim mestima. I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Inverzni problem: poznato je mnogo mogućih modela, mora se odabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt ( problem dizajna). Dodatni podaci mogu stići bez obzira na proces rješavanja inverznog problema ( pasivno posmatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tokom rješenja ( aktivni nadzor).

Jedan od prvih primjera majstorskog rješenja inverznog problema uz potpunu upotrebu dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

Dodatni primjeri

Gdje x s- „ravnotežna“ veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti x s, i ovo ponašanje je strukturno stabilno.

Ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama harmonijskog oscilatora. Kao i kod harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije u brojevima će izumrijeti. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Volterra-Lotka model ne daje odgovor na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Bilješke

1. "Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. . - 2. izd., prerađeno - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Vikirječnik: matematički model
7. CliffsNotes
8. Model redukcije i pristupi grubog zrnatosti za fenomene više razmjera, Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
9. “Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom u zavisnosti od vrste matematičkog aparata – linearnog ili nelinearnog – i kakve matematičke modele koristi – linearne ili nelinearne. ...ne poričući ovo drugo. Savremeni fizičar, kada bi morao ponovo da kreira definiciju tako važnog entiteta kao što je nelinearnost, najverovatnije bi delovao drugačije i, dajući prednost nelinearnosti kao važnijoj i raširenoj od dve suprotnosti, definisao bi linearnost kao „nelinearnost“. nelinearnost.” Danilov Yu A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Serija "Sinergetika: od prošlosti do budućnosti." Izdanje 2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
10. „Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se koncentrisanim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su parcijalne diferencijalne jednačine, integralne jednačine ili obične jednačine kašnjenja. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka.” Anishchenko V. S., Dinamički sistemi, Soros obrazovni časopis, 1997, br. 11, str. 77-84.
11. “U zavisnosti od prirode procesa koji se proučavaju u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje odražava determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. ... Statičko modeliranje služi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, a dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje se koristi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno kontinuirano modeliranje nam omogućava da reflektujemo kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve kada se želi istaći prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
12. Tipično, matematički model odražava strukturu (uređaj) modeliranog objekta, svojstva i odnose komponenti ovog objekta koji su bitni za potrebe istraživanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnim ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
13. „Očigledna, ali najvažnija početna faza konstruisanja ili odabira matematičkog modela je dobijanje što jasnije slike o objektu koji se modelira i usavršavanje njegovog smislenog modela, na osnovu neformalnih diskusija. U ovoj fazi ne biste trebali štedjeti vrijeme i trud; Desilo se više puta da se značajan rad utrošen na rješavanje matematičkog problema pokazao nedjelotvornim ili čak uzaludan zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari.” Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
14. « Opis konceptualnog modela sistema. U ovoj podfazi izgradnje modela sistema: a) konceptualni model M se opisuje apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela je dat koristeći standardne matematičke šeme; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) izbor postupka za aproksimaciju stvarnih procesa prilikom konstruisanja modela je opravdan.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
15. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Primijenjena matematika: Predmet, logika, karakteristike pristupa. Sa primjerima iz mehanike: Udžbenik. - 3. izd., rev. i dodatne - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, Poglavlje 2.

Predavanje 1.

METODOLOŠKE OSNOVE MODELIRANJA

Trenutno stanje problema modeliranja sistema

Koncepti modeliranja i simulacije

Modeliranje može se smatrati zamjenom predmeta proučavanja (originala) njegovom konvencionalnom slikom, opisom ili drugim objektom tzv. model i pružanje ponašanja bliskog originalu u okviru određenih pretpostavki i prihvatljivih grešaka. Modeliranje se obično izvodi s ciljem razumijevanja svojstava originala proučavanjem njegovog modela, a ne samog objekta. Naravno, modeliranje je opravdano kada je jednostavnije od stvaranja samog originala, ili kada je iz nekog razloga bolje uopće ne stvarati original.

Ispod model se podrazumijeva kao fizički ili apstraktni objekt čija su svojstva u određenom smislu slična svojstvima predmeta koji se proučava. U ovom slučaju zahtjevi za modelom su određeni problemom koji se rješava i raspoloživim sredstvima. Postoji nekoliko općih zahtjeva za modele:

2) potpunost – pružanje svih potrebnih informacija primaocu

o objektu;

3) fleksibilnost – sposobnost reprodukcije različitih situacija u svemu

raspon promjena uslova i parametara;

4) složenost razvoja mora biti prihvatljiva za postojeće

vremena i softvera.

Modeliranje je proces konstruisanja modela objekta i proučavanja njegovih svojstava ispitivanjem modela.

Dakle, modeliranje uključuje 2 glavne faze:

1) razvoj modela;

2) proučavanje modela i izvođenje zaključaka.

Istovremeno se u svakoj fazi rješavaju različiti zadaci i

suštinski različite metode i sredstva.

U praksi se koriste različite metode modeliranja. Ovisno o načinu implementacije, svi modeli se mogu podijeliti u dvije velike klase: fizičke i matematičke.

Matematičko modeliranje Obično se smatra sredstvom za proučavanje procesa ili pojava koristeći njihove matematičke modele.

Ispod fizičko modeliranje odnosi se na proučavanje objekata i pojava na fizičkim modelima, kada se proces koji se proučava reproducira uz očuvanje njegove fizičke prirode ili se koristi drugi fizički fenomen sličan onom koji se proučava. Gde fizički modeli Po pravilu, oni pretpostavljaju stvarno oličenje onih fizičkih svojstava originala koja su značajna u određenoj situaciji. Prilikom planiranja razvoja, arhitekti izrađuju model koji odražava prostorni raspored njegovih elemenata. U tom smislu se naziva i fizičko modeliranje izrada prototipa.

Modeliranje poluživota je studija upravljivih sistema na modeliranju kompleksa uz uključivanje stvarne opreme u model. Zatvoreni model, pored realne opreme, uključuje simulatore uticaja i smetnji, matematičke modele spoljašnjeg okruženja i procesa za koje nije poznat dovoljno tačan matematički opis. Uključivanje stvarne opreme ili realnih sistema u krug modeliranja složenih procesa omogućava smanjenje apriorne nesigurnosti i istraživanje procesa za koje ne postoji tačan matematički opis. Koristeći poluprirodno modeliranje, istraživanje se provodi uzimajući u obzir male vremenske konstante i linearnosti svojstvene stvarnoj opremi. Prilikom proučavanja modela koristeći stvarnu opremu, koristi se koncept dinamička simulacija, prilikom proučavanja složenih sistema i pojava - evolucijski, imitacija I kibernetičko modeliranje.

Očigledno, stvarna korist od modeliranja može se postići samo ako su ispunjena dva uslova:

1) model daje ispravan (adekvatan) prikaz svojstava

original, značajan sa stanovišta operacije koja se proučava;

2) model vam omogućava da eliminišete probleme navedene iznad inherentne

vršenje istraživanja na stvarnim objektima.

2. Osnovni koncepti matematičkog modeliranja

Rješavanje praktičnih zadataka matematičkim metodama dosljedno se provodi formulisanjem problema (razvijanjem matematičkog modela), odabirom metode za proučavanje rezultirajućeg matematičkog modela i analizom dobivenog matematičkog rezultata. Matematička formulacija problema obično se predstavlja u obliku geometrijskih slika, funkcija, sistema jednačina itd. Opis objekta (fenomena) može se predstaviti pomoću kontinuiranih ili diskretnih, determinističkih ili stohastičkih i drugih matematičkih oblika.

Teorija matematičkog modeliranja osigurava identifikaciju obrazaca pojavljivanja različitih pojava u okolnom svijetu ili rada sistema i uređaja putem njihovog matematičkog opisa i modeliranja bez izvođenja testova u punoj mjeri. U ovom slučaju se koriste odredbe i zakoni matematike koji opisuju simulirane pojave, sisteme ili uređaje na nekom nivou njihove idealizacije.

matematički model (MM) je formalizirani opis sistema (ili operacije) u nekom apstraktnom jeziku, na primjer, u obliku skupa matematičkih odnosa ili dijagrama algoritma, tj. tj. takav matematički opis koji pruža simulaciju rada sistema ili uređaja na nivou koji je dovoljno blizak njihovom stvarnom ponašanju dobijenom tokom testiranja sistema ili uređaja u punoj mjeri.

Svaki MM opisuje stvarni predmet, pojavu ili proces sa određenim stepenom aproksimacije stvarnosti. Tip MM zavisi kako od prirode stvarnog objekta tako i od ciljeva studije.

Matematičko modeliranje društvenih, ekonomskih, bioloških i fizičkih pojava, objekata, sistema i raznih uređaja jedno je od najvažnijih sredstava razumijevanja prirode i dizajniranja širokog spektra sistema i uređaja. Poznati su primjeri efikasne upotrebe modeliranja u stvaranju nuklearnih tehnologija, zrakoplovnih i svemirskih sistema, u predviđanju atmosferskih i okeanskih pojava, vremena itd.

Međutim, tako ozbiljne oblasti modeliranja često zahtijevaju superkompjutere i godine rada velikih timova naučnika na pripremi podataka za modeliranje i njihovo otklanjanje grešaka. Međutim, u ovom slučaju, matematičko modeliranje složenih sistema i uređaja ne samo da štedi novac na istraživanju i testiranju, već može i eliminirati ekološke katastrofe - na primjer, omogućava vam da odustanete od testiranja nuklearnog i termonuklearnog oružja u korist njihovog matematičkog modeliranja. ili testiranje vazduhoplovnih sistema pre njihovih stvarnih letova. Između Stoga je matematičko modeliranje na nivou rešavanja jednostavnijih problema, na primer, iz oblasti mehanike, elektrotehnike, elektronike, radiotehnike i mnogih drugih oblasti nauke i tehnologije sada postalo. dostupan za izvođenje na modernim računarima. A kada se koriste generalizirani modeli, postaje moguće simulirati prilično složene sisteme, na primjer, telekomunikacijske sustave i mreže, radarske ili radio-navigacijske sustave.

Svrha matematičkog modeliranja je analiza stvarnih procesa (u prirodi ili tehnologiji) korištenjem matematičkih metoda. Zauzvrat, ovo zahtijeva formalizaciju MM procesa koji treba proučiti. Model može biti matematički izraz koji sadrži varijable čije je ponašanje slično ponašanju realnog sistema moguće akcije dva ili više „igrača“, kao, na primjer, u teorijskim igrama; ili može predstavljati stvarne varijable međusobno povezanih dijelova operativnog sistema.

Matematičko modeliranje za proučavanje karakteristika sistema može se podeliti na analitičko, simulaciono i kombinovano. Zauzvrat, MM se dijele na simulacijske i analitičke.

Analitičko modeliranje

Za analitičko modeliranje Karakteristično je da su procesi funkcionisanja sistema zapisani u obliku određenih funkcionalnih odnosa (algebarske, diferencijalne, integralne jednačine). Analitički model se može proučavati korištenjem sljedećih metoda:

1) analitičke, kada nastoje da dobiju, u opštem obliku, eksplicitne zavisnosti za karakteristike sistema;

2) numeričke, kada nije moguće naći rešenje jednačina u opštem obliku i one se rešavaju za određene početne podatke;

3) kvalitativno, kada se u nedostatku rješenja pronađu neka njegova svojstva.

Analitički modeli se mogu dobiti samo za relativno jednostavne sisteme. Za složene sisteme često se javljaju veliki matematički problemi. Za primjenu analitičke metode ide se na značajno pojednostavljenje originalnog modela. Međutim, istraživanje korištenjem pojednostavljenog modela pomaže da se dobiju samo indikativni rezultati. Analitički modeli matematički ispravno odražavaju odnos između ulaznih i izlaznih varijabli i parametara. Ali njihova struktura ne odražava unutrašnju strukturu objekta.

Tokom analitičkog modeliranja njegovi rezultati se prikazuju u obliku analitičkih izraza. Na primjer, povezivanjem R.C.- spoj na izvor konstantnog napona E(R, C I E- komponente ovog modela), možemo napraviti analitički izraz za vremensku zavisnost napona u(t) na kondenzatoru C:

Ova linearna diferencijalna jednadžba (DE) je analitički model ovog jednostavnog linearnog kola. Njegovo analitičko rješenje, pod početnim uslovom u(0) = 0, što znači ispražnjeni kondenzator C na početku modeliranja, omogućava vam da pronađete željenu ovisnost - u obliku formule:

u(t) = E(1− exstr(- t/RC)). (2)

Međutim, čak iu ovom najjednostavnijem primjeru potrebni su određeni napori da se riješi DE (1) ili da se primijeni kompjuterski matematički sistemi(SCM) sa simboličkim proračunima – sistemi kompjuterske algebre. Za ovaj sasvim trivijalan slučaj, rješavanje problema modeliranja linearne R.C.-kolo daje analitički izraz (2) prilično općenitog oblika - pogodno je za opisivanje rada kola za bilo koju vrijednost komponenti R, C I E, i opisuje eksponencijalni naboj kondenzatora C kroz otpornik R iz izvora konstantnog napona E.

Naravno, pronalaženje analitičkih rješenja tokom analitičkog modeliranja pokazuje se izuzetno vrijednim za identifikaciju općih teorijskih obrazaca jednostavnih linearnih kola, sistema i uređaja jednadžbe stanja koje opisuju povećanje modeliranog objekta. Možete dobiti manje ili više vidljive rezultate kada modelirate objekte drugog ili trećeg reda, ali s višim redom, analitički izrazi postaju preglomazni, složeni i teško razumljivi. Na primjer, čak i jednostavno elektronsko pojačalo često sadrži desetke komponenti. Međutim, mnogi moderni SCM-ovi, na primjer, sistemi simboličke matematike Maple, Mathematica ili okolina MATLAB, sposobni su u velikoj mjeri automatizirati rješavanje složenih problema analitičkog modeliranja.

Jedna vrsta modeliranja je numeričko modeliranje, koji se sastoji u dobijanju potrebnih kvantitativnih podataka o ponašanju sistema ili uređaja bilo kojom odgovarajućom numeričkom metodom, kao što su Euler ili Runge-Kutta metode. U praksi se pokazalo da je modeliranje nelinearnih sistema i uređaja pomoću numeričkih metoda mnogo efikasnije od analitičkog modeliranja pojedinačnih privatnih linearnih kola, sistema ili uređaja. Na primjer, za rješavanje DE (1) ili DE sistema u složenijim slučajevima ne može se dobiti rješenje u analitičkom obliku, ali pomoću podataka numeričke simulacije možete dobiti prilično potpune podatke o ponašanju simuliranih sistema i uređaja, kao i kao konstruisati grafove zavisnosti koji opisuju ovo ponašanje.

Simulacijsko modeliranje

At imitacija 10 i modeliranje, algoritam koji implementira model reproducira proces funkcionisanja sistema tokom vremena. Simuliraju se elementarne pojave koje čine proces, čuvajući njihovu logičku strukturu i slijed događaja tokom vremena.

Glavna prednost simulacijskih modela u odnosu na analitičke je mogućnost rješavanja složenijih problema.

Simulacijski modeli olakšavaju uzimanje u obzir prisutnosti diskretnih ili kontinuiranih elemenata, nelinearnih karakteristika, slučajnih utjecaja, itd. Stoga se ova metoda široko koristi u fazi projektovanja složenih sistema. Glavno sredstvo implementacije simulacionog modeliranja je kompjuter, koji omogućava digitalno modeliranje sistema i signala.

S tim u vezi, definišimo izraz „ kompjutersko modeliranje“, koji se sve više koristi u literaturi. Pretpostavimo to kompjutersko modeliranje je matematičko modeliranje pomoću računarske tehnologije. U skladu s tim, tehnologija kompjuterskog modeliranja uključuje izvođenje sljedećih radnji:

1) određivanje svrhe modeliranja;

2) izrada konceptualnog modela;

3) formalizacija modela;

4) softverska implementacija modela;

5) planiranje eksperimenata modela;

6) sprovođenje eksperimentalnog plana;

7) analiza i interpretacija rezultata simulacije.

At simulacijsko modeliranje korišteni MM reproducira algoritam („logiku“) funkcionisanja sistema koji se proučava tokom vremena za različite kombinacije vrijednosti parametara sistema i vanjskog okruženja.

Primjer najjednostavnijeg analitičkog modela je jednadžba pravolinijskog ravnomjernog kretanja. Prilikom proučavanja ovakvog procesa korištenjem simulacionog modela, potrebno je primjeniti promatranje promjena na putu koji se putuje tokom vremena. Da biste napravili uspješan izbor, morate odgovoriti na dva pitanja.

Koja je svrha modeliranja?

U koju se klasu može klasificirati modelirani fenomen?

Odgovori na oba ova pitanja mogu se dobiti tokom prve dvije faze modeliranja.

Simulacijski modeli ne samo po svojstvima, već i po strukturi odgovaraju modeliranom objektu. U ovom slučaju postoji nedvosmislena i očigledna korespondencija između procesa dobijenih na modelu i procesa koji se dešavaju na objektu. Nedostatak simulacije je što je potrebno mnogo vremena da se riješi problem kako bi se postigla dobra tačnost.

Rezultati simulacionog modeliranja rada stohastičkog sistema su realizacije slučajnih varijabli ili procesa. Stoga su za pronalaženje karakteristika sistema potrebna višestruka ponavljanja i naknadna obrada podataka. Najčešće se u ovom slučaju koristi vrsta simulacije - statistički

modeliranje(ili Monte Carlo metoda), tj. reprodukcija slučajnih faktora, događaja, veličina, procesa, polja u modelima.

Na osnovu rezultata statističkog modeliranja određuju se procjene vjerovatnostnih kriterijuma kvaliteta, opštih i specifičnih, koji karakterišu funkcionisanje i efikasnost upravljanog sistema. Statističko modeliranje se široko koristi za rješavanje naučnih i primijenjenih problema u različitim oblastima nauke i tehnologije. Metode statističkog modeliranja se široko koriste u proučavanju složenih dinamičkih sistema, ocjenjivanju njihovog funkcionisanja i efikasnosti.

Završna faza statističkog modeliranja zasniva se na matematičkoj obradi dobijenih rezultata. Ovdje se koriste metode matematičke statistike (parametrijska i neparametarska procjena, testiranje hipoteza). Primjer parametarskog estimatora je srednja vrijednost uzorka mjere učinka. Među neparametarskim metodama, široko rasprostranjena histogramska metoda.

Razmatrana šema se zasniva na ponovljenim statističkim testovima sistema i metodama statistike nezavisnih slučajnih varijabli. Ova šema nije uvijek prirodna u praksi i optimalna u smislu troškova. Smanjenje vremena testiranja sistema može se postići upotrebom preciznijih metoda evaluacije. Kao što je poznato iz matematičke statistike, efektivne procjene imaju najveću tačnost za datu veličinu uzorka. Optimalno filtriranje i metoda maksimalne vjerovatnoće daju opći metod za dobivanje takvih procjena U problemima statističkog modeliranja, obrada implementacija slučajnih procesa je neophodna ne samo za analizu izlaznih procesa.

Kontrola karakteristika ulaznih slučajnih uticaja je takođe veoma važna. Kontrola se sastoji od provjere usklađenosti distribucija generiranih procesa sa datim distribucijama. Ovaj problem se često formuliše kao problem testiranja hipoteza.

Opšti trend u kompjuterskom modeliranju složenih kontrolisanih sistema je želja da se smanji vreme modeliranja, kao i da se istraživanja sprovedu u realnom vremenu. Pogodno je predstaviti računske algoritme u ponavljajućem obliku, omogućavajući njihovu implementaciju brzinom prijema trenutnih informacija.

PRINCIPI SISTEMSKOG PRISTUPA U MODELIRANJU

Osnovni principi teorije sistema

Osnovni principi teorije sistema nastali su tokom proučavanja dinamičkih sistema i njihovih funkcionalnih elemenata. Sistem se shvata kao grupa međusobno povezanih elemenata koji deluju zajedno da bi postigli unapred određeni zadatak. Analiza sistema nam omogućava da odredimo najrealnije načine za obavljanje datog zadatka, obezbeđujući maksimalno zadovoljenje navedenih zahteva.

Elementi koji čine osnovu teorije sistema ne stvaraju se hipotezama, već se otkrivaju eksperimentalno. Da bi se pristupilo izgradnji sistema potrebno je imati opšte karakteristike tehnoloških procesa. Isto važi i za principe kreiranja matematički formulisanih kriterijuma koje proces ili njegov teorijski opis mora da zadovolji. Modeliranje je jedna od najvažnijih metoda naučnog istraživanja i eksperimentiranja.

Prilikom konstruisanja modela objekata koristi se sistemski pristup, koji je metodologija za rešavanje složenih problema, koja se zasniva na posmatranju objekta kao sistema koji funkcioniše u određenom okruženju. Sistematski pristup podrazumeva otkrivanje integriteta objekta, identifikaciju i proučavanje njegove unutrašnje strukture, kao i veze sa spoljašnjim okruženjem. U ovom slučaju, objekt je predstavljen kao dio stvarnog svijeta koji je izoliran i proučavan u vezi s problemom konstruiranja modela. Osim toga, sistemski pristup uključuje konzistentan prijelaz sa opšteg na specifično, kada je cilj dizajna osnova razmatranja, a objekt se razmatra u odnosu na okruženje.

Složeni objekat se može podijeliti na podsisteme, koji su dijelovi objekta koji ispunjavaju sljedeće zahtjeve:

1) podsistem je funkcionalno nezavisan deo objekta. Povezan je sa drugim podsistemima, razmenjuje informacije i energiju sa njima;

2) za svaki podsistem mogu se definisati funkcije ili svojstva koja se ne poklapaju sa svojstvima celog sistema;

3) svaki od podsistema može biti podvrgnut daljoj podeli na nivo elemenata.

U ovom slučaju, element se shvata kao podsistem nižeg nivoa, čija je dalja podela neprikladna sa stanovišta problema koji se rešava.

Dakle, sistem se može definisati kao reprezentacija objekta u obliku skupa podsistema, elemenata i veza u cilju njegovog stvaranja, istraživanja ili poboljšanja. U ovom slučaju, prošireni prikaz sistema, uključujući glavne podsisteme i veze između njih, naziva se makrostruktura, a detaljno otkrivanje unutrašnje strukture sistema do nivoa elemenata naziva se mikrostruktura.

Uz sistem obično postoji i supersistem - sistem višeg nivoa, koji uključuje predmetni objekat, a funkcija bilo kog sistema može se odrediti samo preko supersistema.

Neophodno je istaći pojam okruženja kao skupa objekata spoljašnjeg sveta koji značajno utiču na efikasnost sistema, ali nisu deo sistema i njegovog nadsistema.

U vezi sa sistemskim pristupom građenju modela koristi se koncept infrastrukture, koji opisuje odnos sistema sa okolinom (okruženjem), u ovom slučaju, identifikaciju, opis i proučavanje svojstava objekta koja su bitna u okviru određenog zadatka naziva se stratifikacija objekta, a svaki model objekta je njegov stratifikovani opis.

Za sistemski pristup važno je odrediti strukturu sistema, tj. skup veza između elemenata sistema, koji odražava njihovu interakciju. Da bismo to učinili, prvo ćemo razmotriti strukturne i funkcionalne pristupe modeliranju.

Strukturalnim pristupom otkriva se sastav odabranih elemenata sistema i veze između njih. Skup elemenata i veza nam omogućava da prosudimo strukturu sistema. Najopštiji opis strukture je topološki opis. Omogućava vam da odredite komponente sistema i njihove veze pomoću grafova. Manje je uopšten funkcionalni opis, kada se razmatraju pojedinačne funkcije, tj. algoritmi za ponašanje sistema. U ovom slučaju se implementira funkcionalni pristup koji definira funkcije koje sistem obavlja.

Na osnovu sistemskog pristupa može se predložiti slijed razvoja modela, kada se razlikuju dvije glavne faze projektovanja: makrodizajn i mikrodizajn.

U fazi makro-dizajna izgrađuje se model eksternog okruženja, identifikuju resursi i ograničenja, bira se model sistema i kriterijumi za procenu adekvatnosti.

Faza mikro dizajna u velikoj mjeri ovisi o specifičnoj vrsti odabranog modela. Općenito, uključuje kreiranje informacionih, matematičkih, tehničkih i softverskih sistema za modeliranje. U ovoj fazi utvrđuju se glavne tehničke karakteristike kreiranog modela, procjenjuju se vrijeme potrebno za rad s njim i trošak resursa za postizanje navedenog kvaliteta modela.

Bez obzira na vrstu modela, prilikom njegove izgradnje potrebno je voditi se nizom principa sistematskog pristupa:

1) dosledno napredovanje kroz faze kreiranja modela;

2) koordinaciju informacija, resursa, pouzdanosti i drugih karakteristika;

3) ispravan odnos između različitih nivoa konstrukcije modela;

4) integritet pojedinih faza projektovanja modela.

U ovom članku nudimo primjere matematičkih modela. Pored toga, obratićemo pažnju na faze kreiranja modela i analizirati neke probleme vezane za matematičko modeliranje.

Drugo pitanje koje imamo su matematički modeli u ekonomiji, čije ćemo primjere definiciju pogledati malo kasnije. Predlažemo da započnemo naš razgovor sa samim konceptom „modela“, ukratko razmotrimo njihovu klasifikaciju i pređemo na naša glavna pitanja.

Koncept "modela"

Često čujemo riječ “model”. Šta je? Ovaj pojam ima mnogo definicija, evo samo tri od njih:

• specifičan objekat koji je kreiran za primanje i pohranjivanje informacija, koje odražavaju neka svojstva ili karakteristike, itd., originala ovog objekta (ovaj specifični objekt može se izraziti u različitim oblicima: mentalni, opis pomoću znakova i tako dalje);
• Model takođe znači predstavljanje specifične situacije, života ili upravljanja;
• model može biti umanjena kopija objekta (kreirani su za detaljnije proučavanje i analizu, budući da model odražava strukturu i odnose).

Na osnovu svega što je ranije rečeno, možemo izvući mali zaključak: model vam omogućava da detaljno proučavate složeni sistem ili objekt.

Svi modeli se mogu klasifikovati prema nizu karakteristika:

• po oblasti upotrebe (obrazovne, eksperimentalne, naučno-tehničke, igre, simulacije);
• po dinamici (statička i dinamička);
• po grani znanja (fizička, hemijska, geografska, istorijska, sociološka, ​​ekonomska, matematička);
• po načinu prezentacije (materijalno i informativno).

Informacijski modeli se, pak, dijele na simboličke i verbalne. I simbolične - na kompjuterske i neračunarske. Pređimo sada na detaljno razmatranje primjera matematičkog modela.

Matematički model

Kao što možete pretpostaviti, matematički model odražava sve karakteristike objekta ili fenomena koristeći posebne matematičke simbole. Matematika je potrebna da bi modelirala obrasce okolnog svijeta na svom specifičnom jeziku.

Metoda matematičkog modeliranja nastala je prilično davno, prije više hiljada godina, zajedno sa pojavom ove nauke. Međutim, podsticaj razvoju ove metode modeliranja dala je pojava računara (elektronskih računara).

Pređimo sada na klasifikaciju. Može se izvesti i prema nekim znakovima. Oni su predstavljeni u tabeli ispod.

Predlažemo da se zaustavimo i pobliže pogledamo najnoviju klasifikaciju, jer ona odražava opće obrasce modeliranja i ciljeve modela koji se kreiraju.

Deskriptivni modeli

U ovom poglavlju predlažemo da se detaljnije zadržimo na deskriptivnim matematičkim modelima. Da bi sve bilo vrlo jasno, dat će se primjer.

Počnimo s činjenicom da se ovaj pogled može nazvati deskriptivnim. To je zbog činjenice da jednostavno radimo kalkulacije i prognoze, ali ni na koji način ne možemo utjecati na ishod događaja.

Upečatljiv primjer deskriptivnog matematičkog modela je izračunavanje putanje leta, brzine i udaljenosti od Zemlje komete koja je napala prostranstva našeg Sunčevog sistema. Ovaj model je deskriptivan, jer nas svi dobijeni rezultati mogu samo upozoriti na bilo kakvu opasnost. Nažalost, ne možemo uticati na ishod događaja. Međutim, na osnovu dobijenih proračuna moguće je poduzeti bilo kakve mjere za očuvanje života na Zemlji.

Optimizacijski modeli

Sada ćemo malo govoriti o ekonomskim i matematičkim modelima, čiji primjeri mogu poslužiti kao različite trenutne situacije. U ovom slučaju govorimo o modelima koji pomažu u pronalaženju tačnog odgovora pod određenim uvjetima. Definitivno imaju neke parametre. Da bi bilo potpuno jasno, pogledajmo primjer iz sektora poljoprivrede.

Imamo žitnicu, ali se žito vrlo brzo pokvari. U tom slučaju moramo odabrati prave temperaturne uvjete i optimizirati proces skladištenja.

Dakle, možemo definisati koncept „optimizacionog modela“. U matematičkom smislu, to je sistem jednačina (linearnih i ne), čije rješenje pomaže u pronalaženju optimalnog rješenja u konkretnoj ekonomskoj situaciji. Pogledali smo primjer matematičkog modela (optimizacija), ali želim da dodam: ovaj tip spada u klasu ekstremnih problema, oni pomažu u opisu funkcionisanja ekonomskog sistema.

Napominjemo još jednu nijansu: modeli mogu biti različite prirode (vidi tabelu ispod).

Višekriterijumski modeli

Sada vas pozivamo da malo popričamo o matematičkom modelu višekriterijumske optimizacije. Prije toga dali smo primjer matematičkog modela za optimizaciju procesa prema bilo kojem kriteriju, ali što ako ih ima mnogo?

Upečatljiv primjer višekriterijumskog zadatka je organizacija pravilne, zdrave i istovremeno ekonomične ishrane za velike grupe ljudi. Ovakvi zadaci se često susreću u vojsci, školskim menzama, letnjim kampovima, bolnicama i tako dalje.

Koji su nam kriterijumi dati u ovom zadatku?

1. Ishrana treba da bude zdrava.
2. Troškovi hrane trebaju biti minimalni.

Kao što vidite, ovi ciljevi se uopšte ne poklapaju. To znači da je prilikom rješavanja problema potrebno tražiti optimalno rješenje, balans između dva kriterija.

Modeli igara

Kada govorimo o modelima igara, potrebno je razumjeti pojam „teorije igara“. Jednostavno rečeno, ovi modeli odražavaju matematičke modele stvarnih sukoba. Samo morate shvatiti da, za razliku od pravog sukoba, matematički model igre ima svoja specifična pravila.

Sada ćemo dati minimum informacija iz teorije igara koje će vam pomoći da shvatite šta je model igre. Dakle, model nužno sadrži stranke (dvije ili više), koje se obično nazivaju igračima.

Svi modeli imaju određene karakteristike.

Model igre može biti uparen ili višestruki. Ako imamo dva subjekta, onda je sukob uparen; Također možete razlikovati antagonističku igru, također se zove igra sa nultom sumom. Ovo je model u kojem je dobitak jednog od učesnika jednak gubitku drugog.

Simulacijski modeli

U ovom odeljku obratićemo pažnju na simulacione matematičke modele. Primjeri zadataka uključuju:

• model dinamike populacije mikroorganizama;
• model molekularnog kretanja i tako dalje.

U ovom slučaju govorimo o modelima koji su što bliže stvarnim procesima. Uglavnom, imitiraju neku manifestaciju u prirodi. U prvom slučaju, na primjer, možemo simulirati dinamiku broja mrava u jednoj koloniji. Istovremeno, možete posmatrati sudbinu svakog pojedinca. U ovom slučaju, rijetko se koristi matematički opis, češće su prisutni uslovi:

• nakon pet dana ženka polaže jaja;
• nakon dvadeset dana mrav umire i tako dalje.

Stoga se koriste za opisivanje velikog sistema. Matematički zaključak je obrada dobijenih statističkih podataka.

Zahtjevi

Vrlo je važno znati da ovaj tip modela ima neke zahtjeve, uključujući i one navedene u donjoj tabeli.

Faze modeliranja

Ukupno, matematičko modeliranje se obično dijeli u četiri faze.

1. Formulacija zakona koji povezuju dijelove modela.
2. Proučavanje matematičkih problema.
3. Utvrđivanje podudarnosti praktičnih i teorijskih rezultata.
4. Analiza i modernizacija modela.

Ekonomsko-matematički model

U ovom odjeljku ćemo ukratko istaknuti problem Primjeri zadataka uključuju:

• formiranje proizvodnog programa za proizvodnju mesnih prerađevina koji osigurava maksimalan proizvodni profit;
• maksimiziranje profita organizacije izračunavanjem optimalne količine stolova i stolica proizvedenih u fabrici namještaja, itd.

Ekonomsko-matematički model prikazuje ekonomsku apstrakciju koja se izražava matematičkim terminima i simbolima.

Računarski matematički model

Primjeri kompjuterskog matematičkog modela su:

• hidraulički problemi pomoću dijagrama toka, dijagrama, tabela, itd.;
• problemi sa mehanikom čvrstog materijala i tako dalje.

Kompjuterski model je slika objekta ili sistema, predstavljena u obliku:

• stolovi;
• blok dijagrami;
• dijagrami;
• grafike i tako dalje.

Štaviše, ovaj model odražava strukturu i međusobne veze sistema.

Izgradnja ekonomsko-matematičkog modela

Već smo govorili o tome šta je ekonomsko-matematički model. Sada ćemo razmotriti primjer rješavanja problema. Moramo analizirati proizvodni program kako bismo identifikovali rezervu za povećanje profita sa pomakom u asortimanu.

Nećemo u potpunosti razmatrati problem, već ćemo samo izgraditi ekonomski i matematički model. Kriterijum našeg zadatka je maksimizacija profita. Tada funkcija ima oblik: A=r1*h1+r2*h2..., teži maksimumu. U ovom modelu, p je profit po jedinici, a x je broj proizvedenih jedinica. Zatim, na osnovu konstruisanog modela, potrebno je izvršiti proračune i sumirati.

Primjer izgradnje jednostavnog matematičkog modela

Zadatak. Ribar se vratio sa sljedećim ulovom:

• 8 riba - stanovnici sjevernih mora;
• 20% ulova su stanovnici južnih mora;
• Iz lokalne rijeke nije pronađena nijedna riba.

Koliko je ribe kupio u radnji?

Dakle, primjer konstruiranja matematičkog modela ovog problema izgleda ovako. Ukupan broj riba označavamo sa x. Slijedeći uvjet, 0,2x je broj riba koje žive u južnim geografskim širinama. Sada kombinujemo sve dostupne informacije i dobijamo matematički model problema: x=0,2x+8. Rješavamo jednačinu i dobivamo odgovor na glavno pitanje: kupio je 10 riba u trgovini.