Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu. Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu Prosječni proporcionalni segmenti u dokazu o pravokutnom trokutu

Ciljevi lekcije:

1. uvesti pojam proporcionalne sredine (geometrijske sredine) dva segmenta;
2. razmotriti problem proporcionalnih segmenata u pravouglom trokutu: svojstvo visine pravouglog trougla povučeno iz vrha pravog ugla;
3. razvijati sposobnosti učenika da koriste proučavanu temu u procesu rješavanja problema.

Vrsta lekcije: lekcija učenja novog gradiva.

Plan:

1. Org moment.
2. Ažuriranje znanja.
3. Proučavanje svojstva visine pravouglog trougla povučenog iz vrha pravog ugla:
   - pripremna faza;
   – uvod;
   – asimilacija.
4. Uvođenje koncepta prosjeka proporcionalnog dva segmenta.
5. Ovladavanje konceptom prosječne proporcije dva segmenta.
6. Dokaz o posledicama:
   – visina pravouglog trougla povučena iz vrha pravog ugla je prosečna proporcionalna između segmenata na koje je hipotenuza podeljena ovom visinom;
   – krak pravokutnog trokuta je srednja proporcionalna između hipotenuze i segmenta hipotenuze zatvorenog između kraka i visine.
7. Rješavanje problema.
8. Rezimirajući.
9. Postavljanje domaće zadaće.

Tokom nastave

I. ORGANIZACIJSKI MOMENT

- Zdravo momci, sedite. Jesu li svi spremni za nastavu?

Počnimo sa radom.

II. ZNANJE AŽURIRANA

– Koji važan matematički koncept ste naučili na prethodnim časovima? ( sa konceptom sličnosti trokuta)

- Prisjetimo se koja se dva trougla zovu slična? (dva trokuta se nazivaju sličnima ako su im uglovi jednaki, a stranice jednog trokuta proporcionalne sličnim stranicama drugog trokuta)

– Čime dokazujemo sličnost dva trougla? (

– Formulirajte ove znakove (formulirajte tri znaka sličnosti trokuta)

III. PROUČAVANJE SVOJSTVA VISINE PRAVOUGAONOG TROKUTA, SPROVOĐENO IZ VRHA PRAVOG UGLA

a) pripremna faza

– Ljudi, pogledajte prvi slajd. ( Aplikacija) Ovdje su prikazana dva pravokutna trougla – i . i su visine i respektivno. .

Zadatak 1. a) Odredite da li su i slični.

– Čime dokazujemo sličnost trouglova? ( znakovi sličnosti trokuta)

(prvi znak, jer se u zadatku ništa ne zna o stranicama trokuta)

. (Dva para: 1. ∟B= ∟B1 (ravno), 2. ∟A= ∟A 1)

– Izvucite zaključak.( po prvom kriteriju sličnosti trokuta ~)

Zadatak 1. b) Odredite da li su i slični.

– Koji znak sličnosti ćemo koristiti i zašto? (prvi znak, jer se u zadatku ništa ne zna o stranicama trouglova)

– Koliko parova jednakih uglova treba da nađemo? Pronađite ove parove (pošto su trouglovi pravougli, dovoljan je jedan par jednakih uglova: ∟A= ∟A 1)

- Izvuci zaključak. (na osnovu prvog kriterijuma sličnosti trouglova zaključujemo da su ti trouglovi slični).

Kao rezultat razgovora, slajd 1 izgleda ovako:

b) otkriće teoreme

Zadatak 2.

– Odredite da li su i slični. Kao rezultat razgovora, grade se odgovori koji se odražavaju na slajdu.

– Slika je pokazala da . Da li smo koristili ovu mjeru stepena kada smo odgovarali na pitanja zadatka? ( Ne, nismo ga koristili)

– Ljudi, izvucite zaključak: na koje se trouglove dijeli pravougli trokut po visini povučenoj iz vrha pravog ugla? (zaključiti)

– Postavlja se pitanje: da li će ova dva pravougla trougla, na koja visina deli pravougli trougao, biti slična? Pokušajmo pronaći parove jednakih uglova.

Kao rezultat razgovora sastavlja se zapisnik:

– A sada da izvučemo potpuni zaključak.( ZAKLJUČAK: visina pravokutnog trougla povučena iz vrha pravog ugla dijeli trokut na dva dijela slično

- To. Formulirali smo i dokazali teoremu o svojstvu visine pravokutnog trokuta.

Utvrdimo strukturu teoreme i napravimo crtež. Šta je dato u teoremi, a šta treba dokazati? Učenici zapisuju u svoje sveske:

– Dokažimo prvu tačku teoreme za novi crtež. Koju ćemo značajku sličnosti koristiti i zašto? (Prvi, jer se u teoremi ništa ne zna o stranicama trokuta)

– Koliko parova jednakih uglova treba da nađemo? Pronađite ove parove. (U ovom slučaju dovoljan je jedan par: ∟A-general)

- Izvuci zaključak. Trokuti su slični. Kao rezultat, prikazan je uzorak teoreme

– Drugu i treću tačku sami napišite kod kuće.

c) savladavanje teoreme

- Dakle, ponovo formulišite teoremu (Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog ugla dijeli trokut na dva slično pravokutnih trokuta, od kojih je svaki sličan ovome)

– Koliko parova sličnih trouglova u konstrukciji „u pravouglom trouglu visina je povučena iz vrha pravog ugla“ vam omogućava da pronađete ovu teoremu? ( Tri para)

Učenici dobijaju sledeći zadatak:

IV. UVOĐENJE KONCEPTA PROSJEČNE PROPORCIONALNOSTI DVA SEGMENTA

– A sada ćemo s vama proučiti novi koncept.

Pažnja!

Definicija. Segment linije XY pozvao prosječna proporcionalna (geometrijska sredina) između segmenata AB I CD, Ako

(zapišite u svesku).

V. RAZUMIJEVANJE KONCEPTA PROSJEČNE PROPORCIONALNOSTI DVA SEGMENTA

– Pređimo sada na sljedeći slajd.

Vježba 1. Odrediti dužinu prosječnih proporcionalnih odsječaka MN i KP, ako je MN = 9 cm, KP = 16 cm.

– Šta je dato u zadatku? ( Dva segmenta i njihove dužine: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

– Šta treba da nađete? ( Dužina prosjeka proporcionalna ovim segmentima)

– Koja formula izražava proporcionalnu sredinu i kako je nalazimo?

(Zamijenite podatke u formulu i pronađite dužinu prosječnog propa.)

Zadatak br. 2. Odredite dužinu segmenta AB ako je proporcionalna sredina segmenata AB i CD 90 cm, a CD = 100 cm

– Šta je dato u zadatku? (dužina segmenta CD = 100 cm, a proporcionalni prosjek segmenata AB i CD je 90 cm)

– Šta treba naći u problemu? ( Dužina segmenta AB)

– Kako ćemo riješiti problem? (Zapišimo formulu za prosječne proporcionalne segmente AB i CD, iz nje izrazimo dužinu AB i zamijenimo podatke u zadatku.)

VI. ZAKLJUČAK IMPLIKACIJA

- Bravo momci. Vratimo se sada na sličnost trouglova, koju smo dokazali u teoremi. Ponovo iznesite teoremu. ( Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog ugla dijeli trokut na dva slično pravokutnih trougla, od kojih je svaki sličan datom)

– Prvo upotrijebimo sličnost trokuta i . Šta iz ovoga slijedi? ( Po definiciji, strane sličnosti su proporcionalne sličnim stranama)

– Koja će jednakost rezultirati korištenjem osnovnog svojstva proporcije? ()

– Izrazite CD i izvucite zaključak (;.

Zaključak: visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog ugla je prosječna proporcionalna između segmenata na koje je hipotenuza podijeljena ovom visinom)

– Sada sami dokažite da je krak pravokutnog trokuta srednja proporcionalna između hipotenuze i odsječka hipotenuze zatvorene između kateta i visine. Naći ćemo iz -... odsječaka na koje je hipotenuza podijeljena po ovoj visini )

Krak pravokutnog trougla je srednja proporcionalna između...(-...hipotenuza i segment hipotenuze zatvoren između ovog kraka i visine )

– Gdje primjenjujemo tvrdnje koje smo naučili? ( Prilikom rješavanja problema)

IX. POSTAVLJANJE DOMAĆEG ZADAĆA

d/z: br. 571, br. 572 (a, d), samostalni rad u svesci, teorija.

Test sličnosti za pravokutne trougle

Hajde da prvo uvedemo kriterijum sličnosti za pravokutne trougle.

Teorema 1

Test sličnosti za pravokutne trougle: dva pravougla trougla su slična kada svaki ima jedan jednak oštar ugao (slika 1).

Slika 1. Slični pravokutni trouglovi

Dokaz.

Neka nam je dato da je $\ugao B=\ugao B_1$. Pošto su trouglovi pravougli, onda je $\ugao A=\ugao A_1=(90)^0$. Dakle, oni su slični prema prvom kriteriju sličnosti trokuta.

Teorema je dokazana.

Teorema visine u pravokutnom trouglu

Teorema 2

Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog ugla dijeli trokut na dva slična pravokutna trougla, od kojih je svaki sličan datom trokutu.

Dokaz.

Neka nam je dat pravougli trougao $ABC$ sa pravim uglom $C$. Nacrtajmo visinu $CD$ (slika 2).

Slika 2. Ilustracija teoreme 2

Dokažimo da su trouglovi $ACD$ i $BCD$ slični trokutu $ABC$ i da su trouglovi $ACD$ i $BCD$ slični jedan drugom.

Pošto je $\ugao ADC=(90)^0$, onda je trougao $ACD$ pravougao. Trouglovi $ACD$ i $ABC$ imaju zajednički ugao $A$, pa su prema teoremi 1 trouglovi $ACD$ i $ABC$ slični.

Pošto je $\ugao BDC=(90)^0$, onda je trougao $BCD$ pravougao. Trouglovi $BCD$ i $ABC$ imaju zajednički ugao $B$, pa su prema teoremi 1 trouglovi $BCD$ i $ABC$ slični.

Razmotrimo sada trouglove $ACD$ i $BCD$

\[\ugao A=(90)^0-\ugao ACD\] \[\ugao BCD=(90)^0-\ugao ACD=\ugao A\]

Dakle, prema teoremi 1, trouglovi $ACD$ i $BCD$ su slični.

Teorema je dokazana.

Prosječna proporcionalna

Teorema 3

Visina pravouglog trougla povučena iz vrha pravog ugla je prosečna proporcionalna segmentima na koje visina deli hipotenuzu datog trougla.

Dokaz.

Prema teoremi 2, imamo da su trouglovi $ACD$ i $BCD$ slični, dakle

Teorema je dokazana.

Teorema 4

Krak pravokutnog trokuta je srednja proporcionalna vrijednost hipotenuze i dijela hipotenuze zatvorenog između kateta i visine povučene iz vrha ugla.

Dokaz.

U dokazu teoreme koristićemo notaciju sa slike 2.

Prema teoremi 2, imamo da su trouglovi $ACD$ i $ABC$ slični, dakle

Teorema je dokazana.

Lekcija 40. Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu. C. b. a. h. S. bc. N. ac. A. B. Visina pravouglog trougla povučena iz vrha pravog ugla deli trougao na 2 slična pravougla trougla, od kojih je svaki sličan datom trouglu. Test sličnosti za pravokutne trougle. Dva pravokutna trokuta su slična ako svaki od njih ima jednak oštar ugao. Segment XY se naziva proporcionalna sredina (geometrijska sredina) za segmente AB i CD ako je svojstvo 1. Visina pravouglog trougla povučena iz vrha pravog ugla je proporcionalna sredina između projekcija kateta na hipotenuzu. Svojstvo 2. Katet pravouglog trokuta je proporcionalna sredina između hipotenuze i projekcije te katete na hipotenuzu.

Geometrija 8. razred

“Rješavanje zadataka na Pitagorinoj teoremi” - Trougao ABC je jednakokrak. Praktična primjena Pitagorine teoreme. ABCD je četverougao. Površina kvadrata. Nađi sunce. Dokaz. Osnove jednakokračnog trapeza. Razmotrimo Pitagorinu teoremu. Površina četvorougla. Pravokutni trouglovi. Pitagorina teorema. Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.

"Pronalaženje površine paralelograma" - Baza. Visina. Određivanje visine paralelograma. Znaci jednakosti pravokutnih trougla. Površina paralelograma. Pronađite površinu trokuta. Svojstva područja. Oralne vježbe. Pronađite površinu paralelograma. Visine paralelograma. Pronađite obim kvadrata. Površina trougla. Pronađite površinu kvadrata. Pronađite površinu pravougaonika. Površina kvadrata.

"Kvadrat" 8. razred" - Crni kvadrat. Zadaci za usmeni rad po obodu kvadrata. Površina kvadrata. Znakovi kvadrata. Trg je među nama. Kvadrat je pravougaonik čije su sve strane jednake. Square. Torba sa kvadratnom bazom. Usmeni zadaci. Koliko kvadrata je prikazano na slici? Svojstva kvadrata. Bogati trgovac. Zadaci za usmeni rad na površini kvadrata. Perimetar kvadrata.

“Definicija aksijalne simetrije” - Tačke koje leže na istoj okomici. Nacrtajte dvije ravne linije. Izgradnja. Iscrtajte tačke. Clue. Figure koje nemaju aksijalnu simetriju. Segment linije. Nedostaju koordinate. Slika. Figure koje imaju više od dvije ose simetrije. Simetrija. Simetrija u poeziji. Konstruisati trouglove. Osi simetrije. Izgradnja segmenta. Izgradnja tačke. Figure sa dvije ose simetrije. Narode. Trouglovi. Proporcionalnost.

“Definicija sličnih trouglova” - Poligoni. Proporcionalni segmenti. Omjer površina sličnih trouglova. Dva trokuta se nazivaju sličnima. Uslovi. Konstruirajte trokut koristeći data dva ugla i simetralu na vrhu. Recimo da trebamo odrediti udaljenost do stuba. Treći znak sličnosti trouglova. Hajde da napravimo neku vrstu trougla. ABC. Trouglovi ABC i ABC su jednaki na tri strane. Određivanje visine objekta.

“Rješenje Pitagorine teoreme” - Dijelovi prozora. Najjednostavniji dokaz. Hamurabi. Dijagonala. Potpuni dokaz. Dokaz metodom oduzimanja. Pitagorejci. Dokaz metodom dekompozicije. Istorija teoreme. Prečnik. Dokaz metodom sabiranja. Epsteinov dokaz. Cantor. Trouglovi. Followers. Primjena Pitagorine teoreme. Pitagorina teorema. Izjava teoreme. Perigalov dokaz. Primjena teoreme.

Danas vam predstavljamo još jednu prezentaciju o nevjerovatnoj i misterioznoj temi - geometriji. U ovoj prezentaciji ćemo vas upoznati sa novim svojstvom geometrijskih oblika, a posebno sa konceptom proporcionalnih segmenata u pravokutnim trokutima.

Prvo, treba da se setimo šta je trougao? Ovo je najjednostavniji poligon koji se sastoji od tri vrha povezana sa tri segmenta. Trougao u kojem je jedan od uglova jednak 90 stepeni naziva se pravougli trougao. Već ste se s njima detaljnije upoznali u našim prethodnim edukativnim materijalima koji su vam predstavljeni.

Dakle, vraćajući se našoj današnjoj temi, označimo redom da ga visina pravokutnog trokuta povučena iz ugla od 90 stepeni dijeli na dva trokuta koja su slična i jedan drugom i originalnom. Svi crteži i grafikoni koji vas zanimaju dati su u predloženoj prezentaciji, preporučujemo da se na njih uputite, uz opisano objašnjenje.

Grafički primjer gornje teze može se vidjeti na drugom slajdu. Na osnovu prvog znaka sličnosti trokuta, trokuti su slični jer imaju dva identična ugla. Ako detaljnije preciziramo, onda visina spuštena na hipotenuzu sa njom čini pravi ugao, odnosno već postoje identični uglovi, a svaki od formiranih uglova takođe ima jedan zajednički ugao kao i prvobitni. Rezultat su dva jednaka ugla. Odnosno, trokuti su slični.

Označimo i šta znači koncept “proporcionalne sredine” ili “geometrijske sredine”? Ovo je određeni XY segment za segmente AB i CD, kada je jednak kvadratnom korijenu proizvoda njihovih dužina.

Iz čega također slijedi da je krak pravokutnog trokuta geometrijska sredina između hipotenuze i projekcije ove katete na hipotenuzu, odnosno drugu katetu.

Još jedno svojstvo pravokutnog trougla je da je njegova visina, povučena iz ugla od 90°, prosječna proporcionalna između projekcija kateta na hipotenuzu. Ako se osvrnete na prezentaciju i druge materijale koji su vam ponuđeni, vidjet ćete da postoje dokazi o ovoj tezi u vrlo jednostavnom i pristupačnom obliku. Prethodno smo već dokazali da su rezultirajući trokuti slični jedni drugima i originalnom trokutu. Zatim, koristeći omjer krakova ovih geometrijskih figura, dolazimo do zaključka da je visina pravokutnog trokuta direktno proporcionalna kvadratnom korijenu proizvoda segmenata koji su nastali kao rezultat snižavanja visine od pravi ugao originalnog trougla.

Posljednja stvar u prezentaciji je da je krak pravokutnog trokuta geometrijska sredina za hipotenuzu i njen segment koji se nalazi između kateta i visine povučene iz ugla jednakog 90 stepeni. Ovaj slučaj treba razmotriti sa stanovišta da su navedeni trokuti slični jedan drugom, a krak jednog od njih ispada hipotenuza drugog. Ali s tim ćete se bolje upoznati proučavanjem predloženih materijala.

Test sličnosti za pravokutne trougle

Hajde da prvo uvedemo kriterijum sličnosti za pravokutne trougle.

Teorema 1

Test sličnosti za pravokutne trougle: dva pravougla trougla su slična kada svaki ima jedan jednak oštar ugao (slika 1).

Slika 1. Slični pravokutni trouglovi

Dokaz.

Neka nam je dato da je $\ugao B=\ugao B_1$. Pošto su trouglovi pravougli, onda je $\ugao A=\ugao A_1=(90)^0$. Dakle, oni su slični prema prvom kriteriju sličnosti trokuta.

Teorema je dokazana.

Teorema visine u pravokutnom trouglu

Teorema 2

Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog ugla dijeli trokut na dva slična pravokutna trougla, od kojih je svaki sličan datom trokutu.

Dokaz.

Neka nam je dat pravougli trougao $ABC$ sa pravim uglom $C$. Nacrtajmo visinu $CD$ (slika 2).

Slika 2. Ilustracija teoreme 2

Dokažimo da su trouglovi $ACD$ i $BCD$ slični trokutu $ABC$ i da su trouglovi $ACD$ i $BCD$ slični jedan drugom.

Pošto je $\ugao ADC=(90)^0$, onda je trougao $ACD$ pravougao. Trouglovi $ACD$ i $ABC$ imaju zajednički ugao $A$, pa su prema teoremi 1 trouglovi $ACD$ i $ABC$ slični.

Pošto je $\ugao BDC=(90)^0$, onda je trougao $BCD$ pravougao. Trouglovi $BCD$ i $ABC$ imaju zajednički ugao $B$, pa su prema teoremi 1 trouglovi $BCD$ i $ABC$ slični.

Razmotrimo sada trouglove $ACD$ i $BCD$

\[\ugao A=(90)^0-\ugao ACD\] \[\ugao BCD=(90)^0-\ugao ACD=\ugao A\]

Dakle, prema teoremi 1, trouglovi $ACD$ i $BCD$ su slični.

Teorema je dokazana.

Prosječna proporcionalna

Teorema 3

Visina pravouglog trougla povučena iz vrha pravog ugla je prosečna proporcionalna segmentima na koje visina deli hipotenuzu datog trougla.

Dokaz.

Prema teoremi 2, imamo da su trouglovi $ACD$ i $BCD$ slični, dakle

Teorema je dokazana.

Teorema 4

Krak pravokutnog trokuta je srednja proporcionalna vrijednost hipotenuze i dijela hipotenuze zatvorenog između kateta i visine povučene iz vrha ugla.

Dokaz.

U dokazu teoreme koristićemo notaciju sa slike 2.

Prema teoremi 2, imamo da su trouglovi $ACD$ i $ABC$ slični, dakle

Teorema je dokazana.