Konstruirajte opisanu kružnicu koristeći šestar. Konstrukcije sa šestarom i ravnalom

Ciljevi:

konsolidovati pojmove „krug” i „krug” među učenicima; izvući koncept “poluprečnika kružnice”; naučiti konstruirati kružnice određenog radijusa; razviti sposobnost zaključivanja i analize.

Lični UUD:
razvijati pozitivan stav prema nastavi matematike;
interesovanje za predmetne istraživačke aktivnosti;

Metapredmetni zadaci

Regulatorni UUD:
prihvatiti i sačuvati zadatak učenja;
u saradnji sa nastavnikom i razredom pronaći nekoliko rješenja;

Kognitivni UUD:
formulisanje i rešavanje problema:
samostalno identifikovati i formulisati problem;
opšte obrazovanje:
pronaći potrebne informacije u udžbeniku;
konstruirati kružnicu datog polumjera koristeći šestar;
mozgalica:
formiraju koncept „radijusa“;
izvršiti klasifikaciju, poređenje;
samostalno formulisati zaključke;

Komunikacija UUD:
aktivno učestvovati u timskom radu, koristeći verbalna sredstva;
argumentirajte svoje gledište;

Predmetne vještine:
identifikovati bitne karakteristike pojmova „poluprečnik kruga“;
izgraditi krugove s različitim polumjerima;
prepoznati poluprečnike na crtežu.

Tokom nastave

Motivacija za aktivnosti učenja

- Hajde da proverimo da li su svi spremni za lekciju?

“Emocionalni ulazak u lekciju”:

Nasmejte se kao sunce.

Mršti se kao oblaci

Plači kao kiša

Budite iznenađeni kao da ste videli dugu

Sada ponavljaj za mnom

Igra "Prijateljski odjek"

2.Ažuriranje znanja

Verbalno brojanje

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Otkrijte obrazac. Nastavite red.

Odgovor: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Riješite problem:

1. Prvog dana prodato je 42 kg voća, a drugog dana 2 kg više. Koliko je kilograma prodato drugog dana?

Šta treba promijeniti da bi se problem riješio u 2 koraka.

Kuglice - 16 kom.

Užad za preskakanje – 28 kom.

Pronađite rješenje za ovaj problem.

28-16 28+16

Promijenite pitanje tako da se problem riješi oduzimanjem.

3. Postavljanje zadatka za učenje

1. Imenujte geometrijske oblike

Obim kruga ovalna lopta

Koja je cifra neparna?

Šta figure imaju zajedničko? (Krug, krug, lopta imaju isti oblik)

Koja je razlika?

2. B

Koje tačke pripadaju krugu? Koje su tačke izvan kruga?

Šta znači tačka O? (krug centar)

Kako se zove segment OB?

Koliko poluprečnika se može povući u krug?

Koji segment nije poluprečnik? Zašto?

Šta se može zaključiti?

Zaključak: svi radijusi imaju istu dužinu .

3. Koliko krugova ima na slici?

Po čemu se krugovi razlikuju? (veličina)

Šta određuje veličinu kruga?

Šta se može zaključiti?

Zaključak: što je veći krug, veći je njegov polumjer.

Odredite temu lekcije.

Predmet: Konstruiranje kružnice određenog polumjera pomoću šestara.

Koje zadatke možemo sebi postaviti za ovu lekciju?

4. Radite na temi

a) Konstruisanje kruga.

Šta trebate znati da nacrtate krug određene veličine?

Nacrtajte krug poluprečnika 3 cm.

b) Priprema za projektne aktivnosti

1) Pogledajte sliku

Od kojih oblika se sastoji leptir? Krugovi istog radijusa?

2) Rad u parovima.

Vratite redoslijed faza projekta.

Prezentacija ili demonstracija projekta

Koncept (napravi skicu)

Napravite brojke za implementaciju plana

Razmislite koji radijus treba da imaju oblici

c) Rad na projektu.

Rad u grupama prema sastavljenom algoritmu

Ova lekcija je posvećena proučavanju obima i kruga. Učitelj će vas takođe naučiti da razlikujete zatvorene i otvorene linije. Upoznat ćete se s osnovnim svojstvima kružnice: središte, polumjer i prečnik. Naučite njihove definicije. Naučite odrediti polumjer ako je poznat promjer i obrnuto.

Ako popunite prostor unutar kruga, na primjer, nacrtate krug pomoću šestara na papiru ili kartonu i izrežete ga, dobit ćete krug (slika 10).

Rice. 10. Krug

Krug- ovo je dio ravnine ograničen krugom.

Stanje: Vitya Verkhoglyadkin je nacrtao 11 prečnika u svom krugu (slika 11). I kada je preračunao poluprečnike, dobio je 21. Da li je tačno izbrojao?

Rice. 11. Ilustracija za problem

Rješenje: Trebalo bi biti dvostruko više radijusa od prečnika, dakle:

Vitya je pogrešno brojao.

Bibliografija

1. Matematika. 3. razred. Udžbenik za opšte obrazovanje institucije sa pril. po elektronu nosilac. U 2 sata 1. dio / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova i drugi] - 2. izd. - M.: Obrazovanje, 2012. - 112 str.: ilustr. - (Ruska škola).
2. Rudnickaya V.N., Yudacheva T.V. Matematika, 3. razred. - M.: VENTANA-BROJ.
3. Peterson L.G. Matematika, 3. razred. - M.: Yuventa.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Zadaća

1. Matematika. 3. razred. Udžbenik za opšte obrazovanje institucije sa pril. po elektronu nosilac. U 2 sata 1. dio / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova i drugi] - 2. izd. - M.: Obrazovanje, 2012., čl. 94 br. 1, čl. 95 br. 3.

2. Riješite zagonetku.

Moj brat i ja živimo zajedno,

Tako se zabavljamo zajedno

Postavićemo šolju na čaršav (slika 12),

Iscrtajmo ga olovkom.

Dobili smo šta nam je trebalo -

To se zove...

3. Potrebno je odrediti prečnik kruga ako je poznato da je poluprečnik 5 m.

4. * Koristeći šestar nacrtajte dva kruga poluprečnika: a) 2 cm i 5 cm; b) 10 mm i 15 mm.

U konstrukcijskim problemima šestar i ravnalo se smatraju idealnim alatima, posebno, ravnalo nema podjele i ima samo jednu stranu beskonačne dužine, a šestar može imati proizvoljno veliki ili proizvoljno mali otvor.

Prihvatljive konstrukcije. Sljedeće operacije su dozvoljene u građevinskim zadacima:

1. Označite tačku:

• proizvoljna tačka ravni;
• proizvoljna tačka na datoj liniji;
• proizvoljna tačka na datoj kružnici;
• tačka preseka dve date prave;
• tačke preseka/tangencije date prave i date kružnice;
• tačke preseka/tangencije dve date kružnice.

2. Koristeći ravnalo možete nacrtati pravu liniju:

• proizvoljna prava linija na ravni;
• proizvoljna prava linija koja prolazi kroz datu tačku;
• prava linija koja prolazi kroz dvije date tačke.

3. Koristeći kompas možete konstruirati krug:

• proizvoljan krug na ravni;
• proizvoljan krug sa centrom u datoj tački;
• proizvoljna kružnica poluprečnika jednaka udaljenosti između dvije date tačke;
• krug sa centrom u datoj tački i poluprečnikom jednakim udaljenosti između dve date tačke.

Rješavanje građevinskih problema. Rješenje građevinskog problema sadrži tri bitna dijela:

1. Opis metode za konstruisanje traženog objekta.
2. Dokaz da je objekt izgrađen na opisani način zaista željeni.
3. Analiza opisane metode konstrukcije na njenu primjenjivost na različite verzije početnih uslova, kao i na jedinstvenost ili nejedinstvenost rješenja dobijenog opisanom metodom.

Konstruisanje segmenta jednakog datom. Neka je data zraka sa početkom u tački $O$ i segmentom $AB$. Da biste konstruisali segment $OP = AB$ na zraku, potrebno je da konstruišete kružnicu sa centrom u tački $O$ poluprečnika $AB$. Tačka presjeka zraka sa kružnicom bit će tražena tačka $P$.

Konstruisanje ugla jednakog datom. Neka je data zraka sa ishodištem u tački $O$ i uglom $ABC$. Sa centrom u tački $B$ konstruišemo kružnicu proizvoljnog poluprečnika $r$. Označimo tačke preseka kruga sa zrakama $BA$ i $BC$ kao $A"$ i $C"$, respektivno.

Konstruirajmo kružnicu sa centrom u tački $O$ polumjera $r$. Označimo točku presjeka kružnice sa zrakom kao $P$. Konstruirajmo kružnicu sa centrom u tački $P$ polumjera $A"B"$. Tačku preseka kružnica označavamo sa $Q$. Nacrtajmo zraku $OQ$.

Dobijamo ugao $POQ$ jednak uglu $ABC$, pošto su trouglovi $POQ$ i $ABC$ jednaki na tri strane.

Konstruiranje simetrale okomite na segment. Konstruirajmo dvije kružnice koje se seku proizvoljnog radijusa sa centrima na krajevima segmenta. Spajanjem dve tačke njihovog preseka dobijamo simetralu okomitu.

Konstruisanje simetrale ugla. Nacrtajmo krug proizvoljnog radijusa sa centrom na vrhu ugla. Konstruirajmo dvije kružnice koje se seku proizvoljnog radijusa sa centrima u tačkama preseka prve kružnice sa stranicama ugla. Povezivanjem vrha ugla sa bilo kojom tačkom preseka ova dva kruga, dobijamo simetralu ugla.

Konstruisanje zbira dva segmenta. Da biste na datom zraku konstruisali segment jednak zbiru dva data segmenta, potrebno je da dva puta primenite metodu konstruisanja segmenta jednakog datom segmentu.

Konstruisanje zbira dva ugla. Da biste iz date zrake nacrtali ugao jednak zbiru dva data ugla, potrebno je dva puta primijeniti metodu konstruisanja ugla jednakog datom.

Pronalaženje sredine segmenta. Da biste označili sredinu datog segmenta, potrebno je da konstruišete simetralu okomice na segment i označite tačku preseka okomice sa samim segmentom.

Konstruisanje okomite linije kroz datu tačku. Neka je potrebno konstruisati pravu okomitu na datu tačku i koja prolazi kroz datu tačku. Crtamo kružnicu proizvoljnog radijusa sa centrom u datoj tački (bez obzira da li leži na pravoj ili ne), sijekući liniju u dvije tačke. Konstruišemo simetralu okomitu na segment sa krajevima u tačkama preseka kružnice i prave. Ovo će biti željena okomita linija.

Konstruisanje paralelne prave kroz datu tačku. Neka se traži da se konstruiše prava paralelna sa datom tačkom i koja prolazi kroz datu tačku van prave. Konstruišemo pravu koja prolazi kroz datu tačku i okomita na datu pravu. Zatim konstruišemo pravu liniju koja prolazi kroz ovu tačku, okomitu na konstruisanu okomicu. Rezultirajuća ravna linija će biti tražena.

Prilikom proizvodnje ili obrade drvenih dijelova, u nekim slučajevima je potrebno odrediti gdje se nalazi njihov geometrijski centar. Ako dio ima kvadratni ili pravokutni oblik, onda to nije teško učiniti. Dovoljno je spojiti suprotne uglove dijagonalama, koje će se sjeći točno u središtu naše figure.
Za proizvode koji imaju oblik kruga, ovo rješenje neće raditi, jer nemaju uglove, a time ni dijagonale. U ovom slučaju je potreban neki drugi pristup, zasnovan na drugačijim principima.

I postoje, i to u brojnim varijacijama. Neki od njih su prilično složeni i zahtijevaju nekoliko alata, drugi su jednostavni za implementaciju i ne zahtijevaju cijeli set uređaja.
Sada ćemo pogledati jedan od najjednostavnijih načina za pronalaženje središta kruga samo pomoću običnog ravnala i olovke.

Redoslijed pronalaženja centra kruga:

Zove se rečenica koja objašnjava značenje određenog izraza ili imena definicija. Već smo se susreli sa definicijama, na primjer, definicija ugla, susjedni uglovi, jednakokraki trokut, itd. Hajde da damo definiciju druge geometrijske figure - kruga.

Definicija

Ova tačka se zove centar kruga, a segment koji povezuje centar s bilo kojom točkom na kružnici je poluprečnik kruga(Sl. 77). Iz definicije kružnice proizilazi da svi polumjeri imaju istu dužinu.

Rice. 77

Segment koji spaja dvije tačke na kružnici naziva se njegova tetiva. Tetiva koja prolazi kroz centar kružnice naziva se njena prečnika.

Na slici 78, segmenti AB i EF su tetive kružnice, segment CD je prečnik kružnice. Očigledno, prečnik kruga je dvostruko veći od njegovog radijusa. Središte kružnice je središte bilo kojeg prečnika.

Rice. 78

Bilo koje dvije tačke na kružnici dijele ga na dva dijela. Svaki od ovih dijelova naziva se luk kružnice. Na slici 79, ALB i AMB su lukovi omeđeni tačkama A i B.

Rice. 79

Da biste prikazali krug na crtežu, koristite kompas(Sl. 80).

Rice. 80

Za crtanje kruga na tlu možete koristiti uže (Sl. 81).

Rice. 81

Dio ravni omeđen kružnicom naziva se kružnica (slika 82).

Rice. 82

Konstrukcije sa šestarom i ravnalom

Već smo se pozabavili geometrijskim konstrukcijama: crtali smo prave linije, crtali segmente jednake podacima, crtali uglove, trouglove i druge figure. Istovremeno smo koristili ravnalo, šestar, kutomjer i kvadrat za crtanje.

Ispostavilo se da se mnoge konstrukcije mogu izvesti samo pomoću kompasa i ravnala bez podjela skale. Stoga se u geometriji posebno izdvajaju oni građevinski zadaci koji se mogu rješavati samo pomoću ova dva alata.

Šta možete učiniti s njima? Jasno je da ravnalo omogućava da nacrtate proizvoljnu ravnu liniju, kao i da konstruišete pravu liniju koja prolazi kroz dvije date tačke. Koristeći šestar, možete nacrtati krug proizvoljnog radijusa, kao i krug sa centrom u datoj tački i radijusom jednakim datom segmentu. Izvođenjem ovih jednostavnih operacija možemo riješiti mnoge zanimljive građevinske probleme:

konstruisati ugao jednak zadatom;
kroz datu tačku povući pravu okomitu na datu pravu;
podijelite ovaj segment na pola i druge zadatke.

Počnimo s jednostavnim zadatkom.

Zadatak

Na datu zraku, od njenog početka, nacrtajte segment jednak datom.

Rješenje

Oslikajmo figure date u opisu problema: zrak OS i segment AB (slika 83, a). Zatim, koristeći šestar, konstruišemo krug poluprečnika AB sa centrom O (slika 83, b). Ovaj krug će presjeći zrak OS u nekoj tački D. Segment OD je traženi.

Rice. 83

Primjeri građevinskih problema

Konstruisanje ugla jednakog datom

Zadatak

Od date zrake oduzmite ugao jednak datom.

Rješenje

Ovaj ugao sa vrhom A i zrakom OM prikazani su na slici 84. Potrebno je konstruisati ugao jednak uglu A, tako da mu se jedna strana poklapa sa zrakom OM.

Rice. 84

Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog polumjera sa središtem u vrhu A datog ugla. Ova kružnica seče stranice ugla u tačkama B i C (slika 85, a). Zatim crtamo kružnicu istog polumjera sa centrom u početku ovog zraka OM. Presijeca gredu u tački D (Sl. 85, b). Nakon toga ćemo konstruirati kružnicu sa centrom D, čiji je polumjer jednak BC. Krugovi sa centrima O i D seku se u dve tačke. Označimo jednu od ovih tačaka slovom E. Dokažimo da je ugao MOE željeni.

Rice. 85

Razmotrimo trouglove ABC i ODE. Segmenti AB i AC su poluprečnici kruga sa centrom A, a segmenti OD i OE su poluprečnici kružnice sa centrom O (vidi sliku 85, b). Pošto po konstrukciji ove kružnice imaju jednake polumjere, onda je AB = OD, AC = OE. Također po konstrukciji BC = DE.

Dakle, Δ ABC = Δ ODE sa tri strane. Dakle, ∠DOE = ∠BAC, tj. konstruisani ugao MOE jednak je datom uglu A.

Ista konstrukcija se može napraviti i na tlu ako koristite uže umjesto šestara.

Konstrukcija simetrale ugla

Zadatak

Konstruisati simetralu datog ugla.

Rješenje

Ovaj ugao BAC prikazan je na slici 86. Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog radijusa sa centrom u vrhu A. Presjecat će stranice ugla u tačkama B i C.

Rice. 86

Zatim nacrtamo dva kruga istog polumjera BC sa centrima u tačkama B i C (na slici su prikazani samo dijelovi ovih kružnica). Oni će se ukrštati u dvije tačke, od kojih se barem jedna nalazi unutar ugla. Označimo ga slovom E. Dokažimo da je zraka AE simetrala datog ugla BAC.

Razmotrimo trouglove ACE i ABE. Oni su jednaki sa tri strane. Zaista, AE je opšta strana; AC i AB jednaki su polumjerima iste kružnice; CE = BE po konstrukciji.

Iz jednakosti trouglova ACE i ABE slijedi da je ∠CAE = ∠BAE, tj. zraka AE je simetrala datog ugla BAC.

Komentar

Da li je moguće dati ugao podijeliti na dva jednaka ugla pomoću šestara i ravnala? Jasno je da je to moguće - da biste to učinili, morate nacrtati simetralu ovog ugla.

Ovaj ugao se takođe može podeliti na četiri jednaka ugla. Da biste to učinili, morate ga podijeliti na pola, a zatim svaku polovinu ponovo podijeliti na pola.

Da li je moguće dati ugao podijeliti na tri jednaka ugla pomoću šestara i ravnala? Ovaj zadatak, tzv problemi sa trisekcijom ugla, vekovima je privlačio pažnju matematičara. Tek u 19. veku je dokazano da je takva konstrukcija nemoguća pod proizvoljnim uglom.

Konstrukcija okomitih linija

Zadatak

Zadata je prava linija i tačka na njoj. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku i okomita na datu pravu.

Rješenje

Data prava a i data tačka M koja pripada ovoj pravoj liniji prikazane su na slici 87.

Rice. 87

Na zrake prave a, koja izlazi iz tačke M, crtamo jednake segmente MA i MB. Zatim konstruišemo dva kruga sa centrima A i B poluprečnika AB. Seku se u dve tačke: P i Q.

Povučemo pravu kroz tačku M i jednu od ovih tačaka, na primer, pravu MR (vidi sliku 87), i dokažemo da je ta prava željena, tj. da je okomita na datu pravu a .

U stvari, pošto je medijan PM jednakokračnog trougla RAB ujedno i visina, onda je PM ⊥ a.

Izrada sredine segmenta

Zadatak

Konstruirajte sredinu ovog segmenta.

Rješenje

Neka je AB dati segment. Konstruirajmo dva kruga sa centrima A i B poluprečnika AB. Seku se u tačkama P i Q. Nacrtajmo pravu liniju PQ. Tačka O preseka ove prave sa segmentom AB je željena sredina segmenta AB.

U stvari, trouglovi APQ i BPQ su jednaki na tri strane, dakle ∠1 =∠2 (Sl. 89).

Rice. 89

Prema tome, odsječak PO je simetrala jednakokračnog trougla ARB, pa je medijana, odnosno tačka O sredina odsječka AB.

Zadaci

143. Koji od segmenata prikazanih na slici 90 su: a) tetive kruga; b) prečnike kruga; c) poluprečnika kružnice?

Rice. 90

144. Segmenti AB i CD su prečnici kružnice. Dokazati da su: a) tetivi BD i AC jednaki; b) akordi AD i BC su jednaki; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Odsječak MK je prečnik kružnice sa centrom O, a MR i RK su jednake tetive ove kružnice. Pronađite ∠POM.

146. Segmenti AB i CD su prečnici kružnice sa centrom O. Nađi obim trougla AOD ako je poznato da je CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Na kružnici sa centrom O označene su tačke A i B tako da je ugao AOB pravi ugao. Segment BC je prečnik kružnice. Dokazati da su tetivi AB i AC jednaki.

148. Na pravoj su date dvije tačke A i B. Na nastavku zraka BA A odložite odsječak BC tako da je BC = 2AB.

149. Date su prava a, tačka B koja ne leži na njoj i odsječak PQ. Konstruisati tačku M na pravoj a tako da je BM = PQ. Da li problem uvijek ima rješenje?

150. Dat je krug, tačka A koja ne leži na njoj i segment PQ. Konstruirajte tačku M na kružnici tako da je AM = PQ. Da li problem uvijek ima rješenje?

151. Dati su oštar ugao BAC i zraka XY. Konstruisati ugao YXZ tako da je ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Dat je tupi ugao AOB. Konstruirajte zraku OX tako da uglovi HOA i HOB budu jednaki tupi uglovi.

153. Date su prava a i tačka M koja ne leži na njoj. Konstruisati pravu koja prolazi kroz tačku M i okomita na pravu a.

Rješenje

Konstruirajmo kružnicu sa centrom u datoj tački M, koja siječe datu pravu a u dvije tačke, koje označavamo slovima A i B (slika 91). Zatim ćemo konstruisati dva kruga sa centrima A i B koji prolaze kroz tačku M. Ove kružnice se sijeku u tački M i u drugoj tački, koju ćemo označiti slovom N. Nacrtajmo pravu MN i dokažemo da je ta prava željena jedan, tj. okomita je na pravu a.

Rice. 91

U stvari, trouglovi AMN i BMN su jednaki na tri strane, pa je ∠1 = ∠2. Slijedi da je segment MC (C je tačka preseka pravih a i MN) simetrala jednakokračnog trougla AMB, a samim tim i njegova visina. Dakle, MN ⊥ AB, tj. MN ⊥ a.

154. Dat je trougao ABC. Konstruisati: a) simetralu AK; b) srednji VM; c) visina CH trougla. 155. Koristeći šestar i lenjir konstruišite ugao jednak: a) 45°; b) 22°30".

Odgovori na probleme

152. Uputstvo. Prvo konstruirajte simetralu ugla AOB.