Zašto živimo u trodimenzionalnom prostoru? Trodimenzionalni prostor: vektori, koordinate Gdje se koristi trodimenzionalni prostor?

Pokreće projekat „Pitanje naučniku“ u okviru kojeg će stručnjaci odgovarati na zanimljiva, naivna ili praktična pitanja. Kandidat fizičko-matematičkih nauka Ilja Ščurov u ovom broju govori o 4D i da li je moguće ući u četvrtu dimenziju.

Šta je četvorodimenzionalni prostor („4D“)?

Ilya Shchurov

Kandidat fizičko-matematičkih nauka, vanredni profesor Katedre za višu matematiku, Visoka ekonomska škola Nacionalnog istraživačkog univerziteta

Počnimo s najjednostavnijim geometrijskim objektom - točkom. Tačka je nuldimenzionalna. Nema dužine, širine, visine.

Sada pomjerimo tačku duž prave linije na određenoj udaljenosti. Recimo da je naša poenta vrh olovke; kada smo ga pomerili, povukao je liniju. Segment ima dužinu i nema više dimenzija - on je jednodimenzionalan. Segment “živi” na pravoj liniji; prava linija je jednodimenzionalni prostor.

Sada uzmimo segment i pokušajmo ga pomjeriti, kao prije tačke. (Možete zamisliti da je naš segment osnova široke i vrlo tanke četke.) Ako odemo dalje od linije i krenemo se u okomitom smjeru, dobićemo pravougaonik. Pravougaonik ima dvije dimenzije - širinu i visinu. Pravougaonik leži u određenoj ravni. Ravan je dvodimenzionalni prostor (2D), na njemu možete uvesti dvodimenzionalni koordinatni sistem - svaka tačka će odgovarati paru brojeva. (Na primjer, kartezijanski koordinatni sistem na tabli ili geografska širina i dužina na geografskoj karti.)

Ako pomjerite pravougaonik u smjeru okomitom na ravninu u kojoj leži, dobićete "ciglu" (pravokutni paralelepiped) - trodimenzionalni objekt koji ima dužinu, širinu i visinu; nalazi se u trodimenzionalnom prostoru - istom u kojem živimo ti i ja. Stoga imamo dobru ideju o tome kako trodimenzionalni objekti izgledaju. Ali da živimo u dvodimenzionalnom prostoru - na ravni - morali bismo prilično napregnuti maštu da zamislimo kako bismo mogli pomjeriti pravougaonik da izađe iz ravni u kojoj živimo.

Takođe nam je prilično teško zamisliti četverodimenzionalni prostor, iako ga je vrlo lako matematički opisati. Trodimenzionalni prostor je prostor u kojem je pozicija tačke data sa tri broja (na primjer, pozicija aviona je data geografskom dužinom, širinom i visinom iznad nivoa mora). U četvorodimenzionalnom prostoru, tačka odgovara četiri koordinatna broja. „Četvorodimenzionalna cigla“ se dobija pomeranjem obične cigle u nekom pravcu koji ne leži u našem trodimenzionalnom prostoru; ima četiri dimenzije.

Zapravo, svakodnevno se susrećemo sa četverodimenzionalnim prostorom: na primjer, kada pravimo datum, naznačimo ne samo mjesto sastanka (može se navesti sa tri broja), već i vrijeme (može se odrediti jednim brojem - na primjer, broj sekundi koji su prošli od određenog datuma). Ako pogledate pravu ciglu, ona ima ne samo dužinu, širinu i visinu, već i produženje u vremenu - od trenutka stvaranja do trenutka uništenja.

Fizičar će reći da ne živimo samo u prostoru, već u prostor-vremenu; matematičar će dodati da je četvorodimenzionalan. Dakle, četvrta dimenzija je bliža nego što se čini.

Zadaci:

Navedite još neki primjer implementacije četverodimenzionalnog prostora u stvarnom životu.

Definirajte šta je petodimenzionalni prostor (5D). Kako bi trebao izgledati 5D film?

Molimo Vas da svoje odgovore pošaljete na e-mail: [email protected]

Iz školskog predmeta algebra i geometrija znamo za koncept trodimenzionalnog prostora. Ako pogledate, sam pojam "trodimenzionalni prostor" definira se kao koordinatni sistem sa tri dimenzije (svi to znaju). Zapravo, bilo koji trodimenzionalni objekt može se opisati korištenjem dužine, širine i visine u klasičnom smislu. Ipak, hajde da kopamo malo dublje, kako kažu.

Šta je trodimenzionalni prostor

Kao što je već postalo jasno, razumijevanje trodimenzionalnog prostora i objekata koji mogu postojati u njemu određuju tri osnovna koncepta. Istina, u slučaju tačke to su tačno tri vrijednosti, a u slučaju ravnih, krivih, isprekidanih linija ili volumetrijskih objekata može postojati više odgovarajućih koordinata.

U ovom slučaju sve ovisi o vrsti objekta i korištenom koordinatnom sistemu. Danas je najčešći (klasični) Kartezijanski sistem, koji se ponekad naziva i pravougaoni. O njemu i nekim drugim sortama bit će riječi malo kasnije.

Između ostalog, ovdje je potrebno razlikovati apstraktne pojmove (da tako kažem, bezoblične) kao što su tačke, prave ili ravni i figure koje imaju konačne dimenzije ili čak volumen. Za svaku od ovih definicija postoje i jednadžbe koje opisuju njihov mogući položaj u trodimenzionalnom prostoru. Ali to sada nije o tome.

Koncept tačke u trodimenzionalnom prostoru

Prvo, hajde da definišemo šta predstavlja tačka u trodimenzionalnom prostoru. Općenito, može se nazvati određenom osnovnom jedinicom koja definira bilo koju ravnu ili trodimenzionalnu figuru, pravu liniju, segment, vektor, ravan itd.

Samu tačku karakterišu tri glavne koordinate. Za njih se u pravougaonom sistemu koriste posebne vodilice, koje se nazivaju osi X, Y i Z, pri čemu prve dvije ose služe za izražavanje horizontalnog položaja objekta, a treća se odnosi na vertikalno postavljanje koordinata. Naravno, radi praktičnosti izražavanja položaja objekta u odnosu na nulte koordinate, u sistemu su prihvaćene pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, danas možete pronaći i druge sisteme.

Vrste koordinatnih sistema

Kao što je već spomenuto, pravougaoni koordinatni sistem koji je kreirao Descartes danas je glavni. Međutim, neke tehnike za određivanje lokacije objekta u trodimenzionalnom prostoru također koriste neke druge varijacije.

Najpoznatiji su cilindrični i sferni sistemi. Razlika od klasičnog je u tome što kod specificiranja iste tri veličine koje određuju lokaciju točke u trodimenzionalnom prostoru, jedna od vrijednosti je kutna. Drugim riječima, takvi sistemi koriste krug koji odgovara kutu od 360 stepeni. Otuda specifična dodjela koordinata, uključujući elemente kao što su radijus, ugao i generatriksa. Koordinate u trodimenzionalnom prostoru (sistemu) ovog tipa podležu malo drugačijim zakonima. Njihov zadatak u ovom slučaju kontrolira pravilo desne ruke: ako palac i kažiprst poravnate s X i Y osom, preostali prsti u zakrivljenom položaju pokazat će u smjeru Z osi.

Koncept prave linije u trodimenzionalnom prostoru

Sada nekoliko riječi o tome šta je prava linija u trodimenzionalnom prostoru. Na osnovu osnovnog koncepta prave linije, ovo je neka vrsta beskonačne linije povučene kroz tačku ili dvije, ne računajući mnoge tačke koje se nalaze u nizu koji ne mijenja direktan prolazak linije kroz njih.

Ako pogledate liniju povučenu kroz dvije tačke u trodimenzionalnom prostoru, morat ćete uzeti u obzir tri koordinate obje tačke. Isto važi i za segmente i vektore. Potonji određuju osnovu trodimenzionalnog prostora i njegovu dimenziju.

Definicija vektora i osnova trodimenzionalnog prostora

Imajte na umu da to mogu biti samo tri vektora, ali možete definirati onoliko tripleta vektora koliko želite. Dimenzija prostora određena je brojem linearno nezavisnih vektora (u našem slučaju tri). A prostor u kojem postoji konačan broj takvih vektora naziva se konačno-dimenzionalnim.

Zavisni i nezavisni vektori

Što se tiče definicije zavisnih i nezavisnih vektora, linearno nezavisni vektori se smatraju projekcijama (na primer, vektori X-ose projektovani na Y-os).

Kao što je već jasno, svaki četvrti vektor je zavisan (teorija linearnih prostora). Ali tri nezavisna vektora u trodimenzionalnom prostoru ne smiju ležati u istoj ravni. Osim toga, ako su nezavisni vektori definirani u trodimenzionalnom prostoru, oni ne mogu biti, da tako kažemo, jedan nastavak drugog. Kao što je već jasno, u slučaju sa tri dimenzije koje razmatramo, prema opštoj teoriji, moguće je konstruisati isključivo trojke linearno nezavisnih vektora u određenom koordinatnom sistemu (bez obzira na vrstu).

Ravan u trodimenzionalnom prostoru

Ako uzmemo u obzir koncept ravni, ne ulazeći u matematičke definicije, radi jednostavnijeg razumijevanja ovog pojma, takav objekt se može smatrati isključivo dvodimenzionalnim. Drugim riječima, ovo je beskonačna zbirka tačaka za koje je jedna od koordinata konstantna.

Na primjer, ravninom se može nazvati bilo koji broj tačaka s različitim koordinatama duž ose X i Y, ali istim koordinatama duž ose Z. U svakom slučaju, jedna od trodimenzionalnih koordinata ostaje nepromijenjena. Međutim, ovo je, da tako kažem, opšti slučaj. U nekim situacijama, trodimenzionalni prostor može biti presječen ravninom duž svih osa.

Postoji li više od tri dimenzije?

Pitanje koliko dimenzija može biti prilično je zanimljivo. Smatra se da ne živimo u trodimenzionalnom prostoru sa klasičnog stanovišta, već u četverodimenzionalnom. Osim svima poznate dužine, širine i visine, takav prostor uključuje i vrijeme postojanja nekog objekta, a vrijeme i prostor su međusobno prilično snažno povezani. To je dokazao Ajnštajn u svojoj teoriji relativnosti, iako se to više odnosi na fiziku nego na algebru i geometriju.

Još jedna zanimljiva činjenica je da su danas naučnici već dokazali postojanje najmanje dvanaest dimenzija. Naravno, neće svi moći razumjeti šta su, jer se radi o određenom apstraktnom području koje je izvan ljudske percepcije svijeta. Ipak, činjenica ostaje. I nije uzalud što mnogi antropolozi i historičari tvrde da su naši preci mogli imati neke specifično razvijene osjetilne organe, poput trećeg oka, koje je pomoglo da se percipira višedimenzionalna stvarnost, a ne isključivo trodimenzionalni prostor.

Inače, danas postoji dosta mišljenja o tome da je i ekstrasenzorna percepcija jedna od manifestacija percepcije višedimenzionalnog svijeta, a za to se može naći dosta dokaza.

Imajte na umu da također nije uvijek moguće opisati višedimenzionalne prostore koji se razlikuju od našeg četverodimenzionalnog svijeta modernim osnovnim jednadžbama i teoremama. A nauka u ovoj oblasti više pripada području teorija i pretpostavki, nego onome što se može jasno osjetiti ili, da tako kažemo, dodirnuti ili vidjeti vlastitim očima. Ipak, indirektni dokazi o postojanju multidimenzionalnih svjetova, u kojima mogu postojati četiri ili više dimenzija, danas niko ne sumnja.

Zaključak

Uopšteno govoreći, vrlo kratko smo pregledali osnovne koncepte vezane za trodimenzionalni prostor i osnovne definicije. Naravno, postoji mnogo posebnih slučajeva povezanih sa različitim koordinatnim sistemima. Osim toga, trudili smo se da ne zalazimo u matematičku džunglu da objasnimo osnovne pojmove samo kako bi pitanje vezano za njih bilo jasno svakom učeniku (da tako kažem, objašnjenje „na prste“).

Ipak, čini se da se i iz ovako jednostavnih tumačenja može izvući zaključak o matematičkom aspektu svih komponenti uključenih u osnovni školski kurs algebre i geometrije.

U kojem od naših naučnika tražimo da odgovore na sasvim jednostavna, na prvi pogled, ali kontroverzna pitanja čitatelja. Za vas smo odabrali najzanimljivije odgovore stručnjaka PostNauke.

Svima je poznata skraćenica 3D, što znači "trodimenzionalno" (slovo D je od riječi dimenzija). Na primjer, kada biramo film s oznakom 3D u kinu, znamo sigurno: da bismo ga gledali, morat ćemo nositi posebne naočale, ali slika neće biti ravna, već trodimenzionalna. Šta je 4D? Postoji li “četvorodimenzionalni prostor” u stvarnosti? I da li je moguće ući u „četvrtu dimenziju“?

Da bismo odgovorili na ova pitanja, počnimo s najjednostavnijim geometrijskim objektom - točkom. Tačka je nuldimenzionalna. Nema dužine, širine, visine.

// 8-cell-simple

Sada pomjerimo tačku duž prave linije na određenoj udaljenosti. Recimo da je naša poenta vrh olovke; kada smo ga pomerili, povukao je liniju. Segment ima dužinu i nema drugih dimenzija: on je jednodimenzionalan. Segment “živi” na pravoj liniji; prava linija je jednodimenzionalni prostor.

Sada uzmimo segment i pokušajmo ga pomjeriti na način na koji smo pomjerili tačku prije. Možete zamisliti da je naš segment osnova široke i vrlo tanke četke. Ako idemo dalje od linije i krećemo se u okomitom smjeru, dobićemo pravougaonik. Pravougaonik ima dvije dimenzije - širinu i visinu. Pravougaonik leži u određenoj ravni. Ravan je dvodimenzionalni prostor (2D), na njemu možete uvesti dvodimenzionalni koordinatni sistem - svaka tačka će odgovarati paru brojeva. (Na primjer, kartezijanski koordinatni sistem na tabli ili geografska širina i dužina na geografskoj karti.)

Ako pomjerite pravougaonik u smjeru okomitom na ravninu u kojoj leži, dobićete "ciglu" (pravokutni paralelepiped) - trodimenzionalni objekt koji ima dužinu, širinu i visinu; nalazi se u trodimenzionalnom prostoru, istom u kojem ti i ja živimo. Stoga imamo dobru ideju o tome kako trodimenzionalni objekti izgledaju. Ali da živimo u dvodimenzionalnom prostoru - na ravni - morali bismo prilično napregnuti maštu da zamislimo kako bismo mogli pomjeriti pravougaonik da izađe iz ravni u kojoj živimo.

U stvari, svakodnevno se susrećemo sa četvorodimenzionalnim prostorom: na primjer, kada pravimo datum, naznačujemo ne samo mjesto sastanka (može se navesti sa tri broja), već i vrijeme (može se odrediti jednim brojem , na primjer, broj sekundi koje su prošle od određenog datuma). Ako pogledate pravu ciglu, ona ima ne samo dužinu, širinu i visinu, već i produženje u vremenu - od trenutka stvaranja do trenutka uništenja.

Fizičar će reći da ne živimo samo u prostoru, već u prostor-vremenu; matematičar će dodati da je četvorodimenzionalan. Dakle, četvrta dimenzija je bliža nego što se čini.

Trodimenzionalni prostor - ima tri homogene dimenzije: visinu, širinu i dužinu. Ovo je geometrijski model našeg materijalnog svijeta.

Da bismo razumjeli prirodu fizičkog prostora, prvo moramo odgovoriti na pitanje o porijeklu njegove dimenzije. Stoga je vrijednost dimenzije, kao što se može vidjeti, najznačajnija karakteristika fizičkog prostora.

Dimenzija prostora

Dimenzija je najopštije svojstvo prostor-vremena koje se može kvantificirati. Trenutno, fizička teorija koja tvrdi da daje prostorno-vremenski opis stvarnosti uzima vrijednost dimenzije kao početni postulat. Koncept broja dimenzija, odnosno dimenzija prostora, jedan je od najosnovnijih koncepata u matematici i fizici.

Moderna fizika se približila odgovoru na metafizičko pitanje koje je postavljeno u radovima austrijskog fizičara i filozofa Ernsta Macha: „Zašto je prostor trodimenzionalan?“ Vjeruje se da je činjenica trodimenzionalnosti prostora povezana s osnovnim svojstvima materijalnog svijeta.

Razvoj procesa iz tačke stvara prostor, tj. mjesto gdje treba da se odvija implementacija razvojnog programa. „Stvoreni prostor „je za nas oblik Univerzuma, ili oblik materije u Univerzumu.”

Tako su mislili u davna vremena...

Čak je i Ptolomej pisao na temu dimenzije prostora, gdje je tvrdio da više od tri prostorne dimenzije ne mogu postojati u prirodi. U svojoj knjizi “Na nebu” drugi grčki mislilac, Aristotel, napisao je da samo prisustvo tri dimenzije osigurava savršenstvo i potpunost svijeta. Jedna dimenzija, zaključio je Aristotel, čini liniju. Ako liniji dodamo još jednu dimenziju, dobićemo površinu. Dodavanjem druge dimenzije površini formira se volumetrijsko tijelo.

Ispada da „više nije moguće ići izvan granica volumetrijskog tijela na nešto drugo, jer bilo kakva promjena nastaje zbog neke vrste nedostatka, a ovdje je nema. Gornja linija Aristotelove misli pati od jedne značajne slabosti: ostaje nejasno iz kog razloga tačno trodimenzionalno volumetrijsko tijelo ima potpunost i savršenstvo. Svojevremeno je Galileo s pravom ismijao mišljenje da je “broj “3” savršen broj i da je obdaren sposobnošću da prenese savršenstvo svemu što ima trojstvo.”

Kako se određuje dimenzija prostora?

Prostor ima beskonačan opseg u svim pravcima. Međutim, može se mjeriti samo u tri nezavisna smjera: dužina, širina i visina; Ove pravce nazivamo dimenzijama prostora i kažemo da naš prostor ima tri dimenzije, da je trodimenzionalan. Štaviše, „u ovom slučaju nezavisnim smjerom nazivamo pravac koja leži pod pravim uglom u odnosu na drugu. Takve linije, tj. dok leže istovremeno pod pravim uglom jedna na drugu, a ne paralelno jedna s drugom, naša geometrija poznaje samo tri. Odnosno, dimenzionalnost našeg prostora određena je brojem mogućih linija u njemu koje leže pod pravim uglom jedna na drugu. Ne može postojati još jedna linija na liniji - to je jednodimenzionalni prostor. Na površini su moguće 2 okomice - ovo je dvodimenzionalni prostor. U “prostoru” postoje tri okomice – ovo je trodimenzionalni prostor.”

Zašto je prostor trodimenzionalan?

Retko u zemaljskim uslovima, iskustvo materijalizacije ljudi često ima fizički efekat na očevice...

Ali još uvijek postoji mnogo toga nejasnog u idejama o prostoru i vremenu, što dovodi do stalnih diskusija među naučnicima. Zašto naš prostor ima tri dimenzije? Mogu li postojati multidimenzionalni svjetovi? Da li je moguće da materijalni objekti postoje izvan prostora i vremena?

Tvrdnja da fizički prostor ima tri dimenzije jednako je objektivna kao i izjava, na primjer, da postoje tri fizička stanja materije: čvrsto, tečno i plinovito; opisuje fundamentalnu činjenicu objektivnog svijeta. I. Kant je naglasio da je razlog trodimenzionalnosti našeg prostora još uvijek nepoznat. P. Ehrenfest i J. Withrow su pokazali da kada bi broj dimenzija svemira bio veći od tri, onda bi postojanje planetarnih sistema bilo nemoguće – samo u trodimenzionalnom svijetu mogu postojati stabilne orbite planeta u planetarnim sistemima. To jest, trodimenzionalni poredak materije je jedini stabilan poredak.

Ali trodimenzionalnost prostora ne može se tvrditi kao neka vrsta apsolutne nužnosti. To je fizička činjenica kao i svaka druga, i kao posljedica toga podliježe istoj vrsti objašnjenja.

Pitanje zašto je naš prostor trodimenzionalan može se rješavati ili s pozicije teleologije, na osnovu nenaučne tvrdnje da je „trodimenzionalni svijet najsavršeniji od svih mogućih svjetova“, ili sa znanstvenih materijalističkih pozicija, zasnovan na osnovnim fizičkim zakonima.

Mišljenje savremenika

Moderna fizika kaže da je karakteristika trodimenzionalnosti da ona, i samo ona, omogućava formulisanje kontinuiranih kauzalnih zakona za fizičku stvarnost. Ali, „moderni koncepti ne odražavaju pravo stanje fizičke slike svijeta. Danas naučnici posmatraju prostor kao određenu strukturu koja se sastoji od više nivoa, koji su takođe neizvesni. I stoga, nije slučajno što moderna nauka ne može odgovoriti na pitanje zašto je naš prostor, u kojem živimo i koji posmatramo, trodimenzionalan.”

Teorija povezanog prostora

U paralelnim svetovima događaji se dešavaju na svoj način, oni mogu...

“Pokušaji traženja odgovora na ovo pitanje, ostajući samo u okvirima matematike, osuđeni su na neuspjeh. Odgovor možda leži u novoj, nedovoljno istraženoj oblasti fizike." Pokušajmo pronaći odgovor na ovo pitanje na osnovu razmatranih odredbi fizike povezanih prostora.

Prema teoriji povezanih prostora, razvoj objekta se odvija u tri faze, pri čemu se svaka faza razvija u svom zacrtanom pravcu, tj. duž svoje razvojne ose.

U prvoj fazi razvoj objekta teče u prvobitno odabranom pravcu, tj. ima jednu osovinu razvoja. U drugoj fazi, sistem formiran u prvoj fazi rotira se za 90°, tj. pravac prostorne ose se menja i razvoj sistema počinje da teče u drugom izabranom pravcu, okomitom na prvobitni. U trećoj fazi razvoj sistema se ponovo rotira za 90° i počinje da se razvija u trećem odabranom pravcu, okomito na prva dva. Kao rezultat, formiraju se tri sfere prostora ugniježđene jedna u drugu, od kojih svaka odgovara jednoj od osi razvoja. Štaviše, sva tri ova prostora su fizičkim procesom povezana u jednu stabilnu formaciju.

A budući da se ovaj proces provodi na svim velikim nivoima našeg svijeta, svi sistemi, uključujući i same koordinate, izgrađeni su na trijadnom (trokoordinatnom) principu. Iz toga proizlazi da se kao rezultat prolaska tri faze razvoja procesa prirodno formira trodimenzionalni prostor, formiran kao posljedica fizičkog procesa razvoja od strane tri koordinatne osi tri međusobno okomita pravca razvoja!

Ova inteligentna bića nastala su u samu zoru postojanja Univerzuma...

Nije uzalud Pitagora, koji je, očigledno, mogao imati ovo znanje, posjeduje izraz: "Sve se stvari sastoje od tri." O tome govori i N.K. Roerich: „Simbol Trojstva je od velike antike i nalazi se širom svijeta, stoga se ne može ograničiti na bilo koju sektu, organizaciju, religiju ili tradiciju, kao ni na lične ili grupne interese, jer predstavlja evoluciju svijesti u svim svojim fazama... Ispostavilo se da je znak Trojstva raširen po cijelom svijetu... Ako spojimo sve otiske istog znaka, onda će se možda pokazati kao najrasprostranjeniji i najstariji među ljudski simboli. Niko ne može tvrditi da ovaj znak pripada samo jednom vjerovanju ili da je zasnovan na jednom narodnom predanju.”

Nije uzalud još u antičko doba naš svijet predstavljan kao trojedino božanstvo (tri spojena u jedno): nešto jedno, cjelovito i nedjeljivo, po svom svetom značenju daleko nadmašuje njegove izvorne vrijednosti.

Pratili smo prostornu specijalizaciju (distribuciju duž koordinatnih pravaca prostora) unutar jednog sistema, ali možemo vidjeti potpuno istu distribuciju u svakom društvu od atoma do galaksija. Ova tri tipa prostora nisu ništa više od tri koordinatna stanja geometrijskog prostora.

Koliko dimenzija ima prostor svijeta u kojem živimo?

Kakvo pitanje! Naravno, običan čovjek će reći tri i biti u pravu. Ali postoji i posebna vrsta ljudi koji imaju stečenu sposobnost da sumnjaju u očigledne stvari. Ovi ljudi se zovu "učenjaci" jer su tome posebno naučeni. Za njih naše pitanje nije tako jednostavno: mjerenje prostora je neuhvatljiva stvar, ne mogu se jednostavno prebrojati pokazujući prstom: jedan, dva, tri. Njihov broj je nemoguće izmjeriti bilo kojim uređajem poput ravnala ili ampermetra: prostor ima 2,97 plus ili minus 0,04 dimenzije. Moramo dublje razmisliti o ovom pitanju i tražiti indirektne metode. Pokazalo se da su ovakva istraživanja plodan poduhvat: moderna fizika vjeruje da je broj dimenzija stvarnog svijeta usko povezan s najdubljim svojstvima materije. Ali put do ovih ideja započeo je revizijom našeg svakodnevnog iskustva.

Obično se kaže da svijet, kao i svako tijelo, ima tri dimenzije, koje odgovaraju trima različitim smjerovima, recimo, “visini”, “širini” i “dubini”. Čini se jasnim da je “dubina” prikazana na ravni crteža svedena na “visinu” i “širinu”, i da je u nekom smislu njihova kombinacija. Takođe je jasno da su u realnom trodimenzionalnom prostoru svi zamislivi pravci svedeni na neka tri unapred odabrana. Ali šta znači "smanjiti", "su kombinacija"? Gdje će biti ta "širina" i "dubina" ako se ne nađemo u pravokutnoj prostoriji, već u bestežinskom stanju negdje između Venere i Marsa? Konačno, ko može garantovati da je „visina“, recimo, u Moskvi i Njujorku, ista „dimenzija“?

Problem je u tome što već znamo odgovor na problem koji pokušavamo riješiti, a to nije uvijek korisno. E sad, kad bi se samo mogao naći u svijetu čiji se broj dimenzija ne zna unaprijed, i tražiti ih jednu po jednu Ili se, barem, tako odreći postojećeg znanja o stvarnosti kako bi sagledao njena izvorna svojstva na potpuno nov način.

Kaldrma matematički alat

Godine 1915., francuski matematičar Henri Lebesgue otkrio je kako odrediti broj dimenzija prostora bez korištenja pojmova visine, širine i dubine. Da biste razumjeli njegovu ideju, samo pažljivo pogledajte kaldrmu. Lako možete pronaći mjesta gdje se kamenje spaja po tri i četiri. Ulicu možete popločati kvadratnim pločicama, koje će stajati jedna uz drugu u dvije ili četiri; ako uzmete identične trokutaste pločice, one će biti susjedne u grupama od dvije ili šest. Ali ni jedan majstor ne može popločati ulicu tako da se kaldrma posvuda spaja samo po dvoje. Ovo je toliko očigledno da je smiješno sugerirati drugačije.

Matematičari se razlikuju od normalnih ljudi upravo po tome što uočavaju mogućnost ovakvih apsurdnih pretpostavki i iz njih mogu izvući zaključke. U našem slučaju, Lebesgue je zaključio kako slijedi: površina pločnika je, naravno, dvodimenzionalna. Istovremeno, na njemu se neizbježno nalaze tačke gdje se spajaju najmanje tri kaldrme. Pokušajmo da generalizujemo ovo zapažanje: recimo da je dimenzija neke površine jednaka N ako pri popločavanju nije moguće izbjeći kontakte od N + 1 ili više “kaldrme”. Sada će trodimenzionalnost prostora potvrditi svaki zidar: uostalom, kada se polaže debeli zid s nekoliko slojeva, sigurno će postojati točke na kojima će se dodirnuti najmanje četiri cigle!

Međutim, na prvi pogled se čini da se može pronaći, kako to matematičari nazivaju, „kontraprimjer“ Lebesgueovoj definiciji dimenzije. Ovo je pod od dasaka u kojem se podne daske dodiruju tačno dvije odjednom. Zašto ne popločati? Stoga je Lebesgue također zahtijevao da "kaldrma" koja se koristi za određivanje dimenzije bude mala. Ovo je važna ideja i vratit ćemo joj se na kraju - iz neočekivane perspektive. A sada je jasno da uvjet male veličine "kaldrme" spašava Lebesgueovu definiciju: recimo, kratki parketi, za razliku od dugih podnih dasaka, u nekim će se točkama nužno dodirivati u troje. To znači da tri dimenzije prostora nisu samo mogućnost da se proizvoljno biraju neka tri „različita“ pravca u njemu. Tri dimenzije su pravo ograničenje naših mogućnosti, što se lako može osjetiti ako se malo poigrate kockama ili kockicama.

Dimenzija prostora očima Stirlitza

Još jedno ograničenje povezano s trodimenzionalnošću prostora dobro osjeća zatvorenik zaključan u zatvorskoj ćeliji (na primjer, Stirlitz u Müllerovom podrumu). Kako ova kamera izgleda iz njegove tačke gledišta? Grubi betonski zidovi, čvrsto zaključana čelična vrata - jednom riječju, jedna dvodimenzionalna površina bez pukotina i rupa, koja sa svih strana ograđuje ograđeni prostor u kojem se nalazi. Od takve školjke zaista nema kuda pobjeći. Da li je moguće zaključati osobu unutar jednodimenzionalnog kola? Zamislite kako Müller kredom crta krug na podu oko Stirlitza i odlazi kući: ovo čak i ne predstavlja šalu.

Iz ovih razmatranja proizlazi još jedan način da se odredi broj dimenzija našeg prostora. Formulirajmo to ovako: moguće je ograditi područje N-dimenzionalnog prostora sa svih strana samo (N-1)-dimenzionalnom “površinom”. U dvodimenzionalnom prostoru "površina" će biti jednodimenzionalna kontura, u jednodimenzionalnom prostoru će biti dvije nuldimenzionalne tačke. Ovu definiciju je 1913. godine izmislio holandski matematičar Brouwer, ali je postala poznata tek osam godina kasnije, kada su je samostalno ponovo otkrili naš Pavel Uryson i Austrijanac Carl Menger.

Tu se naši putevi odvajaju od Lebesguea, Brouwera i njihovih kolega. Trebala im je nova definicija dimenzije da bi izgradili apstraktnu matematičku teoriju prostora bilo koje dimenzije do beskonačnosti. Ovo je čisto matematička konstrukcija, igra ljudskog uma, koja je dovoljno jaka čak i da shvati tako čudne objekte kao što je prostor beskonačne dimenzije. Matematičari ne pokušavaju da otkriju da li stvari sa takvom strukturom zaista postoje: to nije njihova profesija. Naprotiv, naš interes za broj dimenzija svijeta u kojem živimo je fizički: želimo saznati koliko ih zaista ima i kako osjetiti njihov broj „u svojoj koži“. Potrebni su nam fenomeni, a ne čiste ideje.

Karakteristično je da su svi navedeni primjeri manje-više pozajmljeni iz arhitekture. Upravo je ovo područje ljudske aktivnosti najtješnje povezano sa prostorom, kako nam se čini u običnom životu. Da bi se krenulo dalje u potrazi za dimenzijama fizičkog sveta, biće potreban pristup drugim nivoima stvarnosti. Oni su dostupni ljudima zahvaljujući modernoj tehnologiji, a time i fizici.

Kakve veze ima brzina svjetlosti s tim?

Vratimo se nakratko Stirlitzu, koji je ostao u ćeliji. Da bi izašao iz ljuske koja ga je pouzdano odvajala od ostatka trodimenzionalnog svijeta, koristio je četvrtu dimenziju, koja se ne boji dvodimenzionalnih barijera. Naime, malo je razmišljao i našao sebi odgovarajući alibi. Drugim riječima, nova misteriozna dimenzija koju je Stirlitz iskoristio bilo je vrijeme.

Teško je reći ko je prvi uočio analogiju između vremena i dimenzija prostora. Pre dva veka oni su već znali za ovo. Joseph Lagrange, jedan od tvoraca klasične mehanike, nauke o kretanju tijela, uporedio je to s geometrijom četverodimenzionalnog svijeta: njegovo poređenje zvuči kao citat iz moderne knjige o općoj relativnosti.

Lagrangeov tok misli je, međutim, lako razumjeti. U njegovo vrijeme već su bili poznati grafovi zavisnosti varijabli od vremena, poput današnjih kardiograma ili grafikona mjesečnih temperaturnih varijacija. Takvi grafovi se crtaju na dvodimenzionalnoj ravni: putanja koju pređe varijabla iscrtava se duž ordinatne ose, a proteklo vrijeme se crta duž ose apscise. U ovom slučaju, vrijeme zaista postaje samo “druga” geometrijska dimenzija. Na isti način, možete ga dodati u trodimenzionalni prostor našeg svijeta.

Ali da li je vrijeme zaista poput prostornih dimenzija? Na ravni sa ucrtanim grafikonom istaknuta su dva „smislena“ pravca. A pravci koji se ne poklapaju ni sa jednom osom nemaju nikakvo značenje, oni ne predstavljaju ništa. Na običnoj geometrijskoj dvodimenzionalnoj ravni, svi pravci su jednaki, nema označenih osa.

Vrijeme se zaista može smatrati četvrtom koordinatom samo ako se ne razlikuje od drugih pravaca u četverodimenzionalnom “prostor-vremenu”. Moramo pronaći način da "rotiramo" prostor-vrijeme tako da se vrijeme i prostorne dimenzije "pomiješaju" i mogu, u određenom smislu, transformirati jedna u drugu.

Ovu metodu su pronašli Albert Einstein, koji je stvorio teoriju relativnosti, i Hermann Minkowski, koji joj je dao strogi matematički oblik. Iskoristili su činjenicu da u prirodi postoji univerzalna brzina brzina svjetlosti.

Uzmimo dvije tačke u prostoru, svaka u svom trenutku u vremenu, ili dva “događaja” u žargonu teorije relativnosti. Ako vremenski interval između njih, mjeren u sekundama, pomnožite sa brzinom svjetlosti, dobićete određenu udaljenost u metrima. Pretpostavit ćemo da je ovaj zamišljeni segment “okomit” na prostornu udaljenost između događaja, a zajedno čine “krake” nekog pravokutnog trokuta, čija je “hipotenuza” segment u prostor-vremenu koji povezuje odabrane događaje. Minkowski je predložio: da bismo pronašli kvadrat dužine “hipotenuze” ovog trokuta, kvadrat dužine “prostornog” kraka nećemo dodati kvadratu dužine “vremenskog” kraka, već oduzmi to. Naravno, ovo može rezultirati negativnim rezultatom: tada se smatra da “hipotenuza” ima zamišljenu dužinu! Ali koja je poenta?

Kada se ravnina rotira, zadržava se dužina bilo kojeg segmenta nacrtanog na njoj. Minkowski je shvatio da je potrebno razmotriti takve "rotacije" prostor-vremena koje čuvaju "dužinu" segmenata između događaja koje je on predložio. Tako je moguće osigurati da brzina svjetlosti bude univerzalna u konstruiranoj teoriji. Ako su dva događaja povezana svjetlosnim signalom, tada je "razdaljina Minkovskog" između njih nula: prostorna udaljenost poklapa se s vremenskim intervalom pomnoženim brzinom svjetlosti. “Rotacija” koju je predložio Minkowski drži ovu “udaljenost” na nuli, bez obzira na to koliko se prostor i vrijeme miješaju tokom “rotacije”.

Ovo nije jedini razlog zašto Minkowskijeva "udaljenost" ima stvarno fizičko značenje, uprkos svojoj krajnje čudnoj definiciji za neuvježbanu osobu. “Udaljenost” Minkovskog pruža način da se konstruiše “geometrija” prostor-vremena tako da se i prostorni i vremenski intervali između događaja mogu učiniti jednakim. Možda je to upravo glavna ideja teorije relativnosti.

Dakle, vrijeme i prostor našeg svijeta toliko su usko povezani jedno s drugim da je teško razumjeti gdje jedno završava, a gdje počinje drugo. Zajedno čine nešto poput pozornice na kojoj se izvodi predstava “Istorija svemira”. Likovi su čestice materije, atomi i molekuli od kojih se sastavljaju galaksije, magline, zvijezde, planete, a na nekim planetama čak i živi inteligentni organizmi (čitalac bi trebao znati barem jednu takvu planetu).

Na osnovu otkrića svojih prethodnika, Ajnštajn je stvorio novu fizičku sliku sveta, u kojoj su prostor i vreme bili neodvojivi jedno od drugog, a stvarnost je postala zaista četvorodimenzionalna. I u ovoj četvorodimenzionalnoj stvarnosti, jedna od dve „fundamentalne interakcije” poznate nauci u to vreme „rastvorena”: zakon univerzalne gravitacije sveden je na geometrijsku strukturu četvorodimenzionalnog sveta. Ali Ajnštajn nije mogao ništa da uradi sa drugom fundamentalnom interakcijom – elektromagnetskom.

Prostor-vrijeme poprima nove dimenzije

Opšta teorija relativnosti je toliko lijepa i uvjerljiva da su odmah nakon što je postala poznata, drugi naučnici pokušali dalje slijediti isti put. Da li je Ajnštajn sveo gravitaciju na geometriju? To znači da njegovim sljedbenicima ostaje da geometrizuju elektromagnetne sile!

Pošto je Ajnštajn iscrpeo mogućnosti metrike četvorodimenzionalnog prostora, njegovi sledbenici su počeli da pokušavaju da nekako prošire skup geometrijskih objekata iz kojih bi se takva teorija mogla konstruisati. Sasvim je prirodno da su željeli povećati broj dimenzija.

Ali dok su se teoretičari bavili geometrizacijom elektromagnetnih sila, otkrivene su još dvije fundamentalne interakcije - takozvana jaka i slaba. Sada je bilo potrebno kombinovati četiri interakcije. Istovremeno, pojavile su se brojne neočekivane poteškoće, za prevazilaženje kojih su izmišljene nove ideje, što je naučnike sve više udaljavalo od vizuelne fizike prošlog veka. Počeli su razmatrati modele svjetova s desetinama, pa čak i stotinama dimenzija, a dobro im je došao i beskonačno-dimenzionalni prostor. Da bi se pričalo o ovim pretragama, trebalo bi napisati čitavu knjigu. Važno nam je još jedno pitanje: gdje se nalaze sve te nove dimenzije? Da li ih je moguće osjetiti na isti način kao što osjećamo vrijeme i trodimenzionalni prostor?

Zamislite dugu i vrlo tanku cijev - na primjer, prazno vatrogasno crijevo, smanjeno hiljadu puta. To je dvodimenzionalna površina, ali su njene dvije dimenzije nejednake. Jedno od njih, dužina, lako je uočiti - to je "makroskopsko" mjerenje. Perimetar, "poprečna" dimenzija, može se vidjeti samo pod mikroskopom. Moderni višedimenzionalni modeli svijeta slični su ovoj cijevi, iako nemaju jednu, već četiri makroskopske dimenzije - tri prostorne i jednu vremensku. Preostale dimenzije u ovim modelima ne mogu se vidjeti čak ni pod elektronskim mikroskopom. Da bi otkrili njihove manifestacije, fizičari koriste akceleratore - vrlo skupe, ali grube "mikroskope" za subatomski svijet.

Dok su neki naučnici usavršavali ovu impresivnu sliku, briljantno savladavajući jednu prepreku za drugom, drugi su imali nezgodno pitanje:

Može li dimenzija biti razlomka?

Zašto ne? Da biste to učinili, samo trebate “jednostavno” pronaći novo svojstvo dimenzije koje bi ga moglo povezati s brojevima koji nisu cijeli, i geometrijskim objektima koji imaju ovo svojstvo i imaju razlomku dimenziju. Ako želimo pronaći, na primjer, geometrijsku figuru koja ima jednu i po dimenziju, onda imamo dva načina. Možete pokušati da oduzmete polovinu dimenzije od dvodimenzionalne površine ili da dodate polovinu dimenzije jednodimenzionalnoj liniji. Da bismo to učinili, prvo vježbajmo dodavanje ili oduzimanje cijele dimenzije.

Postoji tako poznati dječji trik. Mađioničar uzima trouglasti komad papira, pravi rez na njemu makazama, savija list na pola duž linije reza, pravi još jedan rez, ponovo ga savija, seče posljednji put i gore! U njegovim rukama je vijenac od osam trokuta, od kojih je svaki potpuno sličan originalnom, ali osam puta manji po površini (i kvadratnom korijenu od osam puta). Možda je ovaj trik pokazao italijanskom matematičaru Giuseppeu Peanu 1890. (ili ga je možda i sam volio pokazati), u svakom slučaju, tada je to primijetio. Uzmimo savršen papir, savršene makaze i ponovimo sekvencu rezanja i savijanja beskonačan broj puta. Tada će veličine pojedinačnih trouglova dobijenih u svakom koraku ovog procesa težiti nuli, a sami trokuti će se smanjiti na tačke. Dakle, iz dvodimenzionalnog trougla ćemo dobiti jednodimenzionalnu liniju bez gubitka nijednog komada papira! Ako ovu liniju ne razvučete u vijenac, već je ostavite tako "zgužvanu" kao što smo to učinili prilikom rezanja, tada će u potpunosti ispuniti trokut. Štaviše, pod kojim god snažnim mikroskopom pregledali ovaj trokut, uvećavajući njegove fragmente bilo koji broj puta, rezultirajuća slika će izgledati potpuno isto kao i neuvećana: znanstveno govoreći, Peano kriva ima istu strukturu na svim skalama povećanja, ili je “ skalirana "invarijantna."

Dakle, savijajući se bezbroj puta, jednodimenzionalna kriva bi, takoreći, mogla dobiti dimenziju dva. To znači da postoji nada da će manje “zgužvana” kriva imati “dimenziju” od, recimo, jedan i po. Ali kako možemo pronaći način za mjerenje frakcijskih dimenzija?

U određivanju dimenzija „kaldrme“, kako se čitalac sjeća, bilo je potrebno koristiti prilično male „kaldrme“, inače bi rezultat mogao biti netačan. Ali trebat će vam puno malih "kaldrma": što je njihova veličina manja, to više. Ispada da za određivanje dimenzije nije potrebno proučavati kako su "kaldrma" jedna uz drugu, već je dovoljno samo otkriti kako se njihov broj povećava kako se veličina smanjuje.

Uzmimo odsječak prave dužine 1 decimetar i dvije Peano krive, koji zajedno ispunjavaju kvadrat koji mjeri decimetar po decimetar. Pokrićemo ih malim kvadratnim "kaldrmom" sa dužinom stranice od 1 centimetar, 1 milimetar, 0,1 milimetar i tako dalje, sve do mikrona. Ako veličinu "kaldrme" izrazimo u decimetrima, tada će segmentu biti potreban broj "kaldrme" jednak njihovoj veličini na stepen minus jedan, a za Peano krivulje jednak njihovoj veličini na stepen minus dva. Štaviše, segment definitivno ima jednu dimenziju, a Peano kriva, kao što smo vidjeli, ima dvije. Ovo nije samo slučajnost. Eksponent u odnosu koji povezuje broj „kaldrme“ sa njihovom veličinom je zaista jednak (sa predznakom minus) dimenziji figure koja je njima prekrivena. Posebno je važno da eksponent može biti razlomak. Na primjer, za krivulju koja je posredna u svojoj "zgrudvavosti" između obične linije i ponekad gusto ispunjava kvadrat Peanoovih krivulja, vrijednost indikatora će biti veća od 1 i manja od 2. Ovo otvara put na koji trebamo odrediti frakcijske dimenzije.

Tako je, na primjer, određena veličina obale Norveške, zemlje koja ima vrlo neravnu (ili "zgužvanu", kako vam je draže) obalu. Naravno, popločavanje norveške obale kaldrmom nije se odvijalo na tlu, već na karti iz geografskog atlasa. Rezultat (ne baš tačan zbog nemogućnosti u praksi dostizanja beskonačno male “kaldrme”) bio je 1,52 plus-minus jedna stotinka. Jasno je da dimenzija ne može biti manja od jedan, jer se i dalje radi o "jednodimenzionalnoj" liniji, a više od dvije, pošto je obala Norveške "ucrtana" na dvodimenzionalnoj površini globusa .

Čovjek kao mjera svih stvari

Razlomačne dimenzije su velike, čitalac može reći ovdje, ali kakve veze imaju s pitanjem broja dimenzija svijeta u kojem živimo? Može li se dogoditi da je dimenzija svijeta razlomka, a ne baš jednaka tri?

Primjeri Peano krivulje i norveške obale pokazuju da se frakcijska dimenzija dobija ako je kriva linija jako "zgužvana", uklopljena u beskonačno male nabore. Proces određivanja frakcijske dimenzije uključuje i korištenje beskonačno opadajuće „kaldrme“ kojom pokrivamo krivu koju proučavamo. Stoga se frakcijska dimenzija, znanstveno gledano, može manifestirati samo „na dovoljno malim skalama“, odnosno eksponent u omjeru koji povezuje broj „kaldrme“ s njihovom veličinom može samo u graničnoj mjeri dostići svoju frakcijsku vrijednost. Naprotiv, jedna ogromna kaldrma može pokriti fraktal objekt frakcijske dimenzije konačnih dimenzija koji se ne može razlikovati od tačke.

Za nas je svijet u kojem živimo, prije svega, razmjer na kojem nam je dostupan u svakodnevnoj stvarnosti. Uprkos zadivljujućim dostignućima tehnologije, njegove karakteristične dimenzije i dalje su određene oštrinom našeg vida i daljinom naših hoda, karakteristični vremenski periodi brzinom naše reakcije i dubinom našeg pamćenja, karakterističnim količinama energije snagu interakcija u koje naše tijelo ulazi sa okolnim stvarima. Nismo mnogo nadmašili drevne ovdje, a vrijedi li tome težiti? Prirodne i tehnološke katastrofe donekle proširuju razmjere „naše“ stvarnosti, ali ih ne čine kosmičkim. Mikrosvijet je još nedostupniji u našem svakodnevnom životu. Svijet koji nam je otvoren je trodimenzionalan, “gladak” i “ravan”, savršeno ga opisuje geometrija starih Grka; dostignuća nauke na kraju treba da služe ne toliko širenju koliko zaštiti njenih granica.

Dakle, koji je odgovor ljudima koji čekaju otkriće skrivenih dimenzija našeg svijeta? Avaj, jedina nam dostupna dimenzija koju svijet ima izvan tri prostorne je vrijeme. Da li je malo ili mnogo, staro ili novo, divno ili obično? Vrijeme je jednostavno četvrti stepen slobode i može se koristiti na mnogo različitih načina. Prisjetimo se još jednom istog Stirlitza, inače, fizičara po obrazovanju: svaki trenutak ima svoj razlog

Andrey Sobolevsky