Definicija lopte. Matematika

Lopta je tijelo koje se sastoji od svih tačaka u prostoru koje se nalaze na udaljenosti ne većoj od date od date tačke. Ova tačka se naziva središte lopte, a ovo rastojanje se naziva poluprečnik lopte. Granica lopte naziva se sferna površina ili sfera. Tačke sfere su sve tačke lopte koje su udaljene od centra na udaljenosti jednakoj poluprečniku. Svaki segment koji povezuje centar lopte sa tačkom na sfernoj površini naziva se i radijus. Segment koji prolazi kroz centar lopte i povezuje dvije tačke na sfernoj površini naziva se prečnik. Krajevi bilo kojeg promjera nazivaju se dijametralno suprotne točke lopte.

Lopta je tijelo okretanja, baš kao stožac i cilindar. Lopta se dobija rotacijom polukruga oko svog prečnika kao ose.

Površina lopte može se pronaći pomoću formula:

gdje je r poluprečnik lopte, d je prečnik lopte.

Zapremina lopte se nalazi po formuli:

V = 4 / 3 πr 3,

gde je r poluprečnik lopte.

Teorema. Svaki dio lopte ravninom je krug. Središte ove kružnice je osnova okomice povučene iz centra lopte na ravan sečenja.

Na osnovu ove teoreme, ako je lopta sa središtem O i poluprečnikom R presječena ravninom α, tada poprečni presjek rezultira kružnicom polumjera r sa središtem K. Poluprečnik presjeka lopte ravninom može biti pronađeno po formuli

Iz formule je jasno da ravni jednako udaljene od centra sijeku loptu u jednakim krugovima. Radijus presjeka je veći što je rezna ravnina bliža centru lopte, odnosno što je udaljenost OK manja. Najveći polumjer ima presjek ravninom koja prolazi kroz centar lopte. Poluprečnik ove kružnice jednak je poluprečniku lopte.

Ravan koja prolazi kroz centar lopte naziva se središnja ravan. Presjek lopte dijametralnom ravninom naziva se veliki krug, a presjek sfere veliki krug, a presjek sfere veliki krug.

Teorema. Svaka dijametralna ravan lopte je njena ravan simetrije. Centar lopte je njen centar simetrije.

Ravan koja prolazi kroz tačku A sferne površine i okomita je na poluprečnik povučen u tačku A naziva se tangentna ravan. Tačka A naziva se tačka tangente.

Teorema. Tangentna ravan ima samo jednu zajedničku tačku sa loptom - tačku dodira.

Prava linija koja prolazi kroz tačku A sferne površine okomita na polumjer povučen u ovu tačku naziva se tangenta.

Teorema. Beskonačan broj tangenta prolazi kroz bilo koju tačku na sfernoj površini i sve leže u tangentnoj ravni lopte.

Sferni segment je dio lopte odsječen od njega ravninom. Krug ABC je osnova sfernog segmenta. Okomit segment MN povučen iz središta N kružnice ABC do presjeka sa sfernom površinom je visina sfernog segmenta. Tačka M je vrh sfernog segmenta.

Površina sfernog segmenta može se izračunati pomoću formule:

Volumen sfernog segmenta može se pronaći pomoću formule:

V = πh 2 (R – 1/3h),

gdje je R radijus velikog kruga, h je visina sfernog segmenta.

Sferni sektor se dobija iz sfernog segmenta i konusa na sledeći način. Ako je sferni segment manji od hemisfere, tada se sferni segment nadopunjuje konusom, čiji je vrh u središtu lopte, a baza je baza segmenta. Ako je segment veći od hemisfere, tada se navedeni konus uklanja iz njega.

Sferni sektor je dio lopte omeđen zakrivljenom površinom sfernog segmenta (na našoj slici, ovo je AMCB) i konusnom površinom (na našoj slici, ovo je OABC), čija je osnova osnova segment (ABC), a vrh je centar lopte O.

Volumen sfernog sektora se nalazi po formuli:

V = 2/3 πR 2 H.

Sferni sloj je dio lopte zatvoren između dvije paralelne ravni (ravnine ABC i DEF na slici) koje seku sfernu površinu. Zakrivljena površina sfernog sloja naziva se sferni pojas (zona). Krugovi ABC i DEF su osnove sfernog pojasa. Udaljenost NK između osnova sfernog pojasa je njegova visina.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Lopta i kugla su, prije svega, geometrijske figure, a ako je lopta geometrijsko tijelo, onda je sfera površina lopte. Ove brojke su bile zanimljive prije mnogo hiljada godina prije nove ere.

Nakon toga, kada je otkriveno da je Zemlja lopta, a nebo nebeska sfera, razvio se novi fascinantan pravac u geometriji - geometrija na sferi ili sferna geometrija. Da bismo govorili o veličini i volumenu lopte, prvo je morate definirati.

Lopta

Kugla polumjera R sa centrom u tački O u geometriji je tijelo koje stvaraju sve tačke u prostoru koje imaju zajedničko svojstvo. Ove tačke se nalaze na udaljenosti koja ne prelazi radijus lopte, odnosno ispunjavaju cijeli prostor manji od polumjera lopte u svim smjerovima od njenog središta. Ako uzmemo u obzir samo one tačke koje su jednako udaljene od centra lopte, razmotrićemo njenu površinu ili školjku lopte.

Kako mogu dobiti loptu? Možemo izrezati krug od papira i početi ga rotirati oko vlastitog prečnika. To jest, promjer kruga će biti osa rotacije. Formirana figura će biti lopta. Stoga se lopta naziva i tijelom okretanja. Jer se može formirati rotiranjem ravne figure - kruga.

Uzmimo avion i njime isjecimo našu loptu. Baš kao što smo narandžu sekli nožem. Komad koji odsiječemo od lopte nazivamo sferni segment.

U staroj Grčkoj znali su ne samo raditi s loptom i sferom kao geometrijskim figurama, na primjer, koristiti ih u konstrukciji, već su znali i izračunati površinu lopte i volumen lopte.

Sfera je drugo ime za površinu lopte. Sfera nije tijelo - to je površina tijela okretanja. Međutim, budući da i Zemlja i mnoga tijela imaju sferni oblik, na primjer kap vode, proučavanje geometrijskih odnosa unutar sfere postalo je široko rasprostranjeno.

Na primjer, ako dvije tačke sfere povežemo jednu s drugom ravnom linijom, tada se ova prava linija naziva tetivom, a ako ova tetiva prolazi kroz centar sfere, koji se poklapa sa centrom lopte, tada tetiva se naziva prečnik sfere.

Ako povučemo pravu liniju koja dodiruje sferu u samo jednoj tački, tada ćemo ovu liniju zvati tangenta. Osim toga, ova tangenta na sferu u ovoj tački bit će okomita na polumjer sfere povučene do tačke kontakta.

Ako tetivu produžimo na pravu liniju u jednom ili drugom smjeru od sfere, onda će se ova tetiva zvati sekansa. Ili možemo reći drugačije - sekansa sfere sadrži njen akord.

Volumen lopte

Formula za izračunavanje zapremine lopte je:

gdje je R polumjer lopte.

Ako trebate pronaći volumen sfernog segmenta, koristite formulu:

V seg =πh 2 (R-h/3), h je visina sfernog segmenta.

Površina lopte ili kugle

Da biste izračunali površinu kugle ili površinu lopte (to je ista stvar):

gdje je R polumjer sfere.

Arhimed je jako volio loptu i sferu, čak je tražio da na njegovoj grobnici ostavi crtež u kojem je lopta bila upisana u cilindar. Arhimed je verovao da su zapremina lopte i njena površina jednake dve trećine zapremine i površine cilindra u koji je lopta upisana.”

Lopta (sfera)

Sferna površina. Lopta (sfera). Loptaste sekcije: krugovima.

Arhimedova teorema. Dijelovi lopte: sferni segment,

sferni sloj, sferni pojas, sferni sektor.

Sferna površina - Ovo lokus tačaka(one. mnogibroj svih bodova)u prostoru, jednako udaljen od jedne tačke O , koji se naziva središte sferne površine (Sl.90). Radijus AOi prečnika AB određuju se na isti način kao u krugu.

Lopta (sfera) - Ovo tijelo omeđeno sferičnom površinom. Može dobiti loptu rotirajući polukrug ( ili krug ) oko prečnika. Svi ravni preseci lopte su krugovima ( Fig.90 ). Najveći krug leži u dijelu koji prolazi kroz centar lopte i zove se veliki krug. Njegov radijus je jednak poluprečniku lopte. Bilo koja dva velika kruga sijeku se duž prečnika lopte ( AB, sl.91 ).Ovaj prečnik je ujedno i prečnik velikih kružnica koje se sijeku. Kroz dvije točke sferne površine smještene na krajevima istog promjera(A i B, sl.91 ), možete nacrtati bezbroj velikih krugova. Na primjer, kroz Zemljine polove može se povući beskonačan broj meridijana.

Zapremina sfere je jedan i po puta manja od zapremine cilindra koji je opisan oko nje. (Sl.92 ), A površina lopte je jedan i pol puta manja od ukupne površine istog cilindra ( Arhimedova teorema):

Evo S lopta I V lopta - površina i zapremina lopte, respektivno;

S cyl I V cyl - ukupna površina i zapremina opisanog cilindra.

Dijelovi lopte. Dio lopte (sfere) ), odsječen od njega nekim avionom ( ABC, sl.93), pozvao lopta(sferni ) segment. Circle ABC pozvao osnovu segment lopte. Segment linije MN okomito povučeno iz centra N krug ABC dok se ne ukrsti sa sfernom površinom, naziva se visina segment lopte. Dot M pozvao top segment lopte.

Dio sfere zatvoren između dvije paralelne ravni ABC i DEF sijeku sfernu površinu (Sl. 93), pozvao sferni sloj; zakrivljena površina sfernog sloja naziva se loptasti pojas(zona). Krugovi ABC i DEF – osnove loptasti pojas. Razdaljina N.K. između baza sfernog pojasa - njegova visina. Dio lopte omeđen zakrivljenom površinom sfernog segmenta ( AMCB, Sl.93) i konusne površine OABC , čija je osnova osnova segmenta ( ABC ), a vrh je centar lopte O , zvao sferni sektor.

Kada se ljudi pitaju koja je razlika između kugle i lopte, mnogi jednostavno sliježu ramenima, misleći da su u stvari ista stvar (analogija s krugom i krugom). Zaista, da li svi dobro poznajemo geometriju iz školskog programa i možemo li odmah odgovoriti na ovo pitanje? Sfera ima neke razlike od lopte, koju ne samo školarci moraju znati da bi dobili dobru ocjenu za pokazano znanje, već i mnogi drugi ljudi, na primjer, čiji je rad direktno vezan za crteže.

Definicija

Lopta– skup svih tačaka u prostoru. Sve ove tačke nalaze se od centra geometrijskog tijela na udaljenosti koja nije veća od dane. Sama ta udaljenost naziva se radijus. Kugla, kao geometrijsko tijelo, formira se na sljedeći način: polukrug se rotira u blizini svog prečnika. Što se tiče sfere, ovo je površina lopte (na primjer, zatvorena lopta je uključuje, otvorena ne). Izračunavanje površine ili zapremine lopte uključuje čitave geometrijske formule koje su vrlo složene, uprkos prividnoj jednostavnosti same geometrijske figure.

Sfera, kao što je gore navedeno, je površina lopte, njena ljuska. Sve tačke u prostoru su jednako udaljene od centra sfere. Što se tiče polumjera geometrijskog tijela, naziva se bilo koji segment, čija je jedna točka direktno središte sfere, a druga se može nalaziti u bilo kojoj tački površine. Možemo reći da je sfera školjka lopte bez ikakvog sadržaja (konkretniji primjeri će biti dati u nastavku). Baš kao i lopta, sfera je tijelo koje se rotira. Inače, mnogi se pitaju i koja je razlika između kruga i kruga od sfere i lopte. Ovdje je sve jednostavno: u prvom slučaju to su figure na ravni, u drugom - u prostoru.

Poređenje

Već je rečeno da je sfera površina lopte, što već omogućava da se govori o jednom značajnom znaku razlike. Razlika između dva geometrijska tijela uočena je u nekim drugim aspektima:

• Sve tačke lopte su na istoj udaljenosti od centra, dok je telo ograničeno površinom (sferom koja je unutra prazna). Drugim riječima, sfera je šuplja. Obično se radi lakšeg razumijevanja navodi jednostavan primjer s balonom i loptom za bilijar. Oba ova objekta se nazivaju kugle, ali u prvom slučaju imamo posla sa sferom, a u drugom sa punopravnom loptom sa svojim sadržajem unutra.
• Sfera ima svoju površinu, ali nema zapreminu. Sfera je suprotna: njen volumen se može izračunati, dok nema površinu. Neki će možda reći da je to glavni znak razlike, ali se pojavljuje samo ako je potrebno napraviti neke proračune (složene geometrijske formule). Dakle, glavna razlika je u tome što je sfera šuplja, a lopta je tijelo sa sadržajem unutra.
• Druga razlika leži u radijusu. Na primjer, radijus sfere nije samo udaljenost tačaka do centra. Radijus može biti bilo koji segment koji povezuje tačku na sferi sa njenim centrom. Svi ovi segmenti su međusobno jednaki. Što se tiče lopte, tačke koje leže unutar nje su manje od poluprečnika udaljene od centra (upravo zbog sfere koja je ograničava).

Zaključci web stranica

1. Sfera je šuplja, dok je lopta tijelo ispunjeno unutra. Na primjer, balon na vrući zrak je kugla, a kugla za bilijar je punopravna lopta.
2. Sfera ima površinu i nema zapreminu, ali sfera radi suprotno.
3. Treća razlika je mjerenje polumjera dva geometrijska tijela.

Definicija.

Sfera se može opisati kao trodimenzionalna figura koja se formira rotacijom kruga oko svog prečnika za 180° ili polukruga oko svog prečnika za 360°.

Definicija.

Lopta se može opisati kao trodimenzionalna figura koja se formira rotacijom kruga oko svog prečnika za 180° ili polukruga oko svog prečnika za 360°.

Definicija. Radijus sfere (lopte)(R) je udaljenost od centra sfere (kuglice) O na bilo koju tačku na sferi (površina lopte).

Definicija. Prečnik sfere (kuglice).(D) je segment koji spaja dvije tačke sfere (površine lopte) i prolazi kroz njeno središte.

Formula. Volumen lopte:

Formula. Površina sfere kroz radijus ili prečnik:

S = 4π R 2 = π D 2

Jednačina sfere

1. Jednačina sfere poluprečnika R i centra u početku kartezijanskog koordinatnog sistema:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Jednadžba sfere poluprečnika R i centra u tački sa koordinatama (x 0, y 0, z 0) u Dekartovom koordinatnom sistemu:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definicija. Dijametralno suprotne tačke su bilo koje dvije tačke na površini lopte (sfere) koje su povezane prečnikom.

Osnovna svojstva kugle i lopte

1. Sve tačke sfere su podjednako udaljene od centra.

2. Bilo koji presjek kugle ravninom je krug.

3. Bilo koji presjek lopte ravninom je krug.

4. Sfera ima najveći volumen među svim prostornim figurama sa istom površinom.

5. Kroz bilo koje dvije dijametralno suprotne tačke možete nacrtati mnogo velikih krugova za kuglu ili krugova za loptu.

6. Kroz bilo koje dvije tačke, osim dijametralno suprotnih tačaka, možete nacrtati samo jedan veliki krug za kuglu ili veliki krug za loptu.

7. Bilo koja dva velika kruga jedne lopte seku se duž prave linije koja prolazi kroz centar lopte, a kružnice se seku u dve dijametralno suprotne tačke.

8. Ako je udaljenost između centara bilo koje dvije lopte manja od zbira njihovih poluprečnika i veća od modula razlike njihovih poluprečnika, tada takve kuglice presecati, a u presječnoj ravni se formira kružnica.

Sekans, tetiva, sekantna ravan sfere i njihova svojstva

Definicija. Sekansa sfere je prava linija koja seče sferu u dve tačke. Tačke ukrštanja se nazivaju tačke pirsinga površine ili ulazne i izlazne tačke na površini.

Definicija. Akord sfere (lopte)- ovo je segment koji povezuje dvije tačke na sferi (površini lopte).

Definicija. Ravan za sečenje je ravan koja seče sferu.

Definicija. Prečnik ravni- ovo je sekantna ravan koja prolazi kroz centar sfere ili lopte, prema tome se formira presjek veliki krug I veliki krug. Veliki krug i veliki krug imaju centar koji se poklapa sa centrom sfere (lopte).

Svaka tetiva koja prolazi kroz centar sfere (kuglice) je prečnik.

Tetiva je segment sekantne linije.

Udaljenost d od centra sfere do sekante je uvijek manja od polumjera sfere:

d< R

Udaljenost m između sečne ravni i centra sfere je uvijek manja od polumjera R:

m< R

Lokacija presjeka rezne ravni na sferi će uvijek biti mali krug, a na lopti će biti dio mali krug. Mali krug i mali krug imaju svoja središta koja se ne poklapaju sa centrom sfere (lopte). Poluprečnik r takvog kruga može se naći pomoću formule:

r = √R 2 - m 2,

Gdje je R polumjer kugle (kuglice), m je rastojanje od centra lopte do ravni sečenja.

Definicija. hemisfera (hemisfera)- ovo je polovina kugle (kuglice), koja nastaje kada se preseče dijametralnom ravninom.

Tangenta, tangentna ravan na sferu i njihova svojstva

Definicija. Tangenta na sferu je prava linija koja dodiruje sferu samo u jednoj tački.

Definicija. Tangentna ravan na sferu je ravan koja dodiruje sferu samo u jednoj tački.

Tangentna linija (ravan) je uvijek okomita na polumjer sfere povučene do tačke dodira

Udaljenost od centra sfere do tangente (ravnine) jednaka je poluprečniku sfere.

Definicija. Segment lopte- ovo je dio lopte koji je reznom ravninom odsječen od lopte. Osnova segmenta nazvan krug koji se formirao na mestu preseka. Visina segmenta h je dužina okomice povučene od sredine osnove segmenta do površine segmenta.

Formula. Površina vanjske površine segmenta sfere sa visinom h kroz poluprečnik sfere R:

S = 2πRh