Generalizirane koordinate i generalizirane sile. Generalizovane koordinate i generalizovane sile Kako izgleda rad sila u generalizovanim koordinatama

Analitička mehanika. Klasifikacija veza. Primjeri. Moguća kretanja.

Veza– ovo je odnos između koordinata i brzina tačaka sistema, predstavljen u obliku jednakosti ili nejednakosti.

Klasifikacija:

Geometrijski– nameće ograničenja samo na koordinate tačaka sistema (brzine nisu uključene)

Kinematic– brzine ulaze u jednačine. Ako se možete riješiti brzina, onda je veza integrirana.

Holonomske veze– geometrijske i integrabilne diferencijalne veze.

Veza se zove holding(nametnuta ili ograničenja ostaju u bilo kojoj poziciji sistema) i neobuzdan, koji ne poseduju ovo svojstvo (od takvih veza, kako kažu, sistem se može "osloboditi"

Moguće preseljenje

Bilo koji mentalni

Infinitezimal

Pomicanje sistemskih tačaka je dozvoljeno

U ovom trenutku

Veze nametnute sistemu.

Stvarno kretanje– zavisi od sila, vremena, veza, početnih uslova.

Moguće kretanje zavisi samo od veza.

Za stacionarne veze, stvarno kretanje je jedno od mogućih.

Idealne veze. Princip mogućih pokreta.

Idealno nazivaju se veze za koje je zbir elementarnih radova svih njihovih reakcija na bilo koji mogući pomak jednak 0.

Princip mogućih pokreta.

Za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim stacionarnim vezama potrebno je i dovoljno da zbir elementarnog rada svih aktivnih sila na bilo koji mogući pomak bude jednak 0. U ovom slučaju, za dovoljnost, početna brzina mora biti jednaka na nulu. Neophodan saldo => Dovoljan => saldo.

Generalizirane koordinate. Broj stepeni slobode sistema. Generalizirane sile, metode za njihovo izračunavanje. Uslovi ravnoteže za sistem sa holonomskim ograničenjima, izraženi u terminima generalizovanih sila.

Generalizirane koordinate– nezavisni parametar koji u potpunosti određuje položaj sistema i kroz koji se mogu izraziti sve kartezijanske koordinate tačaka u sistemu.

Broj stupnjeva slobode određen je brojem generaliziranih koordinata

Broj međusobno nezavisnih skalarnih veličina koje na jedinstven način određuju položaj mehaničkog sistema u prostoru naziva se broj stepeni slobode.

Generalizovane koordinate mehaničkog sistema su bilo koje geometrijske veličine nezavisne jedna od druge koje na jedinstven način određuju položaj sistema u prostoru.

Q i = δA j /δq j ili δA j = Q i ⋅ δq j .

Generalizovana sila- ovo je sila koja vrši isti rad na mogućem pomaku duž svoje generalizovane koordinate kao i sve sile koje se primjenjuju na sistem na odgovarajući pomak tačaka njihove primjene.

Da bismo pronašli generaliziranu silu, dajemo mogući pomak duž njene generalizirane koordinate, ostavljajući ostale koordinate nepromijenjene. Zatim nalazimo rad koji su izvršile sve sile primijenjene na sistem i podijelimo ga sa mogućim pomakom.

Princip mogućih pomaka u terminima generalizovanih sila.

Budući da je u ravnoteži zbir elementarnog rada na bilo kojem mogućem pomaku ( bA=bq j , koje ne zavise jedna od druge, onda za ovo mora da važi sledeće: Q 1 =0; Q 2 =0; Q K =0

Definicija generaliziranih sila

Za sistem sa jednim stepenom slobode, generalizovana sila koja odgovara generalizovanoj koordinati q, naziva se količina određena formulom

gdje d q– mali prirast generalizovane koordinate; – zbir elementarnih radova sila sistema na njegovom mogućem kretanju.

Podsjetimo da je moguće kretanje sistema definirano kao pomicanje sistema u beskonačno blisku poziciju koju veze dozvoljavaju u datom trenutku (za više detalja vidjeti Dodatak 1).

Poznato je da je zbir rada reakcionih sila idealnih veza na bilo koji mogući pomak sistema jednak nuli. Dakle, za sistem sa idealnim vezama u izrazu treba uzeti u obzir samo rad aktivnih sila sistema. Ako veze nisu idealne, tada se njihove reakcione sile, na primjer, sile trenja, konvencionalno smatraju aktivnim silama (vidi dolje za upute na dijagramu na slici 1.5). Ovo uključuje elementarni rad aktivnih sila i elementarni rad momenata aktivnih parova sila. Zapišimo formule za određivanje ovih djela. Recimo sila ( F kx ,F ky ,F kz) primijenjen na tački TO, čiji je radijus vektor ( x k ,y k ,z k), i mogući pomak – (d xk, d y k , d z k). Elementarni rad sile na mogućem pomaku jednak je skalarnom proizvodu, koji u analitičkom obliku odgovara izrazu

d A( ) = F to d r do cos(), (1.3a)

a u koordinatnom obliku – izraz

d A( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Ako par sila sa momentom M primijenjeno na rotirajuće tijelo, čija je ugaona koordinata j, a mogući pomak dj, tada je elementarni rad momenta M na mogući pomak dj određuje se formulom

d A(M) = ± M d j. (1.3v)

Ovdje znak (+) odgovara slučaju kada je trenutak M i moguće kretanje dj se poklapaju u pravcu; znak (–) kada su u suprotnom smjeru.

Da bismo mogli odrediti generaliziranu silu pomoću formule (1.3), potrebno je moguća kretanja tijela i tačaka u izraziti kroz mali prirast generalizovane koordinate d q, koristeći zavisnosti (1)…(7) pril. 1.

Definicija generalizovane sile Q, što odgovara odabranoj generaliziranoj koordinati q, preporučljivo je to učiniti sljedećim redoslijedom.

· Nacrtajte na dijagramu dizajna sve aktivne sile sistema.

· Dajte mali prirast generaliziranoj koordinati d q> 0; prikazati na dijagramu proračuna odgovarajuće moguće pomake svih tačaka na koje se primjenjuju sile i moguće ugaone pomake svih tijela na koja se primjenjuju momenti parova sila.

· Sastaviti izraz za elementarni rad svih aktivnih sila sistema na ovim kretanjima, izraziti moguća kretanja u kroz d q.

· Odrediti generaliziranu silu koristeći formulu (1.3).

Primjer 1.4 (pogledajte stanje na slici 1.1).

Definirajmo generaliziranu silu koja odgovara generaliziranoj koordinati s(Sl. 1.4).

Na sistem djeluju aktivne sile: P- težina tereta; G– težina i obrtni moment bubnja M.

Gruba nagnuta ravan je za opterećenje A nesavršena veza. Sila trenja klizanja F tr, djelujući na opterećenje A iz ove veze, jednako je F tr = f N.

Za određivanje snage N normalan pritisak tereta na ravan tokom kretanja, koristimo D'Alembertov princip: ako se na svaku tačku sistema primeni uslovna inercijalna sila, pored aktivnih aktivnih sila i reakcionih sila veza, tada će rezultirajući skup sile će biti uravnotežene i dinamičke jednačine se mogu dati u obliku jednadžbi statičke ravnoteže. Prateći dobro poznatu metodu primjene ovog principa, prikazat ćemo sve sile koje djeluju na opterećenje A(Sl. 1.5), – i , gdje je sila zatezanja kabla.

Rice. 1.4 Sl. 1.5

Dodajmo silu inercije, gdje je ubrzanje tereta. Jednadžba d'Alamberovog principa u projekciji na osu y izgleda kao N–Pcos a = 0.

Odavde N = Pcos a. Sada se sila trenja klizanja može odrediti formulom F tr = f P cos a.

Dajemo generaliziranu koordinatu s mali prirast d s> 0. U ovom slučaju, opterećenje (slika 1.4) će se pomjeriti nagore po kosoj ravni do udaljenosti d s, a bubanj će se okrenuti suprotno od kazaljke na satu za ugao dj.

Koristeći formule kao što su (1.3a) i (1.3c), sastavimo izraz za zbir elementarnih radnji momenta M, snaga P I F tr:

Izrazimo dj u ovoj jednačini kroz d s: , Onda

definišemo generaliziranu silu koristeći formulu (1.3)

Uzmimo u obzir prethodno napisanu formulu za F tr i konačno ćemo dobiti

Ako u istom primjeru uzmemo ugao j kao generaliziranu koordinatu, onda je generalizirana sila Qj izraženo formulom

1.4.2. Određivanje sila generalizovanog sistema
sa dva stepena slobode

Ako sistem ima n stepena slobode, određuje se njegov položaj n generalizovane koordinate. Svaka koordinata q i(i = 1,2,…,n) odgovara njegovoj generalizovanoj sili Q i, što je određeno formulom

gdje je zbir elementarnih radova aktivnih sila na i-to moguće kretanje sistema kada d q i > 0, a preostale generalizirane koordinate su nepromijenjene.

Prilikom određivanja potrebno je uzeti u obzir upute za određivanje generaliziranih sila prema formuli (1.3).

Preporučuje se određivanje generalizovanih sila sistema sa dva stepena slobode sledećim redosledom.

· Prikaži na dijagramu dizajna sve aktivne sile sistema.

· Odrediti prvu generalizovanu silu P 1. Da biste to učinili, dajte sistemu prvi mogući pokret kada d q 1 > 0, i d q 2 =q 1 moguća kretanja svih tijela i tačaka sistema; komponovati - izraz elementarnog rada sila sistema na prvom mogućem pomeranju; moguća kretanja izražena kroz d q 1; naći P 1 prema formuli (1.4), uzimajući i = 1.

· Odrediti drugu generalizovanu silu P 2. Da biste to učinili, dajte sistemu drugi mogući pokret kada d q 2 > 0, i d q 1 = 0; pokazati odgovarajući d na dijagramu dizajna q 2 moguća kretanja svih tijela i tačaka sistema; komponovati - izraz elementarnog rada sila sistema na drugom mogućem pomeranju; moguća kretanja izražena kroz d q 2; naći P 2 prema formuli (1.4), uzimajući i = 2.

Primjer 1.5 (pogledajte stanje na slici 1.2)

Hajde da definišemo P 1 I P 2, što odgovara generaliziranim koordinatama xD I x A(Sl. 1.6, A).

Na sistem djeluju tri aktivne sile: P A = 2P, P B = P D = P.

Definicija P 1. Dajmo sistemu prvi mogući pokret kada d xD> 0, d x A = 0 (sl. 1.6, A). Istovremeno, opterećenje D xD, blok Bće se rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za ugao dj B, osovina cilindra A ostaće nepomičan, cilindar Aće se rotirati oko ose A pod uglom dj A u smjeru kazaljke na satu. Sastavimo zbir rada na naznačenim pokretima:

hajde da definišemo

Hajde da definišemo P 2. Dajmo sistemu drugi mogući pokret kada d x D = 0, d xA> 0 (sl. 1.6, b). U ovom slučaju, osovina cilindra A kretat će se okomito dolje za udaljenost d x A, cilindar Aće se rotirati oko ose A u smjeru kazaljke na satu do ugla dj A, blok B i tereta D ostaće nepomičan. Sastavimo zbir rada na naznačenim pokretima:

hajde da definišemo

Primjer 1.6 (pogledajte stanje na slici 1.3)

Hajde da definišemo P 1 I P 2, što odgovara generalizovanim koordinatama j, s(Sl. 1.7, A). Na sistem djeluju četiri aktivne sile: težina štapa P, težina lopte, elastična sila opruge i .

Uzmimo to u obzir. Modul elastičnih sila određuje se formulom (a).

Imajte na umu da je tačka primjene sile F 2 je nepomična, stoga je rad ove sile na bilo koji mogući pomak sistema nula, u izrazu generaliziranih sila sila F 2 neće ući.

Definicija P 1. Dajmo sistemu prvi mogući pokret kada dj > 0, d s = 0 (sl. 1.7, A). U ovom slučaju, štap ABće se rotirati oko ose z suprotno od kazaljke na satu za ugao dj, moguća kretanja lopte D i centar Eštapovi su usmjereni okomito na segment AD, dužina opruge se neće promijeniti. Stavimo to u koordinatni oblik [vidi. formula (1.3b)]:

(Imajte na umu da je, dakle, rad ove sile na prvom mogućem pomaku jednak nuli).

Izrazimo pomake d x E i d xD preko dj. Da bismo to učinili, prvo pišemo

Zatim, u skladu sa formulom (7) adj. 1 naći ćemo

Zamjenom pronađenih vrijednosti u , dobijamo

Koristeći formulu (1.4), uzimajući u obzir da , određujemo

Definicija P 2. Dajmo sistemu drugi mogući pokret kada dj = 0, d s> 0 (sl. 1.7, b). U ovom slučaju, štap ABće ostati nepomičan, a lopta M kretat će se duž štapa za udaljenost d s. Sastavimo zbir rada na naznačenim pokretima:

hajde da definišemo

zamjenjujući vrijednost sile F 1 iz formule (a), dobijamo

1.5. Izražavanje kinetičke energije sistema
u generalizovanim koordinatama

Kinetička energija sistema jednaka je zbiru kinetičkih energija njegovih tijela i tačaka (Prilog 2). Da dobijem za T Izraz (1.2) treba da izrazi brzine svih tela i tačaka sistema kroz generalizovane brzine korišćenjem kinematičkih metoda. U ovom slučaju se smatra da je sistem u proizvoljnom položaju, sve njegove generalizirane brzine se smatraju pozitivnim, odnosno usmjerenim prema rastućim generaliziranim koordinatama.

Primjer 1. 7 (pogledajte stanje na slici 1.1)

Odredimo kinetičku energiju sistema (slika 1.8), uzimajući udaljenost kao generalizovanu koordinatu s,

T = T A + T B.

Prema formulama (2) i (3) pril. 2 imamo: .

Zamjena ovih podataka u T i uzimajući u obzir to, dobijamo

Primjer 1.8(pogledajte stanje na slici 1.2)

Odredimo kinetičku energiju sistema na sl. 1.9, uzimajući kao generalizovane koordinate veličine xD I x A,

T = T A + T B + T D.

Prema formulama (2), (3), (4) pril. 2 ćemo zapisati

Hajde da se izrazimo V A , V D , w B i w A kroz:

Prilikom određivanja w A uzima se u obzir da tač O(Sl. 1.9) – trenutni centar brzina cilindra A I V k = V D(vidi odgovarajuća objašnjenja za primjer 2, dodatak 2).

Zamjena dobijenih rezultata u T i s obzirom na to

hajde da definišemo

Primjer 1.9(pogledajte stanje na slici 1.3)

Odredimo kinetičku energiju sistema na sl. 1.10, uzimajući j i kao generalizovane koordinate s,

T = T AB + T D.

Prema formulama (1) i (3) pril. 2 imamo

Izrazimo w AB I V D preko i :

gdje je brzina prijenosa lopte D, njegov modul je određen formulom

Usmjeren okomito na segment AD u pravcu povećanja ugla j; – relativna brzina lopte, njen modul je određen formulom, usmeren ka rastućim koordinatama s. Imajte na umu da je, dakle, okomito

Zamjena ovih rezultata u T i s obzirom na to

1.6. Sastavljanje diferencijalnih jednadžbi
kretanje mehaničkih sistema

Da bi se dobile tražene jednačine, potrebno je u Lagrangeove jednačine (1.1) zamijeniti prethodno pronađeni izraz za kinetičku energiju sistema u generaliziranim koordinatama i generaliziranim silama Q 1 , Q 2 , … , Qn.

Prilikom pronalaženja parcijalnih izvoda T koristeći generalizirane koordinate i generalizirane brzine, treba uzeti u obzir da su varijable q 1 , q 2 , … , q n; smatraju se nezavisnim jedna od druge. To znači da prilikom definiranja parcijalnog izvoda T za jednu od ovih varijabli, sve ostale varijable u izrazu za T treba posmatrati kao konstante.

Prilikom izvođenja operacije, sve varijable uključene u varijablu moraju se vremenski razlikovati.

Naglašavamo da su Lagrangeove jednadžbe napisane za svaku generaliziranu koordinatu q i (i = 1, 2,…n) sistemi.

U analitičkoj mehanici, uz koncept sile kao vektorske veličine koja karakteriše udar na dato tijelo od drugih materijalnih tijela, koriste koncept generalizovana sila. Za utvrđivanje generalizovana moć Razmotrimo virtuelni rad sila primenjenih na tačke sistema.

Ako je mehanički sistem nametnut holonomskim silama zadržavanja h ima veze s =3n-h stepena slobode , tada se određuje pozicija ovog sistema ( i = s)

generalizirane koordinate i (2.11) : Prema (2.13), (2.14) virtualni pomak k – th bodova

(2.13)

(2.14)

Zamjena (2.14): u formulu za virtualni rad sila

(2.24), dobijamo

Skalarna količina = (2.26)

pozvao generalizovana sila, odgovarajući i th generalizovana koordinata.

Generalizovana silaodgovara i-th generalizovana koordinata je veličina jednaka množitelju za varijaciju date generalizovane koordinate u izrazu virtuelnog rada sila koje deluju na mehanički sistem.

Virtuelni rad utvrđeno od

¾ specificirane aktivne sile neovisne o ograničenjima i

¾ reakcije sprezanja (ako sprege nisu idealne, tada je za rješavanje problema potrebno dodatno podesiti fizičku ovisnost T j from N j , ( T j ¾ to su, po pravilu, sile trenja ili momenti otpora trenju kotrljanja, koje možemo odrediti).

Uglavnom generalizovana sila je funkcija generaliziranih koordinata, brzina tačaka sistema i vremena. Iz definicije proizilazi da generalizovana sila¾ je skalarna veličina koja zavisi od generalizovanih koordinata izabranih za dati mehanički sistem. To znači da kada se skup generaliziranih koordinata koje određuju položaj datog sistema promijeni, generalizovane sile.

Primjer 2.10. Za disk sa radijusom r i masa m, koji se kotrlja bez klizanja po kosoj ravni (slika 2.9), može se uzeti kao generalizovana koordinata:

¾ ili q = s¾ kretanje centra mase diska,

¾bilo q= j ¾ ugao rotacije diska. Ako zanemarimo otpor kotrljanja, tada:

¾ u prvom slučaju generalizovana silaće

Rice. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ u drugom slučaju ¾ Q j = mg r cosa.

Generalizirana koordinata također određuje mjernu jedinicu odgovarajućeg generalizovana moć. Iz izraza (2.25)

(2.27)

iz toga sledi da je jedinica mere generalizovana moć jednaka jedinici rada podijeljenoj jedinicom generalizirane koordinate.

Ako, kao generalizirana koordinata q prihvatiti q = s¾ kretanje bilo koje tačke, zatim mjerna jedinica generalizovana moć Q s ¾ će biti [newton] ,

Ako, kao a q= j ¾ uzet će se ugao rotacije (u radijanima) tijela, a zatim mjerna jedinica generalizovana moć Q j 2 će biti [ njutn ´ metar].

Zapišimo zbir elementarnih radova sila koje djeluju na tačke sistema na mogući pomak sistema:

Neka holonomski sistem ima određen je stepen slobode, a samim tim i njegov položaj u prostoru generalizovane koordinate
.

Zamjena (225) u (226) i promjena redoslijeda sumiranja po indeksima I , dobijamo

. (226")

gdje je skalarna količina

pozvao generalizovana sila povezana sa generalizovanom koordinatom . Koristeći dobro poznati izraz za skalarni proizvod dva vektora, data sila se također može predstaviti kao

– projekcije sile na koordinatne ose;
– koordinate tačke primene sile.

Dimenzija generalizirane sile u skladu sa (226") ovisi o dimenziji kako slijedi , što se poklapa sa dimenzijom :

, (228)

odnosno dimenzija generalizovane sile jednaka je dimenziji rada sile (energije) ili momentu sile, podeljeno sa dimenzijom generalizovane koordinate kojoj je generalizovana sila dodeljena. Iz ovoga slijedi da generalizirana sila može imati dimenziju sile ili momenta sile.

Proračun generalizirane sile

1. Generalizirana sila se može izračunati korištenjem formule (227) koja je definira, tj.

2. Generalizovane sile se mogu izračunati kao koeficijenti za odgovarajuće varijacije generalizovanih koordinata u izrazu za elementarni rad (226"), tj.

3. Najprikladniji metod za proračun generalizovanih sila, koji se dobija iz (226 ""), je ako se sistemu zada takvo moguće kretanje da se samo jedna generalizovana koordinata menja, dok se ostale ne menjaju. Sta ako
, i ostalo
, onda od (179") imamo

.

Indeks označava da se zbir elementarnih radova računa na moguće pomake, pri čemu se samo koordinate mijenjaju (varijiraju) . Ako je promenljiva koordinata , To

. (227")

Uslovi ravnoteže za sistem sila u terminima generalizovanih sila

Uslovi ravnoteže sistema proizilaze iz principa mogućih kretanja. Primjenjuju se na sisteme za koje vrijedi ovaj princip: za ravnotežu mehaničkog sistema koji je podložan holonomskim, stacionarnim, idealnim i neoslobađajućim ograničenjima, u trenutku kada su brzine svih tačaka sistema jednake nuli, potrebno je i dovoljno da sve generalizovane sile budu jednake nuli

. (228")

3.6.7. Opća jednadžba dinamike

Opća jednadžba dinamike za sistem sa bilo kojim vezama (kombinovani d'Alembert-Lagrangeov princip ili opšta jednačina mehanike):

, (229)

Gdje – aktivna sila primijenjena na -ta tačka sistema; – jačina reakcije veza;
– sila inercije tačke; – moguće kretanje.

U slučaju ravnoteže sistema, kada sve inercijalne sile tačaka sistema nestanu, to se pretvara u princip mogućih pomeranja. Obično se koristi za sisteme sa idealnim vezama, za koje je uslov zadovoljen

U ovom slučaju (229) poprima jedan od oblika:

,

,

. (230)

dakle, prema opštoj jednadžbi dinamike, u svakom trenutku kretanja sistema sa idealnim vezama, zbir elementarnih radova svih aktivnih sila i sila inercije tačaka sistema jednak je nuli pri svakom mogućem dozvoljenom kretanju sistema po vezama.

Općoj jednadžbi dinamike mogu se dati drugi, ekvivalentni oblici. Proširujući skalarni proizvod vektora, može se izraziti kao

Gdje
– koordinate -ta tačka sistema. S obzirom da su projekcije sila inercije na koordinatne ose kroz projekcije ubrzanja na ove ose izražene relacijama

,

opšta jednačina dinamike može dobiti oblik

U ovom obliku se zove opšta jednačina dinamike u analitičkom obliku.

Kada se koristi opšta jednadžba dinamike, potrebno je moći izračunati elementarni rad inercijalnih sila sistema na moguće pomake. Da biste to učinili, primijenite odgovarajuće formule za elementarni rad dobiven za obične sile. Razmotrimo njihovu primjenu na inercijalne sile krutog tijela u pojedinim slučajevima njegovog kretanja.

Tokom kretanja naprijed. U ovom slučaju tijelo ima tri stupnja slobode i zbog nametnutih ograničenja može vršiti samo translacijsko kretanje. Mogući pokreti tijela koji omogućavaju veze su također translatorni.

Inercijalne sile tokom translatornog kretanja se svode na rezultantu
. Za zbir elementarnih djela inercijskih sila na moguće translacijsko kretanje tijela dobijamo

Gdje
– moguće kretanje centra mase i bilo koje tačke tijela, budući da je translacijsko moguće kretanje svih tačaka tijela isto: i ubrzanja su ista, tj.
.

Kada se kruto tijelo okreće oko fiksne ose. Tijelo u ovom slučaju ima jedan stepen slobode. Može se rotirati oko fiksne ose
. Moguće pomicanje, koje je dozvoljeno preko spojeva, je i rotacija tijela za elementarni ugao
oko fiksne ose.

Sile inercije svedene na tačku na osi rotacije, svode se na glavni vektor i glavna poenta
. Glavni vektor inercijalnih sila je primijenjen na fiksnu tačku, a njen elementarni rad na mogućem pomaku je nula. Za glavni moment inercijskih sila, elementarni rad različit od nule izvršit će se samo njegovom projekcijom na os rotacije
. Dakle, za zbir rada inercijskih sila na razmatrani mogući pomak imamo

,

ako je ugao
izvesti u smjeru lučne strelice kutnog ubrzanja .

U ravnom pokretu. U ovom slučaju, ograničenja nametnuta krutom tijelu dopuštaju samo moguće planarno kretanje. U opštem slučaju, sastoji se od translacionog mogućeg kretanja zajedno sa polom, za koji biramo centar mase, i rotacije kroz elementarni ugao
oko ose
, prolazeći kroz centar mase i okomit na ravan paralelnu kojoj tijelo može vršiti ravno kretanje.

Budući da se inercijalne sile u kretanju u ravnini krutog tijela mogu svesti na glavni vektor i glavna poenta
(ako odaberemo centar mase kao centar redukcije), tada će se zbir elementarnog rada inercijskih sila na ravnom mogućem pomaku svesti na elementarni rad vektora sile inercije
o mogućem kretanju centra mase i elementarnom radu glavnog momenta inercijskih sila na elementarno rotacijsko kretanje oko ose
, prolazeći kroz centar mase. U ovom slučaju, elementarni rad različit od nule može se izvršiti samo projekcijom glavnog momenta inercijskih sila na os
, tj.
. Dakle, u predmetu koji se razmatra imamo

ako je rotacija za elementarni ugao
usmjeriti u lučnoj strelici do .

Naravno, prilikom izračunavanja ove generalizovane sile, potencijalnu energiju treba odrediti kao funkciju generalizovanih koordinata

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Bilješke.

Prvo. Prilikom izračunavanja generaliziranih sila reakcije, idealne veze se ne uzimaju u obzir.

Sekunda. Dimenzija generalizirane sile ovisi o dimenziji generalizirane koordinate. Dakle, ako je dimenzija [ q] – metar, zatim dimenzija

[Q]= Nm/m = Njutn, ako [ q] – radijan, zatim [Q] = Nm; Ako [ q] = m 2, zatim [Q] = H/m, itd.

Primjer 4. Prsten klizi duž štapa koji se njiše u vertikalnoj ravni. M težina R(Sl. 10). Štap smatramo bestežinskim. Hajde da definišemo generalizovane sile.

Fig.10

Rješenje. Sistem ima dva stepena slobode. Dodjeljujemo dvije generalizirane koordinate s i .

Nađimo generaliziranu silu koja odgovara koordinati s. Ovoj koordinati dajemo prirast, ostavljajući koordinatu nepromijenjenu i računajući rad jedine aktivne sile R, dobijamo generalizovanu silu

Zatim povećavamo koordinate, pod pretpostavkom s= konst. Kada se štap rotira pod uglom, tačka primjene sile R, prsten M, preći će na . Generalizirana sila će biti

Pošto je sistem konzervativan, generalizovane sile se takođe mogu naći korišćenjem potencijalne energije. Dobijamo I . Ispada mnogo jednostavnije.

Lagrangeove jednadžbe ravnoteže

Po definiciji (7) generalizovane sile , k = 1,2,3,…,s, Gdje s– broj stepeni slobode.

Ako je sistem u ravnoteži, onda prema principu mogućih pomaka (1) . Ovdje su pokreti dopušteni vezama, mogući pokreti. Dakle, kada je materijalni sistem u ravnoteži, sve njegove generalizovane sile jednake su nuli:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Ove jednačine jednadžbe ravnoteže u generaliziranim koordinatama ili Lagrangeove jednadžbe ravnoteže , dozvoliti još jednu metodu za rješavanje problema statike.

Ako je sistem konzervativan, onda . To znači da je u položaju ravnoteže. Odnosno, u ravnotežnom položaju takvog materijalnog sistema, njegova potencijalna energija je ili maksimalna ili minimalna, tj. funkcija P(q) ima ekstrem.

Ovo je očito iz analize najjednostavnijeg primjera (slika 11). Potencijalna energija lopte u poziciji M 1 ima minimum, na poziciji M 2 – maksimum. Može se primijetiti da na poziciji M 1 ravnoteža će biti stabilna; trudna M 2 – nestabilno.

Fig.11

Ravnoteža se smatra stabilnom ako se tijelu u ovom položaju daje mala brzina ili se pomjeri na malu udaljenost i ta se odstupanja ne povećavaju u budućnosti.

Može se dokazati (Lagrange-Dirichletova teorema) da ako u ravnotežnom položaju konzervativnog sistema njegova potencijalna energija ima minimum, onda je ova ravnotežna pozicija stabilna.

Za konzervativni sistem sa jednim stepenom slobode, uslov za minimalnu potencijalnu energiju, a samim tim i stabilnost ravnotežnog položaja, određen je drugim izvodom, njegovom vrednošću u ravnotežnom položaju,

Primjer 5. Kernel OA težina R može rotirati u okomitoj ravni oko ose O(Sl. 12). Hajde da pronađemo i proučimo stabilnost ravnotežnih položaja.

Fig.12

Rješenje.Štap ima jedan stepen slobode. Generalizirana koordinata – ugao.

U odnosu na donju, nultu poziciju, potencijalna energija P = Ph ili

U ravnotežnom položaju treba da postoji . Stoga imamo dva ravnotežna položaja koji odgovaraju uglovima i (položajima OA 1 i OA 2). Hajde da istražimo njihovu stabilnost. Pronalaženje drugog izvoda. Naravno, sa , . Položaj ravnoteže je stabilan. u , . Drugi ravnotežni položaj je nestabilan. Rezultati su očigledni.

Generalizovane inercijalne sile.

Koristeći istu metodu (8) kojom su izračunate generalizirane sile Q k, koje odgovaraju aktivnim, specificiranim, silama, također se određuju generalizirane sile S k, što odgovara inercijskim silama tačaka sistema:

I od tada To

Nekoliko matematičkih transformacija.

Očigledno,

Pošto je qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), onda

To znači da je parcijalni izvod brzine u odnosu na

Osim toga, u posljednjem članu (14) možete promijeniti redoslijed diferencijacije:

Zamjenom (15) i (16) u (14), a zatim (14) u (13), dobivamo

Podijelivši zadnji zbir sa dva i imajući na umu da je zbir izvoda jednak derivatu zbira, dobijamo

gdje je kinetička energija sistema, a generalizirana brzina.

Lagrangeove jednadžbe.

Po definiciji (7) i (12) generalizovane sile

Ali na osnovu opšte jednadžbe dinamike (3), desna strana jednakosti jednaka je nuli. I pošto sve ( k = 1,2,3,…,s) se razlikuju od nule, onda . Zamjenom vrijednosti generalizovane sile inercije (17) dobijamo jednačinu

Ove jednačine nazivaju se diferencijalne jednadžbe kretanja u generaliziranim koordinatama, Lagrangeove jednadžbe druge vrste ili jednostavno – Lagrangeove jednadžbe.

Broj ovih jednačina jednak je broju stupnjeva slobode materijalnog sistema.

Ako je sistem konzervativan i kreće se pod uticajem potencijalnih sila polja, kada su generalizovane sile , Lagranževe jednačine se mogu sastaviti u obliku

Gdje L = T– P se zove Lagrangeova funkcija (pretpostavlja se da potencijalna energija P ne zavisi od generalizovanih brzina).

Često se prilikom proučavanja kretanja materijalnih sistema ispostavi da su neke generalizovane koordinate q j nisu eksplicitno uključeni u Lagrangeovu funkciju (ili u T i P). Takve koordinate se nazivaju ciklično. Lagrangeove jednadžbe koje odgovaraju ovim koordinatama dobijaju se jednostavnije.

Prvi integral takvih jednačina može se odmah pronaći. Zove se ciklički integral:

Dalja proučavanja i transformacije Lagrangeovih jednačina čine predmet posebnog odjeljka teorijske mehanike - „Analitička mehanika“.

Lagrangeove jednačine imaju niz prednosti u odnosu na druge metode proučavanja kretanja sistema. Glavne prednosti: metoda sastavljanja jednadžbi je ista u svim zadacima, reakcije idealnih veza se ne uzimaju u obzir pri rješavanju zadataka.

I još nešto - ove jednačine se mogu koristiti za proučavanje ne samo mehaničkih, već i drugih fizičkih sistema (električnih, elektromagnetnih, optičkih, itd.).

Primjer 6. Nastavimo proučavanje kretanja prstena M na ljuljajućoj šipki (primjer 4).

Generalizirane koordinate su dodijeljene – i s (slika 13). Generalizovane sile su definisane: i .

Fig.13

Rješenje. Kinetička energija prstena Gdje je a i .

Sastavljamo dvije Lagrangeove jednadžbe

tada jednačine izgledaju ovako:

Dobili smo dvije nelinearne diferencijalne jednadžbe drugog reda za čije rješavanje su potrebne posebne metode.

Primjer 7. Napravimo diferencijalnu jednačinu kretanja grede AB, koji se kotrlja bez klizanja duž cilindrične površine (Sl. 14). Dužina grede AB = l, težina - R.

U ravnotežnom položaju, greda je bila horizontalna i težište WITH nalazio se na gornjoj tački cilindra. Greda ima jedan stepen slobode. Njegov položaj je određen generalizovanom koordinatom - uglom (Sl. 76).

Fig.14

Rješenje. Sistem je konzervativan. Stoga ćemo sastaviti Lagrangeovu jednačinu koristeći potencijalnu energiju P=mgh, izračunatu u odnosu na horizontalni položaj. U tački kontakta postoji trenutni centar brzina i (jednak dužini kružnog luka sa uglom).

Stoga (vidi sliku 76) i .

Kinetička energija (snopa prolazi kroz ravninsko paralelno kretanje)

Pronalazimo potrebne izvode za jednadžbu i

Napravimo jednačinu

ili, konačno,

Pitanja za samotestiranje

Kako se zove moguće kretanje ograničenog mehaničkog sistema?

Kako su moguća i stvarna kretanja sistema povezana?

Koje veze se nazivaju: a) stacionarne; b) idealan?

Formulirajte princip mogućih pokreta. Zapišite njegov formulacijski izraz.

Da li je moguće primeniti princip virtuelnog kretanja na sisteme sa neidealnim vezama?

Koje su generalizovane koordinate mehaničkog sistema?

Koliki je broj stepeni slobode mehaničkog sistema?

U kom slučaju kartezijanske koordinate tačaka u sistemu zavise ne samo od generalizovanih koordinata, već i od vremena?

Kako se nazivaju moguća kretanja mehaničkog sistema?

Da li moguća kretanja zavise od sila koje deluju na sistem?

Koje veze mehaničkog sistema se nazivaju idealnim?

Zašto veza napravljena trenjem nije idealna veza?

Kako je formulisan princip mogućih pokreta?

Koje vrste može imati jednačina rada?

Zašto princip mogućih pomaka pojednostavljuje izvođenje uslova ravnoteže za sile koje se primenjuju na ograničene sisteme koji se sastoje od velikog broja tela?

Kako se konstruiraju jednačine rada za sile koje djeluju na mehanički sistem s nekoliko stupnjeva slobode?

Kakav je odnos između pokretačke i sile otpora u jednostavnim mašinama?

Kako je formulisano zlatno pravilo mehanike?

Kako se određuju reakcije veza na principu mogućih kretanja?

Koje veze se nazivaju holonomske?

Koliki je broj stepeni slobode mehaničkog sistema?

Koje su generalizovane koordinate sistema?

Koliko generalizovanih koordinata ima neslobodni mehanički sistem?

Koliko stepeni slobode ima volan automobila?

Šta je generalizovana sila?

Zapišite formulu koja izražava ukupni elementarni rad svih sila primijenjenih na sistem u generaliziranim koordinatama.

Kako se određuje dimenzija generalizirane sile?

Kako se izračunavaju generalizovane sile u konzervativnim sistemima?

Zapišite jednu od formula koje izražavaju opštu jednačinu dinamike sistema sa idealnim vezama. Koje je fizičko značenje ove jednačine?

Koja je generalizirana sila aktivnih sila primijenjenih na sistem?

Šta je generalizovana inercijalna sila?

Formulirajte d'Alembertov princip u generaliziranim silama.

Šta je opšta jednačina dinamike?

Šta se zove generalizovana sila koja odgovara nekoj generalizovanoj koordinati sistema i koju dimenziju ima?

Koje su generalizirane reakcije idealnih veza?

Izvesti opštu jednačinu dinamike u generalizovanim silama.

U kom obliku su uslovi ravnoteže za sile primenjene na mehanički sistem dobijene iz opšte jednačine dinamike u generalizovanim silama?

Koje formule izražavaju generalizirane sile kroz projekcije sila na fiksne ose kartezijanskih koordinata?

Kako se određuju generalizirane sile u slučaju konzervativnih i u slučaju nekonzervativnih sila?

Koje veze se nazivaju geometrijskim?

Dajte vektorski prikaz principa mogućih pomaka.

Navedite neophodan i dovoljan uslov za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim stacionarnim geometrijskim vezama.

Koje svojstvo ima funkcija sile konzervativnog sistema u stanju ravnoteže?

Zapišite sistem Lagrangeovih diferencijalnih jednačina druge vrste.

Koliko se Lagrangeovih jednačina druge vrste može konstruisati za ograničeni mehanički sistem?

Da li broj Lagrangeovih jednačina mehaničkog sistema zavisi od broja tela uključenih u sistem?

Koliki je kinetički potencijal sistema?

Za koje mehaničke sisteme postoji Lagrangeova funkcija?

Koji su argumenti funkcija vektora brzine tačke koja pripada mehaničkom sistemu s stepeni slobode?

Koliki je parcijalni izvod vektora brzine jedne tačke u sistemu u odnosu na neku generalizovanu brzinu?

Funkcija kojih argumenata je kinetička energija sistema koji je podložan holonomskim nestacionarnim ograničenjima?

Kakav oblik imaju Lagrangeove jednadžbe druge vrste? Koliki je broj ovih jednačina za svaki mehanički sistem?

Kakav oblik poprimaju Lagrangeove jednadžbe druge vrste u slučaju kada na sistem istovremeno djeluju konzervativne i nekonzervativne sile?

Što je Lagrangeova funkcija ili kinetički potencijal?

Kakav oblik imaju Lagrangeove jednačine druge vrste za konzervativni sistem?

U zavisnosti od kojih varijabli treba izraziti kinetičku energiju mehaničkog sistema pri sastavljanju Lagrangeovih jednačina?

Kako se određuje potencijalna energija mehaničkog sistema pod uticajem elastičnih sila?

Problemi koje treba riješiti samostalno

Zadatak 1. Koristeći princip mogućih pomaka, odrediti reakcije spojeva kompozitnih konstrukcija. Strukturni dijagrami su prikazani na sl. 15, a podaci potrebni za rješenje dati su u tabeli. 1. Na slikama su sve dimenzije u metrima.

Tabela 1

Opcija 1 Opcija 2

Opcija 3 Opcija 4

Opcija 5 Opcija 6

Opcija 7 Opcija 8

Fig.16 Sl.17

Rješenje. Lako je provjeriti da su u ovom zadatku ispunjeni svi uslovi za primjenu Lagrangeovog principa (sistem je u ravnoteži, veze su stacionarne, holonomske, ograničavajuće i idealne).

Oslobodimo se veze koja odgovara reakciji X A (Sl. 17). Da biste to učinili, u tački A, fiksnu šarku treba zamijeniti, na primjer, nosačem šipke, u kom slučaju sistem dobiva jedan stupanj slobode. Kao što je već napomenuto, moguće kretanje sistema je određeno ograničenjima koja su mu nametnuta i ne zavisi od primenjenih sila. Stoga je određivanje mogućih pomaka kinematski problem. Budući da se u ovom primjeru okvir može kretati samo u ravnini slike, njegova moguća kretanja su također planarna. U kretanju u ravnini, kretanje tijela se može smatrati rotacijom oko trenutnog centra brzina. Ako trenutno središte brzina leži u beskonačnosti, onda to odgovara slučaju trenutnog translacijskog kretanja, kada su pomaci svih tačaka tijela isti.

Da bi se pronašao trenutni centar brzina, potrebno je znati smjerove brzina bilo koje dvije tačke tijela. Stoga bi određivanje mogućih pomaka kompozitne strukture trebalo započeti pronalaženjem mogućih pomaka elementa za koje su takve brzine poznate. U ovom slučaju, trebali biste početi s okvirom CDB, od svoje tačke IN je nepomičan i, stoga, moguće kretanje ovog okvira je njegova rotacija kroz ugao oko ose koja prolazi kroz šarku B. Sada, znajući moguće kretanje tačke WITH(istovremeno pripada oba okvira sistema) i moguće pomeranje tačke A(moguće kretanje tačke A je njeno kretanje duž ose X), pronađite centar trenutne brzine C 1 okvira AES. Tako je moguće pomicanje okvira AES je njegova rotacija oko tačke C 1 za ugao . Veza između uglova i određuje se kroz kretanje tačke C (vidi sliku 17)

Iz sličnosti trouglova EC 1 C i BCD imamo

Kao rezultat, dobijamo zavisnosti:

Po principu mogućih pokreta

Hajde da uzastopno izračunamo moguće poslove koji su ovdje uključeni:

Q=2q – rezultanta raspoređenog opterećenja, čija je tačka primene prikazana na sl. 79; mogući rad koji on obavlja je jednak.