je kontinuirana slučajna varijabla. Kontinuirana slučajna varijabla

§ 3. SLUČAJNE VRIJEDNOSTI

3. Kontinuirane slučajne varijable.

Pored diskretnih slučajnih varijabli, čije moguće vrijednosti formiraju konačan ili beskonačan niz brojeva koji ne ispunjavaju u potpunosti nijedan interval, često postoje slučajne varijable čije moguće vrijednosti čine određeni interval. Primjer takve slučajne varijable je odstupanje od nominalne vrijednosti određene veličine dijela s pravilno uspostavljenim tehnološkim procesom. Ova vrsta slučajnih varijabli ne može se specificirati korištenjem zakona raspodjele vjerovatnoće p(x). Međutim, oni se mogu specificirati korištenjem funkcije raspodjele vjerovatnoće F(x). Ova funkcija je definirana na potpuno isti način kao u slučaju diskretne slučajne varijable:

Dakle, i ovdje je funkcija F(x) definiran na cijeloj brojevnoj osi, i njegova vrijednost u tački X jednaka je vjerovatnoći da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od X.
Formula () i svojstva 1° i 2° vrijede za funkciju distribucije bilo koje slučajne varijable. Dokaz se izvodi slično kao u slučaju diskretne veličine.
Slučajna varijabla se poziva kontinuirano, ako za njega postoji nenegativna po komadima kontinuirana funkcija* koja zadovoljava bilo koje vrijednosti x jednakost
Na osnovu geometrijskog značenja integrala kao površine, možemo reći da je vjerovatnoća ispunjenja nejednakosti jednaka površini krivolinijskog trapeza sa bazom omeđen odozgo krivom (slika 6).
Budući da , i na osnovu formule ()
, onda
Imajte na umu da je za kontinuiranu slučajnu varijablu, funkcija distribucije F(x) kontinuirano u bilo kojoj tački X, gdje je funkcija kontinuirana. Ovo proizilazi iz činjenice da F(x) je diferencibilan u ovim tačkama.
Na osnovu formule (), pod pretpostavkom x 1 =x, , imamo

Zbog kontinuiteta funkcije F(x) mi to shvatamo

Shodno tome

Na ovaj način, vjerovatnoća da kontinuirana slučajna varijabla može poprimiti bilo koju pojedinačnu vrijednost x je nula.
Iz ovoga slijedi da se događaji sastoje u ispunjavanju svake od nejednakosti
, , ,
Imaju istu vjerovatnoću, tj.

Zaista, na primjer,

jer

Komentar. Kao što znamo, ako je događaj nemoguć, onda je vjerovatnoća njegovog nastanka nula. U klasičnoj definiciji vjerovatnoće, kada je broj ishoda testa konačan, javlja se i obrnuta tvrdnja: ako je vjerovatnoća događaja nula, onda je događaj nemoguć, jer mu u ovom slučaju nijedan od ishoda testa ne ide u prilog. U slučaju kontinuirane slučajne varijable, broj njenih mogućih vrijednosti je beskonačan. Vjerovatnoća da će ova vrijednost poprimiti bilo koju određenu vrijednost x 1 kao što smo videli, jednaka je nuli. Međutim, iz ovoga ne slijedi da je ovaj događaj nemoguć, jer kao rezultat testa, slučajna varijabla može posebno poprimiti vrijednost x 1. Stoga, u slučaju kontinuirane slučajne varijable, ima smisla govoriti o vjerovatnoći da slučajna varijabla padne u interval, a ne o vjerovatnoći da će poprimiti određenu vrijednost.
Tako, na primjer, u proizvodnji valjka nas ne zanima vjerovatnoća da će njegov promjer biti jednak nominalnoj vrijednosti. Za nas je bitna vjerovatnoća da prečnik valjka ne izađe iz tolerancije.

Gustina distribucije vjerovatnoće X pozovite funkciju f(x) je prvi izvod funkcije distribucije F(x):

Koncept gustine distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X za diskretnu količinu nije primjenjivo.

Gustoća vjerovatnoće f(x) naziva se funkcija diferencijalne distribucije:

Nekretnina 1. Gustina distribucije je nenegativna vrijednost:

Nekretnina 2. Nepravilan integral gustine distribucije u rasponu od do jednak je jedan:

Primjer 1.25. S obzirom na funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

f(x).

Rješenje: Gustoća distribucije jednaka je prvom izvodu funkcije distribucije:

1. Zadana funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

Pronađite gustinu distribucije.

2. Zadana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

Pronađite gustinu distribucije f(x).

1.3. Numeričke karakteristike kontinuiranog slučajnog

količine

Očekivana vrijednost kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Oh, određen je jednakošću:

Pretpostavlja se da integral konvergira apsolutno.

a,b), zatim:

f(x) je gustina distribucije slučajne varijable.

Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi, određena je jednakošću:

Poseban slučaj. Ako vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu ( a,b), zatim:

Verovatnoća da Xće uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu ( a,b), određena je jednakošću:

Primjer 1.26. Kontinuirana slučajna varijabla X

Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu (0; 0,7).

Rješenje: Slučajna varijabla je raspoređena po intervalu (0,1). Definirajmo gustinu distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

a) Matematičko očekivanje :

b) Disperzija

Zadaci za samostalan rad:

1. Slučajna varijabla X dato funkcijom distribucije:

M(x);

b) disperzija D(x);

X u interval (2,3).

2. Slučajna vrijednost X

Pronađite: a) matematičko očekivanje M(x);

b) disperzija D(x);

c) odrediti vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu (1; 1,5).

3. Slučajna vrijednost X data je integralnom funkcijom distribucije:

Pronađite: a) matematičko očekivanje M(x);

b) disperzija D(x);

c) odrediti vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu.

1.4. Zakoni distribucije kontinuirane slučajne varijable

1.4.1. Ujednačena distribucija

Kontinuirana slučajna varijabla X ima ujednačenu distribuciju na intervalu [ a,b], ako je na ovom segmentu gustina distribucije vjerovatnoće slučajne varijable konstantna, a izvan nje jednaka nuli, tj.:

Rice. 4.

; ; .

Primjer 1.27. Autobus neke rute kreće se ravnomjerno sa intervalom od 5 minuta. Nađite vjerovatnoću da je ravnomjerno raspoređena slučajna varijabla X– vrijeme čekanja na autobus će biti manje od 3 minute.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- ravnomjerno raspoređeni po intervalu.

Gustoća vjerovatnoće: .

Da vrijeme čekanja ne bi bilo duže od 3 minute, putnik mora doći na autobusko stajalište u roku od 2 do 5 minuta nakon polaska prethodnog autobusa, tj. slučajna vrijednost X mora biti unutar intervala (2;5). To. željena vjerovatnoća:

Zadaci za samostalan rad:

1. a) pronaći matematičko očekivanje slučajne varijable X ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2; 8);

b) pronaći varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2;8).

2. Minutna kazaljka električnog sata skače na kraju svake minute. Odrediti vjerovatnoću da će u datom trenutku sat pokazati vrijeme koje se razlikuje od pravog vremena za najviše 20 sekundi.

1.4.2. Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija

Kontinuirana slučajna varijabla X je eksponencijalno distribuiran ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik:

gdje je parametar eksponencijalne distribucije.

Na ovaj način

Rice. pet.

Numeričke karakteristike:

Primjer 1.28. Slučajna vrijednost X- vrijeme rada sijalice - ima eksponencijalnu distribuciju. Odredite vjerovatnoću da će lampa trajati najmanje 600 sati ako je prosječni vijek trajanja lampe 400 sati.

Rješenje: Prema uslovu zadatka, matematičko očekivanje slučajne varijable X jednako 400 sati, pa:

;

Željena vjerovatnoća , gdje

konačno:

Zadaci za samostalan rad:

1. Napišite gustinu i funkciju distribucije eksponencijalnog zakona, ako je parametar .

2. Slučajna vrijednost X

Pronađite matematičko očekivanje i varijansu veličine X.

3. Slučajna vrijednost X dato funkcijom raspodjele vjerovatnoće:

Pronađite matematičko očekivanje i standardnu devijaciju slučajne varijable.

1.4.3. Normalna distribucija

normalno naziva se distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, čija gustina ima oblik:

gdje ali– matematičko očekivanje, – standardna devijacija X.

Verovatnoća da Xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu:

, gdje

je Laplaceova funkcija.

Distribucija koja ima ; , tj. sa gustinom vjerovatnoće naziva se standardnim.

Rice. 6.

Vjerovatnoća da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja:

Konkretno, kada a= 0 jednakost je tačna:

Primjer 1.29. Slučajna vrijednost X raspoređeno normalno. Standardna devijacija . Odrediti vjerovatnoću da će odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti biti manje od 0,3.

Rješenje: .

Zadaci za samostalan rad:

1. Napišite gustinu vjerovatnoće normalne distribucije slučajne varijable X, znajući to M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable X su 20 i 5. Nađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15;20).

3. Slučajne greške mjerenja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom mm i matematičkim očekivanjem a= 0. Odrediti vjerovatnoću da greška najmanje jednog od 3 nezavisna mjerenja ne prelazi 4 mm u apsolutnoj vrijednosti.

4. Neka supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom r. Pronađite vjerovatnoću da će vaganje biti obavljeno sa greškom koja ne prelazi 10 g u apsolutnoj vrijednosti.

Funkcija distribucije u ovom slučaju, prema (5.7), imat će oblik:

gdje je: m matematičko očekivanje, s je standardna devijacija.

Normalna raspodjela se također naziva Gaussovom po njemačkom matematičaru Gausu. Činjenica da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju sa parametrima: m,, označava se na sljedeći način: N (m, s), gdje je: m =a =M ;

Često se u formulama matematičko očekivanje označava sa ali . Ako je slučajna varijabla distribuirana prema zakonu N(0,1), onda se naziva normalizirana ili standardizirana normalna vrijednost. Funkcija distribucije za to ima oblik:

Grafikon gustine normalne distribucije, koji se naziva normalna kriva ili Gaussova kriva, prikazan je na slici 5.4.

Rice. 5.4. Normalna gustina distribucije

Na primjeru se razmatra određivanje numeričkih karakteristika slučajne varijable njenom gustinom.

Primjer 6.

Kontinuirana slučajna varijabla je data gustinom distribucije: .

Odredite vrstu distribucije, pronađite matematičko očekivanje M(X) i varijansu D(X).

Upoređujući datu gustinu raspodjele sa (5.16), možemo zaključiti da je dat normalni zakon raspodjele sa m =4. Prema tome, matematičko očekivanje M(X)=4, varijansa D(X)=9.

Standardna devijacija s=3.

Laplaceova funkcija, koja ima oblik:

povezana je sa funkcijom normalne distribucije (5.17), relacijom:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.

Laplaceova funkcija je čudna.

F(-x)=-F(x).

Vrijednosti Laplaceove funkcije F(h) su tabelarno i preuzete iz tabele prema vrijednosti x (vidi Dodatak 1).

Normalna distribucija kontinuirane slučajne varijable igra važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i u opisu stvarnosti, vrlo je rasprostranjena u slučajnim prirodnim pojavama. U praksi vrlo često postoje slučajne varijable koje se formiraju upravo kao rezultat sumiranja mnogih slučajnih pojmova. Konkretno, analiza mjernih grešaka pokazuje da su one zbir različitih vrsta grešaka. Praksa pokazuje da je distribucija vjerovatnoće grešaka mjerenja bliska normalnom zakonu.

Koristeći Laplaceovu funkciju, mogu se riješiti problemi izračunavanja vjerovatnoće pada u dati interval i datog odstupanja normalne slučajne varijable.

RANDOM VRIJEDNOSTI

Primjer 2.1. Slučajna vrijednost X dato funkcijom distribucije

Pronađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednosti između (2,5; 3,6).

Rješenje: X u intervalu (2.5; 3.6) može se odrediti na dva načina:

Primjer 2.2. Na kojim vrijednostima parametara ALI I IN funkcija F(x) = A + Be - x može biti funkcija distribucije za ne-negativne vrijednosti slučajne varijable X.

Rješenje: Budući da su sve moguće vrijednosti slučajne varijable X pripadaju intervalu , tada da bi funkcija bila funkcija distribucije za X, imovina treba da sadrži:

odgovor: .

Primjer 2.3. Slučajna varijabla X je data funkcijom distribucije

Nađite vjerovatnoću da će, kao rezultat četiri nezavisna ispitivanja, vrijednost X tačno 3 puta će uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0,25; 0,75).

Rješenje: Vjerovatnoća dostizanja vrijednosti X u intervalu (0,25; 0,75) nalazimo po formuli:

Primjer 2.4. Verovatnoća da lopta udari u koš u jednom bacanju je 0,3. Nacrtaj zakon raspodjele broja pogodaka u tri bacanja.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj pogodaka u koš sa tri bacanja - može poprimiti vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerovatnoće koje X

Primjer 2.5. Dva strijelca vrše jedan udarac u metu. Verovatnoća da ga pogodi prvi strelac je 0,5, drugi - 0,4. Zapišite zakon raspodjele broja pogodaka u metu.

Rješenje: Naći zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X- broj pogodaka u metu. Neka događaj bude pogodak prvog strijelca u metu, i - pogodak drugog strijelca, odnosno - njihovi promašaji.

Sastavimo zakon distribucije vjerovatnoće SV X:

Primjer 2.6. Testirana su 3 elementa koji rade nezavisno jedan od drugog. Trajanje vremena (u satima) nesmetanog rada elemenata ima funkcije gustine raspodjele: za prvi: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za drugo: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za treću: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Naći vjerovatnoću da će u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati: samo jedan element otkazati; samo dva elementa neće uspjeti; sva tri elementa ne uspijevaju.

Rješenje: Koristimo definiciju generirajuće funkcije vjerovatnoća:

Verovatnoća da će u nezavisnim ispitivanjima, u prvom od kojih je verovatnoća nastanka događaja ALI jednako , u drugom, itd., događaju ALI pojavljuje se točno jednom, jednaka je koeficijentu pri u proširenju generirajuće funkcije u potencijama . Pronađimo vjerovatnoće kvara, odnosno nekvara prvog, drugog i trećeg elementa u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati:

Kreirajmo generirajuću funkciju:

Koeficijent at je jednak vjerovatnoći da se događaj dogodi ALI pojavit će se tačno tri puta, odnosno vjerovatnoća kvara sva tri elementa; koeficijent at je jednak vjerovatnoći da će tačno dva elementa otkazati; koeficijent at jednak je vjerovatnoći da će samo jedan element otkazati.

Primjer 2.7. Zadana gustina vjerovatnoće f(x) slučajna varijabla X:

Naći funkciju distribucije F(x).

Rješenje: Koristimo formulu:

Dakle, funkcija distribucije ima oblik:

Primjer 2.8. Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Sastaviti zakon raspodjele broja neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj elemenata koji nisu uspjeli u jednom eksperimentu - može uzeti vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo po Bernoullijevoj formuli:

Tako dobijamo sljedeći zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X:

Primjer 2.9. Postoje 4 standardna dijela u lotu od 6 dijelova. 3 stavke su nasumično odabrane. Sastaviti zakon raspodjele broja standardnih dijelova među odabranim.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj standardnih dijelova među odabranim - može imati vrijednosti: 1, 2, 3 i ima hipergeometrijsku distribuciju. Vjerovatnoće koje X

gdje -- broj delova u seriji;

-- broj standardnih delova u seriji;

– broj odabranih dijelova;

-- broj standardnih dijelova među odabranim.

Primjer 2.10. Slučajna varijabla ima gustinu distribucije

gdje i nisu poznati, ali , a i . Pronađite i .

Rješenje: U ovom slučaju, slučajna varijabla X ima trokutastu distribuciju (Simpsonovu distribuciju) na intervalu [ a, b]. Numeričke karakteristike X:

shodno tome, . Rješavajući ovaj sistem, dobijamo dva para vrijednosti: . Pošto, prema stanju problema, konačno imamo: .

odgovor: .

Primjer 2.11. U prosjeku, za 10% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje osigurane svote u vezi sa nastankom osiguranog slučaja. Izračunajte matematičko očekivanje i varijansu broja takvih ugovora između četiri nasumično odabrana.

Rješenje: Matematička očekivanja i varijansa mogu se pronaći pomoću formula:

Moguće vrijednosti SV (broj ugovora (od četiri) sa nastankom osiguranog slučaja): 0, 1, 2, 3, 4.

Koristimo Bernoullijevu formulu za izračunavanje vjerovatnoće različitog broja ugovora (od četiri) za koje su plaćene osigurane sume:

Serija distribucije CV-a (broj ugovora sa nastankom osiguranog slučaja) ima oblik:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Odgovor: , .

Primjer 2.12. Od pet ruža, dvije su bijele. Napišite zakon raspodjele za slučajnu varijablu koja izražava broj bijelih ruža između dvije uzeti u isto vrijeme.

Rješenje: U uzorku od dvije ruže možda nema bijele ruže ili može biti jedna ili dvije bijele ruže. Dakle, slučajna varijabla X može imati vrijednosti: 0, 1, 2. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo po formuli:

gdje -- broj ruža;

-- broj bijelih ruža;

– broj istovremeno uzetih ruža;

-- broj bijelih ruža među uzetima.

Tada će zakon distribucije slučajne varijable biti sljedeći:

Primjer 2.13. Od 15 sklopljenih jedinica, 6 je potrebno dodatno podmazivanje. Napraviti zakon raspodjele broja jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje, između pet nasumično odabranih od ukupnog broja.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje između pet odabranih - može imati vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i ima hipergeometrijsku distribuciju. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo po formuli:

gdje -- broj sklopljenih jedinica;

-- broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje;

– broj odabranih agregata;

-- broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje među odabranim.

Tada će zakon distribucije slučajne varijable biti sljedeći:

Primjer 2.14. Od 10 satova primljenih na popravku, 7 treba generalno čišćenje mehanizma. Satovi nisu razvrstani po vrsti popravke. Majstor, želeći pronaći sat koji treba očistiti, pregledava ih jednog po jednog i, nakon što je pronašao takav sat, zaustavlja dalje gledanje. Pronađite matematičko očekivanje i varijaciju broja sati gledanja.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje između pet odabranih - može imati sljedeće vrijednosti: 1, 2, 3, 4. Vjerovatnoće da X uzima ove vrijednosti, nalazimo po formuli:

Tada će zakon distribucije slučajne varijable biti sljedeći:

Sada izračunajmo numeričke karakteristike količine:

Odgovor: , .

Primjer 2.15. Pretplatnik je zaboravio zadnju cifru telefonskog broja koji mu je potreban, ali se sjeća da je to čudno. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu broja biranja koje je napravio prije nego što je pogodio željeni broj, ako nasumično bira posljednju cifru i ne bira biranu cifru u budućnosti.

Rješenje: Slučajna varijabla može imati vrijednosti: . Budući da pretplatnik ubuduće ne bira biranu cifru, vjerovatnoće ovih vrijednosti su jednake.

Sastavimo niz distribucije slučajne varijable:


	0,2

Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu broja pokušaja biranja:

Odgovor: , .

Primjer 2.16. Verovatnoća kvara tokom testova pouzdanosti za svaki uređaj iz serije je jednaka str. Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli, ako su testirani N aparati.

Rješenje: Diskretna slučajna varijabla X je broj neispravnih uređaja N nezavisni testovi, u svakom od kojih je vjerovatnoća neuspjeha jednaka p, distribuiraju prema binomskom zakonu. Matematičko očekivanje binomske distribucije jednako je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće da će se događaj desiti u jednom pokušaju:

Primjer 2.17. Diskretna slučajna varijabla X uzima 3 moguće vrijednosti: sa vjerovatnoćom ; sa vjerovatnoćom i sa vjerovatnoćom . Pronađite i znajući da je M( X) = 8.

Rješenje: Koristimo definicije matematičkog očekivanja i zakon distribucije diskretne slučajne varijable:

Mi nalazimo: .

Primjer 2.18. Odjel tehničke kontrole provjerava standardnost proizvoda. Vjerovatnoća da je stavka standardna je 0,9. Svaka serija sadrži 5 artikala. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable X- broj serija, od kojih svaka sadrži tačno 4 standardna proizvoda, ako je 50 serija podložno verifikaciji.

Rješenje: U ovom slučaju, svi provedeni eksperimenti su nezavisni, a vjerovatnoće da svaka serija sadrži tačno 4 standardna proizvoda su iste, stoga se matematičko očekivanje može odrediti formulom:

gdje je broj stranaka;

Vjerovatnoća da serija sadrži tačno 4 standardna artikla.

Pronalazimo vjerovatnoću koristeći Bernoullijevu formulu:

odgovor: .

Primjer 2.19. Pronađite varijansu slučajne varijable X– broj pojavljivanja događaja A u dva nezavisna ispitivanja, ako su vjerovatnoće nastanka događaja u ovim ogledima iste i poznato je da M(X) = 0,9.

Rješenje: Problem se može riješiti na dva načina.

1) Moguće CB vrijednosti X: 0, 1, 2. Koristeći Bernulijevu formulu, određujemo vjerovatnoće ovih događaja:

, , .

Zatim zakon o raspodjeli X izgleda kao:

Iz definicije matematičkog očekivanja određujemo vjerovatnoću:

Nađimo varijansu SW X:

2) Možete koristiti formulu:

odgovor: .

Primjer 2.20. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable X su 20 i 5. Nađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15; 25).

Rješenje: Vjerovatnoća pogađanja normalne slučajne varijable X na odsjeku od do izraženo je u terminima Laplaceove funkcije:

Primjer 2.21. Zadata funkcija:

Na kojoj vrijednosti parametra C ova funkcija je gustina distribucije neke kontinuirane slučajne varijable X? Pronađite matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable X.

Rješenje: Da bi funkcija bila gustina distribucije neke slučajne varijable, ona mora biti nenegativna i mora zadovoljiti svojstvo:

posljedično:

Izračunajte matematičko očekivanje koristeći formulu:

Izračunajte varijansu koristeći formulu:

T je str. Potrebno je pronaći matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.

Rješenje: Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja u nezavisnim ispitivanjima, u svakom od kojih je vjerovatnoća pojave događaja, naziva se binom. Matematičko očekivanje binomske distribucije jednako je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće pojave događaja A u jednom pokušaju:

Primjer 2.25. U metu se ispaljuju tri nezavisna hica. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,25. Odredite standardnu devijaciju broja pogodaka sa tri hica.

Rješenje: Budući da se izvode tri nezavisna pokušaja, a vjerovatnoća pojave događaja A (pogodak) u svakom pokušaju je ista, pretpostavićemo da je diskretna slučajna varijabla X - broj pogodaka na meti - raspoređena prema binomu zakon.

Varijanca binomske distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće pojave i nenastupanja događaja u jednom pokusu:

Primjer 2.26. Prosječan broj klijenata koji posjete osiguravajuću kuću za 10 minuta je tri. Pronađite vjerovatnoću da barem jedan kupac stigne u sljedećih 5 minuta.

Prosječan broj kupaca koji dolaze za 5 minuta: . .

Primjer 2.29. Vrijeme čekanja za aplikaciju u procesorskom redu slijedi eksponencijalni zakon raspodjele s prosječnom vrijednošću od 20 sekundi. Pronađite vjerovatnoću da će sljedeći (proizvoljni) zahtjev čekati procesor duže od 35 sekundi.

Rješenje: U ovom primjeru, očekivanje , a stopa neuspjeha je .

Tada je željena vjerovatnoća:

Primjer 2.30. Grupa od 15 učenika održava sastanak u sali sa 20 redova od po 10 sedišta. Svaki učenik nasumično zauzima mjesto u sali. Kolika je vjerovatnoća da ne više od tri osobe budu na sedmom mjestu u nizu?

Rješenje:

Primjer 2.31.

Tada prema klasičnoj definiciji vjerovatnoće:

gdje -- broj delova u seriji;

-- broj nestandardnih delova u seriji;

– broj odabranih dijelova;

-- broj nestandardnih delova među odabranim.

Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći.

Kontinuirane slučajne varijable imaju beskonačan broj mogućih vrijednosti. Stoga je nemoguće uvesti distributivnu seriju za njih.

Umjesto vjerovatnoće da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost jednaku x, tj. p(X = x), razmotrite vjerovatnoću da će X poprimiti vrijednost manju od x, tj. P(X< х).

Uvodimo novu karakteristiku slučajnih varijabli - funkciju distribucije i razmatramo njena svojstva.

Funkcija distribucije je najuniverzalnija karakteristika slučajne varijable. Može se definirati i za diskretne i za kontinuirane slučajne varijable:

F(x) = p(X< x).

Svojstva funkcije distribucije.

Funkcija distribucije je neopadajuća funkcija svog argumenta, tj. ako:

Na minus beskonačnosti, funkcija distribucije je nula:

Na plus beskonačno, funkcija distribucije je jednaka jedan:

Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u dati interval određena je formulom:

Funkcija f(x), koja je jednaka derivatu funkcije distribucije, naziva se gustoća vjerovatnoće slučajne varijable X ili gustina distribucije:

Izrazimo vjerovatnoću pogađanja sekcije b do c u terminima f(x). Jednaka je zbiru elemenata vjerovatnoće u ovom dijelu, tj. integral:

Odavde možemo izraziti funkciju distribucije u smislu gustine vjerovatnoće:

Svojstva gustoće vjerovatnoće.

Gustoća vjerovatnoće je nenegativna funkcija (pošto je funkcija distribucije neopadajuća funkcija):

Gustina vjerovatno

sti je kontinuirana funkcija.

Integral u beskonačnim granicama gustine vjerovatnoće jednak je 1:

Gustoća vjerovatnoće ima dimenziju slučajne varijable.

Matematičko očekivanje i disperzija kontinuirane slučajne varijable

Značenje matematičkog očekivanja i varijanse ostaje isto kao iu slučaju diskretnih slučajnih varijabli. Oblik formula za njihovo pronalaženje mijenja se zamjenom:

Tada dobijamo formule za izračunavanje matematičkog očekivanja i disperzije kontinuirane slučajne varijable:

Primjer. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable je data sa:

Nađite vrijednost a, gustinu vjerovatnoće, vjerovatnoću da ćete pogoditi lokaciju (0,25-0,5), matematičko očekivanje i varijansu.

Pošto je funkcija distribucije F(x) kontinuirana, onda je za x = 1 ax2 = 1, dakle a = 1.

Gustoća vjerovatnoće se nalazi kao derivacija funkcije distribucije:

Proračun vjerovatnoće udara u dato područje može se izvršiti na dva načina: korištenjem funkcije raspodjele i korištenjem gustine vjerovatnoće.

1. način. Koristimo formulu za pronalaženje vjerovatnoće kroz funkciju distribucije:
2nd way. Koristimo formulu za pronalaženje vjerovatnoće kroz gustinu vjerovatnoće:

Pronalaženje matematičkog očekivanja:

Pronalaženje varijanse:

Ujednačena distribucija

Razmotrimo kontinuiranu slučajnu varijablu X čije moguće vrijednosti leže u određenom intervalu i jednako su vjerojatne.

Gustoća vjerovatnoće takve slučajne varijable će biti:

gdje je c neka konstanta.

Grafikon gustine vjerovatnoće će biti prikazan na sljedeći način:

Parametar c izražavamo u terminima b i c. Da bismo to učinili, koristimo činjenicu da integral gustoće vjerovatnoće za cijelo područje mora biti jednak 1:

Gustoća distribucije jednoliko raspoređene slučajne varijable

Pronađite funkciju distribucije:

Funkcija distribucije jednoliko raspoređene slučajne varijable

Nacrtajmo funkciju distribucije:

Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable koja se pridržava uniformne raspodjele.

Tada će standardna devijacija izgledati ovako:

Normalna (Gausova) distribucija

Kontinuirana slučajna varijabla X naziva se normalno raspoređena s parametrima a, y > 0 ako ima gustinu vjerovatnoće:

Kriva distribucije slučajne varijable ima oblik:

Test 2

Zadatak 1. Sastaviti zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X, izračunati matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 1

QCD provjerava proizvode za standardizaciju. Vjerovatnoća da je stavka standardna je 0,7. Testirano 20 artikala. Naći zakon raspodjele slučajne varijable X - broj standardnih proizvoda među testiranim. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 2

U urni se nalaze 4 kuglice, na kojima su označene 2 tačke; 4; pet; 5. Lopta se izvlači nasumično. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj tačaka na njoj. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 3

Lovac gađa divljač dok ne pogodi, ali ne može ispaliti više od tri hica. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,6. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj hitaca koje je strijelac ispalio. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 4

Verovatnoća prekoračenja navedene tačnosti u merenju je 0,4. Sastaviti zakon raspodjele slučajne varijable X - broj grešaka u 10 mjerenja. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 5

Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,45. Ispaljeno 20 hitaca. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj pogodaka. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 6

Proizvodi određene fabrike sadrže 5% braka. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj neispravnih proizvoda među pet uzetih za sreću. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 7

Dijelovi potrebni montažeru nalaze se u tri od pet kutija. Sastavljač otvara kutije dok ne pronađe prave dijelove. Sastaviti zakon raspodjele slučajne varijable X - broj otvorenih kutija. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 8

Urna sadrži 3 crne i 2 bijele kuglice. Izvodi se sekvencijalno vađenje loptica bez povratka sve dok se ne pojavi crna. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj izvađenih loptica. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 9

Učenik zna 15 pitanja od 20. U listiću su 3 pitanja. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj pitanja poznatih učeniku u listiću. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 10

Postoje 3 sijalice od kojih svaka ima kvar sa vjerovatnoćom 0,4. Kada se uključi, neispravna sijalica pregori i zamjenjuje se drugom. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj testiranih lampi. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Zadatak 2. Slučajna varijabla X data je funkcijom raspodjele F(X). Naći gustinu distribucije, matematičko očekivanje, varijansu, kao i vjerovatnoću da slučajna varijabla padne u interval (b, c). Konstruirati grafove funkcija F(X) i f(X).

Opcija 1