Linearna funkcija i njena. Linearna funkcija

Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisna varijabla, k i b su bilo koji brojevi.
Grafikon linearne funkcije je prava linija.

1. Da nacrtate graf funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i koristiti ih za izračunavanje odgovarajućih y vrijednosti.

Na primjer, za crtanje funkcije y= x+2, zgodno je uzeti x=0 i x=3, tada će ordinate ovih tačaka biti jednake y=2 i y=3. Dobijamo tačke A(0;2) i B(3;3). Povežimo ih i dobijemo graf funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k se naziva koeficijent proporcionalnosti:
ako je k>0, tada funkcija y=kx+b raste
ako k
Koeficijent b pokazuje pomak grafa funkcije duž ose OY:
ako je b>0, onda se graf funkcije y=kx+b dobija iz grafika funkcije y=kx pomicanjem b jedinica prema gore duž ose OY
ako b
Na slici ispod prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent k iznad nule, a funkcije su povećanje.Štaviše, što je veća vrijednost k, veći je ugao nagiba prave linije u pozitivnom smjeru ose OX.

U svim funkcijama b=3 - i vidimo da svi grafovi sijeku osu OY u tački (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent k manje od nule i funkcije se smanjuju. Koeficijent b=3, a grafovi, kao iu prethodnom slučaju, sijeku osu OY u tački (0;3)

Pogledajmo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada su u svim jednadžbama funkcije koeficijenti k jednaki 2. I dobili smo tri paralelne prave.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafovi sijeku os OY u različitim tačkama:
Grafikon funkcije y=2x+3 (b=3) siječe osu OY u tački (0;3)
Grafikon funkcije y=2x (b=0) siječe osu OY u tački (0;0) - ishodištu.
Grafikon funkcije y=2x-3 (b=-3) siječe osu OY u tački (0;-3)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
Ako k 0

Ako k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k, tada grafik funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k=0, tada se funkcija y=kx+b pretvara u funkciju y=b i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih tačaka na grafu funkcije y=b jednake su b If b=0, tada graf funkcije y=kx (direktna proporcionalnost) prolazi kroz ishodište:

3. Zabilježimo posebno grafik jednačine x=a. Grafikon ove jednačine je prava linija paralelna sa OY osi, čije sve tačke imaju apscisu x=a.

Na primjer, graf jednadžbe x=3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba x=a nije funkcija, tako da jedna vrijednost argumenta odgovara različitim vrijednostima funkcije, što ne odgovara definiciji funkcije.

4. Uslov za paralelnost dve prave:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je paralelan sa grafikom funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 =k 2

5. Uslov da dve prave budu okomite:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je okomit na grafik funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Tačke presjeka grafa funkcije y=kx+b sa koordinatnim osa.

Sa OY osovinom. Apscisa bilo koje tačke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OY osom, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto x. Dobijamo y=b. Odnosno, tačka preseka sa OY osom ima koordinate (0; b).

Sa OX osom: Ordinata bilo koje tačke koja pripada OX osi je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa osom OX, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto y. Dobijamo 0=kx+b. Dakle, x=-b/k. To jest, tačka preseka sa OX osom ima koordinate (-b/k;0):

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Linearna funkcija naziva se funkcija forme y = kx + b, definisan na skupu svih realnih brojeva. Evo k– nagib (stvarni broj), b – slobodni termin (stvarni broj), x- nezavisna varijabla.

U posebnom slučaju, ako k = 0, dobijamo konstantnu funkciju y = b, čiji je graf prava linija paralelna s osi Ox koja prolazi kroz tačku s koordinatama (0; b).

Ako b = 0, tada dobijamo funkciju y = kx, koji je direktnu proporcionalnost.

b – dužina segmenta, koji je odsječen ravnom linijom duž ose Oy, računajući od početka.

Geometrijsko značenje koeficijenta k – ugao nagiba ravno u pozitivnom smjeru ose Ox, posmatrano u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Područje definicije linearne funkcije je cijela realna os;

2) Ako k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna os. Ako k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k I b.

a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b – paran;

b) b = 0, k ≠ 0, dakle y = kx – neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, dakle y = kx + b – funkcija opšteg oblika;

d) b = 0, k = 0, dakle y = 0 – i parne i neparne funkcije.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama:

vol: y = kx + b = 0, x = -b/k, dakle (-b/k; 0)– tačka preseka sa osom apscise.

oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b)– tačka preseka sa ordinatnom osom.

Napomena: Ako b = 0 I k = 0, zatim funkciju y = 0 ide na nulu za bilo koju vrijednost varijable X. Ako b ≠ 0 I k = 0, zatim funkciju y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable X.

6) Intervali konstantnosti predznaka zavise od koeficijenta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozitivno kada x od (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativno kada x od (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozitivno kada x od (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativno kada x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitivno u cijelom rasponu definicija,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativan u cijelom rasponu definicija.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije zavise od koeficijenta k.

k > 0, dakle y = kx + b povećava se u cijelom domenu definicije,

k< 0 , dakle y = kx + b opada u cijelom domenu definicije.

8) Grafikon linearne funkcije je prava linija. Za konstruisanje prave linije dovoljno je poznavati dve tačke. Položaj prave linije na koordinatnoj ravni ovisi o vrijednostima koeficijenata k I b. Ispod je tabela koja to jasno ilustruje.

Definicija linearne funkcije

Hajde da uvedemo definiciju linearne funkcije

Definicija

Funkcija oblika $y=kx+b$, gdje je $k$ različit od nule, naziva se linearna funkcija.

Grafikon linearne funkcije je prava linija. Broj $k$ naziva se nagib prave.

Kada je $b=0$ linearna funkcija se naziva funkcijom direktne proporcionalnosti $y=kx$.

Razmotrite sliku 1.

Rice. 1. Geometrijsko značenje nagiba prave

Razmotrimo trougao ABC. Vidimo da je $VS=kx_0+b$. Nađimo tačku preseka prave $y=kx+b$ sa osom $Ox$:

\ \

Dakle, $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nađimo omjer ovih strana:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

S druge strane, $\frac(BC)(AC)=tg\ugao A$.

Dakle, možemo izvući sljedeći zaključak:

Zaključak

Geometrijsko značenje koeficijenta $k$. Ugaoni koeficijent prave $k$ jednak je tangenti ugla nagiba ove prave na osu $Ox$.

Proučavanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ i njenog grafa

Prvo, razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx+b$, gdje je $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Posljedično, ova funkcija se povećava u cijelom domenu definicije. Ne postoje ekstremne tačke.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (slika 2).

Rice. 2. Grafovi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Sada razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx$, gdje je $k

1. Domen definicije su svi brojevi.
2. Raspon vrijednosti su svi brojevi.
3. $f\levo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Za $x=0,f\left(0\right)=b$. Kada je $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Točke preseka sa koordinatnim osama: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dakle, funkcija nema prevojne tačke.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (slika 3).

Koncept numeričke funkcije. Metode za određivanje funkcije. Svojstva funkcija.

Numerička funkcija je funkcija koja djeluje iz jednog numeričkog prostora (skupa) u drugi numerički prostor (skup).

Tri glavna načina definiranja funkcije: analitički, tabelarni i grafički.

1. Analitički.

Metoda specificiranja funkcije pomoću formule naziva se analitička. Ova metoda je glavna u otiraču. analize, ali u praksi to nije zgodno.

2. Tabelarni metod specificiranja funkcije.

Funkcija se može specificirati pomoću tablice koja sadrži vrijednosti argumenata i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije.

3. Grafička metoda specificiranja funkcije.

Za funkciju y=f(x) se kaže da je data grafički ako je njen graf konstruisan. Ova metoda specificiranja funkcije omogućava određivanje vrijednosti funkcije samo približno, jer je konstruiranje grafa i pronalaženje vrijednosti funkcije na njemu povezano s greškama.

Svojstva funkcije koja se moraju uzeti u obzir pri konstruisanju njenog grafa:

1) Područje definicije funkcije.

Domen funkcije, odnosno one vrijednosti koje argument x funkcije F =y (x) može uzeti.

2) Intervali rastućih i opadajućih funkcija.

Funkcija se zove rastuća na intervalu koji se razmatra, ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije y(x). To znači da ako su dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzeta iz intervala koji se razmatra, a x 1 > x 2, onda je y(x 1) > y(x 2).

Funkcija se zove opadajuća na intervalu koji se razmatra, ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije y(x). To znači da ako se dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzmu iz intervala koji se razmatra, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Nule funkcije.

Tačke u kojima funkcija F = y (x) siječe osu apscise (dobive se rješavanjem jednadžbe y(x) = 0) nazivaju se nulama funkcije.

4) Parne i neparne funkcije.

Funkcija se zove parna, ako za sve vrijednosti argumenata iz opsega

y(-x) = y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Funkcija se naziva neparna, ako za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(-x) = -y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

5) Periodičnost funkcije.

Funkcija se zove periodična, ako postoji broj P takav da za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(x + P) = y(x).

Linearna funkcija, njena svojstva i graf.

Linearna funkcija je funkcija oblika y = kx + b, definisan na skupu svih realnih brojeva.

k– nagib (stvarni broj)

b– lažni termin (pravi broj)

x- nezavisna varijabla.

· U posebnom slučaju, ako je k = 0, dobijamo konstantnu funkciju y = b, čiji je grafik prava linija paralelna sa Ox osom koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0; b).

· Ako je b = 0, onda dobijamo funkciju y = kx, što je direktna proporcionalnost.

o Geometrijsko značenje koeficijenta b je dužina segmenta koji prava linija odsiječe duž ose Oy, računajući od početka.

o Geometrijsko značenje koeficijenta k je ugao nagiba prave linije prema pozitivnom smjeru ose Ox, izračunat u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Oblast definisanja linearne funkcije je cela realna osa;

2) Ako je k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna osa.

Ako je k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije zavise od vrijednosti koeficijenata k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b – paran;

b) b = 0, k ≠ 0, dakle y = kx – neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga je y = kx + b funkcija opšteg oblika;

d) b = 0, k = 0, stoga je y = 0 i parna i neparna funkcija.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Tačke preseka sa koordinatnim osama:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, dakle (-b/k; 0) je tačka preseka sa osom apscise.

Oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b) je tačka preseka sa ordinatom.

Komentar. Ako je b = 0 i k = 0, tada funkcija y = 0 nestaje za bilo koju vrijednost varijable x. Ako je b ≠ 0 i k = 0, tada funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.

6) Intervali konstantnosti predznaka zavise od koeficijenta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x iz (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativno za x iz (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x od (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativno za x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitivan u cijelom domenu definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije zavise od koeficijenta k.

k > 0, stoga se y = kx + b povećava u cijelom domenu definicije,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcija y = ax 2 + bx + c, njena svojstva i graf.

Funkcija y = ax 2 + bx + c (a, b, c su konstante, a ≠ 0) naziva se kvadratni. U najjednostavnijem slučaju, y = ax 2 (b = c = 0) grafik je kriva linija koja prolazi kroz ishodište. Kriva koja služi kao graf funkcije y = ax 2 je parabola. Svaka parabola ima os simetrije tzv osi parabole. Tačka O presjeka parabole sa njenom osom naziva se vrh parabole.

Graf se može konstruisati prema sledećoj šemi: 1) Naći koordinate vrha parabole x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Konstruišemo još nekoliko tačaka koje pripadaju paraboli pri konstruisanju možemo koristiti simetrije parabole u odnosu na pravu x = -b/2a; 3) Povežite naznačene tačke glatkom linijom. Primjer. Grafikujte funkciju b = x 2 + 2x - 3. Rješenja. Graf funkcije je parabola, čije su grane usmjerene prema gore. Apscisa vrha parabole x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, njene ordinate y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Dakle, vrh parabole je tačka (-1; -4). Sastavimo tablicu vrijednosti za nekoliko tačaka koje se nalaze desno od ose simetrije parabole - ravna linija x = -1. Svojstva funkcije.