Koji segmenti se mogu izvući za rez. Olimpijada, logički i zabavni zadaci iz matematike

, Takmičenje "Prezentacija za čas"

Prezentacija za lekciju

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Iskustvo pokazuje da je upotrebom praktičnih nastavnih metoda kod učenika moguće formirati niz mentalnih tehnika neophodnih za pravilno prepoznavanje bitnih i nebitnih osobina prilikom upoznavanja geometrijskih likova. razvija se matematička intuicija, logičko i apstraktno mišljenje, formira se kultura matematičkog govora, razvijaju se matematičke i dizajnerske sposobnosti, povećava se kognitivna aktivnost, formira se kognitivni interes, razvija se intelektualni i kreativni potencijal. Članak daje niz praktičnih zadataka o rezanju geometrije oblikuje u komade kako bi sastavio te dijelove stvorio novu figuru. Učenici rade zadatke u grupama. Svaka grupa tada brani svoj projekat.

Dvije figure nazivaju se jednako sastavljenim ako je rezanjem jedne od njih na određeni način na konačan broj dijelova moguće (različitim rasporedom ovih dijelova) od njih formirati drugu figuru. Dakle, metoda particioniranja se zasniva na činjenici da su bilo koja dva jednako sastavljena poligona jednake veličine. Prirodno je postaviti suprotno pitanje: da li bilo koja dva poligona imaju istu površinu jednake veličine? Odgovor na ovo pitanje dali su (skoro istovremeno) mađarski matematičar Farkaš Boljai (1832) i nemački oficir i zaljubljenik u matematiku Gervin (1833): dva poligona jednakih površina su podjednako proporcionalna.

Bolyai-Gerwinova teorema kaže da se bilo koji poligon može izrezati na komade tako da se dijelovi mogu formirati u kvadrat.

Vježba 1.

Izrežite pravougaonik a X 2a na komade tako da se od njih mogu napraviti kvadrat.

Pravokutnik ABCD izrežemo na tri dijela duž linija MD i MC (M je sredina AB)

Slika 1

Pomeramo trougao AMD tako da se vrh M poklapa sa vrhom C, krak AM se pomera na segment DC. Trokut MVS pomičemo lijevo i dolje tako da krak MV preklapa polovinu segmenta DC. (Slika 1)

Zadatak 2.

Izrežite jednakostranični trokut na komade tako da se mogu saviti u kvadrat.

Označimo ovaj pravilni trougao ABC. Potrebno je izrezati trougao ABC na poligone tako da se mogu saviti u kvadrat. Tada ovi poligoni moraju imati barem jedan pravi ugao.

Neka je K središte CB, T središte AB, odaberite tačke M i E na strani AC tako da ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

Slika 2

Nacrtajmo segment MK i segmente EP i TN okomite na njega. Izrežemo trokut na komade duž konstruiranih linija. Rotiramo četvorougao KRES u smeru kazaljke na satu u odnosu na vrh K tako da se SC poravna sa segmentom KV. Zarotirajmo četverougao AMNT u smjeru kazaljke na satu u odnosu na vrh T tako da se AT poravna sa TV. Pomjerimo trokut MEP tako da rezultat bude kvadrat. (slika 2)

Zadatak 3.

Izrežite kvadrat na komade tako da se od njih mogu presavijati dva kvadrata.

Označimo originalni kvadrat ABCD. Označimo sredine stranica kvadrata - tačke M, N, K, H. Nacrtajmo segmente MT, HE, KF i NP - dijelove segmenata MC, HB, KA i ND, redom.

Rezanjem kvadrata ABCD po nacrtanim linijama dobijamo kvadrat PTEF i četiri četvorougla MDHT, HCKE, KBNF i NAMP.

Slika 3

PTEF je gotov kvadrat. Od preostalih četvorouglova formiraćemo drugi kvadrat. Vrhovi A, B, C i D su kompatibilni u jednoj tački, segmenti AM i BC, MD i KS, BN i CH, DH i AN su kompatibilni. Tačke P, T, E i F će postati vrhovi novog kvadrata. (Slika 3)

Zadatak 4.

Od debelog papira izrezani su jednakostranični trokut i kvadrat. Ove figure izrežite na poligone tako da se mogu savijati u jedan kvadrat, a dijelovi ga moraju u potpunosti ispuniti i ne smiju se ukrštati.

Izrežite trokut na komade i od njih napravite kvadrat kao što je prikazano u zadatku 2. Dužina stranice trokuta – 2a. Sada biste trebali kvadrat podijeliti na poligone tako da od ovih dijelova i kvadrata koji je izašao iz trokuta napravite novi kvadrat. Uzmite kvadrat sa stranom 2 A, označimo ga LRSD. Nacrtajmo međusobno okomite segmente UG i VF tako da je DU=SF=RG=LV. Izrežemo kvadrat na četvorouglove.

Slika 4

Uzmimo kvadrat sastavljen od dijelova trougla. Položimo četverouglove - dijelove kvadrata, kao što je prikazano na slici 4.

Zadatak 5.

Krst je sastavljen od pet kvadrata: jedan kvadrat u sredini, a druga četiri uz njegove stranice. Izrežite ga na komade tako da od njih možete napraviti kvadrat.

Povežimo vrhove kvadrata kao što je prikazano na slici 5. Odrežite „spoljne“ trouglove i pomerite ih na slobodne prostore unutar ABC kvadrata.

Slika 5

Zadatak 6.

Ponovo nacrtajte dva proizvoljna kvadrata u jedan.

Slika 6 pokazuje kako rezati i pomicati kvadratne komade.

Tačka je apstraktni objekat koji nema mjerne karakteristike: bez visine, bez dužine, bez radijusa. U okviru zadatka važna je samo njegova lokacija

Tačka se označava brojem ili velikim (velikim) latiničnim slovom. Nekoliko tačaka - s različitim brojevima ili različitim slovima tako da se mogu razlikovati

tačka A, tačka B, tačka C

tačka 1, tačka 2, tačka 3

Možete nacrtati tri tačke „A“ na komadu papira i pozvati dete da povuče liniju kroz dve tačke „A“. Ali kako razumjeti kroz koje? A A A

Prava je skup tačaka. Meri se samo dužina. Nema širinu ni debljinu

Označeno malim (malim) latiničnim slovima

linija a, linija b, linija c

Linija može biti

1. zatvoren ako su njegov početak i kraj u istoj tački,
2. otvoren ako njegov početak i kraj nisu povezani

zatvorene linije

otvorene linije

1. samopresecanje
2. bez samoukrštanja

linije koje se same sijeku

linije bez samopresecanja

1. ravno
2. slomljena
3. krivo

prave linije

isprekidane linije

zakrivljene linije

Prava linija je linija koja nije kriva, nema ni početak ni kraj, može se nastaviti beskonačno u oba smjera

Čak i kada je vidljiv mali dio prave linije, pretpostavlja se da se ona nastavlja beskonačno u oba smjera

Označeno malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova - tačke koje leže na pravoj liniji

prava linija a

prava AB

Direktno može biti

1. seku ako imaju zajedničku tačku. Dvije prave se mogu sjeći samo u jednoj tački.
   • okomito ako se sijeku pod pravim uglom (90°).
2. Paralele, ako se ne seku, nemaju zajedničku tačku.

paralelne linije

linije koje se seku

okomite linije

Zraka je dio prave linije koja ima početak ali nema kraj; može se nastaviti beskonačno u samo jednom smjeru

Zraka svjetlosti na slici ima svoju početnu tačku kao sunce.

Ned

Tačka dijeli pravu liniju na dva dijela - dvije zrake A A

Greda je označena malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova, pri čemu je prvo tačka iz koje zraka počinje, a drugo tačka koja leži na zraku

ray a

greda AB

Zrake se poklapaju ako

1. nalazi se na istoj pravoj liniji
2. početi u jednom trenutku
3. usmerena u jednom pravcu

zrake AB i AC se poklapaju

zrake CB i CA se poklapaju

Segment je dio prave koji je ograničen s dvije tačke, odnosno ima i početak i kraj, što znači da se njegova dužina može izmjeriti. Dužina segmenta je rastojanje između njegove početne i krajnje tačke

Kroz jednu tačku možete nacrtati bilo koji broj linija, uključujući prave

Kroz dvije tačke - neograničen broj krivina, ali samo jedna prava linija

krive linije koje prolaze kroz dvije tačke

prava AB

Komad je “odsječen” od prave linije i ostao je segment. Iz gornjeg primjera možete vidjeti da je njegova dužina najkraća udaljenost između dvije tačke. ✂ B A ✂

Segment se označava sa dva velika (velika) latinična slova, pri čemu je prvo tačka u kojoj segment počinje, a drugo tačka na kojoj se segment završava

segment AB

Problem: gdje je prava, zraka, segment, kriva?

Izlomljena linija je linija koja se sastoji od uzastopno povezanih segmenata koji nisu pod uglom od 180°

Dugačak segment je „razbijen“ na nekoliko kratkih

Karike izlomljene linije (slično karikama lanca) su segmenti koji čine izlomljenu liniju. Susjedne veze su veze u kojima je kraj jedne veze početak druge. Susjedne veze ne bi trebale ležati na istoj pravoj liniji.

Vrhovi izlomljene linije (slično vrhovima planina) su tačka od koje počinje izlomljena linija, tačke u kojima se spajaju segmenti koji čine izlomljenu liniju i tačka u kojoj se izlomljena linija završava.

Izlomljena linija se označava navođenjem svih njenih vrhova.

izlomljena linija ABCDE

vrh polilinije A, vrh polilinije B, vrh polilinije C, vrh polilinije D, vrh polilinije E

prekinuta veza AB, prekinuta veza BC, prekinuta veza CD, pokvarena veza DE

veza AB i veza BC su susjedni

link BC i link CD su susjedni

link CD i link DE su susjedni

Dužina izlomljene linije je zbir dužina njenih karika: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

zadatak: koja je izlomljena linija duža, A koji ima više vrhova? Prvi red ima sve karike iste dužine, odnosno 13 cm. Druga linija ima sve karike iste dužine, odnosno 49 cm. Treća linija ima sve karike iste dužine, odnosno 41 cm.

Poligon je zatvorena poligonalna linija

Stranice poligona (izrazi će vam pomoći da zapamtite: „idi u sva četiri pravca“, „trči prema kući“, „na koju stranu stola ćeš sjesti?“) su veze isprekidane linije. Susjedne strane poligona su susjedne veze isprekidane linije.

Vrhovi poligona su vrhovi izlomljene linije. Susedni vrhovi su krajnje tačke jedne strane poligona.

Poligon se označava navođenjem svih njegovih vrhova.

zatvorena polilinija bez samopresecanja, ABCDEF

poligon ABCDEF

vrh poligona A, vrh poligona B, vrh poligona C, vrh poligona D, vrh poligona E, vrh poligona F

vrh A i vrh B su susjedni

vrh B i vrh C su susjedni

vrh C i vrh D su susjedni

vrh D i vrh E su susjedni

vrh E i vrh F su susjedni

vrh F i vrh A su susjedni

strana poligona AB, strana poligona BC, strana poligona CD, strana poligona DE, strana poligona EF

strana AB i strana BC su susjedne

strana BC i strana CD su susjedne

CD strana i DE strana su susjedne

strana DE i strana EF su susjedne

strana EF i strana FA su susjedne

Opseg poligona je dužina izlomljene linije: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Poligon sa tri vrha naziva se trougao, sa četiri - četvorougao, sa pet - petougao itd.

Serija izbornih časova na temu “Rješavanje zadataka rezanja”

Objašnjenje

Basic ciljevi koje stavljamo u izbornu nastavu su:

Prezentirati materijal o vrstama rezanja poligona;

Promovirati formiranje vještina kod učenika da mentalno izvrše takve transformacije kao što su:

• paralelni prijenos,

  okrenuti,

  centralna simetrija i različite kompozicije ovih transformacija.

I glavni cilj svih časova: postići pozitivnu promjenu u sposobnostima prostornog razmišljanja.

Zadaci koji se nude na izbornoj nastavi su kreativne prirode, njihovo rješavanje zahtijeva od učenika: vještine:

sposobnost da se izvrše mentalne transformacije koje mijenjaju lokaciju slika koje učenici imaju u svojim mislima, njihovu strukturu, strukturu;

mogućnost istovremenog mijenjanja slike i lokacije i strukture i uzastopnog izvođenja kompozicija pojedinačnih operacija.

Tematsko planiranje:

1. Upitnik br. 1 – 1 sat.

2. Problemi rezanja. Rezanje tipa R – 1 sat.

3. Rezanje tipa P – 1 sat.

4. Rezanje tipa Q – 1 sat.

5. Rezanje tipa S – 1 sat.

6. T-tip sečenja – 1 sat.

7. Upitnik br. 2 – 1 sat.

Prilikom sastavljanja niza izbornih časova korišćeni su zadaci iz časopisa „Kvant“, „Matematika u školi“ i knjige G. Lindgrena.

Smjernice: Prilikom upoznavanja učenika sa problemima, preporučujemo razmatranje ovih problema upravo prema tipovima rezanja koje je predložio G. Lindgren, što omogućava, s jedne strane, da se ovi problemi klasifikuju, s druge strane, u učionici rješavaju probleme koji uključuju prostorne transformacije različitih nivoa složenosti (drugi i treći tip koji rade sa slikama, prema I.S. Yakimanskaya). Preporučujemo korišćenje zadataka izborne nastave u radu sa učenicima 7–9 razreda.

Lekcija br. 1

Tema: Problemi rezanja. Rezanje tipa R (racionalno sečenje).

Cilj: Upoznati učenike sa konceptom problema rezanja, objasniti suštinu rezanja tipa R, analizirajući rješavanje zadataka za ovu vrstu rezanja, u procesu rješavanja zadataka, promovirati formiranje vještina za mentalno izvođenje operacija (rezanje, dodavanje, ponovno sečenje, okretanje, paralelni prenos), čime se podstiče razvoj prostornog mišljenja.

Oprema: papir, paste u boji, makaze, poster.

Metoda: objašnjavajuće - ilustrativno.

Učitelj: poster na tabli:

Šema: Problemi sa rezanjem

Problemi sa sečenjem

1) Izrežite figuru na nekoliko figura

3) Preoblikovanje jednog ili više oblika u drugi oblik

2) Presavijte figuru od datih figura

Među svim problemima rezanja, većina njih su racionalni problemi rezanja. To je zbog činjenice da je takve rezove lako smisliti, a zagonetke koje se temelje na njima nisu previše jednostavne i nisu previše složene.

Problemi u R - rezanju

1) Izrežite figuru na nekoliko (uglavnom jednakih) figura

3) Preoblikovanje jednog ili više oblika u zadati oblik

2) Dodajte figuru od datih (uglavnom jednakih) figura

3.1. Korištenje koraka rezanja

3.2. Bez upotrebe koraka rezanja

Upoznajmo se sa rješenjem zadataka za svaku vrstu rezanja R.

Faza II: Faza rješavanja problema

Metode: parcijalna pretraga

Zadatak br. 1(Sve) : Izrežite kvadrat sa stranicom od četiri kvadrata na dva jednaka dijela. Pronađite što više načina za rezanje.

Napomena: Možete rezati samo uz strane ćelija.

Rješenje:

Učenici traže takve rezove u svojim sveskama, zatim nastavnik sumira sve metode rezanja koje su učenici pronašli.

Problem br. 2(Sve) : Izrežite ove oblike na dva jednaka dijela.

Napomena: Možete rezati ne samo duž strana ćelija, već i dijagonalno.

Učenici uz pomoć nastavnika traže takve rezove u svojim sveskama.

Trg ima mnogo divnih nekretnina. Pravi uglovi, jednake stranice, simetrija daju mu jednostavnost i savršenstvo oblika. Mnogo je zagonetki na preklapajućim kvadratima od dijelova istih i različitih oblika.

TO primjer zadatak br.3(BII) : Dobijate četiri identična dijela. Mentalno napravite kvadrat od njih, koristeći sva četiri dijela svaki put. Uradite sve testove na papiru. Rezultate svog rješenja predstavite u obliku rukom nacrtanog crteža.

Rješenje:

Šahovska tabla izrezana na komade, koja se mora pravilno presavijati, jedna je od popularnih i dobro poznatih zagonetki. Složenost montaže ovisi o tome na koliko dijelova je ploča podijeljena.

Predlažem sledeći zadatak:

Problem br. 4(BII) : Sastavite šahovsku tablu od delova prikazanih na slici.

Rješenje:

Problem #5(VII) : Prerežite “Brod” na dva dijela tako da ih možete saviti u kvadrat.

Rješenje:

1) iseći na dva dela kao na slici

okrenite jedan od dijelova (tj. rotirajte)

Problem br. 6(VII): Bilo koja od tri figure se može izrezati na dva dijela, od kojih je lako savijati kvadrat. Nađite takve rezove.

A) b)

V)

Rješenje:

paralelni prijenos dijela 1 u odnosu na dio 2

rotacija dijela 1 u odnosu na dio 2

) b) V)

Problem br. 7(VII): Pravougaonik sa stranicama od 4 i 9 jedinica seče se na dva jednaka dela, koji se, kada se pravilno savijaju, mogu dobiti kao kvadrat.

rez je napravljen u obliku stepenica, čija su visina i širina iste;

figura je podijeljena na dijelove i jedan dio se pomjera za jednu (ili nekoliko) stepenica, stavljajući ga na drugi dio.

Rješenje:

paralelni prijenos 1. dijela

Problem br. 9(VII): Presjeći figuru prikazanu na slici na dva dijela, savijte ih u kvadrat tako da obojeni kvadrati budu simetrični u odnosu na sve ose simetrije kvadrata.

Rješenje:

paralelni prijenos 1. dijela

Problem br. 9(VIII): Kako treba izrezati dva kvadrata 3 x 3 i 4 x 4 da se dobijeni dijelovi mogu saviti u jedan kvadrat? Smislite nekoliko načina. Pokušajte da prođete sa što manje dijelova.

Rješenje:

paralelni prenos delova

način:

način:

paralelna translacija i rotacija

4 način:

paralelni prenos i rotacija delova

Učenici uz pomoć nastavnika traže rezove.

Problem br. 10(AIII): Slika prikazana na slici mora se podijeliti na 6 jednakih dijelova, praveći rezove samo duž linija mreže. Na koliko načina to možete učiniti?

Rješenje: Dva moguća rješenja.

Problem br. 11(BII): Napravi šahovsku tablu od datih figura.

Rješenje:

Problem br. 12(BIII): Pretvorite pravougaonik 3 x 5 u pravougaonik 5 x 3 bez rotiranja odgovarajućih delova.

Napomena: Koristite postupno rezanje.

Rješenje:(paralelni prijenos)

Problem br. 13(BIII): Izrežite oblik na 2 dijela jednim rezom kako biste formirali kvadrat veličine 8 x 8.

Rješenje:

rotacija dijela 2 u odnosu na dio 1

Smjernice: Problemi rezanja tipa R su neki od najlakših i najzanimljivijih. Mnogi problemi za ovu vrstu rezanja uključuju nekoliko metoda rješavanja, a samostalno rješavanje ovih zadataka učenika može pomoći u prepoznavanju svih metoda rješenja. U zadacima 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 učenici rade sa slikom figura, kroz mentalne transformacije („rezanje“, sabiranje, rotacija, paralelni prenos). U zadacima 4, 5, 9, 11 učenici rade sa modelima (od papira), direktnim sečenjem figure makazama i izvođenjem matematičkih transformacija (rotacija, paralelno prevođenje) kako bi pronašli rješenja za probleme. Zadaci 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - za drugi tip rada sa slikama, zadaci 9, 10, 12 - za treći tip rada sa slikama.

Lekcija br. 2

Tema: Tip rezanja P (P paralelogramski pomak).

Cilj: Objasniti suštinu rezanja tipa P, u procesu analize rješavanja problema za ovu vrstu rezanja, uz podsticanje formiranja vještina za mentalno izvođenje operacija (rezanje, dodavanje, ponovno sečenje, paralelno prenošenje), čime se promovira razvoj prostornog mišljenja.

Oprema:

Faza I: Orijentirana faza

Metoda: problematična prezentacija.

Učitelju postavlja problem (riješi problem br. 1) i pokazuje njegovo rješenje.

Zadatak br. 1(BIII): Pretvorite paralelogram sa stranicama 3 i 5 cm u novi paralelogram sa istim uglovima kao i originalni paralelogram, čija je jedna stranica 4 cm.

Rješenje: 1)

4)

ABC D – paralelogram

AB = 3, A D=5

napraviti rez AO VO = D K = 4;

pomjeriti dio 1 gore (paralelno prevođenje) udesno duž linije reza dok tačka O ne padne na nastavak strane DC;

napraviti rez KA' tako da KA' || DC ;

i Δ AA'K ubacujemo u udubljenje koje se nalazi ispod tačke O (paralelni prenos Δ AA'K duž prave linije AO).

KVO D je željeni paralelogram (KD = 4)

KDO=  A.D.C.  BAD =  1 +  4,

1 =  2 i  4 =  3 – leži poprečno na paralelnim linijama.

Dakle,  BAD =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  BAD =  BKD, itd.

U

Problemi na P smeni

Preoblikujte jedan ili više oblika u drugi oblik

Suština rezanja tipa P:

pravimo dio ove figure koji ispunjava zahtjeve zadatka;

vršimo paralelni prijenos rezanog dijela duž linije reza dok se vrh rezanog dijela ne poklopi s nastavkom druge strane originalne figure (paralelogram);

napravimo drugi rez paralelan sa stranicom paralelograma, dobićemo drugi dio;

Izvodimo paralelni prijenos novoodsječenog dijela duž linije prvog reza dok se vrhovi ne poklope (dio stavljamo u udubljenje).

Faza II: Faza rješavanja problema

Metode: objašnjavajuće - ilustrativno

Problem br. 2(BII): Pretvorite kvadrat 5 x 5 u pravougaonik širine 3.

Rješenje:

1) 2) – 3) 4)

sekcija AO / VO = D T = 3

paralelni prijenos ΔABO duž prave linije AO do tačke O  (DC)

rezati TA’ / TA’ || CD

Δ AA ’T paralelnim prijenosom duž prave AO.

TBOD je željeni pravougaonik (TB = 3).

Problem br. 3(VIII): Presavijte tri identična kvadrata u jedan veliki kvadrat.

Napomena: Presavijte tri kvadrata u pravougaonik, a zatim primijenite P pomak.

Rješenje:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Problem br. 4(BIII): Izrežite pravougaonik 5 x 1 na kvadrat

Napomena: napravite rez AB (A W =
), primijeniti P pomak na pravougaonik XYWA.

Rješenje:

1)

2) – 3) 4) 5)

Problem br. 5(VIII): Pretvorite rusko N u kvadrat.

Napomena: napravite rez kao što je prikazano na slici, savijte dobijene dijelove u pravougaonik.

Rješenje:

Problem br. 6(BIII): Pretvorite trougao u trapez.

Napomena: Napravite rez kao što je prikazano na slici.

Rješenje:

rotirati dio 1;

AB sekcija;

ΔAVS paralelni prijenos duž AB do tačke B  (FM)

izrezati ILI / ILI || FM;

ΔAOR paralelnim transportom duž AB. Tačka P se poklapa sa tačkom B;

OFBC je željeni trapez.

Problem br. 7(VIII): Napravite jedan kvadrat od tri jednaka grčka krsta.

Rješenje:

Problem br. 8(BIII): Pretvorite slovo T u kvadrat.

Napomena: Prvo izrežite pravougaonik od slova t.

Rješenje: S t = 6 (jedinica 2), Skv = (
) 2

okreni se

sastav paralelnih crtica

MV = KS =

Problem br. 9(VIII): Precrtajte zastavu prikazanu na slici u kvadrat.

Napomena: Prvo pretvorite zastavu u pravougaonik

Rješenje:

okreni se

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

paralelni transfer

Smjernice: Prilikom upoznavanja učenika sa zadacima rezanja tipa P, preporučujemo da pri rješavanju konkretnog problema predstave suštinu ovog tipa rezanja. Preporučujemo rješavanje zadataka prvo na modelima (od papira), direktnim rezanjem figura makazama i izvođenjem paralelnog prijenosa, a zatim, u procesu rješavanja zadataka, sa modela figura na prelazak na rad sa slikama geometrijskih oblika, provođenjem mentalnih transformacija (rezanje, paralelni prijenos).

Lekcija br. 3

Tema: Tip rezanja Q (Q je pomak četverougla).

Cilj: Istaknimo suštinu sečenja tipa Q, u procesu rješavanja problema za ovu vrstu rezanja, uz promicanje formiranja vještina za mentalno izvođenje operacija (rezanje, sabiranje, centralna simetrija, rotacija, paralelni prijenos), čime se promovira razvoj prostornog mišljenja.

Oprema: papir, paste u boji, makaze.

Faza I: Orijentirana faza

Metoda: problematična prezentacija.

Nastavnik postavlja problem učenicima (riješi zadatak br. 1) i pokazuje rješenje.

Zadatak br. 1(BIII): Pretvorite ovaj četvorougao u novi četvorougao.

Rješenje:

pravimo HP rez tako da VN = MN, PF = DF;

napraviti rez ME / ME || Sunce;

napraviti rez RT / RT || AD ;

Δ 3 i Δ 1 su rotirani u smjeru kazaljke na satu u odnosu na dio 2;

1. dio paralelnim prijenosom duž prave HF do tačke T  AR;

AMCP je traženi četvorougao (sa stranicama CP i AM (može se navesti u uslovu)).

Problem br. 2(BIII): Pretvorite četvorougao u novi četvorougao (dugački četvorougao).

Rješenje:

(rotirati dio 1 u odnosu na tačku O dok se OU ne poklopi sa AO);

(rotirati dio (1 – 2) u odnosu na tačku T dok se VT ne poklopi sa WT);

XAZW je traženi četverougao.

U problemima koji koriste Q rezove, rezovi se prave i rezani komadi prolaze kroz transformaciju rotacije.

Zadaci za Q sečenje

transformirati dati oblik (četvorokut) u drugi oblik (četvorokut)

U mnogim problemima, elementi Q pomaka se koriste za transformaciju trougla u neku vrstu četvorougla ili obrnuto (trougao kao "četvorougao" sa jednom stranom koja ima nultu dužinu).

Faza II: Faza rješavanja problema

Problem br. 3(VII): Iz trougla je izrezan mali trokut, kao što je prikazano na slici. Preuredite mali trougao tako da formirate paralelogram.

Rotirajte dio 1 u odnosu na tačku P dok se KR ne poklopi sa MR.

AOO'M je traženi paralelogram.

Problem br. 4(BII, BIII): Koji od ovih trouglova se može pretvoriti u pravougaonike tako što ćete napraviti jedan (dva) rez i preurediti dobijene delove?

1) 2) 3) 4)

5)

Rješenje:

1)

5)

1), 5) jedan rez (rez – srednja linija trougla)

2)

3)

4)

2), 3), 4) dva reza (1. rez – srednja linija, 2. rez – visina od vrha trougla).

Problem br. 5(VII): Ponovo izgradite trapez u trougao.

Rješenje:

dio KS (AK = KB)

rotacija ΔKVS oko tačke K tako da su segmenti KV i KA poravnati.

Δ FCD željeni trougao.

Problem br. 6(VIII): Kako razbiti trapez u oblike od kojih se može napraviti pravougaonik?

Rješenje:

1) OR dio (AO = OB, OR┴AD)

2) rez TF (CT = TD, TF ┴AD)

rotacija dijela 1 u odnosu na tačku O tako da su AO i BO poravnati.

Rotirajte dio 2 u odnosu na tačku T tako da DT i CT budu poravnati.

PLMF – pravougaonik.

Faza III: postavljanje domaće zadaće.

Problem br. 7(VIII) : pretvoriti bilo koji trokut u pravokutni trokut.

komentar:

1) prvo pretvorite proizvoljni trougao u pravougaonik.

2) pravougaonik u pravougaoni trougao.

Rješenje:

okreni se

Problem br. 8(VII): Pretvorite proizvoljni paralelogram u trougao tako što ćete napraviti samo jedan rez.

Rješenje:

okreni se

Rotirajte dio 2 oko tačke O za 180º (centar simetrije)

Smjernice: Sažetak suštine Q rezanja preporučujemo

provoditi u procesu rješavanja konkretnih problema. Glavne matematičke transformacije koje se koriste u rješavanju problema za ovu vrstu rezanja su: rotacija (posebno centralna simetrija, paralelno prevođenje). Zadaci 1, 2, 7 – za praktične radnje sa modelima geometrijskih oblika, zadaci 3, 4, 5, 6, 8 uključuju rad sa slikama geometrijskih oblika. Zadaci 3, 4, 5, 8 – za drugi tip rada sa slikama, zadaci 1, 2, 4, 6, 7 – za treći tip rada sa slikama.

Lekcija br. 4.

Tema: Rezanje tipa S.

Cilj: Objasniti suštinu sečenja tipa S, u procesu rješavanja problema za ovu vrstu rezanja, uz podsticanje formiranja vještina za mentalno izvođenje operacija (rezanje, zbrajanje, preklapanje, okretanje, paralelni prijenos, centralna simetrija), čime se promovira razvoj prostornog mišljenja.

Oprema: papir, paste u boji, makaze, pozitivi koda.

I faza: Orijentisana pozornica.

Metoda: objašnjavajuće i ilustrativno.

Zadatak br. 1(VII): kako izrezati paralelogram čije su stranice 3,5 cm i 5 cm u paralelogram sa stranicama 3,5 cm i 5,5 cm, praveći samo jedan „rez“?

Rješenje:

1) nacrtati segment (izrezati) CO = 5,5 cm, podijeliti paralelogram na dva dijela.

2) trokut COM primjenjujemo na suprotnu stranu paralelograma AK. (tj. paralelni prijenos ∆ COM na segment SA u smjeru SA).

3) CAOO` je željeni paralelogram (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Zadatak br. 1(VIII): pokažite kako možete izrezati kvadrat na 3 dijela tako da možete od njih napraviti pravougaonik s jednom stranom dvostruko većom od druge.

Rješenje:

Konstruisati kvadrat ABCD

nacrtajmo dijagonalu AC

Nacrtajmo polovinu dijagonale BD segmenta OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Napravite pravougaonik od dobivena 3 dijela (dužina AC, širina AD

Za ovo:

izvršiti paralelni prijenos dijelova 1 i 2. dijela 1 (∆1) u smjeru D A, ∆2 u smjeru AB na segment AB.

AOO`C je željeni pravougaonik (sa stranicama AC, OA = ½ AC).

Učitelj: Pogledali smo rješenje 2 problema; vrsta rezanja koja se koristi za rješavanje ovih problema se figurativno naziva S-sečenje.

S -rezanje je u osnovi transformacija jednog paralelograma u drugi paralelogram.

Suština ovog reza u narednom:

napravimo rez jednaku dužini strani traženog paralelograma;

vršimo paralelni prijenos isječenog dijela sve dok se jednake suprotne strane paralelograma ne poklope (tj. izrezani dio nanesemo na suprotnu stranu paralelograma)

U zavisnosti od zahteva zadatka, zavisiće i broj rezova.

Razmotrimo sljedeće zadatke:

Zadatak br. 3(BII): podijelite paralelogram na dva dijela iz kojih možete dodati pravougaonik.

Nacrtajmo proizvoljan paralelogram.

Rješenje:

od tačke B spustiti visinu VN (VN┴AD)

Izvršimo paralelni prijenos ∆ AVN na segment BC u smjeru BC.

Nacrtajte crtež rezultirajućeg pravougaonika.

VNRS – pravougaonik.

Zadatak br. 4(BIII): Stranice paralelograma su 3 i 4 cm. Pretvorite ga u paralelogram sa stranicama od 3,5 cm tako što ćete napraviti dva reza.

Rješenje:

1)

2)

Željeni paralelogram.

Općenito, S-sečenje se zasniva na metodi superponiranja traka, što omogućava rješavanje problema transformacije bilo kojeg poligona.

U navedenim problemima, zbog njihove lakoće, odustali smo od metode nanošenja traka, iako se sva ova rješenja mogu dobiti ovom metodom. Ali u složenijim zadacima ne možete bez pruga.

Ukratko metoda trake svodi se na ovo:

1) Izrežite (ako je potrebno) svaki poligon (poligon koji se transformiše i poligon u koji se originalni poligon mora transformisati) na dijelove iz kojih se mogu presavijati dvije trake.

2) Postavite trake jednu na drugu pod odgovarajućim uglom, tako da su ivice jedne od njih uvek podjednako pozicionirane u odnosu na elemente druge trake.

3) U ovom slučaju, sve linije koje se nalaze u zajedničkom dijelu 2 trake pokazat će mjesta potrebnih rezova.

Pismo S, koji se koristi u terminu "S-cut", dolazi od engleskog Strip - traka.

Faza II: Faza rješavanja problema

Koristeći problem 3 kao primjer, provjerimo da li metoda nanošenja traka daje željeno rješenje.

Problem br. 3(VII): Podijelite paralelogram na dva dijela iz kojih možete dodati pravougaonik.

Rješenje:

1)

2)

3)

1) dobijamo traku od paralelograma

2) pruge pravougaonika

3) postavite traku 2 na traku 1, kao što je prikazano na slici 3

4) dobijamo traženi zadatak.

Problem br. 5(BIII): U jednakokračnom trouglu označene su sredine bočnih stranica i njihove projekcije na osnovu. Kroz označene tačke povučene su dvije prave. Pokažite da se dobiveni dijelovi mogu koristiti za formiranje romba.

Rješenje:

dio 2, 3 – rotacija oko tačke

dio 4 - paralelni prijenos

U ovom zadatku je već naznačeno rezanje trouglova; možemo potvrditi da je ovo S-rez.

Problem br. 6(BIII): Pretvorite tri grčka krsta u kvadrat (koristeći pruge).

Rješenje:

1)

Na traku križeva stavljamo traku kvadrata tako da tačka A i tačka C pripadaju rubovima trake križeva.

∆AVN = ∆SD B, dakle, kvadrat se sastoji od ∆AVS i ∆AVM.

Faza III: Postavljanje domaće zadaće

Problem br. 7(BIII): Pretvorite ovaj pravougaonik u drugi pravougaonik čije se stranice razlikuju od stranica originalnog pravougaonika.

Napomena: Pogledajte rješenje 4. problema.

Rješenje:

presek AO (AO – širina traženog pravougaonika);

rez DP / DP  AO (DP – dužina traženog pravougaonika);

paralelni prenos ∆AVO u pravcu aviona u segment vazduhoplova;

paralelni prenos ∆APD na segment AO u pravcu AO;

PFED je potreban pravougaonik.

Problem br. 8(BIII): Pravilan trougao je podeljen na delove segmentom; od ovih delova napravite kvadrat.

Napomena: Preklapanjem traka možete provjeriti da je ovo S rez.

rotacija dijela 2 oko tačke O;

rotacija dijela 3 oko tačke C;

paralelni prijenos dijela 4

Dodatni zadatak br.9(BII): Isecite paralelogram duž prave linije koja prolazi kroz njegovo središte, tako da se dobijena dva dela mogu saviti u romb.

Rješenje:

O  QT

QT rez;

dio 1 paralelnim prijenosom na BC segment u smjeru BC (CD i AB su kombinovani).

Smjernice: S – rezanje – jedna od najtežih vrsta rezanja. Preporučujemo da se suština ovog rezanja iznese u konkretnim zadacima. U nastavi o rješavanju zadataka na S - sečenje preporučujemo korištenje zadataka u kojima su date figure za izrezivanje i potrebno je od dobijenih dijelova dodati traženu figuru, što se objašnjava teškoćom učenika u samostalnoj implementaciji metode nanošenja traka, što je suština S - rezanja. Istovremeno, na zadacima koji su učenicima dostupniji (npr. na zadacima 3, 5, 8), nastavnik može pokazati kako metoda nanošenja traka omogućava da se dobiju rezovi dati u uslovima zadatka. Zadaci 4, 5, 6, 8, 9 – za praktične radnje sa modelima geometrijskih oblika, zadaci 1, 2, 3, 7 – za rad sa slikama geometrijskih oblika. Zadaci 1, 3, 9 – za drugi tip rada sa slikama, zadaci 2, 4, 5, 6, 7, 8 – za treći tip rada sa slikama.

Lekcija br. 5

Tema: T-tip sečenja.

Cilj: Objasniti suštinu rezanja tipa S, u procesu analize rješavanja problema za ovu vrstu rezanja, uz promicanje formiranja vještina za mentalno izvođenje operacija (rezanje, dodavanje, okretanje, paralelno prenošenje), čime se promoviše razvoj prostorno razmišljanje.

Oprema: papir, paste u boji, makaze, paste u boji, pozitivi koda.

Faza I: Orijentirana faza

Metoda: objašnjavajuće i ilustrativno

Učitelj: Korištenje T-reza za rješavanje problema uključuje crtanje mozaika i njihovo naknadno preklapanje. Trake koje se koriste u S-rezanju mogu se dobiti od mozaika. Stoga, metoda popločavanja generalizira metodu trake.

Razmotrimo suštinu T-sečenja na primjeru rješavanja problema.

Zadatak br. 1(BIII): Pretvorite grčki krst u kvadrat.

1) prvi korak je pretvaranje originalnog poligona u element mozaika (a to je neophodno);

2) od ovih elemenata pravimo mozaik br. 1 (radimo mozaik od grčkih krstova);

5) sve linije koje se nalaze u zajedničkom delu dva mozaika pokazaće mesta potrebnih rezova.

Faza II: Faza rješavanja problema

Metoda: djelomično - pretraga

Problem br. 2(BIII): Grčki krst je prerezan na tri dijela, presavijte ove dijelove u pravougaonik.

Napomena: možemo potvrditi da je ovaj rez rez T-tipa.

Rješenje:

rotacija dijela 1 oko tačke O;

rotirati dio 2 oko tačke A.

Problem br. 3(BIII): Izrežite konveksni četverokut duž dvije prave linije koje spajaju sredine suprotnih strana. Pokažite da je od dobivena četiri dijela uvijek moguće dodati paralelogram.

2. dio rotacija oko tačke O (ili centra simetrije) za 180;

3. dio rotacija oko tačke C (ili centra simetrije) za 180;

dio 1 – paralelni prijenos.

Hajde da pokažemo mozaik iz kojeg je dobijen ovaj rez.

Problem br. 4(BIII): Tri identična trougla su isečena duž različitih medijana. Presavijte šest rezultirajućih komada u jedan trokut.

Rješenje:

1) od ovih trouglova pravimo trouglove kao na slici 1 (centralna simetrija);

2) od tri nova trougla napravimo još jedan trougao (jednake stranice se poklapaju).

Hajde da pokažemo kako su ovi delovi napravljeni pomoću mozaika.

Problem br. 5(BIII): Grčki krst je isječen na komade, od kojih je napravljen pravokutni jednakokraki trokut.

Rješenje:

dio 1 centralna simetrija;

dio 3 centralna simetrija;

dio 3 i 4 – okret.

Problem br. 6(BIII): Izrežite ovu figuru u kvadrat.

Rješenje:

1. dio rotacija oko tačke O;

dio 3 okrenite 90 oko tačke A.

Problem br. 7(BIII): Izrežite grčki krst u paralelogram (dati su rezovi).

Rješenje:

dio 2 – paralelni prijenos u odnosu na dio 1;

dio 3 paralelni prijenos duž linije reza.

Faza III: Postavljanje domaće zadaće.

Problem br. 8(BIII): Dva identična papirna konveksna četverougla sa rezovima: prvi duž jedne od dijagonala, a drugi duž druge dijagonale. Dokažite da se dobijeni dijelovi mogu koristiti za formiranje paralelograma.

Rješenje: sastav zavoja.

Problem br. 9(BIII): Napravite kvadrat od dva identična grčka krsta.

Rješenje:

Smjernice: T - sečenje - najkompleksniji tip rezanja, formirajući rezove tipa S. Preporučujemo da objasnite suštinu T-sečenja u procesu rješavanja problema. Zbog složenosti implementacije metode mozaika za učenike, koja je suština T-sečenja, u učionici preporučujemo korištenje zadataka u kojima je specificirano rezanje i potrebno je od dobijenih dijelova figure dobiti željenu figuru pomoću matematičke transformacije (rotacija, paralelno prevođenje). Istovremeno, na zadacima koji su učenicima pristupačniji, nastavnik može pokazati kako se metodom mozaika dobijaju podaci o rezanju. Predloženi zadaci u lekciji br. 5 su za treći tip rada sa slikama i podrazumevaju rad učenika sa modelima geometrijskih figura izvođenjem rotacije i paralelnog prevođenja.

Uvodna riječ nastavnika:

Malo istorijske pozadine: Mnogi naučnici su od davnina bili zainteresovani za rešavanje problema. Rješenja za mnoge jednostavne probleme rezanja pronašli su stari Grci i Kinezi, ali prvu sistematsku raspravu na ovu temu napisao je Abul-Vef. Geometri su počeli ozbiljno da rešavaju probleme sečenja figura na najmanji broj delova, a zatim konstruišu još jednu figuru početkom 20. veka. Jedan od osnivača ove sekcije bio je poznati osnivač slagalice Henry E. Dudeney.

Danas su ljubitelji slagalica željni rješavanja problema rezanja jer ne postoji univerzalna metoda za rješavanje takvih problema, a svako ko se upusti u njihovo rješavanje može u potpunosti pokazati svoju domišljatost, intuiciju i sposobnost kreativnog razmišljanja. (Tokom časa ćemo navesti samo jedan od mogućih primjera rezanja. Može se pretpostaviti da bi učenici mogli na kraju dobiti neku drugu ispravnu kombinaciju - toga se ne treba bojati).

Ova lekcija bi trebala biti izvedena u obliku praktične nastave. Podijelite učesnike kruga u grupe od 2-3 osobe. Dajte svakoj grupi figure koje je unaprijed pripremio nastavnik. Učenici imaju ravnalo (sa podjelama), olovku i makaze. Dozvoljeno je napraviti samo ravne rezove pomoću škara. Nakon što ste izrezali figuru na komade, morate napraviti drugu figuru od istih dijelova.

Zadaci rezanja:

1). Pokušajte rezati figuru prikazanu na slici na 3 jednaka dijela:

Savjet: Mali oblici dosta liče na slovo T.

2). Sada izrežite ovu figuru na 4 dijela jednakog oblika:

Savjet: Lako je pretpostaviti da će se male figure sastojati od 3 ćelije, ali nema mnogo figura sa tri ćelije. Postoje samo dvije vrste: ugao i pravougaonik.

3). Podijelite figuru na dva jednaka dijela, a od dobijenih dijelova formirajte šahovsku ploču.

Savjet: Predložite da zadatak započnete od drugog dijela, kao da uzimate šahovsku tablu. Zapamtite kakav oblik ima šahovska tabla (kvadrat). Izbrojite raspoloživi broj ćelija po dužini i širini. (Zapamtite da treba da bude 8 ćelija).

4). Pokušajte isjeći sir na osam jednakih komada sa tri pokreta noža.

Savjet: pokušajte sir iseći po dužini.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1). Izrežite kvadrat od papira i uradite sledeće:

· izrezati na 4 komada od kojih se mogu napraviti dva jednaka manja kvadrata.

· isecite na pet delova – četiri jednakokračna trougla i jedan kvadrat – i savijte ih tako da dobijete tri kvadrata.

Pažnji nastavnika matematike i nastavnika raznih izbornih predmeta i klubova nudi se izbor zabavnih i edukativnih zadataka geometrijskog rezanja. Cilj nastavnika koji koristi ovakve probleme u nastavi nije samo da zainteresuje učenika za zanimljive i efektne kombinacije ćelija i figura, već i da razvije njegov osećaj za linije, uglove i oblike. Set zadataka je uglavnom namenjen deci od 4. do 6. razreda, mada ga je moguće koristiti i kod učenika srednjih škola. Vežbe zahtevaju od učenika visoku i stabilnu koncentraciju pažnje i savršene su za razvoj i treniranje vizuelne memorije. Preporučuje se za nastavnike matematike koji pripremaju učenike za prijemne ispite u matematičke škole i odeljenja koja postavljaju posebne zahteve za nivo samostalnog razmišljanja i kreativnih sposobnosti deteta. Nivo zadataka odgovara nivou prijemnih olimpijada u licej "druga škola" (druga matematička škola), mali mašinsko-matematički fakultet Moskovskog državnog univerziteta, školu Kurčatov itd.

Napomena nastavnika matematike:
U nekim rješenjima problema, koja možete pogledati klikom na odgovarajući pokazivač, naznačen je samo jedan od mogućih primjera rezanja. U potpunosti priznajem da možete na kraju dobiti i neku drugu ispravnu kombinaciju - toga se ne morate bojati. Pažljivo provjerite rješenje vašeg mališana i ako zadovoljava uslove, slobodno se prepustite sljedećem zadatku.

1) Pokušajte rezati figuru prikazanu na slici na 3 dijela jednaka:

: Mali oblici su vrlo slični slovu T

2) Sada izrežite ovu figuru na 4 dijela jednakog oblika:

Savjet za nastavnika matematike: Lako je pretpostaviti da će se male figure sastojati od 3 ćelije, ali nema mnogo figura sa tri ćelije. Postoje samo dvije vrste njih: ugao i pravougaonik 1×3.

3) Izrežite ovu figuru na 5 komada jednakih oblika:

Pronađite broj ćelija koje čine svaku takvu figuru. Ove figure izgledaju kao slovo G.

4) Sada trebate izrezati figuru od deset ćelija na 4 nejednako pravougaonika (ili kvadrata) jedan prema drugom.

Upute za nastavnike matematike: Odaberite pravougaonik, a zatim pokušajte da stavite još tri u preostale ćelije. Ako ne uspije, promijenite prvi pravougaonik i pokušajte ponovo.

5) Zadatak postaje složeniji: trebate izrezati figuru na 4 različitog oblika figure (ne nužno pravokutnike).

Savjet za nastavnika matematike: prvo posebno nacrtajte sve vrste figura različitih oblika (biće ih više od četiri) i ponovite metodu nabrajanja opcija kao u prethodnom zadatku.
:

6) Izrežite ovu figuru na 5 figura iz četiri ćelije različitog oblika tako da u svakoj od njih bude obojena samo jedna zelena ćelija.

Savjet za nastavnike matematike: Pokušajte početi rezati od gornje ivice ove figure i odmah ćete shvatiti kako dalje.
:

7) Na osnovu prethodnog zadatka. Pronađite koliko ima figura različitih oblika koje se sastoje od tačno četiri ćelije? Figure se mogu uvijati i okretati, ali ne možete podići sto (sa njegove površine) na kojem leži. Odnosno, dvije date figure neće se smatrati jednakim, jer se ne mogu dobiti jedna od druge rotacijom.

Savjet za nastavnike matematike: Proučite rješenje prethodnog problema i pokušajte zamisliti različite položaje ovih figura pri okretanju. Nije teško pretpostaviti da će odgovor na naš problem biti broj 5 ili više. (U stvari, čak i više od šest). Opisano je 7 vrsta figura.

8) Izrežite kvadrat od 16 ćelija na 4 dijela jednakog oblika tako da svaki od četiri dijela sadrži tačno jednu zelenu ćeliju.

Savjet za nastavnika matematike: Izgled malih figura nije kvadrat ili pravougaonik, pa čak ni ugao od četiri ćelije. Dakle, u koje oblike biste trebali pokušati isjeći?

9) Izrežite prikazanu figuru na dva dijela tako da se dobiveni dijelovi mogu saviti u kvadrat.

Savjet za nastavnike matematike: Ukupno ima 16 ćelija, što znači da će kvadrat biti veličine 4x4. I nekako morate popuniti prozor u sredini. Kako uraditi? Može li doći do nekog pomaka? Zatim, budući da je dužina pravokutnika jednaka neparnom broju ćelija, rezanje treba obaviti ne okomitim rezom, već duž isprekidane linije. Tako da se gornji dio odsječe s jedne strane srednje ćelije, a donji dio s druge.

10) Izrežite pravougaonik 4x9 na dva dela tako da se mogu saviti u kvadrat.

Savjet za nastavnika matematike: U pravougaoniku ima ukupno 36 ćelija. Dakle, kvadrat će biti veličine 6x6. Budući da se duga strana sastoji od devet ćelija, tri od njih treba odsjeći. Kako će se ovaj rez nastaviti?

11) Križ od pet ćelija prikazanih na slici potrebno je izrezati (možete sami izrezati ćelije) na komade od kojih bi se mogao presavijati kvadrat.

Savjet za nastavnika matematike: Jasno je da bez obzira kako sečemo po linijama ćelija, nećemo dobiti kvadrat, jer ima samo 5 ćelija.To je jedini zadatak u kojem je sečenje dozvoljeno ne po ćelijama. Ipak, bilo bi dobro ostaviti ih kao vodiča. na primjer, vrijedno je napomenuti da nekako moramo ukloniti udubljenja koja imamo - naime, u unutrašnjim uglovima našeg križa. Kako to učiniti? Na primjer, odsijecanje nekih izbočenih trokuta iz vanjskih uglova križa...