Kako izračunati formulu aritmetičke progresije. Aritmetička progresija: šta je to? Razlika u progresiji: definicija

Ili je aritmetika vrsta uređenog numeričkog niza čija se svojstva proučavaju u školskom kursu algebre. Ovaj članak detaljno razmatra pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije.

Kakva je ovo progresija?

Prije nego što pređemo na pitanje (kako pronaći zbir aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu govorimo.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, kada se prevede na matematički jezik, ima oblik:

Ovdje je i serijski broj elementa reda a i. Dakle, znajući samo jedan početni broj, lako možete vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da za niz brojeva koji se razmatra vrijedi sljedeća jednakost:

a n = a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, trebate dodati razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Što je zbir aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, morate pronaći njihov zbir. Budući da je u progresiji (10) malo članova, moguće je problem riješiti direktno, odnosno sabrati sve elemente po redu.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vrijedi razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki član razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d = 1, onda će parno zbrajanje prvog sa desetim, drugog sa devetim i tako dalje dati isti rezultat. stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, ovih suma je samo 5, odnosno tačno dva puta manje od broja elemenata serije. Zatim pomnožite broj zbroja (5) sa rezultatom svakog zbroja (11), doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generalizujemo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n, kao i ukupan broj članova n.

Vjeruje se da je Gauss prvi pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje za problem koji mu je dao učitelj: zbroj prvih 100 cijelih brojeva.

Zbir elemenata od m do n: formula

Formula data u prethodnom pasusu odgovara na pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije (prvi elementi), ali je često u zadacima potrebno sabrati niz brojeva u sredini progresije. Kako uraditi?

Najlakši način da se odgovori na ovo pitanje je razmatranjem sljedećeg primjera: neka je potrebno pronaći zbir članova od m-tog do n-og. Da biste riješili problem, trebali biste dati segment od m do n progresije prikazati u obliku novog brojevnog niza. U ovoj reprezentaciji, m-ti član a m će biti prvi, a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za sumu, dobit će se sljedeći izraz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbir njegovih članova, počevši od 5. i završavajući sa 12.:

Dati brojevi označavaju da je razlika d jednaka 3. Koristeći izraz za n-ti element, možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Poznavajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, kao i znajući koje brojeve u nizu oni zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom paragrafu. Ispostaviće se:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vrijedi napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbir prvih 12 elemenata koristeći standardnu ​​formulu, zatim izračunajte zbir prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbira.

Dakle, hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi, i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Redoslijed brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. veku i shvaćen je u širem smislu kao beskonačan numerički niz. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Jasno? Uporedimo naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Možemo dodati broj progresije na prethodnu vrijednost dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili prilikom sabiranja brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji nije potrebno dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pogledajte izbliza nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami pronaći vrijednost člana date aritmetičke progresije na ovaj način.

Jesi li izračunao? Uporedite svoje bilješke sa odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno dodali članove aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - stavimo je u opći oblik i dobijemo:

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunavanju članova u rastućim i opadajućim terminima aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva: Provjerimo koliki će biti th broj ove aritmetičke progresije ako koristimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tada:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th članove ove aritmetičke progresije.

Uporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo problem - izvešćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počinjete brojati prema formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite grešku u proračunima.
Sada razmislite o tome da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da, i to je ono što ćemo sada pokušati da iznesemo.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njeno pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, Zatim:

• prethodni termin progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Sumirajmo prethodni i naredni termin progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresijskog člana sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, trebate ih sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredak, to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da saznamo samo jednu formulu, koju je, prema legendi, lako zaključio jedan od najvećih matematičara svih vremena, “kralj matematičara” - Karl Gauss...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, zadala je sljedeći zadatak u razredu: „Izračunaj zbir svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo.” Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (ovo je bio Karl Gauss) minut kasnije dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina drznika iz razreda, nakon dugih proračuna, dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je određeni obrazac koji i vi možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od --tih članova: Moramo pronaći zbir ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbira njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pažljivo pogledajte označene brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Šta ste primetili? Tačno! Njihove sume su jednake

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobijamo da je ukupan zbir jednak:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku progresije. Pokušajte zamijeniti formulu th-og člana u formulu zbira.
šta si dobio?

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gausu: izračunajte sami čemu je jednak zbir brojeva koji počinju od th i zbiru brojeva koji počinju od th.

Koliko si dobio?
Gauss je otkrio da je zbir članova jednak i zbir članova. Jesi li tako odlučio?

U stvari, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, i sve to vreme, duhoviti ljudi su u potpunosti koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Stari Egipat i najveći građevinski poduhvat tog vremena - izgradnju piramide... Na slici je prikazana jedna njena strana.

Gdje je tu napredak, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožju. Nadam se da nećete brojati dok pomičete prst po monitoru, sjećate se posljednje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Jasno? Bravo, savladali ste zbir n-ih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor su blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko puta će Maša raditi čučnjeve u sedmici ako je radila čučnjeve na prvom treningu?
2. Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je temelj zidanja trupac?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (sedmice = dani).

   odgovor: Za dvije sedmice, Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je pola, međutim, provjerimo ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Prisjetimo se problema s piramidama. Za naš slučaj, a , pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan log, onda ukupno postoji gomila slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   odgovor: U zidovima su trupci.

Hajde da sumiramo

1. - brojevni niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Ti član aritmetičke progresije piše se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbir članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČAN NIVO

Redoslijed brojeva

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Redoslijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to jedinstvenim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja redoslijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član je ovdje jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

n-ti termin formula

Formulu nazivamo rekurentnom u kojoj, da biste saznali th pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći ovu formulu, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, da li je sada jasno koja je formula?

U svakom redu dodajemo, pomnoženo nekim brojem. Koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo zgodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Rješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo šta:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbir drugog i pretposljednjeg broja isti, zbir trećeg i trećeg sa kraja isti, itd. Koliko ukupno ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

primjer:
Pronađite zbroj svih dvocifrenih višekratnika.

Rješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki naredni broj se dobija dodavanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svakog dana sportista pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u sedmici ako je prvog dana pretrčao km m?
2. Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko dana mu je potrebno da pređe kilometar? Koliko će kilometara preći tokom posljednjeg dana svog putovanja?
3. Cijena frižidera u trgovini svake godine se smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se smanjila cijena frižidera svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodat za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
   .
   odgovor:
2. Ovdje je dato: , mora se naći.
   Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, tako da je odgovor.
   Izračunajmo put koji smo prešli u posljednjem danu koristeći formulu th člana:
   (km).
   odgovor:

3. Dato: . Pronađite: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (rub).
   odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-og člana aritmetičke progresije

zapisuje se po formuli, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućava vam da lako pronađete pojam progresije ako su poznati njegovi susjedni pojmovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbir članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete iznos:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

PREOSTALE 2/3 ČLANKA DOSTUPNE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!

Postanite YouClever student,

Pripremite se za Jedinstveni državni ispit ili Jedinstveni državni ispit iz matematike po cijeni “šoljica kafe mjesečno”,

I također dobijte neograničen pristup udžbeniku “YouClever”, pripremnom programu “100gia” (knjiga rješavanja), neograničenom probnom Jedinstvenom državnom ispitu i Jedinstvenom državnom ispitu, 6000 problema s analizom rješenja i drugim YouClever i 100gia servisima.

U matematici, svaka zbirka brojeva koji slijede jedan za drugim, organizirana na neki način, naziva se nizom. Od svih postojećih nizova brojeva izdvajaju se dva zanimljiva slučaja: algebarska i geometrijska progresija.

Šta je aritmetička progresija?

Odmah treba reći da se algebarska progresija često naziva aritmetikom, jer njena svojstva proučava grana matematike - aritmetika.

Ova progresija je niz brojeva u kojem se svaki sljedeći član razlikuje od prethodnog određenim konstantnim brojem. To se zove razlika algebarske progresije. Radi određenosti označavamo ga latiničnim slovom d.

Primjer takvog niza može biti sljedeći: 3, 5, 7, 9, 11 ..., ovdje možete vidjeti da je broj 5 veći od broja 3 za 2, 7 je veći od 5 za 2, i tako dalje. Dakle, u prikazanom primjeru, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Koje su vrste aritmetičkih progresija?

Priroda ovih uređenih nizova brojeva je u velikoj mjeri određena predznakom broja d. Razlikuju se sljedeće vrste algebarskih progresija:

• povećava se kada je d pozitivan (d>0);
• konstanta kada je d = 0;
• smanjuje se kada je d negativan (d<0).

Primjer dat u prethodnom paragrafu pokazuje sve veći napredak. Primer opadajućeg niza je sledeći niz brojeva: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Konstantna progresija, kao što sledi iz njene definicije, je skup identičnih brojeva.

n-ti rok progresije

Zbog činjenice da se svaki sljedeći broj u progresiji koja se razmatra razlikuje za konstantu d od prethodnog, njegov n-ti član se može lako odrediti. Da biste to učinili, morate znati ne samo d, već i 1 - prvi član progresije. Koristeći rekurzivni pristup, može se dobiti formula algebarske progresije za pronalaženje n-tog člana. Izgleda ovako: a n = a 1 + (n-1)*d. Ova formula je prilično jednostavna i može se intuitivno razumjeti.

Takođe nije teško koristiti. Na primjer, u gore datoj progresiji (d=2, a 1 =3), definiramo njen 35. član. Prema formuli, to će biti jednako: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Formula za iznos

Kada se dobije aritmetička progresija, zbir njegovih prvih n članova je problem koji se često sreće, zajedno sa određivanjem vrijednosti n-tog člana. Formula za zbir algebarske progresije je zapisana u sljedećem obliku: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, ovdje simbol ∑ n 1 označava da su 1. do n-ti članovi sumirani.

Gornji izraz se može dobiti pribjegavanjem svojstvima iste rekurzije, ali postoji lakši način da se dokaže njegova valjanost. Zapišimo prva 2 i zadnja 2 člana ovog zbira, izražavajući ih brojevima a 1, a n i d, i dobićemo: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Sada imajte na umu da ako dodamo prvi član posljednjem, on će biti tačno jednak zbiru drugog i pretposljednjeg člana, odnosno a 1 +a n. Na sličan način se može pokazati da se isti zbir može dobiti sabiranjem trećeg i pretposljednjeg člana i tako dalje. U slučaju para brojeva u nizu, dobijamo n/2 zbira, od kojih je svaki jednak a 1 +a n. To jest, dobijamo gornju formulu za algebarsku progresiju za zbir: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Za nespareni broj pojmova n, slična formula se dobija ako slijedite opisano razmišljanje. Samo zapamtite da dodate preostali termin, koji je u središtu progresije.

Hajde da pokažemo kako koristiti gornju formulu koristeći primjer jednostavne progresije koja je uvedena gore (3, 5, 7, 9, 11 ...). Na primjer, potrebno je odrediti zbir njegovih prvih 15 članova. Prvo, definirajmo 15. Koristeći formulu za n-ti član (vidi prethodni pasus), dobijamo: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Sada možemo primijeniti formulu za zbir algebarske progresije: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Zanimljivo je navesti zanimljivu istorijsku činjenicu. Formulu za zbir aritmetičke progresije prvi je dobio Karl Gaus (čuveni nemački matematičar iz 18. veka). Kada je imao samo 10 godina, učiteljica ga je zamolila da pronađe zbir brojeva od 1 do 100. Kažu da je mali Gauss riješio ovaj problem za nekoliko sekundi, primijetivši da je zbrajajući brojeve s početka i kraja niza u parovima uvijek možete dobiti 101, a pošto takvih suma ima 50, brzo je dao odgovor: 50*101 = 5050.

Primjer rješenja problema

Da bismo završili temu algebarske progresije, daćemo primjer rješavanja još jednog zanimljivog problema, čime ćemo ojačati razumijevanje teme koja se razmatra. Neka je data određena progresija za koju je poznata razlika d = -3, kao i njen 35. član a 35 = -114. Potrebno je pronaći 7. član progresije a 7 .

Kao što se vidi iz uslova zadatka, vrijednost a 1 je nepoznata, stoga neće biti moguće direktno koristiti formulu za n-ti član. Nezgodan je i metod rekurzije, koji je teško implementirati ručno, a postoji i velika vjerovatnoća da se napravi greška. Nastavimo na sljedeći način: napišite formule za a 7 i a 35, imamo: a 7 = a 1 + 6*d i a 35 = a 1 + 34*d. Oduzmimo drugi od prvog izraza, dobijamo: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Slijedi: a 7 = a 35 - 28*d. Ostaje da zamijenimo poznate podatke iz iskaza problema i zapišemo odgovor: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Geometrijska progresija

Da bismo potpunije otkrili temu članka, donosimo kratak opis druge vrste progresije - geometrijske. U matematici se ovo ime razumije kao niz brojeva u kojem se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog po određenom faktoru. Označimo ovaj faktor slovom r. Zove se nazivnik vrste progresije koja se razmatra. Primjer ovog niza brojeva bi bio: 1, 5, 25, 125, ...

Kao što se može vidjeti iz gornje definicije, algebarske i geometrijske progresije su slične po ideji. Razlika između njih je u tome što se prvi mijenja sporije od drugog.

Geometrijska progresija također može biti rastuća, konstantna ili opadajuća. Njegov tip zavisi od vrednosti nazivnika r: ako je r>1, onda postoji rastuća progresija, ako je r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Formule geometrijske progresije

Kao iu slučaju algebarskog, formule geometrijske progresije se svode na određivanje njenog n-tog člana i sume n članova. Ispod su ovi izrazi:

• a n = a 1 *r (n-1) - ova formula slijedi iz definicije geometrijske progresije.
• ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Važno je napomenuti da ako je r = 1, onda gornja formula daje nesigurnost, pa se ne može koristiti. U ovom slučaju, zbir n članova će biti jednak jednostavnom proizvodu a 1 *n.

Na primjer, pronađimo zbir samo 10 članova niza 1, 5, 25, 125, ... Znajući da je a 1 = 1 i r = 5, dobijamo: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Dobivena vrijednost je jasan primjer koliko brzo raste geometrijska progresija.

Možda je prvi pomen ovog napredovanja u istoriji legenda sa šahovskom tablom, kada je prijatelj jednog sultana, naučivši ga da igra šah, tražio žito za svoju službu. Štaviše, količina zrna je trebala biti sljedeća: jedno zrno se mora staviti na prvo polje šahovske ploče, dvostruko više na drugo nego na prvo, na treće dvostruko više nego na drugo i tako dalje. . Sultan je dobrovoljno pristao da ispuni ovaj zahtjev, ali nije znao da će morati isprazniti sve kante svoje zemlje da bi održao riječ.