Kako možete pronaći površinu trougla. Izračunavanje površine poligona iz koordinata njegovih vrhova Određivanje površine trokuta iz koordinata njegovih vrhova
Koordinatna metoda, koju su u 17. veku predložili francuski matematičari R. Descartes (1596-1650) i P. Fermat (1601-1665), moćan je aparat koji omogućava prevođenje geometrijskih pojmova na algebarski jezik. Ova metoda se zasniva na konceptu koordinatnog sistema. Razmotrit ćemo izračunavanje površine poligona iz koordinata njegovih vrhova u pravokutnom koordinatnom sistemu.
Površina trougla
Teorema 1. Ako je površina trokuta
onda je jednakost tačna
nazvaćemo je determinantom površine trougla.
Dokaz. Neka se vrhovi trokuta nalaze u prvom koordinatnom kvadrantu. Postoje dva moguća slučaja.
Slučaj 1. Smjer (ili, ili) položaja vrhova trokuta poklapa se sa smjerom kretanja kraja kazaljke sata (slika 1.30).
Pošto je figura trapez.
Slično to nalazimo
Izvođenjem algebarskih transformacija
dobijamo to:
U jednakosti (1.9) determinanta površine je, dakle, ispred izraza stoji znak minus, jer.
Pokažimo to. Zaista, ovdje
(površina pravougaonika sa osnovom i visinom veća je od zbira površina pravougaonika sa osnovama i visinama; (slika 1.30), odakle
Slučaj 2. Označeni pravci u slučaju 1 su suprotni smeru kretanja kraja kazaljke sata (sl. 1.31)
pošto je figura trapez, i
Gdje. Zaista, ovdje
Teorema je dokazana kada se vrhovi trougla nalaze u prvom koordinatnom kvadrantu.
Koristeći koncept modula, jednakosti (1.9) i (1.10) se mogu napisati na sljedeći način:
Napomena 1. Formulu (1.8) smo izveli uzimajući u obzir najjednostavniji raspored vrhova, prikazan na slikama 1.30 i 1.31; međutim, formula (1.8) je tačna za bilo koji raspored vrhova.
Razmotrite slučaj prikazan na slici 1.32.
Stoga, izvođenjem jednostavnih geometrijskih transformacija:
ponovo dobijamo šta, gde
Područje n-ugla
Poligon može biti konveksan ili nekonveksan, redoslijed numeriranja vrhova se smatra negativnim ako su vrhovi numerirani u smjeru kazaljke na satu. Mnogougao koji nema samopresecanje stranica naziva se jednostavnim. Jednostavno, jeste n-Goni sledeće je tačno
Teorema 2. Ako je površina prostog broja n-gon, gdje, onda je jednakost tačna
nazvaćemo determinantu površine prostog broja n-gon.
Dokaz. Postoje dva moguća slučaja.
Slučaj 1. n-gon - konveksan. Dokažimo formulu (1.11) metodom matematičke indukcije.
Jer to je već dokazano (teorema 1). Pretpostavimo da je to tačno za n-gon; dokažimo da ostaje validno za konveksno ( n+1)-gon.
Dodajmo još jedan vrh poligonu (slika 1.33).
Dakle, formula vrijedi za ( n+1)-ugao, pa su stoga ispunjeni uslovi matematičke indukcije, tj. formula (1.11) za slučaj konveksnog n-gon je dokazan.
Slučaj 2. n-gon - nekonveksan.
U bilo kojoj nekonveksnoj n-gon može se nacrtati dijagonala koja leži unutar njega, a samim tim i dokaz slučaja 2 za nekonveksan n-gon je sličan dokazu za konveksnu n-gon.
Napomena 2. Izraze za nije lako zapamtiti. Stoga je za izračunavanje njegovih vrijednosti prikladno zapisati koordinate prve, druge, treće, ..., u stupac. n-ti i opet prvi vrhovi n-gon i pomnožite prema shemi:
Znakovi u koloni (1.12) moraju biti raspoređeni kako je prikazano na dijagramu (1.13).
Napomena 3. Kada sastavljate kolonu (1.12) za trokut, možete početi od bilo kojeg vrha.
Napomena 4. Prilikom sastavljanja stupca (1.12) za n-gon () potrebno je pratiti redoslijed ispisivanja koordinata vrhova n-gon (nije bitno od kojeg vrha započeti obilazak). Dakle, izračunavanje površine n-gon bi trebao početi sa izradom "grubog" crteža.
Trougao je jedan od najčešćih geometrijskih oblika s kojim se upoznajemo u osnovnoj školi. Svaki učenik se suočava sa pitanjem kako pronaći površinu trokuta u nastavi geometrije. Dakle, koje se karakteristike pronalaženja površine date figure mogu identificirati? U ovom članku ćemo pogledati osnovne formule potrebne za obavljanje takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.
Vrste trouglova
Područje trokuta možete pronaći na potpuno različite načine, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figure koja sadrži tri ugla. Ove vrste uključuju:
- Tupo.
- Jednakostrani (tačno).
- Pravokutni trokut.
- Jednakokraki.
Pogledajmo bliže svaku od postojećih vrsta trouglova.
Ova geometrijska figura se smatra najčešćom prilikom rješavanja geometrijskih problema. Kada se pojavi potreba za crtanjem proizvoljnog trokuta, ova opcija dolazi u pomoć.
U oštrom trouglu, kao što ime govori, svi uglovi su oštri i sabiraju do 180°.
Ova vrsta trougla je također vrlo česta, ali je nešto rjeđa od oštrougla. Na primjer, prilikom rješavanja trokuta (odnosno, poznato je nekoliko njegovih stranica i uglova i morate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li ugao tup ili ne. Kosinus je negativan broj.
B, vrijednost jednog od uglova prelazi 90°, tako da preostala dva ugla mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15° ili čak 3°).
Da biste pronašli površinu trokuta ovog tipa, morate znati neke nijanse o kojima ćemo kasnije govoriti.
Pravilni i jednakokraki trouglovi
Pravilan poligon je figura koja uključuje n uglova i čije su stranice i uglovi jednaki. Ovo je pravilan trougao. Pošto je zbir svih uglova trougla 180°, onda je svaki od tri ugla 60°.
Pravilan trougao, zbog svog svojstva, naziva se i jednakostranični lik.
Također je vrijedno napomenuti da se u pravilan trokut može upisati samo jedan krug, a oko njega se može opisati samo jedan krug, a njihovi centri se nalaze u istoj tački.
Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokraki trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom trouglu dvije stranice i dva ugla su međusobno jednaki, a treća stranica (kojoj su jednaki uglovi susjedni) je osnova.
Na slici je prikazan jednakokraki trougao DEF čiji su uglovi D i F jednaki, a DF je osnova.
Pravokutni trokut
Pravougli trokut je tako nazvan jer mu je jedan od uglova pravi, odnosno jednak 90°. Zbir ostala dva ugla je 90°.
Najveća stranica takvog trougla, koja leži nasuprot kuta od 90°, je hipotenuza, dok su preostale dvije stranice katete. Za ovu vrstu trougla primjenjuje se Pitagorina teorema:
Zbir kvadrata dužina kateta jednak je kvadratu dužine hipotenuze.
Na slici je prikazan pravougli trokut BAC sa hipotenuzom AC i kracima AB i BC.
Da biste pronašli površinu trokuta sa pravim uglom, morate znati numeričke vrijednosti njegovih krakova.
Prijeđimo na formule za pronalaženje površine date figure.
Osnovne formule za pronalaženje područja
U geometriji postoje dvije formule koje su pogodne za pronalaženje površine većine tipova trokuta, a to su akutni, tupi, pravilni i jednakokračni trouglovi. Pogledajmo svaki od njih.
Po strani i visini
Ova formula je univerzalna za pronalaženje površine figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati dužinu stranice i dužinu povučene visine. Sama formula (pola proizvoda baze i visine) je sljedeća:
gdje je A stranica datog trougla, a H visina trougla.
Na primjer, da biste pronašli površinu oštrog trokuta ACB, trebate pomnožiti njegovu stranu AB visinom CD i rezultujuću vrijednost podijeliti s dva.
Međutim, nije uvijek lako pronaći površinu trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste koristili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate proširiti jednu od njegovih stranica i tek onda nacrtati visinu na njoj.
U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.
Sa obe strane i ugao
Ova formula je, kao i prethodna, pogodna za većinu trokuta i po svom značenju je posledica formule za pronalaženje površine pored i visine trokuta. Odnosno, formula o kojoj je riječ može se lako izvesti iz prethodne. Njegova formulacija izgleda ovako:
S = ½*sinO*A*B,
gdje su A i B stranice trokuta, a O je ugao između stranica A i B.
Podsjetimo da se sinus ugla može vidjeti u posebnoj tabeli nazvanoj po istaknutom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.
Pređimo sada na druge formule koje su prikladne samo za izuzetne vrste trokuta.
Površina pravouglog trougla
Pored univerzalne formule, koja uključuje potrebu za pronalaženjem nadmorske visine u trokutu, površina trokuta koji sadrži pravi ugao može se naći iz njegovih krakova.
Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi ugao je polovina proizvoda njegovih nogu, ili:
gdje su a i b katete pravouglog trougla.
Pravilan trougao
Ova vrsta geometrijske figure razlikuje se po tome što se njena površina može naći sa naznačenom vrijednošću samo jedne od njenih stranica (pošto su sve stranice pravilnog trougla jednake). Dakle, kada se suočite sa zadatkom "pronalaženja površine trokuta kada su stranice jednake", morate koristiti sljedeću formulu:
S = A 2 *√3 / 4,
gdje je A stranica jednakostraničnog trougla.
Heronova formula
Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati dužine tri strane figure. Heronova formula izgleda ovako:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
gdje su a, b i c stranice datog trougla.
Ponekad se postavlja problem: "površina pravilnog trougla je pronaći dužinu njegove stranice." U ovom slučaju trebamo koristiti formulu koju već znamo za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njenog kvadrata):
A 2 = 4S / √3.
Ispitni zadaci
Postoje mnoge formule u GIA problemima u matematici. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.
U ovom slučaju, najprikladnije je povući visinu na jednu od strana figure, odrediti njegovu dužinu iz ćelija i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje područja:
Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem površine trokuta bilo koje vrste.
