Iracionalne funkcije. Grafička metoda rješavanja iracionalnih jednačina

Ovaj nastavni materijal je samo za referencu i odnosi se na širok spektar tema. Članak daje pregled grafova osnovnih elementarnih funkcija i razmatra najvažnije pitanje - kako pravilno i BRZO napraviti grafikon. U toku izučavanja više matematike bez poznavanja grafova osnovnih elementarnih funkcija biće teško, pa je veoma važno zapamtiti kako izgledaju grafovi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., a zapamtiti i neke značenja funkcija. Također ćemo govoriti o nekim svojstvima glavnih funkcija.

Ne pretendujem na kompletnost i naučnu temeljitost materijala, akcenat će biti stavljen, prije svega, na praksu – one stvari s kojima susreće se bukvalno na svakom koraku, u bilo kojoj temi više matematike. Tabele za lutke? Moglo bi se tako reći.

Zbog brojnih zahtjeva čitalaca sadržaj koji se može kliknuti:

Osim toga, postoji ultra-kratak sinopsis na temu
– savladajte 16 vrsta grafikona proučavajući ŠEST stranica!

Ozbiljno, šest, čak sam i ja bio iznenađen. Ovaj sažetak sadrži poboljšanu grafiku i dostupan je za nominalnu naknadu. Pogodno je ispisati datoteku tako da su grafikoni uvijek pri ruci. Hvala na podršci projektu!

I krenimo odmah:

Kako pravilno konstruisati koordinatne ose?

U praksi, testove učenici gotovo uvijek popune u posebnim sveskama, poredanim u kvadrat. Zašto su vam potrebne karirane oznake? Uostalom, posao se u principu može obaviti na listovima A4. A kavez je neophodan samo za kvalitetan i precizan dizajn crteža.

Svaki crtež funkcionalnog grafa počinje koordinatnim osama.

Crteži mogu biti dvodimenzionalni ili trodimenzionalni.

Razmotrimo prvo dvodimenzionalni slučaj Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem:

1) Nacrtajte koordinatne ose. Osa se zove x-osa , a osa je y-osa . Uvek pokušavamo da ih nacrtamo uredan i ne iskrivljen. Strelice takođe ne bi trebalo da podsećaju na bradu Pape Karla.

2) Osovine potpisujemo velikim slovima “X” i “Y”. Ne zaboravite označiti sjekire.

3) Postavite skalu duž osi: nacrtaj nulu i dvije jedinice. Prilikom izrade crteža najpogodnija i najčešće korištena skala je: 1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo) - ako je moguće, držite se toga. Međutim, s vremena na vrijeme se dogodi da crtež ne stane na list bilježnice - tada smanjujemo razmjer: 1 jedinica = 1 ćelija (crtež desno). Rijetko je, ali se dešava da se skala crteža mora još više smanjiti (ili povećati)

NEMA POTREBE za “mitraljezom”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Jer koordinatna ravan nije Descartesov spomenik, a učenik nije golub. Mi smo stavili nula I dvije jedinice duž osi. Ponekad umjesto jedinicama, zgodno je "označiti" druge vrijednosti, na primjer, "dva" na osi apscise i "tri" na osi ordinata - i ovaj sistem (0, 2 i 3) će također jedinstveno definirati koordinatnu mrežu.

Bolje je procijeniti procijenjene dimenzije crteža PRIJE izrade crteža. Tako, na primjer, ako zadatak zahtijeva crtanje trokuta s vrhovima , , , onda je potpuno jasno da popularna skala od 1 jedinica = 2 ćelije neće raditi. Zašto? Pogledajmo stvar - ovdje ćete morati izmjeriti petnaest centimetara dolje, i, očigledno, crtež neće stati (ili jedva stati) na list bilježnice. Stoga odmah biramo manju skalu: 1 jedinica = 1 ćelija.

Usput, o centimetrima i ćelijama bilježnice. Da li je tačno da 30 ćelija sveske sadrži 15 centimetara? Za zabavu, izmjerite 15 centimetara u svoju bilježnicu pomoću ravnala. U SSSR-u je to možda i bilo tačno... Zanimljivo je primijetiti da ako ove iste centimetre mjerite horizontalno i vertikalno, rezultati (u ćelijama) će biti drugačiji! Strogo govoreći, moderne bilježnice nisu karirane, već pravokutne. Ovo se može činiti besmislicom, ali crtanje, na primjer, kruga s kompasom u takvim situacijama je vrlo nezgodno. Iskreno govoreći, u takvim trenucima počinjete razmišljati o ispravnosti druga Staljina, koji je poslat u logore za hakerski rad u proizvodnji, a da ne spominjemo domaću automobilsku industriju, padajuće avione ili eksplodirajuće elektrane.

Kad smo već kod kvaliteta, ili kratka preporuka za kancelarijski materijal. Danas je većina notebook računara u prodaji, u najmanju ruku, potpuno smeće. Iz razloga što se smoče, i to ne samo od gel olovaka, već i od hemijskih olovaka! Oni štede novac na papiru. Da biste završili testove, preporučujem korištenje bilježnica iz Arkhangelske fabrike celuloze i papira (18 listova, kvadrat) ili "Pyaterochka", iako je skuplje. Preporučljivo je odabrati gel olovku čak i najjeftiniji kineski gel za punjenje mnogo je bolji od hemijske olovke koja ili razmazuje ili cepa papir. Jedina "konkurentska" hemijska olovka koju mogu da se setim je Erich Krause. Piše jasno, lepo i dosledno – bilo sa punim jezgrom ili sa skoro praznim.

Dodatno: U članku je obrađena vizija pravokutnog koordinatnog sistema očima analitičke geometrije Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora, detaljne informacije o koordinatnim četvrtima možete pronaći u drugom paragrafu lekcije Linearne nejednakosti.

3D kućište

Ovdje je skoro isto.

1) Nacrtajte koordinatne ose. standardno: axis applicate – usmjereno prema gore, os – usmjereno udesno, os – usmjereno prema dolje ulijevo strogo pod uglom od 45 stepeni.

2) Označite osi.

3) Postavite skalu duž osi. Razmjer duž ose je dva puta manji od razmjera duž ostalih osa. Također imajte na umu da sam na desnom crtežu koristio nestandardni "zarez" duž ose (ova mogućnost je već spomenuta gore). S moje tačke gledišta, ovo je preciznije, brže i estetski ugodnije - nema potrebe tražiti sredinu ćelije pod mikroskopom i "klesati" jedinicu blizu ishodišta koordinata.

Kada pravite 3D crtež, opet dajte prednost mjerilu
1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo).

Čemu služe sva ova pravila? Pravila su stvorena da se krše. To ću sada uraditi. Činjenica je da ću naknadne crteže članka napraviti u Excelu, a koordinatne osi će izgledati netočne sa stajališta ispravnog dizajna. Mogao bih sve grafikone nacrtati rukom, ali je zapravo strašno crtati ih jer Excel nerado ih crta mnogo preciznije.

Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija

Linearna funkcija je data jednadžbom. Graf linearnih funkcija je direktno. Da bi se konstruisala prava, dovoljno je poznavati dve tačke.

Primjer 1

Konstruirajte graf funkcije. Hajde da nađemo dve tačke. Povoljno je odabrati nulu kao jednu od tačaka.

Ako onda

Uzmimo još jednu tačku, na primjer, 1.

Ako onda

Prilikom izvršavanja zadataka koordinate tačaka se obično sumiraju u tabeli:

I same vrijednosti se izračunavaju usmeno ili na nacrtu, kalkulatoru.

Pronađene su dvije tačke, napravimo crtež:

Prilikom izrade crteža uvijek potpisujemo grafiku.

Bilo bi korisno podsjetiti se posebnih slučajeva linearne funkcije:

Obratite pažnju kako sam stavio potpise, potpisi ne bi trebalo da dopuštaju odstupanja prilikom proučavanja crteža. U ovom slučaju, bilo je krajnje nepoželjno stavljati potpis pored tačke preseka linija, ili u donjem desnom uglu između grafikona.

1) Linearna funkcija oblika () naziva se direktna proporcionalnost. Na primjer, . Graf direktne proporcionalnosti uvijek prolazi kroz ishodište. Dakle, konstrukcija prave linije je pojednostavljena - dovoljno je pronaći samo jednu tačku.

2) Jednačina oblika određuje pravu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama osa je data jednačinom. Grafikon funkcije se iscrtava odmah, bez pronalaženja ikakvih tačaka. To jest, unos treba shvatiti na sljedeći način: "y je uvijek jednako -4, za bilo koju vrijednost x."

3) Jednačina oblika određuje pravu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama os je data jednačinom. Grafikon funkcije se također odmah iscrtava. Unos treba shvatiti na sljedeći način: "x je uvijek, za bilo koju vrijednost y, jednako 1."

Neki će se pitati, zašto pamtiti 6. razred?! Tako je, možda je i tako, ali tokom godina prakse upoznao sam desetak učenika koji su bili zbunjeni zadatkom da konstruišu graf poput ili.

Konstruisanje prave linije je najčešća radnja prilikom izrade crteža.

Prava linija je detaljno obrađena u okviru analitičke geometrije, a zainteresovani mogu pogledati članak Jednačina prave linije na ravni.

Graf kvadratne, kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Grafikon kvadratne funkcije () predstavlja parabolu. Razmotrite poznati slučaj:

Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.

Dakle, rješenje naše jednačine: – u ovoj tački se nalazi vrh parabole. Zašto je to tako može se pronaći u teorijskom članku o izvodu i lekciji o ekstremima funkcije. U međuvremenu, izračunajmo odgovarajuću vrijednost "Y":

Dakle, vrh je u tački

Sada nalazimo druge tačke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – nije čak, ali, ipak, niko nije poništio simetriju parabole.

Kojim redosledom pronaći preostale bodove, mislim da će biti jasno iz konačne tabele:

Ovaj konstruktivni algoritam se figurativno može nazvati „šatlom“ ili principom „nazad i nazad“ kod Anfise Čehove.

Napravimo crtež:

Iz pregledanih grafikona, još jedna korisna karakteristika pada na pamet:

Za kvadratnu funkciju () istina je sljedeće:

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Detaljno znanje o krivulji može se dobiti u lekciji Hiperbola i parabola.

Kubna parabola je data funkcijom. Evo crteža poznatog iz škole:

Hajde da navedemo glavna svojstva funkcije

Grafikon funkcije

Predstavlja jednu od grana parabole. Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

U ovom slučaju, os je vertikalna asimptota za graf hiperbole na .

Bila bi GRUPA greška ako, prilikom sastavljanja crteža, nemarno dozvolite da se graf preseče sa asimptotom.

Također jednostrane granice nam govore da je hiperbola nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo.

Hajde da ispitamo funkciju u beskonačnosti: , to jest, ako se počnemo kretati duž ose ulijevo (ili udesno) do beskonačnosti, tada će "igre" biti u pravilnom koraku beskonačno blizu približavaju se nuli i, shodno tome, grane hiperbole beskonačno blizu približiti osi.

Dakle, os je horizontalna asimptota za graf funkcije, ako “x” teži plus ili minus beskonačnost.

Funkcija je odd, i stoga je hiperbola simetrična u odnosu na ishodište. Ova činjenica je očigledna iz crteža, osim toga, lako se provjerava analitički: .

Graf funkcije oblika () predstavlja dvije grane hiperbole.

Ako je , tada se hiperbola nalazi u prvoj i trećoj koordinatnoj četvrtini(vidi sliku iznad).

Ako je , tada se hiperbola nalazi u drugoj i četvrtoj koordinatnoj četvrtini.

Navedeni obrazac boravka hiperbole lako je analizirati sa stanovišta geometrijskih transformacija grafova.

Primjer 3

Konstruirajte desnu granu hiperbole

Koristimo metodu konstrukcije po točkama, a povoljno je odabrati vrijednosti tako da budu djeljive cjelinom:

Napravimo crtež:

Ovdje neće biti teško konstruirati lijevu granu hiperbole; Grubo govoreći, u tabeli konstrukcije po tačkama, mi mentalno dodajemo minus svakom broju, stavljamo odgovarajuće tačke i crtamo drugu granu.

Detaljne geometrijske informacije o razmatranoj liniji možete pronaći u članku Hiperbola i parabola.

Graf eksponencijalne funkcije

U ovom dijelu ću odmah razmotriti eksponencijalnu funkciju, jer se u problemima više matematike u 95% slučajeva pojavljuje eksponencijalna funkcija.

Dozvolite mi da vas podsjetim da je ovo iracionalan broj: , to će biti potrebno prilikom konstruisanja grafa, koji ću, zapravo, izgraditi bez ceremonije. Tri boda su vjerovatno dovoljna:

Ostavimo graf funkcije za sada na miru, više o tome kasnije.

Glavna svojstva funkcije:

Funkcionalni grafovi, itd., izgledaju u osnovi isto.

Moram reći da se drugi slučaj rjeđe javlja u praksi, ali se dešava, pa sam smatrao potrebnim da ga uvrstim u ovaj članak.

Grafikon logaritamske funkcije

Razmotrimo funkciju s prirodnim logaritmom.
Napravimo crtež tačku po tačku:

Ako ste zaboravili šta je logaritam, pogledajte školske udžbenike.

Glavna svojstva funkcije:

Domain:

Raspon vrijednosti: .

Funkcija nije ograničena odozgo: , doduše polako, ali grana logaritma ide do beskonačnosti.
Hajde da ispitamo ponašanje funkcije blizu nule desno: . Dakle, os je vertikalna asimptota za graf funkcije kako “x” teži nuli s desne strane.

Imperativ je znati i zapamtiti tipičnu vrijednost logaritma: .

U principu, grafik logaritma prema osnovici izgleda isto: , , (decimalni logaritam na osnovu 10) itd. Štaviše, što je veća baza, to će graf biti ravniji.

Nećemo razmatrati slučaj. Ne sjećam se kada sam zadnji put napravio graf s takvom osnovom. A čini se da je logaritam vrlo rijedak gost u problemima više matematike.

Na kraju ovog pasusa reći ću još jednu činjenicu: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcija– to su dvije međusobno inverzne funkcije. Ako pažljivo pogledate graf logaritma, možete vidjeti da je ovo isti eksponent, samo se nalazi malo drugačije.

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Gdje počinje trigonometrijska muka u školi? U redu. Od sinusa

Nacrtajmo funkciju

Ova linija se zove sinusoida.

Dozvolite mi da vas podsjetim da je "pi" iracionalan broj: , a u trigonometriji vam zasljepljuje oči.

Glavna svojstva funkcije:

Ova funkcija je periodično sa tačkom. Šta to znači? Pogledajmo segment. Lijevo i desno od njega, potpuno isti dio grafa se ponavlja u nedogled.

Domain: , to jest, za bilo koju vrijednost “x” postoji vrijednost sinusa.

Raspon vrijednosti: . Funkcija je ograničeno: , odnosno sve "igre" sjede striktno u segmentu .
To se ne dešava: ili, tačnije, dešava se, ali ove jednačine nemaju rješenje.

“Transformacija grafova funkcija” - Rastezanje. Simetrija. Pojačati konstrukciju grafova funkcija koristeći transformacije grafova elementarnih funkcija. Iscrtavanje grafova složenih funkcija. Samostalan rad Opcija 1 Opcija 2. Paralelni prijenos. Usporedite svaki graf s funkcijom. Transformacija funkcijskih grafova. Pogledajmo primjere transformacija i objasnimo svaku vrstu transformacije.

“Iracionalna jednačina” - Algoritam za rješavanje jednačina. Istorija nerazumnih brojeva. Koji korak u rješavanju jednadžbe dovodi do pojave dodatnih korijena. "Lekcija-diskusija". Nađi grešku. Uvod. “Kroz jednačine i teoreme, riješio sam mnogo različitih problema.” Tokom nastave. U svađi su neprihvatljive uvrede, prigovori i neprijateljstvo prema kolegama iz razreda.

“Grafikon funkcije” - Ako je linearna funkcija data formulom oblika y = khx, odnosno b = 0, naziva se direktna proporcionalnost. Ako je linearna funkcija data formulom y = b, odnosno k = 0, tada njen graf prolazi kroz tačku sa koordinatama (b; 0) paralelnim sa OX osom. Funkcija. Linearna funkcija je funkcija koja se može specificirati formulom y = kx + b, gdje je x nezavisna varijabla, k i b su neki brojevi.

Kako nacrtati linearnu funkciju? - Vrijednost y kod koje je x=3. Ojačanje pokrivenog materijala. Metodološka tema. Konstruirajte graf linearne funkcije y=-3x+6. - Odredite svojstva ove funkcije. Provjera: Učenik za tablom. Proučavanje funkcija. U pisanoj formi sa ovjerom. U okviru školskog programa.

“Grafikon funkcije Y X” - Primjer 1. Napravimo grafik funkcije y=(x - 2)2, na osnovu grafika funkcije y=x2 (klik mišem). Da vidite grafikone, kliknite mišem. Primjer 2. Napravimo grafik funkcije y = x2 + 1, na osnovu grafika funkcije y=x2 (klik mišem). Obrazac parabole y = x2. Graf funkcije y=(x - m)2 je parabola čiji je vrh u tački (m; 0).

“Iracionalne jednačine i nejednačine” - Metode rješavanja. 3. Uvođenje pomoćnih varijabli. 1. Eksponencijacija. Iracionalne jednadžbe Metode rješavanja. Iracionalne jednačine i nejednačine. 2. Množenje konjugiranim izrazom. 4. Odabir kompletnog kvadrata pod predznakom radikala. 6. Grafička metoda. Iracionalne nejednakosti.

Znanje osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi ništa manje važno od poznavanja tablice množenja. Oni su kao temelj, sve se zasniva na njima, sve se gradi od njih i sve se svodi na njih.

U ovom članku ćemo navesti sve glavne elementarne funkcije, dati njihove grafikone i dati bez zaključka ili dokaza svojstva osnovnih elementarnih funkcija prema šemi:

ponašanje funkcije na granicama domene definicije, vertikalne asimptote (ako je potrebno, pogledajte članak klasifikacija tačaka diskontinuiteta funkcije);
parni i neparni;
intervali konveksnosti (konveksnost prema gore) i konkavnosti (konveksnost prema dole), tačke pregiba (ako je potrebno, pogledajte članak konveksnost funkcije, pravac konveksnosti, tačke pregiba, uslovi konveksnosti i fleksije);
kose i horizontalne asimptote;
singularne tačke funkcija;
posebna svojstva nekih funkcija (na primjer, najmanji pozitivni period trigonometrijskih funkcija).

Ako vas zanima ili, onda možete ići na ove dijelove teorije.

Osnovne elementarne funkcije su: konstantna funkcija (konstanta), n-ti korijen, funkcija stepena, eksponencijalna, logaritamska funkcija, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije.

Navigacija po stranici.

Trajna funkcija.

Konstantna funkcija je definirana na skupu svih realnih brojeva formulom , gdje je C neki realan broj. Konstantna funkcija povezuje svaku realnu vrijednost nezavisne varijable x sa istom vrijednošću zavisne varijable y - vrijednošću C. Konstantna funkcija se također naziva konstanta.

Grafikon konstantne funkcije je prava linija paralelna sa x-osi i koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0,C). Kao primjer, prikazaćemo grafove konstantnih funkcija y=5, y=-2 i, koji na donjoj slici odgovaraju crnoj, crvenoj i plavoj liniji, respektivno.

Svojstva konstantne funkcije.

Domen: cijeli skup realnih brojeva.
Konstantna funkcija je parna.
Raspon vrijednosti: skup koji se sastoji od singularnog broja C.
Konstantna funkcija nije rastuća i neopadajuća (zato je konstantna).
Nema smisla govoriti o konveksnosti i konkavnosti konstante.
Nema asimptota.
Funkcija prolazi kroz tačku (0,C) koordinatne ravni.

n-ti korijen.

Razmotrimo osnovnu elementarnu funkciju, koja je data formulom , gdje je n prirodni broj veći od jedan.

Koren n-tog stepena, n je paran broj.

Počnimo s n-tom korijenskom funkcijom za parne vrijednosti korijenskog eksponenta n.

Kao primjer, evo slike sa slikama grafova funkcija i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.

Grafovi korijenskih funkcija parnog stupnja imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Svojstva n-te korijenske funkcije za parno n.

Koren n-tog stepena, n je neparan broj.

Funkcija n-tog korijena s neparnim korijenskim eksponentom n definirana je na cijelom skupu realnih brojeva. Na primjer, evo grafova funkcija i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim krivuljama.

Za druge neparne vrijednosti korijenskog eksponenta, grafovi funkcija će imati sličan izgled.

Svojstva n-te korijenske funkcije za neparno n.

Funkcija napajanja.

Funkcija snage je data formulom oblika .

Razmotrimo oblik grafova funkcije stepena i svojstva funkcije stepena u zavisnosti od vrednosti eksponenta.

Počnimo s funkcijom stepena s cjelobrojnim eksponentom a. U ovom slučaju, izgled grafova funkcija stepena i svojstva funkcija zavise od parnosti ili neparnosti eksponenta, kao i od njegovog predznaka. Stoga ćemo prvo razmotriti funkcije stepena za neparne pozitivne vrijednosti eksponenta a, zatim za parne pozitivne eksponente, zatim za neparne negativne eksponente i na kraju za parne negativne eksponente a.

Svojstva funkcija stepena sa frakcijskim i iracionalnim eksponentima (kao i vrsta grafova takvih funkcija stepena) zavise od vrednosti eksponenta a. Razmotrićemo ih, prvo, za a od nula do jedan, drugo, za veće od jedan, treće, za a od minus jedan do nula, četvrto, za manje od minus jedan.

Na kraju ovog odjeljka, radi potpunosti, opisati ćemo funkciju stepena s nultim eksponentom.

Funkcija stepena s neparnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju stepena sa neparnim pozitivnim eksponentom, odnosno sa a = 1,3,5,....

Na slici ispod prikazani su grafikoni funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x.

Svojstva funkcije stepena s neparnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija snage s parnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju stepena s parnim pozitivnim eksponentom, odnosno za a = 2,4,6,....

Kao primjer dajemo grafike funkcija stepena – crna linija, – plava linija, – crvena linija. Za a=2 imamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Svojstva funkcije stepena s parnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija snage s neparnim negativnim eksponentom.

Pogledajte grafove funkcije stepena za neparne negativne vrijednosti eksponenta, odnosno za a = -1, -3, -5,....

Na slici su prikazani grafovi funkcija snage kao primjeri - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=-1 imamo inverzna proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Svojstva funkcije stepena s neparnim negativnim eksponentom.

Funkcija snage s parnim negativnim eksponentom.

Pređimo na funkciju snage na a=-2,-4,-6,….

Na slici su prikazani grafikoni funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija.

Svojstva funkcije stepena s parnim negativnim eksponentom.

Funkcija stepena s racionalnim ili iracionalnim eksponentom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.

Bilješka! Ako je a pozitivan razlomak sa neparnim nazivnikom, onda neki autori smatraju da je domen definicije funkcije stepena interval. Utvrđeno je da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pridržavat ćemo se upravo ovog gledišta, odnosno skup ćemo smatrati domenima definicije funkcija stepena s razlomačnim pozitivnim eksponentima. Preporučujemo da učenici saznaju mišljenje vašeg nastavnika o ovoj suptilnoj tački kako bi izbjegli nesuglasice.

Razmotrimo funkciju stepena s racionalnim ili iracionalnim eksponentom a, i .

Predstavimo grafove funkcija stepena za a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).

Funkcija stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom većim od jedan.

Razmotrimo funkciju stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom a, i .

Predstavimo grafove funkcija stepena datih formulama (crne, crvene, plave i zelene linije).

Za ostale vrijednosti eksponenta a, grafovi funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva funkcije snage na .

Funkcija stepena sa realnim eksponentom koji je veći od minus jedan i manji od nule.

Bilješka! Ako je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, onda neki autori smatraju da je domen definicije funkcije stepena interval . Utvrđeno je da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pridržavat ćemo se upravo ovog gledišta, odnosno smatrat ćemo domene definicije funkcija stepena sa razlomkom negativnih eksponenta kao skup, respektivno. Preporučujemo da učenici saznaju mišljenje vašeg nastavnika o ovoj suptilnoj tački kako bi izbjegli nesuglasice.

Pređimo na funkciju snage, kgod.

Da bismo imali dobru ideju o obliku grafova funkcija moći za , dajemo primjere grafova funkcija (crna, crvena, plava i zelena krivulja, redom).

Svojstva funkcije stepena s eksponentom a, .

Funkcija stepena s realnim eksponentom koji nije cijeli broj koji je manji od minus jedan.

Navedimo primjere grafova funkcija stepena za , prikazani su crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.

Svojstva funkcije stepena s negativnim eksponentom koji nije cijeli broj manji od minus jedan.

Kada je a = 0, imamo funkciju - ovo je prava linija iz koje je isključena tačka (0;1) (dogovoreno je da se izrazu 0 0 ne pridaje nikakav značaj).

Eksponencijalna funkcija.

Jedna od glavnih elementarnih funkcija je eksponencijalna funkcija.

Graf eksponencijalne funkcije, gdje i poprima različite oblike ovisno o vrijednosti baze a. Hajde da shvatimo ovo.

Prvo, razmotrimo slučaj kada baza eksponencijalne funkcije uzima vrijednost od nule do jedan, to jest, .

Kao primjer predstavljamo grafove eksponencijalne funkcije za a = 1/2 – plava linija, a = 5/6 – crvena linija. Grafovi eksponencijalne funkcije imaju sličan izgled za druge vrijednosti baze iz intervala.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom manjom od jedan.

Prijeđimo na slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan, odnosno, .

Kao ilustraciju dajemo grafove eksponencijalnih funkcija - plava linija i - crvena linija. Za druge vrijednosti baze veće od jedan, grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan.

Logaritamska funkcija.

Sljedeća osnovna elementarna funkcija je logaritamska funkcija, gdje je , . Logaritamska funkcija je definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta, odnosno za .

Graf logaritamske funkcije ima različite oblike ovisno o vrijednosti baze a.

U ovom članku ukratko sumiramo informacije koje se odnose na tako važan matematički koncept kao što je funkcija. Razgovaraćemo o tome šta je to numerička funkcija i šta morate znati i moći istraživati.

Šta se desilo numerička funkcija? Neka imamo dva numerička skupa: X i Y, i postoji određena veza između ovih skupova. Odnosno, svaki element x iz skupa X, prema određenom pravilu, je dodijeljen pojedinačni element y iz skupa Y.

Važno, to Svaki element x iz skupa X odgovara jednom i samo jednom elementu y iz skupa Y.

Pravilo po kojem svaki element iz skupa X povezujemo s jednim elementom iz skupa Y naziva se numerička funkcija.

Skup X se zove domenu definicije funkcije.

Skup Y se zove skup vrijednosti funkcije.

Jednakost se zove jednadžba funkcije. U ovoj jednačini - nezavisna varijabla ili argument funkcije. - zavisna varijabla.

Ako uzmemo sve parove i dodijelimo im odgovarajuće tačke na koordinatnoj ravni, dobićemo graf funkcije. Funkcijski graf je grafički prikaz odnosa između skupova X i Y.

Svojstva funkcije možemo odrediti gledajući graf funkcije i, obrnuto, ispitivanjem možemo to zacrtati.

Osnovna svojstva funkcija.

1. Domen funkcije.

Domen funkcije D(y) je skup svih dozvoljenih vrijednosti argumenta x (nezavisna varijabla x), za koji izraz na desnoj strani jednadžbe funkcije ima smisla. Drugim riječima, ovo su izrazi.

To Koristeći graf funkcije, pronađite njenu oblast definicije, n već krećem sa s lijeva na desno duž ose OX, zapišite sve intervale x vrijednosti na kojima postoji graf funkcije.

2. Skup vrijednosti funkcije.

Skup vrijednosti funkcije E(y) je skup svih vrijednosti koje zavisna varijabla y može uzeti.

To prema grafu funkcije da biste pronašli njen skup vrijednosti, trebate se pomaknuti odozdo prema gore duž ose OY i zapisati sve intervale vrijednosti y na kojima postoji graf funkcije.

3. Nule funkcije.

Nule funkcije - To su one vrijednosti argumenta x kod kojih je vrijednost funkcije (y) jednaka nuli.

Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti jednačinu. Korijeni ove jednadžbe bit će nule funkcije.

Da biste pronašli nule funkcije iz njenog grafa, morate pronaći tačke preseka grafa sa OX osom. Apscise presječnih tačaka bit će nule funkcije.

4. Intervali konstantnog predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su oni intervali vrijednosti argumenata u kojima funkcija zadržava svoj predznak, odnosno .

Naći , trebate riješiti nejednakosti i .

Naći intervali konstantnog predznaka funkcije prema njenom rasporedu, neophodno je

5. Intervali monotonosti funkcije.

Intervali monotonosti funkcije su oni intervali vrijednosti argumenta x u kojima se funkcija povećava ili smanjuje.

Kaže se da se funkcija povećava na intervalu I ako za bilo koje dvije vrijednosti argumenta pripadaju intervalu I tako da vrijedi sljedeća relacija: .

Drugim riječima, funkcija se povećava na intervalu I ako veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Da biste odredili intervale rastuće funkcije iz grafa funkcije, morate se pomicati s lijeva na desno duž linije grafa funkcije kako biste istaknuli intervale vrijednosti argumenta x na kojima je graf ide gore.

Kaže se da se funkcija smanjuje na intervalu I ako za bilo koje dvije vrijednosti argumenta pripada intervalu I tako da vrijedi sljedeća relacija: .

Drugim riječima, funkcija se smanjuje na intervalu I ako veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Da biste odredili intervale opadajuće funkcije iz grafa funkcije, morate se kretati s lijeva na desno duž linije grafa funkcije kako biste istaknuli intervale vrijednosti argumenta x na kojima je graf ide dole.

6. Točke maksimuma i minimuma funkcije.

Tačka se naziva maksimalnom tačkom funkcije ako postoji takvo susjedstvo I tačke da za bilo koju tačku x iz ovog susjedstva vrijedi relacija:

Grafički, to znači da tačka sa apscisom x_0 leži iznad ostalih tačaka iz okoline I grafa funkcije y=f(x).

Tačka se naziva minimalnom tačkom funkcije ako postoji takvo susjedstvo tačke I da za bilo koju tačku x iz ovog susjedstva vrijedi relacija:

Grafički, to znači da tačka sa apscisom leži ispod ostalih tačaka iz okoline I grafa funkcije.

Obično pronalazimo maksimalnu i minimalnu tačku funkcije ispitivanjem funkcije koristeći njen izvod.

7. Parna (neparna) funkcija.

Funkcija se poziva čak i ako su ispunjena dva uslova:

Drugim riječima, Područje definicije parne funkcije je simetrično u odnosu na ishodište.

b) Za bilo koju vrijednost argumenta x koji pripada domeni definicije funkcije, relacija je zadovoljena .

Funkcija se naziva neparnom ako su ispunjena dva uslova:

a) Za bilo koju vrijednost argumenta, koja pripada domeni funkcije, također pripada domeni funkcije.