Funkcija y=sinx, njena glavna svojstva i graf. Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi - Hipermarket znanja Grafikon funkcije y je jednak sinusu x

"Koledž uslužnih tehnologija Yoshkar-Ola"

Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcije y=sinx u tabeliGOSPOĐA Excel

/metodološka izrada/

Yoshkar – Ola

Predmet. Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcijey = sinx u MS Excel tabeli

Vrsta lekcije– integrisani (sticanje novih znanja)

Ciljevi:

Didaktička svrha - istražiti ponašanje grafova trigonometrijskih funkcijay= sinxovisno o izgledima korištenjem kompjutera

edukativni:

1. Saznaj promjenu u grafu trigonometrijske funkcije y= grijeh x zavisno od kvote

2. Prikazati uvođenje računarske tehnologije u nastavu matematike, integraciju dva predmeta: algebre i informatike.

3. Razvijati vještine korištenja računarske tehnologije na časovima matematike

4. Ojačati vještine proučavanja funkcija i konstruiranja njihovih grafova

edukativni:

1. Razvijati kognitivni interes učenika za akademske discipline i sposobnost primjene znanja u praktičnim situacijama

2. Razviti sposobnost analiziranja, poređenja, naglašavanja glavne stvari

3. Doprinijeti poboljšanju ukupnog nivoa razvoja učenika

Obrazovanje :

1. Negujte nezavisnost, tačnost i naporan rad

2. Negujte kulturu dijaloga

Oblici rada na času - kombinovano

Didaktički sadržaji i oprema:

1. Računari

2. Multimedijalni projektor

4. Materijali

5. Slajdovi prezentacije

Tokom nastave

I. Organizacija početka časa

· Pozdravljanje učenika i gostiju

· Raspoloženje za čas

II. Postavljanje ciljeva i aktualizacija teme

Potrebno je puno vremena da se prouči funkcija i izgradi njen graf, morate izvršiti mnogo glomaznih proračuna, nije zgodno, kompjuterska tehnologija dolazi u pomoć.

Danas ćemo naučiti kako napraviti grafikone trigonometrijskih funkcija u okruženju proračunskih tablica MS Excel 2007.

Tema naše lekcije je „Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcije y= sinx u tabličnom procesoru"

Iz kursa algebre znamo šemu za proučavanje funkcije i konstruisanje njenog grafa. Prisjetimo se kako to učiniti.

Slajd 2

Shema proučavanja funkcija

1. Domen funkcije (D(f))

2. Opseg funkcije E(f)

3. Određivanje pariteta

4. Frekvencija

5. Nule funkcije (y=0)

6. Intervali predznaka konstante (y>0, y<0)

7. Periodi monotonije

8. Ekstremi funkcije

III. Primarno usvajanje novog nastavnog materijala

Otvorite MS Excel 2007.

Nacrtajmo funkciju y=sin x

Izrada grafikona u procesoru proračunskih tablicaGOSPOĐA Excel 2007

Nacrtaćemo grafik ove funkcije na segmentu xÊ [-2π; 2π]

Vrijednosti argumenata ćemo uzimati u inkrementima , kako bi graf bio precizniji.

Pošto uređivač radi sa brojevima, hajde da pretvorimo radijane u brojeve, znajući to P ≈ 3.14 . (tabela prijevoda u brošuri).

1. Pronađite vrijednost funkcije u tački x=-2P. Za ostalo, uređivač automatski izračunava odgovarajuće vrijednosti funkcije.

2. Sada imamo tablicu sa vrijednostima argumenta i funkcije. Sa ovim podacima, moramo iscrtati ovu funkciju koristeći Čarobnjak za grafikone.

3. Da biste napravili graf, potrebno je da odaberete traženi raspon podataka, linije sa argumentima i vrijednosti funkcije

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Zaključke zapisujemo u svesku (Slajd 5)

Zaključak. Grafikon funkcije oblika y=sinx+k dobija se iz grafa funkcije y=sinx koristeći paralelnu translaciju duž ose op-ampa za k jedinica

Ako je k >0, tada se graf pomiče nagore za k jedinica

Ako je k<0, то график смещается вниз на k единиц

Konstrukcija i proučavanje funkcije formey=k*sinx,k- konst

Zadatak 2. Na poslu Sheet2 nacrtati grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, na intervalu (-2π; 2π) i gledajte kako se izgled grafa mijenja.

(Da ne bismo ponovo postavili vrijednost argumenta, kopirajmo postojeće vrijednosti. Sada morate postaviti formulu i napraviti graf koristeći rezultirajuću tablicu.)

Upoređujemo dobijene grafikone. Zajedno sa studentima analiziramo ponašanje grafa trigonometrijske funkcije u zavisnosti od koeficijenata. (Slajd 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , na intervalu (-2π; 2π) i gledajte kako se izgled grafa mijenja.

Upoređujemo dobijene grafikone. Zajedno sa studentima analiziramo ponašanje grafa trigonometrijske funkcije u zavisnosti od koeficijenata. (Slajd 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Zaključke zapisujemo u svesku (Slajd 11)

Zaključak. Grafikon funkcije oblika y=sin(x+k) dobija se iz grafa funkcije y=sinx koristeći paralelnu translaciju duž ose OX za k jedinica

Ako je k >1, tada se graf pomiče udesno duž ose OX

Ako je 0

IV. Primarna konsolidacija stečenog znanja

Diferencirane kartice sa zadatkom konstruiranja i proučavanja funkcije pomoću grafa

V. Organizacija domaćih zadataka

Nacrtajte grafik funkcije y=-2*sinh+1, ispitajte i provjerite ispravnost konstrukcije u Microsoft Excel okruženju proračunskih tablica. (Slajd 12)

VI. Refleksija

U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije daćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih problema korištenjem grafa funkcije i njenih svojstava.

Tema: Trigonometrijske funkcije

Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf

Kada razmatrate funkciju, važno je povezati svaku vrijednost argumenta s jednom vrijednošću funkcije. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.

Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .

Bilo koji realan broj odgovara jednoj tački na jediničnom krugu. Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).

Svaka vrijednost argumenta je povezana s jednom vrijednošću funkcije.

Očigledna svojstva proizlaze iz definicije sinusa.

Slika to pokazuje jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.

Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je centralni ugao, mjeren u radijanima. Duž ose ćemo iscrtati realne brojeve ili uglove u radijanima, duž ose odgovarajuće vrednosti funkcije.

Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)

Dobili smo grafik funkcije u području Ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).

Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti kroz cijeli domen definicije.

Razmotrite svojstva funkcije:

1) Obim definicije:

2) Raspon vrijednosti:

3) Neparna funkcija:

4) Najmanji pozitivni period:

5) Koordinate tačaka preseka grafika sa apscisom:

6) Koordinate tačke preseka grafika sa ordinatnom osom:

7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:

8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:

9) Povećani intervali:

10) Smanjenje intervala:

11) Minimum bodova:

12) Minimalne funkcije:

13) Maksimalan broj bodova:

14) Maksimalne funkcije:

Pogledali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti prilikom rješavanja problema.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi - M.: Viša škola, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi iz algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Zadaća

Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni web resursi

3. Edukativni portal za pripremu ispita ().

Kako grafički prikazati funkciju y=sin x? Prvo, pogledajmo sinusni graf na intervalu.

Uzimamo jedan segment dužine 2 ćelije u bilježnici. Na osi Oy označavamo jednu.

Radi praktičnosti, zaokružujemo broj π/2 na 1,5 (a ne na 1,6, kako to zahtijevaju pravila zaokruživanja). U ovom slučaju, segment dužine π/2 odgovara 3 ćelije.

Na osi Ox ne označavamo pojedinačne segmente, već segmente dužine π/2 (svake 3 ćelije). Prema tome, segment dužine π odgovara 6 ćelija, a segment dužine π/6 odgovara 1 ćeliji.

Sa ovim izborom segmenta jedinice, graf prikazan na listu sveske u kutiji najpribližnije odgovara grafikonu funkcije y=sin x.

Napravimo tabelu sinusnih vrijednosti na intervalu:

Rezultirajuće tačke označavamo na koordinatnoj ravni:

Pošto je y=sin x neparna funkcija, sinusni graf je simetričan u odnosu na ishodište - tačku O(0;0). Uzimajući ovu činjenicu u obzir, nastavljamo crtati graf lijevo, zatim tačke -π:

Funkcija y=sin x je periodična sa periodom T=2π. Stoga se graf funkcije uzet na intervalu [-π;π] ponavlja beskonačan broj puta desno i lijevo.

U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije daćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih problema korištenjem grafa funkcije i njenih svojstava.

Tema: Trigonometrijske funkcije

Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf

Kada razmatrate funkciju, važno je povezati svaku vrijednost argumenta s jednom vrijednošću funkcije. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.

Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .

Bilo koji realan broj odgovara jednoj tački na jediničnom krugu. Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).

Svaka vrijednost argumenta je povezana s jednom vrijednošću funkcije.

Očigledna svojstva proizlaze iz definicije sinusa.

Slika to pokazuje jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.

Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je centralni ugao, mjeren u radijanima. Duž ose ćemo iscrtati realne brojeve ili uglove u radijanima, duž ose odgovarajuće vrednosti funkcije.

Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)

Dobili smo grafik funkcije u području Ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).

Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti kroz cijeli domen definicije.

Razmotrite svojstva funkcije:

1) Obim definicije:

2) Raspon vrijednosti:

3) Neparna funkcija:

4) Najmanji pozitivni period:

5) Koordinate tačaka preseka grafika sa apscisom:

6) Koordinate tačke preseka grafika sa ordinatnom osom:

7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:

8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:

9) Povećani intervali:

10) Smanjenje intervala:

11) Minimum bodova:

12) Minimalne funkcije:

13) Maksimalan broj bodova:

14) Maksimalne funkcije:

Pogledali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti prilikom rješavanja problema.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi - M.: Viša škola, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi iz algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Zadaća

Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni web resursi

3. Edukativni portal za pripremu ispita ().

Saznali smo da je ponašanje trigonometrijskih funkcija i funkcija y = sin x posebno, na cijeloj brojevnoj liniji (ili za sve vrijednosti argumenta X) potpuno je određen svojim ponašanjem u intervalu 0 < X < π / 2 .

Stoga ćemo prije svega nacrtati funkciju y = sin x tačno u ovom intervalu.

Napravimo sljedeću tablicu vrijednosti naše funkcije;

Označavanjem odgovarajućih tačaka na koordinatnoj ravni i njihovim povezivanjem glatkom linijom dobijamo krivulju prikazanu na slici

Rezultirajuća kriva se također može konstruirati geometrijski, bez sastavljanja tablice vrijednosti funkcije y = sin x .

1. Podijelite prvu četvrtinu kruga poluprečnika 1 na 8 jednakih dijelova.

2.Prva četvrtina kruga odgovara uglovima od 0 do π / 2 . Dakle, na osi X Uzmimo segment i podijelimo ga na 8 jednakih dijelova.

3. Nacrtajmo ravne linije paralelne osama X, a iz tačaka podjele gradimo okomice dok se ne sijeku s horizontalnim linijama.

4. Spojite tačke preseka glatkom linijom.

Pogledajmo sada interval π / 2 < X < π .
Vrijednost svakog argumenta X iz ovog intervala može se predstaviti kao

x = π / 2 + φ

Gdje 0 < φ < π / 2 . Prema redukcijskim formulama

grijeh( π / 2 + φ ) = cos φ = grijeh ( π / 2 - φ ).

Osne tačke X sa apscisama π / 2 + φ I π / 2 - φ simetrične jedna prema drugoj oko tačke ose X sa apscisom π / 2 , a sinusi u ovim tačkama su isti. Ovo nam omogućava da dobijemo graf funkcije y = sin x u intervalu [ π / 2 , π ] jednostavnim simetričnim prikazom grafika ove funkcije u intervalu u odnosu na pravu liniju X = π / 2 .

Sada koristimo imovinu neparna paritetna funkcija y = sin x,

grijeh(- X) = - sin X,

lako je ucrtati ovu funkciju u interval [- π , 0].

Funkcija y = sin x je periodična s periodom od 2π ;. Stoga je za konstruiranje cijelog grafika ove funkcije dovoljno da se krivulja prikazana na slici periodično nastavi s točkom s lijeve i desne strane. 2π .

Rezultirajuća kriva se zove sinusoida . Predstavlja graf funkcije y = sin x.

Slika dobro ilustruje sva svojstva funkcije y = sin x , što smo prethodno i dokazali. Prisjetimo se ovih svojstava.

1) Funkcija y = sin x definisano za sve vrednosti X , pa je njegova domena skup svih realnih brojeva.

2) Funkcija y = sin x ograničeno. Sve vrijednosti koje prihvata su između -1 i 1, uključujući ova dva broja. Prema tome, opseg varijacije ove funkcije je određen nejednakošću -1 < at < 1. Kada X = π / 2 + 2k π funkcija uzima najveće vrijednosti jednake 1, a za x = - π / 2 + 2k π - najmanje vrijednosti jednake su - 1.

3) Funkcija y = sin x je neparan (sinusni talas je simetričan u odnosu na ishodište).

4) Funkcija y = sin x periodično sa periodom 2 π .

5) U intervalima od 2n π < x < π + 2n π (n je bilo koji cijeli broj) pozitivan je i u intervalima π + 2k π < X < 2π + 2k π (k je bilo koji cijeli broj) negativan je. Kod x = k π funkcija ide na nulu. Dakle, ove vrijednosti argumenta x (0; ± π ; ±2 π ; ...) nazivaju se nule funkcija y = sin x

6) U intervalima - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkcija y = sin x raste monotono iu intervalima π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π monotono se smanjuje.

Posebnu pažnju treba obratiti na ponašanje funkcije y = sin x blizu tačke X = 0 .

Na primjer, sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = greh π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Istovremeno, treba napomenuti da za bilo koje vrijednosti x

| grijeh x| < | x | . (1)

Zaista, neka je polumjer kružnice prikazane na slici jednak 1,
a / AOB = X.

Onda greh x= AC. Ali AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Dužina ovog luka je očigledno jednaka X, pošto je poluprečnik kružnice 1. Dakle, na 0< X < π / 2

sin x< х.

Dakle, zbog neparnosti funkcije y = sin x lako je pokazati da kada - π / 2 < X < 0

| grijeh x| < | x | .

Konačno, kada x = 0

| sin x | = | x |.

Dakle, za | X | < π / 2 nejednakost (1) je dokazana. U stvari, ova nejednakost vrijedi i za | x | > π / 2 zbog činjenice da | grijeh X | < 1, a π / 2 > 1

Vježbe

1.Prema grafikonu funkcije y = sin x odrediti: a) sin 2; b) greh 4; c) sin (-3).

2.Prema grafu funkcije y = sin x odredite koji broj iz intervala
[ - π / 2 , π / 2 ] ima sinus jednak: a) 0,6; b) -0,8.

3. Prema grafu funkcije y = sin x odrediti koji brojevi imaju sinus,
jednako 1/2.

4. Odredite približno (bez upotrebe tabela): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").