Diferencijalni račun funkcija nekoliko Kuznetsovih varijabli. Diferencijalni račun funkcija nekoliko

Proširenje računa varijabilne funkcije je multivarijantna analiza, gdje diferencijalni račun funkcija više varijabli– funkcije koje integriraju i razlikuju ne utiču na jednu, već na nekoliko varijabli.

Diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli uključuje sljedeće tipične operacije:

1. Kontinuitet i ograničenja.

Proučavanje kontinuiteta i granica u višedimenzionalnim prostorima dovodi do mnogih patoloških i nelogičnih rezultata koji nisu karakteristični za funkciju jedne varijable. Na primjer, postoje skalarne funkcije dviju varijabli koje imaju točke u domeni definicije koje daju određenu granicu kada im se prilazi duž prave, ali kada im se prilazi duž parabole daju potpuno drugačiju granicu. Funkcija teži nuli kada prolazi duž bilo koje prave linije koja prolazi kroz ishodište. Zbog činjenice da se granice ne poklapaju duž različitih putanja, ne postoji jedinstvena granica.

Kako varijable x teže, funkcija ima ograničenje na određeni broj. Ako granična vrijednost funkcije u određenoj tački postoji i jednaka je parcijalnoj vrijednosti funkcije, tada se takva funkcija naziva kontinuiranom u toj tački. Ako je funkcija kontinuirana na skupu tačaka, onda se naziva kontinuirana na skupu tačaka.

2. Pronalaženje parcijalnog izvoda.

Parcijalni izvod više varijabli znači izvod jedne varijable, a sve ostale varijable se smatraju konstantama.

3. Višestruka integracija.

Višestruki integral proširuje koncept integrala na funkcije mnogih varijabli. Za izračunavanje volumena i površina područja u prostoru i ravni koriste se dvostruki i trostruki integrali. Prema Tonelli-Fubini teoremi, višestruki integral se može izračunati i kao iterirani integral.

Sve ovo omogućava diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli.

Pitanja za ispit iz matematike. II semestar.

Kada odgovarate na pitanje, morate definisati sve termine koji se koriste.

Algebra.

1. Grupe, prstenovi, polja. Izomorfizam grupa.

2. Definicija linearnog prostora. Teorema o linearno zavisnim i nezavisnim sistemima vektora.

3. Teorema o linearnoj zavisnosti sistema od k vektora, od kojih je svaki linearna kombinacija nekog sistema od m vektora (k>m).

4. Osnova linearnog prostora. Teorema o invarijantnosti broja elemenata baze. Teorema o broju elemenata linearno nezavisnog sistema (T. 1.3, T.1.4).

5. Vektorske koordinate. Teoreme o vektorskim koordinatama (T.1.5 i T.1.7).

6. Definicija i svojstva skalarnog proizvoda. Ugao između vektora.

7. Prostori i .

8. Podprostor linearnog prostora. Linearna ljuska sistema vektora.

9. Matrice: definicija; sabiranje i množenje brojem. Dimenzija i osnova prostora matrica iste veličine.

10. Množenje matrice. Svojstva.

11. Inverzne i transponovane matrice.

12. Množenje matrica podijeljenih u blokove.

13. Ortogonalne matrice.

14. Matrična determinanta: definicija, proširenje u prvom stupcu. Determinanta gornje i donje trokutaste matrice. Odnos između determinanti i .

15. Preuređenje.

16. Teorema o izražavanju determinante kroz zbir članova, od kojih svaki sadrži proizvod matričnih elemenata (po jedan iz svakog reda i svake kolone), potpisanih prema određenom pravilu.

17. Svojstva determinanti: permutacija redova (kolona), proširenje u proizvoljan stupac (red), zbir proizvoda elemenata i-tog reda algebarskim komplementama odgovarajućih elemenata j-tog reda.

18. Linearnost determinante nad elementima reda ili kolone. Determinanta matrice čiji su redovi (kolone) linearno zavisni. Determinanta matrice, kojoj se nekom redu dodaje još jedan red, pomnožen brojem.

19. Determinanta blok matrice. Odrednica proizvoda matrica.

20. Inverzna matrica. Korolacije o trouglastim matricama.

21. Matrice elementarnih transformacija.

22. Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina u slučaju kada su sistemi nekonzistentni ili imaju jedinstveno rješenje.

23. Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina u slučaju kada sistemi imaju beskonačno mnogo rješenja. Struktura generalnog rješenja sistema.

24. Homogeni sistemi linearnih jednačina.

25. Cramerova teorema.

26. Horizontalni i vertikalni rangovi matrice. Rang prema maloljetnicima. Njihova koincidencija za trapezoidnu matricu.

27. Invarijantnost ranga matrice kada se pomnoži sa nesingularnim. Teorema o jednakosti rangova za proizvoljnu matricu.

28. Kronecker-Capelli teorema.

29. Vlastite vrijednosti i vektori matrice. Podudarnost karakterističnih polinoma za slične matrice. Linearna nezavisnost sopstvenih vektora koji odgovaraju različitim sopstvenim vrednostima.

30. Odnos između linearne zavisnosti sistema vektora i odgovarajućeg sistema koordinatnih stubova. Odnos između koordinatnih stupaca jednog vektora u različitim bazama.

31. Linearno preslikavanje linearnih prostora. Matrica preslikavanja u nekim bazama. Koristi se za izračunavanje slike vektora. Odnos između matrica preslikavanja u različitim bazama.

32. Kernel i prikazna slika. Rang mapiranja, njegov odnos sa rangom matrice preslikavanja.

33. Vlastite vrijednosti i svojstveni vektori operatora. Matrica operatora u bazi sopstvenih vektora.

34. Linearna nezavisnost sopstvenih vektora koji odgovaraju različitim sopstvenim vrednostima operatora. Svojstveni podprostori, njihove dimenzije. Posljedice.

35. Euklidski i unitarni prostori. Gram-Schmidtov proces ortogonalizacije.

36. Teorema o svojstvenim vrijednostima i svojstvenim vektorima realne simetrične matrice.

37. Teorema o ortogonalnoj sličnosti realne simetrične matrice sa određenom dijagonalnom matricom. Posljedice.

38. Definicija bilinearnih i kvadratnih oblika. Matrica bilinearne forme u nekoj osnovi, njena upotreba za izračunavanje bilinearne forme. Odnos između matrica istog bilinearnog oblika u različitim bazama.

39. Teorema o postojanju ortogonalne transformacije baze, dovodeći kvadratni oblik u kanonski oblik. Praktična metoda za redukciju kvadratnog oblika na kanonski oblik korištenjem ortogonalne bazne transformacije (metoda vlastitih vektora). Crtanje krive

40. Teorema o potrebnom i dovoljnom uslovu za pozitivnu (negativnu) određenost kvadratnog oblika.

41. Teorema o postojanju trokutne transformacije baze, dovodeći kvadratni oblik u kanonski oblik. Silvesterov kriterijum.

Matematička analiza.

Diferencijalni račun funkcija više varijabli.

42. Niz tačaka u .Teorema o koordinatnoj konvergenciji.

43. Granica funkcije R varijable. Kontinuitet funkcije R varijable. Weierstrassova teorema.

44. Diferencijabilnost funkcije R varijable. Diferencijabilnost zbira i proizvoda diferencijabilnih funkcija.

45. Parcijalne derivacijske funkcije R varijable. Veza između diferencijabilnosti funkcije i postojanja parcijalnih izvoda. Primjer funkcije koja ima parcijalne izvode u tački A, ali nije diferencibilna u toj tački.

46. ​​Diferencijabilnost funkcije u slučaju postojanja i kontinuiteta parcijalnih izvoda.

47. Derivat kompleksne funkcije. Parcijalni derivati ​​kompleksne funkcije. Invarijantnost oblika prvog diferencijala.

48. Parcijalni derivati ​​višeg reda. Teorema o jednakosti mješovitih izvoda.

49. Diferencijali višeg reda. Nedostatak invarijantnosti oblika za diferencijale reda većeg od prvog.

50. Taylorova formula za funkciju p varijabli.

51. Teorema o postojanju i diferencijabilnosti implicitno date funkcije jedne varijable. Izračunavanje prvog i drugog izvoda funkcije y(x), dato implicitno jednačinom

52. Teorema o postojanju i diferencijabilnosti implicitno specificiranih funkcija p varijabli specificiranih sistemom funkcionalnih jednadžbi. Tehnike izračunavanja derivata. Izračunavanje prvog i drugog izvoda funkcije z(x,y), dato implicitno jednačinom

.

Izračunavanje prvih izvoda funkcija y(x), z(x), u(x), dato implicitno od strane sistema

.

53. Određivanje točaka ekstrema funkcije više varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje ekstremnih tačaka.

54. Određivanje uvjetnih ekstremnih tačaka funkcije više varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje tačaka uslovnog ekstrema. Primjer: pronađite uvjetne ekstremne točke funkcije pod uvjetom .

Prilikom odgovaranja na ocjenu 3 potrebno je znati sve definicije i formulacije iz pitanja 1 – 54, kao i dokaze teorema iz pitanja 25, 29, 33, 40, 46, 49. Ne možete koristiti bilješke (i varalice).

Funkcija n varijabli Varijabla u se naziva funkcijom od n varijabli (argumenata) x, y, z, ..., t, ako je svaki sistem vrijednosti x, y, z, ..., t, iz domen njihovih promjena (domen definicije), odgovara određenoj vrijednosti u. Domen funkcije je skup svih tačaka u kojima ona ima određene realne vrijednosti. Za funkciju dvije varijable z=f(x, y), domen definicije predstavlja određeni skup tačaka u ravni, a za funkciju od tri varijable u=f(x, y, z) - određeni skup tačaka u prostoru.

Funkcija dvije varijable Funkcija dvije varijable je zakon prema kojem svaki par vrijednosti nezavisnih varijabli x, y (argumenata) iz domene definicije odgovara vrijednosti zavisne varijable z (funkcija). Ova funkcija se označava na sljedeći način: z = z(x, y) ili z= f(x, y) ili drugim standardnim slovom: u=f(x, y), u = u (x, y)

Parcijalni izvod prvog reda Parcijalni izvod funkcije z =f(x, y) u odnosu na nezavisnu varijablu x naziva se konačna granica izračunata na konstanti y. Djelomična derivacija u odnosu na y naziva se konačna granica izračunata pri konstanti x. Za parcijalne izvode vrijede uobičajena pravila i formule diferencijacije.

Ukupni diferencijal funkcije z =f(x, y) izračunava se po formuli. Ukupni diferencijal funkcije tri argumenta u =f(x, y, z) izračunava se po formuli

Parcijalni izvod višeg reda Parcijalni izvod drugog reda funkcije z =f(x, y) naziva se parcijalni izvod njenih parcijalnih izvoda prvog reda.Parcijalni izvod trećeg i višeg reda se slično definišu i označavaju.

Diferencijali višeg reda Diferencijal drugog reda funkcije z=f(x, y) je diferencijal njenog ravnog nagiba.Diferencijali višeg reda se izračunavaju pomoću formule.Postoji simbolička formula

Diferencijacija kompleksnih funkcija Neka je z=f(x, y), gdje je x=φ(t), y=ψ(t) i funkcije f(x, y), φ(t), ψ(t) su diferencijabilne. Tada se derivacija kompleksne funkcije z=f[φ(t), ψ(t)] izračunava po formuli

Diferencijacija implicitnih funkcija Derivati ​​implicitne funkcije dvije varijable z=f(x, y), date jednadžbom F(x, y, z)=0, mogu se izračunati pomoću formula

Ekstremum funkcije Funkcija z=f(x, y) ima maksimum (minimum) u tački M 0(x 0; y 0) ako je vrijednost funkcije u ovoj tački veća (manja) od njene vrijednosti u bilo koja druga tačka M(x; y ) neka okolina tačke M 0. Ako diferencijabilna funkcija z=f(x, y) dostigne ekstrem u tački M 0(x 0; y 0), tada njen prvi red parcijalni derivati ​​u ovoj tački su jednaki nuli, tj. (neophodni ekstremni uslovi).

Neka je M 0(x 0; y 0) stacionarna tačka funkcije z=f(x, y). Označićemo I sastaviti diskriminanta Δ=AC B 2. Tada: Ako je Δ>0, tada funkcija ima ekstrem u tački M 0, odnosno maksimum u A 0 (ili C>0); Ako je Δ

Antiderivativna funkcija Funkcija F(x) naziva se antiderivativna za funkciju f(x) na intervalu X=(a, b), ako je u svakoj tački ovog intervala f(x) derivacija od F(x), tj. Iz ove definicije proizilazi da je problem nalaženja antiderivata inverzan problemu diferencijacije: datoj funkciji f(x), potrebno je pronaći funkciju F(x) čiji je izvod jednak f(x).

Neodređeni integral Skup svih antiderivata funkcije F(x)+S za f(x) naziva se neodređenim integralom funkcije f(x) i označava se simbolom. Dakle, po definiciji gdje je C proizvoljna konstanta; f(x) integrand; f(x) dx integrand; x varijabla integracije; znak neodređenog integrala.

Svojstva neodređenog integrala 1. Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu, a derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu: 2. Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je zbiru ovog funkcija i proizvoljna konstanta:

3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala: 4. Neodređeni integral algebarskog zbira konačnog broja kontinuiranih funkcija jednak je algebarskom zbiru integrala sabiraka funkcija: 5. Ako, onda i gdje je u=φ(x) proizvoljna funkcija koja ima kontinuirani izvod

Osnovne metode integracije Metoda direktne integracije Metoda integracije u kojoj se dati integral identičnim transformacijama integrala (ili izraza) svodi na jedan ili više tabličnih integrala i primjenom svojstava neodređenog integrala naziva se direktna integracija.

Prilikom svođenja ovog integrala na tabelarni, često se koriste sljedeće diferencijalne transformacije (operacija „podnošenja predznaka diferencijala“):

Zamjena varijable u neodređenom integralu (integracija zamjenom) Metoda integracije zamjenom uključuje uvođenje nove integracione varijable. U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Pretpostavimo da treba da izračunamo integral. Napravimo zamjenu x = φ(t), gdje je φ(t) funkcija koja ima kontinuirani izvod. Tada je dx=φ"(t)dt i na osnovu svojstva invarijantnosti formule integracije za neodređeni integral, dobijamo integracijsku formulu zamjenom

Integracija po dijelovima Formula za integraciju po dijelovima Formula omogućava da se izračunavanje integrala svede na izračunavanje integrala, koji se može pokazati znatno jednostavnijim od originalnog.

Integracija racionalnih razlomaka Racionalni razlomak je razlomak oblika P(x)/Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi. Racionalni razlomak se naziva pravim ako je stepen polinoma P(x) niži od stepena polinoma Q(x); inače se razlomak naziva nepravilan razlomak. Najjednostavniji (elementarni) razlomci su pravi razlomci sljedećeg oblika: gdje su A, B, p, q, a realni brojevi.

Prvi integral najjednostavnijeg razlomka tipa IV na desnoj strani jednakosti lako se nalazi zamjenom x2+px+q=t, a drugi transformiramo na sljedeći način: Postavljanje x+p/2=t, dx= dt dobijamo i označavamo q-p 2/4=a 2 ,

Integracija racionalnih razlomaka korištenjem dekompozicije na proste razlomke Prije integracije racionalnog razlomka P(x)/Q(x), moraju se izvršiti sljedeće algebarske transformacije i proračuni: 1) Ako je dat nepravilan racionalni razlomak, onda odaberite cijeli dio iz to, tj. predstavljaju u obliku gdje je M(x) polinom, a P 1(x)/Q(x) je pravi racionalni razlomak; 2) Proširiti imenilac razlomka na linearne i kvadratne faktore: gdje je p2/4 q

3) Rastaviti pravi racionalni razlomak na jednostavnije razlomke: 4) Izračunati neodređene koeficijente A 1, A 2, ..., Am, ..., B 1, B 2, ..., Bm, ..., C 1, C 2, ..., Cm, ... , za koji posljednju jednakost dovodimo do zajedničkog nazivnika, izjednačavamo koeficijente na istim potencijama x na lijevoj i desnoj strani rezultirajućeg identiteta i rješavamo sistem linearnih jednadžbi za tražene koeficijente.

Integracija najjednostavnijih iracionalnih funkcija 1. Integrali oblika gdje je R racionalna funkcija; m 1, n 1, m 2, n 2, ... cijeli brojevi. Koristeći supstituciju ax+b=ts, gdje je s najmanji zajednički višekratnik brojeva n 1, n 2, ..., navedeni integral se transformiše u integral racionalne funkcije. 2. Integral oblika Takvi integrali, izolovanjem kvadrata od kvadratnog trinoma, svode se na tabelarne integrale 15 ili 16

3. Integral oblika Da bismo pronašli ovaj integral, biramo u brojiocu derivaciju kvadratnog trinoma pod predznakom korijena i proširujemo integral u zbir integrala:

4. Integrali oblika Koristeći supstituciju x α=1/t, ovaj integral se svodi na razmatranu tačku 2 5. Integral oblika gdje je Pn(x) polinom n-tog stepena. Integral ovog tipa nalazi se korištenjem identiteta gdje je Qn 1(x) polinom (n 1.) stepena sa neodređenim koeficijentima, λ je broj. Diferencirajući navedeni identitet i dovodeći rezultat do zajedničkog nazivnika, dobijamo jednakost dva polinoma iz kojih možemo odrediti koeficijente polinoma Qn 1(x) i broja λ.

6. Integrali diferencijalnih binoma gdje su m, n, p racionalni brojevi. Kao što je P.L. Chebyshev dokazao, integrali diferencijalnih binoma se izražavaju kroz elementarne funkcije samo u tri slučaja: 1) p je cijeli broj, tada se ovaj integral svodi na integral racionalne funkcije zamjenom x = ts, gdje je s najmanji zajednički višestruki nazivnici razlomaka m i n. 2) (m+1)/n – cijeli broj, u ovom slučaju ovaj integral je racionaliziran zamjenom a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+r – cijeli broj, u ovom slučaju zamjenska os n+b=ts vodi istom cilju, gdje je s imenilac razlomka r.

Integracija trigonometrijskih funkcija Integrali oblika gdje je R racionalna funkcija. Pod znakom integrala je racionalna funkcija sinusa i kosinusa. U ovom slučaju je primjenjiva univerzalna trigonometrijska zamjena tg(x/2)=t, koja ovaj integral svodi na integral racionalne funkcije novog argumenta t (Tablica 1). Postoje i druge zamjene prikazane u sljedećoj tabeli:

Definitivni integral funkcije f(x) na segmentu je granica integralnih suma pod uslovom da dužina najvećeg parcijalnog segmenta Δhi teži nuli. Brojevi a i b nazivaju se donja i gornja granica integracije. Cauchyjev teorem. Ako je funkcija f(x) kontinuirana na intervalu, tada postoji definitivni integral

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="Ako je f(x)>0 na segmentu, tada određeni integral geometrijski predstavlja površinu ​krivolinijski"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0!}

Pravila za izračunavanje definitivnih integrala 1. Newton-Leibnizova formula: gdje je F(x) antiderivat za f(x), tj. F(x)‘= f(x). 2. Integracija po dijelovima: gdje su u=u(x), v=v(x) kontinuirano diferencibilne funkcije na intervalu.

3. Promjena varijable gdje je x=φ(t) funkcija koja je kontinuirana zajedno sa svojom derivacijom φ' (t) na segmentu α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ( t)] – funkcija je kontinuirana na [α; β] 4. Ako je f(x) neparna funkcija, tj. f(x)= f(x), onda ako je f(x) parna funkcija, tj. f(x)=f(x), to je.

Nepravilni integrali Nepravilni integrali su: 1) integrali sa beskonačnim granicama; 2) integrali neograničenih funkcija. Nepravilni integral funkcije f(x) u rasponu od a do + beskonačno određen je jednakošću Ako ova granica postoji i konačna je, onda se nepravilni integral naziva konvergentan; ako granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti, divergentna Ako funkcija f(x) ima beskonačan diskontinuitet u tački c segmenta i kontinuirana je za a≤x

Prilikom proučavanja konvergencije nepravilnih integrala koristi se jedan od kriterija poređenja. 1. Ako su funkcije f(x) i φ(x) definirane za sve x≥a i integrabilne su na intervalu , gdje je A≥a, i ako je 0≤f(x)≤φ(x) za sve x≥ a, tada iz konvergencije integrala slijedi konvergencija integrala, i 2. 1 Ako je za x→+∞ funkcija f(x)≤ 0 infinitezimalna reda p>0 u poređenju sa 1/x, tada integral konvergira za p>1 i divergira za p≤ 1 2.2 Ako je funkcija f(x)≥ 0 definirana i kontinuirana u intervalu a ≤ x

Izračunavanje površine ravne figure Površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y=f(x), pravim linijama x=a i x=b i segmentom ose OX izračunava se pomoću formule Površina figure ograničena krivuljom y=f 1(x) i y=f 2(x) i pravim linijama x=a i x=b nalazi se po formuli Ako je kriva data parametarskim jednadžbama x= x(t), y=y(t), tada se površina krivolinijskog trapeza omeđena ovom krivom pravim linijama x=a, x=b i segmentom ose OX izračunava po formuli gdje je t 1 i t 2 određuju se iz jednačine a=x(t 1), b=x(t 2) Površina krivolinijskog sektora ograničena krivom specificiranom u polarnim koordinatama jednačinom ρ=ρ(θ) i dva polarni radijusi θ=α, θ=β (α

Izračunavanje dužine luka ravne krive Ako je kriva y=f(x) na segmentu glatka (tj. derivacija y'=f'(x) je kontinuirana), tada je dužina odgovarajućeg luka ovog kriva se nalazi po formuli Kada parametarski specificiramo krivu x=x (t), y=y(t) [x(t) i y(t) su kontinuirano diferencirane funkcije] dužina luka krive koja odgovara monotonoj promjeni u parametru t od t 1 do t 2 se izračunava po formuli. Ako je glatka kriva data u polarnim koordinatama jednačinom ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, tada je dužina luka jednaka.

Proračun volumena tijela 1. Proračun volumena tijela iz poznatih površina poprečnih presjeka. Ako je površina poprečnog presjeka tijela ravan okomita na osu OX, može se izraziti kao funkcija od x, tj. u obliku S=S(x) (a≤x≤b), zapremina dio tijela zatvoren između ravnina okomitih na osu OX x= a i x=b, nalazi se po formuli 2. Izračunavanje zapremine tijela okretanja. Ako se krivolinijski trapez omeđen krivuljom y=f(x) i pravim linijama y=0, x=a, x=b rotira oko ose OX, tada se volumen tijela rotacije izračunava po formuli Ako je slika omeđen krivuljama y1=f 1(x) i y2=f 2(x) i pravim linijama x=a, x=b, rotira oko ose OX, tada je zapremina rotacije jednaka.

Izračunavanje površine rotacije Ako glatka lučna kriva y=f(x) (a≤x≤b) rotira oko ose OX, tada se površina površine rotacije izračunava po formuli Ako je kriva je data parametarskim jednačinama x=x(t), y=y(t ) (t 1≤t≤t 2), tada.

Osnovni koncepti Diferencijalna jednadžba je jednačina koja povezuje nezavisne varijable, njihovu funkciju i izvode (ili diferencijale) ove funkcije. Ako postoji jedna nezavisna varijabla, onda se jednačina naziva običnom, a ako postoje dvije ili više nezavisnih varijabli, tada se jednačina naziva parcijalna diferencijalna jednadžba.

Jednadžba prvog reda Funkcionalna jednačina F(x, y, y) = 0 ili y = f(x, y), koja povezuje nezavisnu varijablu, željenu funkciju y(x) i njen izvod y (x), naziva se diferencijalna jednadžba prvog reda. Rješenje jednačine prvog reda je bilo koja funkcija y= (x), koja, kada se unese u jednačinu zajedno sa svojim izvodom y = (x), pretvara je u identitet u odnosu na x.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda je funkcija y = (x, C) koja je, za bilo koju vrijednost parametra C, rješenje ove diferencijalne jednadžbe. Jednačina F(x, y, C)=0, koja definiše opšte rešenje kao implicitnu funkciju, naziva se opštim integralom diferencijalne jednačine.

Jednačina riješena u odnosu na izvod Ako je jednačina prvog reda riješena u odnosu na izvod, onda se može predstaviti kao njeno opšte rješenje geometrijski predstavlja porodicu integralnih krivulja, tj. skup linija koje odgovaraju različitim vrijednostima ​konstante C.

Izjava Cauchyjevog problema Problem pronalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe koja zadovoljava početni uvjet u naziva se Cauchyjev problem za jednačinu 1. reda. Geometrijski, to znači: pronaći integralnu krivu diferencijalne jednadžbe koja prolazi kroz datu tačku.

Odvojiva jednačina Diferencijalna jednačina se naziva odvojena jednačina. Diferencijalna jednadžba 1. reda naziva se jednadžba s odvojivim varijablama ako ima oblik: Da biste riješili jednačinu, podijelite obje strane proizvodom funkcija i zatim integrirajte.

Homogene jednadžbe Diferencijalna jednačina prvog reda naziva se homogenom ako se može svesti na oblik y = ili na oblik gdje su i homogene funkcije istog reda.

Linearne jednadžbe 1. reda Diferencijalna jednačina prvog reda naziva se linearnom ako sadrži y i y' do prvog stepena, odnosno ima oblik. Takva se jednadžba rješava zamjenom y=uv, gdje su u i v pomoćne nepoznate funkcije, koje se nalaze zamjenom pomoćnih funkcija u jednadžbu i nametanjem određenih uvjeta jednoj od funkcija.

Bernulijeva jednadžba Bernulijeva jednadžba je jednadžba 1. reda koja ima oblik gdje i Ona se, poput linearne jednadžbe, rješava zamjenom

Diferencijalne jednadžbe 2. reda Jednadžba 2. reda ima oblik Ili Opće rješenje jednadžbe drugog reda je funkcija koja je, za bilo koju vrijednost parametara, rješenje ove jednadžbe.

Cauchyjev problem za jednačinu 2. reda Ako je jednačina 2. reda riješena u odnosu na drugi izvod, tada za takvu jednačinu postoji problem: pronaći rješenje jednadžbe koje zadovoljava početne uvjete: i Ovaj problem se zove Cauchyjev problem za diferencijalnu jednačinu 2. reda.

Teorema o postojanju i jedinstvenosti rješenja jednačine 2. reda Ako su u jednačini funkcija i njeni parcijalni derivati ​​u odnosu na argumente kontinuirani u nekom domenu koje sadrži tačku, tada postoji jedinstveno rješenje ove jednačine koje zadovoljava uvjete i.

Jednačine 2. reda koje dozvoljavaju smanjenje po redu Najjednostavnija jednačina 2. reda rješava se dvostrukom integracijom. Jednačina koja ne sadrži eksplicitno y rješava se zamjenom, jednačina koja ne sadrži x rješava se zamjenom, .

Linearne homogene jednadžbe Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda naziva se jednadžba.Ako su svi koeficijenti ove jednadžbe konstantni, onda se jednačina naziva jednačina sa konstantnim koeficijentima.

Svojstva rješenja linearne homogene jednačine Teorem 1. Ako je y(x) rješenje jednačine, tada je Cy(x), gdje je C konstanta, također rješenje ove jednačine.

Svojstva rješenja linearne homogene jednačine Teorema 2. Ako postoje rješenja jednadžbe, onda je i njihov zbir rješenje ove jednačine. Posljedica. Ako su oba rješenja jednadžbe, onda je funkcija također rješenje ove jednačine.

Linearno zavisne i linearno nezavisne funkcije Dvije funkcije i nazivaju se linearno zavisne od određenog intervala ako je moguće odabrati takve brojeve i koji nisu jednaki nuli u isto vrijeme da je linearna kombinacija ovih funkcija identično jednaka nuli na ovom interval, tj.

Ako se takvi brojevi ne mogu pronaći, tada se funkcije nazivaju linearno neovisne o naznačenom intervalu. Funkcije će biti linearno zavisne ako i samo ako je njihov omjer konstantan, tj.

Teorema o strukturi općeg rješenja linearne homogene jednadžbe 2. reda Ako postoje linearno nezavisna parcijalna rješenja LOE 2. reda, onda je njihova linearna kombinacija gdje i su proizvoljne konstante općenito rješenje ove jednačine.

Linearna homogena jednačina 2. reda sa konstantnim koeficijentima Jednačina se naziva karakteristična jednačina linearne jednačine. Dobiva se od LOU zamjenom derivirane snage k koja odgovara redu.

Uvod u račun

1. Skupovi, načini njihovog definiranja. Kvantifikatori. Operacije nad skupovima (unija, presek, razlika), njihova svojstva. Modul broja, njegova svojstva. Dekartov proizvod skupova. Lica skupova. Prebrojivi i nebrojivi skupovi.

2.. Funkcije, metode dodjele, klasifikacija.

3. Susjedstvo tačke. Granica konzistencije. Bolzano-Cauchy i Weierstrass teoreme (bez dokaza). Određivanje granice funkcije prema Heineu.

4. Jednostrane granice. Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje granice. Geometrijsko značenje granice.

5. Određivanje granice funkcije kontinuiranog argumenta prema Cauchyju na i .

6. Beskonačno male i beskonačno velike funkcije, odnos između njih. Svojstva infinitezimalnih funkcija.

7. Teoreme o predstavljanju funkcije kao sume granične i infinitezimalne funkcije.

Teoreme o granicama (osobine granica).

8. Teorema o srednjoj funkciji. Prva izuzetna granica.

9. Druga izuzetna granica, njeno obrazloženje, primena u finansijskim proračunima.

10. Poređenje infinitezimalnih funkcija.

11. Kontinuitet funkcije u tački i na segmentu. Akcije na kontinuirane funkcije. Kontinuitet osnovnih elementarnih funkcija.

12. Svojstva kontinuiranih funkcija.

13. Tačke prekida funkcije.

Diferencijalni račun funkcija jedne varijable

14. Derivat funkcije, njeno geometrijsko i mehaničko značenje.

15. Odnos između kontinuiteta i diferencijabilnosti funkcije. Direktno pronalaženje derivata.

16. Pravila za diferencijaciju funkcija.

17. Izvođenje formula za diferenciranje trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija.

18. Izvođenje formula za diferenciranje logaritamskih i eksponencijalnih funkcija.

19. Izvođenje formula za diferenciranje stepena i eksponencijalne funkcije. Tabela derivata. Derivati ​​višeg reda.

20. Elastičnost funkcije, njeno geometrijsko i ekonomsko značenje, svojstva. Primjeri.

21. Diferencijal funkcije jedne varijable. Definicija, uslovi postojanja, geometrijsko značenje, svojstva.

22. Primjena diferencijala funkcije jedne varijable za približne proračune. Diferencijali višeg reda.

23. Rolleov teorem, njegovo geometrijsko značenje, primjeri njegove upotrebe.

24. Lagrangeov teorem o konačnom inkrementu funkcije, njeno geometrijsko značenje.

25. Cauchyjev teorem o diferencijabilnim funkcijama.

26. L'Hopitalovo pravilo, njegova upotreba za otkrivanje nesigurnosti prilikom pronalaženja granica.

27. Taylorova formula. Ostatak pojma u Lagrangeovom i Peanovom obliku.

28. Maclaurin formula, njen ostatak. Proširenje elementarnih funkcija.

29. Maclaurinova formula, njena primjena za pronalaženje granica i izračunavanje vrijednosti funkcije.

30. Monotonske funkcije. Potrebni i dovoljni znaci monotonosti funkcije.

31. Lokalni ekstremum funkcije. Neophodan znak ekstremuma funkcije.

32. Prvi i drugi dovoljni znak ekstremuma funkcije.

33. Dovoljan znak konveksnosti, konkavnosti grafa funkcije.

34. Potrebni i dovoljni znaci postojanja prevojne tačke.

35. Asimptote grafa funkcije. Opća shema za proučavanje funkcije i konstruiranje grafa.

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

36. Funkcija više varijabli, njena definicija, nivelete i nivelisane površine.

37. Određivanje granice funkcije više varijabli prema Cauchyju. Svojstva granica.

38. Infinitezimalne funkcije. Definicije kontinuiteta funkcije više varijabli. Poeni i linije prekida. Svojstva kontinuiranih funkcija.

39. Parcijalni prirast i parcijalni izvod funkcija više varijabli. Pravilo za pronalaženje parcijalnih izvoda. Geometrijsko značenje parcijalnih izvoda.

40. Neophodni uslovi za diferencijabilnost funkcije više varijabli. Primjeri odnosa između diferencijabilnih i kontinuiranih funkcija.

41. Dovoljni uslovi za diferencijabilnost funkcije više varijabli.

42. Totalni diferencijal funkcije više varijabli, njena definicija.

43. Primjena potpunog diferencijala funkcija više varijabli za približne proračune.

44. Parcijalni derivati ​​i diferencijali višeg reda.

45. Parcijalni izvod kompleksne funkcije više varijabli.

46. ​​Parcijalne derivacije funkcije više varijabli, date implicitno.

47. Smjerni izvod funkcije više varijabli.

48. Gradijent funkcije više varijabli, njena svojstva.

49. Taylorova formula za funkciju nekoliko varijabli.

50. Potrebni i dovoljni predznaci lokalnog ekstremuma funkcije dvije varijable.

51. Uslovni ekstremum funkcije više varijabli. Lagrangeova metoda množenja.

52. Dovoljan znak uslovnog ekstremuma. Apsolutni ekstremum funkcije nekoliko varijabli.

53. Metoda najmanjih kvadrata.

Transkript

1 PA Velmisov YuV Pokladova Diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli Udžbenik Uljanovsk UlSTU

2 UDK (7 BBK ya7 V 8 Recenzenti: Odsjek za primijenjenu matematiku Uljanovskog državnog univerziteta (šef katedre, doktor fizičko-matematičkih nauka, profesor A A Butov; doktor fizičko-matematičkih nauka, profesor Uljanovskog državnog univerziteta A S Andreev Odobren od strane uredničkog i izdavačkog saveta univerziteta kao obrazovni priručnici Velmisov P A V 8 Diferencijalni račun funkcija više varijabli: udžbenik / P A Velmisov Yu V Pokladova Uljanovsk: Uljanovski državni tehnički univerzitet sa ISBN Priručnik je namenjen prvostupnicima svih specijalnosti koji studiraju odeljak „Diferencijalni račun funkcija više varijabli“ Priručnik sadrži kratak teorijski materijal teorijska pitanja individualne zadatke primere rešavanja problema i namenjen je da obezbedi samostalan rad studenata u savladavanju dela. Rad je izveden na Odseku za „Višu matematiku“ Uljanovskog državnog tehničkog univerziteta Objavljeno u autorskom izdanju UDC (7 BBK ya7 Velmisov P A Pokladova Yu V ISBN Dizajn UlSTU

3 SADRŽAJ Uvod Teorijska pitanja Teorijski materijal i primjeri rješavanja problema Područje funkcije više varijabli Primjer rješavanja zadatka Parcijalne derivacije Primjer rješavanja zadatka 8 Derivati ​​složene funkcije 8 Primjer rješavanja problema 9 Derivati ​​implicitne funkcije Primjer rješavanja problem Diferencijal Primjer rješavanja problema Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima vrijednosti funkcije 7 Primjer rješenja problema 7 7 Taylor i Maclaurin formule 8 Primjer rješenja problema Tangentna ravan i normala na površinu 9 Primjer rješenja problema Gradijent i smjer derivacija Primjer rješenja zadatka 9 Ekstremum funkcije više varijabli Primjer rješenja problema Primjer rješenja problema Uslovni ekstremum funkcije više varijabli Primjer rješenja problema 7 Najmanja i najveća vrijednost funkcije dva varijable u području 9 Primjer rješavanja problema 9 Metoda najmanjih kvadrata Primjer rješavanja zadatka Primjer rješavanja problema Primjer rješavanja problema 8 Računski zadaci 9 Literatura

4 UVOD Aktivan samostalan rad studenata važan je faktor u ovladavanju matematikom i njenim metodama.Sistem standardnih proračuna aktivira samostalan rad studenata i doprinosi dubljem proučavanju predmeta više matematike.Ovaj priručnik je namijenjen prvostupnicima svih specijalnosti koje izučavaju odeljak „Diferencijalni račun funkcija više varijabli“ Cilj je da se učenicima razvijaju veštine rešavanja standardnih zadataka.Priručnik sadrži kratak teorijski materijal, teorijska pitanja, individualne zadatke, primere rešavanja problema i namenjen je da obezbedi samostalno rad studenata na savladavanju sekcije Teorijska pitanja su zajednička za sve studente; svaki od problema uključenih u ovaj priručnik predstavljen je sa 8 opcija. Za svaku temu su ukratko navedene glavne teorijske informacije, data su rješenja tipičnih primjera. Rješenja daju osnovne formule za pravila za upućivanje na teoriju

5 Teorijska pitanja Definicija funkcije dviju varijabli iz njenog domena definicije Geometrijska interpretacija ovih pojmova Koncept funkcije tri varijable Koncept granice funkcija dvije i tri varijable u jednoj tački Koncept kontinuirane funkcije nekoliko varijabli Parcijalni izvod funkcija dvije i tri varijable Definicija diferencijabilne funkcije u tački Diferencijal prvog reda funkcija dvije i tri varijable tri varijable Jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu Parcijalni izvod kompleksne funkcije nekoliko nezavisnih varijabli Ukupna derivacija 7 Diferencijacija implicitnih funkcija jedne i više nezavisnih varijabli 8 Određivanje parcijalnih izvoda višeg reda Diferencijal drugog reda funkcija dvije i tri varijable 9 Taylorova formula i Maclaurinova formula za funkciju dvije varijable Gradijent i smjer derivacija Pojam tačke ekstrema funkcija dve i tri varijable Neophodni i dovoljni uslovi za ekstremum funkcije dve varijable Neophodni i dovoljni uslovi za ekstremum funkcije tri varijable Koncept uslovne tačke ekstrema funkcije od dvije varijable Neophodni i dovoljni uvjeti za uvjetni ekstrem funkcije dvije varijable Metoda Lagrangeovih množitelja Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije dvije varijable u zatvorenom ograničenom području 7 Metoda najmanjih kvadrata

6 Teorijski materijal i primjeri rješavanja problema Područje definicije funkcije više varijabli Neka je D skup parova vrijednosti nezavisnih varijabli i Definicija Ako je svakom paru D pridružena određena vrijednost varijable, onda kažu da je to funkcija dvije nezavisne varijable i definirana na skupu D (označeno sa: f Skup D za čije elemente postoje vrijednosti naziva se domenom definicije funkcije f (Definicija Ako je svaki skup vrijednosti nezavisnih varijabli iz određenog skupa D R odgovara određenoj vrijednosti varijable u, onda kažu da je u funkcija varijabli definiranih na skupu D (u f Primjer rješavanja zadatka Pronađite i oslikajte domenu definicijskih funkcija = (Rješenje: Logaritamska funkcija je definirana samo kada je argument pozitivan, dakle > ili< Значит границей области будет парабола = Кроме того знаменатель не должен быть равен нулю поэтому или Таким образом область определения функции состоит из точек расположенных ниже (внутри параболы = за исключением прямых = = Частные производные Определение Частным приращением функции u f в точке M по переменной k называется разность u f k k k k f k k k k Определение Частной производной функции u f по переменной k k в точке M называется предел (если он существует u f k k k k f k k k k lm lm k k k k

7 Označava se sa u f ili u k k k f k Ako je potrebno, naznačite varijable od kojih zavisi funkcija, na primjer f k Za funkciju f od dvije varijable, po definiciji imamo f f f f lm - parcijalni izvod u odnosu na f f f f lm - parcijalni izvod u odnosu na. Koriste se i oznake u kojima se prost broj ne stavlja na vrh, na primjer f f f k Napomena U skladu sa definicijom, parcijalni izvod u odnosu na varijablu k k izračunava se prema uobičajenim pravilima i formulama diferencijacije koje vrijede za funkciju jedne varijable (u ovom slučaju, sve varijable osim k se smatraju konstantama. Na primjer, kada se izračunava parcijalni izvod u odnosu na varijablu iz funkcije f, varijabla se smatra konstantnom i obrnuto. Definicija Po parcijalnim derivacijama funkcije th reda u f nazivaju se parcijalnim derivatima njegovih parcijalnih izvoda prvog reda. Prema definiciji, derivati ​​drugog reda se označavaju i nalaze na sljedeći način: u u u - izvod drugog reda u odnosu na varijablu k k k k k k u u u - mješoviti izvod drugog reda s obzirom na k k k varijable k i f: Konkretno, za funkcije dvije varijable Prosti brojevi na vrhu mogu biti izostavljeni Slično, parcijalni derivati ​​reda višeg od drugog su definirani i označeni Napomena Rezultat ponovljene diferencijacije funkcije u odnosu na različite varijable ne ovisi po redosledu diferencijacije, pod uslovom da su dobijeni mešoviti parcijalni derivati ​​kontinuirani 7

8 Primjer rješavanja problema Zadana funkcija s Pokaži da Rješenje Nađi parcijalne izvode os ; os ; os os s ; os s; os os s Zamjenom pronađenih parcijalnih izvoda u lijevu stranu ove jednačine, dobijamo identičnost os s kao što je potrebno za dokazivanje os s s Derivati ​​kompleksne funkcije Neka je u f ( diferencijabilna funkcija varijabli koje su same diferencijabilne funkcije nezavisnog varijabla t: (t (t (t) Tada se derivacija kompleksne funkcije u f ((t (t u odnosu na varijablu t) izračunava po formuli: du u d u d u d (dt dt dt dt) ako je u f (t gdje je (t (t (t onda je derivacija funkcije u u odnosu na t (naziva se ukupna derivacija jednaka je du u u d u d u d (dt t dt dt dt Neka je u f (gdje je (t t t m (t t t m (t t t m i t t t su nezavisne varijable).) Parcijalno m derivacije funkcije u u odnosu na varijable t t t izražavaju se na sljedeći način: u u u u t t t t 8

9 u t k u t u u u t t (u u u u tm t m t m t m Ako je u f (t t m gdje je (t t t m onda f f l t l t k m k l k Primjer rješavanja problema Pronađite izvod du dt kompleksne funkcije to je nužna varijabla, onda je jedna funkcija nezavisna funkcija u t) za izračunavanje običnog izvoda dt du u d u d u d Koristimo formulu (: dt dt dt dt Pronađite izvode uključene u ovu formulu: u u u d d d t s t dt t dt dt Zamijenimo ih u formulu (du t (s t dt t Izrazimo varijable kroz t du t os t t t os t t t dt t t os t t ost 8(t ost (t t s t t os t s t Nađi parcijalne izvode u osv l(v w w e v e u u kompleksne funkcije 9

10 Rješenje Funkcija u je funkcija dviju varijabli v i w Varijable v i w, pak, funkcije su dvije nezavisne varijable i Nađimo parcijalne derivacije: w w v e v e u v u w e e s v v v w w v w u u Pronađimo derivacije koristeći formule (: u u v u w v sv v w v w s(e (e (e e e e w v w (e ( e s(e e ; (e (e (e u u v u w v w s v e e v w v w v w) (e (e e e e) Derivati ​​implicitne funkcije date sa F) izračunavaju se pomoću formula u F (u k F k u (pod uslovom da je F (u Parcijalni izvod implicitne funkcije u f pomoću jednačine u u Konkretno, derivacija implicitne funkcije (data jednadžbom F (može se izračunati po formuli: d F (d F pod uvjetom da F ; parcijalni izvod) implicitne funkcije (date jednadžbom F (nalazi se na sljedeći način): F F (F F pod uvjetom da je F Napomena Parcijalni izvod u odnosu na varijablu k funkcije u f datu jednadžbom F u može biti

11 je također pronađena diferenciranjem ove jednadžbe s obzirom na k; u ovom slučaju potrebno je uzeti u obzir ovisnost u od k. Konkretno, derivacija implicitne funkcije (data pomoću jednačine F (može se naći diferenciranjem jednačine F (s obzirom na varijablu x; u ovom slučaju potrebno je uzeti u obzir zavisnost od x) Napomena Derivati ​​višeg reda se računaju na osnovu formula (((ili diferenciranjem jednačina F u F (F (odgovarajući broj puta) Primjer rješavanja problema Pronađite izvod prvog reda implicitne funkcije (dat jednadžbom l tg Metoda rješenja: Derivat implicitne funkcije (dat jednačinom d F F ( može biti izračunato pomoću formule (: d F (F F os (os (Pronađi derivaciju implicitne funkcije: d F os (os (d F os (os (U ovom slučaju metoda F l tg: diferencirajte obje strane jednačine l tg) varijabla x uzimajući u obzir y funkciju od x: l (tg (os Express: os (os (određivanjem parcijalnih izvoda prvog reda implicitne funkcije (date jednadžbom

12 Metoda rješenja: Derivati ​​implicitne funkcije (date korištenjem F jednadžbe F (mogu se izračunati pomoću formule (: F F F U ovom slučaju F(F F)) Pronađite parcijalne izvode implicitne funkcije: F F F F F metoda: Razlikujte obje strane jednadžba u odnosu na varijablu x, smatrajući je funkcijom od: ( (Izražavamo: Slično, razlikujemo obje strane jednačine u odnosu na varijablu, smatrajući je funkcijom: ((Izražavamo: Pronađite drugi red izvod implicitne funkcije (dat jednadžbom l Metod rješenja: Izvod implicitne funkcije (dat jednačinom d F F (može se izračunati pomoću formule (: d F U ovom slučaju d Nađi izvod: d F(l F F

13 F F d d Drugu derivaciju nalazimo po pravilu diferencijacije kompleksne funkcije, uzimajući u obzir da y zavisi od x (((d d d d d d d d d d d d d d Zamjenom d d u rezultirajući izraz, nalazimo: (d d metoda: Razlikujemo obje strane jednadžba l u odnosu na varijablu x, smatrajući y funkcijom od x: ((l ; (Hajdemo još jednom razlikovati obje strane jednačine u odnosu na varijablu x, smatrajući y funkcijom od x: ((Zamijenite u rezultirajući izraz: (Pronađite parcijalne izvode drugog reda implicitne funkcije (date jednadžbom) Metod rješenja: Derivati ​​implicitne funkcije (date jednadžbom (F se može izračunati pomoću formule (: F F F F

14 U ovom slučaju (F F F F Pronalazimo parcijalne izvode implicitne funkcije: F F F F Drugu derivaciju nalazimo prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije, smatrajući je funkcijom: Zamjenom u rezultirajuće izraze nalazimo: 9. metod: Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na varijablu x, smatrajući je funkcijom: (Izražavamo: dalje diferenciramo vrijeme kada se obje strane jednačine smatraju funkcijom varijable: Izražavamo

15 Zamijenimo u rezultirajući izraz: Izvodi se nalaze na sličan način 9 Da bismo je pronašli, potrebno je diferencirati originalnu jednačinu dva puta u odnosu na funkciju Da bismo pronašli mješoviti izvod, originalna jednačina se prvo diferencira u odnosu na i onda u odnosu na (ili obrnuto Diferencijalna definicija Puni prirast funkcije u f M je razlika u f f Definicija Funkcija u f u tački M u tački s odgovarajućim prirastima argumenata naziva se diferencijabilnom ako je u nekom susjedstvu ove tačke ukupan prirast od funkcija se može predstaviti kao u A A A o((gdje su A A A brojevi nezavisni od Definicija Diferencijal prvog reda du funkcije u f u tački M je glavni dio ukupnog prirasta ove funkcije u tački koja se razmatra je linearan sa u odnosu na: du A A A Za diferencijal funkcije u f vrijedi sljedeća formula: u u u du d d d (gdje je d d d Konkretno, za funkciju f dvije varijable imamo

16 Diferencijal simboličkom formulom d d d (funkcija k-tog reda u f je izražena sa k d u d d d u (Konkretno, za du formula (a d u se nalazi na sljedeći način u d u dk d (m k m km)) Na primjer, u slučaju funkcije f od dva varijable, formule vrijede za diferencijale th i th reda d d dd d d d d d dd d (k (7 Primjer rješavanja zadatka Nađi diferencijal trećeg reda d u funkcije u e l Rješenje Nađi sve parcijalne izvode do trećeg reda uključujući : u e u e l u e u e l u e u e u e u e l Pronađite diferencijal trećeg reda funkcije u od dvije varijable koristeći formule ((7: u u u u d u d d d dd d e d e d d e dd e l d Nađite diferencijal drugog reda d u, pronađite varijable funkcije drugog reda u tri različite varijable koristimo formule ((:

17 d u d d d u u u u u u d d d dd dd dd Nađimo sve parcijalne derivacije zaključno do drugog reda: u u u u u u u u u Nađimo diferencijal drugog reda funkcije u od tri varijable: d u d d d dd dd dd Primjena diferencijala u približnim proračunima funkcije dovoljno mala vrijednost, prema formuli (za diferencijabilnu funkciju u f, približna jednakost u du ili f f df gdje je df određena formulom (Konkretno, za funkciju f od dvije varijable za dovoljno male, postoji približna jednakost d ili f f f (f ((Pišemo formulu (u tački (: f f f f (((Uvodimo formulu (prepisujemo je u obliku f f f (( f (((Imajući vrijednosti funkcije f i njene parcijalne derivacije u tački pomoću formule (možete izračunati vrijednost funkcije f u tački koja se nalazi dovoljno blizu tačke Primjer rješavanja problema Izračunajte približnu vrijednost funkcije (u tački A(9; Rješenje Približna vrijednost od funkciju (u tački Izračunajmo pomoću formule (: 7

18 ((((Imamo 9 ; stavimo Izračunaj vrijednost funkcije u tački s koordinatama: Budući da ((onda (Zamijeni u formulu: 9; (9 (9 (7 Taylorovih i Maclaurinovih formula za funkciju f od dvije varijable u jednoj tački, Taylorova formula ima oblik df (d f (d f (f (f (R (7!!! gdje je R o( je preostali član).) Konkretno, do članova drugog reda u odnosu na Taylorova formula se može predstaviti kao f (f ((f ((! 8 f ((((f ((R! U posebnom slučaju sa formulom (7) se zove Maclaurinova formula). Primjer rješenja problema 7 Proširi funkcija (e u okolini tačke M(ograničeno na članove drugog reda inkluzivno). Rješenje U ovom slučaju, Taylorova formula (7 poprima oblik df (d f (f (R gdje je R preostali član!!!!) Taylorova formula Nađimo vrijednosti svih parcijalnih izvoda funkcije zaključno do drugog reda u tački M: (e ((e (((e ((e 9 (9 (e ( (Sastavimo diferencijale od funkcija do drugog reda uključujući d((d (d d d

19 d ((d (dd (d d dd 9d) Uzimajući u obzir da d d dobijamo: (((9(e ((R 8 Tangentna ravan i normalna na površinu) Definicija Tangentna ravan na površinu u njenoj tački M (tačka tangente je ravan koja sadrži sve tangente na krivulje povučene na površini kroz ovu tačku Definicija Normala na površinu u njenoj tački M je prava okomita na tangentnu ravan u ovoj tački i koja prolazi kroz tačku tangente M Ako je jednačina površine data u eksplicitnom obliku f, onda jednačina tangentne ravnine u tački M (ima oblik f (f (((8 normalnih jednadžbi (f (f ((8) ako je jednadžba površine data u implicitnom obliku F (onda jednačina tangentne ravni u tački M (ima oblik F((F((8 (Normalne jednačine (8F(F) (Primjer rješenja zadatka 8 8 8) Kreirajte jednadžbu tangentne ravni i jednadžbu normalna na površinu u tački M (7 Rješenje Ako je jednadžba površine data u eksplicitnom obliku f onda jednačina tangentne ravnine u tački M (ima oblik (8 f (f (( i normalne jednadžbe su od oblik (8 f ((f (9

20 Nađimo vrijednosti parcijalnih izvoda f f u tački M: f f f (f (Zamjenom pronađenih vrijednosti u jednačine tangentne ravni i normale dobijamo: 7 ((ili - jednadžbu tangente 7 - jednadžbe normale 8 Sastavite jednadžbu tangentne ravni i jednadžbu normale na površinu 7 u tački M (Rješenje Ako je jednačina površine data u implicitnom obliku F (onda je jednadžba površine 7) tangentna ravan u tački M (ima oblik (8 F (F(((Normala je određena jednadžbama (8 F(F) (Nađimo vrijednosti parcijalnih izvoda F F F u tački M : F F F F (F (F (Zamjenom pronađenih vrijednosti u jednačine tangentne ravni i normale dobijamo: (ili - jednadžbu tangentne ravni; - jednadžbe normale 9 Gradijenta i derivacije u smjeru) Neka je funkcija f definiran u susjedstvu tačke i neka je vektor koji proizlazi iz ovih tačaka. Na vektoru uzmite tačku M (Definicija usmjerenog izvoda funkcije f u tački M (koja se zove granica (ako postoji f (f ( f (M f (M (M lm lm M M M gdje MM M Koncept usmjerene derivacije je generalizacija koncepta parcijalnih izvoda). Smjerni izvod u tački M karakterizira promjenu funkcije u ovoj tački u smjeru vektora Ako je funkcija f diferencijabilna u tački M (onda u ovoj tački

21 os os gdje su os os kosinus smjera vektora Definicija Gradijent funkcije f u tački M (vektor čije su projekcije vrijednosti parcijalnih izvoda funkcije u ovoj tački nazivaju se grd j (9 Napomena Smjerni izvod i gradijent funkcije varijabli su na sličan način definirani Gradijent i usmjereni izvod su međusobno povezani relacijom (grd (9 tih izvoda u smjeru je jednak skalarnom proizvodu gradijenta i jediničnog vektora). rješenje zadatka 9 Dato je: funkcija (rs tačka A i vektor Nađi: grd u tački A; izvod u tački A u pravcu vektora Rješenje Nađimo grd u tački A za ovo izračunavamo i u tački A imamo: (A (A Tako grd (A j Da bismo pronašli derivaciju funkcije f (u pravcu vektora koristimo formulu (9 Da bismo to uradili nalazimo jedinični vektor tada (A grd (A 7

22 Ekstremum funkcije nekoliko varijabli Neka je funkcija u f tačke M definirana u određenom susjedstvu Definicija Funkcija u f tačke ima maksimum (minimum u M ako postoji susjedstvo tačke M u kojoj je za sve tačke M (M M nejednakost f M f M je zadovoljena (odnosno f M f M Maksimum ili minimum funkcije naziva se njen ekstrem, a tačke u kojima funkcija ima ekstrem se nazivaju tačke ekstrema (maksimum ili minimum Neophodan uslov za ekstrem Ako funkcija u f ima ekstrem u tački M, tada u ovoj tački f (M Tačke u kojima su ovi uslovi ispunjeni nazivaju se stacionarne u f tačke funkcije Dovoljan uslov za ekstrem Neka je M stacionarna tačka funkcije u f i ova funkcija je dva puta diferencibilna u nekom susjedstvu točke M i svi njeni drugi parcijalni derivati ​​su kontinuirani u tački M Tada: ako d u d u za bilo koju vrijednost nije istovremeno jednaka nuli, tada funkcija u f ima minimum u tački M ( maksimum; ako d u uzima vrijednosti različitih predznaka u zavisnosti od tada ne postoji ekstremum u tački M; ako d u za skup vrijednosti nije jednak nuli u isto vrijeme, onda je potrebno dodatno istraživanje. Razmotrimo slučaj funkcije dvije varijable Definicija Funkcija f (ima maksimum (minimum) u tački M (ako postoji okolina tačke M u kojoj je za sve tačke M (različite od M nejednakost f ( f (f (f (Neophodan uslov za ekstremum funkcije dve varijable) Ako diferencijabilna funkcija f (dostigne ekstrem u tački

23 M (onda su u ovom trenutku parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli f f (((( Dovoljan uslov za ekstremum funkcije dvije varijable Uvedemo zapis: A f B f C f D AB C (( (Neka je M (stacionarna tačka funkcije f (i neka u okolini tačke M funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda. Tada: ako je D onda funkcija f (ima u tački M (ekstremum , naime maksimum u A B i minimum u A B; ako D postoji ekstremum u tački M (odsutan; ako D onda dodatno istraživanje Razmotrimo slučaj funkcije u f (kriterijum tri varijable Sylvester Da bi nejednakost d u bila Za bilo koje vrijednosti d d d nije jednako nuli, istovremeno je potrebno i dovoljno da: u u u u u u u u u u u u u Da bi nejednakost d u vrijedila za bilo koju vrijednost d d d koja nije jednaka nuli, istovremeno je potrebno i dovoljno da: u u u u u u u u u u u u u Treba imati na umu da se sve derivacije izračunavaju u tački M (Primjer rješenja zadatka 8 Pronađite ekstreme funkcije dvije varijable (Rješenje Ako diferencijabilna funkcija f (dostigne ekstrem u tački M (onda, prema potrebnom uvjetu za Ekstremum u ovoj tački, parcijalni derivati ​​prvog reda jednaki su nuli 8 Pronađite funkcije stacionarnih tačaka (:

( -: A B C Pošto je D 8 onda je tačka M (- tačka ekstrema, odnosno minimuma, pošto A Nađimo minimum funkcije: m 7 Razmotrimo tačku M (--: A B C Pošto je D 8 onda u tački M ( -- nema ekstremuma Primjer rješavanja zadatka Nađi ekstreme funkcije tri varijable u Rješenje Nađimo stacionarnu tačku date funkcije u Da bismo to uradili, kreiramo sistem jednačina: u u u rješavanjem koje dobijamo; ; Hajdemo pronađite parcijalne derivacije drugog reda: u u u u u u Izračunajmo njihove vrijednosti u stacionarnoj tački M (;; : u u u u u u Nađite diferencijal drugog reda funkcije u u stacionarnoj tački M (;; : d u d d d dd dd Koristimo Sylvesterov kriterij U ovom problemu:

25 u u u u u u 8 u u u u u u u prema Sylvesterovom kriteriju d u Dakle, tačka M (;; je minimalna tačka funkcije u prema dovoljnom uslovu za ekstremum Vrijednost funkcije u minimalnoj tački u m Uslovni ekstremum Razmotrimo problem nalaženja ekstremu funkcije u f, pod uslovom da su povezane jednadžbama k k m; m (jednačine (zvane jednadžbe veze Definicija Funkcija u f ima uslovni maksimum (uslovni minimum u tački M ako postoji okolina tačke M u kojoj za sve tačke M (M M koje zadovoljavaju jednačine veze nejednakost f M f M (odnosno f M f M) Problem nalaženja uslovnog ekstremuma svodi se na proučavanje uobičajenog ekstremuma Lagranževe funkcije m L m f kk k gde su konstante k m k se nazivaju Lagrangeovi množitelji Neophodan uslov za uslovni ekstrem Ako funkcija u f ima uslovni ekstrem u tački M onda u ovoj tački L (M L (M k m) Da bismo pronašli tačku u kojoj je uslovni ekstrem moguć imaćemo sistem m jednačina: L (k k m k

26 iz koje se nalaze nepoznanice m Dovoljan uslov za uslovni ekstrem Neka rješenje sistema (funkcija u f ima u tački m M uslovni maksimum ako je d L i uslovni minimum ako je d L za bilo koje vrijednosti koje su m m d d d nije jednako nuli u isto vrijeme i takav k d d k m k Uslovni ekstremum funkcije dvije varijable B slučaj funkcije f dvije varijable u jednačini veze (Lagrangeova funkcija će imati oblik L f (Sistem (biće napisan u oblik L (f ((L (f ((((Neka je rješenje ovog sistema i (L (L (((L ((L (Onda ako je f u tački M (uslovni maksimum); ako je uslovni minimum) onda funkcija Možete primijeniti i Sylvesterov kriterij za Lagrangeovu funkciju. Sylvesterov kriterij: d L (funkcija ima uvjetni minimum ako i samo ako L L L L L i d L (funkcija ima uvjetni maksimum tada i samo kada L L L L L

27 za bilo koju vrijednost d d d d koja nije jednaka nuli u isto vrijeme i takva da Primjer rješavanja zadatka Pronađite uslovni ekstrem funkcije dvije varijable ako jednadžba spajanja ima oblik Rješenje Sastavite Lagrangeovu funkciju: L(f ( ost) Pronađite tačke u kojima je moguć uslovni ekstrem Da biste to uradili, sastavite sistem jednačina (: L L Iz prve i druge jednačine sistema nalazimo i izjednačavamo rezultujuće izraze: ili odavde Razmotrimo dva slučaja: zatim Zameni u jednadžbu veze: ; pronađite dva korijena tada Vrijednosti nisu rješenja sistema vrijednosti - njegova rješenja na 9 zatim Zamijenite u jednadžbu veze: ((ili 8 što je netačno Nema rješenja Dakle sistem ima jedinstvenu rješenje 9 Metod Koristimo dovoljan uslov za uslovni ekstrem Nađite parcijalne izvode: L L L i sastavite determinantu: ((9 9 (((9 L L (((9 L L Zaključak: funkcija ima u tački M (uslovni maksimum) vrijednost funkcije na uslovnoj maksimalnoj tački 7 m

28 Metoda: L L L Nađimo diferencijal drugog reda funkcije L u tački M (na: 9 d L(L (d L (dd L (d d Koristimo Sylvesterov kriterij: 9 dd d So d L za bilo koje vrijednosti od d d istovremeno nije jednako nuli. Dakle, funkcija ima u tački M (uslovni maksimum Vrijednost funkcije u tački uvjetnog maksimuma je m Primjer rješavanja zadatka Pronađite uslovni ekstrem funkcije 8 sa jednadžbom veze Metoda rješenja Sastavimo Lagrangeovu funkciju: L(f (8 ost) Pronađite tačke u kojima je moguć uslovni ekstrem Da bismo to uradili, sastavljamo sistem jednačina: L L i rešavamo ga Iz prve jednačine koju izražavamo iz druge jednačine izražavamo Izjednačavanje treće jednačine Prema tome, sistem ima jedinstveno rješenje Nađi d L(L (d L (dd L (d d d 8) Diferenciranjem jednačine veze dobijamo d d odakle d d Zamjenom d u izraz za d L dobijamo: 8

29 d L d d d Dakle, funkcija ima uslovni maksimum pri Vrijednost funkcije u tački uslovnog maksimuma je m Metoda U ovom slučaju, varijabla se lako izražava iz jednačine veze: Zamjenom funkcije u jednačinu, mi dobiti funkciju jedne varijable: 8 8 Ispitujući funkciju jedne varijable na 8 dobijamo ekstrem: - tačka lokalnog maksimuma - maksimalna vrijednost funkcije u ovoj tački Najveća i najmanja vrijednost funkcije dvije varijable u domena Ako je funkcija f (diferencijabilna u ograničenom zatvorenom domenu D onda ona dostiže svoju najveću vrijednost (najmanju vrijednost ili u stacionarnoj ili na graničnoj točki domene D) kako bi se pronašla najveća i najmanja vrijednost diferencijabilne funkciju u ograničenom zatvorenom području, trebate: pronaći stacionarne točke koje se nalaze u ovom području i izračunati vrijednosti funkcije u tim tačkama; pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na linijama koje čine granicu područje; odaberite najveću i najmanju od svih pronađenih vrijednosti Primjer rješenja problema Nađite najmanju i najveću vrijednost funkcije u ograničenom zatvorenom području D prema datom sistemu nejednačina Rješenje Područje D je omeđen trokut po koordinatnim osama i pravoj liniji 9

30 Nađimo stacionarne tačke funkcije unutar regiona D. U ovim tačkama parcijalne derivacije su jednake nuli: Rešavanjem ovog sistema dobijamo tačku K Ova tačka ne pripada oblasti D 8 8 stoga nema stacionarnih tačaka u regionu D. Proučavamo funkciju na granici regiona Pošto se granica sastoji od tri sekcije opisane sa tri različite jednačine, onda ćemo proučavati funkciju na svakom preseku posebno: Na ovom odseku (Budući da je - rastuća funkcija od varijabla at tada na segmentu najmanja vrijednost funkcije će biti u tački (: (a najveća u tački (: (U ovom dijelu (Nađimo derivaciju iz jednačine dobijamo Dakle, najveća i najmanja vrijednost funkcije na granici su među njenim vrijednostima u tačkama ((Pronađimo ove vrijednosti: ((ili (U ovom dijelu 7 Rješavanje jednadžbe 8 7 dobijamo 7, dakle 8 7 Vrijednost funkcije u ovoj tački je (i na krajevima segmenta vrijednosti funkcije koje se nalaze iznad Poređenje dobijenih vrijednosti (((((zaključujemo da su najveća i najmanja vrijednost funkcije u zatvorenom području D jednake, respektivno, (maksimalna i (maksimalni Primjer rješavanja zadatka Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije u zatvorenom području D datoj nejednakosti Rješenje Područje D je centar u početku je kružnica polumjera c

31 Nađimo stacionarne tačke funkcije unutar područja D. U tim tačkama, parcijalni derivati ​​su jednaki nuli: Dakle, nema stacionarnih tačaka. Proučavamo funkciju na granici područja. Sastavljamo Lagrangeovu funkciju L (Koristeći neophodne uslove za postojanje ekstremuma, dobijamo sistem jednačina L L. Rešavamo rezultujući sistem. Iz prve jednačine izražavamo iz druge jednačine izražavamo Jednačenje, dobijamo Zamenu u treću jednačinu Tako , imamo dvije tačke M M Pronađite vrijednosti funkcije u dobijenim tačkama: M (M (Dakle, najveća vrijednost funkcije jednaka je maksimalnoj (M ; najmanja vrijednost funkcije jednaka je minimalnoj (M Metoda najmanjih kvadrata U raznim studijama, na osnovu eksperimenta, potrebno je uspostaviti analitičku vezu f (između dvije varijable i Široko korištena metoda za rješavanje ovog problema je metoda najmanjih kvadrata. Neka eksperiment rezultira vrijednostima funkcije na odgovarajućim vrijednostima argumenta. Rezultati su sažeti u tabeli x y

32 Prvo se utvrđuje tip aproksimirajuće funkcije (bilo iz teorijskih razmatranja ili na osnovu prirode lokacije na O ravni tačaka koje odgovaraju eksperimentalnim vrijednostima. Zatim, kod odabranog oblika funkcije, potrebno je odaberite parametre uključene u njega tako da najbolje odražava ovisnost koja se razmatra. Metoda najmanjih kvadrata je sljedeća. Razmotrite zbir kvadrata razlika između vrijednosti dobijenih kao rezultat eksperimenta i onih pronađenih kao rezultat izračunavanja vrijednosti funkcije (u odgovarajućim tačkama: S (((Odaberimo parametre tako da ovaj zbir ima najmanju vrijednost. Dakle, problem je sveden na proučavanje funkcije (S na ekstrem Iz neophodnog uslova za ekstremum funkcije nekoliko varijabli proizilazi da ove vrijednosti zadovoljavaju sistem jednadžbi S S S ili u proširenom obliku (U slučaju linearne aproksimacije oblika, funkcija (S poprima oblik S ((Ovo je funkcija sa dvije varijable i mi je ispitujemo za ekstrem. Zapisujemo potrebne uslove za ekstrem: ((S S

33 Odavde dobijamo sljedeći sistem jednadžbi za nepoznanice i (Može se pokazati da sistem (ima jedinstveno rješenje za pronađene vrijednosti i funkciju (S ima minimum U slučaju kvadratne aproksimacije oblik, funkcija (ima oblik S ((Sistem jednadžbi (primi oblik (((ili u proširenom obliku (Dobili smo sistem od tri linearne jednadžbe za određivanje tri nepoznate. Ako trebate pronaći funkciju od oblik, zatim funkcija (biće napisana u obliku S (Sistem jednačina (za određivanje nepoznatih parametara ima oblik

34 ili u proširenom obliku (Primjer rješavanja zadatka. Eksperimentalno je dobijeno pet vrijednosti funkcije (f za pet vrijednosti argumenta koji su upisani u tablicu. Metodom najmanjih kvadrata pronađite funkciju od oblik koji približno izražava funkciju (f Napravite crtež na kojem, u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu, konstruirajte eksperimentalne tačke i graf aproksimirajućih funkcija Rješenje Funkciju (f) ćemo potražiti u obliku linearne funkcije Sistem ( ima oblik: S obzirom na to

35 7 imat ćemo 7 Rješavanjem ovog sistema nalazimo: 7 Jednačina željene prave ima oblik: 7 Gradimo grafik od y x Primjer rješavanja problema Eksperimentalno je dobijeno šest vrijednosti funkcije f (za šest vrijednosti argumenta koje su zapisane u tabeli 7. Metodom najmanjih kvadrata pronađite funkciju oblika koja približno izražava funkciju f (Napravite crtež na kojem ćete konstruirati eksperimentalne točke i graf aproksimirajuće funkcije u kartezijanskom pravougaoni koordinatni sistem. Rješenje. Tražićemo funkciju f (u obliku kvadratne funkcije. Sistem (poprimi oblik: S obzirom da

36 imaćemo Rješavajući ovaj sistem nalazimo: Jednačina tražene funkcije ima oblik: Gradimo graf Eksperimentalno se dobija pet vrijednosti funkcije f (za pet vrijednosti argumenta koji su upisani u tablicu Koristeći metodu najmanjih kvadrata, pronađite funkciju oblika koja približno izražava funkciju f (Napravite crtež na kojem

37 u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu, konstruirajte eksperimentalne točke i graf aproksimirajuće funkcije Rješenje Potražićemo funkciju f (u obliku funkcije Sistem (poprimi oblik: S obzirom da ćemo imati Rješavanje ovog sistema nalazimo: 7 87 Jednačina tražene funkcije ima oblik: 7 87 Gradimo graf 7

38 Primjer rješavanja zadatka Od pravougaonog lima lima širine a napravite oluk prizmatičnog oblika tako da njegov poprečni presjek ima najveću površinu Rješenje Neka je ABCD lim = AD Označimo =AE pa FD = EF = (sl. Od lima lima je napravljen oluk sa poprečnim presekom ADFE (sl. tada je donja osnova oluka jednaka EF = stranica je jednaka FD = A E B F D - sl. List od lima C A G D α α E F sl. Poprečni presjek oluka Poprečni presjek oluka je jednakokraki trapez, nađite njegovu gornju osnovu i visinu Označimo vrijednošću ugla: ADF Iz tačke F spuštamo okomitu FG na stranicu AD iz trougla GDF nalazimo GD os i visina trapeza GF s odavde AD EF GD os - gornja osnova trapeza Označimo sa površinom trapeza ADFE Tada s s s os Imamo funkciju dvije varijable Trebamo pronaći najveću vrijednost funkcije u oblasti Napravimo sistem za pronalaženje stacionarnih tačaka funkcije: s s s os os os os Prema uslovima zadatka s, dakle, sistem jednačina ima oblik os os os os Rješavajući sistem nalazimo : os Prema uslovima ovog problema, maksimum funkcije postoji, stoga će maksimalna vrijednost funkcije biti na 8

39 Računski zadaci Zadatak Pronađite i oslikajte domene definicije sljedećih funkcija: ((= + =l(+ +l l (=l (9 + l = = = + + = e 8 = ros (+ + =l(+) l (s 9 = + = rs (=l(+ 7 = = + 8 =l(+l (os = l (+ 9 l (= + =e =l(+ + =l(+ =9 + = l)) (+ = ros (+ = l (= + 7 = rs (=l(+ 8 =l(+l (s Zadatak)) Provjerite da li je funkcija f (jednačina f (jednačina l e 9 data

40 f (jednačina s 9 l e e os s (9 rtg (s os (7 e 8 rs((9 tg s 7 9 l s os e e e

41 f (jednačina l 7 8 s os ros Problem Naći izvode kompleksne funkcije u (derivati ​​u l u du? d du u rs s t os t? dt u v w w v u? w v u t t du? dt v w u u u s v os? w v t du u r tg? w v t du u r tg? u e l u du ? d 8 u v w l(v w w e v e u u? 9 u t t t du? dt u e u u v os w w s v? w v u os u du? d

42 u (derivati ​​u tg t t e s u u u w w vs? W e e u du u l? D u rtg t e t du? Dt u e u u vs w ws v? W v u du 7 u tg? D du 8 u t t s t? Dt rsv 7 u u 9 u w v l w 7? u u u e lw w s v? w v u du u e? d du u ros s t os t? dt w u u u tg lw v? v w v v w 7 u u u w v os? w u du u l e e? u lt t t? dt

43 Problem Pronađite prvi izvod funkcije implicitne funkcije s tg os l e 7 e l 7 8 os os os rtg l 9 7 e e 8 s 9 tg (e 7 os rtg rtg e 7 os l l 8 Zadatak Nađite diferencijale th reda (- nezavisne varijable d u sljedećih funkcija u e os 7 u l l u 8 u e u 9 u s u e u u s(os(u l os u l(u e

44 Zadatak Izračunati približnu vrijednost funkcije ((koordinate tačke A (u tački A koordinate tačke A (9; (-98; 97 (98; 9 (98; 9 l (8; 7 rtg (; 9) ; 9 8 os (99 ; 7 (9; 9 (; 9 u os u s u u u u u u l(7 u l s u e s 8 u u os e 9 u l l 7 u u e 8 u (98; (97; 98; 9 (; 98 7 s 8 l); 98 (98; 9 () 9; (9; rs (99; s (; 98 e (; 97 (; 9 s (; 97; 97; 9 7 l e e (98; rs (; 9 8 (97);

45 Problem 7 Proširiti funkciju (prema Taylorovoj formuli u tački M, ograničeno na članove drugog reda uključivo (M (M s os e (e (- 7 s s (8 l l ((9 ((s s s s treći red uključujući (( (e os s l(e l Proširite funkciju (prema Taylorovoj formuli u tački M (M (M (- (- (- (- (7 ((- 8 ((7 os s e s 8 os l(e os os 9 e os l

46 Zadatak 8 Napraviti jednadžbe za tangentnu ravan i normalu na određenu površinu u tački A površine A (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; l (; ; (; ; 7 (; ; 8 (; ; ( -; ; (; ; 8 8 (; -; (; ; (-; -; l (; ; (; ; (-; ; 7 (; ; 8 (; ; 9 (; ; 9 e (; -/; l (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; (; ; 7

47 površina A (; ; 7 l8 (-/; ; 8 (; ; 7 Zadatak 9 Zadata funkcija (tačka A(i vektor) (Pronađi: grd u tački A; izvod u tački A u smjeru vektora (A a rtg ((- (- ((l ((- (- (- ((- l ((- 7 ((8 e ((9 (- rtg ((- (- - (- (- (rs ((- s (( - (- (- ((- 7

48 (A a 7 e ((8 8 l 9 (((((rtg ((- rs ((- l ((- 7 ((- ((e ((- l (- (7 8 s (- (- Zadatak Pronađite ekstreme funkcije dvije varijable (((l 8l 8 l l 9 (> l l 7 9 9

49 ((l l 8l 8 l l 7 l l 8 9 l l 8 Zadatak Pronađite ekstreme funkcije tri varijable u (u (u (8 9 l 88l 7l (9

50 u (u (((7 8 Zadatak Naći uslovni ekstrem funkcije) (jednačina veze (jednačina veze 9 l l za specificiranu

51 (jednačina veze l l l 7 l

52 Zadatak Odrediti najmanju i najveću vrijednost funkcije (u zatvorenom području D prema datom sistemu nejednačina (područje D

53 (područje D Problem Eksperimentalno je dobijeno pet vrijednosti funkcije f (za pet vrijednosti argumenta koje su upisane u tabeli. Metodom najmanjih kvadrata pronađite funkciju oblika Y X koja približno izražava ( aproksimirajuća funkcija f (Napraviti crtež na kojem su u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu prikazane eksperimentalne tačke i graf aproksimirajuće funkcije Y X x

54 x Problem Eksperimentalno su dobijene vrijednosti funkcije f (koje su zapisane u tabeli). Metodom najmanjih kvadrata pronađite funkciju oblika Y X X (za neparne opcije i Y (za parne X X opcije, približna funkcija f (Napravite crtež na kojem, u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu, oslikajte eksperimentalne tačke i graf aproksimirajućih funkcija x x

55 Zadatak Riješite primijenjene zadatke za najveće i najmanje vrijednosti Nađite dimenzije cilindra najveće zapremine napravljenog od izratka u obliku lopte poluprečnika R Krov kuće ima poprečni presjek u obliku jednakokraki trougao Kolike treba da budu dimenzije poprečnog presjeka pravougaone prostorije izgrađene u potkrovlju tako da zapremina prostorije bude najveća Nađi dimenzije radnog komada najvećeg obima u obliku pravouglog trokuta čija je hipotenuza data Napravi pravougaona kutija od lima (bez poklopca za datu posudu V sa najmanjom količinom materijala) Upišite pravougaoni paralelepiped najveće zapremine u kuglu prečnika d Odredite dimenzije cilindrične posude najveće zapremine površine S 7 Postoji pravougaoni lim od željeza zadatih dimenzija. Izrežite identične kvadrate u njegovim uglovima takve veličine da je volumen dobivene posude pri savijanju ivica najveći 8 Površina pravokutnog paralelepipeda je jednaka Q Nađite dimenzije paralelepipeda sa najvećim volumenom 9 Zbir ivica pravougaonog paralelepipeda jednak je Nađi dimenzije paralelepipeda najveće zapremine Nađi pravougaoni paralelepiped najveće zapremine, pod uslovom da mu je dijagonala dužine jednaka d Nađi konus okretanja zapremine V sa najmanjom ukupnom površinom. Upišite cilindar najmanje ukupne površine u kuglu prečnika d. Od svih pravougaonih paralelepipeda ukupne površine S, pronađite onaj koji ima najveću zapreminu. Odredite dimenzije stošca najveći volumen, pod uslovom da je njegova bočna površina jednaka S. Od svih pravokutnih trouglova površine S nađite hipotenuzu čija je najmanja vrijednost.Od svih trouglova upisanih u krug, nađite onaj čija je površina najveća. 7 Od svih trouglova sa obimom p, nađi najveći po površini 8 Od svih pravougaonika sa datom površinom S, nađi obim koji ima najmanju vrednost 9 Od svih pravougaonih paralelepipeda zapremine V pronađi onaj čija ukupna površina je najmanji. Predstavite broj kao proizvod četiri pozitivna faktora tako da njihov zbir bude najmanji.

56 Odrediti trougao datog obima p koji, kada se okreće oko jedne od njegovih stranica, formira tijelo najveće zapremine. Odrediti vanjske dimenzije otvorene pravokutne kutije date debljine zida d i kapaciteta V tako da najmanji iznos od materijal se troši na njegovu izradu. Od svih trouglova sa istom osnovom i jednim i koji koriste isti ugao pri vrhu, pronađite najveći po površini. Upišite pravougaoni paralelepiped najveće zapremine u loptu poluprečnika R. Upišite pravougaoni paralelepiped najveće zapremine u zadati pravi kružni konus.. Pri kojim dimenzijama otvorene pravougaone kutije date zapremine V će njena površina biti najmanja? 7 Potrebno je iz kruga izrezati sektor na način da se od njega može napraviti stožasti filter najveće zapremine 8 Dat je volumen otvorene cilindrične posude. Koje bi trebale biti njegove dimenzije da dužina zavara je minimalna? (Praznici: list u obliku kruga osnova pravougaoni list bočna površina LITERATURA Viša matematika Metodološka uputstva i test zadaci (sa programom / Uredio YUS Arutjunov M: Viša škola 98 Danko PE Popov AG Kozhevnikova TY Viša matematika u vežbama i zadacima CH M Viša škola 98 Diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli: Smjernice za ispunjavanje testa / Sastavio: NYa Goryacheva YA Reshetnikov Ulyanovsk 999 s Diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli: standardni proračun u višoj matematici / Sastavio: AV Ankichelov NYa Rasput Uljanovsk: Državni tehnički univerzitet Uljanovsk sa Piskunovom NS Diferencijalni i integralni račun T M: Integral-Press sa pisanim DT Napomene sa predavanja o višoj matematici: u ch Ch M: Iris-press 88 sa 7 Zbirka zadataka iz matematike Ch: Udžbenik za fakultete / ud. by A V Efimova A S Pospelova - M: FIZMATLIT - str.8 Fikhtengolts GM Kurs diferencijalnog i integralnog računa T M: FIZMATLIT 8 str.

57 Obrazovno elektronsko izdanje VELMISOV Petr Aleksandrovič POKLADOVA Yulia Valerievna DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA NEKOLIKO Varijabli Udžbenik Usl pech l Obim podataka Mb EI Štampano izdanje LR od 97 Potpisano za štampu Format 8/ Usl Ulica Ul. lyanovsk Državni tehnički univerzitet 7 Uljanovsk Sev Venets ulica Tel: (E-ml:

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "ULJANOVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET"

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Uljanovski državni tehnički univerzitet DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA NEKOLIKO Varijabli TIPIČNO PRORAČUNANJE U KOMPILATORIMA VIŠE MATEMATIKE:

Federalna agencija za obrazovanje MOSKVA DRŽAVNI UNIVERZITET ZA GEODEZIJU I KARTOGRAFIJU (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova VODIČ ZA STUDENTE ZA SAMOSTALNO UČENJE SEKCIJE

Funkcije više varijabli U mnogim pitanjima geometrije, prirodnih nauka i drugih disciplina treba se pozabaviti funkcijama dvije tri ili više varijabli Primjeri: Površina trokuta S a h gdje je a osnova

Diferencijacija implicitno date funkcije Razmotrite funkciju (,) = C (C = const) Ova jednadžba definira implicitnu funkciju () Pretpostavimo da smo riješili ovu jednačinu i pronašli eksplicitni izraz = () Sada možemo

Sastavio VPBelkin 1 Predavanje 1 Funkcija nekoliko varijabli 1 Osnovni pojmovi Zavisnost = f (1, n) varijable od varijabli 1, n naziva se funkcija od n argumenata 1, n U nastavku ćemo razmotriti

Praktična nastava DIFERENCIJACIJA KOMPLEKSNIH I IMPLICITNIH FUNKCIJA Diferencijacija kompleksnih funkcija Diferencijacija implicitnih funkcija specificiranih jednom jednačinom Sistemi implicitnih i parametarski specificiranih

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUSKOG FEDERACIJE GOU VPO "SIBIRSKA DRŽAVNA GEODETSKA AKADEMIJA" OG Pavlovskaya ES Plyusnina MATEMATIKA Dio Funkcije nekoliko varijabli Smjernice

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Funkcije više varijabli Količina se naziva funkcija varijabilnih veličina n ako je svakoj tački M n koja pripada određenom skupu X dodijeljena

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog obrazovanja "Kurgan State University" Odsjek "Primijenjena matematika"

FUNKCIJE NEKOLIKO Varijabli Funkcije jedne nezavisne varijable ne pokrivaju sve zavisnosti koje postoje u prirodi. Stoga je prirodno proširiti i uvesti poznati koncept funkcionalne zavisnosti

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Sibirski državni industrijski univerzitet"

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Moskovski državni univerzitet za geodeziju i kartografiju OV Isakova, LA Saykova Diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli Preporučeno

Federalna agencija za željeznički transport Ural State Transport University E E Popovsky P P Skachkov FUNKCIJE NEKOLIKO Varijabli Tipični proračun Ekaterinburg 1 Federal

Uvod Metodološka uputstva su posvećena proučavanju i praktičnoj primeni teorije funkcija dve varijable.Svaki paragraf odgovara jednoj praktičnoj lekciji na ovu temu.Svrha uputstva

MINISTARSTVO SAOBRAĆAJA RUSKE FEDERACIJE FEDERALNA DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA ULJANOVSKA VIŠA VADUZOLOVNA ŠKOLA ZAVODA ZA CIVILNO VAZDUHOPLOVSTVO

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE MOSKVA DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET "MAMI" Katedra za "Višu matematiku" MA Bodunov, SI Borodina, VV Pokazeev, BE Teush OI Tkachenko, DIFERENCIJALNI RAČUN

DIFERENCIJALNI RAČUN Kao rezultat izučavanja ove teme, student treba da: bude sposoban da primeni tabelu izvoda i pravila diferencijacije za izračunavanje izvoda elementarnih funkcija, pronađe izvode

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog obrazovanja „Moskovski vazduhoplovni institut (nacionalno istraživanje

Tema 8 DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA NEKOLIKO Varijabli Predavanje 8.1. Funkcije nekoliko varijabli. Parcijalni izvod Plan 1. Pojam funkcije dvije i više varijabli Granica i kontinuitet

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Sibirski državni industrijski univerzitet"

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja „Novgorodski državni univerzitet im.

5 Tačka u kojoj F F F ili barem jedan od ovih derivata ne postoji naziva se singularna tačka površine. U takvoj tački površina možda nema tangentnu ravan Definicija Normalna na površinu

Predavanja 9 Lokalni ekstremi funkcije mnogih varijabli Definicija Neka je funkcija mnogih varijabli f f (data na (neki skup D i (neka tačka ovog skupa). Tačka se naziva tačka lokalnog

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "ULJANOVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET"

Praktična lekcija 5 Ekstremum funkcije mnogih varijabli 5 Definicija i neophodni uslovi za ekstrem 5 Neke informacije o kvadratnim oblicima 53 Dovoljni uslovi za ekstrem 5 Definicija i neophodni

I standardna verzija “Integralni račun funkcija jedne varijable” Zadatak Izračunajte neodređeni integral I cos d 9 Predstavite ovaj integral I kao zbir integrala: d I cos d d d 9 Koristeći

Vježba: “Taylorova formula” Ako funkcija f () ima izvode do (n +)-og reda uključujući u intervalu (0, 0), 0, tada se za sva x iz ovog intervala primjenjuje Taylorova formula (reda n) ( ) f vrijedi

Funkcije više varijabli Funkcije više varijabli Površine drugog reda. Definicija funkcije od x varijabli. Geometrijska interpretacija. Djelomična povećanja funkcije. Parcijalni derivati.

Predavanje 8 Diferencijacija kompleksne funkcije Razmotrimo kompleksnu funkciju t t t f gdje je ϕ t t t t t t t f t t t t t t t Teorema Neka su funkcije diferencijabilne u nekoj tački N t t t i funkcija f diferencijabilna

Čestitamo vam početak nove školske godine. Želim vam uspjeh u proučavanju funkcija mnogih varijabli i diferencijalnih jednačina Web stranica Katedre http://kvm.gubkin.ru 1 Funkcije mnogih varijabli 2 Definicija

I Definicija funkcije više varijabli Područje definicije Kada se proučavaju mnoge pojave, treba se pozabaviti funkcijama dvije ili više nezavisnih varijabli.Na primjer, tjelesna temperatura u datom trenutku

Funkcije više varijabli Funkcije više varijabli Ekstremum funkcije više varijabli. Pronalaženje maksimalne i minimalne vrijednosti funkcije u zatvorenom području Kompleks uvjetnog ekstrema

Poglavlje Ekstremi funkcije dvije varijable Ekstremi funkcije dvije varijable Prilikom rješavanja mnogih ekonomskih problema potrebno je izračunati najveću i najmanju vrijednost. Kao primjer razmotrite problem

DRŽAVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA "BELORUSKO-RUSKI UNIVERZITET" Odsjek "Viša matematika" VIŠA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIČKA ANALIZA Metodološke preporuke

Ministarstvo prosvete Ruske Federacije MATI - RUSKI DRŽAVNI TEHNOLOŠKI UNIVERZITET po imenu K E CIOLKOVSKI Odsek za višu matematiku N D BILJEŠKE PREDAVANJA IZ VISOKE MATEMATIKE Dio

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE UKRAINE NACIONALNA METALURŠKA AKADEMIJA UKRAINE METODOLOŠKA UPUTSTVA za rješavanje zadataka iz discipline Viša matematika i opcije praktičnih testova

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA Moskovski državni univerzitet za inženjerstvo instrumenata i informatike Odsjek za visoko obrazovanje

PREDAVANJE Ekstremum funkcije više varijabli Ekstremum funkcije više varijabli Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje ekstrema Tačka M, 0) naziva se tačka minimuma maksimuma) funkcije

Ministarstvo prosvjete Republike Bjelorusije Obrazovna ustanova "Bjeloruski državni pedagoški univerzitet po imenu Maksim Tank" PRAKTIKUM IZ MATEMATIČKE ANALIZE, ALGEBRE I GEOMETRIJE

~ 1 ~ FUNKCIJA MNOGE PROMJENJIVE 3 Funkcija dvije varijable, domena definicije, metode definicije i geometrijsko značenje. Definicija: z f se naziva funkcijom dvije varijable, ako je svaki par vrijednosti,

Penza State University OGNikitina FUNKCIJE NEKOLIKO Varijabli DIFERENCIJALNI RAČUN Udžbenik Penza UDK 5755 Nikitina OG Funkcije više varijabli Diferencijalni račun:

Federalna agencija za poljoprivredu Federalna državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Mičurinski državni agrarni univerzitet Katedra za matematiku

II DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Diferencijalne jednadžbe prvog reda Definicija Relacije u kojima su nepoznate varijable i njihove funkcije pod predznakom izvoda ili diferencijala nazivaju se

PREDAVANJE N. Skalarno polje. Smjerni derivat. Gradijent. Tangentna ravan i normalna na površinu. Ekstremi funkcije nekoliko varijabli. Uslovni ekstrem. Skalarno polje. Derivat u odnosu na

Predavanja Poglavlje Funkcije više varijabli Osnovni pojmovi Neke funkcije više varijabli su dobro poznate Dajemo nekoliko primjera Da bismo izračunali površinu trokuta, poznata je Heronova formula S

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog obrazovanja "DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET NIŽNJI NOVGOROD IM R E

Smjernice i opcije za istraživački rad na temu Funkcija više varijabli za studente smjera Dizajn. Ako je količina jedinstveno određena specificiranjem vrijednosti količina i, neovisno jedna o drugoj,

P0 Derivat Razmotrimo neku funkciju f (), u zavisnosti od argumenta. Neka je ova funkcija definisana u tački 0 i nekim njenim okolinama, i neka je kontinuirana u ovoj tački i njenim okolinama. Razmotrimo malu

BELORUSSKI DRŽAVNI EKONOMSKI UNIVERZITET FAKULTET ODSJEK ZA EKONOMSKE INFORMACIJE I MATEMATIČKU EKONOMIJU Funkcije mnogih varijabli Bilješke sa predavanja i radionica za

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUSKE FEDERACIJE FEDERALNI DRŽAVNI BUDŽET OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG OBRAZOVANJA „DŽARŽAVNI INDUSTRIJSKI UNIVERZITET SANKT PETERBURG

Teorija površina u diferencijalnoj geometriji Elementarna površina Definicija Područje na ravni naziva se elementarnim područjem ako je slika otvorenog kruga pod homeomorfizmom,

Predavanje 11. KONDICIONALNI EKSTREMUM 1. Pojam uslovnog ekstrema.. Metode pronalaženja uslovnog ekstremuma.. Najveća i najmanja vrijednost funkcije dvije varijable u zatvorenom području. 1. Koncept kondicionala

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE SIBIRSKA DRŽAVNA GEODETSKA AKADEMIJA YU.G. Kostina, G.P. Martynov VIŠA MATEMATIKA Diferencijalni račun funkcija više varijabli,

Uvod Domaći testovi iz matematičke analize jedan su od glavnih oblika kontinuiranog praćenja samostalnog rada učenika. Približno vrijeme potrebno da se završi DCR je

Glavni oblik učenja za vanredne studente je samostalan rad na nastavnom materijalu koji se sastoji od sljedećih komponenti: proučavanje gradiva iz udžbenika, rješavanje zadataka, samotestiranje

1. Konstruirajte domenu definicije sljedećih funkcija. a) Kako je funkcija definirana u, domen definicije funkcije je skup - poluravnina. b) Pošto je domen funkcije

FUNKCIJE MNOGE VARIJABLI 1. Osnovni pojmovi. Ako se svakom paru varijabli neovisnih jedna od druge iz određenog skupa D dodijeli vrijednost varijable, onda se to naziva funkcijom dva

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA REPUBLIKE BELORUSIJE Bjeloruski nacionalni tehnički univerzitet Katedra za “Višu matematiku 1” G. I. Lebedeva G. A. Romanyuk I. M. Martynenko FUNKCIJE NEKOLIKO VARIJABLI Metodološke