S obzirom na distribuciju diskretne slučajne varijable, pronađite. Zakon raspodjele slučajnih varijabli

X; značenje F(5); vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednosti iz segmenta. Konstruirajte poligon distribucije.

1. Funkcija distribucije F(x) diskretne slučajne varijable je poznata X:

Postavite zakon raspodjele slučajne varijable X u obliku tabele.

1. Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X:

1. Vjerovatnoća da trgovina ima certifikate kvalitete za cijeli asortiman proizvoda je 0,7. Komisija je provjerila dostupnost certifikata u četiri lokala u okruženju. Napraviti zakon o distribuciji, izračunati matematičko očekivanje i disperziju broja prodavnica u kojima nisu pronađeni sertifikati kvaliteta tokom pregleda.

1. Za određivanje prosječnog vremena gorenja električnih svjetiljki u seriji od 350 identičnih kutija, za ispitivanje je uzeta po jedna električna lampa iz svake kutije. Odozdo procijeniti vjerovatnoću da se prosječno trajanje gorenja odabranih električnih sijalica razlikuje od prosječnog trajanja gorenja cijele serije u apsolutnoj vrijednosti za manje od 7 sati, ako se zna da je standardna devijacija trajanja gorenja električnih sijalica u svaka kutija je manje od 9 sati.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 0,002. Pronađite vjerovatnoću da će se između 500 veza dogoditi sljedeće:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X.

1. Automatska mašina pravi valjke. Vjeruje se da je njihov promjer normalno raspoređena slučajna varijabla sa srednjom vrijednošću od 10 mm. Kolika je standardna devijacija ako je, s vjerovatnoćom od 0,99, prečnik u rasponu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Uzorak A: 6 9 7 6 4 4

Uzorak B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opcija 17.

1. Od 35 dijelova, 7 je nestandardnih. Pronađite vjerovatnoću da će se dva nasumično uzeta dijela ispostaviti kao standardna.

1. Bacaju se tri kockice. Nađite vjerovatnoću da je zbir bodova na oborenim stranama višekratnik broja 9.

1. Riječ “AVANTURA” je sastavljena od kartica, na svakoj je napisano po jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da slova izdvojena po redoslijedu pojavljivanja formiraju riječ: a) AVANTURA; b) ZATVORENIK.

1. Urna sadrži 6 crnih i 5 bijelih kuglica. 5 loptica se nasumično izvlači. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima:
1. 2 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu loptu.

1. A u jednom testu je jednako 0,4. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:
1. događaj A pojavljuje se 3 puta u seriji od 7 nezavisnih ispitivanja;
2. događaj A pojavit će se najmanje 220 niti više od 235 puta u seriji od 400 ispitivanja.

1. Fabrika je u bazu poslala 5.000 proizvoda dobrog kvaliteta. Vjerovatnoća oštećenja svakog proizvoda u transportu je 0,002. Pronađite vjerovatnoću da se ne više od 3 proizvoda ošteti tokom putovanja.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 9 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne nasumično se izvlače 3 lopte, a iz druge urne 4. Nađite vjerovatnoću da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijansu.

1. U kutiji je 10 olovaka. 4 olovke se izvlače nasumično. Slučajna vrijednost X– broj plavih olovaka među odabranim. Naći zakon njegove raspodjele, početne i centralne momente 2. i 3. reda.

1. Služba tehničke kontrole provjerava 475 proizvoda na kvarove. Vjerovatnoća da je proizvod neispravan je 0,05. Pronađite, sa vjerovatnoćom 0,95, granice unutar kojih će biti sadržan broj neispravnih proizvoda među testiranim.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 0,003. Pronađite vjerovatnoću da će se između 1000 veza dogoditi sljedeće:
1. najmanje 4 neispravne veze;
2. više od dvije pogrešne veze.

1. Slučajna varijabla je određena funkcijom gustoće distribucije:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla je određena funkcijom distribucije:

1. Po uzorku A riješiti sljedeće probleme:
1. kreirati niz varijacija;

· prosjek uzorka;

· varijansa uzorka;

Mod i medijan;

Uzorak A: 0 0 2 2 1 4

1. izračunati numeričke karakteristike serije varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijansa uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opcija 18.

1. Među 10 srećki, 2 su dobitne. Pronađite vjerovatnoću da će od pet nasumično uzetih listića jedna biti pobjednička.

1. Bacaju se tri kockice. Nađite vjerovatnoću da je zbir ubačenih bodova veći od 15.

1. Riječ “PERIMETAR” sastoji se od kartica, od kojih svaka ima po jedno slovo napisano. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da izvađena slova formiraju riječ: a) PERIMETAR; b) METER.

1. Urna sadrži 5 crnih i 7 bijelih kuglica. 5 loptica se nasumično izvlači. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima:
1. 4 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu loptu.

1. Vjerovatnoća da se dogodi neki događaj A u jednom ogledu je jednako 0,55. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:
1. događaj A pojavit će se 3 puta u nizu od 5 izazova;
2. događaj A pojavit će se najmanje 130 niti više od 200 puta u seriji od 300 ispitivanja.

1. Vjerovatnoća da se limenka konzervirane robe razbije je 0,0005. Pronađite vjerovatnoću da će od 2000 limenki dvije imati curenje.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 8 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 4 crne kuglice. Dvije kuglice se nasumično izvlače iz prve urne, a tri kugle se nasumično izvlače iz druge urne. Pronađite vjerovatnoću da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. Među delovima koji pristižu na montažu, 0,1% je neispravnih sa prve mašine, 0,2% sa druge, 0,25% sa treće i 0,5% sa četvrte. Omjeri produktivnosti mašine su 4:3:2:1. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Odrediti vjerovatnoću da je dio napravljen na prvoj mašini.

1. Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijansu.

1. Električar ima tri sijalice od kojih svaka ima kvar sa vjerovatnoćom 0,1.Sijalice se ušrafljuju u grlo i pali se struja. Kada se struja uključi, neispravna sijalica odmah pregori i zamjenjuje se drugom. Naći zakon raspodjele, matematičko očekivanje i disperziju broja testiranih sijalica.

1. Vjerovatnoća pogađanja mete je 0,3 za svaki od 900 nezavisnih hitaca. Koristeći Čebiševljevu nejednakost, procijenite vjerovatnoću da će meta biti pogođena najmanje 240 puta, a najviše 300 puta.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 0,002. Pronađite vjerovatnoću da će se između 800 veza dogoditi sljedeće:
1. najmanje tri neispravne veze;
2. više od četiri neispravne veze.

1. Slučajna varijabla je određena funkcijom gustoće distribucije:

Pronađite funkciju raspodjele slučajne varijable X. Nacrtajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla je određena funkcijom distribucije:

1. Po uzorku A riješiti sljedeće probleme:
1. kreirati niz varijacija;
2. izračunati relativne i akumulirane frekvencije;
3. sastaviti empirijsku funkciju distribucije i nacrtati je;
4. izračunati numeričke karakteristike serije varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijansa uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak A: 4 7 6 3 3 4

1. Koristeći uzorak B, riješite sljedeće probleme:
1. kreirajte grupiranu seriju varijacija;
2. izgraditi histogram i poligon frekvencija;
3. izračunati numeričke karakteristike serije varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijansa uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opcija 19.

1. Na gradilištu radi 16 žena i 5 muškaraca. 3 osobe su odabrane nasumično koristeći njihove brojeve osoblja. Pronađite vjerovatnoću da će svi odabrani ljudi biti muškarci.

2. Bacaju se četiri novčića. Nađite vjerovatnoću da će samo dva novčića imati „grb“.

3. Riječ “PSIHOLOGIJA” je sastavljena od kartica, od kojih svaka ima po jedno slovo napisano. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da izvađena slova formiraju riječ: a) PSIHOLOGIJA; b) OSOBLJE.

4. Urna sadrži 6 crnih i 7 bijelih kuglica. 5 loptica se nasumično izvlači. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima:

a. 3 bijele kuglice;

b. manje od 3 bijele kuglice;

c. najmanje jednu bijelu loptu.

5. Vjerovatnoća nastanka događaja A u jednom ogledu je jednako 0,5. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:

a. događaj A pojavljuje se 3 puta u seriji od 5 nezavisnih ispitivanja;

b. događaj A pojavit će se najmanje 30 i ne više od 40 puta u seriji od 50 ispitivanja.

6. Postoji 100 mašina iste snage, koje rade nezavisno jedna od druge u istom režimu, u kojem im je pogon uključen 0,8 radnih sati. Kolika je vjerovatnoća da će se u bilo kojem trenutku uključiti od 70 do 86 mašina?

7. Prva urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica, a druga urna sadrži 8 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne se nasumično izvlače 4 kuglice, a iz druge 1 kugla. Nađite vjerovatnoću da se među izvučenim kuglicama nalaze samo 4 crne kuglice.

8. Salon automobila dnevno prima automobile tri marke u količinama: „Moskvič“ – 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% svih uvezenih automobila. Među automobilima Moskvich, 0,5% ima uređaj protiv krađe, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Pronađite vjerovatnoću da automobil odveden na pregled ima uređaj za zaštitu od krađe.

9. Brojevi i biraju se nasumično na segmentu. Odrediti vjerovatnoću da ovi brojevi zadovolje nejednakosti.

10. Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X; značenje F(2); vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednosti iz intervala . Konstruirajte poligon distribucije.

kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinice (X, Y, Z), a njihove vrijednosti su označene odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.

1 . Zakon distribucije se može dati u tabeli:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) korišćenjem funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3 . Zakon distribucije može se grafički specificirati – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije karakteristike zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :

• Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
  Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
• Disperzija diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
  Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
• Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"

Zadatak 1.

Izdato je 1000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.

Rješenje. U skladu sa uslovima zadatka, moguće su sledeće vrednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Broj tiketa bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Predstavimo rezultujući zakon u obliku tabele:

Nađimo matematičko očekivanje vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadatak 3.

Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirati poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju diskretne slučajne varijable.

Rješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan element uređaja nije uspio), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa nisu uspjela).

Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula . S obzirom na to da prema uslovu, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerovatnoće vrijednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:

Crtamo moguće vrijednosti x i duž ose apscise, a odgovarajuće vjerovatnoće p i duž ordinatne ose. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezivanjem ovih tačaka pravim segmentima dobijamo željeni poligon distribucije.

3. Nađimo funkciju raspodjele F(x) = R(H

Grafikon funkcije F(x)

4. Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijansa D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE

RANDOM VARIABLES

Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa.

Slučajna veličina je veličina koja kao rezultat eksperimenta može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali koja nije unaprijed poznata. Za slučajnu varijablu, stoga, možete odrediti samo vrijednosti, od kojih će jednu definitivno uzeti kao rezultat eksperimenta. U nastavku ćemo ove vrijednosti nazivati ​​mogućim vrijednostima slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja.

Slučajne varijable se obično označavaju velikim slovima latinice, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima.

Postoje tri tipa slučajnih varijabli:

Discrete; Kontinuirano; Miješano.

Diskretno je slučajna varijabla čiji broj mogućih vrijednosti čini skup koji se može prebrojiti. Zauzvrat, skup čiji se elementi mogu numerisati naziva se prebrojiv. Riječ "diskretno" dolazi od latinskog discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od odvojenih dijelova".

Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji od n proizvoda. Zaista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n.

Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti se mogu numerisati, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno veliki broj.

Kontinuirano je slučajna varijabla čije moguće vrijednosti neprekidno ispunjavaju određeni interval numeričke ose, koji se ponekad naziva interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik.

Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je mjesečna potrošnja električne energije preduzeća.

Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je greška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Neka se iz principa rada visinomera zna da je greška u opsegu od 0 do 2 m. Dakle, interval postojanja ove slučajne varijable je interval od 0 do 2 m.

Zakon raspodjele slučajnih varijabli.

Slučajna varijabla se smatra potpuno specificiranom ako su njene moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i uspostavljen je zakon raspodjele.

Zakon raspodjele slučajne varijable je relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerovatnoća.

Za slučajnu varijablu se kaže da je raspoređena prema datom zakonu ili podliježe datom zakonu distribucije. Određeni broj vjerovatnoća, funkcija distribucije, gustina vjerovatnoće i karakteristična funkcija se koriste kao zakoni distribucije.

Zakon raspodjele daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu distribucije, prije eksperimenta se može prosuditi koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati ​​češće, a koje rjeđe.

Za diskretnu slučajnu varijablu, zakon raspodjele se može specificirati u obliku tabele, analitički (u obliku formule) i grafički.

Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tabela (matrica), koja uzlaznim redoslijedom navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerovatnoće, tj.

Takva tabela se naziva nizom distribucije diskretne slučajne varijable. 1

Događaji X 1, X 2,..., X n, koji se sastoje u činjenici da će kao rezultat testa, slučajna varijabla X uzeti vrijednosti x 1, x 2,... x n, respektivno, su nedosljedne i jedino moguće (pošto su u tabeli navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. formiraju kompletnu grupu. Stoga je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu

(Ova jedinica je nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i termin "distribucija").

Serija distribucije može se grafički prikazati ako se vrijednosti slučajne varijable nacrtaju duž ose apscise, a njihove odgovarajuće vjerovatnoće nanesene duž ordinatne ose. Veza dobijenih tačaka formira isprekidanu liniju koja se naziva poligon ili poligon distribucije verovatnoće (slika 1).

Primjer Lutrija uključuje: automobil od 5.000 den. jedinice, 4 televizora po 250 den. jedinica, 5 video rekordera u vrednosti od 200 den. jedinice Ukupno je prodato 1000 karata za 7 dana. jedinice Sastavite zakon o raspodjeli za neto dobitke koje je primio učesnik lutrije koji je kupio jedan listić.

Rješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobitak po listiću - jednake su 0-7 = -7 novca. jedinice (ako tiket nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako tiket ima dobitke od videorekordera, TV-a ili automobila). S obzirom da je od 1000 listića broj ne-dobitnika 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1, i koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće, dobijamo.

Dat je niz distribucije diskretne slučajne varijable. Pronađite vjerovatnoću koja nedostaje i nacrtajte funkciju distribucije. Izračunajte matematičko očekivanje i varijansu ove veličine.

Slučajna varijabla X uzima samo četiri vrijednosti: -4, -3, 1 i 2. Uzima svaku od ovih vrijednosti sa određenom vjerovatnoćom. Budući da zbir svih vjerovatnoća mora biti jednak 1, vjerovatnoća koja nedostaje je jednaka:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sastavimo funkciju distribucije slučajne varijable X. Poznato je da je funkcija distribucije , tada:

dakle,

Nacrtajmo funkciju F(x) .

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable jednako je zbiru proizvoda vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće, tj.

Pronalazimo varijansu diskretne slučajne varijable koristeći formulu:

PRIMJENA

Elementi kombinatorike Ovdje: - faktorijel broja

Akcije na događaje Događaj je svaka činjenica koja se može i ne mora dogoditi kao rezultat nekog iskustva. Spajanje događaja A I IN- ovaj događaj WITH koji se sastoji od pojave ili događaja A, ili događaji IN, ili oba događaja istovremeno. Oznaka: ; Crossing Events A I IN- ovaj događaj WITH, koji se sastoji od istovremene pojave oba događaja. Oznaka: ;

Klasična definicija vjerovatnoće Vjerovatnoća događaja A je omjer broja eksperimenata , povoljan za nastanak nekog događaja A, na ukupan broj eksperimenata :

Formula za množenje vjerovatnoće Vjerovatnoća događaja može se pronaći pomoću formule: - vjerovatnoća događaja A, - vjerovatnoća događaja IN, - vjerovatnoća događaja IN pod uslovom da je događaj A već se dogodilo. Ako su događaji A i B nezavisni (nastanak jednog ne utiče na pojavu drugog), tada je vjerovatnoća događaja jednaka:

Formula za sabiranje vjerovatnoća Vjerojatnost događaja može se pronaći pomoću formule: Vjerovatnoća događaja A, Vjerovatnoća događaja IN, - vjerovatnoća istovremene pojave događaja A I IN. Ako su događaji A i B nekompatibilni (ne mogu se dogoditi istovremeno), tada je vjerovatnoća događaja jednaka:

Formula ukupne vjerovatnoće Neka događaj A može se dogoditi istovremeno sa jednim od događaja , , …, - nazovimo ih hipotezama. Također poznat - vjerovatnoća izvršenja i-th hipoteza i - vjerovatnoća pojave događaja A prilikom izvršavanja i-th hipoteza. Zatim vjerovatnoća događaja A može se naći po formuli:

Bernulijeva shema Neka postoji n nezavisnih testova. Vjerovatnoća nastanka (uspjeha) događaja A u svakom od njih je konstantan i jednak str, vjerovatnoća kvara (tj. da se događaj ne dogodi A) q = 1 - str. Zatim vjerovatnoća pojave k uspjeh u n testovi se mogu naći pomoću Bernoullijeve formule: Najvjerovatniji broj uspjeha u Bernoullijevoj shemi, ovo je broj pojavljivanja određenog događaja koji ima najveću vjerovatnoću. Može se pronaći pomoću formule:

Slučajne varijable diskretno kontinuirano (na primjer, broj djevojčica u porodici sa 5 djece) (na primjer, vrijeme kada čajnik radi ispravno) Numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli Neka je diskretna veličina data nizom distribucije: X R , , …, - vrijednosti slučajne varijable X; , , …, su odgovarajuće vrijednosti vjerovatnoće. Funkcija distribucije Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija definirana na cijeloj brojevnoj pravoj i jednaka vjerojatnosti da X biće manje X:

Pitanja za ispit

Događaj. Operacije na slučajnim događajima.

Koncept vjerovatnoće događaja.

Pravila za sabiranje i množenje vjerovatnoća. Uslovne vjerovatnoće.

Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesova formula.

Bernulijeva shema.

Slučajna varijabla, njena funkcija distribucije i distribucijski redovi.

Osnovna svojstva funkcije distribucije.

Očekivana vrijednost. Osobine matematičkog očekivanja.

Disperzija. Osobine disperzije.

Gustoća raspodjele vjerovatnoće jednodimenzionalne slučajne varijable.

Vrste raspodjela: uniformna, eksponencijalna, normalna, binomna i Poissonova raspodjela.

Lokalne i integralne teoreme Moivre-Laplacea.

Zakon i funkcija distribucije sistema dvije slučajne varijable.

Gustoća distribucije sistema dvije slučajne varijable.

Uslovni zakoni distribucije, uslovno matematičko očekivanje.

Zavisne i nezavisne slučajne varijable. Koeficijent korelacije.

Uzorak. Obrada uzorka. Poligon i histogram frekvencije. Empirijska funkcija distribucije.

Koncept procjene parametara distribucije. Zahtjevi za ocjenjivanje. Interval povjerenja. Konstrukcija intervala za procjenu matematičkog očekivanja i standardne devijacije.

Statističke hipoteze. Kriterijumi za saglasnost.

U primjenama teorije vjerovatnoće, kvantitativne karakteristike eksperimenta su od primarnog značaja. Količina koja se može kvantitativno odrediti i koja kao rezultat eksperimenta može poprimiti različite vrijednosti u zavisnosti od slučaja naziva se slučajna varijabla.

Primjeri slučajnih varijabli:

1. Koliko puta se parni broj poena pojavljuje u deset bacanja kocke.

2. Broj pogodaka u metu od strane strijelca koji ispaljuje seriju hitaca.

3. Broj fragmenata eksplodirajuće granate.

U svakom od datih primjera, slučajna varijabla može poprimiti samo izolirane vrijednosti, odnosno vrijednosti koje se mogu numerisati pomoću prirodnog niza brojeva.

Takva slučajna varijabla, čije su moguće vrijednosti pojedinačni izolovani brojevi, koje ova varijabla uzima sa određenim vjerovatnoćama, naziva se diskretno.

Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan (prebrojiv).

Zakon distribucije Diskretna slučajna varijabla je lista njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable može se specificirati u obliku tabele (serija raspodjele vjerovatnoće), analitički i grafički (poligon raspodjele vjerovatnoće).

Prilikom izvođenja eksperimenta, potrebno je procijeniti vrijednost koja se proučava „u prosjeku“. Ulogu prosječne vrijednosti slučajne varijable igra numerička karakteristika tzv matematičko očekivanje, koja je određena formulom

Gdje x 1 , x 2 ,.. , x n– vrijednosti slučajne varijable X, A str 1 ,str 2 , ... , str n– vjerovatnoće ovih vrijednosti (imajte na umu da str 1 + str 2 +…+ str n = 1).

Primjer. Gađanje se vrši na metu (sl. 11).

Pogodak u I daje tri boda, u II – dva boda, u III – jedan bod. Broj poena koje je jedan strijelac postigao u jednom šutu ima zakon raspodjele oblika

Za upoređivanje vještine strijelaca dovoljno je uporediti prosječne vrijednosti postignutih poena, tj. matematička očekivanja M(X) I M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Drugi strijelac u prosjeku daje nešto veći broj poena, tj. daće bolje rezultate kada se više puta ispaljuje.

Zapazimo svojstva matematičkog očekivanja:

1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti:

M(C) = C.

2. Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Matematičko očekivanje proizvoda međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu matematičkih očekivanja faktora

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Matematička negacija binomne distribucije jednaka je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće da će se događaj desiti u jednom pokušaju (zadatak 4.6).

M(X) = pr.

Procijeniti kako slučajna varijabla „u prosjeku“ odstupa od svog matematičkog očekivanja, tj. Da bi se okarakterizirao širenje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti, koristi se koncept disperzije.

Varijanca slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadratne devijacije:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Disperzija je numerička karakteristika disperzije slučajne varijable. Iz definicije je jasno da što je manja disperzija slučajne varijable, to su njene moguće vrijednosti bliže locirane oko matematičkog očekivanja, odnosno što bolje vrijednosti slučajne varijable karakterizira njeno matematičko očekivanje. .

Iz definicije proizilazi da se varijansa može izračunati pomoću formule

.

Pogodno je izračunati varijansu koristeći drugu formulu:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Disperzija ima sledeća svojstva:

1. Varijanca konstante je nula:

D(C) = 0.

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru varijanse pojmova:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Varijanca binomne distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće pojave i nenastupanja događaja u jednom pokusu:

D(X) = npq.

U teoriji vjerovatnoće često se koristi numerička karakteristika jednaka kvadratnom korijenu varijanse slučajne varijable. Ova numerička karakteristika naziva se srednja kvadratna devijacija i označava se simbolom

.

Karakterizira približnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti i ima istu dimenziju kao i slučajna varijabla.

4.1. Strijelac ispaljuje tri hica u metu. Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu svakim udarcem je 0,3.

Konstruirajte seriju distribucije za broj pogodaka.

Rješenje. Broj pogodaka je diskretna slučajna varijabla X. Svaka vrijednost x n slučajna varijabla X odgovara određenoj vjerovatnoći P n .

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable u ovom slučaju se može specificirati blizu distribucije.

U ovom problemu X uzima vrijednosti 0, 1, 2, 3. Prema Bernoullijevoj formuli

,

Nađimo vjerovatnoće mogućih vrijednosti slučajne varijable:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Uređivanjem vrijednosti slučajne varijable X rastućim redom, dobijamo red distribucije:

Imajte na umu da iznos

znači vjerovatnoću da je slučajna varijabla Xće uzeti barem jednu vrijednost među mogućim, pa je ovaj događaj, prema tome, pouzdan

.

4.2 .U urni su četiri kuglice sa brojevima od 1 do 4. Izvađene su dvije lopte. Slučajna vrijednost X– zbir brojeva kuglica. Konstruirajte seriju distribucije slučajne varijable X.

Rješenje. Vrijednosti slučajne varijable X su 3, 4, 5, 6, 7. Nađimo odgovarajuće vjerovatnoće. Vrijednost slučajne varijable 3 X može se prihvatiti u jedinom slučaju kada jedna od odabranih loptica ima broj 1, a druga 2. Broj mogućih ishoda testa jednak je broju kombinacija četiri (broj mogućih parova loptica) od dvije.

Koristeći klasičnu formulu vjerovatnoće dobijamo

Isto tako,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Zbir 5 može se pojaviti u dva slučaja: 1 + 4 i 2 + 3, dakle

.

X ima oblik:

Pronađite funkciju distribucije F(x) slučajna varijabla X i zacrtajte to. Izračunajte za X njegova matematička očekivanja i varijansa.

Rješenje. Zakon distribucije slučajne varijable može biti specificiran funkcijom distribucije

F(x) =P(X x).

Funkcija distribucije F(x) je neopadajuća, lijevo-kontinuirana funkcija definirana na cijeloj brojevnoj pravoj, dok

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Za diskretnu slučajnu varijablu, ova funkcija je izražena formulom

.

Stoga u ovom slučaju

Grafikon funkcije distribucije F(x) je stepenasta linija (slika 12)

Očekivana vrijednostM(X) je ponderisani aritmetički prosjek vrijednosti X 1 , X 2 ,……X n slučajna varijabla X sa vagama ρ 1, ρ 2, …… , ρ n i naziva se srednja vrijednost slučajne varijable X. Prema formuli

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Disperzija karakterizira stupanj disperzije vrijednosti slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti i označava se D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Za diskretnu slučajnu varijablu, varijansa ima oblik

ili se može izračunati pomoću formule

Zamjenom numeričkih podataka problema u formulu, dobivamo:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dvije kockice se bacaju dva puta u isto vrijeme. Napišite binomni zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X- broj pojavljivanja parnog ukupnog broja poena na dvije kocke.

Rješenje. Hajde da uvedemo slučajni događaj

A= (dvije kockice s jednim bacanjem rezultirale su ukupnim paran brojem bodova).

Koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće nalazimo

R(A)= ,

Gdje n - broj mogućih ishoda testa nalazi se prema pravilu

množenje:

n = 6∙6 =36,

m - broj ljudi koji favorizuju događaj A ishodi - jednaki

m= 3∙6=18.

Dakle, vjerovatnoća uspjeha u jednom pokušaju je

ρ = P(A)= 1/2.

Problem je riješen korištenjem Bernoullijevog testa. Jedan izazov ovdje bi bio baciti dvije kockice jednom. Broj takvih testova n = 2. Slučajna varijabla X uzima vrijednosti 0, 1, 2 sa vjerovatnoćama

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Potrebna binomna distribucija slučajne varijable X može se predstaviti kao distributivna serija:

4.5 . U seriji od šest dijelova nalaze se četiri standardna dijela. Tri dijela su odabrana nasumično. Konstruirajte distribuciju vjerovatnoće diskretne slučajne varijable X– broj standardnih dijelova među odabranim i pronađite njegovo matematičko očekivanje.

Rješenje. Vrijednosti slučajne varijable X su brojevi 0,1,2,3. To je jasno R(X=0)=0, pošto postoje samo dva nestandardna dela.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Zakon distribucije slučajne varijable X Predstavimo to u obliku distribucijske serije:

Očekivana vrijednost

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Dokazati da je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X- broj pojavljivanja događaja A V n nezavisna ispitivanja, u svakom od kojih je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi ρ – jednako umnošku broja pokušaja sa vjerovatnoćom pojave događaja u jednom ogledu, odnosno dokazati da je matematičko očekivanje binomne distribucije

M(X) =n . ρ ,

i disperzija

D(X) =n.p. .

Rješenje. Slučajna vrijednost X može uzeti vrijednosti 0, 1, 2..., n. Vjerovatnoća R(X= k) nalazi se pomoću Bernoullijeve formule:

R(X=k)= R n(k)= ρ To (1-ρ ) n- To

Serija distribucije slučajne varijable X ima oblik:

Gdje q= 1- ρ .

Za matematičko očekivanje imamo izraz:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

U slučaju jednog testa, odnosno sa n= 1 za slučajnu varijablu X 1 – broj pojavljivanja događaja A- serija distribucije ima oblik:

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ str = str

D(X 1) = str – str 2 = str(1- str) = pq.

Ako X k – broj pojavljivanja događaja A u kom testu onda R(X To)= ρ I

X=X 1 +X 2 +….+X n .

Odavde dobijamo

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Odjel za kontrolu kvalitete provjerava standardnost proizvoda. Vjerovatnoća da je proizvod standardan je 0,9. Svaka serija sadrži 5 proizvoda. Pronađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X- broj serija od kojih će svaka sadržavati 4 standardna proizvoda - ako je 50 serija podvrgnuto kontroli.

Rješenje. Vjerovatnoća da će u svakoj nasumično odabranoj seriji biti 4 standardna proizvoda je konstantna; označimo ga sa ρ .Onda matematičko očekivanje slučajne varijable X jednaki M(X)= 50∙ρ.

Nađimo vjerovatnoću ρ prema Bernoullijevoj formuli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Bacaju se tri kockice. Nađite matematičko očekivanje zbira ispuštenih bodova.

Rješenje. Možete pronaći distribuciju slučajne varijable X- zbir ispuštenih bodova i zatim njegovo matematičko očekivanje. Međutim, ovaj put je previše težak. Lakše je koristiti drugu tehniku ​​koja predstavlja slučajnu varijablu X, čije je matematičko očekivanje potrebno izračunati, u obliku zbira nekoliko jednostavnijih slučajnih varijabli, čije je matematičko očekivanje lakše izračunati. Ako je slučajna varijabla X i je broj osvojenih bodova i– th kosti ( i= 1, 2, 3), zatim zbir bodova X biće izraženo u obliku

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Da bi se izračunalo matematičko očekivanje originalne slučajne varijable, sve što ostaje je koristiti svojstvo matematičkog očekivanja

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Očigledno je da

R(X i = K)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Dakle, matematičko očekivanje slučajne varijable X i izgleda kao

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli tijekom testiranja ako:

a) vjerovatnoća kvara za sve uređaje je ista R, a broj uređaja koji se testiraju je jednak n;

b) vjerovatnoća neuspjeha za i – uređaja je jednako str i , i= 1, 2, … , n.

Rješenje. Neka je slučajna varijabla X je onda broj neispravnih uređaja

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

To je jasno

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

U slučaju “a” vjerovatnoća kvara uređaja je ista, tj

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Ovaj odgovor bi se mogao dobiti odmah ako primijetimo da je slučajna varijabla X ima binomnu distribuciju sa parametrima ( n, str).

4.10. Dvije kockice se bacaju dva puta istovremeno. Napišite binomni zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X - broj bacanja parnog broja bodova na dvije kocke.

Rješenje. Neka

A=(baciti paran broj na prvu kockicu),

B =(baciti paran broj na drugu kocku).

Dobivanje parnog broja na obje kocke u jednom bacanju izražava se proizvodom AB. Onda

R (AB) = R(A)∙R(IN) =
.

Rezultat drugog bacanja dvije kocke ne ovisi o prvom, pa se Bernoullijeva formula primjenjuje kada

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Slučajna vrijednost X može imati vrijednosti 0, 1, 2 , čija se vjerovatnoća može naći pomoću Bernoullijeve formule:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Serija distribucije slučajne varijable X:

4.11. Uređaj se sastoji od velikog broja nezavisno radećih elemenata sa istom vrlo malom verovatnoćom otkazivanja svakog elementa tokom vremena t. Pronađite prosječan broj odbijanja tokom vremena t elemenata, ako je vjerovatnoća da će barem jedan element otkazati tokom ovog vremena 0,98.

Rješenje. Broj ljudi koji su odbili tokom vremena t elementi – slučajna varijabla X, koji je raspoređen prema Poissonovom zakonu, pošto je broj elemenata veliki, elementi rade nezavisno i verovatnoća kvara svakog elementa je mala. Prosječan broj pojavljivanja događaja u n testovi jednaki

M(X) = n.p..

Budući da je vjerovatnoća neuspjeha TO elementi iz n izraženo formulom

R n (TO)
,

gdje  = n.p., onda je vjerovatnoća da nijedan element neće otkazati tokom vremena t stižemo do K = 0:

R n (0)= e -  .

Stoga je vjerovatnoća suprotnog događaja u vremenu t najmanje jedan element ne radi – jednako 1 - e -  . Prema uslovima zadatka, ova vjerovatnoća je 0,98. Iz Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

odavde  = -ln 0,02  4.

Dakle, na vreme t rada uređaja, u prosjeku će 4 elementa otkazati.

4.12 . Kockice se bacaju dok se ne pojavi "dvojka". Pronađite prosječan broj bacanja.

Rješenje. Hajde da uvedemo slučajnu varijablu X– broj testova koji se moraju izvršiti dok se ne dogodi događaj koji nas zanima. Verovatnoća da X= 1 je jednako vjerovatnoći da će se prilikom jednog bacanja kockice pojaviti „dvojka“, tj.

R(X= 1) = 1/6.

Događaj X= 2 znači da se na prvom testu „dvojka“ nije pojavila, ali na drugom jeste. Vjerovatnoća događaja X= 2 se nalazi po pravilu množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Isto tako,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

itd. Dobijamo niz distribucija vjerovatnoće:

Prosječan broj bacanja (pokušaja) je matematičko očekivanje

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)

Nađimo zbir niza:

TOg TO -1 = (g TO) g 
.

dakle,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Dakle, trebate napraviti u prosjeku 6 bacanja kocke dok ne dođe do "dvojke".

4.13. Nezavisni testovi se provode sa istom vjerovatnoćom nastanka događaja A u svakom testu. Pronađite vjerovatnoću da se neki događaj dogodi A, ako je varijansa broja pojavljivanja događaja u tri nezavisna ispitivanja 0,63 .

Rješenje. Broj pojavljivanja događaja u tri pokušaja je slučajna varijabla X, distribuiran prema binomskom zakonu. Varijanca broja pojavljivanja događaja u nezavisnim pokusima (sa istom vjerovatnoćom da će se događaj dogoditi u svakom pokušaju) jednaka je umnošku broja pokušaja sa vjerovatnoćama nastanka i nepostojanja događaja (problem 4.6)

D(X) = npq.

Po stanju n = 3, D(X) = 0,63, tako da možete R nađi iz jednačine

0,63 = 3∙R(1-R),

koji ima dva rješenja R 1 = 0,7 i R 2 = 0,3.